Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка: Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Содержание

Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Готовые ответы к примерам на однородные дифференциальные уравнения первого порядка ищут многие студенты (ДУ 1 порядка самые распространенные в обучении), далее Вы их сможете подробно разобрать. Но прежде чем перейти к рассмотрению примеров рекомендуем внимательно прочитать краткий теоретический материал.
Уравнения вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, где функции P(x,y) і Q(x,y) являются однородными функциями одного порядка называют однородным дифференциальным уравнением (ОДР).

Схема решения однородного дифференциального уравнения

1. Сначала нужно применить подстановку y=z*x, где z=z(x) – новая неизвестная функция (таким образом исходное уравнение сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
2. Производная произведения равна y’=(z*x)’=z’*x+z*x’=z’*x+z или в дифференциалах dy=d(zx)=z*dx+x*dz.
3. Далее подставляем новую функцию у и ее производную y’ (или dy) в ДУ с разделяющимися переменными относительно x та z.
4. Решив дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, сделаем обратную замену y=z*x, поэтому z= y/х, и получим общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.
5. Если задано начальное условие y(x0)=y0, то находим частное решение задачи Коши. В теории все звучит легко, однако на практике не у всех так весело получается решать дифференциальные уравнения. Поэтому для углубления знаний рассмотрим распространенные примеры. На легких задачах нет особо Вас научить, поэтому сразу перейдем к более сложным.

Вычисления однородных дифференциальных уравнений первого порядка

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

Решение: Делим правую сторону уравнения на переменную, которая стоит множителем возле производной. В результате придем к однородного дифференциального уравнения 0 порядка

И здесь многим пожалуй стало интересно, как определить порядок функции однородного уравнения?
Вопрос достаточно уместен, а ответ на него следующий:
в правую сторону подставляем вместо функции и аргумента значение t*x, t*y. При упрощении получают параметр «t» в определенном степени k, его и называют порядком уравнения. В нашем случае «t» сократится, что равносильно 0-м степени или нулевом порядке однородного уравнения.
Далее в правой стороне можем перейти к новой переменной y=zx; z=y/x .
При этом не забываем выразить производную «y» через производную новой переменной. По правилу части находим


Уравнения в дифференциалах примет вид

Совместные слагаемые в правой и левой части сокращаем и переходим к дифференциальному уравнению с разделенными переменными.

Проинтегрируем обе части ДУ

Для удобства дальнейших преобразований постоянную сразу вносим под логарифм

По свойствам логарифмов полученное логарифмическое уравнение эквивалентно следующему

Эта запись еще не решение (ответ), необходимо вернуться к выполненной замене переменных

Таким образом находят общее решение дифференциальных уравнений. Если Вы внимательно читали предыдущие уроки, то мы говорили, что схему вычисления уравнений с разделенными переменными Вы должны уметь применять свободно и такого рода уравнения придется вычислять для более сложных типов ДУ.

Пример 2. Найти интеграл дифференциального уравнения

Решение:Схема вычислений однородных и сводных к ним ДУ Вам тепер знакома. Переносим переменную в правую сторону уравнения, а также в числителе и знаменателе выносим x2, как общий множитель

Таким образом получим однородное ДУ нулевого порядка.
Следующим шагом вводим замену переменных z=y/x, y=z*x, о которой постоянно будем напоминать, чтобы Вы ее заучили

После этого ДУ записываем в дифференциалах

Далее преобразуем зависимость к дифференциальному уравнению с отделенными переменными

и интегрированием решаем его.

Интегралы несложные, остальные преобразования выполнены на основе свойств логарифма. Последнее действие включает экспонирования логарифма. Наконец возвращаемся к исходной замене и записываем

решение дифференциального уравнения в форме

Константа «C» принимает любое значение. Все кто учится заочно имеют проблемы на экзаменах с данным типом уравнений, поэтому просьба внимательно посмотреть и запомнить схему вычислений.

 

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

Решение:Как следует из приведенной выше методики, дифференциальные уравнения такого типа решают методом введения новой переменной. Перепишем зависимость так, чтобы производная была без переменной

Далее по анализу правой части видим, что везде присутствует частка -ее и обозначаем за новую неизвестную
z=y/x, y=z*x.
Находим производную от y

С учетом замены первоначальное ДУ перепишем в виде

Одинаковые слагаемые упрощаем, а все получившие сводим к ДУ с отделенными переменными

Интегрированием обеих частей равенства

приходим к решению в виде логарифмов


Экспонируя зависимости находим общее решение дифференциального уравнения

которое после подстановки в него начальной замены переменных примет вид

Здесь С — постоянная, которую можно доопределить из условия Коши. {2}+2xy)\;dx+xy\;dy=0$$

Решение:


Дифференциальные уравнения. Часть 1 | Открытые видеолекции учебных курсов МГУ

Курс лекций «Дифференциальные уравнения» читается для студентов второго курса механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова.

Курс знакомит с видами дифференциальных уравнений и методами их решений, геометрической интерпретацией уравнения первого порядка, с первыми интегралами, с теорией линейных уравнений и систем, в том числе с постоянными и периодическими коэффициентами, с вопросами существования, единственности и продолжаемости решений, их непрерывности и дифференцируемости по параметру, устойчивости по Ляпунову.  Рассматриваются также вопросы существования и единственности решения задачи Коши для уравнения с частными производными первого порядка, теорема об альтернативе, периодические системы дифференциальных уравнений.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение в дифференциальные уравнения.
Определение дифференциального уравнения и смежные определения Определение поля направлений Решение дифференциального уравнения Определение интегральной кривой  Примеры интегральной кривой Эквивалентность уравнения в дифференциалах и обычного дифференциального уравнения 

Лекция 2. Виды дифференциальных уравнений.
Продолжение доказательства с прошлой лекции Уравнение первообразной и его решение Теорема об общем решении интегрального уравнения Примеры интегралов Уравнение в полных дифференциалах и его свойства Автономные уравнения Определение точки единственности и существования

Лекция 3. Задача Коши.
Лемма о точках единственности Пример применения леммы к эксперименту с остыванием тела Пример применения леммы к эксперименту вытекание жидкости Уравнения с разделяющимися переменными и его решение Однородные уравнения и их решения Существование и единственность решений задачи Коши Эквивалентная задаче Коши задача

Лекция 4. Задача Коши.
Доказательство эквивалентности задач Обобщение теоремы Лагранжа на многомерное пространство

Лекция 5. Задача Коши.
Завершение доказательства теоремы об эквивалентности задач и пример применения Вариации условий теоремы существования и единственности Теорема глобального решения  Продолжаемость Лемма о продолжаемости решения и следствие из нее

Лекция 6. Системы дифференциальных уравнений.
Теорема о продолжаемости решения  Пример применения теоремы о продолжаемости решения  Линейная система дифференциальных уравнений Лемма об интегральном неравенстве (Гронуолла-Беллмана) Лемма о дифференциальном неравенстве  Доказательство теоремы о решении линейной системы

Лекция 7. Обобщенные дифференциальные уравнения.
Определение обобщенного дифференциального уравнения n-го порядка Каноническая замена и её свойства Теорема о изоморфности замены  Локальная теорема единственности уравнения n-го порядка Глобальная теорема единственности уравнения n-го порядка Теорема о продолжаемости решения уравнения n-го порядка Линейное неоднородное уравнение n-го порядка Существование и единственность непродолжаемости решение неоднородного уравнения Уравнения неразрешенные относительно производной Теорема существования и единственности уравнения неразрешенного относительно производной Определение дискриминантного множества Теорема о связи дискриминантного множества и особого решения

Лекция 8.

Линейные дифференциальные уравнения.
Расширенная задача Коши Доказательство теоремы о связи дискриминантного множества и особого решения Нахождение дискриминантного множества для пример вытекания воды Уравнения колебаний маятника  Общая теория линейных дифференциальных уравнений Теорема об изоморфизме решения линейных уравнений и n-мерным пространством Следствие из теоремы об изоморфизме решения линейных уравнений и n-мерным пространством Оператор Коши Лемма о корректном определении оператора

Лекция 9. Методы решения дифференциальных уравнений.
Матрица решений дифференциального уравнения Лемма о свойствах матрицы решений Матрица Коши и ее свойства Удовлетворение оператора Коши задачи Коши Определитель Вронского Теорема об эквивалентности утверждений о линейной зависимости  Формула Ляувиля-Остроградского Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений Метод вариации постоянной 

Лекция 10. Краевая задача для уравнения второго порядка.
Доказательство эквивалентности уравнений Теорема об изоморфности множества решений неоднородного уравнения и n-мерного пространства и следствие из нее Следствие из теоремы Метод вариации постоянных Определитель Вронского для линейных уравнений Формула Ляувиля-Остроградского для линейных уравнений Теорема о фундаментальной системе решений для линейных дифференциальных уравнений Теорема о связи линейной зависимости и определителя Вронского Постановка краевой задачи для уравнения второго порядка Определение вырожденной и невырожденной краевой задачи

Лекция 11. Теорема об альтернативе.
Формулировка и доказательство теорема об альтернативе Нули решений однородного уравнения второго порядка Перемежающиеся нули решения Теорема о расположениях нулей однородного уравнения Теорема сравнения (Штурма) и следствия Лемма о приведении уравнения к более простому виду Примеры применения теоремы штурма Уравнение маятника

Лекция 12. Методы решения линейного дифференциального уравнения.
Определение экспоненты от матрицы Лемма о равномерной сходимости ряда экспоненты Теорема о решении линейного уравнения с постоянными коэффициентами  Следствия из теоремы о решении линейного уравнения с постоянными коэффициентами Расширение теоремы на комплексной плоскости Напоминание свойств жордановой клетки Вычисление экспоненты от матрицы Теорема о комплексных решениях  Определение векторного квазимногочлена

Лекция 13. Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения.
Теорема о методе неопределенных коэффициентов Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Теорема о решениях однородных уравнений с постоянными коэффициентами Применение теоремы о решениях однородных уравнений с постоянными коэффициентами для уравнения колебания маятника Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Определение резонанса кратности К Теорема о существовании и единственности решения в случае резонанса Применение теоремы к уравнению колебания маятника

Лекция 14. Периодические системы дифференциальных уравнений.
Определение периодических систем дифференциальных уравнений Определение оператора монодромии Определение мультприликатора Лемма о решениях периодических систем дифференциальных уравнений Задача о поиске периодических решениях Теорема о невырожденности задачи Определение логарифма от матрицы Логарифм от жордановой клетки Формулировка теоремы Флаке-Ляпунова

Однородные уравнения первого порядка

Понятие однородного уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка, представленное в стандартном виде $y’=f\left(x,y\right)$, является однородным, если его правая часть зависит не просто от переменных $x$ и $y$, а от отношения функции $y$ к независимой переменной $x$, то есть $ f (x,y) = f (x/y)$.

Зависимость функции от отношения $\frac{y}{x} $ следует понимать так, что функция не изменяется при замене в ней данного отношення на любое другое, имеющее вид $\frac{t\cdot y}{t\cdot x} $. Например, именно такое свойство имеет функция $f\left(x,y\right)=\frac{y}{x} \cdot \cos \frac{y}{x} $. Действительно, $f\left(x,y\right)=\frac{y}{x} \cdot \cos \frac{y}{x} =\frac{t\cdot y}{t\cdot x} \cdot \cos \frac{t\cdot y}{t\cdot x} $. После замены переменных $x$ и $y$ на $t\cdot x$ и $t\cdot y$ соответственно и последующего сокращения на $t$ данная функция приобретает свой исходный вид. В этом и состоит основное свойство однородного дифференциального уравнения.

Готовые работы на аналогичную тему

Общий метод решения

Однородное дифференциальное уравнение $y’=f (x/y)$ решают посредством применения замены $\frac{y}{x} =u$, где $u=u\left(x\right)$ — новая неизвестная функция. Идея состоит в том, что найдя функцию $u$ и умножив её на $x$, можно будет найти и нужную функцию $y$.

Представим замену в виде $y=u\cdot x$ и продифференцируем её: $\frac{dy}{dx} =\frac{du}{dx} \cdot x+u\cdot \frac{dx}{dx} =\frac{du}{dx} \cdot x+u$. Подставим $y$ и $\frac{dy}{dx} $ в данное дифференциальное уравнение: $\frac{du}{dx} \cdot x+u=f\left(u\right)$.

Полученное дифференциальное уравнение представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, после элементарных преобразований его можно представить в виде $\frac{du}{dx} =\frac{f\left(u\right)-u}{x} $, где $f_{1} \left(x\right)=\frac{1}{x} $ — функция, зависящая только от $x$, и $f_{2} \left(u\right)=f\left(u\right)-u$ — функция, зависящая только от $u$. Применим к этому дифференциальному уравнению метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Сначала вычисляем интеграл $I_{1} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx $. Получаем: $I_{1} =\int \frac{1}{x} \cdot dx=\ln \left|x\right| $. Теперь записываем интеграл $I_{2} =\int \frac{du}{f_{2} \left(u\right)} $. Получаем: $I_{2} =\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} $. Общее решение записываем в форме $I_{2} =I_{1} +C$, то есть $\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\ln \left|x\right|+C$. Правую часть полученного решения можно упростить, если представить произвольную постоянну в более удобной форме $\ln \left|C\right|$. При этом получим: $\ln \left|x\right|+\ln \left|C\right|=\ln \left|x\cdot C\right|$.

Окончательно получаем: $\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\ln \left|x\cdot C\right|$. После вычисления интеграла $\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} $ и замены $u$ на $\frac{y}{x} $ общее решение данного однородного дифференциального уравнения будет найдено.

Общий метод решения можно представить в виде следующего алгоритма:

  1. В первую очередь убеждаемся, что решаемое дифференциальное уравнение является однородным. Для этого нужно представить его в стандартном виде $y’=f\left(x,y\right)$, после чего в функции $f\left(x,y\right)$ переменные $x$ и $y$ заменить на $t\cdot x$ и $t\cdot y$ соответственно. Если после элементарных тождественных преобразований удается вернуться к той же функции $f\left(x,y\right)$, то данное дифференциальное уравнение является однородным и $ f (x,y) = f (x/y)$. Если добиться этого оказалось невозможным, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
  2. Находим $f\left(u\right)$, выполнив для функции $f (x/y)$ замену $y=u\cdot x$, после чего записываем функцию $f\left(u\right)-u$.
  3. Находим интеграл $I=\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} $ и записываем общее решение в виде $I=\ln \left|x\cdot C\right|$.
  4. Выполняем обратную замену $u=\frac{y}{x} $ и проводим упрощающие тождественные преобразования.
  5. Находим особые решения, которые могли быть утрачены при разделении переменных.

Решение типичных задач

Задача 1

Найти общее решение дифференциального уравнения $y’=2+\frac{y}{x} $.

По внешнему виду данного дифференциального уравнения его можно сразу отнести к однородному.

Для функции $f (x/y)=2+\frac{y}{x} $ выполняем замену $y=u\cdot x$ и находим $f\left(u\right)=2+\frac{u\cdot x}{x} =2+u$. Записываем функцию $f\left(u\right)-u=2+u-u=2$.

Находим интеграл $I=\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\int \frac{du}{2} =\frac{u}{2} $.

Записываем общее решение в виде $\frac{u}{2} =\ln \left|x\cdot C\right|$.

Выполняем обратную замену $u=\frac{y}{x} $ и получаем $\frac{y}{2\cdot x} =\ln \left|x\cdot C\right|$ или $y=2\cdot x\cdot \ln \left|x\cdot C\right|$.

Так как $f\left(u\right)-u=2$, то особых решений данное дифференциальное уравнение не имеет.

Задача 2

Найти общее решение дифференциального уравнения $x\cdot y’=5\cdot y+x$.

Приводим данное дифференциальное уравнение к стандартному виду $y’=5\cdot \frac{y}{x} +1$, после чего можно сделать вывод, что оно является однородным.

Для функции $f (x/y)=5\cdot \frac{y}{x} +1$ выполняем замену $y=u\cdot x$ и находим $f\left(u\right)=5\cdot \frac{u\cdot x}{x} +1=5\cdot u+1$.

Записываем функцию $f\left(u\right)-u=5\cdot u+1-u=4\cdot u+1$.

Находим интеграл $I=\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\int \frac{du}{4\cdot u+1} =\frac{1}{4} \cdot \ln \left|4\cdot u+1\right|$.

Записываем общее решение в виде $\frac{1}{4} \cdot \ln \left|4\cdot u+1\right|=\ln \left|x\cdot C\right|$, откуда $\ln \left|4\cdot u+1\right|=\ln \left|x\cdot C\right|^{4} $; $4\cdot u+1=x^{4} \cdot C^{4} $ или просто $4\cdot u+1=C\cdot x^{4} $. {5} $.

Уравнения, приводящиеся к однородным

При определенных условиях дифференциальное уравнение вида $y’=\frac{a_{1} \cdot x+b_{1} \cdot y+c_{1} }{a_{2} \cdot x+b_{2} \cdot y+c_{2} } $, в котором $a_{1} $, $b_{1} $, $c_{1} $, $a_{2} $, $b_{2} $, $c_{2} $ — постоянные коэффициенты, может быть приведено к однородному.

Если $\Delta \equiv \left|\begin{array}{cc} {a_{1} } & {b_{1} } \\ {a_{2} } & {b_{2} } \end{array}\right|\ne 0$, то приведение его к однородному достигается с помощью замен $x=m+\alpha $ и $y=n+\beta $, где постоянные $\alpha $ и $\beta $ следует выбрать как результат решения системы $\left\{\begin{array}{c} {a_{1} \cdot \alpha +b_{1} \cdot \beta =-c_{1} } \\ {a_{2} \cdot \alpha +b_{2} \cdot \beta =-c_{2} } \end{array}\right. $.

Так как $\Delta \ne 0$, то эта система имеет единственное решение, которое проще всего найти по формулам Крамера.

Используя найденные выражения для $x=m+\alpha $ и $y=n+\beta $, получим дифференциальное уравнение $\frac{dn}{dm} =\frac{a_{1} \cdot m+b_{1} \cdot n}{a_{2} \cdot m+b_{2} \cdot n} $, которое является однородным.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 1. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение, которое можно привести к виду

,

где функция не изменяется при замене х и у на tx и ty, т.е. удовлетворяет условию

.

Отметим, что функцию , которая соответствует указанному условию, называют однородной нулевого порядка.

Замечание. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка путем подстановки можно привести к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 3.Найти общее решение однородного дифферен-циального уравнения первого порядка:

.

Решение. Введем подстановку

Проинтегрируем обе части

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Одним из методов интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное дифференциальное уравнение сводится к уравнению, порядок которого ниже. Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.

Уравнение вида

,

где – непрерывная на функция.

Решение уравнения находится понижением порядка и интегрированием.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

.

Решение.Путем интегрирования данного уравнения получаем:

;

.

Уравнение вида

,

не содержащее искомую функциюу.

Путем подстановки ; и сводится к уравнению первого порядка относительно функции .

Пример 2. Найти общее решение уравнения

. (1)

Ведем подстановку , тогда .

Перейдем к уравнению

. (2)

Это уравнение линейное относительно р. Пусть , а . Подставив в (2)

; ,

перейдем к системе

.

Решим отдельно (3) и (4).

(3): . Разделим переменные и проинтегрируем:

.

(4): ; . Разделим переменные и проинтег-рируем:

; .

Тогда

.

Возвращаясь к искомой функции у, имеем

;

.

Уравнение вида

,

не содержащее аргумент х.

Путем подстановки

или

приводится к уравнению первого порядка относительно функции р, зависящей от у.

Пример 3. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Уравнение не содержит явный аргумент х, поэтому сделаем подстановку

, тогда

и данное уравнение примет вид

или .

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными относительно функции .

Разделяя переменные, получим

.

Но , тогда или .

Отсюда получим общее решение заданного уравнения:

.

 

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение 1. Дифференциальное уравнение второго порядка называют линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами, если оно имеет вид

, где . (1)

Решение уравнения (1)будем искать в виде (2). Тогда подставив (2) в (1) вместо , уравнение (1) обращается в тождество

; ,

после сокращения на имеем . Функция будет решением уравнения (1) тогда и только тогда, когда трехчлен обратится в нуль, т.е. только в том случае, когда будет корнем квадратного уравнения , которое называется характеристическим уравнением для дифференциаль-ного уравнения (1).

Для нахождения общего решения такого уравнения целесообразно действовать таким образом:

1) составить характеристическое уравнение путем замены на , на , на 1, т. е. получить алгебраическое уравнение

относительно k. (2)

2) решить алгебраическое уравнение, используя формулу:

. (3)

3) проанализировать возможные корни характеристического уравнения:

а) действительные и различные, т.е. ;

б) действительные и равные, т.е. ;

в) комплексные, т.е. , где .

4) в зависимости от значений корней характеристического уравнения общее решение заданного дифференциального уравнения (1) имеет вид:

в случае а): .

в случае б): .

в случае в): .

Пример 1.Найти общие решения уравнений:

а) ;

б) ;

в) .

Решение. Для уравнения а) характеристическим уравнением является .

Найдем корни этого уравнения: .

Корни характеристического уравнения действительны и различ-ны, поэтому общее решение уравнения а) будет: .

Для уравнения б) характеристическим уравнением является

.

Корни характеристического уравнения действительны и равны, поэтому общее решение уравнения б): .

Для уравнения в) характеристическим уравнением является

.

Корни этого уравнения комплексные числа, причем , , поэтому общим решением дифференциального уравнения в) является: .

 

Пример использования дифференциальных уравнений в экономических задачах

Пример 1. Экономисты установили, что скорость увеличения инвестированного капитала в любой момент времени пропорциональна величине капитала с коэффициентом пропорциональности равным согласованному проценту непрерывного возрастания капитала. Необходимо найти закон возрастания инвестированного капитала, учитывая величину начальной инвестиции .

Решение. Пусть – величина инвестированного капитала в момент времени (искомая функция).

Тогда – скорость изменения инвестиции, . По условию задачи имеем

.

Необходимо решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения является функция . Учитывая начальное условие , имеем . Решением задачи Коши является функция .

 

Упражнения к главе 5

1.Найти общее решение или общий интеграл дифферен-циальных уравнений с разделяющимися переменными:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) .

2. Найти общее решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) .

3. Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) .

4. Найти общее решение уравнений Бернулли:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

5. Найти решение задачи Коши:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

6.Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

7. Найти общее решение уравнений:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

8. Решить задачу экономического содержания:

Скорость возрастания численности населения пропорциональна численности населения. Найти закон роста численности населения страны, в которой в 2000 году было 50 млн. населения. Сколько населения будет в 2010 году?

 

5.9 Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к главе 5

1.Найти общее решение однородного дифференциального уравнения 1-го порядка

1) . 2) .

3) . 4) .

5) . 6) .

7) . 8) .

9) . 10) .

11) . 12) .

13) . 14) .

15) . 16) .

17) . 18) .

19) . 20) .

21) . 22) .

23) . 24) .

25) . 26) .

27) . 28) .

29) . 30) .

 

2Найти общее решение линейного дифференциального уравнения и уравнения Бернулли

1) . 2) .

3) . 4) .

5) . 6) .

7) . 8) .

9) . 10) .

11) . 12) .

13) . 14) .

15) . 16) .

17) . 18) .

19) . 20) .

21) . 22) .

23) . 24) .

25) . 26) .

27) . 28) .

29) . 30) .

ЛИТЕРАТУРА

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів. – Київ: ЦУЛ, 2002. – 400с.

2. Бугір М.К. Математика для економістів: Посібник. – К.: Видавничий центр “Академія” , 2003. – 520 с.

3. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. (Решебник). – 2-е изд., испр. – М.: Физико-математическая литература, 2001. – 368 с.

4. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. – Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1968. – 411 с.

5. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. – 2-е изд., испр. – М.: Дело, 2001. – 688 с.

6. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2006. – 464 с.: ил. –(Серия «Учебное пособие»).

7. И.Н. Ляшенко, Е.И. Ляшенко. Математика для экономистов: Учебное пособие для подготовки бакалавров экономического профиля. – 1998. – 228 с.

8. Павленко Т.В., Сукач Т. М. Вивчення інтегрального числення в умовах модульно-рейтингової системи навчання: Навч.посіб. – Алчевськ: ДонДТУ, 2005 – 166 с.

9. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. — 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2003. — 288 с.

10. Пискунов Н.С. Дифференциальное исчисление. Т. 1, 2. – М.: Наука, 1985. – 430, 451 с.

11. Ризун В.И. Высшая математика для экономических специальностей, часть II. – Алчевск, ДГМИ, 1999. – 287 с.

12. Ризун В.И. Высшая математика для экономических специальностей. – Алчевск, ДГМИ, 2001. – 214 с.

13. Сукач Т. Н. Линейная алгебра и аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учебное пособие для студентов вуза, колледжа. – Алчевск: ДГМИ, 2003 – 121 с.

14. Токунова Т.В. Диференціальне і інтегральне числення: Навч. посіб. – Алчевськ: ДГМІ, 2002. – 175 с.

 

3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с однородными функциями.

Определение 1.Функция f(X,y) называется однородной функцией n-ого измерения (n-ой степени) относительно переменных X и y,если при любом t справедливо тождество

.

(3. 1)

Например, функция — однородная функция первого измерения, так как

;

— однородная функция третьего измерения , так как

;

— однородная функция нулевого измерения, так как

, т.е..

Определение 2.Дифференциальное уравнение первого порядкаy‘ = f(x,y) называется однородным, если функцияf(x,y) есть однородная функция нулевого измерения относительноx иy, или, как говорят,f(x,y) – однородная функция степени нуль.

Его можно представить в виде

P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0,

(3. 2)

где P(x,y) иQ(x,y) – однородные функции одинакового измерения: отношение двух однородных функций одного и того же измерения является однородной функцией нулевого измерения (см. третий из приведенных выше примеров).

Возможна следующая форма записи уравнения (3.2):

,

(3.3)

что позволяет определить однородное уравнение как такое дифференциальное, которое можно преобразовать к виду (3.3).

Замена приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, после подстановкиу = xzполучим,Разделяя переменные и интегрируя, найдем:

,

Пример 1.Решить уравнение .

 Полагаем у = zx, Подставляем эти выраженияy иdyв данное уравнение:илиРазделяем переменные:и интегрируем:,

Заменяя zна, получим.

Пример 2. Найти общее решение уравнения.

 В данном уравнении P (x,y) =x2-2y2,Q(x,y) =2xy– однородные функции второго измерения, следовательно, данное уравнение является однородным. Его можно представить в видеи решать так же, как и представленное выше. Но используем другую форму записи. Положимy = zx, откудаdy = zdx + xdz. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, будем иметь

,

то есть

или

dx+2zxdz = 0.

Разделяем переменные, считая

.

Интегрируем почленно это уравнение

, откуда

то есть . Возвращаясь к прежней функциинаходим общее решение

Пример 3. Найти общее решение уравнения.

 Цепочка преобразований: ,y = zx,, , , , , , , , , .

Лекция 8.

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

,

(4.1)

где ,,c(x) – непрерывные функции.

Если, то уравнение (4.1) можно записать в приведённом виде

(4. 1a)

Здесь – свободный член, называемый также правой частью уравнения. В этом виде будем рассматривать линейное уравнение в дальнейшем.

Если 0, то уравнение (4.1а) называется линейным неоднородным. Если же0, то уравнение принимает вид

(4.2)

и называется линейным однородным.

Название уравнения (4.1а) объясняется тем, что неизвестная функция y и её производнаявходят в него линейно, т.е. в первой степени.

В линейном однородном уравнении переменные разделяются. Переписав его в виде откудаи интегрируя, получаем:,т.е.

(4. 3)

При делении на теряем решение. Однако оно может быть включено в найденное семейство решений (4.3), если считать, чтоСможет принимать и значение 0.

Существует несколько методов решения уравнения (4.1а). Согласно методу Бернулли, решение ищется в виде произведения двух функций отх:

(4.4)

Одна из этих функций может быть выбрана произвольно, так как лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению, другая определяется на основании уравнения (4.1а).

Дифференцируя обе части равенства (4.4), находим .

Подставляя полученное выражение производной , а также значениеу в уравнение (4.1а), получаем, или

.

(4.5)

Так как одну из неизвестных функций можем выбрать произвольно, выберем функцию u так, чтобы

,

(4.6)

т.е. в качестве функции vвозьмём решение однородного линейного уравнения (4.6):

.

(4.3а)

Ввиду произвольности в выборе v,мы можем не учитывать произвольную постояннуюС (точнее – можем приравнять её нулю). Подставляя найденное значениеv(x) в уравнение (4.5), получим, учитывая (4.6):

,

(4. 7)

откуда

(4.8)

(Здесь Cписать обязательно, иначе получится не общее, а частное решение).

Таким образом, видим, что в результате используемой подстановки (4.4) уравнение (4.1а) сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными (4.6) и (4.7).

Подставляя иv(x) в формулу (4.4), окончательно получаем

,

или

.

(4.9)

Пример 1.Найти общее решение уравнения

 Положим , тогда. Подставляя выраженияив исходное уравнение, получимили(*)

Приравняем нулю коэффициент при :

Разделяя переменные в полученном уравнении, имеем (произвольную постояннуюC не пишем), отсюдаv=x. Найденное значениеvподставляем в уравнение (*):

,,.

Следовательно, общее решение исходного уравнения.

Отметим, что уравнение (*) можно было записать в эквивалентном виде:

.

Произвольно выбирая функцию u, а неv, мы могли полагать. Этот путь решения отличается от рассмотренного только заменойvнаu(и, следовательно,uнаv), так что окончательное значениеуоказывается тем же самым.

На основании изложенного выше получаем алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.

  1. Приводим рассматриваемое уравнение к виду.

  2. Используя подстановку, находими подставляем эти выражения в уравнение.

  3. Группируем члены уравнения, выносим одну из функций uилиvза скобки. Находим вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.

  4. Подставляем найденную функцию в оставшееся выражение и находим вторую функцию.

  5. Записываем общее решение, подставив выражения для найденных функций u иvв равенство.

  6. Если требуется найти частное решение, то определяем Сиз начальных условий и подставляем в общее решение.

Отметим далее, что иногда уравнение первого порядка становится линейным, если усчитать независимой переменной, аx– зависимой, т.е. поменять ролиx иy. Это можно сделать при условии, чтоxиdxвходят в уравнение линейно.

Пример 2. Решить уравнение .

Однако если рассматривать xкак функцию оту, то, учитывая, что,его можно привести к виду

(4. 1 б)

Заменив на,получимили. Разделив обе части последнего уравнения на произведениеydy, приведем его к виду

, или. (**)

Здесь P(y)=,. Это линейное уравнение относительноx. Полагаем,. Подставляя эти выражения в (**), получаем

или.

Выберем vтак, чтобы,, откуда;. Далее имеем,,.

Т.к. , то приходим к общему решению данного уравнения в виде

.

Отметим, что в уравнение (4.1а) P(x) иQ (x) могут входить не только в виде функций от x, но и констант:P=a,Q=b. Линейное уравнение

(4. 10)

можно решать и с помощью подстановки y=uv и разделением переменных:

;.

Отсюда ;;; где. Освобождаясь от логарифма, получаем общее решение уравнения

(здесь).

При b=0 приходим к решению уравнения

(4.10а)

в виде

(4.11)

(см. уравнение показательного роста (2.4) при ).

Применим далее для интегрирования неоднородного линейного уравнения (4.1а) метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Сначала интегрируем соответствующее однородное уравнение (4.2). Как указано выше, его решение имеет вид (4.3). Будем считать сомножитель Св (4.3) функцией отх, т.е. по существу делаем замену переменной

,

(4.3а)

где C(x)-новая неизвестная функцияx. Подставляя производнуюв исходное неоднородное уравнение (4.1а), получим:, или

,

(4.12)

откуда, интегрируя, находим

dx+C1,

(4.13)

где С1-постоянная. Следовательно,

.

(4.14)

Отметим, что согласно (4.14) (см. также (4.9)), общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (4.3) и частного решения неоднородного уравнения, определяемого вторым слагаемым, входящим в (4.14) (и в (4.9)).

При решении конкретных уравнений следует повторять приведённые выше выкладки, а не использовать громоздкую формулу (4.14).

Применим метод Лагранжа к уравнению, рассмотренному в примере 1:

.

Интегрируем соответствующее однородное уравнение .

Разделяя переменные, получаем и далее. Решение выражения формулойy = Cx. Решение исходного уравнения ищем в видеy = C(x)x. Подставив это выражение в заданное уравнение, получим;;,. Общее решение исходного уравнения имеет вид

.

В заключение отметим, что к линейному уравнению приводится уравнение Бернулли

, ()

(4.15)

которое можно записать в виде

.

(4.15а)

Заменой оно приводится к линейному уравнению:

,,.

Уравнения Бернулли также решаются изложенными выше методами.

Пример 3. Найти общее решения уравнения.

 Цепочка преобразований: ,,,,,,,,,,,,,,

Модуль №4

Рекомендации

к самопроверке изученного материала

    

После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, формулировки и доказательства теорем, проверяя себя каждый раз по учебнику.

В случае необходимости надо еще раз внимательно разобраться в материале учебника и решить задачи. Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дельнейшего материала. В этом случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.

Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предостеречь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благополучное решение задач воспринимается им как признак усвоения теории. Иногда правильное решение задачи получается в результате применения механически заученных формул без понимания сущности теоретических положений.

4.1. Понятие о дифференциальном уравнении

   4.1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

   4.1.3. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

   4.1.4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

   4.1.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

 

Практическое занятие №1

 

4.2. Дифференциальные уравнения второго  порядка

   4.2.1. Простые случаи уравнений второго порядка

   4.2.2. Случаи понижения порядка

   4.2.3. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Практическое занятие №2

Примеры приложений к задачам экономики

·        Какое уравнение называется дифференциальным? Что называется порядком дифференциального уравнения? Приведите примеры.

·        Какое    решение    дифференциального     уравнения     называется общим и какое — частным? Каков их геометрический смысл? Приведите  примеры.

·        Каков   геометрический   смысл   начальных  условий  дифференциального уравнения   первого   порядка? Как   из   общего   решения дифференциального уравнения первого порядка можно получить его частное решение,   удовлетворяющее заданным начальным условиям? Приведите примеры.

·        Каков геометрический смысл начальных условий для дифференциального уравнения второго порядка?

·        Какое дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным? В каких случаях оно называется однородным и неоднородным?

·        Каковы   свойства   решений   линейных   однородных  дифференциальных уравнений второго порядка? Какова структура его общего решения?

 

Внимание !  Правильно выбери свой вариант, например, если Ваш № зачетной книжки заканчивается цифрами ….51, то Ваш вариат 21. 

 

 

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение типа

\ [y ’+ a \ left (x \ right) y = f \ left (x \ right), \]

, где \ (a \ left (x \ right) \) и \ (f \ left (x \ right) \) — непрерывные функции от \ (x, \), называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассматриваем два метода решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

  • Использование интегрирующего коэффициента;
  • Метод изменения постоянной.

Использование интегрирующего коэффициента

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

\ [y ’+ a \ left (x \ right) y = f \ left (x \ right), \]

интегрирующий коэффициент определяется по формуле

\ [{u \ left (x \ right)} = {\ exp \ left ({\ int {a \ left (x \ right) dx}} \ right).} \]

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель \ (u \ left (x \ right) \) преобразует левую часть в производную произведения \ (y \ left (x \ right) u \ left (x \ верно).\)

Общее решение дифференциального уравнения выражается следующим образом:

\ [y = \ frac {{\ int {u \ left (x \ right) f \ left (x \ right) dx} + C}} {{u \ left (x \ right)}}, \]

где \ (C \) — произвольная постоянная.

Метод изменения константы

Этот метод аналогичен предыдущему. Для начала необходимо найти общее решение однородного уравнения:

\ [y ’+ a \ left (x \ right) y = 0. \]

Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования \ (C.\) Заменим константу \ (C \) некоторой (пока неизвестной) функцией \ (C \ left (x \ right). \) Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, мы можем определить функцию \ (C \ влево (х \ вправо). \)

Описанный алгоритм называется методом изменения константы. Конечно, оба метода приводят к одному и тому же решению.

Задача начального значения

Если помимо дифференциального уравнения существует еще начальное условие в виде \ (y \ left ({{x_0}} \ right) = {y_0}, \), такая задача называется задачей начальной стоимости (IVP). или проблема Коши.3}. \)

Решение.

Мы решим эту задачу, используя метод изменения постоянной. Сначала находим общее решение однородного уравнения:

\ [xy ’= y, \]

, которую можно решить, разделив переменные:

\ [
{x \ frac {{dy}} {{dx}} = y, \; \;} \ Rightarrow
{\ frac {{dy}} {y} = \ frac {{dx}} {x }, \; \;} \ Rightarrow
{\ int {\ frac {{dy}} {y}} = \ int {\ frac {{dx}} {x}}, \; \;} \ Rightarrow
{ \ ln \ left | у \ право | = \ ln \ left | х \ право | + \ ln C, \; \;} \ Rightarrow
{y = Cx.3} + {C_1} x.} \]

Однородные дифференциальные уравнения

Здесь мы рассмотрим специальный метод решения «Однородных дифференциальных уравнений»

Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка — это Однородное , когда оно может иметь следующую форму:

dy dx = F ( y x )

Мы можем решить эту проблему, используя разделение переменных, но сначала мы создаем новую переменную v = y x

v = y x , что также равно y = vx

И dy dx = d (vx) dx = v dx dx + x dv dx (в соответствии с Правилом продукта)

Что можно упростить до dy dx = v + x dv dx

Используя y = vx и dy dx = v + x dv dx , мы можем решить дифференциальное уравнение.

Пример покажет, как это все делается:

Пример: Решить

dy dx = x 2 + y 2 xy

Можно ли сделать это в стиле F ( y x )?

Начать с: x 2 + y 2 xy

Отдельные термины: x 2 xy + y 2 xy

Упростить: x y + y x

Величина, обратная первому члену 🙁 y x ) -1 + y x

Да, у нас есть функция y x .

Итак, вперед:

Начать с: dy dx = ( y x ) -1 + y x

y = vx и dy dx = v + x dv dx : v + x dv dx = v -1 + v

Вычтите v с обеих сторон: x dv dx = v -1

Теперь используйте разделение переменных:

Разделите переменные: v dv = 1 x dx

Поставьте знак интеграла впереди: ∫v dv = ∫ 1 x dx

Интегрировать: v 2 2 = ln (x) + C

Затем делаем C = ln (k) : v 2 2 = ln (x) + ln (k)

Линия комбайна: v 2 2 = ln (kx)

Упростить: v = ± √ (2 ln (kx))

Теперь подставляем обратно v = y x

Заменитель v = y x : y x = ± √ (2 ln (kx))

Упростить: y = ± x √ (2 ln (kx))

И у нас есть решение.

Положительная часть выглядит так:

Другой пример:

Пример: Решить

dy dx = y (x − y) x 2

Можно ли сделать это в стиле F ( y x )?

Начать с: y (x − y) x 2

Отдельные термины: xy x 2 y 2 x 2

Упростить: y x — ( y x ) 2

Да! Итак, поехали:

Начать с: dy dx = y x — ( y x ) 2

y = vx и dy dx = v + x dv dx v + x dv dx = v — v 2 = v — v 2

Вычтите v с обеих сторон: x dv dx = −v 2

Теперь используйте разделение переменных:

Разделите переменные: — 1 v 2 dv = 1 x dx

Поставьте знак интеграла впереди: ∫− 1 v 2 dv = ∫ 1 x dx

Интегрировать: 1 v = ln (x) + C

Затем делаем C = ln (k) : 1 v = ln (x) + ln (k)

Линия комбайна: 1 v = ln (kx)

Упростить: v = 1 ln (kx)

Теперь подставляем обратно v = y x

Заменитель v = y x : y x = 1 ln (kx)

Упростить: y = x ln (kx)

И у нас есть решение.

Вот несколько примеров значений k:

И последний пример:

Пример: Решить

dy dx = x − y x + y

Можно ли сделать это в стиле F ( y x )?

Начать с: x − y x + y

Разделить на x: x / x − y / x x / x + y / x

Упростить: 1 − y / x 1 + y / x

Да! Итак, поехали:

Начать с: dy dx = 1 − y / x 1 + y / x

y = vx и dy dx = v + x dv dx v + x dv dx = 9 + v 1 9 + v

Вычтите v с обеих сторон: x dv dx = 1 − v 1 + v — v

Затем: x dv dx = 1 − v 1 + v v + v 2 1 + v

Упростить: x dv dx = 1−2v − v 2 1 + v

Теперь используйте разделение переменных:

Разделите переменные: 1 + v 1−2v − v 2 dv = 1 x dx

Поставьте знак интеграла впереди: ∫ 1 + v 1−2v − v 2 dv = ∫ 1 x dx

Интегрировать: — 1 2 ln (1−2v − v 2 ) = ln (x) + C

Тогда получаем C = ln (k) : — 1 2 ln (1−2v − v 2 ) = ln (x) + ln (k)

Линия комбайна: (1−2v − v 2 ) = kx

Квадратное и обратное: 1−2v − v 2 = 1 k 2 x 2

Теперь подставляем обратно v = y x

Заменитель v = y x : 1-2 ( y x ) — ( y x ) 2 = 1 k 2 x 9

Умножить на x 2 : x 2 −2xy − y 2 = 1 k 2

Мы почти у цели… хотя приятно выделить y!
Мы можем попытаться разложить на множители x 2 −2xy − y 2 , но сначала мы должны немного изменить порядок:

Изменить знаки: y 2 + 2xy − x 2 = — 1 k 2

Заменить — 1 k 2 на c: y 2 + 2xy − x 2 = c

Добавьте 2x 2 к обеим сторонам: y 2 + 2xy + x 2 = 2x 2 + c

Фактор: (y + x) 2 = 2x 2 + c

Квадратный корень: y + x = ± √ (2x 2 + c)

Вычтем x из обеих частей: y = ± √ (2x 2 + c) — x

И у нас есть решение.

Положительная часть выглядит так:

Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Возможно, вам сначала захочется прочитать о дифференциальных уравнениях и разделении переменных!

Дифференциальное уравнение — это уравнение с функцией и одной или несколькими производными:


Пример: уравнение с функцией y и ее производная dy dx

Здесь мы рассмотрим решение специального класса дифференциальных уравнений под названием Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Первый орден

Они «Первого Ордена», когда есть только dy dx , а не д 2 д dx 2 или д 3 д dx 3 и т. Д.

линейный

Дифференциальное уравнение первого порядка является линейным , когда его можно сделать так:

dy dx + Р (х) у = Q (х)

Где P (x) и Q (x) — функции от x.

Для ее решения есть специальный метод:

  • Мы изобретаем две новые функции от x, называем их u и v и говорим, что y = uv .
  • Затем мы решаем, чтобы найти u , а затем находим v , приводим в порядок, и все готово!

И мы также используем производную y = uv (см. Производные правила (правило продукта)):

dy dx = u дв dx + v du dx

Ступеньки

Вот пошаговый метод их решения:

Давайте посмотрим на примере, чтобы увидеть:

Пример 1: Решите это:

dy dx y х = 1

Во-первых, это линейно? Да, так как это в форме

dy dx + P (x) y = Q (x)
, где P (x) = — 1 х и Q (x) = 1

Итак, давайте выполним шаги:

Шаг 1: Подставляем y = uv и dy dx = u дв dx + v du dx

Так это: dy dx y х = 1

Становится этим: u дв dx + v du dx УФ х = 1

Шаг 2: Факторизуйте детали, включающие v

Фактор v : u дв dx + v ( du dx u х ) = 1

Шаг 3. Положите член v равным нулю

v член равен нулю: du dx u х = 0

Итак: du dx знак равно u х

Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u

Отдельные переменные: du u знак равно dx х

Поставьте знак интеграла: ∫ du u = ∫ dx х

Интегрировать: ln (u) = ln (x) + C

Сделайте C = ln (k): ln (u) = ln (x) + ln (k)

Итак: u = kx

Шаг 5: подставьте u обратно в уравнение на шаге 2

(помните, что термин v равен 0, поэтому его можно игнорировать): kx дв dx = 1

Шаг 6: Решите это, чтобы найти v

Отдельные переменные: k dv = dx х

Поставить знак интеграла: ∫ k дв. = ∫ dx х

Интегрировать: kv = ln (x) + C

Сделайте C = ln (c): kv = ln (x) + ln (c)

А так: kv = ln (cx)

И так: v = 1 к ln (сх)

Шаг 7: Подставляем в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.

y = uv: y = kx 1 к ln (сх)

Упростить: y = x ln (cx)

И получается это прекрасное семейство кривых:


y = x ln (cx) для различных значений c

Что означают эти кривые? Они являются решением уравнения dy dx y х = 1

Другими словами:

В любом месте на любой из этих кривых
наклон минус y х равно 1

Давайте проверим несколько точек на c = 0.6 кривая:

Расчет по графику (до 1 знака после запятой):

Пункт х y Уклон ( dy dx ) dy dx y х
А 0,6 -0,6 0 0 — −0.6 0,6 = 0 + 1 = 1
Б 1,6 0 1 1 — 0 1,6 = 1 — 0 = 1
С 2,5 1 1,4 1,4 — 1 2,5 = 1,4 — 0,4 = 1

Почему бы не проверить несколько пунктов самостоятельно? Здесь вы можете построить кривую.

Может быть, вам поможет еще один пример? Может, посложнее?

Пример 2: Решите это:

dy dx 3 года х = х

Во-первых, это линейно? Да, так как это в форме

dy dx + P (x) y = Q (x)
, где P (x) = — 3 х и Q (x) = x

Итак, давайте выполним шаги:

Шаг 1: Подставляем y = uv и dy dx = u дв dx + v du dx

Так это: dy dx 3 года х = х

Становится этим: u дв dx + v du dx 3uv х = х

Шаг 2: Факторизуйте детали, включающие v

Фактор v : u дв dx + v ( du dx 3u х ) = х

Шаг 3. Положите член v равным нулю

v член = ноль: du dx 3u х = 0

Итак: du dx знак равно 3u х

Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u

Отдельные переменные: du u = 3 dx х

Поставьте знак интеграла: ∫ du u = 3 ∫ dx х

Интегрировать: ln (u) = 3 ln (x) + C

Сделайте C = −ln (k): ln (u) + ln (k) = 3ln (x)

Тогда: uk = x 3

Итак: u = х 3 к

Шаг 5: подставьте u обратно в уравнение на шаге 2

(помните, что термин v равен 0, поэтому его можно игнорировать) 🙁 х 3 к ) дв dx = х

Шаг 6: Решите это, чтобы найти v

Отдельные переменные: dv = k x −2 dx

Поставьте знак интеграла: ∫ dv = ∫ k x −2 dx

Интегрировать: v = −k x −1 + D

Шаг 7: Подставляем в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.

у = УФ: у = х 3 к (−k x −1 + D)

Упростить: y = −x 2 + D к х 3

Заменить D / k одной константой c : y = c х 3 — х 2

И получается это прекрасное семейство кривых:


у = с x 3 — x 2 для различных значений c

И еще пример, на этот раз еще на сложнее :

Пример 3: Решите это:

dy dx + 2xy = −2x 3

Во-первых, это линейно? Да, так как это в форме

dy dx + P (x) y = Q (x)
, где P (x) = 2x и Q (x) = −2x 3

Итак, давайте выполним шаги:

Шаг 1: Подставляем y = uv и dy dx = u дв dx + v du dx

Так это: dy dx + 2xy = −2x 3

Становится этим: u дв dx + v du dx + 2xuv = −2x 3

Шаг 2: Факторизуйте детали, включающие v

Фактор v : u дв dx + v ( du dx + 2xu ) = −2x 3

Шаг 3. Положите член v равным нулю

v член = ноль: du dx + 2xu = 0

Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u

Отдельные переменные: du u = −2x dx

Поставить знак интеграла: du u = −2 x dx

Интегрировать: ln (u) = −x 2 + C

Сделайте C = −ln (k): ln (u) + ln (k) = −x 2

Тогда: uk = e −x 2

Итак: u = e −x 2 к

Шаг 5: подставьте u обратно в уравнение на шаге 2

(помните, что термин v равен 0, поэтому его можно игнорировать) 🙁 e −x 2 к ) дв dx = −2x 3

Шаг 6: Решите это, чтобы найти v

Отдельные переменные: dv = −2k x 3 e x 2 dx

Поставьте знак интеграла: ∫ дв. = ∫ −2k x 3 e x 2 dx

Интегрировать: v = о нет! это трудно!

Посмотрим… мы можем интегрировать по частям … где написано:

∫ RS dx = R ∫ S dx — ∫ R ‘(∫ S dx) dx

(Боковое примечание: здесь мы используем R и S, использование u и v может сбивать с толку, поскольку они уже означают что-то другое.)

Выбор R и S очень важен, это лучший выбор, который мы нашли:

Итак, вперед:

Первый вытащить k: v = k ∫ −2x 3 e x 2 dx

R = −x 2 и S = 2x e x 2 : v = k ∫ (−x 2 ) (2xe x 2 ) dx

Теперь интегрировать по частям: v = kR ∫ S dx — k ∫ R ‘(∫ S dx) dx

Положить R = −x 2 и S = ​​2x e x 2

А также R ‘= −2x и ∫ S dx = e x 2

Итак, это становится: v = −kx 2 ∫ 2x e x 2 dx — k ∫ −2x (e x 2 ) dx

Теперь интегрируйте: v = −kx 2 e x 2 + k e x 2 + D

Упростить: v = ke x 2 (1 − x 2 ) + D

Шаг 7: Подставляем в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.

у = УФ: у = e −x 2 к (ke x 2 (1 − x 2 ) + D)

Упростить: y = 1 — x 2 + ( D к ) д x 2

Заменить D / k на одну константу c : y = 1 — x 2 + c э x 2

И мы получаем красивое семейство кривых:


у = 1 — х 2 + c e x 2 для различных значений c

Дифференциальные уравнения первого и второго порядка

Дифференциальные уравнения первого и второго порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

Линейные уравнения:

Общее общее решение дается формулой

где

называется интегрирующим коэффициентом .

Разделимые уравнения:

(1)
Решите уравнение g ( y ) = 0, которое дает константу решения.
(2)
Непостоянные решения даются формулами

Уравнения Бернулли:

(1)
Рассмотрим новую функцию.
(2)
Новое уравнение, которому удовлетворяет v , имеет вид

(3)
Решите новое линейное уравнение, чтобы найти v .
(4)
Возврат к старой функции y путем подстановки.
(5)
Если n > 1, добавьте решение y = 0 к уже полученным (4).

Однородные уравнения:

является однородным , если функция f ( x , y ) однородна, то есть

Путем подстановки мы рассматриваем новую функцию

Новое дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет z , имеет вид

которое является сепарабельным уравнением.Решения постоянные f (1, z ) — z = 0 и непостоянные, заданные формулой

Не забудьте вернуться к старой функции y = xz .

Точные уравнения:

будет точным , если

Условие точности гарантирует существование функции F ( x , y ) такой, что

Все решения даются неявным уравнением

Дифференциальные уравнения второго порядка

Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами:

Запишите характеристическое уравнение

(1)
Если и — различные действительные числа (это случается если), то общее решение

(2)
Если (что произойдет, если), то общее решение

(3)
Если и — комплексные числа (что происходит, если ), то общее решение

где

это

Неоднородные линейные уравнения:

Общее решение дается формулой

где — частное решение, а — общее решение связанного однородного уравнения

Для поиска были разработаны два основных метода.

Метод неопределенных коэффициентов или метод угадывания

Этот метод работает для уравнения

где a , b и c постоянны и

где — полиномиальная функция степени n . В этом случае мы имеем

где

Константы и должны быть определены. Сила s равно 0, если не является корнем характеристическое уравнение.Если это простой корень, то с = 1 и с = 2, если это двойной корень.
Замечание. Если неоднородный член г ( x ) удовлетворяет следующим

где есть формы, указанные выше, то мы разбиваем исходное уравнение в уравнения N

затем найдите конкретное решение. Конкретное решение исходное уравнение дается

Метод изменения параметров

Этот метод работает до тех пор, пока мы знаем два линейно независимых решения однородного уравнения

Обратите внимание, что этот метод работает независимо от того, являются ли коэффициенты постоянный или нет.конкретный решение как

где и — функции. Отсюда и название метода.
Функции и решения системы:

что подразумевает

Следовательно, мы имеем

Уравнения Эйлера-Коши:

где b и c — постоянные числа. Путем подстановки установить

то новое уравнение, которому удовлетворяет y ( t ),

которое является дифференциальным уравнением второго порядка с постоянной коэффициенты.

(1)
Запишите характеристическое уравнение

(2)
Если корни и являются различными действительными числами, то общее решение дается формулой

(2)
Если корни и равны (), то общее решение

(3)
Если корни и являются комплексными числами, то общее решение

где и.

[Дифференциальные уравнения] [Геометрия] [Алгебра] [Тригонометрия] [Исчисление] [Комплексные переменные] [Матричная алгебра] Домашняя страница S.O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США
пользователей онлайн за последний час

Что нужно знать для изучения математического анализа

Дифференциальные уравнения первого порядка — это уравнения, содержащие неизвестную функцию и ее первую производную.Основная цель этой обзорной статьи Calculus III — обсудить свойства решений дифференциальных уравнений первого порядка и описать некоторые эффективные методы нахождения решений.

Стандартная форма

Стандартная форма дифференциального уравнения первого порядка для неизвестной функции y (t): dfrac {dy} {dt} = f (t, y)

Здесь f — некоторая функция двух переменных. Многие, но не все, дифференциальные уравнения первого порядка могут быть записаны в стандартной форме, алгебраически решая для dfrac {dy} {dt} и затем устанавливая f (t, y) равным правой части полученного уравнения.

Любая дифференцируемая функция y = y (t), удовлетворяющая этому уравнению для всех t в некотором интервале, называется решением. Некоторые дифференциальные уравнения не имеют решений, тогда как другие дифференциальные уравнения имеют бесконечно много решений. Также возможно, что дифференциальное уравнение имеет ровно одно решение. Общее решение дифференциального уравнения — это совокупность всех решений. Дифференциальное уравнение вместе с дополнительным условием y (t_0) = y_0, заданным при некотором значении независимой переменной t = t_0, составляет проблему начального значения.Решением задачи начального значения является функция y (t), которая одновременно решает дифференциальное уравнение и удовлетворяет заданному дополнительному условию y (t_0) = y_0.

Уравнения с разделяемыми переменными

Не существует универсальной процедуры для решения дифференциальных уравнений первого порядка в стандартной форме с произвольным f (t, y). Здесь мы рассматриваем подмножество уравнений первого порядка, которые можно напрямую интегрировать.

Это возможно, если функция

ф (т, у)

можно представить в виде

f (t, y) = g (t) h (y)

Здесь g является функцией только t, а h является функцией только y.Дифференциальное уравнение

dfrac {dy} {dt} = g (t) h (y)

считается отделимым. Мы можем записать его в дифференциальной форме

dfrac {dy} {h (y)} — g (t) dt = 0

Общее решение этого уравнения дается следующим интегралом:

int dfrac {dy} {h (y)} — int g (t) dt = C

Здесь C представляет произвольную постоянную интегрирования. Интегралы, полученные в этом выражении, могут оказаться невозможными. В таком случае можно использовать численные методы для получения приближенного решения.2 = грех t + 1

Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение в стандартной форме

dfrac {dy} {dt} = f (t, y)

однородно, если

f (альфа t, альфа y) = f (t, y)

для любого действительного числа альфа.

Такое уравнение всегда можно преобразовать в разделимое уравнение заменой независимой переменной

у = т, г

вместе с соответствующей производной:

dfrac {dy} {dt} = t, dfrac {dz} {dt} + z

Полученное уравнение с переменными z и t

может быть решено как разделимое дифференциальное уравнение, поскольку функция f

после такой замены оказывается функцией с единственной переменной z.

Проиллюстрируем этот метод на примерах.

Пример 1

Рассмотрим уравнение:

dfrac {dy} {dt} = dfrac {y + t} {t}

Сначала проверяем условие однородности:

f (альфа t, альфа y) = dfrac {alpha y + alpha t} {alpha t} = dfrac {y + t} {t} = f (t, y)

Во-вторых, мы вводим новую зависимую переменную

.

z, так что z = y / t:

dfrac {dy} {dt} = t, dfrac {dz} {dt} + z = z + 1

Уравнение

т, dfrac {dz} {dt} = 1

— дифференциальное уравнение первого порядка с разделяемыми переменными, которое можно напрямую интегрировать:

z = ln | Kt |

Здесь мы установили постоянную интегрирования

C = -, ln | K | ,

и отметили, что

ln | t | + ln | K | = ln | Kt | .2

Линейные уравнения с переменными коэффициентами

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка в стандартной форме:

dfrac {dy} {dt} = f (t, y).

Дифференциальное уравнение линейно, если f (t, y)

можно записать как функцию t умножить на y,

плюс еще одна функция

т: f (t, y) = -, p (t) y + q (t).

Следовательно, линейное дифференциальное уравнение всегда можно выразить как:

dfrac {dy} {dt} + p (t) y = q (t)

Здесь p и q

даны функции независимой переменной t.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка не могут быть решены прямыми методами интегрирования, поскольку переменные не разделимы. В результате нам необходимо использовать другой метод решения. Первый шаг — умножить линейное дифференциальное уравнение на неопределенную функцию mu (t):

.

mu (t), dfrac {dy} {dt} + mu (t) p (t) y = mu (t) q (t)

Теперь вопрос состоит в том, можем ли мы выбрать mu (t) так, чтобы левая часть этого уравнения распознавалась как производная некоторого конкретного выражения.Отметим следующие равенства:

dfrac {d} {dt} [mu (t) y] = mu (t) dfrac {dy} {dt} + dfrac {dmu (t)} {dt}, y = mu (t), dfrac {dy} {dt} + mu (t) p (t) y

Здесь второе равенство верно при условии, что mu (t) удовлетворяет уравнению:

dfrac {dmu (t)} {dt} = p (t) mu (t)

Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяемыми переменными, которые можно напрямую интегрировать:

int dfrac {dmu} {mu} — int p (t) dt = 0

Если временно предположить, что mu (t) положительно, то получим:

lnmu (t) = int p (t) dt + К

Выбирая произвольную константу K равной нулю, мы получаем простейшую возможную функцию для mu. А именно:

mu (t) = expleft (int p (t) dtright)

Обратите внимание, что интегрирующий коэффициент mu (t)

положительно для всех t,

, как мы и предполагали. Возвращаясь к линейному дифференциальному уравнению, имеем:

dfrac {d} {dt} [mu (t) y] = mu (t) q (t)

Следовательно, общее решение:

y = dfrac {int mu (s) q (s) ds + C} {mu (t)}

Обратите внимание, что для нахождения решения линейного дифференциального уравнения требуются два интегрирования: одно для получения интегрирующего множителя mu (t), а другое — для получения y.5}}

Точные уравнения и интегрирующие множители

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение первого порядка:

м (t, y) + n (t, y), dfrac {dy} {dt} = 0

Мы предполагаем, что он не является ни линейным, ни разделимым, поэтому методы, подходящие для этих типов уравнений, здесь не применимы. Но предположим, что мы можем идентифицировать функцию Psi (t, y) такую, что:

dfrac {частичный Psi} {частичный t} = m (t, y) ,, qquad dfrac {частичный Psi} {частичный y} = n (t, y)

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид:

m (t, y) + n (t, y), dfrac {dy} {dt} = dfrac {частичный Psi} {частичный t} + dfrac {частичный Psi} {частичный y}, dfrac {dy} {dt} = dfrac {d} {dt}, Psi [t, y (t)] = 0

Такое дифференциальное уравнение называется точным уравнением.Решение точного уравнения дается неявно

фунтов на квадратный дюйм (t, y) = C,

где, как обычно, C

представляет собой произвольную константу.

Систематический способ определения точности данного дифференциального уравнения обеспечивается с помощью следующего теста. Если m (t, y) и n (t, y) — непрерывные функции, то дифференциальное уравнение первого порядка вида:

м (t, y) + n (t, y), dfrac {dy} {dt} = 0

является точным тогда и только тогда, когда:

dfrac {partial m (t, y)} {partial y} = dfrac {partial n (t, y)} {partial t}

В некоторых случаях неточное дифференциальное уравнение можно преобразовать в точное уравнение.Такое преобразование возможно, если мы умножим уравнение на подходящий интегрирующий коэффициент. Чтобы исследовать возможность реализации этой идеи в более общем плане, давайте умножим уравнение на функцию mu, а затем попытаемся выбрать mu так, чтобы полученное уравнение:

mu (t, y) m (t, y) + mu (t, y) n (t, y), dfrac {dy} {dt} = 0

проходит проверку на точность:

dfrac {частичный} {частичный y} [мкм] = dfrac {частичный} {частичный t} [mu n]

Хотя в принципе интегрирующие множители являются мощным инструментом для решения дифференциальных уравнений, на практике их можно найти только в особых случаях.Наиболее важная ситуация, в которой можно найти интегрирующие факторы, возникает, когда mu является функцией только одной из переменных t или y, а не обеих. Предполагая, что mu является функцией только t, мы имеем:

dfrac {dmu} {dt} = g mu ,, qquad g = dfrac {1} {n} left (dfrac {partial m} {partial y} — dfrac {partial n} {partial t} right)

Если g является функцией только t, то интегрирующий коэффициент mu можно определить как:

mu (t) = expleft (int g (t) dtright)

Аналогичную процедуру можно использовать для определения условия, при котором дифференциальное уравнение имеет интегрирующий коэффициент, зависящий только от y.2 = С

Завершение всего

В этой обзорной статье исчисления III мы исследовали различные типы дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть приняты. Теперь вы сможете определить тип дифференциального уравнения, а затем применить правильный метод его решения. Мы надеемся, что этот пост придаст вам больше уверенности в своих знаниях дифференциальных уравнений первого порядка и облегчит ваше изучение Calculus III.

Давайте применим все на практике.Попробуйте этот практический вопрос по дифференциальным уравнениям:

Хотите узнать больше о дифференциальных уравнениях?

Вы можете найти тысячи практических вопросов на Albert.io. Albert.io позволяет настроить процесс обучения так, чтобы он ориентировался на практику там, где вам больше всего нужна помощь. Мы зададим вам сложные практические вопросы, которые помогут вам овладеть дифференциальными уравнениями.

Начните практиковать здесь .n} y ′ + P (x) ⋅y = Q (x) ⋅yn, можно получить:

t ′ = (1 − n) (Q (x) −P (x) ⋅t) t ‘= \ left ({1 — n} \ right) \ left ({Q \ left (x \ right) — P \ left (x \ right) \ cdot t} \ right) t ′ = (1 − n) (Q (x ) −P (x) ⋅t) ⇒t ′ + (1 − n) P (x) ⋅t = (1 − n) Q (x) \ Rightarrow t ‘+ \ left ({1 — n} \ right) P \ left (x \ right) \ cdot t = \ left ({1 — n} \ right) Q \ left (x \ right) ⇒t ′ + (1 − n) P (x) ⋅t = (1− n) Q (x), которое есть не что иное, как линейное дифференциальное уравнение, метод решения которого уже обсуждался выше. x} y ′ + exy = ex.{- ax}}}} y = ab + C⋅e − ax1

где, C — постоянная интегрирования, а a, b уже известны. Следует отметить, что y = 0 всегда является решением данного уравнения, которое известно как его тривиальное решение , которое нельзя получить другими способами.

Пример — 3: Определите решение задачи начального значения t y ′ + 3y = 0t \, y ‘+ 3y = 0ty ′ + 3y = 0, y (1) = 2y \ left (1 \ right) = 2y (1) = 2, t> 0t> 0t> 0.

Решение:

После переписывания данного однородного дифференциального уравнения в его стандартной форме

y ′ + 3ty = 0y ‘+ \ frac {3} {t} y = 0y ′ + t3 y = 0, где P (t) = 3tP \ left (t \ right) = \ frac {3} {t} P (t) = t3.{- 3}} y = 2t − 3

Дифференциальные уравнения первого порядка и первой степени. Способы решения. Разделение переменных. Однородные, точные и линейные уравнения. Интегрирующие факторы. Уравнение Бернулли.

Дифференциальные уравнения первого порядка и первой степени. Способы решения. Разделение переменных. Однородные, точные и линейные уравнения. Интегрирующие факторы. Уравнение Бернулли.
SolitaryRoad.com
Владелец сайта: Джеймс Миллер
 

[ Дом ] [ Вверх ] [ Информация ] [ Почта ]

Дифференциальные уравнения первого порядка и первого порядка степень.Способы решения. Разделение переменных. Однородные, точные и линейные уравнения. Интеграция факторы. Уравнение Бернулли.

Дифференциальные уравнения первого порядка и первой степени. Любое дифференциальное уравнение первой степени и первой степени можно записать в форме

Пример. Дифференциальное уравнение

также можно записать как

(х — 3y) dx + (x — 2y) dy = 0

Наличие решения.Общее решение уравнения dy / dx = g (x, y), если оно существует, имеет форма f (x, y, C) = 0, где C — произвольная постоянная. При каких обстоятельствах общее решение существует? У нас есть следующая теорема.

Теорема 1. Общее решение dy / dx = g (x, y) существует над некоторой заданной областью R points (x, y), если выполняются следующие условия:

a) g (x, y) непрерывна и однозначна более

рэнд

б) ∂g / ∂y существует и непрерывна во всех точках R

Общее решение f (x, y, C) = 0 дифференциального уравнения dy / dx = g (x, y) в некоторой области R состоит из семейства кривых, называемых интегральными кривыми дифференциального уравнения (одна кривая для каждого возможного значения C, каждая кривая представляет конкретное решение), так что через каждая точка в R проходит одна и только одна кривая семейства f (x, y, C) = 0.

Дифференциальное уравнение

ассоциируется с каждой точкой (x 0 , y 0 ) в области R направление

Направление в каждой точке R — это направление касательная к этой кривой семейства f (x, y, C) = 0 что проходит через точку.

Область R, в которой направление связано с каждая точка называется полем направления. На рис. показаны поле направлений и интегральные кривые для дифференциальное уравнение dy / dx = 2x.Генерал решение этого уравнения есть y = x 2 + C. интегральные кривые — параболы.

Методы решения дифференциала уравнения первого порядка и первая степень

I Разделение переменных. Если уравнение

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

можно привести в форму

P (x) dx + Q (y) dy = 0,

переменные считаются разделенными.Общее решение тогда дается

Пример. Решить

(1 + x 2 ) dy — xy dx = 0

Решение. Разделив на y (1 + x 2 ) и транспонировав, получим

Интегрируя обе стороны, получаем

ln y = ½ ln (1 + x 2 ) + ln C

или

ln y = ln C (1 + x 2 ) ½

Принимая экспоненты

y = C (1 + x 2 ) ½

Произвольная константа была добавлена ​​в форме «ln C» для облегчения окончательного представления.

Однородные многочлены, функции и уравнения

Def. Однородный полином. Многочлен, все члены которого имеют одинаковую степень по всем переменным вместе взятым. Таким образом,

x 2 + 2xy — 2y 2 однородно степени 2

2x 3 y + 3 x 2 y 2 + 5y 4 однороден степени 4

2x + 5y однородно степени 1

Понятие однородности распространяется на общие функции следующим образом:

Def.Однородная функция. Функция такая, что если каждую из переменных заменить на k умноженное на переменную, k можно полностью исключить из функции всякий раз, когда k ≠ 0. Степень k, которое может быть исключено из функции, является степенью однородности функции. Таким образом,

2x 2 ln x / y + 4y 2 однородно степени 2

x 2 y + y 3 sin y / x однороден степени 3

II Однородные дифференциальные уравнения.Дифференциальное уравнение вида

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

называется однородным, если M (x, y) и N (x, y) являются однородными функциями одного и того же степень. Такое уравнение можно преобразовать в уравнение, в котором переменные разделены заменой y = vx (или x = vy), где v — новая переменная.

Примечание. Дифференцирование y = vx дает dy = v dx + x dv, количество, которое необходимо заменить на dy когда vx заменяется y.

Пример. Решить

(x 2 — y 2 ) dx + 2xy dy = 0

Решение. Мы не можем разделить переменные, но M (x, y) и N (x, y) — однородные функции степени 2. Замена

y = vx и dy = v dx + x dv

получаем

(1 — v 2 ) dx + 2v (v dx + x dv) = 0

Разделение переменных дает

Интегрируя получаем

ln (v 2 + 1) = — ln x + ln C

Взяв экспоненты, получаем

х (v 2 + 1) = C

Наконец, поскольку v = y / x, это становится

x 2 + y 2 = Сх

Причина, по которой замена y = vx превращает уравнение в уравнение, в котором переменные разделимы.Причина, по которой замена y = vx превращает уравнение в одно в котором переменные разделимы, можно увидеть, когда данное уравнение записывается в виде

Если M (x, y) и N (x, y) — однородные функции одной степени и вместо y заменяется vx обнаруживается, что все x сокращаются в правой части 2), а правая часть становится функцией только в v, т.е. уравнение принимает вид

3) dy / dx = g (v)

Подстановка dy = v dx + x dv дает

4) v dx + x dv = g (v) dx

, где переменные могут быть разделены как

III Точные дифференциальные уравнения

Def.Точное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение, которое получается путем задания полный дифференциал некоторой функции равен нулю.

Полный дифференциал функции u (x, y) по определению равен

.

, а точное дифференциальное уравнение, связанное с функцией u (x, y), равно

Примитив 5) равен u (x, y) = C.

Если в данном дифференциальном уравнении

6) M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

количество

M (x, y) dx + N (x, y) dy

оказывается в точности полным дифференциалом некоторой функции u (x, y) i.е. если есть какие-то функция u (x, y) такая, что

, то 6) является точным дифференциальным уравнением и его примитивом является u (x, y) = C.

Поскольку обычно нельзя определить путем осмотра, является ли данное уравнение точным, нужен тест на точность. Этот тест дается следующей теоремой.

Теорема 2. Пусть M (x, y), N (x, y), ∂M / ∂y и ∂N / ∂x — непрерывные функции от x и y. потом необходимое и достаточное условие того, что дифференциальное уравнение

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

, а точнее

Проба

Если дифференциальное уравнение точное, следующим шагом будет построение функции u (x, y), из которой M (x, y) dx + N (x, y) dy — полный дифференциал.Иногда это можно определить при осмотре. Чаще нет. Следующий пример иллюстрирует обычный метод решения.

Пример. Проверьте следующее уравнение на точность и найдите решение, если оно точное.

7) (3x 2 y — y) dx + (x 3 — x + 2y) dy = 0

Решение.

M = 3x 2 — y N = x 3 — x + 2y

∂M / ∂y = 3x 2 — 1 ∂N / ∂x = 3x 2 — 1

Так как ∂M / ∂y = ∂N / ∂x, уравнение является точным i.е. существует функция u (x, y), левая часть которой сторона 7) и есть полный дифференциал. Чтобы найти эту функцию, проинтегрируем ∂u / ∂x = M = 3x 2 — y относительно x, сохраняя y постоянным. Получаем

8) u (x, y) = ∫M ∂x = ∫ (3x 2 — y) ∂x = x 3 y — yx + φ (y)

, где φ (y) состоит из членов, свободных от x (∫M ∂x обозначает интегрирование по x, при постоянном y). Таким же образом интегрируем ∂u / ∂y = N = x 3 — x + 2y по y, с постоянным x.Получаем

9) u (x, y) = ∫N ∂y = ∫ (x 3 — x + 2y) ∂y = x 3 y — xy + y 2 + ψ (x)

, где ψ (x) состоит из членов, не содержащих y (т. Е. Членов, содержащих только x или константы).

Сравнивая 8) и 9), мы видим, что общее решение —

x 3 y — xy + y 2 = C

Пример из Миддлмисс.Дифференциальное и интегральное исчисление. п. 443

Существует формула, по которой можно получить решение. Это:

Формула общего решения точного уравнения M dx + N dy = 0. Общее решение предоставлено

∫ M ∂x + ∫f (y) dy = C

, где f (y) состоит из всех членов в N, не содержащих x (т.е. всех членов, не содержащих x — члены, содержащие только y или константы) и ∫M ∂x обозначает интегрирование по x, сохраняя y постоянным.

Альтернативная формула:

∫N ∂y + ∫f (x) dx = C

, где f (x) состоит из всех членов M, не содержащих y.

Приведенные выше формулы дают правильный результат в подавляющем большинстве случаев, но это не так. безошибочен и в исключительных случаях может дать неверный результат. Следовательно, решение должно всегда проверять, подставляя его в исходное уравнение.

Есть еще одна более сложная формула, которая также дает общее решение:

Формула общего решения.

где ∫M ∂x обозначает интегрирование по x, сохраняя y постоянным.

Вывод

IV Интегрирующие факторы. Если дифференциальное уравнение неточно, его можно составить точным путем умножения его на некоторую функцию. Например, уравнение

11) y dx + 2x dy = 0

не является точным, поскольку ∂M / ∂y ≠ ∂N / ∂x. Однако умножение его на y дает точное уравнение

y 2 dx + 2xy dy = 0

, в котором левая сторона в точности совпадает с дифференциалом xy 2 .Функция, которая при умножении в дифференциальное уравнение, делает его точным, называется интегрирующим множителем. В этом примере y — это интегрирующий коэффициент для 11).

Теорема 3. Пусть уравнение

12) M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

имеют решение f (x, y, C) = 0, где C — произвольная постоянная. Тогда, если уравнение 12) не точное, его всегда можно сделать точным, умножив его на некоторую правильную функцию от x и y т.е. существует некоторый интегрирующий множитель μ (x, y), который сделает его точным.Более того, если μ (x, y) — интегрирующий множитель для 12), то a · μ (x, y) также является интегрирующим множителем, где a — произвольный постоянный.

Таким образом, если пункт 12) разрешим, он либо точен, либо может быть уточнен с помощью некоторого интегрирующего множителя. Там Однако не существует общего правила для определения интегрирующего фактора. Теорема просто уверяет нас, что точная версия уравнения существует.

Условия для разрешимости 12) не очень строгие. Они сформулированы в теореме 1 выше.

Есть много уравнений, которые не интегрируются в существующем виде, но становятся интегрируемыми. при умножении на правильный коэффициент. Не существует общего метода определения правильного фактора, но во многих простых случаях его можно найти путем осмотра. Возможность сделать это во многом зависит от признание некоторых общих точных различий и на опыте. Один использует изобретательность и методом проб и ошибок, посредством манипуляции, возможно преобразование переменных, а некоторые умножая коэффициент, преобразуйте уравнение в уравнение, которое можно интегрировать.Например, если один замечает группы терминов «x dy — y dx» или «x dy + y dx» в уравнении, которое он может преобразовать уравнение в уравнение, которое можно интегрировать, используя множитель, который создает один из следующих точных дифференциалов:

Пример.Решите уравнение

(x 2 + y 2 + y) dx — x dy = 0

Решение. Запишем уравнение в виде

(x 2 + y 2 ) dx + y dx — x dy = 0

Вспоминая формулу

мы решаем умножить уравнение на коэффициент 1 / (x 2 + y 2 ), чтобы получить

или

Затем мы интегрируем, чтобы получить решение

Теорема 4.Дифференциальное уравнение вида

можно привести к виду

с помощью интегрирующего множителя

Его примитив —

.

Пример. Решите уравнение

(3x 2 y — xy) dx + (2x 3 y 2 + x 3 y 4 ) dy = 0

Решение. Перепишем уравнение как

y (3x 2 — x) dx + x 3 (2y 2 + y 4 ) dy = 0

и умножьте на коэффициент 1 / yx 3 , что даст

Интегрируя, получаем примитив

Теорема 5.

a) Необходимое и достаточное условие для того, чтобы μ (x, y) была интегрирующим множителем для уравнения

13) M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

состоит в том, что он удовлетворяет уравнению

б) Если количество

является функцией только x, т.е.

, затем

— интегрирующий коэффициент для уравнения

M dx + N dy = 0.

в) Если количество

является функцией только y, т.е.

, затем

— интегрирующий коэффициент для уравнения

M dx + N dy = 0.

Проба

Пример. Решить y dx + (3 + 3x — y) dy = 0

Решение.

M = y N = 3 + 3x — y

∂M / ∂y = 1 ∂N / ∂x = 3

Сейчас

является функцией не только x, а

является функцией только y.Следовательно, интегрирующий коэффициент равен

.

Если умножить уравнение на y 2 , можно убедиться, что оно становится точным и его решением является

xy 3 + y 3 — y 4 /4 = C

V Линейные уравнения первого порядка. Линейное уравнение первого порядка — это уравнение типа

Это уравнение имеет

в качестве интегрирующего фактора.Общее решение дается

Проба

Пример. Решить

Решение.

P = 2 / x

Умножая обе части уравнения на этот коэффициент и интегрируя, получаем

или

x 2 y = x 6 + C

Уравнение Бернулли.Уравнение

известно как уравнение Бернулли. Его можно преобразовать в линейное уравнение с помощью преобразование

14) y — n + 1 = v

где v — новая переменная.

Разделим 13) на y n , чтобы получить эквивалентное уравнение

Если мы теперь возьмем производную 14) по x, получим

Подставляя 14) и 16) в 15), получаем

или

, которое является линейным уравнением относительно переменной v.Теперь мы можем решить это уравнение методом для линейные уравнения.

Общее решение уравнения Бернулли —

Список литературы

1. Росс Р. Миддлмисс. Дифференциальное и интегральное исчисление. Глава. XXIX

2. Джеймс / Джеймс. Математический словарь.

3. Мюррей Р. Шпигель. Прикладные дифференциальные уравнения.

4. Джеймс Б. Скарборо. Дифференциальные уравнения и приложения.

5. Фрэнк Эйрес.Дифференциальные уравнения (Шаум).

6. Эшбах. Справочник по основам инженерии.

7. Эрл Рейнвилл. Элементарные дифференциальные уравнения.

Ещё с сайта SolitaryRoad.com:

Путь истины и жизни

Божье послание миру

Иисус Христос и Его учение

Мудрые слова

Путь просветления, мудрости и понимания

Путь истинного христианства

Америка, коррумпированная, развратная, бессовестная страна

О целостности и ее отсутствии

Проверка на христианство человека — это то, что он есть

Кто попадет в рай?

Высший человек

О вере и делах

Девяносто пять процентов проблем, с которыми сталкивается большинство людей. пришли из личной глупости

Либерализм, социализм и современное государство всеобщего благосостояния

Желание причинить вред, мотивация поведения

Обучение таково:

О современном интеллектуализме

О гомосексуализме

О самодостаточной загородной жизни, усадьбе

Принципы жизни

Актуальные притчи, заповеди, аранжировка Котировки.Общие поговорки. Альманах бедного Ричарда.

Америка сбилась с пути

Действительно большие грехи

Теория формирования характера

Моральное извращение

Ты то, что ты ешь

Люди подобны радиотюнерам — они выбирают и слушайте одну длину волны и игнорируйте остальные

Причина черт характера — по Аристотелю

Эти вещи идут вместе

Телевидение

Мы то, что мы едим — живем в рамках диеты

Как избежать проблем и неприятностей в жизни

Роль привычки в формировании характера

Истинный христианин

Что такое истинное христианство?

Личные качества истинного христианина

Что определяет характер человека?

Любовь к Богу и любовь к добродетели тесно связаны

Прогулка по пустынной дороге

Интеллектуальное неравенство между людьми и властью в хороших привычках

Инструменты сатаны.Тактика и уловки, используемые дьяволом.

Об ответе на ошибки

Настоящая христианская вера

Естественный путь — Неестественный путь

Мудрость, разум и добродетель тесно связаны

Знание — это одно, мудрость — другое

Мои взгляды на христианство в Америке

Самое главное в жизни — понимание

Оценка людей

Мы все примеры — хорошие или плохие

Телевидение — духовный яд

Главный двигатель, который решает, «кто мы»

Откуда берутся наши взгляды, взгляды и ценности?

Грех — серьезное дело.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.