Разложения на множители правило: Разложение на множители — урок. Алгебра, 7 класс.

{2}+8ab)$»],»explanations»:[«Выносим $8ab$ за скобки»,»»,»»,»»],»answer»:[0]}}}]}

Разложение многочленов на множители. Как разложить на множители алгебраическое уравнение

Разложение многочленов на множители – это тождественное преобразование, в результате которого многочлен преобразуется в произведение нескольких сомножителей – многочленов или одночленов.

Существует несколько способов разложения многочленов на множители.

Способ 1. Вынесение общего множителя за скобку.

Это преобразование основывается на распределительном законе умножения: ac + bc = c(a + b). Суть преобразования заключается в том, чтобы выделить в двух рассматриваемых компонентах общий множитель и «вынести» его за скобки.

Разложим на множители многочлен 28х 3 – 35х 4 .

Решение.

1. Находим у элементов 28х 3 и 35х 4 общий делитель. Для 28 и 35 это будет 7; для х 3 и х 4 – х 3 . Иными словами, наш общий множитель 7х 3 .

2. Каждый из элементов представляем в виде произведения множителей, один из которых
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х.

3. Выносим за скобки общий множитель
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х = 7х 3 (4 – 5х).

Способ 2. Использование формул сокращенного умножения. «Мастерство» владением этим способом состоит в том, чтобы заметить в выражении одну из формул сокращенного умножения.

Разложим на множители многочлен х 6 – 1.

Решение.

1. К данному выражению мы можем применить формулу разности квадратов. Для этого представим х 6 как (х 3) 2 , а 1 как 1 2 , т.е. 1. Выражение примет вид:
(х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1).

2. К полученному выражению мы можем применить формулу суммы и разности кубов:
(х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).

Итак,
х 6 – 1 = (х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).

Способ 3. Группировка. Способ группировки заключается в объединение компонентов многочлена таким образом, чтобы над ними было легко совершать действия (сложение, вычитание, вынесение общего множителя).

Разложим на множители многочлен х 3 – 3х 2 + 5х – 15.

Решение.

1. Сгруппируем компоненты таким образом: 1-ый со 2-ым, а 3-ий с 4-ым
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15).

2. В получившемся выражении вынесем общие множители за скобки: х 2 в первом случае и 5 – во втором.
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3).

3. Выносим за скобки общий множитель х – 3 и получаем:
х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3)(х 2 + 5).

Итак,
х 3 – 3х 2 + 5х – 15 = (х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3) ∙ (х 2 + 5).

Закрепим материал.

Разложить на множители многочлен a 2 – 7ab + 12b 2 .

Решение.

1. Представим одночлен 7ab в виде суммы 3ab + 4ab. Выражение примет вид:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Раскроем скобки и получим:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 .

2. Сгруппируем компоненты многочлена таким образом: 1-ый со 2-ым и 3-ий с 4-ым. Получим:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Вынесем за скобки общие множители:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = а(а – 3b) – 4b(а – 3b).

4. Вынесем за скобки общий множитель (а – 3b):
а(а – 3b) – 4b(а – 3b) = (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

Итак,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= а(а – 3b) – 4b(а – 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Рассматривая умножение многочленов, мы запомнили несколько формул, а именно: формулы для (a + b)², для (a – b)², для (a + b) (a – b), для (a + b)³ и для (a – b)³.

Если данный многочлен окажется совпадающим с одною из этих формул, то его явится возможным разложить на множители. Напр., многочлен a² – 2ab + b², мы знаем, равен (a – b)² [или (a – b) · (a – b), т. е. удалось a² – 2ab + b² разложить на 2 множителя]; также

Рассмотрим второй из этих примеров. Мы видим, что данный здесь многочлен подходит к формуле, получающейся от возведения в квадрат разности двух чисел (квадрат первого числа, минус произведение двойки на первое число и на второе, плюс квадрат второго числа): x 6 есть квадрат первого числа, а, следовательно, само первое число есть x 3 , квадратом второго числа является последний член данного многочлена, т. е. 1, само второе число есть, следовательно, также 1; произведением двойки на первое число и на второе является член –2x 3 , ибо 2x 3 = 2 · x 3 · 1. Поэтому наш многочлен получился от возведения в квадрат разности чисел x 3 и 1, т. е. он равен (x 3 – 1) 2 . Рассмотрим еще 4-ый пример. Мы видим, что данный многочлен a 2 b 2 – 25 можно рассматривать, как разность квадратов двух чисел, а именно квадратом первого числа служит a 2 b 2 , следовательно, само первое число есть ab, квадратом второго числа является 25, почему само второе число есть 5. Поэтому наш многочлен можно рассматривать получившимся от умножения суммы двух чисел на их разность, т. е.

(ab + 5) (ab – 5).

Иногда случается, что в данном многочлене члены расположены не в том порядке, к которому мы привыкли, напр.

9a 2 + b 2 + 6ab – мысленно мы можем переставить второй и третий члены, и тогда нам станет ясным, что наш трехчлен = (3a + b) 2 .

… (переставим мысленно первый и второй члены).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2 и т. п.

Рассмотрим еще многочлен

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Мы видим, что первый член его представляет собою квадрат числа a и третий член представляет собою квадрат числа 2b, но второй член не является произведением двойки на первое число и на второе, – такое бы произведение было бы равно 2 · a · 2b = 4ab. Поэтому нельзя применить к этому многочлену формулу квадрата суммы двух чисел. Если бы кто написал, что a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2 , то это было бы неверно – надо тщательно рассмотреть все члены многочлена, прежде чем применять к нему разложение на множители по формулам.

40. Соединение обоих приемов . Иногда при разложении многочленов на множители приходится комбинировать и прием вынесения общего множителя за скобки и прием применения формул. Вот примеры:

1. 2a 3 – 2ab 2 . Вынесем сначала общего множителя 2a за скобки, – получим 2a (a 2 – b 2). Множитель a 2 – b 2 , в свою очередь, разлагается по формуле на множители (a + b) и (a – b).

Иногда приходится применять прием разложения по формулам многократно:

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

Мы видим, что первый множитель a 2 + b 2 не подходит ни к одной из знакомых формул; мало того, вспоминая особые случаи деления (п. 37), мы установим, что a 2 + b 2 (сумма квадратов двух чисел) вовсе на множители не раскладывается. Второй из полученных множителей a 2 – b 2 (разность квадратом двух чисел) разлагается на множители (a + b) и (a – b). Итак,

41. Применение особых случаев деления . На основании п. 37 мы можем сразу написать, что, напр.,

В общем случае эта задача предполагает творческий подход, так как не существует универсального метода ее решения. Но все же попробуем дать несколько наводок.

В подавляющем числе случаев, разложение многочлена на множители основано на следствии из теоремы Безу, то есть находится или подбирается корень и понижается степень многочлена на единицу делением на . У полученного многочлена ищется корень и процесс повторяется до полного разложения.

Если же корень найти не удается, то используются специфические способы разложения: от группировки, до ввода дополнительных взаимоисключающих слагаемых.

Дальнейшее изложение базируется на навыках решения уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.

Вынесение за скобки общего множителя.

Начнем с простейшего случая, когда свободный член равен нулю, то есть многочлен имеет вид .

Очевидно, что корнем такого многочлена является , то есть многочлен представим в виде .

Этот способ есть ни что иное как вынесение общего множителя за скобки .

Пример.

Разложить многочлен третьей степени на множители.

Решение.

Очевидно, что является корнем многочлена, то есть х можно вынести за скобки:

Найдем корни квадратного трехчлена

Таким образом,

К началу страницы

Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.

Сначала рассмотрим способ разложения многочлена с целыми коэффициентами вида , коэффициент при старшей степени равен единице.

В этом случае, если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Пример.

Решение.

Проверим, имеются ли целые корни. Для этого выписываем делители числа -18 : . То есть, если многочлен имеет целые корни, то они находятся среди выписанных чисел. Последовательно проверим эти числа по схеме Горнера. Ее удобство еще и в том, что в итоге получим и коэффициенты разложения многочлена:

То есть, х=2 и х=-3 являются корнями исходного многочлена и он представим в виде произведения:

Осталось разложить квадратный трехчлен .

Дискриминант этого трехчлена отрицательный, следовательно, он не имеет действительных корней.

Ответ:

Замечание:

вместо схемы Горнера можно было воспользоваться подбором корня и последующим делением многочлена на многочлен.

Теперь рассмотрим разложение многочлена с целыми коэффициентами вида , причем коэффициент при старшей степени не равен единице.

В этом случае многочлен может иметь дробно рациональные корни.

Пример.

Разложить на множители выражение .

Решение.

Выполнив замену переменной y=2x , перейдем к многочлену с коэффициентом равным единице при старшей степени. Для этого сначала домножим выражение на 4 .

Если полученная функция имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем их:

Вычислим последовательно значения функции g(y) в этих точках до получения нуля.

Что такое разложение на множители? Это способ превращения неудобного и сложного примера в простой и симпатичный.) Оч-ч-чень мощный приём! Встречается на каждом шагу и в элементарной математике, и в высшей.

Подобные превращения на математическом языке называются тождественными преобразованиями выражений. Кто не в теме — прогуляйтесь по ссылке. Там совсем немного, просто и полезно.) Смысл любого тождественного преобразования — это запись выражения в другом виде с сохранением его сути.

Смысл разложения на множители предельно прост и понятен. Прямо из самого названия. Можно забыть (или не знать), что такое множитель, но то, что это слово происходит от слова «умножить» сообразить-то можно?) Разложить на множители означает: представить выражение в виде умножения чего-то на чего-то. Да простят мне математика и русский язык…) И всё.

Например, надо разложить число 12. Можно смело записать:

Вот мы и представили число 12 в виде умножения 3 на 4. Прошу заметить, что циферки справа (3 и 4) совсем другие, чем слева (1 и 2). Но мы прекрасно понимаем, что 12 и 3·4 одно и то же. Суть числа 12 от преобразования не изменилась.

А можно разложить 12 по-другому? Легко!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=……..

Вариантов разложения — бесконечное количество.

Разложение чисел на множители — штука полезная. Очень помогает, например, при действиях с корнями. Но разложение на множители алгебраических выражений вещь не то, что полезная, она — необходимая! Чисто для примера:

Упростить:

Кто не умеете раскладывать выражение на множители, отдыхает в сторонке. Кто умеет — упрощает и получает:

Эффект потрясающий, правда?) Кстати, решение достаточно простое. Ниже сами увидите. Или, например, такое задание:

Решить уравнение:

х 5 — x 4 = 0

Решается в уме, между прочим. С помощью разложения на множители. Ниже мы решим этот пример. Ответ: x 1 = 0; x 2 = 1 .

Или, то же самое, но для старшеньких):

Решить уравнение:

На этих примерах я показал основное назначение разложения на множители: упрощение дробных выражений и решение некоторых типов уравнений. Рекомендую запомнить практическое правило:

Если перед нами страшное дробное выражение, можно попробовать разложить на множители числитель и знаменатель. Очень часто дробь сокращается и упрощается.

Если перед нами уравнение, где справа — ноль, а слева — не пойми что, можно попробовать разложить левую часть на множители. Иногда помогает).

Основные способы разложения на множители.

Вот они, самые популярные способы:

4. Разложение квадратного трёхчлена.

Эти способы надо запомнить. Именно в таком порядке. Сложные примеры проверяются на все возможные способы разложения. И лучше уж проверять по порядочку, чтобы не запутаться… Вот по порядочку и начнём.)

1. Вынесение общего множителя за скобки.

Простой и надёжный способ. От него плохо не бывает! Бывает либо хорошо, либо никак.) Поэтому он и стоит первым. Разбираемся.

Все знают (я верю!)) правило:

a(b+c) = ab+ac

Или, в более общем виде:

a(b+c+d+…..) = ab+ac+ad+….

Все равенства работают как слева направо, так и наоборот, справа налево. Можно записать:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+…. = a(b+c+d+…..)

Вот и вся суть вынесения общего множителя за скобки.

В левой части а — общий множитель для всех слагаемых. Умножается на всё, что есть). Справа это самое а находится уже за скобками.

Практическое применение способа рассмотрим на примерах. Сначала вариант простой, даже примитивный.) Но на этом варианте я отмечу (зелёным цветом) очень важные моменты для любого разложения на множители.

Разложить на множители:

ах+9х

Какой общий множитель сидит в обоих слагаемых? Икс, разумеется! Его и будем выносить за скобки. Делаем так. Сразу пишем икс за скобками:

ах+9х=х(

А в скобках пишем результат деления каждого слагаемого на этот самый икс. По порядочку:

Вот и всё. Конечно, так подробно расписывать не нужно, Это в уме делается. Но понимать, что к чему, желательно). Фиксируем в памяти:

Пишем общий множитель за скобками. В скобках записываем результаты деления всех слагаемых на этот самый общий множитель. По порядочку.

Вот мы и разложили выражение ах+9х на множители. Превратили его в умножение икса на (а+9). Замечу, что в исходном выражении тоже было умножение, даже два: а·х и 9·х. Но оно не было разложено на множители! Потому, что кроме умножения, в этом выражении было ещё и сложение, знак «+»! А в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет!

Как так!? — слышу возмущённый глас народа — А в скобках!?)

Да, внутри скобок есть сложение. Но фишка в том, что пока скобки не раскрыты, мы рассматриваем их как одну букву. И все действия со скобками делаем целиком, как с одной буквой. В этом смысле в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет. В этом вся суть разложения на множители.

Кстати, можно ли как-то проверить, всё ли правильно мы сделали? Запросто! Достаточно обратно умножить то, что вынесли (икс) на скобки и посмотреть — получилось ли исходное выражение? Если получилось, всё тип-топ!)

х(а+9)=ах+9х

Получилось.)

В этом примитивном примере проблем нет. Но если слагаемых несколько, да ещё с разными знаками… Короче, каждый третий ученик косячит). Посему:

При необходимости проверяем разложение на множители обратным умножением.

Разложить на множители:

3ах+9х

Ищем общий множитель. Ну, с иксом всё ясно, его можно вынести. А есть ли ещё общий множитель? Да! Это тройка. Можно же записать выражение вот так:

3ах+3·3х

Здесь сразу видно, что общий множителем будет 3х . Вот его и выносим:

3ах+3·3х=3х(а+3)

Разложили.

А что будет, если вынести только х? Да ничего особенного:

3ах+9х=х(3а+9)

Это тоже будет разложение на множители. Но в этом увлекательном процессе принято раскладывать всё до упора, пока есть возможность. Здесь в скобках есть возможность вынести тройку. Получится:

3ах+9х=х(3а+9)=3х(а+3)

То же самое, только с одним лишним действием.) Запоминаем:

При вынесении общего множителя за скобки, стараемся вынести максимальный общий множитель.

Продолжаем развлечение?)

Разложить на множители выражение:

3ах+9х-8а-24

Что будем выносить? Тройку, икс? Не-е-е… Нельзя. Напоминаю, выносить можно только общий множитель, который есть во всех слагаемых выражения. На то он и общий. Здесь такого множителя нету… Что, можно не раскладывать!? Ну да, обрадовались, как же… Знакомьтесь:

2. Группировка.

Собственно, группировку трудно назвать самостоятельным способом разложения на множители. Это, скорее, способ выкрутиться в сложном примере.) Надо сгруппировать слагаемые так, чтобы всё получилось. Это только на примере показать можно. Итак, перед нами выражение:

3ах+9х-8а-24

Видно, что какие-то общие буквы и числа имеются. Но… Общего множителя, чтобы был во всех слагаемых — нет. Не падаем духом и разбиваем выражение на кусочки. Группируем. Так, чтобы в каждом кусочке был общий множитель, было чего вынести. Как разбиваем? Да просто ставим скобки.

Напомню, что скобки можно ставить где угодно и как угодно. Лишь бы суть примера не менялась. Например, можно так:

3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а+24 )

Прошу обратить внимание на вторые скобки! Перед ними стоит знак минус, а 8а и 24 стали положительными! Если, для проверки, обратно раскрыть скобки, знаки поменяются, и мы получим исходное выражение. Т.е. суть выражения от скобок не изменилась.

Но если вы просто воткнули скобки, не учитывая смену знака, например, вот так:

3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а-24 )

это будет ошибкой. Справа — уже другое выражение. Раскройте скобки и всё станет видно. Дальше можно не решать, да…)

Но возвращаемся к разложению на множители. Смотрим на первые скобки (3ах+9х) и соображаем, можно ли чего вынести? Ну, этот пример мы выше решали, можно вынести 3х:

(3ах+9х)=3х(а+3)

Изучаем вторые скобки, там можно вынести восьмёрку:

(8а+24)=8(а+3)

Всё наше выражение получится:

(3ах+9х)-(8а+24)=3х(а+3)-8(а+3)

Разложили на множители? Нет. В результате разложения должно получиться только умножение, а у нас знак минус всё портит. Но… В обоих слагаемых есть общий множитель! Это (а+3) . Я не зря говорил, что скобки целиком — это, как бы, одна буква. Значит, эти скобки можно вынести за скобки. Да, именно так и звучит.)

Делаем, как было рассказано выше. Пишем общий множитель (а+3) , во вторых скобках записываем результаты деления слагаемых на (а+3) :

3х(а+3)-8(а+3)=(а+3)(3х-8)

Всё! Справа кроме умножения ничего нет! Значит, разложение на множители завершено успешно!) Вот оно:

3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)

Повторим кратенько суть группировки.

Если в выражении нет общего множителя для всех слагаемых, разбиваем выражение скобками так, чтобы внутри скобок общий множитель был. Выносим его и смотрим, что получилось. Если повезло, и в скобках остались совершенно одинаковые выражения, выносим эти скобки за скобки.

Добавлю, что группировка — процесс творческий). Не всегда с первого раза получается. Ничего страшного. Иногда приходится менять слагаемые местами, рассматривать разные варианты группировки, пока не найдётся удачный. Главное здесь — не падать духом!)

Примеры.

Сейчас, обогатившись знаниями, можно и хитрые примеры порешать.) Была в начале урока тройка таких…

Упростить:

В сущности, этот пример мы уже решили. Незаметно для себя.) Напоминаю: если нам дана страшная дробь, пробуем разложить числитель и знаменатель на множители. Других вариантов упрощения просто нет.

Ну, знаменатель здесь не раскладывается, а числитель… Числитель мы уже разложили по ходу урока! Вот так:

3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)

Пишем результат разложения в числитель дроби:

По правилу сокращения дробей (основное свойство дроби), мы можем разделить (одновременно!) числитель и знаменатель на одно и то же число, или выражение. Дробь от этого не меняется. Вот и делим числитель и знаменатель на выражение (3х-8) . И там и там получим единички. Окончательный результат упрощения:

Особо подчеркну: сокращение дроби возможно тогда и только тогда, когда в числителе и знаменателе кроме умножения выражений ничего нет. Именно потому превращение суммы (разности) в умножение так важно для упрощения. Конечно, если выражения разные, то и не сократится ничего. Бывет. Но разложение на множители даёт шанс. Этого шанса без разложения — просто нет.

Пример с уравнением:

Решить уравнение:

х 5 — x 4 = 0

Выносим общий множитель х 4 за скобки. Получаем:

х 4 (x-1)=0

Соображаем, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда какой-нибудь из них равен нулю. Если сомневаетесь, найдите мне парочку ненулевых чисел, которые при умножении ноль дадут.) Вот и пишем, сначала первый множитель:

При таком равенстве второй множитель нас не волнует. Любой может быть, всё равно в итоге ноль получится. А какое число в четвёртой степени ноль даст? Только ноль! И никакое другое… Стало быть:

С первым множителем разобрались, один корень нашли. Разбираемся со вторым множителем. Теперь нас не волнует уже первый множитель.):

Вот и нашли решение: x 1 = 0; x 2 = 1 . Любой из этих корней подходит к нашему уравнению.

Очень важное замечание. Обратите внимание, мы решали уравнение по кусочкам! Каждый множитель приравнивали к нулю, не обращая внимания на остальные множители. Кстати, если в подобном уравнении будет не два множителя, как у нас, а три, пять, сколько угодно — решать будем точно так же. По кусочкам. Например:

(х-1)(х+5)(х-3)(х+2)=0

Тот, кто раскроет скобки, перемножит всё, тот навсегда зависнет на этом уравнении.) Правильный ученик сразу увидит, что слева кроме умножения ничего нет, справа — ноль. И начнёт (в уме!) приравнивать к нулю все скобочки по порядочку. И получит (за 10 секунд!) верное решение: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Здорово, правда?) Такое элегантное решение возможно, если левая часть уравнения разложена на множители. Намёк понятен?)

Ну и, последний пример, для старшеньких):

Решить уравнение:

Чем-то он похож на предыдущий, не находите?) Конечно. Самое время вспомнить, что в алгебре седьмого класса под буквами могут скрываться и синусы, и логарифмы, и всё, что угодно! Разложение на множители работает во всей математике.

Выносим общий множитель lg 4 x за скобки. Получаем:

lg 4 x=0

Это один корень. Разбираемся со вторым множителем.

Вот и окончательный ответ: x 1 = 1; x 2 = 10 .

Надеюсь, вы осознали всю мощь разложения на множители в упрощении дробей и решении уравнений.)

В этом уроке мы познакомились с вынесением общего множителя и группировкой. Остаётся разобраться с формулами сокращённого умножения и квадратным трёхчленом.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас. )

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Линейная факторизация и правило знаков Декарта

Результаты обучения

• Используйте теорему о линейной факторизации, чтобы найти многочлены с заданными нулями.
• Используйте правило знаков Декарта, чтобы определить максимальное число возможных действительных нулей полиномиальной функции
• Решайте практические приложения полиномиальных уравнений.

Жизненно важным следствием Фундаментальной теоремы алгебры является то, что полиномиальная функция степени n  будет иметь n нулей в наборе комплексных чисел, если мы допускаем кратности. Это означает, что мы можем разложить полиномиальную функцию на n множителей. Теорема о линейной факторизации говорит нам, что полиномиальная функция будет иметь столько же множителей, сколько и ее степень, и каждый множитель будет иметь вид ( x – c ), где c   – комплексное число.

Пусть f  является полиномиальной функцией с вещественными коэффициентами и предположим, что [latex]a+bi\text{, }b\ne 0[/latex], является нулем [latex]f\left(x\right) [/латекс]. Тогда по теореме о факторах [латекс]x-\left(a+bi\right)[/latex] является фактором [latex]f\left(x\right)[/latex]. Для f  чтобы иметь действительные коэффициенты, [латекс]x-\left(a-bi\right)[/latex] должен также быть множителем [latex]f\left(x\right)[/latex]. Это верно, потому что любой множитель, кроме [латекс]x-\left(a-bi\right)[/latex], при умножении на [latex]x-\left(a+bi\right)[/latex] будет оставить мнимые компоненты в продукте. Только умножение с сопряженными парами устранит мнимые части и даст действительные коэффициенты. Другими словами, если полиномиальная функция f  с действительными коэффициентами имеет комплексный нуль [латекс]а+би[/латекс], тогда комплексно-сопряженная функция [латекс]а-би[/латекс] должна также быть нулем [ латекс]f\влево(х\вправо)[/латекс]. Это называется Комплексно-сопряженная теорема .

Общее примечание: Теорема комплексного сопряжения

Согласно теореме о линейной факторизации , полиномиальная функция будет иметь такое же количество множителей, как и ее степень, и каждый множитель будет иметь вид [латекс]\left(x-c\ right)[/latex], где c  – комплексное число.

Если полиномиальная функция f  имеет вещественные коэффициенты и комплексный нуль в форме [латекс]а+би[/латекс], тогда комплексно-сопряженным нулем, [латекс]а-би[/латекс], является тоже ноль.

Как сделать: Даны нули полиномиальной функции [latex]f[/latex] и точка [latex]\left(c\text{, }f(c)\right)[/latex] на графике [latex]f[/latex], используйте теорему о линейной факторизации, чтобы найти полиномиальную функцию

1. Используйте нули для построения линейных множителей полинома.
2. Умножьте линейные коэффициенты, чтобы расширить полином.
3. Подставьте [latex]\left(c,f\left(c\right)\right)[/latex] в функцию, чтобы определить старший коэффициент.
4. Упростить.

Пример: использование теоремы о линейной факторизации для нахождения многочлена с заданными нулями

Найдите многочлен четвертой степени с действительными коэффициентами, который имеет нули –3, 2, i , такой, что [latex]f\left(-2 \справа)=100[/латекс].

Показать решение

Вопросы и ответы

Если 2 + 3 i  задать как ноль многочлена с действительными коэффициентами, должны ли 2 – 3 i также быть нулем?

Да. Когда любое комплексное число с мнимой составляющей задается как ноль многочлена с действительными коэффициентами, сопряженное число также должно быть нулем многочлена.

Попробуйте

Найдите полином третьей степени с действительными коэффициентами, который имеет нули 5 и –2 i  такой, что [латекс]f\влево(1\вправо)=10[/латекс].

Показать решение

Правило знаков Декарта

Существует простой способ определить возможное количество положительных и отрицательных действительных нулей для любой полиномиальной функции. Если многочлен записать в порядке убывания, 9{n — 1}+…+{a}_{1}x+{a}_{0}[/latex] – полиномиальная функция с действительными коэффициентами:

• Количество положительных действительных нулей либо равно числу изменений знака [latex]f\left(x\right)[/latex] или меньше числа изменений знака на четное целое число.
• Количество отрицательных действительных нулей либо равно количеству изменений знака [latex]f\left(-x\right)[/latex], либо меньше количества изменений знака на четное целое число.

Пример: Использование правила знаков Декарта 9{2}-15x+12[/латекс]. Используйте график, чтобы проверить количество положительных и отрицательных действительных нулей для функции.

Показать решение

Решение полиномиальных уравнений в реальных приложениях

Теперь мы представили множество инструментов для решения полиномиальных уравнений. Давайте воспользуемся этими инструментами для решения задачи о пекарне с самого начала раздела.

Пример: решение полиномиальных уравнений

Новая пекарня предлагает расписные торты для детских дней рождений и других особых случаев. Пекарня хочет, чтобы объем маленького пирога составлял 351 кубический дюйм. Торт имеет форму прямоугольного твердого тела. Они хотят, чтобы длина торта была на четыре дюйма больше ширины торта, а высота торта составляла одну треть его ширины. Какими должны быть размеры формы для торта?

Показать решение

Попробуйте

Транспортный контейнер в форме прямоугольного тела должен иметь объем 84 кубических метра. Клиент сообщает производителю, что из-за содержимого длина контейнера должна быть на один метр больше ширины, а высота должна быть на один метр больше, чем удвоенная ширина. Каковы должны быть размеры контейнера?

Показать решение

Поддержите!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Факторинг для решения проблем | Техасский шлюз

Давайте начнемВведение: Факторинг с помощью моделированияПравило факторинга 1: Наибольший общий делитель (GCF)Правило факторинга 2: Специальные продукты Факторинг Правило 3: Трехчлены со старшим коэффициентом 1Правило факторинга 4: Другие трехчлены Правило факторинга 5: Четыре или более терминовРешение задач с помощью факторингаСловарь ActivityJournal Activity

Стандарты TEKS и ожидания учащихся

A(10) Численные и алгебраические методы. Учащийся применяет стандарты математического процесса и алгебраические методы для перезаписи в эквивалентных формах и выполнения операций над полиномиальными выражениями. Ожидается, что учащийся:

A(10)(E) делит, если возможно, трехчлены с вещественными делителями в виде a x ² + b x + c, включая совершенные квадратные трехчлены второй степени

A(10)(F)  решить, можно ли записать бином как разность двух квадратов, и, если возможно, использовать структуру разности двух квадратов, чтобы переписать бином

A(10)(D) переписать полиномиальные выражения первой и второй степени в эквивалентных формах, используя свойство дистрибутивности

A(8)  Квадратичные функции и уравнения. Учащийся применяет стандарты математического процесса для решения квадратных уравнений с помощью технологий и без них и оценивает обоснованность их решений. Студент формулирует статистические зависимости и оценивает их обоснованность на основе реальных данных. Студент должен:

A(8)(A) решать квадратные уравнения, имеющие действительные решения, путем разложения на множители, извлечения квадратных корней, завершения квадрата и применения квадратной формулы методов решения задач факторингом, включая модели, догадки и проверки, группировку и частные случаи.

Основные вопросы

Каков процесс факторизации трехчлена со старшим коэффициентом 1?

Как разложить на множители трехчлен, если старший коэффициент не равен 1?

Как определить, можно ли использовать для факторизации правила разности двух квадратов, разности двух кубов или идеальных квадратов?

Когда применяется метод группировки факторинга?

Словарь

• Биномиальный
• Фактор
• GCF (наибольший общий делитель)
• Старший коэффициент
• Трехчлен
• Многочлен
• Квадратное уравнение

 

Один из способов найти факторы значения — использовать модели для создания прямоугольника. Длина и ширина представляют факторы.

Пример 1 : Факторы числа 12 можно представить тремя различными способами.

12 имеет в общей сложности 6 различных коэффициентов: 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Пример 2:  Алгебраические выражения также можно разложить на множители, используя плитки алгебры для создания прямоугольников. В приведенном ниже примере 2 x + 4 используется для создания прямоугольника.

Как видите, длина и ширина прямоугольника представляют собой коэффициенты 2 x + 4. Длина равна ( x + 2), а ширина равна 2. 

Коэффициенты 2 x + 4 равно 2 и ( х + 2).

Пример 3:  Трехчлены также можно разложить на множители с помощью алгебраических плиток. Трехчлен x ² + x — 6 может быть смоделирован следующим прямоугольником.

Длины сторон прямоугольника показывают множители x ² + x — 6 ( x + 3) и ( x — 2).

Когда будете готовы, выполните приведенные ниже два практических примера, чтобы проверить свое понимание.

Всегда проверяйте, можете ли вы что-то учесть!

Первое правило факторинга состоит в том, чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) каждого члена многочлена.

• Если в многочлене есть какие-либо общие множители, разделить каждый член на этот множитель.
• Затем перепишите полином, используя свойство дистрибутивности, с общим множителем за скобками.

Пример:

2×3- 2×2-12x

Все термины в примере имеют коэффициент, который делится на 2. Каждый термин также имеет x . Следовательно, GCF равен 2 x .

Когда 2 x выносится за скобки и применяется свойство распределения, результат равен

2x(x2- x — 6).

Проверьте свое понимание с помощью двух практических примеров ниже.

Биномы

Если вам дали бином для разложения, первое специальное произведение, которое нужно проверить, это разность двух квадратов.

Разность двух квадратов:

  a2-b2= (a — b)(a + b).

Если оба члена разделены символом вычитания и оба являются полными квадратами, то для записи множителей можно использовать квадратные корни.

Пример 1: Коэффициент 4×2-9y2:

• Термины разделены символом вычитания.
• Оба члена являются полными квадратами.

   (2x)2 и (3y)2

Согласно правилу разности двух квадратов множители будут (2x-3y)(2x+3y).

Трехчлены

Если вам дали трехчлен для разложения, первое специальное произведение, которое нужно проверить, — это трехчлен с совершенным квадратом.

Совершенные квадратные трехчлены:

a2+2ab+b2 = (a+b)2 или a2-2ab+b2 = (a-b)2

Если первый член – квадрат, последний – квадрат, а средний два раза квадратный корень из первого и последнего членов, то это полный квадрат. Есть две формы: одна с положительным средним термином и одна с отрицательным средним термином.

Пример 2: Коэффициент x2+6x+9

Обратите внимание, что первый и последний члены являются полными квадратами. Когда вы умножаете квадратный корень из x и 3 умножить на 2, вы получите 6 x  , что является средним значением. Согласно правилу, множители равны

(x+3)(x+3) или (x+3)2

оба идеальных квадрата. Когда вы умножаете квадратные корни из 2 x и 5 раз -2, вы получаете -20 x , что является средним членом. По правилу множители равны

(2x-5)(2x-5) или (2x-5)2

Проверьте свое понимание, выполнив практический пример ниже. Определите, какие многочлены можно разложить на множители с помощью специального правила произведения. Соотнесите каждый многочлен с типом специального произведения (первый пробел) и его множителями (второй пробел).

После проверки GCF и специальных продуктов найдите многочлены с тремя членами, у которых старший коэффициент равен 1. Если старший коэффициент равен 1, поместите x в качестве первого члена в каждом наборе скобок. Затем вы факторизуете последний член и находите два множителя, которые складываются или вычитаются, чтобы получить средний член.

Используйте практический пример для выполнения приведенного ниже задания.

Если старший коэффициент не равен 1, вы учитываете первый и последний члены и находите два произведения, которые складываются или вычитаются, чтобы получить средний член. Проверьте свой ответ с помощью проверки смайликов.

Используйте практический пример для выполнения приведенного ниже задания.

Если терминов четыре или более, необходимо сгруппировать их вместе, а затем разложить каждую часть.

Это можно сделать двумя способами — либо с помощью метода box, либо с помощью круглых скобок.

Метод с ячейками: 

1. Поместите все четыре термина в ячейку два на два.
2. Найдите GCF в каждом столбце и строке.
3. Включите знаки для каждого из факторов.
4. В результате получится два коэффициента: один по длине, другой по ширине.

Метод со скобками: 

1. Заключите в скобки первые два термина и еще один набор вокруг двух последних терминов.
2. Найдите GCF каждого набора скобок.
3. После того, как GCF вынесен за скобки, условия в каждом наборе скобок должны совпадать.
4. Факторами будут члены в скобках (из шага 3) и GCF за пределами каждого набора скобок (из шага 2).

 

Проверьте свое понимание, разложив на множители следующий полином (используя любой метод) и ответьте на вопросы ниже.

Некоторые задачи требуют решения квадратного уравнения. Чтобы решить эти задачи, установите множители равными 0 и решите для х .

Пример:

2×3 — 2×2 -12x = 2x (x2 — x — 6) = 2x (x — 3)(x + 2)

Чтобы решить эту задачу до 0 и решить для x .