Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2 порядка: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Данная статья раскрывает вопрос о решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Будет рассмотрена теория вместе с примерами приведенных задач. Для расшифровки непонятных терминов необходимо обращаться к теме об основных определениях и понятиях теории дифференциальных уравнений.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами вида y»+p·y’+q·y=f(x), где произвольными числами являются p и q, а имеющаяся функция f(х) непрерывная на интервале интегрирования x.

Перейдем к формулировке теоремы общего решения ЛНДУ.

Теорема общего решения ЛДНУ

Теорема 1

Общим решением, находящимся на интервале х, неоднородного дифференциального уравнения вида y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f0(x)·y=f(x) с непрерывными коэффициентами интегрирования на x интервале f0(x), f1(x),…, fn-1(x) и непрерывной функцией f(x) равняется сумме общего решения y0, которое соответствует ЛОДУ и каким-нибудь частным решением y~, где исходным неоднородным уравнением является y=y0+y~.

Отсюда видно, что решение такого уравнения второго порядка имеет вид y=y0+y~. Алгоритм нахождения  y0 рассмотрен в статье о линейных однородных дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами. После чего следует переходить к определению y~.

Выбор частного решения ЛНДУ зависит от вида имеющейся функции f(x), располагающейся в правой части уравнения. Для этого необходимо рассмотреть отдельно решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка при постоянных коэффициентах.

Когда f(x) считается за многочлен n-ой степени f(x) = Pn(x), отсюда следует, что частное решение ЛНДУ находим по формуле вида y~=Qn(x)·xγ, где Qn(x) является многочленом степени n, r – это количество нулевых корней характеристического уравнения. Значение y~ является частным решением y~»+p·y~’+q·y~=f(x), тогда имеющиеся коэффициенты, которые определены многочленом

Qn(x), отыскиваем при помощи метода неопределенных коэффициентов из равенства y~»+p·y~’+q·y~=f(x).

Пример 1

Вычислить по теореме Коши y»-2y’=x2+1, y(0)=2, y'(0)=14.

Решение

Иначе говоря, необходимо перейти к частному решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y»-2y’=x2+1, которое будет удовлетворять заданным условиям y(0)=2, y'(0)=14.

Общим решением линейного неоднородного уравнения является сумма общего решения, которое соответствует уравнению y0 или частному решению неоднородного уравнения y~, то есть y=y0+y~.

Для начала найдем общее решение для ЛНДУ, а после чего – частное.

Перейдем к нахождению y0. Запись характеристического уравнения поможет  найти корни. Получаем, что

k2-2k=0k(k-2)=0k1=0, k2=2

Получили, что корни различные и действительные. Поэтому запишем

y0=C1e0x+C2e2x=C1+C2e2x.

Найдем y~. Видно, что правая часть заданного уравнения является многочленом второй степени, тогда один из корней равняется нулю. Отсюда получим, что частным решением для y~ будет

y~=Q2(x)·xγ=(Ax2+Bx+C)·x=Ax3+Bx2+Cx, где значения А, В, С принимают неопределенные коэффициенты.

Найдем их из равенства вида y~»-2y~’=x2+1.

Тогда получим, что:

y~»-2y~’=x2+1(Ax3+Bx2+Cx)»-2(Ax3+Bx2+Cx)’=x2+13Ax2+2Bx+C’-6Ax2-4Bx-2C=x2+16Ax+2B-6Ax2-4Bx-2C=x2+1-6Ax2+x(6A-4B)+2B-2C=x2+1

Приравняв коэффициенты с одинаковыми показателями степеней x, получим систему линейных выражений -6A=16A-4B=02B-2C=1.  При решении любым из способов найдем коэффициенты и запишем: A=-16, B=-14, C=-34 и y~=Ax3+Bx2+Cx=-16×3-14×2-34x.

Эта запись называется общим решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для нахождения частного решения, которое удовлетворяет условиям y(0)=2, y'(0)=14, требуется определить значения C1 и C2 , исходя из равенства вида y=C1+C2e2x-16×3+14×2+34x.

Получаем, что:

y(0)=C1+C2e2x-16×3+14×2+34xx=0=C1+C2y'(0)=C1+C2e2x-16×3+14×2+34x’x=0==2C2e2x-12×2+12x+34x=0=2C2-34

Работаем с полученной системой уравнений вида C1+C2=22C2-34=14, где C1=32, C2=12.

Применив теорему Коши, имеем, что

y=C1+C2e2x-16×3+14×2+34x==32+12e2x-16×3+14×2+34x

Ответ: 32+12e2x-16×3+14×2+34x.

Когда функция f(x) представляется  в виде произведения многочлена со степенью n и экспоненты f(x)=Pn(x)·eax, тогда отсюда получаем, что  частным решением ЛНДУ второго порядка будет уравнение вида y~=eax·Qn(x)·xγ, где Qn(x) является многочленом n-ой степени, а r – количеством корней характеристического уравнения, равняющиеся α.

Коэффициенты, принадлежащие Qn(x) находятся по равенству  y~»+p·y~’+q·y~=f(x).

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения вида y»-2y’=(x2+1)·ex.

Решение

Уравнение общего вида y=y0+y~.  Указанное уравнение соответствует ЛОДУ y»-2y’=0. По предыдущему примеру видно, что его корни равняются k1=0 и k2=2 и y0=C1+C2e2x по характеристическому уравнению.

Видно, что правой частью уравнения является x2+1·ex. Отсюда ЛНДУ находится через y~=eax·Qn(x)·xγ, где Qn(x), являющимся многочленом второй степени, где α=1 и r=0, потому как у характеристического уравнения отсутствует корень, равный 1.

Отсюда получаем, что

y~=eax·Qn(x)·xγ=ex·Ax2+Bx+C·x0=ex·Ax2+Bx+C.

А, В, С являются неизвестными коэффициентами, которые можно найти по равенству y~»-2y~’=(x2+1)·ex.

Получили, что

y~’=ex·Ax2+Bx+C’=ex·Ax2+Bx+C+ex·2Ax+B==ex·Ax2+x2A+B+B+Cy~»=ex·Ax2+x2A+B+B+C’==ex·Ax2+x2A+B+B+C+ex·2Ax+2A+B==ex·Ax2+x4A+B+2A+2B+C

Значит

y~»-2y~’=(x2+1)·ex⇔ex·Ax2+x4A+B+2A+2B+C—2ex·Ax2+x2A+B+B+C=x2+1·ex⇔ex·-Ax2-Bx+2A-C=(x2+1)·ex⇔-Ax2-Bx+2A-C=x2+1⇔-Ax2-Bx+2A-C=1·x2+0·x+1

Показатели при одинаковых коэффициентах приравниваем и получаем систему линейных уравнений. Отсюда и находим А, В, С:

-A=1-B=02A-C=1⇔A=-1B=0C=-3

Ответ: видно, что y~=ex·(Ax2+Bx+C)=ex·-x2+0·x-3=-ex·x2+3 является частным решением ЛНДУ, а y=y0+y=C1e2x-ex·x2+3 — общим решением для неоднородного дифуравнения второго порядка.

Когда функция записывается как f(x)=A1cos(βx)+B1sinβx, а А1 и В1являются числами, тогда частным решением ЛНДУ считается уравнение вида y~=Acosβx+Bsinβx·xγ, где А и В считаются неопределенными коэффициентами, а r числом комплексно сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняющимся ±iβ. В этом случае поиск коэффициентов проводится по равенству y~»+p·y~’+q·y~=f(x).

Пример 3

Найти общее решение дифференциального уравнения вида y»+4y=cos(2x)+3sin(2x).

Решение

Перед написанием характеристического уравнения находим y0. Тогда

k2+4=0k2=-4k1=2i, k2=-2i

Имеем пару комплексно сопряженных корней. Преобразуем и получим:

y0=e0·(C1cos(2x)+C2sin(2x))=C1cos2x+C2sin(2x)

Корни из характеристического уравнения считаются сопряженной парой ±2i, тогда f(x)=cos(2x)+3sin(2x). Отсюда видно, что поиск y~ будет производиться из y~=(Acos(βx)+Bsin(βx)·xγ=(Acos(2x)+Bsin(2x))·x. Неизвестные коэффициенты А и В будем искать из равенства вида y~»+4y~=cos(2x)+3sin(2x).

Преобразуем:

y~’=((Acos(2x)+Bsin(2x)·x)’==(-2Asin(2x)+2Bcos(2x))·x+Acos(2x)+Bsin(2x)y~»=((-2Asin(2x)+2Bcos(2x))·x+Acos(2x)+Bsin(2x))’==(-4Acos(2x)-4Bsin(2x))·x-2Asin(2x)+2Bcos(2x)—2Asin(2x)+2Bcos(2x)==(-4Acos(2x)-4Bsin(2x))·x-4Asin(2x)+4Bcos(2x)

Тогда видно, что

y~»+4y~=cos(2x)+3sin(2x)⇔(-4Acos(2x)-4Bsin(2x))·x-4Asin(2x)+4Bcos(2x)++4(Acos(2x)+Bsin(2x))·x=cos(2x)+3sin(2x)⇔-4Asin(2x)+4Bcos(2x)=cos(2x)+3sin(2x)

Необходимо приравнять коэффициенты синусов и косинусов. Получаем систему вида:

-4A=34B=1⇔A=-34B=14

Следует, что y~=(Acos(2x)+Bsin(2x)·x=-34cos(2x)+14sin(2x)·x.

Ответ: 

общим решением исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами считается

y=y0+y~==C1cos(2x)+C2sin(2x)+-34cos(2x)+14sin(2x)·x

Когда f(x)=eax·Pn(x)sin(βx)+Qk(x)cos(βx), тогда y~=eax·(Lm(x)sin(βx)+Nm(x)cos(βx)·xγ. Имеем, что r – это число комплексно сопряженных пар корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняются α±iβ, где Pn(x), Qk(x), Lm(x) и Nm(x) являются многочленами степени n, k, т, m, где m=max(n, k). Нахождение коэффициентов Lm(x) и Nm(x) производится, исходя из равенства y~»+p·y~’+q·y~=f(x).

Пример 4

Найти общее решение y»+3y’+2y=-e3x·((38x+45)sin(5x)+(8x-5)cos(5x)).

Решение

По условию видно, что

α=3, β=5, Pn(x)=-38x-45, Qk(x)=-8x+5, n=1, k=1

Тогда m=max(n,k)=1. Производим нахождение y0, предварительно записав характеристическое уравнение вида:

k2-3k+2=0D=32-4·1·2=1k1=3-12=1, k2=3+12=2

Получили, что корни являются действительными и различными.

Отсюда y0=C1ex+C2e2x. Далее необходимо искать общее решение, исходя из неоднородного уравнения y~ вида

y~=eαx·(Lm(x)sin(βx)+Nm(x)cos(βx)·xγ==e3x·((Ax+B)cos(5x)+(Cx+D)sin(5x))·x0==e3x·((Ax+B)cos(5x)+(Cx+D)sin(5x))

Известно, что А, В, С являются коэффициентами, r=0, потому как отсутствует пара сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению с α±iβ=3±5·i. Данные коэффициенты находим из полученного равенства:

y~»-3y~’+2y~=-e3x((38x+45)sin(5x)+(8x-5)cos(5x))⇔(e3x((Ax+B)cos(5x)+(Cx+D)sin(5x)))»—3(e3x((Ax+B)cos(5x)+(Cx+D)sin(5x)))=-e3x((38x+45)sin(5x)+(8x-5)cos(5x))

Нахождение производной и подобных слагаемых дает

-e3x·((15A+23C)·x·sin(5x)++(10A+15B-3C+23D)·sin(5x)++(23A-15C)·x·cos(5x)+(-3A+23B-10C-15D)·cos(5x))==-e3x·(38·x·sin(5x)+45·sin(5x)++8·x·cos(5x)-5·cos(5x))

После приравнивания коэффициентов получаем систему вида

15A+23C=3810A+15B-3C+23D=4523A-15C=8-3A+23B-10C-15D=-5⇔A=1B=1C=1D=1

Из всего следует, что

y~=e3x·((Ax+B)cos(5x)+(Cx+D)sin(5x))==e3x·((x+1)cos(5x)+(x+1)sin(5x))

Ответ: теперь получено общее решение заданного линейного уравнения:

y=y0+y~==C1ex+C2e2x+e3x·((x+1)cos(5x)+(x+1)sin(5x))

Алгоритм решения ЛДНУ

Определение 1

Любой другой вид функции f(x) для решения предусматривает соблюдение алгоритма решения:

• нахождение общего решения соответствующего линейного однородного уравнения, где y0=C1⋅y1+C2⋅y2, где y1 и y2являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ, С1 и С2считаются произвольными постоянными;
• принятие в качестве общего решения ЛНДУ y=C1(x)⋅y1+C2(x)⋅y2;
• определение производных функции через систему вида C1′(x)+y1(x)+C2′(x)·y2(x)=0C1′(x)+y1′(x)+C2′(x)·y2′(x)=f(x), а нахождение функций C1(x) и C2(x) посредствам интегрирования.

Пример 5

Найти общее решение для y»+36y=24sin(6x)-12cos(6x)+36e6x.

Решение

Переходим к написанию характеристического уравнения, предварительно записав y0, y»+36y=0. Запишем и решим:

k2+36=0k1=6i, k2=-6i⇒y0=C1cos(6x)+C2sin(6x)⇒y1(x)=cos(6x), y2(x)=sin(6x)

Имеем, что запись общего решения заданного уравнения получит вид y=C1(x)·cos(6x)+C2(x)·sin(6x). Необходимо перейти к определению производных функций C1(x) и C2(x) по системе с уравнениями:

C1′(x)·cos(6x)+C2′(x)·sin(6x)=0C1′(x)·(cos(6x))’+C2′(x)·(sin(6x))’=0⇔C1′(x)·cos(6x)+C2′(x)·sin(6x)=0C1′(x)(-6sin(6x)+C2′(x)(6cos(6x))==24sin(6x)-12cos(6x)+36e6x

Необходимо произвести решение относительно C1′(x) и C2′(x) при помощи любого способа. Тогда запишем:

C1′(x)=-4sin2(6x)+2sin(6x)cos(6x)-6e6xsin(6x)C2′(x)=4sin(6x)cos(6x)-2cos2(6x)+6e6xcos(6x)

Каждое из уравнений следует проинтегрировать . Тогда запишем получившиеся уравнения:

C1(x)=13sin(6x)cos(6x)-2x-16cos2(6x)++12e6xcos(6x)-12e6xsin(6x)+C3C2(x)=-16sin(6x)cos(6x)-x-13cos2(6x)++12e6xcos(6x)+12e6xsin(6x)+C4

Отсюда следует, что общее решение будет иметь вид:

y=13sin(6x)cos(6x)-2x-16cos2(6x)++12e6xcos(6x)-12e6xsin(6x)+C3·cos(6x)++-16sin(6x)cos(6x)-x-13cos2(6x)++12e6xcos(6x)+12e6xsin(6x)+C4·sin(6x)==-2x·cos(6x)-x·sin(6x)-16cos(6x)++12e6x+C3·cos(6x)+C4·sin(6x)

Ответ: y=y0+y~=-2x·cos(6x)-x·sin(6x)-16cos(6x)++12e6x+C3·cos(6x)+C4·sin(6x)

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

3.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) порядка

Или коротко , где .

Уравнение , левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ, называют Соответствующим данному ЛНДУ однородным уравнением.

Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ).

Общее решение ЛНДУ Порядка с непрерывными на некотором интервале коэффициентами равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения ЛНДУ, т. е. .

Доказательство. В первую очередь, подставим функцию В исходное уравнение и убедимся в том, что она действительно является решением ЛНДУ:

При выводе были использованы линейные свойства линейного дифференциального оператора и то, что функция Есть общее решение ОЛДУ, так что , а функция Есть частное решение НЛДУ, так что .

Далее, чтобы доказать, что данное решение является общим, необходимо для заданных начальных условий найти единственную комбинацию Произвольных постоянных, обеспечивающих решение задачи Коши.

Дифференцируя функцию Раз, и подставляя в нее и во все ее производные заданные начальные условия, получим систему линейных уравнений относительно произвольных постоянных следующего вида:

Определителем этой системы является Вронскиан , который не равен нулю, поскольку по условию теоремы решения образуют фундаментальную систему решений соответствующего ОЛДУ. При условии данная система линейных неоднородных алгебраических уравнений имеет единственное решение относительно неизвестных , которое обозначим как .

Таким образом, сумма линейной комбинации фундаментальных решений вида и частного решения Является решением, получена из общего решения при некоторых значениях Произвольных постоянных и по построению удовлетворяет начальным условиям, что и требовалось доказать.

Если известна фундаментальная система решений соответствующего ОЛДУ и, следовательно, его общее решение , то для определения частного решения НЛДУ порядка можно воспользоваться Методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.

Этот метод заключается в том, что частное решение НЛДУ ищут в виде

,

Т. е. в виде линейной комбинации неизвестных функций и заранее вычисленных фундаментальных решений соответствующего ОЛДУ.

Предварительно находят производные из системы алгебраических уравнений следующего вида:

Определителем этой системы является Вронскиан , который не равен нулю при любом , поскольку решения образуют фундаментальную систему решений соответствующего ОЛДУ.

При условии данная система линейных неоднородных алгебраических уравнений имеет единственное решение относительно неизвестных , которое представим в виде равенств .

Интегрируя каждое из полученных равенств, получим набор первообразных для функций .

Окончательно, получаем функцию ,

Которая, как доказано в общей теории, является частным решением ЛНДУ при условии непрерывности на некотором интервале функций .

Отметим, что для произвольного НЛДУ порядка нет общего способа построения системы фундаментальных решений . Таким образом, методом Лагранжа можно воспользоваться только тогда, когда эту фундаментальную систему каким-либо способом удается найти. Если НЛДУ порядка имеет числовые коэффициенты , то фундаментальная система решений , соответствующего ОЛДУ, находится всегда и достаточно просто. В этом случае для нахождения частного решения всегда можно использовать метод Лагранжа.

Теорема (о наложении решений ЛНДУ).

Если правая часть ЛНДУ представлена в виде суммы нескольких функций, так что

, и есть частные решения неоднородных уравнений , то сумма этих частных решений есть некоторое частное решение исходного ЛНДУ.

Доказательство. Подставим функцию В исходное уравнение и убедимся в том, что эта функция действительно является решением ЛНДУ:

.

При выводе были использованы линейные свойства линейного дифференциального оператора и условия теоремы. Таким образом, теорема полностью доказана.

Частным случаем ЛНДУ являются линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка с постоянными числовыми коэффициентами вида .

Так как постоянные функции непрерывны на любом промежутке, то по теореме о структуре общего решения ЛНДУ для того, чтобы найти общее решение данного уравнения достаточно построить фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, найти некоторое частное решение ЛНДУ и представить общее решение в следующем виде:

.

Рассмотрим на примере ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, как находится его общее решение с использованием метода Лагранжа для отыскания частного решения.

Пример. Найти общее решение уравнения .

На первом этапе ищется общее решение соответствующего однородного уравнения Его характеристическое уравнение имеет вид Корни характеристического уравнения находятся по общей формуле вычисления корней квадратного уравнения и в данном случае равны , .

В соответствии с общей теорией функции , являются линейно независимыми, и для уравнения второго порядка образует фундаментальную систему решений.

Таким образом, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

.

Заменим в общем решении Постоянные Неизвестными функциями И в соответствии с методом неопределенных коэффициентов будем искать частное решение НЛДУ в виде .

Предварительно для НЛДУ второго порядка решается система уравнений

Линейная относительно производных неизвестных функций .

Для данного уравнения указанная система имеет вид

Определителем этой системы является Вронскиан который всегда отличен от нуля, что позволяет найти неизвестные по формулам Крамера

, .

Интегрируя полученные дифференциальные уравнения и выделяя первообразные их правых частей , , находим неизвестные функции в виде , . Отсюда, частное решение данного НЛДУ равно

.

Окончательно, общее решение данного уравнения записывается в виде

.

Пример. Найти общее решение уравнения .

На первом этапе ищется общее решение соответствующего однородного уравнения Его характеристическое уравнение имеет вид Корни характеристического уравнения находятся с использованием общей формулы вычисления корней квадратного уравнения и в данном случае равны , , .

В соответствии с общей теорией функции , , являются линейно независимыми, и для уравнения третьего порядка образует фундаментальную систему решений.

Таким образом, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

.

Заменим в общем решении Постоянные Неизвестными функциями И в соответствии с методом неопределенных коэффициентов Лагранжа будем искать частное решение НЛДУ в следующем виде:

.

Для данного НЛДУ третьего порядка система уравнений, линейная относительно производных неизвестных функций имеет вид:

Определителем этой системы является Вронскиан

Который отличен от нуля, что позволяет найти неизвестные По формулам Крамера в следующем виде: , , .

Интегрируя полученные дифференциальные уравнения, находим неизвестные функции , , . Отсюда, частное решение данного НЛДУ равно .

Окончательно, общее решение данного уравнения записывается в виде

.

Пусть правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения порядка с постоянными числовыми коэффициентами имеет Специальный вид:

1) ,

2) ,

Где – вещественные числа, И– полиномы степеней и .

Как и ранее, чтобы найти общее решение данного уравнения достаточно построить фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, найти некоторое частное решение ЛНДУ и представить общее решение в виде .

Однако если правая часть ЛНДУ имеет специальный вид, то частное решение уравнения также имеет структуру, аналогичную правой части, и может быть найдено по Методу неопределенных коэффициентов. Этот метод несколько проще метода вариации произвольных постоянных, так как не включает в себя операцию интегрирования функций.

1) Рассмотрим вначале ЛНДУ с постоянными коэффициентами второго порядка со специальной частью первого вида .

В этом случае частное решение дифференциального уравнения ищем в виде

,

Т. е. выбираем полином той же степени, что и в правой части, только с неизвестными заранее коэффициентами , а число назначаем равным числу в правой части.

Показатель степенной функции выбирают равным нулю, если число не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, и равным кратности корня характеристического уравнения в случае совпадения числа с каким-либо корнем.

Рассмотрим на конкретных примерах ЛНДУ второго порядка, как находится его общее решение с использованием метода неопределенных коэффициентов для отыскания частного решения .

Пример. Найти общее решение уравнения .

На первом этапе ищется общее решение соответствующего однородного уравнения . Его характеристическое уравнение имеет корни , . Следовательно, фундаментальная система решений имеет вид ,, а общее решение соответствующего однородного уравнения есть .

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Так как не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, то и частное решение будем искать в виде

.

Вычислив производные ,И подставив , и в исходное уравнение получим (после сокращения на ) следующее тождество:

.

Сравнивая коэффициенты обеих частей этого тождества, получим систему трех линейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов:

,

Откуда .

Итак, , и, следовательно, общее решение уравнения имеет вид .

Пример. Найти общее решение уравнения .

На первом этапе ищется общее решение соответствующего однородного уравнения . Его характеристическое уравнение имеет двукратный корень . Следовательно, фундаментальная система решений имеет вид ,, а общее решение соответствующего однородного уравнения есть .

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Так как совпадает с двукратным корнем характеристического уравнения, то и частное решение будем искать в виде

.

Вычислив производные ,И подставив , и в исходное уравнение получим (сократив на и сравнив коэффициенты при одинаковых степенях ) следующие значения для неопределенных коэффициентов: .

Следовательно, , а общее решение данного уравнения имеет вид .

2) Рассмотрим далее ЛНДУ с постоянными коэффициентами второго порядка со специальной частью второго вида .

В этом случае частное решение уравнения ищем в виде

,

Т. е. выбираем полиномы при косинусе и синусе наибольшей степени, из имеющихся в правой части, с неизвестными заранее коэффициентами и , а числа , назначаем равными числам , , стоящим в правой части.

Показатель степенной функции выбирают равным нулю, если комплексное число , не совпадает ни с одним комплексным корнем характеристического уравнения, и равным кратности комплексного корня характеристического уравнения в случае совпадения числа с каким-либо комплексным корнем.

Рассмотрим на конкретных примерах ЛНДУ второго порядка, как находится его общее решение с использованием метода неопределенных коэффициентов для отыскания частного решения .

Пример. Найти частное решение уравнения .

На первом этапе ищется общее решение соответствующего однородного уравнения . Его характеристическое уравнение имеет два различных комплексных корня ,. Следовательно, фундаментальная система вещественных решений имеет вид , , а общее решение соответствующего однородного уравнения есть .

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Так как комплексная пара сопряженных чисел правой части исходного уравнения совпадает с комплексной парой корней кратности один характеристического уравнения, то и частное решение будем искать в виде

.

Вычислив производные ,И подставив , и в исходное уравнение получим следующее тождество: . Сравнивая коэффициенты при синусе и косинусе, найдем следующие значения для неопределенных коэффициентов: . Следовательно, , а общее решение данного уравнения имеет вид .

< Предыдущая		Следующая >

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Содержание статьи

1. Основы решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка (ЛНДУ-2) с постоянными коэффициентами (ПК)

2. Решение ЛНДУ 2-го порядка с ПК

Основы решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка (ЛНДУ-2) с постоянными коэффициентами (ПК)

ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами $p$ и $q$ имеет вид $y»+p\cdot y’+q\cdot y=f\left(x\right)$, где $f\left(x\right)$ — непрерывная функция.

В отношении ЛНДУ 2-го с ПК справедливы два следующих утверждения.

Предположим, что некоторая функция $U$ является произвольным частным решением неоднородного дифференциального уравнения. Предположим также, что некоторая функция $Y$ является общим решением (ОР) соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) $y»+p\cdot y’+q\cdot y=0$. Тогда ОР ЛНДУ-2 равно сумме указанных частного и общего решений, то есть $y=U+Y$.

Если правая часть ЛНДУ 2-го порядка представляет собой сумму функций, то есть $f\left(x\right)=f_{1} \left(x\right)+f_{2} \left(x\right)+. {r} $, где $Q_{s} \left(x\right)$ и $R_{s} \left(x\right)$ — многочлены степени $s$, число $s$ — максимальное из двух чисел $n$ и $m$, а $r$ — количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных $\alpha +i\cdot \beta $. Коэффициенты многочленов $Q_{s} \left(x\right)$ и $R_{s} \left(x\right)$ находят методом НК.

Метод НК состоит в применении следующего правила. Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты многочлена, которые входят в состав частного решения неоднородного дифференциального уравнения ЛНДУ-2, необходимо:

• подставить ЧР $U$, записанное в общем виде, в левую часть ЛНДУ-2;
• в левой части ЛНДУ-2 выполнить упрощения и сгруппировать члены с одинаковыми степенями $x$;
• в полученном тождестве приравнять коэффициенты при членах с одинаковыми степенями $x$ левой и правой частей;
• решить полученную систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов.

Пример 1

Задача: найти ОР ЛНДУ-2 $y»-3\cdot y’-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^{3\cdot x} $. {3\cdot x} $.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 19.01.2022

Выполнение любых типов работ по математике

Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

Подбор готовых материалов по теме

Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

{\ простое \ простое} + py’ + qy = 0. \]

Теорема.

Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения \({y_0}\left( x \right)\) родственного однородного уравнения и частного решения \({y_1}\left( x \right) \) неоднородного уравнения:

\[y\влево( x \вправо) = {y_0}\влево( x \вправо) + {y_1}\влево( x \вправо).\]

Ниже мы рассмотрим два метода построения общего решения неоднородного дифференциального уравнения.

Метод вариации констант

Если известно общее решение \({y_0}\) ассоциированного однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации постоянных.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка равно

\[{y_0}\влево( x \вправо) = {C_1}{Y_1}\влево( x \вправо) + {C_2}{Y_2}\влево( x \вправо).\]

Вместо констант \({C_1}\) и \({C_2}\) будем рассматривать произвольные функции \({C_1}\left( x \right)\) и \({C_2}\left( x \ справа).\) Найдем такие функции, что решение

\[y = {C_1}\влево( x \вправо){Y_1}\влево( x \вправо) + {C_2}\влево( x \вправо){Y_2}\влево( x \вправо)\]

удовлетворяет неоднородному уравнению с правой частью \(f\left( x \right). \)

Неизвестные функции \({C_1}\left( x \right)\) и \({C_2}\left( x \right)\) можно определить из системы двух уравнений:

\[\left\{ \begin{array}{l} {C’_1}\left( x \right){Y_1}\left( x \right) + {C’_2} \left( x \right) {Y_2}\влево( x \вправо) = 0\\ {C’_1} \влево( x \вправо){Y’_1} \влево( x \вправо) + {C’_2} \влево( x \вправо ){Y’_2} \left( x \right) = f\left( x \right) \end{массив} \right..\]

Метод неопределенных коэффициентов

Правая часть \(f\left( x \right)\) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой показательную, полиномиальную или тригонометрическую функцию или комбинацию этих функций. В этом случае удобнее искать решение такого уравнения методом неопределенных коэффициентов.

Данный метод работает только для ограниченного класса функций в правой части, таких как 9{\альфа х}},\]

где \({{P_n}\left( x \right)}\) и \({{Q_m}\left( x \right)}\) — многочлены степени \(n\) и \(m,\ ) соответственно. s},\) где \(s\) — порядок корня \(\alpha\) в характеристическом уравнении.

В случае \(2,\), если число \(\alpha + \beta i\) совпадает с корнем характеристического уравнения, ожидаемое выражение для частного решения следует умножить на дополнительный множитель \(x.\ )

Неизвестные коэффициенты можно определить путем подстановки ожидаемого типа частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Принцип суперпозиции

Если правая часть неоднородного уравнения является суммой нескольких функций рода 92} = — 1,\;\; \Rightarrow {k_{1,2}} = \pm i.\]

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

\[{y_0}\left( x \right) = {C_1}\cos x + {C_2}\sin x.\]

Вернемся к неоднородному уравнению. Будем искать ее решение в виде

\[y\влево( x \вправо) = {C_1}\влево( x \вправо)\cos x + {C_2}\влево( x \вправо)\sin x,\]

методом вариации констант.

Функции \({C_1}\left( x \right)\) и \({C_2}\left( x \right)\) можно определить из следующей системы уравнений: 9\ простое число} = {\ грех 2x} \end{массив} \right. 3}x + {A_1},\] 9{\простое\простое}_1} = 0.\]

Подстановка в дифференциальное уравнение дает:

\[0 + A — 6\left( {Ax + B} \right) = 36x,\;\; \Правая стрелка А — 6Ах — 6В = 36х.\]

Последнее уравнение должно выполняться для всех значений \(x,\), поэтому коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) в правой и левой частях должны быть одинаковыми:

\[\left\{ \begin{массив}{l} — 6А = 36\\ А — 6В = 0 \конец{массив} \право..\]

Находим из этой системы, что \(A = -6,\) \(B = -1.\) В результате частное решение записывается как 9{2x}} — 6x — 1.\]

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

17.6 Линейные уравнения второго порядка

Теперь рассмотрим уравнения второго порядка вида $\ds a\ddot y+b\dot y+cy=f(t)$, где $a$, $b$ и $c$ постоянны. Конечно, если $a=0$ это действительно является уравнением первого порядка, поэтому мы предполагаем, что $a\not=0$. Кроме того, многое как в упражнении 20 из раздел 17.5, если $c=0$ мы можем решить связанное уравнение первого порядка $\ds a\dot h+bh=f(t)$, а затем решить $\ds ​​h=\dot y$ для $y$. Поэтому мы рассмотрим только примеры, в которых $с\не=0$.

Предположим, что $\ds ​​y_1(t)$ и $\ds y_2(t)$ являются решениями $\ds a\ddot y+b\dot y+cy=f(t)$, и рассмотрим функцию $\ds h=y_1-y_2$. Мы заменяем эту функцию в левую часть дифференциального уравнения и упрощать: $$ a(y_1-y_2)»+b(y_1-y_2)’+c(y_1-y_2)=ay_1»+by_1’+cy_1 — (ay_2»+by_2’+cy_2)=f(t)-f(t)=0. $$ Таким образом, $h$ является решением однородного уравнения $\ds a\ddot y+b\точка y+cy=0$. Так как мы знаем, как найти все такие $h$, то с всего одним частным решением $\ds y_2$ мы можем выразить все возможные решений $\ds y_1$, а именно, $\ds y_1=h+y_2$, где теперь $h$ — общее решение однородного уравнения. Конечно, это именно так мы подошли к линейному уравнению первого порядка. 92+t-2$. $\квадрат$

Таким образом, «разумное предположение» — это функция того же вида, что и $f(t)$ но с неопределенным (или лучше, еще не определенным) коэффициенты. Это работает, когда $f(t)$ является многочленом.

Пример 17. 6.2. Рассмотрим задачу с начальным значением $\ds m\ddot y +ky=-mg$, $y(0)=2$, $\ds\dot y(0)=50$. Левая часть представляет собой массу-пружину. система без демпфирования, т. е. $b=0$. В отличие от однородного случая, мы теперь рассмотрим силу тяжести, $-mg$, предполагая, что пружина вертикально на поверхности земли, так что $g=980$. Чтобы быть конкретным, возьмем $m=1$ и $k=100$. Общее решение однородной уравнение $\ds A\cos(10t)+B\sin(10t)$. Для решения задачи неоднородном уравнении угадываем просто константу $y=a$, так как $-mg=-980$ является константой. Тогда $\ds \ddot y+100y= 100a$, поэтому $a=-980/100=-9,8$. желаемое общее решение тогда $\ds A\cos(10t)+B\sin(10t)-9.8$. Подставляя начальные условия, получаем $$\выравнивание{ 2&=А-9,8\кр 50&=10Б\кр} $$ поэтому $A=11,8$ и $B=5$, а решение $\ds 11,8\cos(10t)+5\sin(10t)-9{-3t}(A\cos(4t)+B\sin(4t))+(1/73)\cos(4t)+(8/219)\sin(4t)$$ становится все более и более похожим на простое колебание $\ds(1/73)\cos(4t)+(8/219)\sin(4t)$ — обратите внимание, что начальный условия не имеют значения для этого долгосрочного поведения. Демпфированная часть называется переходная часть решение, а простое колебание называется устойчивым состоянием часть решения. Физическим примером является система масса-пружина. Если единственная сила на масса обусловлена ​​пружиной, то поведение системы является затухающим колебание. Если дополнительно к массе приложена внешняя сила, и если сила изменяется согласно функции вида $\ds ​​a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$, то долгосрочное поведение будет простым колебанием, определяемым установившейся частью общее решение; исходное положение массы не имеет значения. $\квадрат$

Как и в случае экспоненциальной формы, такое простое предположение может не сработать.

Пример 17.6.7 Найдите общее решение $\ds\ddot y+16y=-\sin(4t)$. Корнями характеристического уравнения являются $\pm4i$, поэтому решением однородного уравнения является $A\cos(4t)+B\sin(4t)$. С и $\cos(4t)$, и $\sin(4t)$ являются решениями однородной уравнение, $C\cos(4t)+D\sin(4t)$ также является, поэтому оно не может быть решением к неоднородному уравнению. 2резонансная частота системы.

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка

Вопрос задан 8 лет, 8 месяцев назад

Изменено 8 лет, 7 месяцев назад

Просмотрено 893 раза

$\begingroup$

Мне нужно решить это:

$y» + ay’ + by = x(t)$

где ничего не известно о форме $x$, кроме того, что она ограничена и неотрицательна. Кроме того, известно, что $y(0) = 0$ и $y'(0) = 0$ (а также $y»(0) = 0$). Я подключил это к решателю Wolfram ODE и получил «возможный лагранжиан», который я действительно не знаю, как использовать. (У меня есть степень бакалавра по математике, но я никогда не занимался дифференциальными уравнениями.) Я также нашел этот ресурс pt1, pt2, но он предполагает, что решение носит экспоненциальный характер, что, кажется, нарушает мои начальные условия, поскольку экспоненты никогда не равны 0. Я Я надеюсь, что есть способ обойти это без прохождения полного курса diff eq, поэтому любая помощь будет высоко оценена.

Обновление: Итак, на самом деле Wolfram Alpha решит это уравнение (слегка упрощенное в этом редактировании), это был просто «виджет», который остановился. Однако он, как и методики, приведенные в литературе, явно предполагает, что решение имеет экспоненциальную форму. По-видимому, это стандартное предположение, но для моих данных это не так. $y$ примерно сигмоидально. Кодирование решения Вольфрама и выбор произвольных констант $c_1$, $c_2$ таким образом, чтобы минимизировать ошибку в случае, когда $y$ было известно, дало заведомо неверный ответ. 92 + a \frac{d}{dt} + b \right] y(t) = x(t)$$ Далее мы собираемся разложить на факторы . Мы (почти) вынуждены это делать, потому что оператор $(d/dt)$ и константы $a$ и $b$ ведут себя так, как если бы они были обычными числа: коммутатор дифференцирования и константы равен нулю. Но коммутативный закон для (линейных) операторов — единственное, что может быть отклоненным от алгебры с обычными числами.