1 2 3 > >>
Добро пожаловать, пожалуйста, java, так что мне бы хотелось сделать небольшое короткое видео, которое вы знаете.
О том, как применять и как учитывать разницу в два квадрата и плохой вид пройти просто. Что-то вроде пары разных примеров, чтобы вы могли увидеть небольшие вариации этого но. По сути, разница в два квадрата — это когда у нас есть квадратный член минус другой квадратный член, который мы можем.
Фактор, который использует разницу двух квадратов, поэтому я мог бы получить что-то, что было бы факторизованной формой. Минус b умножить на плюс b теперь, как это действительно работает, вы знаете точно с проблемой. Что ж, давайте просто рассмотрим некоторые задачи, давайте сделаем х в квадрате минус 16, давайте сделаем 4 х в квадрате. Минус 9и давайте сделаем полный, давайте сделаем еще один здесь, давайте сделаем 16 x в квадрате минус 25y в квадрате и. Затем давайте сделаем x до четвертого минус x до четвертого минус давайте сделаем 64 хорошо, вот и все.
Примеры некоторых задач, которые мы можем решить, используя разность двух квадратов и, в основном, когда вы делаете разность.
Два квадрата, если у вас есть термин в квадрате — еще один термин в квадрате, то в основном вы просто хотите найти цифру. Что такое a и b, так что в этом случае мы можем сказать, что вы знаете, что квадрат равен x в квадрате. И b в квадрате равно 16, поэтому в основном вам нужно определить, что такое a и b. Для этого вы просто берете квадратный корень, чтобы определить квадратный корень из х в квадрате.
Быть х и, следовательно, мы можем сказать, что а равно х, а b равно квадратному корню из 16. Что равно 4 sarah id скажем, х плюс 4 умножить на х минус 4 прямо сейчас в том же случае. Вот здесь, если вы извлекли квадратный корень, из него извлекут квадратный корень. 4 и x в квадрате, поэтому мы можем сказать, что a будет 2x, а b будет равно. 3 хорошо, я не буду повторять все шаги снова, но если вы возьмете квадратный корень из 4x.
Возведя в квадрат, вы можете сказать, что h равно 2x, поэтому здесь будет 2x плюс 3, умноженное на 2x минус 3. Теперь у нас есть квадратный член, или теперь у нас определенно есть две переменные, но это будет то же самое.
Вещь, которую вы захотите извлечь из этого квадратного корня, это квадратный член, ну да, 16. Квадратное число x — это число в квадрате, 25 в квадрате, и зачем учить квадратное число, поэтому я. Теперь можно сказать, что a равно 4x, а b равно 5y, используя разность двух квадратов 4x плюс 5y раз.
4x минус 5y хорошо, и последнее, это немного сбивает студентов с толку, но. Опять же, что мы хотим сделать, так это иметь возможность записать x в четвертом как a. Число в квадрате и так много раз с этим, что мы можем сделать, это использовать. Степень степени, поэтому я мог бы сказать, что x в четвертой степени — это то же самое, что x в квадрате справа. Итак, если бы я переписал это как х в квадрате в квадрате равен или равен в квадрате сейчас, когда я беру.
Квадратный корень из этого im, только что оставленного с a, равен x в квадрате, так что теперь мой квадратный член. На самом деле наша сила теперь моя моя а теперь х в квадрате, так что это будет х в квадрате плюс. Квадратный корень из 64 равен 8 умножить на 8 в квадрате минус 8, и вот оно, нет.
Просто общий обзор того, как вы подаете заявку или как вы учитываете разницу в два квадрата, спасибо.
Метод 2 – Факторизация полинома в четвертой степени с использованием факторинга во второй степени
Итак, мы говорили о факторизации gcfs, когда вы, ребята, получаете уравнение, и вам нужно факторизовать. gcf это первое, что вы собираетесь сделать, марио, это факторизовать gcf, но теперь, если мы. Посмотрите на следующую задачу, у нас есть х в четвертом плюс восемь х в квадрате минус девять ну а теперь дамы. И, джентльмен, у нас нет иксов, которые можно было бы вычесть из множителя, потому что нет иксов с девятью правильными, поэтому мы.
Не могу разложить по полочкам, теперь мы можем использовать метод штампа, но в основном то, что мне нравится. Сделать это, и я кое-что записал, когда у вас, ребята, есть что-то подобное, где вы не можете это учитывать. Давайте на секунду забудем о силах и просто учтем то, что мы умеем учитывать. Мы знаем, как разложить на множители трехчлен, если он квадратичный, но все согласны со мной, что мы понимаем разложение на множители квадратичных чисел.
Когда в этом формате все в порядке, так что теперь я просто записываю это те же числа, но с.
X в квадрате, вы согласны со мной сейчас, когда мы продолжим и умножим это на x плюс 9 раз. X минус 1, да, я пытаюсь объяснить, но у меня есть другие люди, которые не обращают внимания. Это становится немного сложно, да, я собираюсь объяснить, как решить эту проблему, но если это так. Что-то срочное, тогда вы можете позаботиться об этом, так что у нас есть х в квадрате плюс 8 акт 8х. Не было упражнения 8x минус 9 все в порядке вы, ребята, проходите согласитесь со мной, хотя это две проблемы.
Давайте сделаем это следующим образом: х в квадрате плюс 8х минус 9, поэтому, если мы разложим это, я получу х. Плюс 9 раз х минус 1 вы, ребята, согласны, что эти задачи очень похожи друг на друга? Очень похожи друг на друга, этот похож на алгебру, один квадратичен, этот возведен в степень. 4 прямо сейчас, но я хочу, чтобы вы, ребята, поняли, что когда мы применяем фольгу, вы умножаете первое.
Два члена вы получаете х в квадрате, когда вы умножаете два последних члена, вы получаете минус 9 прямо посередине.
Условия — это то, что в совокупности дает нам 8 x, поэтому я хочу, чтобы вы, ребята, поняли, это факторы. Первые два члена фактора дают нам x в квадрате, а последние два члена наших факторов дают нам. Отрицательный 9поэтому в этом примере я не могу использовать x и x, потому что x умножить на x дает нам x в квадрате. X раз x не дает нам x до четвертого, однако, если я изменю мощность x i. Можно ли получить x в четвертом, так что я должен использовать, чтобы умножить x в квадрате, а затем какой член должен.
Я могу использовать те же термины для отрицательных 9, чтобы получить положительные 9 или отрицательные 9. Таким образом, я могу использовать х в квадрате плюс 9 или х в квадрате плюс 9 и х в квадрате минус 1 теперь позволяет. Убедитесь, что только эта работа делает x в квадрате, умноженном на x в квадрате, дает вам x в четвертом, хорошо позволяет просто.
На самом деле давайте положим, давайте помешаем этому, чтобы я получил x до четвертого минус r, давайте сделаем x до. Четвертый я получаю плюс 9х в квадрате, когда я делаю 9 раз х в квадрате, я получаю 9х в квадрате, когда я.
Сделайте x в квадрате, умноженное на отрицательное 1, я получу отрицательное значение x в квадрате, а затем 9 умноженное на отрицательное 1, я получу отрицательное значение. 9 я объединяю свои средние члены, я получаю х в четвертом плюс 8 х в квадрате минус 9, так что угадайте. Что, когда вы учитываете, когда вы умножаете свои два фактора, что происходит, вы, ребята, получаете один и тот же ответ, хорошо. Итак, самое важное, что я хочу, чтобы вы, ребята, записали.
Метод 3 – Факторинг полиномиальных функций и уравнений высшей степени – Алгебра 2
В этом видео мы сосредоточимся на разложении на множители многочленов более высокой степени, так что давайте попробуем этот пример x to the. Четвертая степень плюс восемь x квадрат минус девять, как мы можем разложить это на этот конкретный пример, что бы вы сделали.
Теперь вы можете использовать факторинг путем подстановки, давайте заменим x в квадрате переменной, скажем, a, если a. X в квадрате означает, что квадрат равен x в четвертой степени, поэтому мы можем переписать это как.
Квадрат плюс восемь, умноженный на минус девять, теперь представляет собой квадратичную форму, в которой два числа умножаются на минус девять. Но если добавить к восьми, это будет положительный свет в отрицательном 1 9раз отрицательный 1 отрицательный. 9, но 9 плюс минус 1 будет плюсом 8, так что если коэффициент будет плюс 9 раз. Минус 1 теперь в этот момент мы можем заменить а на х в квадрате, так что это также равно. Х в квадрате плюс 9 и х в квадрате минус 1, так что теперь х в квадрате плюс 9 мы не можем учесть. используйте разницу квадратов этой группы, чтобы разложить ее на множители, равные x. Плюс 1 и x минус 1, так что это окончательный ответ, кстати, если вы уже рассмотрели мнимые числа. Вы можете представить х в квадрате плюс 9как х плюс 3i и х минус 3i, если вы уже узнали, если.
У вас есть это, вы можете просто оставить свой ответ вот так, теперь давайте попробуем другой пример, попробуйте этот x.
В 4-й степени минус 5х в квадрате минус 36, поэтому мы собирались установить букву а равной х. В квадрате так же, как и раньше, если а равно х в квадрате, это означает, что квадрат равен х в четвертой степени. Итак, какие два числа умножаются на минус 36, но прибавляют к среднему коэффициенту минус 5, так что мы можем. Составьте список, у нас есть 1 и отрицательное 36 2 умножить на 18 равно 36, а также 3 + 12. + 4 9обратите внимание, что 4 умножить на минус 9 — это минус 36, а 4 плюс минус 9 — это минус 5.
Но сначала давайте заменим х на четвертое на квадрат + х в квадрате на а, так что теперь мы можем. С учетом этого, это будет плюс 4 и минус 9 сейчас в нашем следующем. Шаг собирался заменить а на х в квадрате, так что х в квадрате плюс 4 и х в квадрате минус 9. Теперь мы можем использовать метод разности квадратов, чтобы разложить х в квадрате минус 9, поэтому окончательный ответ таков.
Будет х в квадрате плюс 4 квадратный корень из х в квадрате равен х квадратный корень из 9.
Является ли 3, когда он будет положительным, а другой будет отрицательным, так что это. Ответьте, как вы можете разложить это выражение на множители. Попробуйте это x в шестой степени + 11. X в кубе + 24, так что на этот раз мы собирались установить число, равное x в кубе, и, следовательно, в квадрате. Будет x в степени 6, так что это будет квадрат + 11 a. Плюс 24, какие два числа умножить на 24, добавить к 11, так что этого не будет.
1 из 24 или 2 + 12, однако 3 умножить на 8 равно 24 на 3 плюс 8. 11, поэтому мы можем записать это как + 3, умноженное на + 8, в этот момент мы можем заменить. A с x в кубе, поэтому у нас есть x в кубе + 3 + x в кубе + 8, теперь мы можем разложить. Это выражение x в кубе + 8, используя технику суммы кубов, мы могли бы использовать ту же формулу для x. В кубе + 3, но если мы это сделаем, мы будем иметь дело с радикалами, и давайте избежим этого уравнения.
Нам нужно это вот здесь от a до третьего плюс b до третьего это равно a. Плюс b умножить на a в квадрате минус a b плюс b в квадрате, так что это будет x в кубе плюс 8. Обратите внимание, что в этом конкретном примере a равно x, если a в третьем равно x to. Третье a теперь равно x, если b третьему равно 8, то значит b. Это кубический корень из 8, который равен 2, поэтому, следуя формуле, это будет х плюс.
2 а в квадрате, по сути, равно а, умноженному на а или х, умноженному на х, то есть х в квадрате, а будет х, умноженному на 2. Является ли 2x и b в квадрате, умноженное на 2, умноженное на 2, равно 4, поэтому мы можем разложить х на множители + 8. Таким образом, окончательный ответ равен х в кубе плюс трижды х плюс два раза х в квадрате минус два х плюс. Четыре, давайте попробуем другой пример, давайте попробуем этот 5 х куб минус 10 х в квадрате плюс 4 х. Минус 8, так как мы можем факторизовать это конкретное выражение, если у вас есть полином с четырьмя членами, всегда проверяйте.
Чтобы проверить, можно ли сгруппировать коэффициенты, первые два коэффициента должны иметь одинаковое соотношение. Что касается последних двух коэффициентов, то отрицательное 10, деленное на 5, равно отрицательному 2, отрицательному 8, деленному на. 4 равно минус 2, если вы видите, что это означает, что вы можете факторизовать, группируя, так что поехали. Забегая вперед, давайте выясним gcf наибольшего общего множителя в первых двух членах. Первые два члена мы можем взять 5x в квадрате 5x в кубе разделить на 5x в квадрате x минус 10x.
Квадрат, деленный на 5x, возводит в квадрат его минус 2, теперь из последних двух членов мы можем вычесть 4. Если x разделить на 4, это x отрицательно, 8 разделить на 4 и получить минус 2, теперь мы можем вычесть. Еще один множитель x минус 2, если мы удалим x — дерево из первого члена будет иметь 5x в квадрате. Осталось, и если мы вычтем x минус g из второго члена, будет плюс 4, так что. Вот как вы умножаете его на x минус 2, умноженное на 5x в квадрате, плюс 4, и вы можете проверить это.
Вы можете подтвердить это, если сорвете это выражение, вы получите исходный ответ, попробуйте этот x. В шестой степени минус 2x в четвертой степени минус 4x в квадрате плюс 8, так что обратите внимание, что отрицательное 2. Делить на 1 отрицательное 2 8 разделить на отрицательное 4 равно отрицательному 2, поэтому мы можем использовать the. Та же техника, что и в последнем примере, мы можем факторизовать, группируя, поэтому в первых двух терминах давайте уберем. Наибольший общий множитель, который равен х до четвертого, х до 6, деленное на х до четвертого.
Является ли х в квадрате отрицательным 2 х в четвертом разделе на х в четвертом минус 2 в. Последние два члена мы могли бы убрать 4, и это также даст нам х в квадрате минус 2, так что. Теперь давайте разложим этот член на х в квадрате минус 2, и тогда у нас будет х на 4 минус. 4 внутри этой скобки, теперь мы можем использовать технику разности квадратов, потому что мы можем взять. Квадратный корень из 4 и квадратный корень из х в четвертую квадратный корень из х в.
Четвертое число равно х в квадрате, потому что х в квадрате, умноженное на х в квадрате, равно х в четвертой степени квадратному корню из. 4 равно 2, поэтому теперь у нас есть плюс 2 и минус 2, потому что эти два числа одинаковы. Мы можем собрать их вместе, и мы можем написать окончательный ответ, как это, мы можем сказать, что это х в квадрате. Плюс 2 умножить на х в квадрате минус вы возвели в квадрат вот так.
Метод 4 – Как решать квадратные уравнения с помощью факторинга – быстро и просто!
В этом уроке мы собирались поговорить о решении квадратных уравнений с помощью факторизации, поэтому давайте начнем с этого примера x. В квадрате — 49 равно нулю, вы можете использовать для этого метод разности идеальных квадратов. Квадратный корень из х в квадрате равен х, квадратный корень из 49 равен 7, так что это будет х плюс. 7 и x минус 7, теперь вам нужно установить каждый фактор равным 0 в этот момент, а затем.
Вы просто находите значение x, поэтому мы имеем x плюс 7 равно 0 и x минус.
7 равно 0, причина, по которой мы можем это сделать, заключается в том, что если один из этих терминов равен. Равно 0, тогда все равно 0 0, умноженное на 0, поэтому x равно отрицательному 7 и. В другом уравнении, если мы добавим 7 к обеим частям, мы увидим, что x равен положительному числу. 7 давайте попробуем другой пример, скажем, если у нас есть 3x в квадрате минус 75 равно 0, что есть.
Значение x 3 и 75 не являются идеальными квадратами, поэтому мы не хотим использовать разницу. Совершенные квадраты взяты снова, однако мы можем извлечь gcf наибольшего общего делителя, который равен 3 3x в квадрате. Делим на 3 х квадрат минус 75 делим на 3 минус 25 теперь мы можем использовать разницу. Из метода совершенных квадратов, чтобы разложить х в квадрате минус 25, квадратный корень из х в квадрате равен х в квадрате. Корень из 25 равен 5, так что это будет х плюс 5 и х минус 5, так что по крайней мере.
Приравняв х плюс 5 к нулю, мы ясно видим, что х будет равно минус 5 и. Если мы приравняем х и минус 5 к нулю, х будет равно плюс 5, вот и все.
Для этого сейчас, что об этом говорил, если у нас есть 9х в квадрате минус 64 равно. Но сначала мы можем использовать метод разности совершенных квадратов, мы можем возвести корень из девяти, и мы можем. Квадратный корень из 64 квадратный корень из девяти равен трем квадратный корень из х в квадрате равен х.
Квадратный корень из 64 равен 8, так что это будет 3x плюс 8 3x минус 8, так что если мы. Установите 3x плюс 8 равным нулю, тогда мы увидим, что 3x равно минус 8, что означает. Теперь X равно минус 8 больше 3, если мы установим 3x минус 8 равным 0 и решим. Для x x будет положительным 8 на 3, используя те же шаги, что и сейчас. Трехчлен x в квадрате минус 2x минус 15 и старший коэффициент равен 1, как мы можем разложить это выражение.
Все, что вам нужно сделать, это найти два числа, которые умножают его на минус 15, но в сумме дают минус. 2 числа, которые умножаются на 15 или 5 и 3, поэтому у нас есть положительные 5 и отрицательные 3 или отрицательные. 5 и 3 5 плюс минус 3 в сумме дают плюс 2, а минус 5 плюс 3 в сумме.
Отрицательное 2, так что это то, что мы хотим использовать, оказывается, что разложить его на множители просто. Чтобы быть x минус 5 плюс x плюс 3, поэтому, если мы установим x минус 5 равным 0 x.
Будет равно 5, и если мы установим x плюс 3 равным 0, x будет равно. Отрицательное число 3. Давайте попробуем еще одно, скажем, если у нас есть x в квадрате плюс 3x минус 28. Какие два числа умножаются на отрицательные 28, но пока вы трое, попробуйте так, если мы разделим 28. На единицу мы получим отрицательное 28, если мы разделим отрицательное 28 на 2, отрицательное 14 3 не входит в это. Если мы разделим его на 4, то получим минус 7 4, а минус 7 отличается на 3, если мы.
Добавьте их, это минус 3, поэтому нам нужно изменить знак, чтобы он был x минус 4. Умножить x плюс 7, что означает, что x равно положительному 4 и отрицательному 7, вот еще одна проблема. Как мы можем разложить этот трехчлен, если старший коэффициент не равен 1, поэтому 1 нам нужно выполнить. В этой задаче нам нужно умножить 8 и минус 15 8 раз минус 15 минус 120 теперь сколько два.
Числа умножают это на минус 120, но при настройке, если вы не уверены, я составлю список, давайте начнем с него.
1 у нас 1 из 120 увидимся 163 и 44 + 35 + 24 6 и двадцать восемь и. 15 сейчас 10 и 12 кажутся многообещающими 10 и отрицательный 12 отличаются на отрицательный 2 но положительный 12 и отрицательный. 10 в сумме дает положительное 2, поэтому то, что мы собирались сделать в этой задаче, должно было быть. Размещаем 2x с 12x и отрицательными 10x, а затем факторизуем, группируя первые два термина let. Выньте gcf, который будет равен 4x 8x в квадрате, разделенному на 4x, равно 2x + 12x.
/ 4x тайна, а последние два члена выводят наибольший общий множитель в этом случае минус 5 минус. 10х разделить на минус 5 это 2х и минус 15 разделить на минус 5 это +3 теперь если получится. Два общих термина, которые означают, что вы на правильном пути, вы можете написать один раз в скобках в. Следующая строка, теперь то, что снаружи 4x и минус 5, будет во второй. Скобка, вот что у нас теперь есть, давайте установим 2 x плюс 3 равным 0 и 4 x минус 5.
Равно 0, поэтому в первом уравнении давайте вычтем 3 из обеих частей, чтобы 2x было равно отрицательному значению. 3, а затем давайте разделим на 2, так что первый ответ x теперь равен минус 3 больше 2. Давайте найдем другой ответ, поэтому давайте добавим 5 к обеим сторонам, чтобы мы могли видеть, что 4x равно. До 5, а затем давайте разделим обе части на 4, чтобы x был равен 5 больше 4, и все. Именно для этой задачи теперь давайте получим некоторые ответы на квадратные уравнения, которые мы имели в.
Последний урок, поэтому для этой конкретной задачи, когда мы факторизуем ее, мы получили решение 5 и отрицательное 3. И меньше, чем 10 точек 2, но теперь давайте используем квадратное уравнение, чтобы получить те же самые ответы, так что x. Равен отрицательному b плюс или минус квадратный корень из b в квадрате минус 4ac, деленный на 2a. Квадратная формула, и вам нужно квадратное уравнение в стандартной форме, чтобы мы могли видеть, что а равно. К 1 b относится число перед x b отрицательное 2, а c отрицательное 15, так что.
Заменим b на минус 2 b в квадрате или минус 2 в квадрате минус 2 умножить на минус 2 равно 4a a. Is 1 и c отрицательное 15, деленное на 2 a или 2, умноженное на 1, что равно 2 отрицательным значениям. Отрицательное 2 равно положительному 2, а затем у нас есть 4 отрицательных 4, умноженных на отрицательные 15, это положительные 60 и 60. Плюс 4 равно 64, теперь квадратный корень из 64 равен 8, поэтому у нас есть 2 плюс минус 8. Делим на 2 2 2 плюс 8 равно 10 10 разделить на 2 равно 5, что дает нам первый ответ.
Следующий 2 минус 8 разделить на 2 2 минус 8 минус 6 минус 6 разделить на. 2 отрицательно 3, что дает нам второй ответ, поэтому вы можете решить квадратное уравнение, разложив на множители или. Используя квадратную формулу, теперь давайте попробуем другой пример: 8x в квадрате плюс 2x минус 15, используя квадратное уравнение. Чтобы найти значения x, чтобы мы могли видеть, что a равно 8, b — это число. Перед x thats 2 c отрицательное число 15, поэтому по формуле квадрата x равняется отрицательному значению b плюс.
Или минус квадратный корень из b в квадрате минус 4ac, разделенный на 2a, поэтому b равно 2, что означает b. В квадрате это будет положительное число 4 минус 4, умноженное на a, равное 8, c, равное отрицательному числу 15, деленное на. 2a или 2 умножить на 8, что равно 16, так что теперь это минус 2 плюс или минус квадратный корень 4. Отрицательное 4 умножить на отрицательное 15 будет положительным 60 60 умножить на 8, это 480, так что у нас есть 4 плюс 4 80. Итак, это отрицательное 2 плюс или минус квадратный корень из 480 для квадратного корня из 4 84.
равно 22, так что теперь мы имеем минус 2 плюс-минус 22 на 16 так что теперь, что собирались. В этот момент разделите это на две части, но давайте сначала освободим немного места, вот так. Отрицательно 2 плюс 22 больше 16 или отрицательно 2 — 22 больше 16 отрицательно 2 плюс 22 это положительно. 20 + 20 на 16 оба числа делятся на 4 20 разделить на 4 равно 5 16 разделить на. 4 равно 4, поэтому первый ответ равен 5 разделить на 4 минус 2 минус 22 будет минус 24 24.
И 16 делятся на 8 минус 24 делится на 8 минус 3 16 делится на 8 есть. 2 и так что это другой ответ отрицательный 3 на 2 так что теперь вы знаете, как использовать квадратное. Формула для решения квадратных уравнений.
Метод 5 – Простой способ разложения полиномов на множители!
В этом видео мы поговорим о том, как разложить многочлены на множители, поэтому давайте начнем с нескольких простых примеров, как это сделать. Вы разложите это выражение на 6x минус 12, и все, что мы можем сделать, это вычесть gcf наибольшего общего множителя. Теперь 6, чтобы получить то, что осталось разделить 6x разделить на 6 на x и минус 12 разделить на. 6 равно отрицательному числу 2, так что это все, что мы можем сделать для этого примера.
3x в кубе минус 9x в квадрате, а также 4x в квадрате минус 12x, то есть тот, что внизу, нам нужен. Чтобы убрать gcf, мы могли бы убрать 4 из 4 и минус 12, и мы тоже можем. Выньте переменную x, потому что они оба содержат ее 4x в квадрате, деленном на 4x, равно x отрицательному 12x деленному.
На 4x минус 3, так что теперь мы можем факторизовать это выражение для приведенного выше. Также уберите gcf, в этом случае gcf будет в 3 раза больше, чем мы могли бы убрать.
A 3 из 3 и минус 9и каждый член имеет по крайней мере две переменные x, поэтому мы можем взять. Из x в квадрате теперь 3x в кубе, деленное на 3x в квадрате, равно x минус 9x в квадрате, деленное на 3x в квадрате. Минус 3, вот и все для этих двух примеров, теперь нам нужно поговорить о следующем. Факторизация трехчленов это когда у нас есть три члена и мы собирались факторизовать их при старшем коэффициенте. Это одно, поэтому вам нужно найти два числа, которые умножаются на 12, но прибавляются к 7.
Два числа, которые умножаются на 12, но прибавляются к 7 или 3 и 4 3 + 4 7 3 раза. 4 равно 12, и поэтому, как бы вы написали свой ответ, он будет таким: это х плюс. 3 раза х плюс 4, вот и все для этого примера, теперь вот еще один, попробуйте этот х. Квадрат плюс 2x минус 15 не стесняйтесь ставить видео на паузу, если вы хотите поработать над ним, ну и что.
Два числа умножаются на минус 15, но добавляют 2, мы знаем, что 5 умножить на 3 — это минус, я имею в виду.
Положительное 15, но нам нужно добавить отрицательный знак, если мы попробуем отрицательное 5 и положительное 3, это добавляет. До отрицательного 2, но если мы попробуем положительное 5 отрицательное 3, это в сумме даст положительное 2, но все же. Умножается на минус 15, поэтому ответ будет х плюс 5 умножить на х минус 3 и так далее. Вот как мы можем разложить это выражение на множители, попробуйте это 2x в квадрате минус 6x минус 56, теперь обратите внимание. Старший коэффициент равен не 1, а 2, поэтому сначала нужно посмотреть, есть ли a.
Gcf, которые вы можете учитывать, обратите внимание, что все коэффициенты равны, поэтому мы попытаемся разложить на множители a. 2 2x в квадрате разделить на 2 равно x в квадрате минус 6x разделить на 2 это минус 3x минус 56 разделить. На 2 отрицательно 28, так что теперь у нас есть трехчлен со старшим коэффициентом 1, так что теперь давайте.
Найдите два числа, которые умножаются на минус 28, но прибавляются к среднему коэффициенту минус 3, что мы хорошо знаем. 7 умножить на 4 будет 28, если мы попробуем положительное 7 и отрицательное 4, что в сумме даст положительное 3, но.
Отрицательное 7 и положительное 4 в сумме дают отрицательное 3, поэтому ответ будет умножен на 2 x. Минус 7 умножить на х плюс 4, вот и все для этого примера, теперь давайте попробуем другой подобный пример. Коэффициент 3x в квадрате минус 18x плюс 24, так что не стесняйтесь ставить видео на паузу, если хотите попробовать заметить. Что все коэффициенты делятся на три, поэтому мы собирались убрать gcf, который равен трем. Три х в квадрате разделить на три равно х в квадрате минус 18х разделить на три равно минус шесть х 24 разделить.
Через три будет восемь, так что теперь нам нужно разложить этот трехчлен внутри скобок на два числа. Это умножение на восемь, но в сумме с минусом шесть будет минус 4 и минус 2. Минус 4 плюс минус 2 в сумме дают минус шесть, поэтому мы можем заменить х в квадрате минус 6х плюс 8.
С х минус 4 умножить на х минус 2 и держите 3 спереди, так что это прямо здесь. Теперь ответ скажем, если у вас есть что-то вроде этого x в квадрате минус 16 или x в квадрате минус.
64 как бы вы разложили эти выражения, попробуйте решить эти задачи, чтобы возникла ситуация, которая у нас есть. Является ли разница совершенных квадратов, что вы хотите сделать в первую очередь, это взять квадратный корень из х в квадрате. Квадратный корень из х в квадрате равен х, квадратный корень из 16 равен 4, а затем один из них. Будет положительным, а другой будет отрицательным, и вот как вы можете факторизовать такое выражение. Для следующего квадратный корень из х в квадрате равен х, квадратный корень из 64 равен 8 и.
Мы собирались получить x плюс 8x минус 8 квадратный корень из 4 равен 2 квадратный корень из. X в квадрате равно x, поэтому квадратный корень из 4x в квадрате равен 2x, а квадратный корень из 25 равен 5. Итак, у нас будет 2x + 5 и 2x минус 5 для последнего квадратного корня из 9x.
Квадрат в 3 раза больше, чем квадратный корень из 49 равен 7, значит, это будет 3x + 7 раз. 3x минус 7, так что вы можете разложить выражения в виде разности идеальных квадратов.
Теперь скажем, если у вас есть проблема, которая выглядит как 2x в квадрате минус 5x минус 3, что будет. Вы делаете это, чтобы учесть это, теперь обратите внимание, что нет gcf, который мы могли бы вывести на 5 и 3. Нет общего числа, которое мы могли бы разделить, чтобы избавиться от двух впереди, так что в этом. Ситуация, что нам нужно сделать, это умножить старший коэффициент на постоянный член 2 раза минус 3. Отрицательное 6. Затем найдите два числа, которые умножаются на отрицательное 6, но прибавляются к среднему коэффициенту отрицательного 5.
Это будет минус 6 и плюс 1 минус 6 умножить на 1 все равно минус 6 но добавляет. Теперь до минус 5 собирались заменить средний коэффициент на . Отрицательное 6x плюс 1x имейте в виду, что значение выражения остается тем же, потому что эти два. Все еще суммируйте до минус 5x, теперь наш следующий шаг — это то, что называется факторингом путем группировки первых двух.
Условия, которые вы хотите получить, gcf, равный 2x 2x в квадрате, разделенный на 2x, равен x отрицательному 6x.
Делим на 2x минус 3 теперь в двух последних членах вынь gcf там вроде бы есть. Ни один, который в этом случае не собирался вынимать 1, поэтому, когда эти две вещи совпадают, вы. На правильном пути, так что теперь мы собираемся вычесть x минус 3, если мы вычтем x минус. 3 из этого термина останется с 2x, если мы возьмем наш x минус 3 из этого термина, останется. С плюсом 1, и поэтому 2x, которые вы видите здесь, идут сюда, а положительный идет туда и.
Итак, это окончательный ответ, если вы хотите проверить работу, вы можете помешать этому выражению, но это не так. Я собираюсь дать вам то, с чего вы начали в начале, а теперь давайте попробуем аналогичный пример. Практика идет вперед и фактор 6х в квадрате плюс х минус 15, поэтому мы будем следовать той же процедуре, что и. Собираюсь умножить коэффициент залога на постоянный член шесть раз минус 15 минус девяносто теперь нам нужно.
2 – 92).
Спасибо, что посетили Softwarediscover.com и прочитали эту статью! Если вы нашли эту статью полезной, поделитесь ею с друзьями и помогите распространить знания.
Факторирование квадратичных уравнений
Квадратное уравнение в стандартной форме
( a , b и c могут иметь любое значение, за исключением того, что a не может быть 90.) 90
«Факторинг» (или «Факторизация» в Великобритании) Квадратичный:
найти, на что умножить, чтобы получить Quadratic
Это называется «Факторинг», потому что мы находим множители (коэффициент — это то, на что мы умножаем)
Пример:
(x+4) и (x−1) являются множителями x 2 + 3x − 4«Расширим» (x+4 и ) x−1) , чтобы быть уверенным:
(x+4)(x−1) = x(x−1) + 4(x−1)
= x 2 − x + 4x − 4
= x 2 + 3x − 4
Да, (x+4) и (x−1) определенно являются множителями x 2 + 3x − 4
Вы видели, что Экспансия и Факторинг противоположны?
Расширение обычно легко, но факторинг часто может быть сложным .
Это все равно, что пытаться выяснить, какие ингредиенты
Это может быть трудно понять!
Хорошо, давайте попробуем пример, где мы еще не знаем факторов:
Общий множитель
Сначала мы можем проверить наличие любых общих делителей .
Пример: каковы множители 6x
2 − 2x = 0 ?6 и 2 имеют общий фактор 2 :
2 (3x 2 — x) = 0
и x 2 и и x 2 и x 9104. 9104.
444. 3 x x . х :
2x(3x − 1) = 0
И мы это сделали! Множители: 2x и 3x − 1 ,
Теперь мы можем также найти корня (где оно равно нулю):
- 2x равно 0, когда x 06
- 3x − 1 равно нулю, когда x = 1 3
А это график (посмотрите, как он равен нулю при x=0 и x= 1 3 ):
Но это не всегда так просто.
Угадай и проверь
Пример: каковы множители 2x
2 + 7x + 3 ?Нет общих делителей.
Может быть, мы сможем угадать ответ? Тогда проверь, правы ли мы… может нам повезет!
Предположим (2x+3)(x+1):
(2x+3)(x+1) = 2x 2 + 2x + 3x + 3
= 2x 2 + 5x + 3 (Близко, но НЕПРАВИЛЬНО )
Как насчет (2x+7)(x−1):
(2x+7)(x−1) = 2x 2 − 2x + 7x − 7
= 2x 2 + 5x − 7 (ОПЯТЬ НЕПРАВИЛЬНО)
Хорошо, как насчет (2x+9) (x−1):
(2x+9)(x−1) = 2x 2 − 2x + 9x − 9
= 2x 2 + 7x − 9 (ОПЯТЬ НЕПРАВИЛЬНО!)
Мы могли бы будем гадать долго пока нам не повезет.
Это не очень хороший метод. Итак, давайте попробуем что-нибудь еще.
Метод для простых случаев
Есть метод для простых случаев.
С квадратным уравнением в такой форме:
Шаг 1 : Найдите два числа, при умножении которых получается ac (другими словами, a умножается на c), и сложите их, чтобы получить b.
Пример: 2x 2 + 7x + 3
ac равно 2×3 = 6 и b равно 7
Итак, мы хотим, чтобы два числа, умноженные вместе, дали 6, а в сумме 7
In факт 6 и 1 сделай так (6×1=6 и 6+1=7)
Как найти 6 и 1?
Это помогает перечислить множители ac= 6 , а затем попытаться добавить некоторые из них, чтобы получить b= 7 .
Делители 6 включают 1, 2, 3 и 6.
Ага! 1 и 6 прибавляются к 7, и 6×1=6.
Шаг 2 : Перепишите середину этими числами:
Переписать 7x с 6 x и 1 x:
2x 2 + 6x + x
Шаг 3 : Разделите первые два и два последних члена на множители:
Первые два члена 2x 2 + 6x делят на 2x(x+3)
Последние два члена x+3 фактически не меняются в этом случае
Итак, мы получаем:
2x(x+3) + (х+3)
Шаг 4 : Если мы сделали это правильно, наши два новых термина должны иметь ясно видимый общий делитель.
В этом случае мы видим, что (x+3) является общим для обоих терминов, поэтому мы можем пойти дальше:
Начните с: 2x(x+3) + (x+3)
Что будет: 2x(x+3) + 1(x+3)
Итак: (2x+1)(x+3) )
Готово!
Проверка: (2x+1)(x+3) = 2x 2 + 6x + x + 3 = 2x 2 + 7x + 3 (Да)
Давайте еще раз посмотрим шаги с 1 по 4, за один раз
:| 2x 2 + 7x + 3 |
| 2x 2 + 6х + х + 3 |
| 2x(x+3) + (x+3) |
| 2х(х+3) + 1(х+3) |
| (2x+1)(x+3) |
Хорошо, попробуем другой пример:
Пример: 6x
2 + 5x − 6Шаг 1 : ac равно 6×(−6) = −36 , а b равно 5
− 60 3 ac = 91 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Одно из чисел должно быть отрицательным, чтобы получилось −36, поэтому, играя с несколькими разными числами, я обнаружил, что −4 и 9 работают красиво:
-4×9 = -36 и -4+9 = 5
Шаг 2 : Переписать 5x с -4x и 9x:
Шаг 3 : Сомножить первые два и два последних:
2x(3x — 2) + 3(3x — 2)
Шаг 4 : Общий множитель равен (3x — 2):
(2x+3)(3x − 2)
Проверить: (2x+3)(3x − 2) = 6x 2 − 4x + 9x − 6 = 6x 2 + 5×0 − 4 6 9 9 (Да)
Поиск этих чисел
Самое сложное — это найти два числа, которые при умножении дают ac, а при сложении — b.
Это отчасти догадки, и это помогает перечислить все факторы .
Вот еще один пример, который поможет вам:
Пример: ac = −120 и b = 7
Какие два числа умножить на −120 и добавить к 7 ?
Делители 120 (плюс и минус):
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 и 120
Мы можно попробовать сложить пары множителей (начните с середины!) и посмотреть, получится ли в сумме 7:
- −10 x 12 = −120 и −10+12 = 2 (нет)
- -8 x 15 = -120 и -8+15 = 7 (ДА!)
Потренируйся
Вы можете практиковать простой квадратичный факторинг.
Почему фактор?
Что ж, одним из больших преимуществ факторинга является то, что мы можем найти корня квадратного уравнения (где уравнение равно нулю).
Все, что нам нужно сделать (после факторинга), это найти, где каждый из двух множителей становится равным нулю
Пример: каковы корни (нули) 6x
2 + 5x — 6 ?Мы уже знаем (сверху), что множители равны
(2x + 3)(3x — 2)
И мы можем вычислить, что
(2x + 3) равно нулю, когда x = -3/2
(3x — 2) равно нулю, когда x = 2/3
Итак, корни 6x 2 + 5x — 6 таковы:
-3/2 и 2/3
Вот график 6x 2 + 5x — 6, вы видите, где он равен нулю?
Мы также можем проверить это, используя немного арифметики:
При x = −3 2 : 6( −3 2 ) 9 + 9 1086 2 21188 −3 2 ) − 6 = 6×( 9 4 ) − 15 2 − 6 = 54 4 − 15 2 — 6 = 0
AT x = 2 3 : 6 ( 2 3 ) 2 + 5 ( 2 3 ) — 6 = 6 × ( 4
0 ) — 6 = 6 × ( 4 9090 ) — 6 = 6 × ( 4 90 91) — 6 = 6 × ( 4 90 ).
3 — 6 = 24 9 + 10 3 — 6 = 0 Графики
Мы также можем попробовать нарисовать квадратное уравнение. Увидев, где он равен нулю, мы можем получить подсказку.
Пример: (продолжение)
Начиная с 6x 2 + 5x − 6 и только этот график:
корни:
−3/2 и 2/3
Которые могут помочь нам вычислить множители 2x + 3 и 3x − 2
Всегда проверяйте! Значение графика +0,67 на самом деле не может быть 2/3
.Общее решение
Квадратные уравнения имеют симметрию, левое и правое как зеркальные отражения:
Средняя линия находится на −b/2 , и мы можем вычислить значение w с помощью следующих шагов:
- Во-первых, «а» должно быть 1, если нет, то разделить b и c на а:
- б = б/а, с = в/а
- середина = −b/2
- ш = √(середина 2 — с)
- корней находятся в середине-w и середине+w
Пример:
x 2 + 3x — 4а = 1, б = 3 и с = -4
- a= 1, поэтому мы можем перейти к следующему шагу
- середина = − 3 2
- w = √[( 3 2 ) 2 − (−4)] = √( 9 4 + 4) = √ 25 4 = 5 2
- roots are at − 3 2 − 5 2 = −4 and − 3 2 + 5 2 = 1
So we can factor x 2 + 3x — 4 в (x + 4)(x — 1)
Квадратичная формула
Мы также можем использовать квадратную формулу:
Получаем два ответа x + и x — (один для случая «+», а другой для случая «-» в «±»), что дает нам это разложение:
а(х — х + )(х — х — )
Пример: каковы корни 6x
2 + 5x — 6 ?Подставим a=6, b=5 и c=-6 в формулу: 2 − 4×6×(−6)) 2×6
= −5 ± √(25 + 144) 12
= −5 ± √169 12
= −5 ± 13 12
So the two roots are :
x + = (-5 + 13) / 12 = 8/12 = 2/3,
x — = (-5 — 13) / 12 = -18/12 = -3/2
(Обратите внимание, что мы получили тот же ответ, что и при факторинге ранее.