Разложение на множители это: 5 способов разложения многочлена на множители

Разложение многочленов на множители с примерами решения

Содержание:

Разложение многочленов на множители — операция, об-I ратная умножению многочленов. Как вы уже знаете, решая разные задачи, иногда умножают два или более чисел, а иногда — раскладывают данное число на множители. Подобные задачи возникают и при преобразовании целых алгебраических выражений. В этой главе вы узнаете о:

• вынесении общего множителя за скобки;
• способе группировки;
• формулах сокращённого умножения;
• применении разных способов разложения многочленов на множители.

Вынесение общего множителя за скобки

Вы уже умеете раскладывать на множители натуральные числа. Например,

На множители раскладывают и многочлены. Разложить многочлен на множители — это означает заменить его произведением нескольких многочленов, тождественным данному многочлену. Например, многочлен

Один из способов разложения многочленов на множители — вынесение общего множителя за скобки. Рассмотрим его.

Каждый член многочлена ах + ау имеет общий множитель а. На основании распределительного закона умножения Это означает, что данный многочлен ах + ау разложен на два множителя:

Другие примеры:

Чтобы убедиться, правильно ли разложен многочлен на множители, нужно выполнить умножение полученных множителей. Если всё верно, то в результате должен получиться данный многочлен.

Иногда приходится раскладывать на множители и выражения, имеющие общий многочленный множитель. Например, в выражении общий множитель b — с. Его также можно выносить за скобки:

Один и тот же многочлен можно разложить на множители по-разному. Например,

Как правило, стараются вынести за скобки такой общий множитель, чтобы в скобках осталось простейшее выражение. Поэтому чаще всего в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов всех членов данного многочлена или их модулей. Но не всегда. Все зависит от того, с какой целью раскладывают на множители многочлен.

Пусть, например, надо найти значение выражения при условии, когда

Чтобы использовать условие, это упражнение можно решить так:

Здесь вынесено за скобки не , а тогда в скобках имеем выражение, значение которого известно из условия.

Пример:

Разложите на множители многочлен

Решение:

или

Пример:

Разложите на множители многочлен

Решение:

Пример:

Докажите, что число делится на 20.

Доказательство:

Последнее произведение делится на 20, поэтому делится на 20 и данная сумма.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

поэтому данное уравнение равносильно уравнению Произведение двух чисел равно нулю тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю.

Значит, отсюда х = 0, или 5х — 1 = 0, отсюда х = 0,2.

Ответ. Уравнение имеет два корня: 0 и 0,2.

Способ группировки

Разложим на множители многочлен Сгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель Вынесем из первой группы за скобки общий множитель а, из второй — общий множитель х, получим выражение Слагаемые этого выражения имеют общий множитель b + с, вынесем его за скобки, получим выражение

Указанные преобразования можно записать цепочкой:

Такой способ разложения многочленов на множители называют способом группировки.

Замечание. Раскладывая на множители представленный выше многочлен, можно сгруппировать его члены иначе:

Получили такой же результат.

Разложим на множители многочлен

Записывать сумму а + с в виде 1 (а + с) необязательно, но сначала, чтобы не допускать ошибок, можно писать и так.

Чтобы воспользоваться способом группировки, иногда приходится один член данного многочлена представлять в виде суммы или разности одночленов. Чтобы разложить на множители трёхчлен • запишем одночлен

Подобные преобразования также можно выполнять, используя тождества.

Пример:

Разложите на множители многочлен:

Решение:

Ответ.

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители:

Корнем первого уравнения является у = 1,5, а второе уравнение корней не имеет, так как

Ответ. у = 1,5.

Квадрат двучлена

Решая различные задачи, часто приходится умножать двучлены вида Чтобы в таких случаях можно было сразу написать ответ, полезно запомнить тождества, которые называют формулами сокращённого умножения. Рассмотрим некоторые из них.

Умножим двучлен

Следовательно,

Квадрат двучлена равен квадрату первого его члена плюс удвоенное произведение первого на второй плюс квадрат второго члена.

Доказанное равенство — тождество, его называют формулой квадрата двучлена. Пользуясь ею, можно сразу записать:

Промежуточные преобразования желательно выполнять устно, тем самым сокращается запись:

По формуле квадрата двучлена можно возводить в квадрат любые двучлены, в том числе

Запомните формулу

Формулы квадрата двучлена используют и в «обратном направлении»:

Формулу часто называют формулой квадрата суммы двух выражений, — квадрата разности двух выражений.

Для положительных чисел а и b формулу

можно доказать геометрически, как показано на рисунке 44. Так её доказывали ещё древние греки. Ведь площадь квадрата со стороной а + b равна сумме площадей квадратов а также прямоугольников ab и ab.

Существуют и другие формулы сокращённого умножения:

Пример:

Возведите в квадрат двучлен

Решение:

Пример:

Упростите выражение

Решение:

Пример:

Представьте в виде многочлена выражение:

Решение:

Пример:

Представьте выражение в виде степени двучлена:

Решение:

• Заказать решение задач по высшей математике

Разность квадратов

Умножим сумму переменных а и b на их разность.

Значит,

Это равенство — тождество. Словами его читают так:

Произведение суммы двух выражений и их разности равно разности квадратов этих выражений.

Пользуясь доказанной формулой, можно сразу записать:

Левую и правую части доказанной формулы можно поменять местами. Получим формулу разности квадратов двух выражений:

Разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и разности.

Пример:

Формула разности квадратов очень удобна для разложения многочленов на множители.

Для положительных чисел а и b формулу можно проиллюстрировать геометрически (рис. 46). Но это тождество верно не только для положительных чисел, но и для любых других чисел и выражений.

Истинность формулы разности квадратов следует из правила умножения многочленов, а это правило — из законов действий сложения и умножения. Законы сложения и умножения чисел — это своеобразные аксиомы, следствиями которых являются алгебраические тождества.

Пример:

Напишите разность квадратов и квадрат разности выражений

Решение:

— разность квадратов; — квадрат разности данных выражений.

Пример:

Запишите в виде произведения двух двучленов выражение:

Решение:

Пример:

Представьте в виде двучлена выражение:

Решение:

.

Используя формулу разности квадратов, промежуточные вычисления и преобразования можно выполнять устно, а записывать лишь конечный результат.

Использование формул сокращённого умножения

С помощью формул сокращённого умножения некоторые многочлены можно разложить на множители. Например, двучлен можно представить в виде произведения по формуле разности квадратов:

Примеры:

Трёхчлены раскладывают на множители по формуле квадрата двучлена:

Примеры:

Полученные, выражения можно разложить на множители и записать так:

Многочлен можно разложить на множители по формуле куба двучлена:

Раскладывать на множители можно не только многочлены, но и некоторые другие целые выражения.

Например, — не многочлены, но и их можно представить в виде произведений многочленов:

Пример:

Разложите на множители многочлен:

Решение:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Значит, данное уравнение равносильно такому:

Квадрат числа равен нулю только тогда, когда это число равно 0. А х — 2 = 0, когда х = 2.

Ответ. х = 2.

Пример:

Разложите на множители многочлен:

Решение:

Разность и сумма кубов

Выполним умножение многочленов

Следовательно, при любых значениях а и b

Трёхчлен называют неполным квадратом суммы выражений а и b (от он отличается только коэффициентом среднего члена). Поэтому доказанную формулу словами читают так:

разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Выполним умножение многочленов

Следовательно,

Трёхчлен называют неполным квадратом разности выражений а и b. Поэтому полученную формулу читаю так:

сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

С помощью доказанных формул можно раскладывать на множители многочлены, являющиеся разностями или суммами кубов.

Примеры:

Формулу «разность кубов» для положительных значений а и b можно проиллюстрировать геометрически, как показано на рисунке 49.

Если умножить на а — b выражения то получим формулы:

Можно доказать, что для каждого натурального значения n истинна формула:

Формулы «разность квадратов» и «разность кубов» — простейшие случаи этой общей формулы.

Пример:

Разложите на множители двучлен:

Решение:

Пример:

Найдите произведение многочленов: •

Решение:

Первый способ. По формуле суммы кубов:

Второй способ. По правилу умножения многочленов:

Применение разных способов разложения многочленов на множители

Чтобы разложить многочлен на множители, иногда приходится применять несколько способов.

Пример:

Разложите на множители многочлен

Решение:

Сначала за скобки вынесен общий множитель а, потом выражение в скобках разложено на множители по формуле разности квадратов.

Пример:

Разложите на множители выражение

Решение:

Здесь применены способ группировки, вынесение общего множителя за скобки и формула суммы кубов.

Чтобы разложить на множители более сложные многочлены, приходится применять несколько известных способов или искусственные приёмы.

В этом случае можно использовать такое правило-ориентир:

1. Вынести общий множитель (если он есть) за скобки.
2. Проверить, не является ли выражение в скобках разностью квадратов, разностью или суммой кубов.
3. Если это трёхчлен, то проверить, не является ли он квадратом двучлена.
4. Если многочлен содержит больше трёх членов, то надо попробовать группировать их и к каждой группе применить п. 1—3.

Иногда удаётся разложить многочлен на множители, прибавляя и вычитая из него одно и то же выражение.

Пример:

Разложите на множители двучлен

Решение:

Прибавим к данному двучлену выражение

Пример:

Разложите на множители выражение

Решение:

Пример:

Представьте многочлен в виде разности квадратов двух многочленов.

Решение:

Пример:

Докажите, что число делится на 31.

Доказательство:

Последнее произведение делится на 31, поэтому делится на 31 и равное ему данное числовое выражение.

Исторические сведения:

Наибольший вклад в развитие алгебраической символики внёс известный французский математик Ф. Виет, которого называли «отцом алгебры ». Он часто использовал буквенные обозначения. Вместо писал соответственно N,Q,C — первые буквы латинских слов Numerus (число), Quadratus (квадрат), Cubus (куб). Уравнение Ф. Виет записывал так:

Степени чисел продолжительное время не имели специальных обозначений, четвёртую степень числа а записывали в виде произведения аааа. Позднее такое произведение начали записывать . Записи предложил Р. Декарт.

Формулы сокращённого умножения древним китайским и греческим математикам были известны за много веков до начала нашей эры. Записывали их тогда не с помощью букв, а словами и доказывали геометрически (только для положительных чисел). Пользуясь рисунком, объясняли, что для любых чисел а и b площадь квадрата со стороной а + b равна сумме площадей двух квадратов со сторонами а и b к двух прямоугольников со сторонами а, b.

Итак, Подобным способом обосновали и другие равенства, которые. мы теперь называем формулами сокращённого умножения.

В учебнике рассмотрены простейшие формулы сокращённого умножения.

Формулы квадрата и куба двучлена — простейшие случаи общей формулы бинома Ньютона:

Напомню:

Разложить многочлен на множители — это означает заменить его произведением нескольких многочленов, тождественным данному многочлену.

Простейшие способы разложения многочленов на множители:

• вынесение общего множителя за скобки;
• способ группировки;
• использование формул сокращённого умножения.

Примеры:

Формулы сокращённого умножения

Разложение многочленов на множители — это преобразование, обратное умножению многочленов. Схематично эти две операции можно изобразить, например, так.

Разложение многочленов на множители / Алгебра / Справочник по математике 5-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Алгебра
5. Разложение многочленов на множители

Разложение многочлена на множители — это представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов.

Вынесение общего множителя за скобки

Мы помним, что для любых рациональных чисел , и выполняется равенство   (распределительное свойство умножения относительно сложения). Данную идею можно использовать при разложении многочлена на множители.

Например, разложим на множители многочлен

Очевидно, что каждый его член можно заменить произведением двух множителей, один из которых равен :

На основе свойства, записанного выше, мы можем представить данный многочлен в виде произведения двух множителей:

Значит, мы можем записать:

Мы разложили многочлен на множители с помощью вынесения общего множителя.

Пример: Разложим на множители многочлен

Мы видим, что члены данного многочлена имеют разные общие множители 6, , , , 6. Каждый из этих общих множителей мы можем вынести за скобки, но обычно общий множитель выбирают таким образом, чтобы члены многочлена, которые останутся в скобках, не содержали общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих натуральных делителей, кроме 1.

В нашем многочлене модули коэффициентов равны 12, 18 и 30, а их наибольший общий делитель 6, поэтому коэффициент общего множителя будет равен или 6 или 6. Все члены многочлена содержат переменные и , имея первую, вторую и третью степени. Но вынести мы можем наименьшую степень переменной, в нашем случаем и переменную и переменную выносим в первой степени. Значит, за скобки можно вынести одночлен 6 или (6). Например вынесем 6, получим:

Метод группировки

Попробуем разложить на множители многочлен .

Его члены не имеют общего множителя, но их можно сгруппировать так, что слагаемые в каждой группе будут иметь общий множитель и его можно будет вынести за скобки:

.

Мы получили выражение, в котором оба слагаемых имеют общий множитель , вынесем его за скобки:

.

Получается, .

Описанный выше прием разложения многочлена на множители называют методом группировки

.

Обратите внимание, совсем необязательно группировать те слагаемые, которые расположены рядом. Так, в многочлене , можно сгруппировать первое слагаемое с третьим, а второе — с четвертым, и результат разложения на множители, учитывая переместительное свойство умножения, получится тот же:

Пример: Разложите на множители трехчлен .

Сначала представим слагаемое в виде суммы , получим многочлен:

Далее группируем слагаемые полученного многочлена следующим образом:

Первая группа слагаемых имеет общий множитель , вторая группа слагаемых имеет общий множитель 3. Вынесем каждый из этих множителей, в соответствующей им группе слагаемых, за скобки:

Мы получили выражение, в котором оба слагаемых имеют множитель , вынесем его за скобки:

Получается, трехчлен мы представили в виде произведения двух множителей:

Итак, при разложении многочлена на множители можно использовать следующие способы:

• вынесение общего множителя за скобки;
• метод группировки;
• применение формул сокращенного умножения.

Однако есть много многочленов, для разложения которых на множители надо применить несколько способов. Как правило при разложении многочлена на множители нужно соблюдать следующий алгоритм:

1) если это возможно, то разложение надо начинать с вынесения общего множителя за скобки;

2) проверить, можно ли применить формулы сокращенного умножения;

3) если не удается применить формулы, то пробуем воспользоваться методом группировки.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Введение в алгебру

Линейное уравнение с одной переменной

Решение задач с помощью уравнений

Тождественно равные выражения. Тождества

Степень с натуральным показателем

Свойства степени с натуральным показателем

Одночлены

Многочлены

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Формулы сокращенного умножения

Функции

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Алгебра

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Номер 436, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 451, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 463, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 6, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 532, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 552, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 698, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 724, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 741, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 7, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

---

Назвать последовательность попыток разложения многочлена на множители.

Способы разложения на множители многочлена степени выше второй

Назвать последовательность попыток разложения многочлена на множители. Способы разложения на множители многочлена степени выше второй

В общем случае эта задача предполагает творческий подход, так как не существует универсального метода ее решения. Но все же попробуем дать несколько наводок.

В подавляющем числе случаев, разложение многочлена на множители основано на следствии из теоремы Безу, то есть находится или подбирается корень и понижается степень многочлена на единицу делением на . У полученного многочлена ищется корень и процесс повторяется до полного разложения.

Если же корень найти не удается, то используются специфические способы разложения: от группировки, до ввода дополнительных взаимоисключающих слагаемых.

Дальнейшее изложение базируется на навыках решения уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.

Вынесение за скобки общего множителя.

Начнем с простейшего случая, когда свободный член равен нулю, то есть многочлен имеет вид .

Очевидно, что корнем такого многочлена является , то есть многочлен представим в виде .

Этот способ есть ни что иное как вынесение общего множителя за скобки .

Пример.

Разложить многочлен третьей степени на множители.

Решение.

Очевидно, что является корнем многочлена, то есть х можно вынести за скобки:

Найдем корни квадратного трехчлена

Таким образом,

К началу страницы

Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.

Сначала рассмотрим способ разложения многочлена с целыми коэффициентами вида , коэффициент при старшей степени равен единице.

В этом случае, если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Пример.

Решение.

Проверим, имеются ли целые корни. Для этого выписываем делители числа -18 : . То есть, если многочлен имеет целые корни, то они находятся среди выписанных чисел. Последовательно проверим эти числа по схеме Горнера. Ее удобство еще и в том, что в итоге получим и коэффициенты разложения многочлена:

То есть, х=2 и х=-3 являются корнями исходного многочлена и он представим в виде произведения:

Осталось разложить квадратный трехчлен .

Дискриминант этого трехчлена отрицательный, следовательно, он не имеет действительных корней.

Ответ:

Замечание:

вместо схемы Горнера можно было воспользоваться подбором корня и последующим делением многочлена на многочлен.

Теперь рассмотрим разложение многочлена с целыми коэффициентами вида , причем коэффициент при старшей степени не равен единице.

В этом случае многочлен может иметь дробно рациональные корни.

Пример.

Разложить на множители выражение .

Решение.

Выполнив замену переменной y=2x , перейдем к многочлену с коэффициентом равным единице при старшей степени. Для этого сначала домножим выражение на 4 .

Если полученная функция имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем их:

Вычислим последовательно значения функции g(y) в этих точках до получения нуля.

Понятия «многочлен» и «разложение многочлена на множители» по алгебре встречаются очень часто, ведь их необходимо знать, чтобы с легкостью производить вычисления c большими многозначными числами. В этой статье будет описано несколько способов разложения. Все они достаточно просты в применении, стоит лишь правильно подобрать нужный в каждом конкретном случае.

Понятие многочлена

Многочлен является суммой одночленов, то есть выражений, содержащих только операцию умножения.

Например, 2 * x * y — это одночлен, а вот 2 * x * y + 25 — многочлен, который состоит из 2 одночленов: 2 * x * y и 25. Такие многочлены называет двучленами.

Иногда для удобства решения примеров с многозначными значениями выражение необходимо преобразовать, например, разложить на некоторое количество множителей, то есть чисел или выражений, между которыми производится действие умножения. Есть ряд способов разложения многочлена на множители. Стоит рассмотреть их начиная с самого примитивного, который применяют еще в начальных классах.

Группировка (запись в общем виде)

Формула разложения многочлена на множители способом группировки в общем виде выглядит таким образом:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Необходимо сгруппировать одночлены так, чтобы в каждой группе появился общий множитель. В первой скобке это множитель с, а во второй — d. Это нужно сделать для того, чтобы затем вынести его за скобку, тем самым упростив вычисления.

Алгоритм разложения на конкретном примере

Простейший пример разложения многочлена на множители способом группировки приведен ниже:

10ас + 14bc — 25a — 35b = (10ас — 25а) + (14bc — 35b)

В первую скобку нужно взять слагаемые с множителем а, который и будет общим, а во вторую — со множителем b. Обратите внимание на знаки + и — в готовом выражении. Мы ставим перед одночленом тот знак, который был в начальном выражении. То есть нужно работать не с выражением 25а, а с выражением -25. Знак минус как бы «приклеить» к стоящему за ним выражению и всегда учитывать его при вычислениях.

На следующем шаге нужно вынести множитель, который является общим, за скобку. Именно для этого и делается группировка. Вынести за скобку — значит выписать перед скобкой (опуская знак умножения) все те множители, которые с точностью повторяются во всех слагаемых, которые находятся в скобке. Если в скобке не 2, а 3 слагаемых и больше, общий множитель должен содержаться в каждом из них, иначе его нельзя вынести за скобку.

В нашем случае — только по 2 слагаемых в скобках. Общий множитель сразу виден. В первой скобке — это а, во второй — b. Здесь нужно обратить внимание на цифровые коэффициенты. В первой скобке оба коэффициента (10 и 25) кратны 5. Это значит, что можно вынести за скобку не только а, но и 5а. Перед скобкой выписать 5а, а затем каждое из слагаемых в скобках поделить на общий множитель, который был вынесен, и также записать частное в скобках, не забывая о знаках + и — Со второй скобкой поступить также, вынести 7b, так как и 14 и 35 кратно 7.

10ас + 14bc — 25a — 35b = (10ас — 25а) + (14bc — 35b) = 5а(2c — 5) + 7b(2c — 5).

Получилось 2 слагаемых: 5а(2c — 5) и 7b(2c — 5). Каждое из них содержит общий множитель (все выражение в скобках здесь совпадает, значит, является общим множителем): 2с — 5. Его тоже нужно вынести за скобку, то есть во второй скобке остаются слагаемые 5а и 7b:

5а(2c — 5) + 7b(2c — 5) = (2c — 5)*(5а + 7b).

Итак, полное выражение:

10ас + 14bc — 25a — 35b = (10ас — 25а) + (14bc — 35b) = 5а(2c — 5) + 7b(2c — 5) = (2c — 5)*(5а + 7b).

Таким образом, многочлен 10ас + 14bc — 25a — 35b раскладываается на 2 множителя: (2c — 5) и (5а + 7b). Знак умножения между ними при записи можно опускать

Иногда встречаются выражения такого типа: 5а 2 + 50а 3 , здесь можно вынести за скобку не только а или 5а, а даже 5а 2 . Всегда нужно стараться вынести максимально большой общий множитель за скобку. В нашем случае, если разделить каждое слагаемое на общий множитель, то получается:

5а 2 / 5а 2 = 1; 50а 3 / 5а 2 = 10а (при вычислении частного нескольких степеней с равными основаниями основание сохраняется, а показатель степени вычитается). Таким образом, в скобке остается единица (ни в коем случае не забывайте писать единицу, если выносите за скобку целиком одно из слагаемых) и частное от деления: 10а. Получается, что:

5а 2 + 50а 3 = 5а 2 (1 + 10а)

Формулы квадратов

Для удобства вычислений были выведены несколько формул. Они называются формулами сокращенного умножения и используются довольно часто. Эти формулы помогают разложить на множители многочлены, содержащие степени. Это еще один действенный способ разложения на множители. Итак, вот они:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 — формула, получившая название «квадрат суммы», так как в результате разложения в квадрат берется сумма чисел, заключенная в скобки, то есть значение этой суммы умножается само на себя 2 раза, а значит, является множителем.
• a 2 + 2ab — b 2 = (a — b) 2 — формула квадрата разности, она аналогична предыдущей. В результате получается разность, заключенная в скобки, содержащаяся в квадратной степени.
• a 2 — b 2 = (a + b)(а — b) — это формула разности квадратов, так как изначально многочлен состоит из 2 квадратов чисел или выражений, между которыми производится вычитание. Пожалуй, из трех названных она используется чаще всего.

Примеры на вычисления по формулам квадратов

Вычисления по ним производятся достаточно просто. Например:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 — используем формулу «квадрат суммы».
2. 25x 2 является квадратом выражения 5х. 20ху — удвоенное произведение 2*(5х*2у), а 4y 2 — это квадрат 2у.
3. Таким образом, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2у) 2 = (5x + 2у)(5x + 2у). Данный многочлен раскладывается на 2 множителя (множители одинаковые, поэтому записывается в виде выражения с квадратной степенью).

Действия по формуле квадрата разности производятся аналогично этим. Остается формула разность квадратов. Примеры на эту формулу очень легко определить и найти среди других выражений. Например:

• 25а 2 — 400 = (5а — 20)(5а + 20). Так как 25а 2 = (5а) 2 , а 400 = 20 2
• 36х 2 — 25у 2 = (6х — 5у) (6х + 5у). Так как 36х 2 = (6х) 2 , а 25у 2 = (5у 2)
• с 2 — 169b 2 = (с — 13b)(c + 13b). Так как 169b 2 = (13b) 2

Важно, чтобы каждое из слагаемых являлось квадратом какого-либо выражения. Тогда этот многочлен подлежит разложению на множители по формуле разности квадратов. Для этого не обязательно, чтобы над числом стояла именно вторая степень. Встречаются многочлены, содежащие большие степени, но все равно подходящие к этим формулам.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

В данном примере а 8 можно представить как (a 4) 2 , то есть квадрат некого выражения. 25 — это 5 2 , а 10а 4 — это удвоенное произведениеслагаемых2*a 4 *5. То есть данное выражение, несмотря на наличие степеней с большими показателями, можно разложить на 2 множителя, чтобы в последствии работать с ними.

Формулы кубов

Такие же формулы существуют для разложения на множители многочленов, содержащих кубы. Они немного посложнее тех, что с квадратами:

• a 3 + b 3 = (а + b)(a 2 — ab + b 2) — эту формулу называют суммой кубов, так как в начальном виде многочлен представляет собой сумму двух выражений или чисел, заключенных в куб.
• a 3 — b 3 = (а — b)(a 2 + ab + b 2) — формула, идентичная предыдущей, обозначена как разность кубов.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 — куб суммы, в результате вычислений получается сумма чисел или выражений, заключенная в скобки и умноженная сама на себя 3 раза, то есть находящаяся в кубе
• a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 = (a — b) 3 — формула, составленная по аналогии предыдущей с изменением лишь некоторых знаков математических операций (плюс и минус), имеет название «куб разности».

Последние две формулы практически не испольуются с целью разложения многочлена на множители, так как они сложны, и достаточно редко встречаются многочлены, полностью соответствующие именно такому строению, чтобы их можно было разложить по этим формулам. Но их все равно нужно знать, так как они потребуются при действиях в обратном направлении — при раскрытии скобок.

Примеры на формулы кубов

Рассмотрим пример: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2).

Здесь взяты достаточно простые числа, поэтому сразу можно увидеть, что 64а 3 — это (4а) 3 , а 8b 3 — это (2b) 3 . Таким образом, этот многочлен раскладывается по формуле разность кубов на 2 множителя. Действия по формуле суммы кубов производятся по аналогии.

Важно понимать, что далеко не все многочлены подлежат разложению хотя бы одним из способов. Но есть такие выражения, которые содержат большие степени, чем квадрат или куб, но их также можно разложить по формуам сокращенного умножения. Например: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y)(x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

В этом примере содержится аж 12 степень. Но даже его возможно разложить на множители по формуле суммы кубов. Для этого нужно представить х 12 как (x 4) 3 , то есть как куб какого-либо выражения. Теперь в формулу вместо а нужно подставлять именно его. Ну а выражение 125у 3 — это куб 5у. Далее следует составить произведение по формуле и произвести вычисления.

На первых порах или в случае возникших сомнений, вы всегда можете произвести проверку обратным умножением. Вам нужно лишь раскрыть скобки в получившемся выражении и выполнить действия с подобными слагаемыми. Этот метод относится ко всем перечисленным способам сокращения: как к работе с общим множителем и группировке, так и к действиям по формулам кубов и квадратных степеней.

Разложение многочленов на множители – это тождественное преобразование, в результате которого многочлен преобразуется в произведение нескольких сомножителей – многочленов или одночленов.

Существует несколько способов разложения многочленов на множители.

Способ 1. Вынесение общего множителя за скобку.

Это преобразование основывается на распределительном законе умножения: ac + bc = c(a + b). Суть преобразования заключается в том, чтобы выделить в двух рассматриваемых компонентах общий множитель и «вынести» его за скобки.

Разложим на множители многочлен 28х 3 – 35х 4 .

Решение.

1. Находим у элементов 28х 3 и 35х 4 общий делитель. Для 28 и 35 это будет 7; для х 3 и х 4 – х 3 . Иными словами, наш общий множитель 7х 3 .

2. Каждый из элементов представляем в виде произведения множителей, один из которых
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х.

3. Выносим за скобки общий множитель
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х = 7х 3 (4 – 5х).

Способ 2. Использование формул сокращенного умножения. «Мастерство» владением этим способом состоит в том, чтобы заметить в выражении одну из формул сокращенного умножения.

Разложим на множители многочлен х 6 – 1.

Решение.

1. К данному выражению мы можем применить формулу разности квадратов. Для этого представим х 6 как (х 3) 2 , а 1 как 1 2 , т.е. 1. Выражение примет вид:
(х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1).

2. К полученному выражению мы можем применить формулу суммы и разности кубов:
(х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).

Итак,
х 6 – 1 = (х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).

Способ 3. Группировка. Способ группировки заключается в объединение компонентов многочлена таким образом, чтобы над ними было легко совершать действия (сложение, вычитание, вынесение общего множителя).

Разложим на множители многочлен х 3 – 3х 2 + 5х – 15.

Решение.

1. Сгруппируем компоненты таким образом: 1-ый со 2-ым, а 3-ий с 4-ым
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15).

2. В получившемся выражении вынесем общие множители за скобки: х 2 в первом случае и 5 – во втором.
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3).

3. Выносим за скобки общий множитель х – 3 и получаем:
х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3)(х 2 + 5).

Итак,
х 3 – 3х 2 + 5х – 15 = (х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3) ∙ (х 2 + 5).

Закрепим материал.

Разложить на множители многочлен a 2 – 7ab + 12b 2 .

Решение.

1. Представим одночлен 7ab в виде суммы 3ab + 4ab. Выражение примет вид:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Раскроем скобки и получим:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 .

2. Сгруппируем компоненты многочлена таким образом: 1-ый со 2-ым и 3-ий с 4-ым. Получим:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Вынесем за скобки общие множители:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = а(а – 3b) – 4b(а – 3b).

4. Вынесем за скобки общий множитель (а – 3b):
а(а – 3b) – 4b(а – 3b) = (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

Итак,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= а(а – 3b) – 4b(а – 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Многочлен представляет собой выражение, состоящее из суммы одночленов. Последние являются произведением константы (числа) и корня (или корней) выражения в степени k. В таком случае говорят о многочлене степени k. Разложение многочлена предполагает трансформацию выражения, при которой на смену слагаемых приходят множители. Рассмотрим основные способы проведения такого рода преобразования.

Метод разложения многочлена путем выделения общего множителя

Данный способ основывается на закономерностях распределительного закона. Так, mn + mk = m * (n + k).

• Пример: разложите 7y 2 + 2uy и 2m 3 – 12m 2 + 4lm.

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 – 6m + 2l).

Однако, множитель, присутствующий обязательно в каждом многочлене может найтись не всегда, поэтому данный способ не является универсальным.

Метод разложения многочлена на базе формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения справедливы для многочлена любой степени. В общем виде выражение-преобразование выглядит следующим образом:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), где k является представителем натуральных чисел.

Наиболее часто на практике применяются формулы для многочленов второго и третьего порядков:

u 2 – l 2 = (u – l)(u + l),

u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2).

• Пример: разложите 25p 2 – 144b 2 и 64m 3 – 8l 3 .

25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),

64m 3 – 8l 3 = (4m) 3 – (2l) 3 = (4m – 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m – 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2).

Метод разложения многочлена – группировка слагаемых выражения

Данный метод некоторым образом перекликается с техникой выведения общего множителя, но имеет некоторые отличия. В частности, перед тем, как выделять общий множитель, следует произвести группировку одночленов. В основе группирования лежат правила сочетательного и переместительного законов.

Все одночлены, представленные в выражении разбиваются на группы, в каждой из которых выносится общее значение такое, что второй множитель будет одинаковым во всех группах. В общем виде подобный способ разложения можно представить в виде выражения:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).

• Пример: разложите 14mn + 16ln – 49m – 56l.

14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).

Метод разложения многочлена – формирование полного квадрата

Данный способ является одним из наиболее эффективных в ходе разложения многочлена. На первоначальном этапе необходимо определить одночлены, которые можно “свернуть” в квадрат разности или суммы. Для этого используется одно из соотношений:

(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2 ,

• Пример: разложите выражение u 4 + 4u 2 – 1.

Выделим среди его одночленов слагаемые, которые образуют полный квадрат: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =

= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.

Завершаете преобразование, используя правила сокращенного умножения: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).

Т.о. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).

Любой алгебраический многочлен степени n может быть представлен в виде произведения n-линейных множителей вида и постоянного числа, которое является коэффициентов многочлена при старшей ступени х, т.е.

где — являются корнями многочлена.

Корнем многочлена называют число (действительное или комплексное), обращающее многочлен в нуль. Корнями многочлена могут быть как действительные корни, так и комплексно-сопряженные корни, тогда многочлен может быть представлен в следующем виде:

Рассмотрим методы разложения многочленов степени «n» в произведение множителей первой и второй степени.

Способ №1. Метод неопределенных коэффициентов.

Коэффициенты такого преобразованного выражения определяются методом неопределенных коэффициентов. Суть метода сводится к тому, что заранее известен вид множителей, на которые разлагается данный многочлен. При использовании метода неопределённых коэффициентов справедливы следующие утверждения:

П.1. Два многочлена тождественно равны в случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.

П.2. Любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.

П.3. Любой многочлен четвертой степени разлагается на произведение двух многочленов второй степени.

Пример 1.1. Необходимо разложить на множители кубическое выражение:

П.1. В соответствии с принятыми утверждениями для кубического выражения справедливо тождественное равенство:

П.2. Правая часть выражения может быть представлена в виде слагаемых следующим образом:

П.3. Составляем систему уравнений из условия равенства коэффициентов при соответствующих степенях кубического выражения.

Данная система уравнений может быть решена методом подбора коэффициентов (если простая академическая задача) или использованы методы решения нелинейных систем уравнений. Решая данную систему уравнений, получим, что неопределённые коэффициенты определяются следующим образом:

Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители в следующем виде:

Данный метод может использоваться как при аналитических выкладках, так и при компьютерном программировании для автоматизации процесса поиска корня уравнения.

Способ №2. Формулы Виета

Формулы Виета — это формулы, связывающие коэффициенты алгебраических уравнений степени n и его корни. Данные формулы были неявно представлены в работах французского математика Франсуа Виета (1540 — 1603). В связи с тем, что Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем явном виде.

Для любого алгебраического многочлена степени n, который имеет n-действительных корней,

справедливы следующие соотношения, которые связывают корни многочлена с его коэффициентами:

Формулами Виета удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Пример 2.1. Рассмотрим, как связаны корни многочлена с его коэффициентами на примере кубического уравнения

В соответствии с формулами Виета взаимосвязь корней многочлена с его коэффициентами имеет следующий вид:

Аналогичные соотношения можно составить для любого полинома степени n.

Способ №3. Разложение квадратного уравнения на множители с рациональными корнями

Из последней формулы Виета следует, что корни многочлена являются делителями его свободного члена и старшего коэффициента. В связи с этим, если в условии задачи задан многочлен степени n c целыми коэффициентами

то данный многочлен имеет рациональный корень (несократимая дробь), где p — делитель свободного члена , а q – делитель старшего коэффициента . В таком случае многочлен степени n можно представить в виде (теорема Безу):

Многочлен , степень которого на 1 меньше степени начального многочлена, определяется делением многочлена степени n двучлен , например, с помощью схемы Горнера или самым простым способом — «столбиком».

Пример 3.1. Необходимо разложить многочлен на множители

П.1. В связи с тем, что коэффициент при старшем слагаемом равен единицы, то рациональные корни данного многочлена являются делителями свободного члена выражения, т.е. могут быть целыми числами . Подставляем каждое из представленных чисел в исходное выражение найдем, что корень представленного многочлена равен .

Выполним деление исходного многочлена на двучлен:

Воспользуемся схемой Горнера

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена, при этом первая ячейка верхней строки остается пустой.

В первой ячейке второй строки записывается найденный корень (в рассматриваемом примере записывается число «2»), а следующие значения в ячейках вычисляются определенным образом и они являются коэффициентами многочлена, который получится в результате деления многочлена на двучлен. Неизвестные коэффициенты определяются следующим образом:

Во вторую ячейку второй строки переносится значение из соответствующей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере записывается число «1»).

В третью ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на вторую ячейку второй строки плюс значение из третьей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙1 -5 = -3).

В четвертую ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на третью ячейку второй строки плюс значение из четвертой ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙ (-3) +7 = 1).

Таким образом, исходный многочлен раскладывается на множители:

Способ №4. Использование формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения применяют для упрощения вычислений, а также разложение многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения позволяют упростить решение отдельных задач.

Формулы, используемые для разложения на множители

Простой способ разложения чисел на простые

Purplemath

Что такое «множители» числа?

«Множители» — это целые числа, которые нужно умножить, чтобы получить еще одно целое число. Например, делители 15 равны 3 и 5, потому что 3 × 5 = 15. Некоторые числа имеют более одной факторизации (более одного способа факторизации). Например, 12 можно разложить на множители как 1 × 1 2, 2 × 6, а также как 3 × 4.0007

Что такое «простое» число? Что такое «составное» число?

Число, которое можно разложить только на 1, умноженное на само себя, называется «простым». Первые несколько простых чисел — это 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Числа, имеющие «нетривиальные» делители (то есть числа, у которых есть делители, отличные от 1 и самого себя), являются «составными» числами, потому что они состоят из нетривиальных факторов.

Является ли 1 простым или составным числом?

Число 1 не считается простым и обычно не включается в факторизации, потому что 1 входит во все. Но 1 имеет только себя (дважды!) в качестве множителей, так что это тоже не составное число. Число 1 в этом контексте немного скучно, поэтому его в основном игнорируют.

Какова простая факторизация заданного числа?

Разложение числа на простые множители — это произведение всех простых множителей данного числа, включая количество раз, когда каждое из простых чисел является множителем. Простая факторизация не включает 1, но включает каждую копию каждого простого множителя. При разложении числа на множители чаще всего требуется найти «простую факторизацию» этого числа. Например, простая факторизация числа 8 равна 2×2×2, а не просто «2». Да, 2 — это единственный множитель, но вам нужно три его копии, чтобы умножить обратно на 8, поэтому простая факторизация включает все три копии.

простые множители 8: 2

простая факторизация 8: 2 × 2 × 2 = 2 ³

С другой стороны, простая факторизация включает ТОЛЬКО простые множители, а не любые произведения этих множителей. Например, хотя 2 × 2 = 4 и хотя 4 является делителем 8, 4 НЕ входит в ПРЕМЬ-фактор разложения 8. Это потому, что 8 НЕ равно 2 × 2 × 2 × 4.

Это случайное чрезмерное дублирование факторов — еще одна причина, по которой простая факторизация часто лучше: она позволяет избежать слишком большого количества подсчетов любого фактора.

Предположим, вам нужно найти разложение числа 24 на простые множители. Иногда учащийся просто перечисляет все делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24. Затем учащийся делает что-то вроде Произведите произведение всех этих делителей:

1 × 2 × 3 × 4 × 6 × 8 × 12 × 24

Но это равно 331776, а не 24. Поэтому лучше придерживаться простой факторизации, даже если задача не решается. не требуют этого, чтобы избежать пропуска фактора или его чрезмерного дублирования.

В случае 24 можно найти простое разложение, взяв 24 и разделив его на наименьшее простое число, входящее в число 24: 24 ÷ 2 = 12. (На самом деле «наименьшая» часть не так важна, как « «простая» часть; «наименьшая» часть в основном предназначена для облегчения вашей работы, потому что делить на меньшие числа проще.)

Теперь разделите наименьшее число, которое входит в 12: 12 ÷ 2 = 6.

Теперь разделите наименьшее число, входящее в число 6: 6 ÷ 2 = 3. И, поскольку 3 — простое число, вы закончили разложение на множители, и разложение на простые множители равно 2 × 2 × 2 × 3.

Какой простой способ провести разложение на простые множители?

Простой способ отследить разложение на множители — выполнить деление в обратном порядке; это выглядит так:

(Рисунок выше анимирован на «живой» странице.)

Преимущество этого перевернутого деления в том, что, когда вы закончите, простая факторизация будет произведением все цифры вокруг снаружи. Факторы обведены красным выше. Кстати, это перевернутое деление, вероятно, следует делать на бумаге для заметок, а не сдавать в качестве домашнего задания.

---

Что является примером простой факторизации?

• Найдите простую факторизацию числа 1050.

Я проведу перевернутое деление:

(Рисунок выше анимирован на «живой» странице.)

Почитав снаружи, я обнаружил, что мой ответ таков:

1050 = 2 × 3 × 5 × 5 × 7

Некоторые тексты предпочитают, чтобы такие ответы были записаны с использованием экспоненциальной записи, и в этом случае окончательный ответ будет записан как 2 × 3 × 5 ² ×7.

При желании вы также можете выполнить повторное деление «лицом вверх». Процесс работает так же, но деление имеет обратную ориентацию. Приведенную выше задачу можно было бы решить следующим образом:

---

• Найдите простую факторизацию числа 1092.

Я проведу повторное деление:

Читая снаружи, я вижу, что простая факторизация:

1092 = 2 × 2 × 3 × 7 × 13

Этот ответ также можно записать в экспоненциальной записи. как 2 ²  × 3 × 7 × 13.

---

В чем разница между нахождением простых множителей числа и нахождением простой факторизации этого числа?

Нахождение простых множителей числа начинается с деления числа на различные простые числа, пока вы не найдете все простые числа, которые делятся на это число; результатом является список простых чисел, которые являются факторами. С другой стороны, нахождение простой факторизации числа начинается с того же процесса деления, но заканчивается произведением простых множителей, показывающим каждую копию каждого простого числа, которая необходима для получения исходного числа. Для числа 900, разница выглядит так:

простых множителей: 2, 3, 5
простая факторизация: 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5

Какие правила делимости могут помочь при простой факторизации?

Существует множество правил делимости, которые могут помочь вам в разложении на простые множители, но проще всего использовать следующие:

• Если число четное, то оно делится на 2.
• Если сумма цифр числа дает число, которое делится на 3, то и само число делится на 3.
• Если число заканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5.

Конечно, если число дважды делится на 2, то оно делится и на 4; если оно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6; и если оно дважды делится на 3 (или если сумма цифр делится на 9), то оно делится на 9. Но поскольку вы находите простую факторизацию, вас не волнуют эти непростые правила делимости .

Существуют правила делимости на 7 (например, здесь и здесь), но вам, вероятно, будет проще просто выполнить деление на калькуляторе и посмотреть, получится ли в результате деления целое число. (Если вам интересно, вы можете использовать круговую диаграмму или метод удвоения единиц, который вы можете применять столько раз, сколько необходимо.)

Если у вас закончились маленькие простые числа и вы еще не закончили разложение, продолжайте пробовать все большие и большие простые числа (11, 13, 17, 19, 23 и т. д.) до тех пор, пока вы не найдете что-то, что работает, или пока вы не найдете простые числа, квадраты которых больше, чем то, на что вы делите.

Почему вы перестаете пытаться найти простые делители, когда эти простые числа больше, чем квадратный корень из того, что осталось?

Если ваше простое число не делится ни на какой результат, который вы пытаетесь разложить на множители, то единственными потенциальными простыми делителями этого результата являются еще большие простые числа. Поскольку квадрат вашего простого числа больше, чем число, на которое вы пытаетесь разделить, то большее простое число должно иметь в остатке еще меньшее число, чем ваше простое число. Единственное оставшееся меньшее число, поскольку все меньшие простые числа были удалены, — это 1. Таким образом, оставшееся число должно быть простым, и все готово.

---

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в нахождении простой факторизации. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.

Пожалуйста, примите файлы cookie «предпочтения», чтобы включить этот виджет.

(Нажав «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответов виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления.)

---

URL-адрес: https://www.purplemath.com/modules/factnumb.htm

производительность — почему целочисленная факторизация не полиномиальное время?

15

Новинка! Сохраняйте вопросы или ответы и организуйте свой любимый контент.
Узнать больше.

Я только новичок в информатике. Я кое-что узнал о времени выполнения, но не уверен, что понял правильно. Пожалуйста, помогите мне.

Таким образом, целочисленная факторизация в настоящее время не является проблемой полиномиального времени, а проверка простоты. Предположим, что число, которое нужно проверить, равно n. Если мы запустим программу только для того, чтобы решить, может ли любое число от 1 до sqrt(n) разделить n, и если ответ да, то сохранить число. Я думаю, что эта программа работает с полиномиальным временем, не так ли?

Возможно, я ошибаюсь, если программа факторизации должна находить все простые числа, а не первое обнаруженное простое число. Так что, возможно, это и есть причина.

Однако в криптографии с открытым ключом нахождение простого множителя большого числа необходимо для атаки на криптографию. Поскольку обычно большое число (открытый ключ) является всего лишь произведением двух простых чисел, найти одно простое означает найти другое. Это должно быть полиномиальное время. Так почему же трудно или невозможно атаковать?

• производительность
• криптография
• rsa
• шифрование с открытым ключом
• факторизация

3

Случайные описания сложности, такие как «алгоритм полиномиального факторинга», обычно относятся к сложности по отношению к размеру входных данных, а не к интерпретации входных данных. Поэтому, когда люди говорят «неизвестный полиномиальный алгоритм факторизации», они имеют в виду, что не существует известного алгоритма факторизации 9 Н .

1

Сложность факторизации — одна из тех красивых математических задач, которую легко понять и которая сразу же выводит вас на грань человеческого знания. Подводя итог (сегодняшним) знаниям по этому вопросу: мы не знаем, почему это сложно, не с какой-либо степенью доказательства, и лучшие методы, которые мы запускали, за более чем полиномиальное время (но также значительно меньше, чем экспоненциальное время). Результат проверки простоты даже в P появился довольно недавно; см. связанную страницу Википедии.

Лучшее эвристическое объяснение этой трудности, которое я знаю, состоит в том, что простые числа распределяются случайным образом. Одним из самых простых для понимания результатов является теорема Дирихле. Эта теорема говорит, что каждая арифметическая прогрессия содержит бесконечно много простых чисел, другими словами, вы можете думать о простых числах как о плотных по отношению к прогрессиям, то есть вы не можете не столкнуться с ними. Это самый простой из довольно большого набора таких результатов; во всех них простые числа появляются во многом аналогично случайным числам.

Таким образом, сложность факторинга аналогична невозможности реверсирования одноразового блокнота. В одноразовом блокноте есть часть, которую мы не знаем, XOR с другой, которой мы не знаем. Мы получаем нулевую информацию об отдельном бите, зная результат XOR. Замените «бит» на «простое» и умножение на «исключающее ИЛИ», и у вас возникнет проблема факторинга. Это как если бы вы перемножили два случайных числа вместе и получили очень мало информации от продукта (вместо нуля информации).

Если мы запустим программу только для того, чтобы решить, может ли каждое число от 1 до sqrt(n) делить n, и если ответ да, то сохранить число.

Даже не обращая внимания на то, что тест на делимость займет больше времени для больших чисел, этот подход займет почти вдвое больше времени, если вы просто добавите одну (двоичную) цифру к n . (На самом деле это займет в два раза больше времени, если вы добавите две цифры)

Я думаю, что это определение экспоненциального времени выполнения: если n на один бит длиннее, алгоритм будет работать в два раза дольше.

Но обратите внимание, что это наблюдение относится только к предложенному вами алгоритму. До сих пор неизвестно, является ли целочисленная факторизация полиномиальной или нет. Криптографы надеются, что это не так, но есть и альтернативные алгоритмы, которые не зависят от сложности простой факторизации (например, криптография на эллиптических кривых), на всякий случай…

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Теоретический подход к спектральной факторизации нестабилен

Теоретический подход к спектральной факторизации нестабилен

Скачать PDF

• Короткая бумага
• Открытый доступ
• Опубликовано: 30 августа 2021 г.

• Михал Меллер ORCID: orcid.org/0000-0001-5964-7085 ¹ и
• Адам Ласота ¹  

Схемы, системы и обработка сигналов том 41 , страницы 1201–1206 (2022)Процитировать эту статью

• 502 доступа

• Сведения о показателях

Abstract

Выполнен анализ локальной устойчивости недавно предложенного рекурсивного подхода на основе обратной связи к спектральной факторизации. Установлено, что метод не дает гарантий стабильности. Интересно, что его глобальное поведение часто позволяет получить разумные приближения спектральных факторизаций, если используется подходящий критерий остановки. 9{-1})\) и «отражая» тех, кто находится за пределами единичного круга, внутрь его, \(z_0 \leftarrow 1/z_0\). Для полиномов высоких степеней спектральная факторизация остается сложной задачей из-за высокой сложности вычислений и чувствительности численного решения непосредственно для корней. Для решения этой задачи, а также для решения более общей задачи факторизации многомерных рациональных спектральных плотностей было разработано несколько методов, и читатель может найти более подробную информацию, например, в [1, 3, 4, 6, 11, 12]. и примеры.

К сожалению, большинство существующих подходов не подходят для встраиваемых приложений, которые требуют выполнения спектральной факторизации онлайн в режиме реального времени, таких как итеративное обучение с активным контролем шума [7]. Примечательным исключением из этого правила является схема спектральной факторизации, вдохновленная теорией управления, предложенная в [10]. Этот метод удивительно прост и может быть реализован даже на самых плохих микроконтроллерах. Спектральная факторизация получается в процессе итеративного уточнения, включающего отрицательную обратную связь.

Несмотря на то, что в теории управления очень хорошо известно, что сама по себе обратная связь не гарантирует устойчивости, анализ устойчивости алгоритма не проводился. Фактически, наш опыт работы с этим методом показал, что он часто расходится. В данной работе с помощью аналитического подхода показано, что метод в общем случае не гарантирует устойчивости сходимости независимо от значения используемого параметра размера шага.

Анализ устойчивости

Предварительные сведения

В этой статье мы рассмотрим только одномерный случай, так как это упрощает обсуждение. Чтобы быстро продемонстрировать неустойчивость в многомерном случае [9{-1})\right] _{-}\;, \end{aligned}$$

(8)

где

$$\begin{aligned} \varvec{M}=-(\varvec{ M}_1+\varvec{M}_2) \end{aligned}$$

(9)

и \(\varvec{M}_1\), \(\varvec{M}_2\) — тёплицевы и матрицы Ганкеля следующих форм

(10)

Ассоциированное ОДУ локально устойчиво тогда и только тогда, когда все собственные значения \(\varvec{M}\) имеют строго отрицательные вещественные части. 2\) и остановка алгоритма, когда он начинает расти, может позволить получить аппроксимацию спектральных факторизаций с точностью, которая может быть достаточной для некоторых Приложения. Тем не менее в алгоритме просто нет гарантий, что такое поведение будет иметь место и что такая эвристическая модификация будет надежно работать. 9{N+1}\).

Ссылки

1. Б. Андерсон, К. Хитц, Н. Дим, Рекурсивный алгоритм спектральной факторизации. IEEE транс. Цепи Сист. 21 (6), 742–750 (1974)

   MathSciNet Статья Google ученый

2. К.Дж. Острём, Б. Виттенмарк, Adaptive Control (Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., Бостон, 1994)

   МАТЕМАТИКА Google ученый

3. Г. Баджо, А. Ферранте, О минимальных спектральных факторах с нулями и полюсами, лежащими в заданных областях. IEEE транс. автомат. Управление 61 (8), 2251–2255 (2016)

   MathSciNet Статья Google ученый

4. Г. Баджо, А. Ферранте, О факторизации рациональных спектральных плотностей дискретного времени. IEEE транс. автомат. Управление 61 (4), 969–981 (2016)

   MathSciNet Статья Google ученый

5. А. Бенвенист, М. Метивье, П. Приуре, Адаптивные алгоритмы и стохастические аппроксимации (Springer-Verlag, 1990)

6. Г. Джанашия, Э. Лагвилава, Л. Эфремидзе матричная спектральная факторизация. IEEE транс. Инф. Теория 57 (4), 2318–2326 (2011)

   MathSciNet Статья Google ученый

7. А. Ласота, М. Меллер, Итеративный подход к обучению для активного контроля шума высокоавтокоррелированных сигналов с приложениями к машинному шуму. Сигнальный процесс IET. 14 , 560–568 (2020)

   Артикул Google ученый

8. Л. Юнг, Анализ рекурсивных стохастических алгоритмов. IEEE транс. автомат. Контроль 22 (4), 551–575 (1977). https://doi.org/10.1109/TAC.1977.1101561

   MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

9. Т. Мойр, Теоретико-управляющий подход к проблеме многомерной спектральной факторизации. Электрон. лат. 45 (1), 1215–1216 (2009)

   MathSciNet Статья Google ученый

10. Т. Мойр, Теоретико-управляющий подход к проблеме полиномиальной спектральной факторизации. Цепи Сист. Сигнальный процесс. 30 , 987–998 (2011). https://doi.org/10.1007/s00034-011-9270-4

    MathSciNet Статья Google ученый

11. «>

    Дж. Риссанен, Алгоритмы треугольной декомпозиции блочных ганкелевых и теплицевых матриц с применением к разложению на множители положительных матричных полиномов. Мат. вычисл. 27 (121), 147–154 (1973)

    MathSciNet Статья Google ученый

12. А. Х. Сайед, Т. Кайлат, Обзор методов спектральной факторизации. Число. Приложение линейной алгебры. 8 (6–7), 467–496 (2001). https://doi.org/10.1002/nla.250

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

13. Х.Л. Ван Трис, К.Л. Белл, З. Тиан, Теория обнаружения, оценки и модуляции (Теория обнаружения, оценки и фильтрации, часть I (Wiley, 2013)

14. Н. Винер, Экстраполяция, интерполяция и сглаживание стационарных временных рядов (Wiley, Нью-Йорк, 1949)

    Книга Google ученый

Скачать ссылки

Информация об авторе

Авторы и организации

1. Кафедра автоматического управления, Факультет электроники, телекоммуникаций и информатики, Гданьский технический университет, Нарутовича 11/12, Гданьск 80-233

   Михал Меллер и Адам Ласота

Авторы

1. Михал Меллер

   Просмотр публикаций автора

   Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

2. Adam Lasota

   Просмотр публикаций автора

   Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

Автор, ответственный за корреспонденцию

Михал Меллер.

Дополнительная информация

Примечание издателя

Springer Nature остается нейтральной в отношении юрисдикционных претензий в опубликованных картах и ​​институциональной принадлежности.

Права и разрешения

Открытый доступ Эта статья находится под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 International License, которая разрешает использование, совместное использование, адаптацию, распространение и воспроизведение на любом носителе или в любом формате, при условии, что вы указываете соответствующие права на оригинальный автор(ы) и источник, предоставьте ссылку на лицензию Creative Commons и укажите, были ли внесены изменения. Изображения или другие сторонние материалы в этой статье включены в лицензию Creative Commons на статью, если иное не указано в кредитной строке материала. Если материал не включен в лицензию Creative Commons статьи, а ваше предполагаемое использование не разрешено законом или выходит за рамки разрешенного использования, вам необходимо получить разрешение непосредственно от правообладателя.