Решение показательных уравнений и неравенств: Решение показательных уравнений и неравенств: алгоритм решения и примеры

{x+2}-1}

Методы решения показательных уравнений и неравенств

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Мамиева М.А. 1

---

1МБОУ СОШ 30

Караева Д.А. 1

---

1МБОУ СОШ 30

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Аннотация

Из предложенных тем я выбрала: «Методы решения показательных уравнений и неравенств», так как она наиболее актуальна не только для меня, но и для детей моего возраста. В связи с приближающимися экзаменами, данный проект так же поможет мне при решении заданий из ЕГЭ.                                                                                 

 В данной работе исследуются разные способы решений показательных уравнений и неравенств.

В процессе выполнения проекта я приобрела навыки проектной деятельности, развила коммуникативные и аналитические способности,  а также навыки самостоятельного поиска необходимого материала с помощью учебной и художественной литературы и интернет­-источников, более того получила знания как по математики, так и по истории.

Для достижения цели исследовательской работы необходимо было решить следующие задачи:

— осваивание математических знаний и умений, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.

-изучить различные методы решения показательных уравнений и неравенств.

— развитие логического мышления и алгоритмической культуры;

 

Введение

Обычно математику считают прямой противоположностью поэзии. Однако математика и поэзия — ближайшие родственники, ведь и то и другое — работа воображения. 

Томас Хилл 

Определенно, чтобы понять и научиться решать любые математические задания, мало просто знать все многочисленные формулы и свойства, которыми богата данная наука. Если не подходить к заданию творчески, широко и открыто мыслить, то легко попадешь «в тупик», что может привести не только к разочарованию в науке, но и в самом себе. Математика как игра привлекательна свое содержательностью, сложностью и неожиданностью результатов. Так же для овладения почти любой современной профессии требуются математические познания. Строгое и абстрактное мышление, необходимое в реальной действительности, легче развить, занимаясь математикой, поскольку эта наука строга и абстрактна. Именно поэтому, на примере решения показательных уравнений и неравенств, я хочу показать, что данный процесс может не только увлечь вас, но и так же заставить ваш мозг работать куда продуктивнее.

История Показательных уравнений

Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем − профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель − Exponent: «выставлять напоказ». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г.), а свободно обращаться с такими же дробными и отрицательными показателями стал с  1676 г. сэр Исаак Ньютон.
Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Готфрид Вильгельм Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости y=ax и экспоненциальной кривой для графика этой функции.

 

Показательные уравнения

Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением.

Самое простое показательное уравнение имеет вид:

ax = b,         

где a > 0, a ≠ 1.

Показательные уравнения путём алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнениям, которые решаются, используя следующие методы:

• метод приведения к одному основанию;
• метод введения новых переменных;
• метод вынесения общего множителя за скобки;
• метод почленного деления;
• метод группировки;
• метод оценки.

Метод приведения к одному основанию

Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т. е. уравнение надо попытаться свести к виду:

Пример:

32x-1 = 7x+1

Представим правую часть в виде 3 ^log₃7x+1

И запишем уравнение равносильное исходному

3^2x-1=3 ^log₃7x+1

Перейдем к уравнению для показательных степеней

2x-1= log₃7^x+1

2x-1=xlog₃7 +log₃7

x(2-log₃7 )=log₃7 +1

x=1+log₃72-log₃7

x=log₃3+log₃7log₃3²-log₃7

x=log₃21log₃  97

x=log₉₇21≈12. 1144

Ответ: 12.1144

 

Метод введения новых переменных

Введение новой переменной обычно производится после преобразований членов уравнения.

Пример:

4^x2 -2^x2 -2=0

Обозначим t=2^x2 ,где t>0, тогда

t² -t-2=0

t₁ =-1

t₂ =2

Так как -1<0, то остается только корень равный 2

2^x2 =2 , откуда

x² =1

x=1

x=-1

Ответ: -1; 1.

 

Метод вынесения общего множителя за скобки

Тождественное преобразование, в результате которого многочлен 
приводится к произведению нескольких множителей, называют 
разложением многочлена на множители.

Пример:

x2·2x+1 + 2|x-3|+2 = x2·2|x-3|+4 + 2x-1

То, что находится в правой части, мы перенесем в левую часть и сгруппируем многочлены с одинаковыми показателями

(x2·2x+1 -2x-1)+(2|x-3|+2- x2·2|x-3|+4) = 0

Вынесем общие множители за скобки

2x-1(4×2-1) +2|x-3|+2(1-4×2) = 0,

откуда следует

(4×2-1)·(2x-1 -2|x-3|+2) = 0.

Последнее уравнение равносильно совокупности

 

	4×2-1 = 0,
	2x-1 = 2|x-3|+2.

Из первого уравнения совокупности находим x1 = — 12 ,x2= 12

 

Из второго уравнения получаем:

2x-1 = 2|x-3|+2

x-1=x-3+2

x-3=x-3

x-3=x-3, если x≥3x-3=-x+3, если x<3

0∙x=0, если x≥32x=6, x=3, если x<3

Ответ: -12  ∪   12  ∪  3; +∞ .

 

 

Метод почленного деления

Данный метод заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения, содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Этот метод применяется для решения однородных показательных уравнений.

 22х+1-7·10х+ 52х+1=0

22х·2– 7·2х·5х+52х·5=0    /52х≠ 0
2·25 2х– 7· 25 х +5=0

Пусть 25 х =t, t>0
2t2-7t+5=0
D=b2-4ac=49-4·2·5=9
t1=1, t2=52
25 х=1, 25 х =52

х=0, х=-1

Ответ: -1; 0.

 

 

 

Метод группировки

3·22х+12 ·9х+1– 6·4х+1= — 13 ·9х+2

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

12 ·9х+1+13 ·9х+2=6·4х+1-3·22х

12 ·9х·9+13 ·9х·92=6·4х·4-3·4х

4,5·9х+27·9х=24·4х-3·4х

31,5·9х=21·4х      /9х≠0        

31,5= 21·49 х

49 х=32

23 2х=23 -1

2х=-1

х=-0,5

Ответ: -0,5.

 

Метод оценки

(5)^2+4+6+…+2x =5⁴⁵  , x Î N

 Логарифмируя по основанию 5 (обе части уравнения положительны), получим

12  (2+4+6+…+2x) = 45

 1+2+…+ x= 45.

Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии

Sn =n(a₁+a_n2 )

получим уравнение

x1+x2 =45

или

x2+x-90 = 0

корни которого x1 = -10 и x2 = 9.

Поскольку x ÎN, остается x = 9.

Ответ: 9.

 

Показательные неравенства

Неравенства, содержащие переменные в показатели степени, называются показательными. Методы применяемы при решении показательных уравнений, мы также можем использовать и при решении показательных неравенств. Приведем несколько примеров.

Пример 1.

 2^x-3≥  4+ 16-2^x-3

В этом неравенстве мы используем метод введения новой переменной.

Пусть  2^x-3 =t, тогда получаем неравенство

t ≥ 4+16-t

Преобразуем последнее неравенство

4+16-t – t ≤ 0

t²-10t+256-t≤ 0

(t-5)²6-t ≤ 0

 

Используя метод интервалов, найдем решение неравенства с переменной

t=5, t> 6. Отсюда 2^x-3 =5 и 2^x-3> 6.

Пусть 2^x =a, решим уравнение и неравенство с модулем.

Из уравнения a-3 =5 получаем

a-3=5   a-3=-5

a=8   a=-2

Подставим вместо a=2^x

2^x=8   2^x=-2

Получаем x=3

Модуль a-3  есть расстояние на координатной оси от точки a до точки 3.

Для решения неравенств a-3> 6 необходимо найти такие точки, расстояние от которых до точки 3 больше 6. Справа от точки 3 расположена точка 9 на расстоянии 6 единиц, а слева — точка (-3). Поэтому из неравенства

a-3> 6  получаем a< -3 или a> 9.

   2^x<-32^x>9

2^x>2^log₂9

x >log₂9

Ответ: {3} ∪ (log₂9 ;+∞).

Пример 2.

2^{(32x+2x∙3x+1+30)}> 3^{(4x-2x∙3x+1+log₃2)}

Так как  и левая, и правая части неравенства положительны, то от них можно взять  log2 :

3^2x+2^x∙3^x+1>log₂3^{(4x-2x∙3x+1+log₃2)}

3^2x+2^x∙3^x+1>(4^x-2^x∙3^x+1+log₃2)∙log₂3

3^2x+2^x∙3^x+1>(4^x-2^x∙3^x+1)∙log₂3+1

3^2x+2^x∙3^x>(4^x-2^x∙3^x+1)∙log₂3

Поделим каждое слагаемое неравенства на (2^x∙3^x) :

32^x+1>23^x-3∙log₂3

Обозначим: 32^x =y, где y >  0:

y+1 > 1y-3∙log₂3

Умножим каждое слагаемое на y:

y²+y> 1-3y∙log₂3

Перенесем многочлен из левой стороны в правую сторону:

y²+y-1-3y∙log₂3>0

Раскроем скобки:

y²+y-log₂3+3ylog₂3>0

y²+3log₂3+1y-log₂3>0

Решим уравнение:

y²+3log₂3+1y-log₂3=0

D=3log₂3+1 2 +  4log₂3=9log₂3²+10log₂3+1

D>0 ,   следовательно

y=-3log₂3+1±9log₂3²+10log₂3+12

В связи с тем, что log₂3>0 , то и D >3log₂3+1 2.

 

Из этого следует, что только один из корней будет больше нуля:

y=-3log₂3+1+9log₂3²+10log₂3+12

Отметим точку y на оси, y>0 :

(Иллюстрация II.)

y Î -3log₂3+1+9log₂3²+10log₂3+12;+∞

Из этого следует, что  x Î log₃₂-3log₂3+1+9log₂3²+10log₂3+12;+∞

Ответ: x Î log₃₂-3log₂3+1+9log₂3²+10log₂3+12;+∞ .

 

-3log23+1+9log232+10log23+12

                                                                                     

 

Иллюстрация II.

Заключение

Работа над данным проектом была интересной и увлекательной. Но что самое главное — она стала очень полезной для меня, так как совсем скоро мне предстоит сдавать экзамены. Ведь изучение над этой темой не только дало мне новые знания, но также помогло развить логическое мышление и научило находить решение в, казалось бы, безвыходных ситуациях.
Мне понравилось работать над данной темой, потому что благодаря этому проекту я смогла расширить свои знания в области показательных уравнений и неравенств.

Список литературы

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс:/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачев, Н.Е.Федоров, М.И.Шабунин

Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни. Колягин Ю. М.

ЕГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/ под редакцией И.В. Ященко.

ЕГЭ 2016. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/ под редакцией И.В. Ященко.

https://shkolkovo. net/catalog/reshenie_neravenstv/pokazatelnye/page-7

Просмотров работы: 1821

Показательные уравнения и неравенства. Решение показательных уравнений и неравенств

Исходя из этого и применяя теорему о корне, получим, что уравнение a x = b иметь один единственный корень, при b>0 и положительном a не равном единице. Чтобы его найти, необходимо представить b в виде b = a c .
Тогда очевидно, что с будет являться решением уравнения a x = a c .

Рассмотрим следующий пример: решить уравнение 5 (x 2 — 2*x — 1) = 25.

Представим 25 как 5 2 , получим:

5 (x 2 — 2*x — 1) = 5 2 .

Или что равносильно:

x 2 — 2*x — 1 = 2.

Решаем полученное квадратное уравнение любым из известных способов. Получаем два корня x = 3 и x = -1.

Ответ: 3;-1.

Решим уравнение 4 x — 5*2 x + 4 = 0. Сделаем замену: t=2 x и получим следующее квадратное уравнение:

t 2 — 5*t + 4 = 0.
Решаем это уравнение любым из известных способов. Получаем корни t1 = 1 t2 = 4

Теперь решаем уравнения 2 x = 1 и 2 x = 4.

Ответ: 0;2.

Решение простейших показательных неравенств основывается тоже на свойствах возрастания и убывания функции. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0, то данная функция будет убывающей на всем множестве вещественных чисел.

Рассмотрим пример: решить неравенство (0.5) (7 — 3*x)

Заметим, что 4 = (0.5) 2 . Тогда неравенство примет вид (0.5)(7 — 3*x)

Получим: 7 — 3*x>-2.

Отсюда: х

Ответ: х

Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно.

Показательными уравнениями и неравенствами считают такие уравнения и неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения а х = а b , где а > 0, а ≠ 1, х – неизвестное. Это уравнение имеет единственный корень х = b, так как справедлива следующая теорема:

Теорема. Если а > 0, а ≠ 1 и а х 1 = а х 2 , то х 1 = х 2 .

Обоснуем рассмотренное утверждение.

Предположим, что равенство х 1 = х 2 не выполняется, т.е. х 1 1, то показательная функция у = а х возрастает и поэтому должно выполняться неравенство а х 1 а х 2 . В обоих случаях мы получили противоречие условию а х 1 = а х 2 .

Рассмотрим несколько задач.

Решить уравнение 4 ∙ 2 х = 1.

Решение.

Запишем уравнение в виде 2 2 ∙ 2 х = 2 0 – 2 х+2 = 2 0 , откуда получаем х + 2 = 0, т.е. х = -2.

Ответ. х = -2.

Решить уравнение 2 3х ∙ 3 х = 576.

Решение.

Так как 2 3х = (2 3) х = 8 х, 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 х ∙ 3 х = 24 2 или в виде 24 х = 24 2 .

Отсюда получаем х = 2.

Ответ. х = 2.

Решить уравнение 3 х+1 – 2∙3 х — 2 = 25.

Решение.

Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 х — 2 ∙ 25 = 25,

откуда 3 х — 2 = 1, т. е. х – 2 = 0, х = 2.

Ответ. х = 2.

Решить уравнение 3 х = 7 х.

Решение.

Так как 7 х ≠ 0, то уравнение можно записать в виде 3 х /7 х = 1, откуда (3/7) х = 1, х = 0.

Ответ. х = 0.

Решить уравнение 9 х – 4 ∙ 3 х – 45 = 0.

Решение.

Заменой 3 х = а данное уравнение сводится к квадратному уравнению а 2 – 4а – 45 = 0.

Решая это уравнение, находим его корни: а 1 = 9, а 2 = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.

Уравнение 3 х = 9 имеет корень 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Ответ. х = 2.

Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств а х > а b или а х

Рассмотрим некоторые задачи.

Решить неравенство 3 х

Решение.

Запишем неравенство в виде 3 х 1, то функция у = 3 х является возрастающей.

Следовательно, при х

Таким образом, при х 3 х

Ответ. х

Решить неравенство 16 х +4 х – 2 > 0.

Решение.

Обозначим 4 х = t, тогда получим квадратное неравенство t2 + t – 2 > 0.

Это неравенство выполняется при t 1.

Так как t = 4 х, то получим два неравенства 4 х 1.

Первое неравенство не имеет решений, так как 4 х > 0 при всех х € R.

Второе неравенство запишем в виде 4 х > 4 0 , откуда х > 0.

Ответ. х > 0.

Графически решить уравнение (1/3) х = х – 2/3.

Решение.

1) Построим графики функций у = (1/3) х и у = х – 2/3.

2) Опираясь на наш рисунок, можно сделать вывод, что графики рассмотренных функций пересекаются в точке с абсциссой х ≈ 1. Проверка доказывает, что

х = 1 – корень данного уравнения:

(1/3) 1 = 1/3 и 1 – 2/3 = 1/3.

Иными словами, мы нашли один из корней уравнения.

3) Найдем другие корни или докажем, что таковых нет. Функция (1/3) х убывающая, а функция у = х – 2/3 возрастающая. Следовательно, при х > 1 значения первой функции меньше 1/3, а второй – больше 1/3; при х 1 и х

Ответ. х = 1.

Заметим, что из решения этой задачи, в частности, следует, что неравенство (1/3) х > х – 2/3 выполняется при х 1.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Урок 2. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств. Практика 11 класс онлайн-подготовка на

 

 

 

 

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 1. Повторение. Показательная функция. Показательные уравнения

Практика

 

Простейшие показательные неравенства

 

 

Конспект урока

 

Пример №1. Решить неравенство:

Правило: привести к одинаковому основанию.

Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется

Ответ:

 

Пример №2. Решить неравенство:

Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется

Ответ:

Пример №3. Решить неравенство:

Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется

Ответ:

 

Пример №4. Решить неравенство:

Вспоминаем свойства показательной функции: , значит,  Данное неравенство не имеет решений.

 

Пример №5. Решить неравенство:

По аналогии с предыдущим неравенством:  (а, значит, ) для всех  из области определения, то есть .

 

Показательные неравенства, которые сводятся к простейшим

 

 

Пример №1.

 

Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется

Ответ:

Пример №2. Решите неравенство

Рассмотрим решение данного неравенства двумя способами.

1 способ:

Приведем обе части неравенства к основанию 2:

Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется

 

2 способ:

Приведем обе части неравенства к основанию :

Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется

Ответ:

 

Пример №3. Решите неравенство

Подсказка: чтобы не ошибиться, лучше приводить обе части неравенства к основанию больше 1, так как в этом случае нет риска забыть о смене знака неравенства.

Вспомним, что:

Поэтому:

Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется

Ответ:

 

Пример №4. Решите неравенство

Приведем обе части неравенства к основанию 2:

Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется

Ответ:

 

Показательные неравенства, которые решаются с помощью вынесения общего множителя

 

 

С вынесением общей степени

 

 

Пример №1.  Решите неравенство

Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется

Ответ:

 

Показательное неравенство, которое решается с помощью замены

 

 

Сводящиеся к квадратным

 

Пример №1.  Решите неравенство:

Замена:

Обратная замена:

Ответ:

 

Пример №2. Решите неравенство:

Замена:

Обратная замена:

Ответ:

 

Пример №3. Решите неравенство:

Замена:

 

Обратная замена:

Левое неравенство, как мы помним, выполняется всегда.

Ответ:

 

Однородные показательные неравенства

 

 

Однородные

 

Пример №1. Решите неравенство:

Замена:

 

Обратная замена:

Ответ:

 

Системы показательных уравнений

 

 

Системы показательных уравнений

 

Пример №1. Решите систему уравнений:

«Решаем» каждое из уравнений по отдельности, приводя к обычной линейной системе.

1)     

2)     

Получаем систему:

Ответ:

 

Пример №2. Решите систему уравнений:

1)      Перемножим оба уравнения:

2)      Поделим второе уравнение на первое:

Получаем систему:

Ответ:

 

Пример №3. Решите систему уравнений:

Замена:

—

Обратная замена:

Ответ:

 

Пример №4.

Замена:

Рассмотрим решение данной системы двумя способами:

1 способ:

Обратная замена:

2 способ:

Обратная замена:

Ответ:

 

Системы показательных неравенств

 

 

Пример №1.

 

Правило: решаем каждое из неравенств по отдельности.

1)     

Замена:

Обратная замена:

2)     

3)     

Ответ: решений нет.

 

Показательные уравнения в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида = b. Пусть основание а>0 и отлично от 1. Так как функция у = строго монотонна, то каждое свое значение она принимает ровно один раз. Это означает, что уравнение = b при b>0 имеет одно решение, которое по определению логарифма равно log0 b. Если 0, то уравнение = b корней не имеет, так как всегда больше нуля. Если число b записано в виде ас, т. е. если уравнение представлено в виде = ас, то оно имеет один корень х = с.

Сформулируем общий результат о решении простейшего показательного уравнения (схема XI).

Теорема:

Пусть а > 0 и а ≠ 1. Уравнение равносильно уравнению f (x) = g (х).

Доказательство:

Докажем, что если то f(x) = g(x). Действительно, так как показательная функция строго монотонна, то из равенства ее значений ac = ad следует равенство показателей c = d. Обратно: если f(x) = g(x), то .

Примеры:

Простейшее логарифмическое уравнение — это уравнение вида logax=b. Оно имеет единственное решение х — а при любом b.

Сформулируем общий результат о решении простейшего логарифмического уравнения (схема XI).

Теорема:

Уравнение ioga f (х) = loga g (х) равносильно уравнению f(x)=g(x) при ограничениях f (х)> 0, g(x)>0.

Доказательство:

Пусть х — решение уравнения

Тогда определены логарифмы чисел f (х) и g (х), т. е. эти числа должны быть больше нуля. Потенцируя равенство получаем равенство f(x) = g (x). Обратно, пусть х — решение уравнения f (х) = g (х), причем g(x)>0 и f (х)> 0. Тогда равенство f{x) = g(x) можно прологарифмировать, И МЫ получим .

Примеры:

Мы решили уравнение х— 1 = 5 — х, а затем проверили, удовлетворяет ли решение условиям х— 1 >0 и 5 — х>0. Заметим, что если f (x) = g (х) и f (х)>0, то тогда и g (x)>0, т. е. из двух неравенств достаточно проверить только одно.

Показательные уравнения справочные сведения

Показательная функция где определена на , а множество ее значений — множество всех положительных чисел.

2.Для любых и при любых значениях и ну верны равенства (основные свойства степени):

3. Простейшее показательное уравнение

не имеет корней при и имеет единственный корень при

В частности, уравнение имеет единственный корень

4.Уравнение

равносильно уравнению

5.Уравнение

равносильно каждому из уравнений

Примеры с решениями

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно каждому из уравнений откуда

Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Это уравнение равносильно каждому из уравнений:

откуда находим

Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Пусть тогда уравнение примет вид

Это уравнение равносильно каждому из уравнений: откуда

Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Полагая получаем уравнение или откуда находим

Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений Первое из них не имеет корней, второе имеет единственный корень

Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Запишем данное уравнение в виде

и заметим, что левая часть уравнения (2) — однородный многочлен степени от и где (сумма степеней и в каждом члене этого многочлена равна двум).

Разделив обе части уравнения (2) на и полагая получим уравнение имеющее корни Исходное уравнение (1) равносильно совокупности уравнений откуда находим

Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Воспользуемся равенством и положим Тогда уравнение примет вид или откуда Исходное уравнение равносильно совокупности уравнении

откуда

Ответ,

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Число 2 является корнем этого уравнения. Докажем, что уравнение не имеет других корней. Так как каждая из функций является возрастающей, то и — также возрастающая функция. Поэтому при и при т. е. функция не принимает значение, равное 25, при Это означает, что — единственный корень уравнения.

Показательные неравенства

Простейшее показательное неравенство — это неравенство вида >b или < b (или ≥ b, или ≤ b). Решение такого неравенства нетрудно представить себе графически, построив график показательной функции у = и проведя прямую у=b (схема XI). Рассмотрим для примера два из 16 возможных вариантов.

Пусть а> 1 и b >0. Решением неравенства ≥ b является промежуток , т. е. все числа (схема XI).

Пусть а>1 и b ≤ 0. Решением неравенства ≥ b является множество всех вещественных чисел R.

Примеры:

Можно сказать, что неравенство типа >b мы решаем логарифмированием. При логарифмировании неравенств надо помнить два правила: 1) в обеих частях неравенства должны стоять положительные числа; 2) при логарифмировании по основанию а>1 знак неравенства сохраняется, если же 0<а<1, то знак неравенства меняется на противоположный.

Простейшее логарифмическое неравенство — это неравенство вида (вместо знака > может стоять ≤ , ≥ . Аналогично показательному неравенству здесь также возможно много вариантов (схема XI). Логарифмическое неравенство решают потенцированием. При этом надо помнить два правила: 1) при переходе от выражения loga f (х) к выражению f (х) надо добавлять условие f (х)>0; 2) если а>1, то при потенцировании знак неравенства сохраняется; если же 0<а<1, то знак неравенства меняется на противоположный.

Примеры:

4. Сначала учтем условия x² — 1>0 и x + 5>0. Решение этой системы неравенств изображено на рисунке 110. Затем потенцируем: x² — 1 ≤ x+5 ⇔ x² — х — 6 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ x ≤ 3. Соединяя решения вместе, получим ответ: -2 ≤ х<-1 и 1< x ≤ З, или [—2; —1)U(1;3].

Введение новой неизвестной

Основной прием, с помощью которого решают показательные и логарифмические уравнения и неравенства,— это введение новой неизвестной. Поясним этот прием на ряде примеров.

1) Выражение показательных функций друг через друга.

Рассмотрим выражения . Все они могут быть алгебраически выражены друг через друга. Например, и т. д. Алгебраическая связь между различными степенями может быть осложнена добавлением в показателе степени постоянных слагаемых: Однако и сейчас несложно выразить эти выражения, например, через у1. Получим

К этому полезно напомнить связь между различными основаниями. Например, и т. п. Поэтому выражения

также нетрудно выразить через у1:

Если в уравнении или неравенстве встречается несколько показательных функций, то надо все их выразить через одну. Обычно после этого показательное уравнение или неравенство превращается в алгебраическое.

Примеры:

Ответ: x_i = 2, x₂ = 1.

Делаем замену =у. Неравенство перепишем таким образом:

(мы умножили неравенство на у, что можно, так как

Так как > — 1 верно при всех х, то остается решить неравенство < 2 ⇔ x<1.

Ответ: х<1. (Иначе ответ можно записать так: (— ∞ ; 1).)

2) Выражение логарифмических функций друг через друга.

Рассмотрим выражения

Используя модуль перехода, легко связать эти выражения между собой:

Свойства логарифмов позволяют по-разному записать связи между выражениями. Например,

Если в уравнении или неравенстве встречается несколько логарифмических функций, то надо (если не удается избавиться от логарифмов потенцированием) выразить их через одну и свести логарифмическое уравнение или неравенство к алгебраическому.

Примеры:

Делаем замену lg х = у. Получаем уравнение относительно у:

Возвращаясь к неизвестной х, получим lg х = 2, х=100; lgx = 3, х= 1000.

Ответ, x₁ = 100, x₂ =1000.

Перейдем к основанию 3. Получим

заменив log3x на у, получим

Возвpащаясь к неизвестной х, получим log3x = 2, x = 9; log3x =—2,

Ответ:

Логарифмируя, получим равносильное данному неравенство (lg x —2) 1g x ≤ 3.

Положим lg х = у. Получим неравенство (у — 2)y ≤ З ⇔

Возвращаясь к неизвестной х, получим — l ≤ lg x ≤ 3 ⇔ x 1000

Ответ: ≤ x ≤ 1000, или в другой записи [ ; 1 ООО].

Использование свойства монотонности функций при решении показательных уравнений

Монотонность функций часто позволяет определить число корней уравнения, а иногда и найти их значения. Рассмотрим примеры решения уравнений.

В левой части уравнения имеем возрастающую функцию, а в правой — убывающую. Следовательно, уравнение не может иметь более одного корня (рис. 111). Один корень можно угадать: х=1. Это число и является окончательным ответом.

Одно решение х=1 легко найти подбором. Докажем, что других корней нет. Перепишем уравнение так:

В правой части последнего уравнения сумма убывающих функций т. е. значение у = 1 эта сумма может принять только один раз.

Ответ: х = 1.

3. Сколько корней имеет уравнение = ах?

Изобразим схематически графики функций у = и у = ах (рис. 112). При а<0 графики имеют одну точку пересечения. При а>0 графики могут не пересекаться, касаться друг друга или пересекаться в двух точках. Граничным значением параметра а, при котором происходит разделение основных случаев — две точки пересечения или ни одной, является значение а, при котором прямая у = ах является касательной к графику функции у = некоторой точке. Найдем это значение а. Пусть касание произошло в точке хо, тогда производная функция у = в этой точке равна а. Поэтому получаем уравнение = а, т. е. x0 = ln а. Точка с абсциссой х0 = ln а должна лежать как на графике функции у=, так и на прямой у = ах. Получаем ° = ах, т. е. а = а ln а, так как а ≠ 0, то ln а= 1 и а = е.

Ответ: при 0 ≤ а<0 один корень, при а>е два корня, при а = е один корень, при корней нет.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Показательные уравнения и примеры решения

Определение. Уравнение называется показательным, если неизвестная входит в показатель степени.

Рассмотрим простейшие приемы решения показательных уравнений на отдельных примерах.

1. Решить уравнение

Представим левую и правую части уравнения в виде степеней, имеющих одинаковые основания:

Отсюда 3х = 2, или .

Мы здесь воспользовались следующей теоремой:

Если степени равны и основания равны, положительны и отличны от единицы, то равны и их показатели степеней.

Докажем эту теорему.

Пусть а > 1 и . Докажем, что в этом случае

Допустим противное тому, что требуется доказать, т. е. допустим, что х > у или что х < у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо либо

Оба эти результата противоречат условию теоремы. Следовательно, х=у, что и требовалось доказать.

Также доказывается теорема и для случая, когда 0<а<1.

Замечание. Из равенства не обязательно следует, что

Из равенства также не обязательно вытекает равенство х=у.

2. Решить уравнение

Преобразуя левую и правую части уравнения, получим:

3. Решить уравнение

Преобразуя левую часть уравнения, получим:

или

или

Отсюда

или

или

Отсюда

Значит, данное показательное уравнение имеет два корня:

4. Решить уравнение

Примем за новую неизвестную выражение и обозначим это выражение буквой у. Тогда получим:

Отсюда

Следовательно,

либо , либо

Из уравнения имеем х = 4.
Из уравнения имеем х = —2.

Итак, данное показательное уравнение имеет два корня: 4 и — 2.

5. Решить уравнение

Снова, обозначая и решая полученное квадратное уравнение, находим:

Таким образом, получим:

Как было указано при исследовании показательной функции, степень ни при каком х не может быть отрицательной, следовательно, первое из полученных уравнений не имеет корней. Из второго уравнения находим х = 0. Значит, первоначальное уравнение имеет лишь один корень, равный нулю.

6. Решить уравнение

Для решения этого уравнения применим графический метод. Построим на одной координатной плоскости (рис. 148) графики функций:

Тогда абсциссы точек пересечения этих линий, т. е. абсциссы точек А и В, будут корнями данного уравнения. Абсцисса точки В, равная числу 2, будет точным корнем данного уравнения, а абсцисса точки А, равная приближенно —1,7, будет его приближенным корнем. Других корней данное уравнение не имеет.

Сведения, изложенные в этой главе, окажутся полезными при изучении логарифмов, которым посвящена следующая глава.

Примем к сведению без доказательства еще следующую теорему:

Если а есть положительной число, отличное от единицы, а N — любое положительное число, то уравнение с неизвестным х имеет один и только один действительный корень (рациональный или иррациональный).

Примеры. Уравнение имеет единственный действительный корень, равный рациональному числу 5.

Уравнение имеет единственный действительный иррациональный корень, приближенное значение которого с точностью до 0,00001 равно 0,47712.

Итак, мы можем сделать следующие заключения:

1. Выражение , где а>0, имеет при каждом действительном значении х одно и только одно действительное значение.
2. Действия над выражениями вида , в которых х является любым действительным числом, можно выполнять по тем же правилам, по которым они выполняются над степенями с целым положительным показателем. Поэтому выражение при всяком действительном значении х также называется степенью (обобщенной).

Примеры зависимостей, выражающихся с помощью показательных функций.

1. (барометрическая формула):
—давление на уровне моря;
k —некоторая известная постоянная;
е —2,718;
h(м) —высота над уровнем моря;
р(ат) —давление на высоте А над уровнем моря.

Здесь h есть независимая переменная, или аргумент, а р есть зависимая переменная, или функция.

По этой формуле можно определять давление р по заданному значению h.

2. Если температура воздуха равна 20° С и тело в течение 20 минут охлаждается от 100 до 60°, то зависимость температуры Т охлаждающегося тела от времени t минут (в течение которого будет происходить охлаждение) выразится формулой

Здесь t есть аргумент, а Т—функция.

Пользуясь этой формулой, можно узнать, например, что через один час температура тела понизится до 30°.

Приведенные формулы выводятся в курсах высшей математики.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Показательные уравнения и неравенства методы их решения.

Решение систем показательных уравнений

Способы решения систем уравнений

Для начала кратко вспомним, какие вообще существуют способы решения систем уравнений.

Существуют четыре основных способа решения систем уравнений:

Способ подстановки: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

Способ сложения: в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».

Графический способ: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

Способ введения новых переменных: в этом способе мы делаем замену каких-либо выражений для упрощения системы, а потом применяем один из выше указанных способов.

Системы показательных уравнений

Определение 1

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений. {n}}$. До тех пор, пока у вас слева или справа есть какие-то левые множители, дополнительные константы и т.д., никакую рационализацию и «зачёркивание» оснований выполнять нельзя ! Бесчисленное множество задач было выполнено неправильно из-за непонимания этого простого факта. Я сам постоянно наблюдаю эту проблему у моих учеников, когда мы только-только приступаем к разбору показательных и логарифмических неравенств.

Но вернёмся к нашей задаче. Попробуем в этот раз обойтись без рационализации. Вспоминаем: основание степени больше единицы, поэтому тройки можно просто зачеркнуть — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:

\[\begin{align} & -\frac{8x}{3} \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac{8x}{3} \lt 4; \\ & \frac{4x}{3} \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end{align}\]

Вот и всё. Окончательный ответ: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Выделение устойчивого выражения и замена переменной

В заключение предлагаю решить ещё четыре показательных неравенства, которые уже являются довольно сложными для неподготовленных учеников. {5}}=3125. \\\end{align}\]

Конечно, все эти числа при желании можно восстановить в уме, просто последовательно умножая их друг на друга. Однако, когда вам предстоит решить несколько показательных неравенств, причём каждое следующее сложнее предыдущего, то последнее, о чём хочется думать — это степени каких-то там чисел. И в этом смысле данные задачи являются более сложными, нежели «классические» неравенства, которые решаются методом интервалов.

Надеюсь, этот урок помог вам в освоении данной темы. Если что-то непонятно — спрашивайте в комментариях. И увидимся в следующих уроках.:)

Способы решения систем уравнений

Для начала кратко вспомним, какие вообще существуют способы решения систем уравнений.

Существуют четыре основных способа решения систем уравнений:

Способ подстановки: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y. $

Способ сложения: в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».

Графический способ: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

Способ введения новых переменных: в этом способе мы делаем замену каких-либо выражений для упрощения системы, а потом применяем один из выше указанных способов.

Системы показательных уравнений

Определение 1

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений.

Решение систем показательных уравнений будем рассматривать на примерах.

Пример 1

Решить систему уравнений

Рисунок 1.

Решение.

Будем пользоваться первым способом для решения данной системы. Для начала выразим в первом уравнении $y$ через $x$.

Рисунок 2.

Подставим $y$ во второе уравнение:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Ответ: $(-4,6)$. {\varphi (x)} $, где $a >0,a\ne 1$ равносильна совокупности двух систем

\}

6.3: Экспоненциальные уравнения и неравенства

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

80789

• Carl Stitz & Jeff Zeager
• Общественный колледж Лейкленда и Общественный колледж округа Лорейн 9{x}\right) & = & \ln(129) & \mbox{Возьмем натуральный логарифм обеих сторон.} \\ x \ln(2) & = & \ln(129) & \mbox{степенное правило} \\[4pt] x & = &\dfrac{\ln(129)}{\ln(2)} & \\ \end{массив}\nonumber\]

  «Взять натуральный логарифм» обеих сторон сродни возведению в квадрат обеих сторон: поскольку \(f(x) = \ln(x)\) является функцией , пока две величины равны, их натуральные логарифмы равны равный. ² Также обратите внимание, что мы рассматриваем \(\ln(2)\) как любое другое ненулевое действительное число и делим его на ³ , чтобы изолировать переменную \(x\). Ниже мы суммируем два распространенных способа решения показательных уравнений, мотивированных нашими примерами.

  Этапы решения уравнения с экспоненциальными функциями

  1. Выделить экспоненциальную функцию.
  2. 1. Если удобно, выразите обе части общим основанием и приравняйте степени.
     2. В противном случае возьмите натуральный логарифм обеих частей уравнения и используйте степенное правило. 9{2x}\справа)\). Правило мощности дает \((x+2)\ln(3) = 2x\ln(7)\). Хотя это уравнение кажется очень сложным, имейте в виду, что \(\ln(3)\) и \(\ln(7)\) — это просто константы. Уравнение \((x+2) \ln(3) = 2x \ln(7)\) на самом деле является линейным уравнением, и поэтому мы собираем все члены с \(x\) на одной стороне, а константы с другой. Затем мы делим обе части на коэффициент \(х\), который мы получаем путем факторизации.

        \[\begin{array}{rclr} (x+2) \ln(3) & = & 2x \ln(7) & \\ x \ln(3) + 2 \ln(3) & = & 2x \ln(7) & \\ 2 \ln(3) & = & 2x \ln(7) — x \ln(3) & \\ 2 \ln(3) & = & x (2 \ln(7) — \ln(3)) & \mbox{Коэффициент.}\\ x & = & \frac{2 \ln(3)}{2\ln(7) — \ln(3)} & \\[4pt] \конец{массив}\номер\] 9{\log_{3}(2)} & \mbox{Изменение базы}\\ 2000 & \stackrel{?}{=} & 1000 \cdot 2 & \mbox{Обратное свойство}\\ 2000 & \stackrel{\ галочка}{=} & 2000 & \\ \end{массив}\номер\]

        Другие решения можно проверить, используя комбинацию логарифмических и обратных свойств. Одни выпадают довольно быстро, а другие более вовлекаются. Оставляем их читателю.

        Поскольку экспоненциальные функции непрерывны в своих областях определения, применима теорема 3.1 о промежуточном значении. Как и в случае с алгебраическими функциями в разделе 5.3, это позволяет нам решать неравенства с помощью диаграмм со знаками, как показано ниже. 9{2x} — 4 = 0\). Чтобы решить последнее, мы изолируем экспоненту и берем журналы, чтобы получить \(2x = \ln(4)\), или \(x = \frac{\ln(4)}{2} = \ln(2)\ ). {\ln\left(\frac{1}{4}\right )}- 4\ln\left(\frac{1}{2}\right) & \\ & = & \frac{1}{4} \ln\left(\frac{1}{2}\right) — 4 \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{15}{4} \ln\left(\frac{1}{2}\right) & \end{array} \номер\] 9{-0.1t} = \frac{1}{3}\), так что \(t = -10\ln\left(\frac{1}{3}\right)\), которое после быстрого применения Правило степени оставляет нам \(t = 10\ln(3)\). Если мы хотим избежать использования калькулятора для выбора тестовых значений, заметим, что, поскольку \(1 < 3\), \(0 = \ln(1) < \ln(3)\), так что \(10\ln( 3) > 0\). Поэтому мы выбираем \(t = 0\) в качестве тестового значения в \([0, 10 \ln(3))\). Поскольку \(3 < 4\), \(10 \ln(3) < 10 \ln(4)\), то последнее является нашим выбором тестового значения для интервала \((10 \ln(3), \infty)\). Наша диаграмма знаков приведена ниже, а рядом с ней — наш график \(y=T(t)\) из примера 6.1.2 с горизонтальной линией \(y = 100\). 9{x}\) растет относительно любого многочлена?

     6.3.2. Ответы

     1. \(x = \frac{3}{4}\)
     2. \(х = 4\)
     3. \(х=2\)
     4. \(х = -\фракция {1}{4}\)
     5. \(х = -\фракция {7}{3}\)
     6. \(х = -1, \, 0, \, 1\)
     7. \(х = \фракция{16}{15}\)
     8. \(х=-\фракция{2}{11}\)
     9. \(х = \frac{\ln(5)}{2\ln(3)}\)
     10. \(х = -\frac{\ln(2)}{\ln(5)}\)
     11. Нет решения.
     12. \(x = \frac{\ln(29) + \ln(3)}{\ln(3)}\)
     13. \(x = \frac{\ln(3)}{12\ln(1,005)}\)
     14. \(k = \frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{-5730} = \frac{\ln(2)}{5730}\)
     15. \(t=\frac{\ln(2)}{0,1} = 10\ln(2)\)
     16. \(x=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}\ln(2)\)
     17. \(t = \frac{\ln\left(\frac{1}{18}\right)}{-0,1} =10 \ln(18)\)
     18. \(x=-10\ln\left(\frac{5}{3}\right) = 10\ln\left(\frac{3}{5}\right)\)
     19. \(х=\ln(2)\)
     20. \(t=\frac{1}{3}\ln(2)\)
     21. \(t = \frac{\ln\left(\frac{1}{29}\right)}{-0,8} = \frac{5}{4}\ln(29)\)
     22. \(x = \frac{\ln\left(\frac{2}{5}\right)}{\ln\left(\frac{4}{5}\right)} = \frac{\ln( 2)-\ln(5)}{\ln(4) — \ln(5)}\)
     23. \(х = \ln(2)\)
     24. \(x = -\frac{1}{8} \ln\left(\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}\ln(2)\)
     25. \(x = \frac{\ln(3)}{\ln(3) — \ln(2)}\)
     26. \(x = \frac{\ln(3) + 5\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(3) — \ln\left(\frac{1}{) 2}\right)} = \frac{\ln(3)-5\ln(2)}{\ln(3)+\ln(2)}\)
     27. \(x = \frac{4 \ln(3) — 3 \ln(7)}{7 \ln(7) + 2 \ln(3)}\)
     28. \(х=\ln(5)\)
     29. \(х=\ln(3)\)
     30. \(x=\frac{\ln(3)}{\ln(2)}\)
     31. \(х=\ln(3)\)
     32. \(х=\лн(3)\), \(\лн(5)\)
     33. \(x=\frac{\ln(5)}{\ln(3)}\)
     34. \((\ln(53), \infty)\)
     35. \(\left[\frac{\ln(3)}{12\ln(1. 005)}, \infty\right)\)
     36. \((-\infty, -1) \чашка (0, 1)\)
     37. \(\left(-\infty, \frac{\ln\left(\frac{2}{5}\right)}{\ln\left(\frac{4}{5}\right)} \right ] = \left(-\infty, \frac{\ln(2)-\ln(5)}{\ln(4)-\ln(5)} \right]\)
     38. \(\left(-\infty, \frac{\ln\left(\frac{2}{377}\right)}{-0,8} \right] = \left(-\infty, \frac{5} {4}\ln\left(\frac{377}{2}\right) \right]\)
     39. \(\left[\ln\left(\frac{1}{18}\right)}{-0.1}, \infty\right) = [10\ln(18), \infty)\)
     40. \(х \приблизительно -0,76666, \, х = 2, \, х = 4\)
     41. \(х \приблизительно 0,01866, \, х \приблизительно 1,7115\)
     42. \(х = 0\)
     43. \((-\infty, 1]\)
     44. \(\приблизительно (-\infty, 2.7095)\)
     9{-1}\) имеют домен \((-\infty, \infty)\) и диапазон \((-\infty, \infty)\).

     ---

     Артикул

     ¹ Можно использовать натуральные бревна или обычные бревна. Мы выбираем натуральные бревна. (Из исчисления вы узнаете, что это самые «математические» логарифмы. )

     ² Это также часть оператора «если» \(\log _{b}(u)=\log _{b}(w)\) тогда и только тогда, когда \(u = w\) в теореме 6.4.

     ³  Пожалуйста, не поддавайтесь искушению разделить обе части на «ln» вместо ln(2). Точно так же, как не имеет смысла делить обе части на символ квадратного корня \(‘\sqrt ‘\) при решении \(x \sqrt{2}=5\), нет смысла делить на ‘ln’ .

     ⁴  Это потому, что основание \(\ln (x)\) равно \(e>1\). Если бы основание \(b\) находилось в интервале \(0

     ⁵  Конечно, мы могли бы воспользоваться калькулятором, но разве это было бы весело?

     ⁶  На этом этапе можно использовать калькулятор. Как обычно, мы действуем без извинений аналитическим методом.

     ⁷ Примечание: \(\ln (2) \приблизительно 0,693\).

     ⁸  Критики могут указать, что, поскольку нам все равно нужно было использовать калькулятор для интерпретации нашего ответа, почему бы не использовать его раньше для упрощения вычислений? Справедливый вопрос, на который мы несправедливо отвечаем: это наша книга

     ---

     Эта страница под названием 6. 3: Экспоненциальные уравнения и неравенства распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 3.0 и была создана, изменена и/или курирована Карлом Стицем и Джеффом Зегером посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами. платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

     1. Наверх
     • Была ли эта статья полезной?

     1. Тип изделия

        Раздел или Страница

        Автор

        Карл Стиц и Джефф Зигер

        Лицензия

        CC BY-NC-SA

        Версия лицензии

        3,0

        Показать страницу TOC

        нет

     2. Теги

        1. источник@https://www. stitz-zeager.com/latex-source-code.html
        2. источник[1]-math-4005

     Экспоненциальные уравнения и неравенства — Предварительный расчет

     Экспоненциальные уравнения и неравенства — Предварительный расчет

     —>

     • Войти
     • Биографии репетитора
     • Подготовка к тесту

       СРЕДНЯЯ ШКОЛА

       • ACT Репетиторство
       • SAT Репетиторство
       • Репетиторство PSAT
       • ASPIRE Репетиторство
       • ШСАТ Репетиторство
       • Репетиторство STAAR

       ВЫСШАЯ ШКОЛА

       • Репетиторство MCAT
       • Репетиторство GRE
       • Репетиторство по LSAT
       • Репетиторство по GMAT

       К-8

       • Репетиторство AIMS
       • Репетиторство по HSPT
       • Репетиторство ISEE
       • Репетиторство ISAT
       • Обучение SSAT
       • Репетиторство STAAR

       Поиск 50+ тестов

     • Академическое обучение

       репетиторство по математике

       • Алгебра
       • Исчисление
       • Элементарная математика
       • Геометрия
       • Предварительный расчет
       • Статистика
       • Тригонометрия

       репетиторство по естественным наукам

       • Анатомия
       • Биология
       • Химия
       • Физика
       • Физиология

       иностранные языки

       • французский
       • немецкий
       • Латинский
       • Китайский диалект
       • Испанский

       начальное обучение

       • Чтение
       • Акустика
       • Элементарная математика

       прочие

       • Бухгалтерский учет
       • Информатика
       • Экономика
       • Английский
       • Финансы
       • История
       • Письмо
       • Лето

       Поиск по 350+ темам

     • О
       • Обзор видео
       • Процесс выбора наставника
       • Онлайн-репетиторство
       • Мобильное обучение
       • Мгновенное обучение
       • Как мы работаем
       • Наша гарантия
       • Влияние репетиторства
       • Обзоры и отзывы
       • Освещение в СМИ
       • О преподавателях университета

     Мы открыты в субботу и воскресенье!

     Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:

     (888) 888-0446

     Все ресурсы Precalculus

     12 диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

     Precalculus Help » Экспоненциальные и логарифмические функции » Показательные уравнения и неравенства

     Решение показательного уравнения.

     Найдите ,

     .

     Возможные ответы:

     Правильный ответ:

     Пояснение:

     Вспоминаем свойство:

     Теперь, .

     Итак,

     .

     Сообщить об ошибке

     Решение экспоненциального уравнения.

     Решить

     Возможные ответы:

     Правильный ответ:

     Объяснение:

     Используйте  (по соглашению просто ) для решения.

     .

     Сообщить об ошибке

     Решите уравнение для  используя правила логарифмирования.

     Возможные ответы:

     Правильный ответ:

     Объяснение:

     Преобразование логарифмов в суммы логарифмов аннулирует первые два члена x, что приведет к уравнению:

      

     Объединение первого и второго членов, а затем вычитание нового члена позволит вам изолировать переменный член .

     Разделите обе части уравнения на 2, затем возведите в степень 3.

     Численная оценка этого члена даст правильный ответ.

     Сообщить об ошибке

     Решите следующее уравнение:

     Возможные ответы:

     Правильный ответ:

     1 1 1 Объяснение:

     Чтобы решить это уравнение, вспомните следующее свойство:

          Можно переписать как 

     Оцените с помощью калькулятора, чтобы получить

     Сообщить об ошибке

     Решите

     .

     Возможные ответы:

     Правильный ответ:

     Объяснение:

     После использования правила деления для упрощения левой части вы можете взять натуральный логарифм с обеих сторон.

     Если вы затем объедините одинаковые члены, вы получите квадратное уравнение, которое делит на,

      .

     Приравняв каждый бином к нулю и найдя  мы получим решение  .

     Сообщить об ошибке

     Решить x: 

     Возможные ответы:

     Правильный ответ:

     Объяснение:

     Сообщить об ошибке

     Найдите x в следующем уравнении: 

     Возможные ответы:

     Правильный ответ:

     Объяснение:

     Сообщить об ошибке

     Найдите x, используя правила логарифмирования:

     Возможные ответы:

     Правильный ответ:

     1 1 1 Объяснение:

     Сообщить об ошибке

     Решить для x: 

     Возможные ответы:

     Правильный ответ:

     6

     6
     6 Объяснение:

     Отчет о ошибке

     Упростить выражение журнала:

     Возможные ответы:

     нельзя упростить.

     Объяснение:

     Логарифмическое выражение максимально упрощено.

      

     Сообщить об ошибке

     Уведомление об авторских правах

     Посмотреть репетиторов по математике

     Zachary
     Сертифицированный репетитор

     Дартмутский колледж, бакалавр искусств, политических наук и государственного управления. Университет Торонто, магистр гуманитарных наук, политическая наука…

     Посмотреть Преподаватели математического анализа

     Пьер
     Сертифицированный преподаватель

     Университет Бригама Янга в Прово, бакалавр наук, электротехника. Pennsylvania State University-Penn State Fayette…

     View Pre-Calculus Tutors

     Katie
     Сертифицированный преподаватель

     Университет Северной Каролины в Чапел-Хилл, бакалавр наук, биохимия.

     Все ресурсы Precalculus

     12 диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Учись по концепции

     экспоненциальных неравенств | Brilliant Math & Science Wiki

     Содержание

     • Введение
     • Экспоненциальные неравенства — одно и то же основание
     • Экспоненциальные неравенства — основание меньше 1
     • Экспоненциальные неравенства — аналогичное основание
     • Экспоненциальные неравенства — другое основание
     • Экспоненциальные неравенства — несколько терминов 9xf(x)=ax равно монотонно возрастающему (\big((увеличение xxx всегда увеличивает f(x))f(x)\big)f(x)) для a>1a>1a>1 и монотонно убывает (\big((увеличение xxx всегда уменьшает f(x))f(x)\big)f(x)) для 0 2} < \ гидроразрыва {9x ?24332​<(32​)x2<49​⋅(278​)x?

       Когда два основания различны и не связаны общим основанием (как в предыдущем разделе), становится необходимым использование логарифмов. К счастью, логарифмы обладают теми же свойствами, что и экспоненты:

       .

       Если a>1a>1a>1 и x>yx>yx>y, то log⁡ax>log⁡ay\log_ax>\log_ayloga​x>loga​y. В противном случае, если 0(8-5x)\log 5,log25x>log58-5x⟹5xlog2>(8-5x)log5,

       , так что 5xlog⁡2>8log⁡5−5xlog⁡5,5x\log 2>8\log 5-5x\log 5,5xlog2>8log5−5xlog5. Перестановка дает 5x(log⁡2+log⁡5)>8log⁡5,5x(\log2+\log5)>8\log 5,5x(log2+log5)>8log5. Поскольку log⁡2+log⁡5=log⁡10=1,\log 2+\log 5=\log 10=1,log2+log5=log10=1, это эквивалентно 5x>8log⁡5,5x>8 \log 5,5x>8log5, поэтому x>85log⁡5.x>\frac{8}{5}\log 5.x>58​log5. □_\квадрат□​

       В случае нескольких членов, как правило, стоит присвоить другую переменную экспоненциальному члену, решить полученное неравенство, а затем работать с одночленным неравенством. x). 2x(2⋅2x+8)≤8x(5−2x). Каково значение a+b? а + б? а+б? 92-x-4=0 \ подразумевает x=\frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}x2−x−4=0⟹x=21±17​​. Только 1−172∈[−2,1]\frac{1-\sqrt{17}}{2} \in [-2, 1] 21−17​​∈[−2,1], так что это единственное решение в этом подслучае.

       При объединении случаев получается набор решений

       .

       х<−2, х=1−172, х=−1, х=0, х>1. □x<-2,\ x=\frac{1-\sqrt{17}}{2},\ x=-1,\ x=0,\ x>1.\ _\squarex<−2, x= 21−17, х=−1, х=0, х>1. □​

       • Экспоненты
       • Правила экспонентов
       • Логарифмы
       • Логарифмические неравенства

       Цитировать как: Экспоненциальные неравенства. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/exponential-inequalities/

       неравенство — Экспоненциальные уравнения и неравенства и логарифмы

       спросил 3 года 5 месяцев назад

       Изменено 3 года, 5 месяцев назад 9{5}}$=? , поэтому, если у вас также есть хорошая книга в формате PDF с введением и примерами для логарифмов, это будет неплохо. x$ относительно $x$ (то есть $x=\log_2 u$) для каждого решения $u$.

       Для этого конкретного многочлена вы, наверное, сразу заметили, что $u=1$ является решением, так как сумма коэффициентов равна нулю. Это означает, что вы можете разложить полином как $$(u-1)(\textrm{квадратный полином от }u)=0$$ которые вы можете легко решить.

       Для второй задачи напомним, что $\log_b c=\frac{\log_a c}{\log_a b}$ для любого выбора основания $a$, и удобно использовать основание $a=7$, так как оба $b$ и $c$ являются степенями $7$.

       $\endgroup$

       95}}}{\лог 49}\\ &= \frac{\frac53\log 7}{2\log 7}\\ &= \frac56 \end{align*}$$

       ---

       Обратите внимание, что в строке $(1)$ нет ничего особенного для логарифмирования по основанию $10$. Базой может быть любая база $c > 0$ и $c \ne 1$. Натуральный логарифм $\ln$ с основанием-$e$ одинаково верен:

       $$\begin{align*} ? &= \frac{\ln a}{\ln b}\\ &= \ гидроразрыва {\ log_c a} {\ log_c b} \end{выравнивание*}$$

       $\endgroup$

       1

       Твой ответ

       Зарегистрируйтесь или войдите в систему

       Зарегистрируйтесь с помощью Google

       Зарегистрироваться через Facebook

       Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

       Опубликовать как гость

       Электронная почта

       Обязательно, но не отображается

       Опубликовать как гость

       Электронная почта

       Требуется, но не отображается

       Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

       . 92-log2)<-log5$$

       Используя правило логарифмирования , мы получаем

       $$x \cdot log\frac{25}{2}< -log5$$

       Деление на $log\frac {25}{2}$,

       $$x<-\frac{log5}{log\frac{25}{2}} \ приблизительно -0,637$$

       Следовательно, решения $x<- \frac {log5}{log\frac{25}{2}} \приблизительно -0,637$, т. е. $x \in \left<-\infty, -\frac{log5}{log\frac{25}{2}} \ правильно>$.

       Другие примеры

       Пример 5:   9x<0$ — это $x \in \left<0, \infty\right>$. Следовательно, решение второго случая есть пересечение решений обоих неравенств: $x \in \left[1, \infty\right>$.

       Окончательное решение является объединением решений первого и второго случая, т.е. решение:

       $$x \in \left<- \infty, 0\right> \cup \left[1, \infty \right>.$$

        

        

        

       Экспоненциальные уравнения — определение, решение, примеры

       Экспоненциальные уравнения , как следует из названия, включают показатели степени. Мы знаем, что показатель степени числа (основания) показывает, сколько раз число (основание) умножается. Но что произойдет, если степень числа является переменной? Когда мощность является переменной и если она является частью уравнения, то это называется показательным уравнением. Нам может понадобиться использовать связь между показателями степени и логарифмами для решения экспоненциальных уравнений.

       Давайте изучим определение показательных уравнений вместе с процессом их решения, когда основания одинаковы и когда основания не совпадают, а также несколько решенных примеров и практических вопросов.

       1.	Что такое экспоненциальные уравнения?
       2.	Уравнения с показателями
       3.	Формулы экспоненциальных уравнений
       4.	Решение экспоненциальных уравнений с одинаковыми основаниями
       5.	Решение экспоненциальных уравнений с разными основаниями
       6.	Часто задаваемые вопросы об экспоненциальных уравнениях

       Что такое экспоненциальные уравнения?

       Показательное уравнение — это уравнение с показателями степени, где показатель степени (или часть показателя степени) является переменной. Например, 3 ^x = 81, 5 ^{x — 3} = 625, 6 ^{2y — 7} = 121 и т. д. являются примерами экспоненциальных уравнений. Мы можем столкнуться с использованием экспоненциальных уравнений при решении задач алгебры, сложных процентов, экспоненциального роста, экспоненциального убывания и т. д.

       Типы показательных уравнений

       Существует три типа показательных уравнений. Они следующие:

       • Уравнения с одинаковыми основаниями с обеих сторон. (Пример: 4 ^x = 4 ² )
       • Уравнения с разными базами, которые можно сделать одинаковыми. (Пример: 4 ^x = 16, что можно записать как 4 ^x = 4 ² )
       • Уравнения с разными основаниями, которые нельзя сделать одинаковыми. (Пример: 4 ^х = 15)

       Уравнения с показателями

       Уравнения в алгебре с переменными показателями называются уравнениями с показателями или показательными уравнениями. Другими словами, мы можем сказать, что алгебраические уравнения, в которых переменные входят в качестве показателей, известны как уравнения с показателями. Вот некоторые примеры такого уравнения: 3 ^{x + 4}  = 81, -2 ^3y-7  = -64 и т. д.  

       Формулы экспоненциальных уравнений

       При решении экспоненциального уравнения основания в обеих частях могут совпадать или не совпадать. Вот формулы, которые используются в каждом из этих случаев, которые мы подробно изучим в следующих разделах.

       Свойство равенства для экспоненциальных уравнений

       Это свойство полезно для решения показательного уравнения с теми же основаниями. В нем говорится, что если основания в обеих частях экспоненциального уравнения равны, то показатели степени также должны быть равны. то есть

       a ^x = a ^y ⇔ x = y.

       Экспоненциальные уравнения в логарифмической форме

       Мы знаем, что логарифмы не что иное, как показатели степени, и наоборот. Следовательно, показательное уравнение может быть преобразовано в логарифмическую функцию. Это помогает в процессе решения показательного уравнения с разными основаниями. Вот формула для преобразования показательных уравнений в логарифмические уравнения.

       б ^х = а ⇔ log _б а = х

       Решение экспоненциальных уравнений с одинаковыми основаниями

       Иногда показательное уравнение может иметь одинаковые основания в обеих частях уравнения. Например, 5 ^x = 5 ³ имеет одинаковое основание 5 с обеих сторон. Иногда, хотя показатели с обеих сторон неодинаковы, их можно сделать одинаковыми. Например, 5 ^x = 125. Хотя у него разные основания в обеих частях уравнения, их можно сделать одинаковыми, записав 5 ^{x 9.0035 = 5 3 (так как 125 = 5 3 ). Чтобы решить показательные уравнения в каждом из этих случаев, мы просто применяем свойство равенства показательных уравнений, используя которое, мы устанавливаем показатели равными и решаем для переменной.}

       Вот еще один пример, когда базы не одинаковые, но их можно сделать одинаковыми.

       Пример: Решите показательное уравнение 7 ^{y + 1} = 343 ^y .

       Решение:

       Мы знаем, что 343 = 7 ³ . Используя это, данное уравнение может быть записано как

       7 ^{y + 1} = (7 ³ ) ^y

       7 ^{y + 1} = 7 ^3y

       на обеих сторонах основания 903 9035 подобные. Таким образом, мы можем установить показатели степени одинаковыми.

       y + 1 = 3y

       Вычитание y с обеих сторон,

       2y = 1

       Деление обеих сторон на 2,

       y = 1/2

       .

       Решение экспоненциальных уравнений с разными основаниями

       Иногда основания в обеих частях экспоненциального уравнения могут не совпадать (или) не могут быть сделаны одинаковыми. Мы решаем показательные уравнения с помощью логарифмов, когда основания не совпадают в обеих частях уравнения. Например, 5 ^x = 3 не имеет одинаковых оснований с обеих сторон, и основания не могут быть одинаковыми. В таких случаях мы можем сделать одну из следующих вещей.

       • Преобразуйте показательное уравнение в логарифмическую форму, используя формулу b ^x = a ⇔ log _b a = x и найдите переменную.
       • Примените логарифм (log) к обеим частям уравнения и найдите переменную. В этом случае нам придется использовать свойство логарифма, log a ^m = m log a.

       Решим уравнение 5 ^x = 3 каждым из этих способов.

       Метод 1:

       Преобразуем 5 ^x = 3 в логарифмическую форму. Тогда мы получаем,

       log ₅ 3 = x

       Используя изменение базового свойства,

       x = (log 3) / (log 5)

       Метод 2:

       Мы применим log с обеих сторон 5 ^x = 3. Тогда мы получаем log 5 ^x = log 3. Используя свойство log a ^m = m log a в левой части уравнения, получаем x log 5 = log 3. Разделив обе части на log 5,

       x = (log 3) / (log 5)

       Важные примечания к экспоненциальным уравнениям:

       Вот несколько важных замечаний относительно экспоненциальных уравнений.

       • Чтобы решить экспоненциальные уравнения с одним и тем же основанием, просто приравняйте показатели степени.
       • Чтобы решить показательные уравнения с разными основаниями, примените логарифмирование к обеим частям.
       • Показательные уравнения с теми же основаниями также могут быть решены с использованием логарифмов.
       • Если экспоненциальное уравнение имеет 1 с любой стороны, то мы можем записать его как 1 = a ⁰ для любого ‘a’. Например, чтобы решить 5 ^х = 1, мы можем записать это как 5 ^х = 5 ⁰ , тогда мы получим х = 0,
       • Чтобы решить экспоненциальное уравнение с помощью логарифмов, мы можем либо применить «log», либо применить «ln» к обеим сторонам.

       Статьи по теме:

       • Экспоненциальная форма
       • Правила экспоненты
       • Экспоненциальные функции
       • Калькулятор экспоненциальных уравнений

       Часто задаваемые вопросы об экспоненциальных уравнениях

       Что такое экспоненциальные уравнения?

       Экспоненциальное уравнение — это уравнение, которое имеет переменную в показателях степени. Например, 5 ^{2x — 3} = 125, 3 ^{7 — 2x} = 91 и т. д. являются показательными уравнениями.

       Какие бывают типы экспоненциальных уравнений?

       Существует три типа экспоненциальных уравнений. Вот они,

       • Показательные уравнения с одинаковыми основаниями с обеих сторон.
       • Показательные уравнения с разными основаниями с обеих сторон, которые можно сделать одинаковыми.
       • Показательные уравнения с разными основаниями с обеих сторон, которые нельзя сделать одинаковыми.

       Как решать экспоненциальные уравнения?

       Для решения показательных уравнений с равными основаниями мы приравниваем показатели степени, тогда как для решения показательных уравнений с разными основаниями мы применяем логарифмы с обеих сторон.

       Как записать экспоненциальное уравнение в логарифмической форме?

       Запись показательного уравнения в логарифмической форме помогает нам решить его. Это можно сделать по формуле b ^х = а ⇔ log _б а = х.

       Что такое свойство равенства экспоненциальных уравнений?

       Свойство равенства экспоненциальных уравнений говорит о том, что степени равны, если основания в обеих частях уравнения равны. т. е. а ^х = а ^у ⇔ х = у.

       Как решать экспоненциальные уравнения с одинаковыми основаниями?

       Если экспоненциальное уравнение имеет одинаковые основания с обеих сторон, просто приравняйте показатели степени и найдите переменную.

       No related posts.