Решение числовых рядов онлайн: Сходимость ряда — исследование онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Ряд. Сумма ряда.  |  Необходимый признак сходимости ряда  |  Сравнение рядов с положительными членами  |  Признак Даламбера  |  Признак Коши  |  Интегральный признак сходимости ряда  |  Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница  |  Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость  |  Функциональные ряды  |  Степенные ряды. Интервал сходимости  |  Ряды Тейлора и Маклорена  |  Примеры разложения функций в ряды  |  Вычисление определенных интегралов с помощью рядов.  |  Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

Знакочередующиеся ряды – частный случай знакопеременного ряда.

 

Теорема 1.

Если знакопеременный ряд  (1)

таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов

 

 (2)

сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.

 

 

Данная теорема позволяет судить о сходимости некоторых знакопеременных рядов. Исследование в данном случае сводится к исследованию ряда с положительными членами.

 

Данная теорема  является достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда, но не необходимым: существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

 

Определение:

Знакопеременный ряд (1)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов: (2)

Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то данный знакопеременный ряд  (1) называется условно или неабсолютно

сходящимся рядом.

 

 

Теорема 2:

Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.

 

Теорема 3:

Если ряд сходится условно, то какое бы мы ни задали число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности равной А. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что ряд, полученный после перестановки, окажется расходящимся.

 

Пример:

Исследовать числовой ряд  на абсолютную и условную сходимость.

Решение:

Исследуем данный числовой знакочередующийся ряд на абсолютную и условную сходимость, для чего составим ряд из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда:

 

Исследуем полученный числовой ряд с положительными членами на сходимость, воспользовавшись предельным признаком сравнения. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом  . Так как , то ряд сходится.

Следовательно, оба ряда вместе сходятся.

Так как числовой ряд из абсолютных величин членов нашего знакочередующегося ряда сходится, то знакочередующийся числовой ряд сходится абсолютно.

Ответ: Ряд сходится абсолютно.

 

Пример.

Исследовать числовой ряд  на абсолютную и условную сходимость.

Решение:

 -знакочередующийся числовой ряд.

Воспользуемся признаком Лейбница:

, то есть члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине.

Следовательно, знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.

Составим ряд из модулей членов нашего знакочередующегося ряда:

 

Исследуем полученный числовой ряд с положительными членами на сходимость, воспользовавшись предельным признаком сравнения. Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом  .

Следовательно, оба ряда вместе расходятся.

Таким образом, сам знакочередующийся ряд сходится, а ряд из его модулей расходится. Следовательно, наш знакочередующийся числовой ряд сходится условно.

Ответ: Ряд сходится условно.

 

Ряды с комплексными членами — Различные темы математики (Математика)

Ряды с комплексными членами.

            19.3.1. Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.

19.3.1.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел . Действительную часть числа  будем обозначать , мнимую —  (т.е. .

Числовой ряд — запись вида  .                                                         

Частичные суммы ряда:

Определение. Если существует предел S  последовательности частичных сумм ряда при , являющийся собственным комплексным числом, то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут  или .

Найдём действительные и мнимые части частичных сумм: , где символами  и  обозначены действительная и мнимая части частичной суммы. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности, составленные из её действительной и мнимой частей. Таким образом, ряд с комплексными членами сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды, образованные его действительной и мнимой частями.

            Пример. Исследовать на сходимость ряд .

            Выпишем несколько значений выражения :  дальше значения периодически повторяются. Ряд из действительных частей: ; ряд из мнимых частей ; оба ряда сходятся (условно), поэтому исходный ряд сходится.

            19.3.1.2. Абсолютная сходимость.

Определение. Ряд  называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов.

Так же, как и для числовых действительных рядов с произвольными членами, можно доказать, что если сходится ряд , то обязательно сходится ряд . Если ряд  сходится, а ряд   расходится, то ряд  называется условно сходящимся.

Ряд  — ряд с неотрицательными членами, поэтому для исследования его сходимости можно применять все известные признаки ( от теорем сравнения до интегрального признака Коши).

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Составим ряд из модулей (): . Этот ряд сходится (признак Коши ), поэтому исходный ряд сходится абсолютно.

19.1.3.4. Свойства сходящихся рядов. Для сходящихся рядов c комплексными членами справедливы все свойства рядов с действительными членами:

Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при .

            Если сходится ряд , то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.

            Если ряд сходится, то сумма его остатка после n-го члена стремится к нулю при .

            Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.

            Сходящиеся ряды (А) и (В) можно почленно складывать и вычитать; полученный ряд тоже будет сходиться, и его сумма равна .

            Если члены сходящегося ряда сгруппировать произвольным образом и составить новый ряд из сумм членов в каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.

            Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется.

Если ряды (А) и (В) сходятся абсолютно к своим сумма  и , то их произведение при произвольном порядке членов тоже сходится абсолютно, и его сумма равна .

19.3.2. Степенные комплексные ряды.

            Определение. Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида

,

где  — постоянные комплексные числа (коэффициенты ряда),  — фиксированное комплексное число (центр круга сходимости). Для любого численного значения z ряд превращается в числовой ряд с комплексными членами, сходящийся или расходящийся. Если ряд сходится в точке z, то эта точка называется точкой сходимости ряда. Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости — точку . Совокупность точек сходимости называется областью сходимости ряда.

            Как и для степенного ряда с действительными членами, все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

            Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то

1. он абсолютно сходится в любой точке круга ;

2. Если этот ряд расходится в точке , то он расходится в любой точке z, удовлетворяющей неравенству  (т. е. находящейся дальше от точки , чем ).

Доказательство дословно повторяет доказательство раздела 18.2.4.2. Теорема Абеля для ряда с действительными членами.

Из теоремы Абеля следует существование такого неотрицательного действительного числа R, что ряд абсолютно сходится в любой внутренней точке круга радиуса R  с центром в точке , и расходится в любой точке вне этого круга. Число R называется радиусом сходимости, круг — кругом сходимости. В точках границы этого круга — окружности  радиуса R  с центром в точке  — ряд может и сходиться, и расходиться. В этих точках ряд из модулей имеет вид . Возможны такие случаи:

1. Ряд  сходится. В этом случае в любой точке окружности  ряд сходится абсолютно.

2. Ряд  расходится, но его общий член . В этом случае в некоторых точках окружности ряд может сходиться условно, в других — расходиться, т.е. каждая точка требует индивидуального исследования.

Вместе с этой лекцией читают «7. 1 Кочевники Южной Сибири в средние века».

3. Ряд  расходится, и его общий член  не стремится к нулю при . В этом случае ряд расходится в любой точке граничной окружности.

Примеры.

1. . Ряд из модулей: . Признак Даламбера: . Радиус и круг сходимости определены. На границе круга сходимости — окружности  — ряд из модулей  сходится, следовательно, исходный ряд абсолютно сходится в любой точке этой окружности.

            2. . Ряд из модулей: . Признак Коши: .

На границе круга ряд из модулей имеет вид  . Предел общего члена , поэтому ряд расходится в любой точке граничной окружности.

3. . Ряд из модулей: . Признак Даламбера: . На границе круга сходимости ряд из модулей  расходится (интегральный признак Коши), однако общий член , поэтому в различных точках ряд может и сходиться, и расходится. Так, в точке   ряд имеет вид  и, как ряд Лейбница, сходится условно; в точке  ряд имеет вид , следовательно, расходится.

Калькулятор закономерностей решения + онлайн-решатель с бесплатными шагами

Калькулятор решения закономерностей используется для расчета будущих значений последовательности ; анализирует и прогнозирует значения, которые будут следующими в последовательности. Этот Калькулятор действительно уникален, потому что нет простого способа сделать это, и требуется много ударов и испытаний, чтобы получить решение такой проблемы.

Но вам не о чем беспокоиться, так как этот калькулятор может решить эти проблемы в мгновение ока. Он также может предоставить математическое выражение , описывающее саму последовательность. И все, что вам нужно сделать, это ввести последовательность и нажать кнопку, чтобы получить результаты.

Что такое «Решить калькулятор шаблонов»?

Solve the Pattern Calculator — это онлайн-калькулятор, предназначенный для поиска решения ваших задач Sequence.

Этот Калькулятор может не только узнать будущие значения последовательности, но и определить жизнеспособность Математическая модель существует, она может быть получена и для шаблона.

И все это делается в вашем браузере без каких-либо дополнительных загрузок.

Как пользоваться калькулятором паттернов решения?

Чтобы использовать Solve the Pattern Calculator , вы должны сначала ввести последовательность, разделенную запятой, в поле ввода, а затем нажать кнопку . Пошаговая инструкция выглядит следующим образом:

Шаг 1

Следует отметить, что номера шаблона должны быть разделены запятыми, иначе калькулятор не будет работать. Итак, первое, что нужно сделать, это правильно настроить данные.

Шаг 2

Введите данные настройки в поле ввода с надписью «Шаблон:», а затем нажмите кнопку «Отправить».

Шаг 3

При нажатии кнопки перед вами откроется новое окно с решением. Если вы хотите решить больше задач, вы можете просто ввести их в новом окне и получить результаты.

Как работает калькулятор моделей Solve?

A Калькулятор решения по образцу работает, беря последовательность чисел и затем решая математическое выражение для указанной последовательности. Эти шаблоны также упоминаются как Sequences , так как одна из очень популярных последовательностей Fibonacci Sequence .

Теперь, прежде чем мы углубимся в понимание того, как шаг за шагом работает Solve the Pattern Calculator , мы сначала узнаем о Sequences более подробно.

Последовательность

A Последовательность представляет собой набор точек данных, вещей, если можно, но с математической точки зрения это будет числа , которые упорядочены в той или иной форме. Последовательность представляет своего рода математическое выражение в основе набора чисел, они могут быть конечными или бесконечными.

A Последовательность может существовать в почти бесконечном количестве различных типов корреляций и основываться на равном количестве типов математических выражений. Обобщенное определение последовательности будет следующим:

a1, a2, a3, a4, a5 … an 

Где, если 0, 1, 2, 3, 4 … an = n

Решить последовательность

К Решить данную модель или последовательность означает найти значения, которые будут успешными те, что даны нам. Это делается с помощью нескольких методов, которые мы рассмотрим здесь.

Во-первых, мы начинаем с . Анализируем связь между каждым элементом последовательности, а затем пытаемся найти взаимосвязь между ними m атематически . Обычно это можно выразить так:

a1, a2, a3, a4, a5 … an

Где, если 0, 2, 4, 8, 16 … an = 2n

Вот как мы решаем последовательность, находя математическое решение для значения an.

Решенные примеры

Чтобы лучше понять концепцию, давайте углубимся в некоторые примеры.

Пример 1

Рассмотрим шаблон:

 1, 9, 17, 33, 49, 73 

Решите эту последовательность и найдите следующее значение в последовательности.

Решение

Начнем с первых трех записей этого шаблона. Вы можете видеть, что здесь есть закономерность. Число 9 – 1 = 8, а число 17 – 9 = 8, поэтому они имеют комбинацию, основанную на значении 8.

Двигаясь вперед, шаблон меняется, так как 33 – 17 = 16, что не равно 8, но это продолжается еще для одного значения, как 49 – 33 = 16.

Таким образом, мы можем видеть, что мы добавляем числа, кратные 8, дважды в последовательности. И математическое выражение для этой последовательности имеет вид:

а0 = 1

 а1 = а0 + 8 . 1 = 1 + 8 . 1 = 9

а2 = а1 + 8 . 1 = 9 + 8 . 1 = 17

а3 = а2 + 8 . 2 = 17 + 8 . 2 = 33

а4 = а3 + 8 . 2 = 33 + 8 . 2 = 49

Это логически повторяется по сравнению с Математической , но на основе шаблона мы можем вычислить следующее значение, равное 97, добавленное к 24.

Пример 2

Рассмотрим данную последовательность:

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21 

Вычислите следующую запись последовательности, а также найдите математическую модель этой последовательности.

Решение

Итак, мы начинаем с той же стратегии анализа для решения этой задачи, и мы видим, что шаблон немного сложнее получить без математического выражения, так что давайте попробуем разобраться в этом.

а0 = 0

а1 = 2 . а0 + 1 = 2 . 0 + 1 = 1

а2 = 2 . а1 + 1 = 2 . 1 – 1 = 1

а3 = 2 . а2 + 1 = 2 . 1 + 1 = 3

а4 = 2 . а3 + 1 = 2 . 3 – 1 = 5

Следовательно, мы имеем рекуррентное математическое выражение. Следовательно, следующим значением для этой последовательности будет 43. 29686275

 @inproceedings{Schmid2015ComparingCM,
  title={Сравнение компьютерных моделей, решающих задачи числового ряда},
  автор={Уте Шмид и Марко Рагни},
  booktitle={AGI},
  год = {2015}
} 

• Уте Шмид, Марко Рагни
• Опубликовано в AGI 22 июля 2015 г.
• Информатика

Индуктивное рассуждение требует найти для заданных случаев общее правило. Это делает индуктивное рассуждение отличным испытательным стендом для общего искусственного интеллекта. Примером, входящим в состав многих IQ-тестов, являются числовые ряды: для заданной последовательности чисел задача состоит в том, чтобы найти следующее «правильное» последующее число. Успешное рассуждение может потребовать выявления регулярных шаблонов и формирования правила, неявной базовой функции, которая генерирует этот числовой ряд. Задачи числовых рядов можно спроектировать… 

Просмотр через Publisher

agi-conf.org

KitBit: новая модель ИИ для решения тестов интеллекта и числовых рядов

• Виктор Корсино, Хосе Мануэль Гильперес, Луис Эррера

• 9 Компьютерные науки ArXiv

• 2022

Представлена ​​новая вычислительная модель под названием KitBit, которая использует сокращенный набор алгоритмов и их комбинаций для построения прогностической модели, которая идентифицирует базовый шаблон в числовых последовательностях, таких как те, которые включены в тесты IQ и другие тесты. гораздо большей сложности.

Оценка искусственного интеллекта: от измерения, ориентированного на задачу, к измерению, ориентированному на способности

В этом документе критически оцениваются различные способы оценки систем ИИ, а также роль компонентов и методов в этих системах, а также определяются три вида оценки: дискриминация человека , проблемные ориентиры и конфронтация сверстников.

КОГНИТИВНАЯ СЛОЖНОСТЬ ЗАДАНИЙ НА ЗАВЕРШЕНИЕ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ: ФОРМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ЭМПИРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

• Когнитивный комплекс, формальный анализ, эмпирический анализ

• Психология

• 2016

I

с показателем 1-10 из 25 ссылок

Сорт ByrelevanceMost, влияющий на PapersRecency

Применение индуктивной программы к индукции числа сериалов A Сценария As Tase с vigor2

908089208908. E. Kitzelmann, Ute Schmid

Информатика

KI

2014

Представлена ​​применимость аналитической системы индуктивного программирования Igor2 к задачам числовых рядов, и результаты показывают, что время выполнения Igor2 соответствует когнитивным результатам для большинство габаритов.

Inductive rule learning on the knowledge level

Applying Inductive Programming to Solving Number Series Problems-Comparing Performance of IGOR with Humans

• Verfasser Milovec, Martina Gutachter, Ute Schmid

• Computer Science

• 2014

This В диссертации представлено сравнительное исследование алгоритма IGOR и действий человека при решении задач с числовыми рядами и дается обзор результатов, проблем и некоторых соответствующих предложений по их решению, а также идеи для дальнейшего исследования проблем с числовыми рядами с помощью IGOR.

Предсказание чисел: подход ИИ к решению числовых рядов

• Марко Раньи, Андреас Кляйн

• Информатика

  KI

• 2011
Метод динамического обучения на основе ауральных сетей

902 Предлагаются задачи числовых рядов с более чем 50 000 числовых рядов из базы данных Online Encyclopedia of Integer Sequences.

Антропоморфный метод решения задач числовой последовательности

Серия решающих чисел — Архитектурные свойства успешных искусственных нейронных сетей

• Марко Раньи, Андреас Кляйн

• Информатика

  IJCCI

• Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей для изучения исследовательских вопросов о производительности ИНС, структурных свойствах и адекватной архитектуре ИНС для успешной работы с числовыми рядами.

  Полуаналитическая индукция натуральных чисел

  • M. Siebers, Ute Schmid

  • Информатика

    KI

  • 2012

  структура, определяющая данный числовой ряд и использующая полуинстанционную формулу для похищения новых примеров числовых рядов, которые могут быть решены более легко.

  Единая структура для анализа и оценки систем индуктивного программирования

  • М. Хофманн, Э. Китцельманн, Уте Шмид

  • Информатика

  • 2009

  Системы ILP, которые относятся либо к наиболее недавно исследованным, либо в настоящее время к наиболее мощным системам ИС в рамках этой структуры.

  No related posts.