Решение матричных уравнений онлайн метод гаусса: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Содержание

Решение системы линейных уравнений. Методы решения системы линейных уравнений

1. Занятие 12

Решение системы линейных уравнений

2. Методы решения системы линейных уравнений

Метод обратной матрицы
1. Для нахождения решений системы методом обратной матрицы надо
умножить обратную матрицу на столбец свободных членов (предварительно
выбрав массив ячеек для столбца решений).

2. Для вычисления обратной матрицы используйте функцию
МОБР(диапазон исходной матрицы).
2 x1 x 2 3x 3 9
x 1 2 x 2 x 3 2
3×1 2 x 2 2 x 3 7

3. Методы решения системы линейных уравнений

Метод Крамера
1. Для решения системы линейных уравнений методом Крамера,
нужно найти определитель матрицы исходного уравнения (D), а также
определители новых матриц (d1, d2, d3), которые получаются путем замены
1-го, 2-го и 3-го столбцов (по-очереди) исходной матрицы столбцом
свободных членов исходной системы уравнений.
2. Для нахождения решений используйте формулу: xk = dk / D, где dk
– определитель, получающийся из определителя D при замене k-го столбца
соответствующими свободными членами, т.е., к примеру, x1 = d1 / D, где d1
– определитель матрицы с замененным 1-ым столбцом исходной матрицы
столбцом свободных членов.
2 x1 x 2 3x 3 9
x 1 2 x 2 x 3 2
3×1 2 x 2 2 x 3 7
Проверка показывает, что решение
найдено правильно

4.

Методы решения системы линейных уравненийМетод Гаусса
Метод Гаусса основан на том, чтобы при помощи эквивалентных
преобразований получить трапециевидную систему уравнений (у которой в
левой нижней части остаются единицы по диагонали, а остальные – нули, см.
пример), поэтому от исходной матрицы нужно получить новую. Будем делать
это поэтапно.
6х1-6х2+2х3+8х4=12
2х1+2х2-х3+4х4=13
8х1+6х2+4х3-2х4=5
-3х1+х2+7х3-4х4=56
Шаг 1. Деление элементов
первой строки на
коэффициент при Х1.
Шаг 2. Вычитание значений
первой строки из
последующих строк
Шаг 3. Деление элементов
второй строки на
коэффициент при Х2
Шаг 4. Вычитание значений
второй строки из
последующих строк
Шаг 5. Деление элементов
третьей строки на
коэффициент при Х3
Шаг 6. Вычитание значений
третьей строки из значений
четвертой строки
Шаг 5. Деление элементов третьей строки на
коэффициент при Х3
Шаг последний. Вычисление значений
неизвестных

7.

Самостоятельно решить следующие системы уравнений каждую всеми тремя способами

English Русский Rules

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Умножение разреженных матриц

Аннотация: В лекции рассматриваются типовые алгоритмы, применяемые в работе с плотными и разреженными матрицами. Рассказывается о некоторых форматах хранения этих матриц. Рассматриваются основные свойства матриц, методы решения СЛАУ, прямые и итерационные методы.

Ключевые слова: матрица, система линейных уравнений, вектор, норма, параметр, итерация, точность, компонент, Главная диагональ, представление, сходимость, дискретизация, выражение, радиус, решение системы линейных уравнений, функция, градиент, анализ, модель вычислений, операции

Цель лекции: Основной целью лекции является применение полученные знания о разработке и отладке параллельных программ в реализации численных алгоритмов для работы с матрицами.

Презентация к лекции

Видеозапись лекции — (объем — 707 МБ).

Прямые методы решения СЛАУ

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относятся к численным методам алгебры. При формальном подходе решение подобных задач не встречает затруднений: решение системы можно найти, раскрыв определители в формуле Крамера. Однако при непосредственном раскрытии определителей решение системы с

n неизвестными требует арифметических операций; уже при n порядка 20 такое число операций недоступно для современных компьютеров. При сколько-нибудь больших n применение методов с таким порядком числа операций будет невозможно и в обозримом будущем. Другой причиной, по которой этот классический способ неприменим даже при малых n, является сильное влияние на окончательный результат округлений при вычислениях.

Методы решения алгебраических задач можно разделить на точные и итерационные. Классы задач, для решения которых обычно применяют методы этих групп, можно условно назвать соответственно классами задач со средним и большим числом неизвестных.

Изменение объема и структуры памяти вычислительных систем, увеличение их быстродействия и развитие численных методов приводят к смещению границ применения методов в сторону систем более высоких порядков.

Например, в 80-х годах прошлого века точные методы применялись для решения систем до порядка 10⁴, итерационные – до порядка 10⁷, в 90-х – до порядков 10⁵ и 10⁸ соответственно. Современные суперкомпьютеры способны использовать точные методы при решении еще больших систем.

Мы будем рассматривать систему из n линейных алгебраических уравнений вида

( 7.1)

В матричном виде система может быть представлена как

( 7.

где есть вещественная матрица размера ; b и x — вектора из n элементов.

Под задачей решения системы линейных уравнений для заданных матрицы А и вектора b мы будем считать нахождение значения вектора неизвестных x, при котором выполняются все уравнения системы.

Метод исключения Гаусса

В первую очередь рассмотрим алгоритмыы, предназначенные для решения системы

( 7.3)

с произвольной квадратной матрицей А. Основой для всех них служит широко известный метод последовательного исключения неизвестных, или же метод Гаусса.

Метод Гаусса основывается на возможности выполнения преобразований линейных уравнений, которые не меняют при этом решение рассматриваемой системы (такие преобразования носят наименование эквивалентных). К числу таких преобразований относятся:

умножение любого из уравнений на ненулевую константу,

перестановка уравнений,
прибавление к уравнению любого другого уравнения системы.

Метод Гаусса включает последовательное выполнение двух этапов. На первом этапе, который называется прямой ход, исходная система линейных уравнений при помощи последовательного исключения неизвестных приводится к верхнему треугольному виду. При выполнении обратного хода (второй этап алгоритма) осуществляется определение значений неизвестных.

Последовательный алгоритм

intuit.ru/2010/edi»>Прямой ход состоит в последовательном исключении неизвестных в уравнениях решаемой системы линейных уравнений.

На итерации i, метода производится исключение неизвестной i для всех уравнений с номерами

k, больших i(т.е.) Для этого из этих уравнений осуществляется вычитание строки i, умноженной на константу с тем, чтобы результирующий коэффициент при неизвестной в строках оказался нулевым – все необходимые вычисления могут быть определены при помощи соотношений:

( 7.4)

где — множители Гаусса.

В итоге приходим к системе с верхней треугольной матрицей

intuit.ru/2010/edi»>При выполнении прямого хода метода Гаусса строка, которая используется для исключения неизвестных, носит наименование

ведущей, а диагональный элемент ведущей строки называется ведущим элементом. Как можно заметить, выполнение вычислений является возможным только, если ведущий элемент имеет ненулевое значение. Более того, если ведущий элемент

имеет малое значение, то деление и умножение строк на этот элемент может приводить к накоплению вычислительной погрешности и вычислительной неустойчивости алгоритма.

Избежать подобной проблемы можно, если при выполнении каждой очередной итерации прямого хода метода Гаусса определить коэффициент с максимальным значением по абсолютной величине в столбце, соответствующем исключаемой неизвестной, т.е.

и выбрать в качестве ведущей строку, в которой этот коэффициент располагается (данная схема выбора ведущего значения носит наименование метода главных элементов).

Обратный ход алгоритма состоит в следующем. После приведения матрицы коэффициентов к верхнему треугольному виду становится возможным определение значений неизвестных. Из последнего уравнения преобразованной системы может быть вычислено значение переменной

, после этого из предпоследнего уравнения становится возможным определение переменной

и т.д. В общем виде выполняемые вычисления при обратном ходе метода Гаусса могут быть представлены при помощи соотношений:

Оценим трудоемкость метода Гаусса. При выполнении прямого хода число операций составит

Для выполнения обратного хода потребуется

Таким образом, общее время выполнения метода Гаусса при больших

n можно оценить как

где время выполнения одной операции.

Параллельный алгоритм

При внимательном рассмотрении метода Гаусса можно заметить, что все вычисления сводятся к однотипным вычислительным операциям над строками матрицы коэффициентов системы линейных уравнений. Как результат, в основу параллельной реализации алгоритма Гаусса может быть положен принцип распараллеливания по данным. В качестве базовой подзадачи можно принять тогда все вычисления, связанные с обработкой одной строки матрицы A и соответствующего элемента вектора b. Рассмотрим общую схему параллельных вычислений и возникающие при этом информационные зависимости между базовыми подзадачами.

Для выполнения прямого хода метода Гаусса необходимо осуществить итерацию по исключению неизвестных для преобразования матрицы коэффициентов A к верхнему треугольному виду. Выполнение итерации i, , прямого хода метода Гаусса включает ряд последовательных действий.

Прежде всего, в самом начале итерации необходимо выбрать ведущую строку, которая при использовании метода главных элементов определяется поиском строки с наибольшим по абсолютной величине значением среди элементов столбца i, соответствующего исключаемой переменной . Зная ведущую строку, подзадачи выполняют вычитание строк, обеспечивая тем самым исключение соответствующей неизвестной .

При выполнении обратного хода метода Гаусса подзадачи выполняют необходимые вычисления для нахождения значения неизвестных. Как только какая-либо подзадача i, , определяет значение своей переменной , это значение должно быть использовано всеми подзадачам с номерами

k, : подзадачи подставляют полученное значение новой неизвестной и выполняют корректировку значений для элементов вектора b.

Выделенные базовые подзадачи характеризуются одинаковой вычислительной трудоемкостью. Однако размер матрицы, описывающей систему линейных уравнений, является существенно большим, чем число потоков в программе (т. е.,), и базовые подзадачи можно укрупнить, объединив в рамках одной подзадачи несколько строк матрицы. При этом применение последовательной схемы разделения данных для параллельного решения систем линейных уравнений приведет к неравномерной вычислительной нагрузке между потоками: по мере исключения (на прямом ходе) или определения (на обратном ходе) неизвестных в методе Гаусса для большей части потоков все необходимые вычисления будут завершены и они окажутся простаивающими. Возможное решение проблемы балансировки вычислений может состоять в использовании ленточной циклической схемы для распределения данных между укрупненными подзадачами. В этом случае матрица A делится на наборы (полосы) строк вида (см. рис. 7.1).

Рис. 7.1. Ленточная схема

Сопоставив схему разделения данных и порядок выполнения вычислений в методе Гаусса, можно отметить, что использование циклического способа формирования полос позволяет обеспечить лучшую балансировку вычислительной нагрузки между подзадачами.

Итак, проведя анализ последовательного варианта алгоритма Гаусса, можно заключить, что распараллеливание возможно для следующих вычислительных процедур:

поиск ведущей строки,
вычитание ведущей строки из всех строк, подлежащих обработке,
выполнение обратного хода.

Оценим трудоемкость рассмотренного параллельного варианта метода Гаусса. Пусть n есть порядок решаемой системы линейных уравнений, а p, , обозначает число потоков. При разработке параллельного алгоритма все вычислительные операции, выполняемые алгоритмом Гаусса, были распределены между потоками параллельной программы. Следовательно, время, необходимое для выполнения вычислений на этапе прямого хода, можно оценить как

Подставив выражение получим, что время выполнения вычислений для параллельного варианта метода Гаусса описывается выражением:

intuit.ru/2010/edi»>Теперь можно оценить величину накладных расходов, обусловленных организацией и закрытием параллельных секций. Пусть – время, необходимое на организацию и закрытие параллельной секции. Параллельная секция создается при каждом выборе ведущей строки, при выполнении вычитания ведущей строки из остальных строк линейной системы, подлежащих обработке, а также при выполнении каждой итерации обратного хода метода Гаусса. Таким образом, общее число параллельных секций составляет .

Сводя воедино все полученные оценки можно заключить, что время выполнения параллельного метода Гаусса описывается соотношением

( 7.5)

Связь метода Гаусса и LU-разложения

intuit.ru/2010/edi»>LU-разложение — представление матрицы A в виде

( 7.6)

где L — нижняя треугольная матрица с диагональными элементами, равными единице, а U — верхняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами. LU-разложение также называют LU-факторизацией. Известно [4], что LU-разложение существует и единственно, если главные миноры матрицы A отличны от нуля.

Алгоритм LU-разложения тесно связан с методом исключения Гаусса. В самом деле, пусть мы решаем систему уравнений вида (7.2). Непосредственно проверяется, что преобразования k-го шага метода Гаусса равносильны домножению системы (7. 2) слева на матрицу

где — множители Гаусса из (7.4). Как было рассмотрено в п. 7.1.1, прямой ход метода Гаусса преобразует исходную систему уравнений к виду

с верхней треугольной матрицей U. Зная матрицы , можно записать матрицу U и вектор c как

Обозначим Можно непосредственно проверить, что

Отсюда получаем .

Таким образом, матрицу L можно получить как нижнюю треугольную матрицу коэффициентов Гаусса, а матрицу U — как верхнюю треугольную матрицу, получаемую в результате работы метода Гаусса. При этом очевидно, что трудоемкость получения LU-факторизации будет такой же-.

Рассмотренный нами алгоритм LU-факторизации реализован с помощью исключения по столбцу. Следует отметить, что можно сформулировать аналогичный алгоритм, основанный на исключении по строке. В самом деле, основная идея алгоритма с помощью исключения по столбцу заключается в том, что на i-й итерации ведущая строка с подходящими множителями вычитается из строк, лежащих ниже, чтобы занулить все элементы матрицы, расположенные в i-м столбце ниже диагонали. Между тем возможно и другое: на каждой i-й итерации можно вычитать из i-й строки все строки, расположенные выше, умноженные на подходящие коэффициенты, так, чтобы занулить все элементы i-й строки левее диагонали. При этом элементы матрицы L ниже главной диагонали и элементы матрицы U на главной диагонали и выше нее можно вычислять на месте матрицы А. Как и в случае исключения по столбцу, приведенная схема требует проведения операций

Рассмотрим теперь еще один способ LU-факторизаци, называемый компактной схемой. Пусть матрица допускает LU-разложение (7.6), где

т.е. при а при . Из соотношения (7.6) следует, что

intuit.ru/2010/edi»>Преобразуем эту сумму двумя способами:

Отсюда находим

Оценка числа операций данного алгоритма LUфакторизаци также составляет

Если разложение (7.6) получено, то решение системы (7.2) сводится к последовательному решению двух систем уравнений с треугольными матрицами (обратный ход)

( 7.7)

Обратный ход требует операций.

Как следует из приведенных оценок, вычислительная сложность метода исключения Гаусса и метода LU-разложения одинакова. Однако если необходимо решить несколько систем с одинаковыми матрицами коэффициентов, но различными векторами свободных членов (правая часть СЛАУ), то метод LU-разложения окажется предпочтительным, так как в этом случае нет необходимости производить разложение матрицы коэффициентов многократно. Достаточно лишь сохранить полученные треугольные матрицы в памяти и, подставляя различные вектора свободных членов, получать решения методами прямой и обратной подстановки. Это позволит значительно сократить объем вычислений по сравнению с методом Гаусса.

Гауссоанскую элиминацию-Questions и Answers-PDF-Google Suce

ALLBILDERBüchervideoSmapsNewshopping

SucoPtionen

[PDF] Обзор набор упражнений. ..

Повторите набор упражнений 20, ключ к ответу. Упражнение 1. Используйте метод исключения Гаусса, чтобы найти решение данной системы уравнений. 3x + y — z = 1.

[PDF] Matrix Algebra Tutor — Рабочий лист 5 — Исключение Гаусса и …

s3.amazonaws.com › Рабочие листы по алгебре › Matrix-Algebra-Tutor › M…

Используйте метод исключения Гаусса, чтобы решить эту систему уравнений. … Когда мы рассмотрим решения этих проблем, имейте в виду, что они есть.

[PDF] 9.1 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ; ИСКЛЮЧЕНИЕ ГАУССА

www. usu.edu › rheal › online1050 › Precalculus › Section_9.1.pdf

Решение системы линейных уравнений состоит из значения каждой переменной … Исключение Гаусса в честь Карла Фридриха Гаусса , один из самых …

[PDF] 1 Исключение Гаусса — Berkeley Math

math.berkeley.edu › ~rhzhao › Worksheets › Обсуждение 33 Решения

01.08.2018 · Система уравнений непротиворечива, если есть хотя бы одно решение если нет решений. 1.2 Проблемы. 2. True FALSE As …

[PDF] ПРИМЕРЫ РАЗДЕЛОВ 2.5 Вопрос 1. Используйте Gauss-Jordan …

www.math.purdue.edu › ~shao92 › документы › examples2-5

Вопрос 1. Используйте метод исключения Гаусса-Жордана для решения системы: … Следовательно, решение системы равно x = 3, y = 1, z = −2.

[PDF] Исключение Гаусса — CSE-IITM

www.cse.iitm.ac.in › Курсы ~vplab › LARP_2018 › Matrix_Gaussi…

Операции метода исключения Гаусса… Решение. • Исключаем теперь из всех уравнений, кроме второго: Заменяем на сумму.

[PDF] (1) Метод исключения Гаусса:

uomustansiriyah.edu.iq › СМИ › лекции

17.05.2020 · Метод исключения Гаусса: 5 x1 + 6 x2 = 7. 3 x1 + 4 x2 = 5 Решение: Система линейных уравнений имеет следующую расширенную матрицу.

[PDF] Решение Gauss Elimination

www.sheffield.ac.uk › media › загрузить › вложение

Решение by. Исключение Гаусса. 8.3. Вступление. Инженерам часто приходится решать большие системы линейных уравнений; например, при определении сил.

Ähnliche Fragen

Как решить задачу методом исключения Гаусса?

Что такое метод исключения Гаусса на примере?

Как сделать простое исключение Гаусса?

Каковы правила исключения Гаусса?

[PDF] Тест с множественным выбором Исключение по Гауссу Одновременное линейное …

ma.mathforcollege.com › quiz_04sle_gaussianelimination_solution

Исключение по Гауссу. Совместные линейные уравнения. ПОЛНЫЙ КОМПЛЕКТ РЕШЕНИЯ. 1. Цель шагов прямого исключения в методе наивного исключения Гаусса …

[PDF] Упражнения на исключение Гаусса — J.P. McCarthy: Math Page

jpmccarthymaths.files.wordpress.com › 2018/02

3. Лето 2012 г. Используйте методы исключения Гаусса для определения множества решений S следующей системы линейных уравнений. х + 2у + г =.

Es fehlt: вопросы- | Muss Folgendes enthalten:questions-

Ähnlichesuchanfragen

Примеры исключения Гаусса 4×4 pdf

Заметки об исключении Гаусса pdf

Вопросы и ответы Джордана Гаусса

Калькулятор исключения Гаусса

MAUSS MEDENAL MEDENCATE MATLAB CODE

Упражнения и растворы MATRICES и растворы PDF

Матрикс Гауссоанский элиминация

Гаусс Элиминационный калькулятор с переменными

ТРИАНГЕЛЬНЫЙ МАТРИКАЛЬНЫЙ МАТРИКАЛЬНЫЙ КАЛЛИНГИРИЙС.

atozmath.com › MatrixEv

Калькулятор верхней треугольной матрицы — Онлайн-калькулятор верхней треугольной матрицы, который шаг за шагом найдет решение онлайн.

Калькулятор матриц

matrixcalc.org

Сложение матриц, умножение, обращение, вычисление определителя и ранга, транспонирование, приведение к диагональному, треугольному виду, возведение в степень, …

Калькулятор собственных значений · Калькулятор определителей · Решающие системы linear

Калькуляторы матричной триангуляции

planetcalc.com › …

Matrix. Точность расчета. Знаки после запятой: 4. Рассчитать… Треугольную матрицу (метод Гаусса с максимальным выбором в столбце): …

Калькулятор тригонализации матрицы — Преобразование триангуляции онлайн

www.dcode.fr › matrix-trigonalization

Инструмент для расчета триангуляризации / тригонализации матрицы для записи квадратной матрицы в виде композиции высшей треугольной матрицы и . ..

Ähnliche Fragen

Как решить треугольную матрицу?

Может ли матрица 2×2 быть треугольной?

Что такое треугольная матрица на примере?

Что такое треугольная форма матрицы?

верхняя треугольная матрица {{78. 62156, 77.39634 … — Wolfram|Alpha

www.wolframalpha.com › input › i=upper+triangula… миллионами студентов и профессионалов. Для математики, естественных наук, питания, …

LU Калькулятор декомпозиции — eMathHelp

www.emathhelp.net › калькуляторы › линейная алгебра › л…

Калькулятор найдет (если возможно) LU-разложение заданной матрицы A, т.е. такую нижнюю треугольную матрицу L и верхнюю треугольную матрицу U … keisan.casio.com › exec › system

Разложение квадратной матрицы на нижнюю треугольную матрицу и верхнюю треугольную матрицу. Выбран частичный поворот с заменой строк.

Калькулятор, преобразующий матрицу в A=LU — GregThatcher.com

www.gregthatcher.com › LU_Factorization

Этот калькулятор факторизует квадратную матрицу в форме A=LU, где L — нижняя треугольная матрица, а U — верхняя треугольная матрица.

Калькулятор определителя — Калькулятор матриц — Решиш

matrix.