Решение примеров с корнем онлайн: Калькулятор корней онлайн

Корни натуральной степени из числа. Их свойства

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Корни натуральной степени из числа. Их свойства.

презентация по математике
для студентов первого
курса
преподавателя Дегтяревой
А.А.

2. Цель занятия

Обеспечение усвоения понятия корня
натуральной степени из числа
Формирование представлений о свойствах
корней и действиях с корнями
Формирование умений преобразования корней
Иррациональные выражения
Иррациональным выражением относительно какой-либо
переменной называется выражение, в котором эта переменная
находится под знаком корня (радикала).
То есть, если говорить простыми словами, то
иррациональное выражение – это то выражение, которое
содержит в себе при записи знак корня.
Подобными корнями называются корни одной степени, имеющие
одинаковые подкоренные выражения.
Чтобы сложить или вычесть иррациональные выражения, нужно
записать их соответственно со знаком «+» или «-» и привести
подобные корни.
Основные понятия
Основные понятия
Корнем нечётной степени n из отрицательного числа a
(n=3,5,…) называют такое отрицательное число, которое при
возведении в степень n даёт в результате число a.
Корень чётной степени имеет смысл (т.е. определён)
только для неотрицательного подкоренного выражения;
корень нечётной степени имеет смысл для любого
подкоренного выражения.
Суть корней и степеней
при решении
Операция извлечения корня является обратной по отношению к
возведению в соответствующую степень.
Возведение в степень
Извлечение корня
Решение примеров с корнями
Решение примеров с корнями
Свойства корней n-степени
1. Корень n-степени из произведения неотрицательных
чисел равен произведению корней n-степени из этих чисел:
=
Пример:
2.
Чтобы извлечь корень из дроби, нужно извлечь
корень из числителя и знаменателя отдельно и первый
результат разделить на второй:
=
Пример:
Свойства корней n-степени
3. Если a ≥ 0, n =2,3,4,5,… и k – любое
число, то справедливо равенство:
натуральное
Пример:
4. Если a≥0, n и k — натуральные числа, большие 1, то
справедливо равенство:
Пример:
Свойства корней n-степени
5. Если показатели корня и подкоренного выражения
умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля
число, то значение корня не изменится:
Пример:
6. Чтобы извлечь корень из степени,
которой делится на показатель корня, нужно
степени разделить на показатель корня:
Пример:
показатель
показатель
Итоги
Итак, в презентации было разобрано:
Что такое иррациональные выражения
Основные понятия, которые необходимо знать при
работе с выражениями, содержащими корни и
степени
Операцию, с помощью которой происходит
извлечение корня
Как решаются примеры и уравнения со степенями и
корнями
Свойства корней
Написанные по презентации конспекты скидывайте мне.
Не забудьте про уравнения, которые вам нужно решить!
Спасибо за внимание!

English     Русский Правила

Сколько будет корень из 2

Калькулятор корней

Калькулятор корней поможет извлечь любой корень из числа.

alt=»Калькулятор корней онлайн» width=»300″ height=»94″ />Чтобы извлечь корень введите два числа — основание (из чего извлекается корень) и степень. Калькулятор корней в режиме онлайн извлечет корень. Степень может быть как положительной, так и отрицательной. Число, из которого извлекается корень, должно быть больше нуля.

К примеру, чтобы извлечь квадратный корень из числа 289 мы вводим значения как на картинке ниже и нажимаем кнопку Посчитать. Результат увидим тут же. Помимо этого наш калькулятор может извлекать корни из дробных чисел (дробей), а также извлекать корень дробной степени.

Чтобы извлечь корень любой степень просто введите степень вместо двойки в примере. Также на сайте есть калькулятор степеней, который позволит возвести число в степень.

Сколько будет корень из 2

Для возведения числа в степень и нахождения корня, введите число и степень.

Возведение в положительную и отрицательную степень

Положительная степень

Степень числа a с натуральным показателем n (n>1) можно представить в виде произведения

Пример Выполнить возведение в степень.

Выполним возведение в степень положительных и отрицательных чисел, десятичных дробей, правильных и смешанных дробей.

Отрицательная степень

Степень числа a с отрицательным натуральным показателем n (n<1) можно представить в виде произведения

Числа и являются взаимно обратными и их произведение равно единице .

Пример Вычислить значение числа в отрицательной степени.

Пример Выполните возведение дроби в отрицательную степень.

Иногда значительно легче вычислить дробь в отрицательной степени, сразу поменяв числить и знаменатель местами и умножив степень на -1. Рассмотрим данное преобразования на примерах.

Корень из числа

Корень нечётной степени из положительного числа

В результате вычисления корня нечётной степени из положительного числа будет положительное число: .

Пример Вычислим корни нечётной степени из 8, 27, 125, 243

Корни 3 степени также называют кубическими корнями.

В результате вычисления корней 5-ой степени из положительных чисел, получили также положительные числа.

Корень нечётной степени из отрицательного числа

В результате вычисления корня нечётной степени из отрицательного числа будет отрицательное число: .

Пример Найдем корни 3 и 5 степеней из отрицательных чисел.

Корень четной степени из положительного числа

Корень чётной степени из положительного числа имеет два значения, положительное и отрицательное: .

Пример Вычислим корни 2 и 4 степени.

Корень 2-й степени называют квадратный корнем.

Корень четной степени из отрицательного числа

Корень четной степени из отрицательного числа не существует для вещественных чисел.

Корень любой степени из нуля

Числа в степени -1, 0, 1

Число в -1 степени

Число 3 в -1 степени можно представить в виде дроби .Обратная операция также верна , любую дробь можно представить как число в -1 степени, для этого нужно поменять числить и знаменатель местами.

Число является обратным числом 5, т.е. их произведение равно единице , такое равенство выполнено для любого числа

Пример Представить дробь в степени -1

Число в 1 степени

Число в первой степени является самим числом a 1 =a

Число в 0 степени

Любое число в степени ноль равно единице a 0 =1

Что такое

квадратный корень

В уроке «Степень числа» мы проходили, что возвести в квадрат число означает умножить число на само себя. Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:

Но как быть, если нам нужно получить обратный результат? Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число « 9 »?

Запомните!

Нахождение исходного числа, которое в квадрате дало бы требуемое, называется извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня — это действие, обратное возведению в квадрат.

У квадратного корня есть специальный знак. Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает « 9 », это число « 3 ». Запись извлечения квадратного корня из числа « 9 » выглядит так:

Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический». Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.

Число под знаком корня называют подкоренным выражением.

Подкоренное выражение может быть представлено не только одним числом. Всё, что находится под знаком корня, называют подкоренным выражением. Оно может сожержать как числа, так и буквы.

Запомните!

Извлекать квадратный корень можно только из положительного числа.

• √ −9 = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
• √ 64 = 8
• √ −1,44 = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
• √ 256 = 16

Квадратный корень из нуля

Запомните!

Квадратный корень из нуля равен нулю.

Квадратный корень из единицы

Запомните!

Квадратный корень из единицы равен единице.

Как найти квадратный корень из числа

Квадратные корни из целых чисел, чьи квадраты известны, вычислить довольно просто. Для этого достаточно выучить таблицу квадратов.

Чаще всего в задачах школьного курса математики требуется найти квадратный корень из квадратов чисел от 1 до 20 .

Решение примеров с квадратными корнями

Разбор примера

Вычислить арифметический квадратный корень из числа.

• √ 81 = 9
• √ 64 = 8
• √ 100 = 10

Как найти квадратный корень из десятичной дроби

Важно!

При нахождении квадратного корня из десятичной дроби нужно выполнить следующие действия:

1. забыть про запятую в исходной десятичной дроби и представить её в виде целого числа;
2. вычислить для целого числа квадратный корень;
3. полученное целое число заменить на десятичную дробь (поставить запятую исходя из правила умножения десятичных дробей).

Более подробно разберем на примере ниже.

Разбор примера

Вычислить квадратный корень из десятичной дроби « 0,16 ».

По первому пункту правила забудем про запятую в десятичной дроби и представим ее в виде целого числа « 16 ».

Нетрудно вспомнить, какое число в квадрате дает « 16 ». Это число « 4 ».

Вспомним правило умножения десятичных дробей. Количество знаков после запятой в результате умножения десятичных дробей равняется сумме количества знаков после запятой каждой дроби.

Т.е., например, при умножении « 0,15 » на « 0,3 » в полученном произведении будет десятичная дробь с тремя знаками после запятой.

Значит, при вычислении квадратного корня √ 0,16 нам нужно найти десятичную дробь, у которой был бы только один знак после запятой. Мы исходим из того, что в результате умножения десятичной дроби на саму себя в результате должно было получиться два знака после запятой, как у десятичной дроби « 0,16 ».

Получается, что ответ — десятичная дробь « 0,4 ».

Убедимся, что квадрат десятичной дроби « 0,4 2 » дает « 0,16 ». Умножим в столбик « 0,4 » на « 0,4 ».

Рассмотрим другой пример вычисления квадратного корня из десятичной дроби. Вычислить:

Представим вместо десятичной дроби « 1,44 » целое число « 144 ». Какое число в квадрате даст « 144 »? Ответ — число « 12 ».

Так как в десятичной дроби « 1,44 » — два знака после запятой, значит в десятичной дроби, которая дала в квадрате « 1,44 » должен быть один знак после запятой.

Убедимся, что « 1,2 2 » дает в квадрате « 1,44 ».

1,2 2 = 1,2 · 1,2 = 1,44

Квадратные корни из чисел √ 2 , √ 3 , √ 5 , √ 6 , и т.п.

Не из всех чисел удается легко извлечь квадратный корень. Например, совершенно неочевидно, чему равен √ 2 или √ 3 и т.п.

В самом деле, какое число в квадрате даст « 2 »? Или число « 3 »? Такое число не будет целым. Более того, оно представляет из себя непериодическую десятичную дробь и входит в множество иррациональных чисел.

Что делать, когда в ответе остаются подобные квадратные корни? Как, например, в примере ниже:

Нет такого целого числа, которое бы дало в квадрате число « 7 ». Поэтому, перед завершением задачи внимательно читайте её условие.

Если в задаче дополнительно ничего не сказано об обязательном вычислении всех квадратных корней, тогда ответ можно оставить с корнем.

Если в задании сказано, что необходимо вычислить все квадратные корни с помощью микрокалькулятора, то после вычисления квадратного корня на калькуляторе округлите результат до необходимого количества знаков.

Текст задания в таком случае может быть написан следующим образом:

«Вычислить. Квадратные корни найти с помощью калькулятора и округлить с точностью до « 0,001 ».

Решение проблем и устранение корней

Решение проблем и устранение корней

Проблемы с работой

Пример

Предположим, что Джордж может закончить свою домашнюю работу за 5 часов. а Кармен может закончить домашнее задание за 4 часа. Сколько часов будет что им нужно, чтобы закончить домашнее задание, если они делают это вместе?

 

Решение

Мы можем рассматривать эту задачу как расстояние-скорость-время. задача, в которой расстояние для всего теста равно 1. Чтобы найти скорость пишем:

д = рт

1  = (r)(5)     или     r = 1/5

Чтобы найти скорость Кармен, напишите

1 = (г)(4) или     r = 1/4

Отсюда общая ставка

Тариф Джорджа + тариф Кармен =  1/5 + 1/4

это объем домашнего задания делается за 1 час.

Если вместе выполнение домашнего задания занимает x часов, то они выполнят 1/x домашнего задания за 1 час.

1 1           1
+ =                             
5 4           х

1 1 1
(20x) +       (20x) знак равно (20x)                   
5 4 Икс

4x + 5x = 20

9x = 20

х = 20/9 = 2 2/9

Им требуется 2 2/9 часа, чтобы закончить домашнюю работу вместе.

---

Пример

Лодка движется по стоячей воде со скоростью 10 км/ч. Если лодка принимает то же самое время, чтобы пройти 3 мили вверх по течению и 2 мили вниз по течению, найдите скорость течения.

Позволять

Икс = скорость течения.

тогда скорость вверх по течению равна

Скорость вверх по течению = 10 — х

и скорость вниз по течению

Скорость нисходящего потока = 10 + х

с

д = рт

т  =  д/р Разделять с обеих сторон р

Для двух поездок время одинаковое, поэтому

3 2
=                      
10 + Икс 10 — х

Перекрестное умножение:

3(10 — х) = 2(10 + х)

30 — 3x = 20 + 2x

10 = 5x

х = 2.

Течение идет со скоростью 2 мили в час.

---

В поисках корней

Определение n -й корень x Определим n th корень х быть y, если  у п = х

Примеры

Каково решение

у ² = -3 ?

Поскольку квадрат любого числа положителен, приведенное выше уравнение не имеет действительного значения. решение. В общем случае отрицательные числа не имеют четных корней.

 

---

Назад к экспонентам и Страница радикалов

Вернуться на страницу «Основы алгебры, часть II»

Назад к математике Домашняя страница отдела

электронная почта Вопросы и предложения

 

Глава 17.

Анализ проблем и решений сообщества | Раздел 4. Анализ первопричин проблем: «Но почему?» Техника | Основной раздел

Узнайте, как определить подлинное решение проблемы, определяя основную причину с помощью вопроса «Но почему?» Техника.

 

Что такое «коренные причины»?

Основные причины — это основные причины проблемы или проблемы, с которыми вы сталкиваетесь в сообществе. Попытка выяснить, почему возникла проблема, является важной частью «процесса решения проблемы», чтобы гарантировать правильные ответы, а также помочь гражданам «владеть» проблемами.

Что такое «но почему?» техника?

«Но почему?» метод – это один из методов, используемых для выявления основных причин проблемы сообщества. Эти основные факторы называются «коренными причинами».

«Но почему?» Метод исследует проблему, задавая вопросы, чтобы выяснить, что ее вызвало. Каждый раз, когда дается ответ, продолжение «Но почему?» спрашивает.

Например, если вы говорите, что слишком много людей в бедных сообществах имеют проблемы с алкоголизмом, вы должны спросить себя: «Но почему?» Как только вы найдете ответ на этот вопрос, проверьте ответ с помощью другого «но почему?» вопрос, пока вы не достигнете корня проблемы, первопричины.

Зачем нужно определять основные причины?

Идентификация реальных решений проблемы означает знание реальных причин проблемы. Принятие мер без определения факторов, способствующих возникновению проблемы, может привести к тому, что усилия будут направлены не в ту сторону, что приведет к пустой трате времени и ресурсов. Тем не менее, тщательно изучив причину проблемы, вы можете создать чувство сопричастности, то есть, испытав проблему, вы лучше ее поймете и будете мотивированы на ее решение.

«Но почему?»

• Этот метод можно использовать для обнаружения основных или «коренных» причин как у отдельных людей, так и у более широких социальных систем: , установки и поведение.
  • Нужны ли людям дополнительные знания о питании?
  • Нужно ли детям учиться навыкам отказа, чтобы не курить?
  • Нужно ли подросткам учиться пользоваться противозачаточными средствами?
• Он может исследовать социальных причин. Например, это может помочь нам определить, почему в определенном районе наблюдается более высокий уровень конкретной проблемы. Эти социальные причины делятся на три основные подгруппы:
  • Культурные факторы, такие как обычаи, верования и ценности;
  • Экономические факторы, такие как деньги, земля и ресурсы;
  • Политические факторы, такие как право принятия решений.
• Он может найти несколько решений для определенной проблемы и позволить пользователю увидеть альтернативы, которые он или она, возможно, не видел раньше. Повышает шансы на выбор правильного решения, поскольку многие аспекты проблемы исследуются во время «Но почему?» упражнение.

Когда следует определять основные причины?

• Всякий раз, когда вы сталкиваетесь с решением сложной общественной проблемы. Конечно, «Но почему?» техника не всегда является лучшим выбором и не должна использоваться в 100% случаев. Чрезвычайно эффективно находить различные решения, это быстрый и недорогой метод, который может выполнять кто угодно, в любое время и в любом месте. Однако для решения некоторых вопросов следует использовать более сложные методы, такие как опросы, интервью и сбор данных.
• Когда есть поддержка «решения», которое, кажется, не касается реальных причин проблемы. Например, если в сообществе голод, давайте бесплатно раздадим индейку на День Благодарения.
• Когда есть незнание или отрицание того, почему существует проблема сообщества.

Как работает метод «но почему»?

Техническое руководство

Вот как это работает. Группа исследует проблему сообщества, спрашивая, что ее вызвало. Каждый раз, когда кто-то дает ответ, «спрашивающий» продолжает исследовать, в основном спрашивая: «Но почему?» или «Как это можно было предотвратить». Пример:

Слишком много (слишком мало) людей ________.

В: Но почему?
А. Потому что…

В: Но почему?
А. Потому что…

В: Можно ли было это предотвратить?
А. Да

В: Как?

В: Но почему?
А. Потому что…

В. Но почему?
А. Потому что…

В Но почему?
(и т. д.)

• Во-первых, пригласите людей, которые затронуты проблемой и могут внести свой вклад в ее решение, обсудить возможные причины. Чем более представительна рабочая группа, тем больше вероятность того, что коренные причины будут раскрыты.
• Затем рабочая группа должна изучить проблему сообщества, такую ​​как употребление психоактивных веществ или насилие, задав вопрос о том, что ее вызвало. Каждый раз, когда кто-то дает ответ, группа спрашивает: «Но почему?» Вот пример:

У ребенка инфицирована стопа.

В: Но почему?
A. Во время прогулки она наступила на битое стекло.

В: Можно ли было это предотвратить?
А. Да.

В: Как?
А . На ней могли быть туфли.

В: А почему у ребенка нет обуви?
A. Потому что семья не может позволить себе обувь.

В. Но почему?
A. Отец или мать не имеют работы.

В. Но почему?
(и т. д.)

В этом примере вопрос «Но почему?» Анализ приводит, по крайней мере, к двум очень разным выводам. Критерием выбора между ними является изучение окружения каждого из них. К вашей проблеме может быть применимо множество решений, поэтому вам решать, какое из них подходит лучше всего. «Но почему?» анализ сам по себе не приводит автоматически к лучшему решению. Он просто указывает множество путей, по которым вы можете пойти.

No related posts.