Разложить число на делители: Онлайн калькулятор. Разложение числа на множители

Как разложить число на простые множители: алгоритм, примеры

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Разложение числа на простые множители

В данной публикации мы рассмотрим, что такое простые множители, и как любое число разложить на них. Теоретический материал сопроводим примерами для лучшего понимания.

• Алгоритм разложения числа на простые множители
• Примеры факторизации

Алгоритм разложения числа на простые множители

Для начала напомним, что простым называется натуральное число больше нуля, которое нацело делится только на само себя и единицу (“1” не является простым).

Если делителей больше двух, число считается составным, и его можно разложить на произведение простых множителей. Этот процесс называется факторизацией

, состоит из следующих шагов:

1. Убеждаемся в том, что заданное число не является простым. Если оно до 1000, то нам в этом может помочь таблица, представленная в отдельной публикации.
2. Перебираем все простые числа (от самого маленького) с целью нахождения делителя.
3. Выполняем деление, и для полученного частного проделываем шаг выше. Если требуется, повторяем это действие несколько раз, пока не получим в результате простое число.

Примеры факторизации

Пример 1

Разложим 63 на простые множители.

Решение:

1. Заданное число является составным, значит сделать факторизацию можно.
2. Наименьший простой делитель – это три. Частное от деления 63 на 3 равняется 21.
3. Число 21, также, делится на 3, давая в результате 7.
4. Семь – простое число, значит мы на нем останавливаемся.

Обычно разложение на множители оформляется примерно так:

Ответ: 63 = 3 · 3 · 7.

Пример 2

Пример 3

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Разложение числа на простые множители

Советы → Полезные сведения → Арифметика →

Рассмотрим, что такое простые и составные числа, что есть простые множители, а также на примере продемонстрируем алгоритм разложения числа на простые множители.

1. Понятие простых и составных чисел

Простым или первоначальным называют всякое целое число (за исключением единицы), которое делится только на единицу или само на себя. Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Существует бесконечное множество простых чисел. Единица к простым числам не относится.

Составным или сложным называют число, которое делится на единицу, само на себя и на другие числа. Например, 12 — это составное число, поскольку делится не только на 1 и 12, но еще и на 2, 3, 4, 6.

2. Алгоритм разложения составного числа на простые множители

Число, на которое делится составное число, называется

делителем или множителем этого составного числа. Последнее же по отношению к своему делителю называется кратным его. Например, число 12 есть кратное числа 2, а число 2 есть делитель числа 12.

Если множитель составного числа есть число простое, то его называют простым множителем. Всякое составное число может быть разложено на простые множители, то есть может быть представлено в виде произведения одних простых множителей и притом единственным способом.

Пример: 360 = 2³ ∙ 3² ∙ 5.

Для разложения числа на простые множители применяют следующий алгоритм. Для наглядности изобразим разложение в виде столбика.

Пусть требуется разложить на простые множители число 360. Пользуясь признаками делимости, выясняем, делится ли оно на наименьшее простое число, то есть на 2, без остатка. Оказывается, что делится, ведь это число четное. Тогда пишем число 360, проводим справа от него вертикальную черту и справа от черты пишем найденный делитель 2, а под числом 360 — частное от деления 360 на 2, то есть 180.

Далее с числом 180 поступаем так же и устанавливаем, что 180 тоже имеет 2 своим делителем. Пишем число 2 справа от 180, а под числом 180 записываем число 90, которое является частным от деления 180 на 2. Проводим такие же операции с числом 90: справа от него получаем снова число 2, а под ним — число 45. Последнее число уже не делится на два, и поэтому испытываем следующее по величине простое число 3.

Этот процесс испытаний продолжаем, пока в частном не получим 1. Числа, записанные справа от вертикальной черты, и составят все простые множители числа 360.

В итоге получаем, что разложение будет выглядеть следующим образом:

360 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5

Или запишем иначе: 360 = 23 ∙ 32 ∙ 5

Рисунок — Как разложить число на простые множители — алгоритм

---

Использованная лит-ра:
Справочник по элементарной математике — Выгодский М.Я., «Наука», 1974 г.
Справочник по математике. Пособие для учащихся 9—11 кл. — Шахно К. У., «Учпедгиз», 1961 г.

 

→ Читайте по теме: Признаки делимости чисел

→ Арифметика

→ В раздел Советы

При полной или частичной публикации статьи в Интернете обязательно указание активной гиперссылки на источник http://programmistan.narod.ru

делителей | Superprof

Чтобы выполнить операцию деления, вам необходимо понять механизм деления. Когда вы делите два числа, вам нужно учитывать разные вещи. Это делимое, делитель, частное и остаток. Обычно мы не придаем большого значения остатку, но это не значит, что он бесполезен. В этой теме мы обсудим важность делителей и их роль в операции деления.

Делители — это числа, на которые делится любое число. Например, мы хотим разделить на равные части. Для этого мы можем использовать делитель, который будет делить на равные части, не оставляя после себя ничего. Короче говоря, делители — это числа, которые помогают разделить делимое. В этот момент вы можете задаться вопросом, должен ли остаток быть равен нулю, чтобы назвать число делимым? Нет, в этом нет необходимости. Иногда делимое не может разделить любое число на равные части, и это нормально. Например, если мы разделим на , то это не будет точное деление, ответ будет и как видите, это не точное деление. Это означает, что мы получаем остаток, и это . Подытожим это деление, когда мы попытались разбить на равные части, мы получили равные части, но осталась небольшая часть, которая осталась неравной. Эта неравная часть остается в остатке, и чтобы получить все равные части, мы используем десятичный метод, чтобы разделить ее на равные части. В заключение, не обязательно, чтобы деление всегда было точным, оно может усложниться.

Однако, если деление точное, то делители также можно назвать множителями. Причина проста, факторы тоже означают деление, но условие в том, что деление должно быть точным делением. Если остаток равен нулю, это означает, что деление точное, и, следовательно, мы можем назвать делитель делимым. Например, у нас есть число , если мы разделим его на (делитель), то получим в остатке ноль. Следовательно, коэффициент . Давайте создадим еще один пример, мы выбрали новое число, если мы разделим его на , мы снова получим нулевой остаток. Следовательно, является коэффициентом .

Найдите репетитора по математике рядом со мной здесь, на Superprof.

Свойства делителей

Конечно, есть некоторые свойства делителей. Эти свойства определяют, что такое делитель. Ниже приведены все свойства.

1. Число, отличное от нуля, является делителем самого себя.
2. Единица является делителем всех чисел.
3. Любой делитель числа, отличного от нуля, меньше или равен ему, поэтому число делителей конечно.
4. Если число является делителем двух других, оно также является делителем их суммы и их разности.
5. Если одно число является делителем другого, оно также является делителем всех кратных этому числу.
6. Если число является делителем другого числа, а это число является делителем третьего числа, то первое число также является делителем третьего числа.

Лучшие репетиторы по математике

Поехали

Факторизация простых чисел

Лучший способ разложить любое число — разложить его на простые множители. Это не только упростит вашу работу, но и сэкономит массу времени. Чтобы разложить число на множители, выполните последовательные деления его простых делителей, чтобы получить единицу в качестве частного. Чтобы при делении использовалась вертикальная черта, справа напишите простые делители, а слева — частные.

Количество делителей

Количество делителей сообщает вам количество делителей определенного числа. Например, нам нужно найти количество делителей числа . Не волнуйтесь, мы расскажем вам, как найти количество делителей, а пока ответ . Это означает, что существует количество делителей для .

Чтобы получить количество делителей, нужно прибавить единицы к показателям степени и умножить полученные результаты.

Количество делителей

Арифметика | Британика

арифметика

Смотреть все СМИ

Ключевые люди:

аль-Караджи Джон Винсент Атанасов сэр Уильям Петти Никомах из Геразы Баха ад-дин Мухаммад ибн Хусейн аль-Амили

Похожие темы:

модульная арифметика коммутативный закон распределительный закон ассоциативный закон основная теорема арифметики

Просмотреть весь связанный контент →

Резюме

Прочтите краткий обзор этой темы

арифметика , раздел математики, в котором числа, отношения между числами и наблюдения над числами изучаются и используются для решения задач.

Арифметика (термин, образованный от греческого слова arithmos , «число») обычно относится к элементарным аспектам теории чисел, искусству измерения (измерения) и числовым вычислениям (то есть процессам сложения, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня). Однако его значение не было единообразным в математическом использовании. Выдающийся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс в Disquisitiones Arithmeticae (1801), и некоторые современные математики использовали этот термин для обозначения более сложных тем. Читатель, интересующийся последним, отсылается к теории нумерации статей.

Основные определения и законы

Натуральные числа

В наборе (или наборе) объектов (или элементов) действие по определению количества присутствующих объектов называется подсчетом. Полученные таким образом числа называются счетными числами или натуральными числами (1, 2, 3, …). Для пустого множества объект отсутствует, и подсчет дает число 0, которое, прибавляя его к натуральным числам, дает так называемые целые числа.

Если объекты из двух наборов могут быть сопоставлены таким образом, что каждый элемент из каждого набора однозначно связан с элементом из другого набора, наборы называются равными или эквивалентными. Концепция эквивалентных множеств лежит в основе основ современной математики и была введена в начальное образование, в частности, как часть «новой математики» ( см. рисунок ), которая с момента своего появления в 1960-х годах то приветствовалась, то порицалась. . См. теория множеств.

Сложение и умножение

Объединение двух наборов объектов, содержащих a и b элементов, образует новый набор, содержащий a + b = c объектов. Число c называется суммой a и b ; и каждое из последних называется слагаемым. Операция образования суммы называется сложением, а символ + читается как «плюс». Это простейшая бинарная операция, где 9Двоичный код 0081 относится к процессу объединения двух объектов.

Из определения подсчета видно, что можно изменить порядок слагаемых и порядок операции сложения применительно к трем слагаемым, не влияя на сумму. Они называются соответственно коммутативным законом сложения и ассоциативным законом сложения.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подписаться сейчас

Если существует натуральное число k такое, что a = b + k , то говорят, что a больше, чем b (пишется a > b ) и что 01 b меньше, чем a (записано b < a ). Если a и b — любые два натуральных числа, то либо a = b , либо a > b или a < b (закон трихотомии).

Из приведенных выше законов видно, что повторяющаяся сумма, такая как 5 + 5 + 5, не зависит от способа группировки слагаемых; его можно записать как 3 × 5. Таким образом, определена вторая бинарная операция, называемая умножением. Число 5 называется множимым; число 3, обозначающее количество слагаемых, называется множителем; а результат 3 × 5 называется произведением. Символ × этой операции читается «раз». Если такие буквы как

a и b используются для обозначения чисел, произведение a × b часто записывается как a ∙ b или просто a b .

Если записать три строки по пять точек в каждой, как показано ниже,

, то ясно, что общее количество точек в массиве равно 3 × 5, или 15. Очевидно, такое же количество точек можно записать в пять строк по три точки в каждой, откуда 5 × 3 = 15. Аргумент является общим и приводит к закону, согласно которому порядок множимых не влияет на произведение, называемому коммутативным законом умножения. Но примечательно, что этот закон не распространяется на все математические сущности. Действительно, большая часть математической формулировки современной физики, например, в решающей степени зависит от того факта, что некоторые объекты не коммутируют.

При использовании трехмерного массива точек становится очевидным, что порядок умножения применительно к трем числам не влияет на произведение. Такой закон называется ассоциативным законом умножения. Если 15 точек, написанных выше, разделить на два набора, как показано,

, то первый набор состоит из трех столбцов по три точки в каждом, или 3 × 3 точки; второй набор состоит из двух столбцов по три точки в каждом, или 2 × 3 точки; сумма (3 × 3) + (2 × 3) состоит из 3 + 2 = 5 столбцов по три точки в каждом, или (3 + 2) × 3 точки. В общем случае можно доказать, что умножение суммы на число равно сумме двух соответствующих произведений. Такой закон называется дистрибутивным законом.

Целые числа

Вычитание не было введено по той простой причине, что его можно определить как действие, обратное сложению. Таким образом, разность a − b двух чисел a и b определяется как решение x уравнения b + x = a . Если система счисления ограничена натуральными числами, различия не всегда должны существовать, но если они существуют, пять основных законов арифметики, как уже обсуждалось, могут быть использованы для доказательства их уникальности. Кроме того, законы операций сложения и умножения можно распространить на разности. Целые числа (включая ноль) можно расширить, включив в них решение 1 + 9.0081 х = 0, то есть число −1, а также все произведения вида −1 × n , в которых n — целое число. Расширенный набор чисел называется целыми числами, из которых положительные целые числа совпадают с натуральными числами. Вновь введенные таким образом числа называются отрицательными целыми числами.

Экспоненты

Так же, как повторяющаяся сумма a + a + ⋯ + a из k слагаемых записывается k a , поэтому повторяющееся произведение a × a × ⋯ × a из k множителей записывается как a ^{k 2 .}