Разность и сумма векторов: Срок регистрации домена закончился

Сумма, разность векторов, произведение вектора на число. Свойства этих операций.

Линейные операции над векторами.

Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а.

b

a+b

a Замечание. Такое правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Свойство 1. a + b = b + a.

Свойство 2. (a+b)+c=a+(b+c).

Свойство 3. Для любого вектора а существует нулевой вектор О такой, что а+О=а.

Разностью а – b векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.

a a—b

b

Произведением ka вектора а на число k называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный |k||a|, и направление, совпадающее с направлением а при k>0 и противоположное а при k<0.

Свойство 1. k(a + b) = ka + kb.

Свойство 2. (k + m)a = ka + ma.

Свойство 3. k(ma) = (km)a.

Следствие. Если ненулевые векторы а и b коллинеарны, то существует такое число k, что b = ka.

55. Угол между векторами.

Угол между векторами

56. Вычисление ортогональной проекции.

Так как , каждый вектор однозначно раскладывается в сумму векторов и . Вектор х₁ называется ортогональной проекцией х на .Легко видеть, что х₂ – ортогональная проекция х на .

Найдем ортогональную проекцию х на в предположении, что в задан некоторый ортогональный базис h₁,…,h_k. Дополним этот базис до ортогонального базиса в пространстве ε, присоединив к нему произвольный ортогональный базис h_k

получаем: .

Если k = 1, проекция имеет вид х₁ = ((х, h)/|h|²)h, и мы видим, что правая часть формулы – сумма проекций на ортогональные одномерные пространства, натянутые на h₁,…,h_k. Так же истолковывается формула , а значит, равенство Парсеваля является обобщением теоремы Пифагора.

Из (х₁, х₂) = 0 следует .

Длина |х₂| ортогональной проекции х на обладает следующим свойством минимальности, обобщающую теорему о длине перпендикуляра и наклонной из элементарной геометрии.

Предположение: Пусть х₁ – ортогональная проекция х на . Тогда для любого вектора , отличного от х

.

Доказательство. Обозначив х₁ – у через z, имеем: .

Но (z, x₂) = 0, так как , и, следовательно,

Отсюда непосредственно вытекает доказываемое утверждение.

57. Ортогональная проекция суммы векторов и произведения вектора на число.

58. Линейная комбинация векторов, линейно независимые вектора. Условия линейной зависимости векторов.

Линейной комбинацией векторов а_1, а₂,…,а_n называется выражение вида: k₁a₁ + k₂a₂ +…+ k_na_n, где k_i – числа.

Векторы а_1, а₂,…,а_n

при k_i не равных нулю одновременно, т. е. k₁² + k₂² +…+ k_n² ≠ 0.

Если же равенство (2) возможно только при всех k_i = 0, векторы называются линейно независимыми.

Замечание 1. Если система векторов содержит нулевой вектор , то она линейно зависима.

Замечание 2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы. (Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.)

Замечание 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Замечание 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Замечание 4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.

Замечание 5. Любые четыре вектора в трехмерном пространстве линейно зависимы.

Графические методы – Колледж физики, главы 1-17

3 Двумерная кинематика

Резюме

• Понимание правил сложения, вычитания и умножения векторов.
• Применять графические методы сложения и вычитания векторов для определения смещения движущихся объектов.

Вектор — это величина, которая имеет величину и направление. Например, перемещение, скорость, ускорение и сила — все это векторы. В одномерном или прямолинейном движении направление вектора может быть задано просто знаком плюс или минус. Однако в двух измерениях (2-d) мы указываем направление вектора относительно некоторой системы отсчета (т. е. системы координат), используя стрелку, длина которой пропорциональна величине вектора и указывает направление вектора.

На рис. 2 показано такое графическое представление вектора на примере полного перемещения человека, идущего по городу, рассмотренного в главе 3.1 «Кинематика в двух измерениях: введение». Мы будем использовать обозначение, что жирный шрифт, такой как [latex]\textbf{D}[/latex], обозначает вектор. Его величина представлена ​​символом, выделенным курсивом, [латекс]\жирныйсимвол{D},[/латекс], а его направление – [латекс]\жирныйсимвол{\тета}.[/латекс]

ВЕКТОРА В ЭТОМ ТЕКСТЕ

В этом тексте мы будем представлять вектор переменной, выделенной жирным шрифтом. Например, мы представим количественную силу вектором[latex]\textbf{F},[/latex], который имеет как величину, так и направление. Величина вектора будет представлена ​​переменной, выделенной курсивом, например [латекс]\жирныйсимвол{F},[/латекс], а направление переменной будет задано углом[латекс]\жирныйсимвол{\тета} .

Метод «голова к хвосту» представляет собой графический способ добавления векторов, описанный на рис. 4 ниже и в следующих шагах. Конец

Шаг 1. Нарисуйте стрелку, представляющую первый вектор (9 блоков на восток), используя линейку и транспортир .

Шаг 2. Теперь нарисуйте стрелку, представляющую второй вектор (5 кварталов на север). Поместите конец второго вектора в начало первого вектора .

Шаг 3. Если имеется более двух векторов, продолжайте этот процесс для каждого добавляемого вектора. Обратите внимание, что в нашем примере у нас есть только два вектора, поэтому мы закончили размещать стрелки от начала до конца .

Шаг 4. Проведите стрелку от конца первого вектора к началу последнего вектора . Это результат или сумма других векторов.

Шаг 5. Чтобы получить величину равнодействующей, измерьте ее длину линейкой. (Обратите внимание, что в большинстве расчетов мы будем использовать теорему Пифагора для определения этой длины. )

Шаг 6. Чтобы получить направление равнодействующей, измерьте угол, который она образует с системой отсчета, используя транспортир. (Обратите внимание, что в большинстве расчетов мы будем использовать тригонометрические отношения для определения этого угла.)

Точность графического сложения векторов ограничена только точностью, с которой могут быть выполнены чертежи, и точностью измерительных инструментов. Это справедливо для любого количества векторов.

Пример 1. Графическое добавление векторов методом «голова к хвосту»: женщина на прогулке 9о}[/latex]северо-восток. Наконец, она поворачивается и проходит 32,0 м в направлении 68,0° к югу от востока.

Стратегия

Представьте каждый вектор смещения графически со стрелкой, обозначив первый[latex]\textbf{A},[/latex]второй[latex]\textbf{B},[/latex]и третий [latex]\textbf{C},[/latex] делая длины пропорциональными расстоянию и направлениям, указанным относительно линии восток-запад. Описанный выше метод «голова к хвосту» позволяет определить величину и направление результирующего смещения, обозначаемого[latex]\textbf{R}.[/latex]

Решение

(1) Нарисуйте три вектора смещения.

(2) Разместите векторы от начала до конца, сохранив их первоначальную величину и направление.

(3) Нарисуйте результирующий вектор,[latex]\textbf{R}.[/latex]

(4) Используйте линейку для измерения величины[latex]\ textbf{R},[/latex]и транспортир для измерения направления[latex]\textbf{R}.[/latex]Хотя направление вектора можно задать разными способами, проще всего измерить угол между вектором и ближайшей горизонтальной или вертикальной осью. Поскольку результирующий вектор находится к югу от оси, направленной на восток, мы переворачиваем транспортир вверх ногами и измеряем угол между осью, направленной на восток, и вектором. 9о}[/latex]юго-восток.

Обсуждение

Графический метод сложения векторов «голова к хвосту» работает для любого количества векторов. Также важно отметить, что результирующая не зависит от порядка добавления векторов. Следовательно, мы можем добавлять векторы в любом порядке, как показано на рис. 12, и все равно получим то же решение.

Здесь мы видим, что при сложении одних и тех же векторов в другом порядке результат будет тот же. Эта характеристика верна в любом случае и является важной характеристикой векторов. Сложение векторов равно коммутативный . Векторы можно добавлять в любом порядке.

[латекс]\boldsymbol{\textbf{A}+\textbf{B}=\textbf{B}+\textbf{A}}.[/latex]

(Это верно для сложения обычных чисел как хорошо — вы получите тот же результат, если вы добавите, например, [латекс]\жирныйсимвол{2+3}[/латекс]или [латекс]\жирныйсимвол{3+2},[/латекс]).

Вычитание векторов — это прямое расширение сложения векторов. Чтобы определить вычитание (скажем, мы хотим вычесть [латекс]\textbf{B}[/латекс]из [латекс]\текстбф{А},[/латекс]написанного[латекс]\жирныйсимвол{\текстбф{А}-\текстбф {B}}[/latex], мы должны сначала определить, что мы подразумеваем под вычитанием.0021 отрицательный вектора[latex]\textbf{B}[/latex] определяется как [latex]\boldsymbol{-\textbf{B}};[/latex]то есть графически отрицательный для любого вектора имеет ту же величину, но в противоположном направлении , как показано на рисунке 13. Другими словами, [latex]\textbf{B}[/latex] имеет ту же длину, что и [latex]\boldsymbol{-\textbf{B}} ,[/latex], но указывает в противоположном направлении. По сути, мы просто переворачиваем вектор так, чтобы он указывал в противоположном направлении.

Стратегия

Мы можем представить первый этап поездки с помощью вектора[latex]\textbf{A},[/latex], а второй этап поездки с помощью вектора[latex] \textbf{B}.[/latex]Док расположен в месте[latex]\boldsymbol{\textbf{A}\:+\:\textbf{B}}.[/latex]Если женщина по ошибке путешествует в напротив 9о}[/latex]юго-восток. Мы представляем это как[latex]\boldsymbol{-\textbf{B}},[/latex], как показано ниже. Вектор[latex]\boldsymbol{-\textbf{B}}[/latex] имеет ту же величину, что и [latex]\textbf{B}[/latex], но направлен в противоположном направлении. Таким образом, она окажется в месте [латекс]\boldsymbol{\textbf{A}+(-\textbf{B})},[/latex]или[латекс]\boldsymbol{\textbf{A}-\textbf {B}}.[/latex]

 [1] "Исходный вектор1"
[1] 1 2 3 4 5
[1] "Исходный вектор2"
[1] 4 5 6 7 8
[1] «Век1-Век2»
[1] 1 2 3 

 [1] "Original vector1 "
[1] «Geeksforgeeks» «Интервью» «Наука»
[1] "Исходный вектор2"
[1] 1 2 3 5 5
[1] "Век2 - Век1"
[1] 1 2 3 5