Решение примеров с разными степенями с разными основаниями: Свойства степеней, действия со степенями

x — 3} \geqslant 2.`

 

На этом все. Если объяснение понятное, то ставьте лайки, а если остались вопросы, оставляйте их в комментариях.

Как обычно, видео с этим материалом прилагается.

 

Свойства степени с одинаковыми основаниями.

Понятие степени в математике вводится еще в 7 классе на уроке алгебры. И в дальнейшем на протяжении всего курса изучения математики это понятие активно используется в различных своих видах. Степени — достаточно трудная тема, требующая запоминания значений и умения правильно и быстро сосчитать. Для более быстрой и качественной работы со степенями математики придумали свойства степени. Они помогают сократить большие вычисления, преобразовать огромный пример в одно число в какой-либо степени. Свойств не так уж и много, и все они легко запоминаются и применяются на практике. Поэтому в статье рассмотрены основные свойства степени, а также то, где они применяются.

Свойства степени

Мы рассмотрим 12 свойств степени, в том числе и свойства степеней с одинаковыми основаниями, и к каждому свойству приведем пример. Каждое из этих свойств поможет вам быстрее решать задания со степенями, а так же спасет вас от многочисленных вычислительных ошибок.

1-е свойство.

а⁰ = 1

Про это свойство многие очень часто забывают, делают ошибки, представляя число в нулевой степени как ноль.

2-е свойство.

а¹ = а

3-е свойство.

аⁿ * a^m = a^(n+m)

Нужно помнить, что это свойство можно применять только при произведении чисел, при сумме оно не работает! И нельзя забывать, что это, и следующее, свойства применяются только к степеням с одинаковыми основаниями.

4-е свойство.

aⁿ/a^m = a^(n-m)

Если в знаменателе число возведено в отрицательную степень, то при вычитании степень знаменателя берется в скобки для правильной замены знака при дальнейших вычислениях.

Свойство работает только при делении, при вычитании не применяется!

5-е свойство.

(aⁿ)^m = a^(n*m)

6-е свойство.

a^-n = 1/aⁿ

Это свойство можно применить и в обратную сторону. Единица деленная на число в какой-то степени есть это число в минусовой степени.

7-е свойство.

(a*b)^m = a^m * b^m

Это свойство нельзя применять к сумме и разности! При возведении в степень суммы или разности используются формулы сокращенного умножения, а не свойства степени.

8-е свойство.

(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

9-е свойство.

а^½ = √а

Это свойство работает для любой дробной степени с числителем, равным единице, формула будет та же, только степень корня будет меняться в зависимости от знаменателя степени.

Также это свойство часто используют в обратном порядке. Корень любой степени из числа можно представить, как это число в степени единица деленная на степень корня. Это свойство очень полезно в случаях, если корень из числа не извлекается.

10-е свойство.

(√а)² = а

Это свойство работает не только с квадратным корнем и второй степенью. Если степень корня и степень, в которую возводят этот корень, совпадают, то ответом будет подкоренное выражение.

11-е свойство.

ⁿ √aⁿ = a

Это свойство нужно уметь вовремя увидеть при решении, чтобы избавить себя от огромных вычислений.

12-е свойство.

a^m/n = ⁿ √a^m

Каждое из этих свойств не раз встретится вам в заданиях, оно может быть дано в чистом виде, а может требовать некоторых преобразований и применения других формул. Поэтому для правильного решения мало знать только свойства, нужно практиковаться и подключать остальные математические знания.

Применение степеней и их свойств

Они активно применяются в алгебре и геометрии. Степени в математике имеют отдельное, важное место. С их помощью решаются показательные уравнения и неравенства, а так же степенями часто усложняют уравнения и примеры, относящиеся к другим разделам математики. Степени помогают избежать больших и долгих расчетов, степени легче сокращать и вычислять. Но для работы с большими степенями, либо со степенями больших чисел, нужно знать не только свойства степени, а грамотно работать и с основаниями, уметь их разложить, чтобы облегчить себе задачу. Для удобства следует знать еще и значение чисел, возведенных в степень. Это сократит ваше время при решении, исключив необходимость долгих вычислений.

Особую роль понятие степени играет в логарифмах. Так как логарифм, по сути своей, и есть степень числа.

Формулы сокращенного умножения — еще один пример использования степеней. В них нельзя применять свойства степеней, они раскладываются по особым правилам, но в каждой формуле сокращенного умножения неизменно присутствуют степени.

Так же степени активно используются в физике и информатике. Все переводы в систему СИ производятся с помощью степеней, а в дальнейшем при решении задач применяются свойства степени. В информатике активно используются степени двойки, для удобства счета и упрощения восприятия чисел. Дальнейшие расчеты по переводам единиц измерения или же расчеты задач, так же, как и в физике, происходят с использованием свойств степени.

Еще степени очень полезны в астрономии, там редко можно встретить применение свойств степени, но сами степени активно используются для сокращения записи различных величин и расстояний.

Степени применяют и в обычной жизни, при расчетах площадей, объемов, расстояний.

С помощью степеней записывают очень большие и очень маленькие величины в любых сферах науки.

Показательные уравнения и неравенства

Особое место свойства степени занимают именно в показательных уравнениях и неравенствах. Эти задания очень часто встречаются, как в школьном курсе, так и на экзаменах. Все они решаются за счет применения свойств степени. Неизвестное всегда находится в самой степени, поэтому зная все свойства, решить такое уравнение или неравенство не составит труда.

Различные типы инженерии: зарплата и перспектива работы

Существуют десятки и десятки различных типов инженерии, но когда дело доходит до основ, инженерия заключается в использовании специализированных баз знаний для решения проблемы. Поскольку мы сталкиваемся с широким спектром проблем, у нас есть столь же широкий спектр инженерных дисциплин, многие из которых являются узкоспециализированными и предназначены для решения этих проблем.

В широком смысле машиностроение можно разделить на четыре основные категории: химическое, гражданское, электрическое и машиностроение. Каждый из этих типов требует различных навыков и инженерного образования.

1. Химическое машиностроение

• Средняя зарплата в 2021 году: 105 550 долларов США
• Типичное требуемое образование: Степень бакалавра
• Прогноз роста занятости до 2030 г. : 9%

Инженеры-химики используют свои знания в таких науках, как химия, биология, физика и математика, для решения проблем, влияющих на использование или производство химикатов, продуктов питания, лекарств и т. д., согласно данным Бюро статистики труда США (BLS). По данным BLS, они часто работают в офисах и лабораториях, и почти все они работают полный рабочий день.

Инженеры-химики используют свои знания в науке, а также в производстве, чтобы довести химические процессы, разработанные в лаборатории, до коммерческих или промышленных процессов для создания продуктов, а затем оценить и улучшить эти процессы, согласно Американскому химическому обществу (ACS).

Инженеры-химики переводят процессы, разработанные в лаборатории, в практические приложения для коммерческого производства продуктов, а затем работают над поддержанием и улучшением этих процессов. Они опираются на основные инженерные основы: математику, физику и химию (хотя все большую роль играет биология).

Основная функция инженеров-химиков заключается в разработке и устранении неполадок в процессах производства химикатов, топлива, продуктов питания, фармацевтических и биологических препаратов, и это лишь некоторые из них. Чаще всего они используются на крупных производственных предприятиях для максимизации производительности и качества продукции при минимальных затратах.

Аналогичные профессии включают биомедицинскую или ядерную инженерию, а также специалистов или техников по охране труда и здоровья, согласно BLS.

2. Гражданское строительство

• Средняя зарплата в 2021 году: 88 050 долларов США 
• Типичное требуемое образование: Степень бакалавра
• Прогноз роста занятости до 2030 г.: 8%

Инженеры-строители решают проблемы с инфраструктурой. По данным BLS, проекты, которые они разрабатывают, строят и обслуживают, охватывают широкий спектр как государственного, так и частного секторов, включая мосты, дороги, туннели, плотины, а также системы водоснабжения и канализации.

Такая инфраструктура, как Бруклинский мост, канал Эри и туннель Темзы в Лондоне, стала возможной благодаря работе инженеров-строителей. Это всего лишь три из десятков достопримечательностей гражданского строительства, перечисленных Американским обществом инженеров-строителей (ASCE).

Они часто делят свое время между офисом и проектами. По данным BLS, аналогичные профессии включают менеджера по строительству, ландшафтного архитектора и городского или регионального планирования.

3. Электротехника

• Средняя зарплата в 2021 году: 101 780 долларов США
• Типичное требуемое образование: Степень бакалавра в области электротехники
• Прогноз роста занятости до 2030 г.: 7%

Инженеры-электрики занимаются проектированием, тестированием и производством электрических компонентов, таких как двигатели, системы навигации, связи и производства электроэнергии, согласно BLS. Они работают в различных отраслях, включая исследования, производство, телекоммуникации и многое другое.

Электротехника является одной из самых широких областей промышленности, а это означает, что то, что вы можете делать, сильно различается от одного сектора к другому. От работы со схемами до создания компьютеров и другой электроники, используемой для создания волоконно-оптических сетей или датчиков зрения для автомобилей, многие дисциплины нанимают инженеров-электриков.

Аналогичные профессии включают электрика, биомедицинского инженера, а также архитектурного и инженерного менеджера, согласно BLS.

4. Машиностроение

• Средняя зарплата в 2021 году: 95 300 долларов США
• Типичное требуемое образование: Степень бакалавра в области машиностроения
• Прогноз роста занятости до 2030 г.: 7%

Инженеры-механики проектируют, строят и разрабатывают механические и термочувствительные устройства, такие как двигатели, инструменты и машины. По данным BLS, машиностроение является одной из самых широких областей машиностроения, и в нем можно найти огромный ассортимент продукции от электрических генераторов до аккумуляторов и холодильных систем.

Инженеры-механики анализируют проекты, чтобы определить, как можно использовать механическое устройство, а затем проектируют и тестируют машины, чтобы помочь проекту. По данным BLS, они также могут исследовать оборудование, которое не смогло определить, какая часть механики нуждается в ремонте.

Другие аналогичные профессии включают инженера-материаловеда, инженера-нефтяника и техника-механика, согласно BLS.

Другие виды машиностроения

Существует почти столько же типов инженеров, сколько существует отраслей в целом. Вот обзор дюжины конкретных типов инженерии.

Аэрокосмическая техника

• Средняя зарплата в 2021 году: 122 270 долларов США
• Типичное требуемое образование: степень бакалавра в области авиационной техники
• Прогноз роста занятости до 2030 г.: 8%
• Аэрокосмические инженеры специализируются на проектировании космических кораблей, самолетов, спутников и ракет. Они также создают и тестируют прототипы, чтобы убедиться, что они функционируют должным образом в соответствии с дизайном и соответствуют стандартам качества, согласно BLS.

Сельскохозяйственная техника

• Средняя зарплата в 2021 году: 82 640 долларов США
• Типичное требуемое образование: Степень бакалавра
• Прогноз роста занятости до 2030 г.: 5%
Согласно BLS,
• Сельскохозяйственные инженеры работают над тем, чтобы обеспечить эффективную работу электроснабжения, машин, сооружений и сооружений, а также проблемы загрязнения и окружающей среды, связанные с сельским хозяйством.

Биомедицинская инженерия

• Средняя зарплата в 2021 году: 97 410 долларов США
• Типичное требуемое образование: Степень бакалавра
• Прогноз роста занятости до 2030 г.: 6%
По данным BLS, биомедицинские и биоинженерные подразделения
• работают над объединением инженерии и науки для исследования, проектирования и создания оборудования, компьютерных систем и программного обеспечения, охватывающего ряд областей науки.

Разработка компьютерного оборудования

• Средняя зарплата в 2021 году: $128 170
• Типичное требуемое образование: Степень бакалавра
• Прогноз роста занятости до 2030 г.
  : 2%
• Инженеры по компьютерному оборудованию работают с различными компьютерными системами и компонентами, такими как печатные платы, процессоры, сети и маршрутизаторы, чтобы убедиться, что они работают вместе с новейшим программным обеспечением. По данным BLS, они исследуют, проектируют и разрабатывают эти системы.

Экологическая инженерия

• Средняя зарплата в 2021 году: 96 820 долларов США
• Типичное требуемое образование: Степень бакалавра
• Прогноз роста занятости до 2030 г.: 4%
• Инженеры-экологи работают над решением экологических проблем во всем мире, таких как небезопасная питьевая вода, изменение климата, общественность и устойчивость, путем сочетания принципов биологии, химии, почвоведения и инженерии, согласно BLS.

Техника охраны труда и техники безопасности

• Средняя зарплата в 2021 году: $99 040
• Типичное требуемое образование: Степень бакалавра
• Прогноз роста занятости до 2030 г. : 6%
• Инженеры по охране труда и технике безопасности объединяют проектирование, здоровье и безопасность для разработки и проектирования систем для защиты людей и имущества от вреда, болезней и травм. Согласно BLS, они обеспечивают безопасность таких продуктов, как оборудование, программное обеспечение и химикаты.

Промышленное проектирование

• Средняя зарплата в 2021 году: 9 долларов США5 300
• Типичное требуемое образование: Степень бакалавра
• Прогноз роста занятости до 2030 г.: 14%
• Промышленные инженеры проектируют системы, которые объединяют рабочих, машины и многое другое для создания продукта или услуги, чтобы эффективно устранить расточительство в производственных процессах, согласно BLS.

Морское машиностроение

• Средняя зарплата в 2021 году: 93 370 долларов США
• Типичное требуемое образование: Степень бакалавра
• Перспективы занятости до 2030 г. : 4%
• Морские инженеры заботятся о внутренних системах корабля, включая электрические системы, системы рулевого управления и многое другое. По данным BLS, они также проектируют и строят такие корабли, как подводные лодки, парусники и танкеры.

Материаловедение

• Средняя зарплата в 2021 году: 98 300 долларов США
• Типичное требуемое образование: Степень бакалавра
• Прогноз роста занятости до 2030 г.: 8%
• Инженеры-материаловеды изучают свойства и структуру металлов, керамики, пластмасс и других материалов. По данным BLS, они отслеживают, как работают новые материалы, и разрабатывают процедуры тестирования для ряда различных материалов в продуктах, начиная от компьютерных чипов, крыльев самолетов и клюшек для гольфа.

Горное дело и геологическая инженерия

• Средняя зарплата в 2021 году: 97 090 долларов США
• Типичное требуемое образование: Степень бакалавра
• Прогноз роста занятости до 2030 г. : 4%
• Горные инженеры проектируют и работают на минеральных рудниках и песчано-гравийных карьерах, чтобы обеспечить безопасное и эффективное удаление полезных ископаемых, таких как уголь и металлы, для производства и коммунального использования, согласно BLS.

Атомная техника

• Средняя зарплата в 2021 году: $120 380
• Типичное требуемое образование: Степень бакалавра
• Инженеры-ядерщики работают над различными системами и приборами, которые могут использовать преимущества ядерной энергии. По данным BLS, они исследуют и разрабатывают ядерное оборудование для различных отраслей промышленности, от лечения до кораблей и космических кораблей.

Нефтяное машиностроение

• Средняя зарплата в 2021 году: 130 580 долларов США
• Типичное требуемое образование: Степень бакалавра
• Прогноз роста занятости до 2030 г.: 8%
По данным BLS, инженеры-нефтяники
• работают над добычей нефти и газа из-под поверхности Земли, разрабатывая и разрабатывая новые методы.

Какая область инженерии лучше?

С таким количеством различных областей техники возникает естественный вопрос: какая из них лучше? Хотя большинство из них различаются рабочей средой, заработной платой, образованием и карьерным ростом, ответ на этот вопрос зависит исключительно от человека. Тот, кто хочет работать в медицинском учреждении, например, будет иметь другое идеальное инженерное поле, чем тот, кто хочет работать на открытом воздухе с геологией.

Понимание своего прошлого и карьерных целей поможет вам определить, какая инженерная область вас интересует больше всего. Успешное сопоставление ваших целей с соответствующей областью может стать вашим первым шагом перед получением необходимого образования.

Узнайте больше о инженерных степенях SNHU: узнайте, какие курсы вы будете проходить, навыки, которые вы получите, и как запросить информацию о программе.

Джо Кот — штатный писатель Университета Южного Нью-Гемпшира. Подпишитесь на него в Твиттере @JoeCo2323.

Алгебра: полиномиальные операции

• Домашний

• Узнать

• Алгебра

• Что такое алгебра
• Алгебра в повседневной жизни
• Основные алгебраические термины
• Методы решения по алгебре
• Линейные, нелинейные уравнения
• Алгебра Формулы
• Коммутативные Ассоциативные законы
• Формула расстояния
• Метод фольги
• Формула средней точки
• Скобки Правила
• Квадратичное уравнение
• Квадратичная формула
• Полиномиальные операции
• Полиномиальное сложение
• Полиномиальное вычитание
• Полиномиальное умножение
• Полиномиальное длинное деление 92 + 5x-3` — многочлен от одной переменной x. 2` является многочленом степени 2 от двух переменных x и y.

  ---

  Примечание:

  До этого момента мы только упоминали, что такое многочлен. Однако по многим причинам целесообразно уточнить, что не является многочленом. Без этой спецификации вполне вероятно, что вы сделаете неполином многочленом.

  ---

  ---

  Каждая часть многочлена, которая добавляется или вычитается, называется «членом». Таким образом, многочлен имеет трех членов.

  
  

  Выше показан простой пример полинома, и именно так полиномы обычно выражаются. Термин, имеющий наибольшее значение показателя степени (в данном случае 2), записывается первым, за ним следует член со следующим меньшим значением показателя степени, за которым, в свою очередь, следует член со следующим меньшим значением показателя степени и так далее. Член с максимальным значением показателя степени называется «Ведущий член», а значение его показателя степени называется «степенью полинома».

  ---

  Примеры степени полинома

  
  

  Пример 1:

  
  

  Пример 2:

  ---

  выше градусов.

  => Степень заданного многочлена = max( 4, 3, 2, 2)

  => Степень заданного многочлена = 4

  ( Интересное примечание: 0 тоже многочлен)

  ---

  ---

  ---

  Simple Ploynomial Examples

  
  

  Example 1:

  
  

  Example 2:

  
  

  Example 3:

  
  

  Example 4:

  
  

  Example 5:

  ---

  ---

  Example 6:

  
  

  Example 7:

  
  

  Example 8:

  
  

  Example 9:

  
  

  Example 10:

  
  

  Example 11:

  
  

  Example 12:

  
  

  Example 13:

  
  

  Example 14:

  ---

  
  

  Здесь нужно упомянуть, что вычитание, деление, умножение матриц, векторное произведение некоммутативны.

  Например:
  `4-2!=2-4` => Вычитание не коммутативно
  «( 4 )/( 2 )!=2/( 4 )` => Деление не является коммутативный

  Аналогичным образом можно показать, что умножение матриц и векторное произведение некоммутативны.

  No related posts.