\(x_1=\frac{6-10}{2}=-2\) \(x_1=\frac{-1+17}{-18}=\frac{16}{-18}=-\frac{8}{9}\) \(x_2=\frac{6+10}{2}=8\) \(x_2=\frac{-1-17}{-18}=\frac{-18}{-18}=1\)
\((x-8)(x+2)<0\) \(-9(x+\frac{8}{9})(x-1)≤0\)
Начертите числовую ось и отметьте на ней найденные корни. Если неравенство строгое (со знаком \(<\) или \(>\)) то точки должны быть выколоты, если неравенство нестрогое (со знаком \(≤\) или \(≥\)), то точки должны быть закрашены.
Нанесенные корни разбивают числовую ось на несколько интервалов.
В первом справа интервале поставьте:
\(-\) знак минус если перед скобками стоит знак минус.
В следующих за ним интервалах поставьте чередующиеся знаки.
Заштрихуйте подходящие интервалы, то есть числовые промежутки:
\(-\) со знаком «\(+\)», если в неравенстве стояло «\(>0\)» или «\(≥0\)»
\(-\) со знаком «\(-\)», если в неравенстве стояло «\(<0\)» или «\(≤0\)»
Выпишите в ответ те интервалы, которые вы заштриховали.
Внимание! При строгих знаках неравенства (\(<\) или \(>\)) границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде \((x_1;x_2)\) – скобки круглые. При нестрогих знаках неравенства (\(≤\) или \(≥\)) — границы интервала ВХОДЯТ в решение, и ответ записывается в виде \([x_1;x_2]\), с квадратными скобками на точках.
Ответ: \((-2;8)\) Ответ: \((-∞;\frac{8}{9}]∪[1;∞)\)
Пример.
2\)
\(x_1=\frac{-10-14}{6}=-4\) \(x_2=\frac{-10+14}{6}=\frac{2}{3}\)
Когда корни найдены, запишем неравенство в разложенном на множители виде.
\(3(x+4)(x-\frac{2}{3})≥0\)
Теперь начертим числовую ось, отметим на ней корни и расставим знаки на интервалах.
Выпишем в ответ интересующие нас интервалы . Так как знак неравенства \(≥\), то нам нужны интервалы со знаком \(+\), при этом сами корни мы включаем в ответ (скобки на этих точках – квадратные).
Ответ: \(x∈(-∞;-4]∪[ \frac{2}{3};∞)\)
Квадратные неравенства с отрицательным и равным нулю дискриминантом
Алгоритм выше работает, когда дискриминант больше нуля, то есть квадратный трехчлен имеет \(2\) корня.
2-64<0\)
\(D=-4 \cdot 64<0\)
Когда выражение слева меньше нуля?
Всегда. Значит неравенство выполняется при любых \(x\).
Ответ: \(x∈(-∞;∞)\)
Смотрите также:
Дробно-рациональные неравенства
Квадратные неравенства — tutomath.ru репетитор по математике
Чтобы решить квадратные неравенства вспомним, что такое квадратичная функция?
Квадратичная функция – это функция записанная формулой : y=ax2+bx+c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, при этом a≠0.
Графиком квадратичной функции является парабола.
В зависимости от значения a ветви графика направлены вверх или вниз:
- если a>0, то ветви параболы направлены вверх;
- если a<0, то ветви параболы направлены вниз;
- точки пересечения параболы с осью x, называются нулями функции и являются корнями квадратного уравнения: ax2+bx+c=0
Квадратные неравенства имеют вид.
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c<0
ax2+bx+c≥0
ax2+bx+c≤0
Чтобы начать решать квадратные неравенства, необходимо знать как решаются квадратные уравнения?
А также для графического метода решения неравенства, необходимо знать алгоритм построения квадратичной функции или параболы?
Как решать квадратные неравенства?
Решение квадратных неравенств рассмотрим на примерах. Для начала разберем случаи, когда у квадратного уравнения дискриминант меньше нуля (нет корней).
Пример:
3x2+2x+20>0
Приравняем к 0
3x2+2x+20=0
D=22—4•3•20=—236
Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, а это значит, что весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0 (ветви параболы смотрят вверх)
Можно проверить себя взяв любое число с числовой прямой, например число 1. Подставить число 1 вместо переменой х в неравенство 3x2+2x+20>0.
3•12+2•1+20>0
25>0
Получили верное неравенство 25>0, следовательно так как у нас нет корней уравнения нам подойдут все точки числовой прямой.
Ответ: x∈(-∞; +∞)
Пример:
Рассмотрим этот же пример со знаком неравенства меньше 0
3x2+2x+20<0
Приравняем к 0
3x2+2x+20=0
D=22—4•3•20=—236
Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, значит парабола не пересекает ось x. Весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0.
А знак уравнения меньше <0. Так как ниже оси x у нас нет параболы, следовательно нет решения у данного неравенства.
Можно проверить себя взяв любое число с числовой прямой, например число 1. Подставить число 1 вместо переменой х в неравенство 3x2+2x+20<0.
3•12+2•1+20<0
25<0
Получили неверное неравенство 25<0, следовательно у неравенства нет решения или пустое множество ø.
Ответ: x∈ ø
Пример:
Рассмотрим следующий пример.
x2+x-2<0
Приравняем к 0
x2+x-2=0
D=12—4•1•(—2)=9
x1=(-1+3)⁚2=1
x2=(-1-3)⁚2=-2
Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.
Знак уравнения меньше <0. Нам в ответ необходимо записать часть параболы, которая находится ниже оси x. Визуально графически можно оценить по картинке, нам подходит интервал (-2;1).
Также можно решить методом интервалов. Ось x делится на три участка. Первый участок (-∞;-2). На этом участке можно взять любое число меньше -2, например возьмем число -3 и подставим в неравенство x2+x-2<0 вместо переменой x.
(-3)2+(-3)-2<0
4<0
Получили неверное неравенство 4<0, следовательно у неравенства нет решения на участке (-∞; 2).
Второй участок (-2; 1). На этом участке можно взять число 0.
(0)2+(0)-2<0
-2<0
Получили верное неравенство -2<0, следовательно этот участок (-2; 1) подходит нам для ответа.
Третий участок (1; +∞). На этом участке можно взять число 2.
(2)2+(2)-2<0
4<0
Получили неверное неравенство 4<0, следовательно у неравенства нет решения на участке (1; +∞).
Ответ: x∈(-2; 1)
Пример:
Рассмотрим этот же пример с другим знаком неравенства.
x2+x-2>0
x2+x-2=0
D=12—4•1•(—2)=9
x1=(-1+3)⁚2=1
x2=(-1-3)⁚2=-2
Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.
Знак уравнения больше >0. Нам в ответ необходимо записать часть параболы, которая находится выше оси x. Визуально графически можно оценить по картинке, нам подходят интервалы (-∞;-2) и (1;+∞).
Также можно решить методом интервалов. Ось x делится на три участка.
Первый участок (-∞;-2). На этом участке можно взять любое число меньше -2, например возьмем число -3 и подставим в неравенство x2+x-2<0 вместо переменой x.
(-3)2+(-3)-2>0
4>0
Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (-∞; 2) подходит.
Второй участок (-2; 1). На этом участке можно взять число 0.
(0)2+(0)-2>0
-2>0
Получили неверное неравенство -2>0, следовательно этот интервал (-2; 1) не подходит.
Третий участок (1; +∞). На этом участке возьмем число 2.
(2)2+(2)-2>0
4>0
Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (1; +∞) подходит.
Ответ: x∈(-∞; 2)⋃(1; +∞)
Квадратные неравенства — Математика GCSE
Здесь мы узнаем о квадратных неравенствах, в том числе о том, как решать квадратные неравенства, определять наборы решений с использованием обозначения неравенства и представлять решения на числовой прямой.
Существуют также рабочие листы квадратичных неравенств, основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные рекомендации о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.
Что такое квадратные неравенства?
Квадратные неравенства 9{2}+ 6x +5 \leq 0 означает, что нам нужно знать значения x, когда график на меньше, чем 0 .
Это соответствует тому, где кривая находится на ниже оси x .
Из графика видно, что значения x должны быть между -1 и -5.
Следовательно, решение этого неравенства может быть записано с использованием обозначения неравенства:
-5\leq x \leq-1 .
Например,
9{2}+ 6x +5 > 0 означает, что нам нужно знать значения x, когда график на больше, чем 0 .
Это соответствует кривой над осью x .
Из графика видно, что значения x должны быть больше -1 и меньше -5 .
Таким образом, решение этого неравенства может быть записано с использованием обозначения неравенства в виде двух неравенств x > -1 или x < -5 .
Что такое квадратные неравенства?
Как решать квадратные неравенства
Чтобы решить квадратные неравенства путем разложения на множители:
- Факторизируйте квадратное выражение.
- Найдите значения x , при которых каждая скобка равна нулю.
- Запишите решение, используя запись неравенства.
Для решения квадратных неравенств по квадратной формуле:
- Определите значения a, b и c для подстановки в квадратичную формулу.
- Решите квадратное неравенство по квадратной формуле.
- Упрощение для вычисления решений неравенства.
- Запишите решение, используя запись неравенства.
Как решать квадратные неравенства путем факторизации
Как решать квадратные неравенства по квадратной формуле
Таблица квадратичных неравенств
Получите бесплатную таблицу квадратичных неравенств, содержащую более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.
СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО
ИксРабочий лист квадратного неравенства
Получите бесплатный рабочий лист квадратного неравенства, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.
СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО
Примеры квадратных неравенств 9{2}+7x+10
< 0 .- Факторизация квадратного выражения.
(х + 2) (х + 5) < 0
2 Найдите значения x, при которых каждая скобка равна нулю.
(x + 2) = 0, когда x = -2
(x + 5) = 0, когда x = -5
3 Запишите решение, используя запись неравенства.
Нам нужны значения x, которые создают график, который на
Факторизация квадратного выражения.
(x-2)(x+5)\leq0
Найдите значения x, при которых каждая скобка равна нулю.
(x — 2) = 0, если x = 2
(x + 5) = 0, если x = -5
Запишите решение, используя запись неравенства.
Нам нужны значения x, которые создают график, который на меньше или равен 0 и, следовательно, на ниже оси x . 9{2}-6x+8\geq0 .
Факторизация квадратного выражения.
(x-2)(x-4)\geq0
Найдите значений x, при которых каждая скобка равна нулю .
(x -2) = 0, когда x = 2
(x -4 ) = 0, когда x = 4
Запишите решение, используя запись неравенства.
Нам нужны значения x, которые создают график, который на больше или равен 0 и, следовательно, на выше x 9{2} + 9x + 4\leq0
Факторизация квадратного выражения.
(2x+1)(x+4)\leq0
Найдите значений x, при которых каждая скобка равна нулю .
(2x + 1) = 0, когда x = -\frac{1}{2}
(x +4 ) = 0, когда x = -4
Запишите решение, используя запись неравенства.
Нам нужны значения x, которые создают график, который на меньше или равен 0 и, следовательно, на ниже 9{2}-9>0 .
Факторизация квадратного выражения.
(x -3)(x + 3) > 0
Найдите значений x, при которых каждая скобка равна нулю .
(x +3) = 0, когда x = -3
(x -3 ) = 0, когда x = 3
Запишите решение, используя запись неравенства.
Нам нужны значения x, которые создают график, который на больше, чем 0 и, следовательно, на выше x {2}-16< 0
Разложите неравенство на множители.
(x — 4)(x + 4) = 0
Найдите значений x, при которых каждая скобка равна нулю .
(x +4) = 0 при x = -4
(x -4 ) = 0 при x = 4
Запишите решение, используя обозначение неравенства .
Нам нужны значения x, которые создают график, который на меньше, чем 0, и поэтому {2}-4 \times 5 \times-12}}{2 \times 5} \\ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36–240}}{10} \\ x = \frac{-6 \pm \sqrt{276}}{10}\]
\[x= \frac{-6+2\sqrt{69}}{10} \quad и \quad x=\ гидроразрыв{-6-2\sqrt{69}}{10}\\ x= \frac{-3+\sqrt{69}}{5} \quad и \quad x=\frac{-3-\sqrt{69}}{5}\]
В этом случае ответ дан в грубой форме, но вас могут попросить оставить ответы округленными до определенной степени точности.
Запишите решение, используя обозначение неравенства.
9{2}-4 \times 2 \times-4}}{2 \times 2} \\ х=\frac{3 \pm \sqrt{9–32}}{4} \\ x=\frac{3 \pm \sqrt{41}}{4}\]\[x=\frac{3+6.4}{4} \quad и \quad x=\frac{3-6.4}{ 4}\\ x = 2,35 \quad и \quad x = -0,85\]
В этом случае ответ дается с точностью до двух знаков после запятой, но вы можете оставить решение в грубой форме.
Запишите решение, используя обозначение неравенства.
Нам нужны значения x, которые создают график, который на меньше 9{2}
Найдите значения x, при которых каждая скобка равна нулю.
Поскольку обе скобки равны, существует только одно решение.
(x +3) = 0, когда x = -3
Запишите решение, используя запись неравенства.
Нам нужны значения x, которые создают график, который на меньше или равен 0 и, следовательно, на ниже оси x .
{2} < 1
9{2}-4 \times 3 \times-2}}{2 \times 3} .
Упростим неравенство, x = \frac{-4 \pm \sqrt{16–24}}{6} .
Упростим еще раз: x=\frac{-4 \pm \sqrt{40}}{6} .
Можно упростить до грубой формы, x = \frac{-4 \pm 2 \sqrt{10}}{6} .
Упростите дробь. Вы можете уйти в грубой форме, x = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{3} .
Исправить до 2 знаков после запятой, x \leq 0,39 и x \geq -1,72 . 9{2}+3x – 10 < 0 .
(b) Представьте свое решение части (a) в числовой строке ниже.
(6 баллов)
Показать ответ
(a)
(х -2)(х + 5) < 0
1 балл, если есть одна или две ошибки.
(2)
Найдены корни x =2 и x = -5
(1)
-5 < х < 2
(1)
(б) 9{2} – 4x – 21< 0 .
(1)
(х – 7)(х + 3) < 0 .
(1)
7 и -3
(1)
4 (1) Теперь вы научились: Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики. Узнайте больше о нашей программе повторения GCSE по математике. Чтобы решить квадратное неравенство, выполните следующие действия: Решите неравенство, как уравнение. Вещественные решения уравнения становятся граничными точками для решения неравенства. Сделайте граничные точки сплошными кругами, если исходное неравенство включает равенство; в противном случае сделайте граничные точки незамкнутыми кругами. Выберите точки из каждой области, созданной граничными точками. Замените эти «контрольные точки» в исходном неравенстве. Если контрольная точка удовлетворяет исходному неравенству, то область, содержащая эту контрольную точку, является частью решения. Представьте решение в графической форме и в виде набора решений. Пример 1 Решить ( x – 3)( x + 2) > 0, Решите ( x – 3)( x + 2) = 0. По свойству нулевого произведения, Сделайте граничные точки. Здесь граничные точки — открытые кружки, поскольку исходное неравенство не включает равенство (см. рис. 1). Выберите точки из разных созданных регионов (см. рис. 2). Проверить, удовлетворяют ли контрольные точки исходному неравенству. Поскольку x = –3 удовлетворяет исходному неравенству, область x < –2 является частью решения. Поскольку x = 0 не удовлетворяет исходному неравенству, область –2 < x < 3 не является частью решения. Поскольку x = 4 удовлетворяет исходному неравенству, область x > 3 является частью решения. Представьте решение в графической форме и в виде набора решений. Графическая форма показана на рисунке 3. Форма набора решений: { x | x < –2 или x > 3}. Рис. 1. Граничные точки. Рис. 2. Созданы три области. Рисунок 3. Решение примера Пример 2 Решить 9 x 2 – 2 ≤ –3 х . По факторингу, Отметьте граничные точки сплошными кружками, как показано на рис. 4, поскольку исходное неравенство включает равенство. Выберите точки из созданных областей (см. Проверить, удовлетворяют ли контрольные точки исходному неравенству. Поскольку x = –1 не удовлетворяет исходному неравенству, область не является частью решения. С x = 0 удовлетворяет исходному неравенству, область является частью решения. Поскольку x = 1 не удовлетворяет исходному неравенству, область составляет , а не часть решения. Представьте решение в графической форме и в виде набора решений. Графическая форма показана на рисунке 6. Форма набора Рисунок 4. Сплошные точки означают включение. Рисунок 5. Области для тестирования для примера Рис. 6. Решение примера. Пример 3 Решить 4 t 2 – 9 < –4 t . Так как это квадратичное число нелегко разложить на множители, для его решения используется квадратичная формула. Уменьшить путем деления общего множителя 4. Так как примерно 3.2, Отметьте граничные точки незакрашенными кружками, как показано на рис. 7, поскольку исходное неравенство не включает равенство. Выберите точки из разных созданных регионов (см. рис. 8). Проверить, удовлетворяют ли контрольные точки исходному неравенству. Поскольку t = 3 не удовлетворяет исходному неравенству, область не является частью решения. Поскольку t = 0 удовлетворяет исходному неравенству, область является частью решения. Поскольку t = 2 не удовлетворяет исходному неравенству, область не является частью решения. Представьте решение в графической форме и в виде набора решений. Графическая форма показана на рисунке 9. Форма набора решений Рисунок 7. Открытые точки означают исключение. Рис. 8. Области для тестирования для примера. Рис. 9. Решение примера. Пример 4 Решить Так как это квадратное число не может быть факторизовано с помощью рациональных чисел, для его решения будет использоваться формула квадратного уравнения. Учебный контрольный список
Все еще зависает?
Решение квадратных неравенств
рис. 5).
