Решение систем методом гаусса: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

alexxlab / / Разное

Содержание

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем

< Лекция 8 || Лекция 9: 123 || Лекция 10 >

Аннотация: Лекция рассматривает метод и алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса

Ключевые слова: оптимальный план, транспортная, гипотеза, математическая модель, системы линейных уравнений, система линейных уравнений, коэффициенты, свободными членами, матричная форма, метод Гаусса, метод прогонки, коэффициентами системы

При моделировании экономических задач, таких как задачи управления и планирования производства, определения оптимального размещения оборудования, оптимального плана производства, оптимального плана перевозок грузов (транспортная задача), распределения кадров и др., может быть положена гипотеза линейного представления реального мира.

Математические модели таких задач представляются линейными уравнениями. Если задача многомерна, то ее математическая модель представляется системой линейных уравнений.

Линейные математические модели также используются в нелинейных системах при условии, если эта нелинейная система условно линеаризирована.

В общем виде система линейных уравнений имеет вид:

где

aij — коэффициенты при неизвестных системы,

bi — свободные члены,

xj — неизвестные системы,

— номер строки,

— номер столбца,

n — порядок системы.

В матричной форме система линейных уравнений имеет вид:

intuit.ru/2010/edi»>где

Численные методы решения систем линейных уравнений (СЛУ) можно разделить на две группы:

  1. точные или прямые методы,
  2. приближенные методы.

Приближенные методы реализуют на ЭВМ нахождение корней с заданной точностью и являются итерационными методами.

Точные методы позволяют получить решение системы за конечное число итераций. К точным методам относятся:

  • правило Крамера,
  • метод Гаусса,
  • метод прогонки.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса является точным методом. Он позволяет получить решение системы за конечное число арифметических действий. В основе метода лежит идея последовательного исключения неизвестных. Метод состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система при помощи последовательного исключения неизвестных приводится к треугольному виду. На втором этапе (обратный ход) из системы треугольного вида последовательно, в обратном порядке, начиная c n-го уравнения, находятся неизвестные системы.

В качестве примера возьмем систему 4 порядка.

( 9.1)

Прямой ход. На первом шаге прямого хода (к=1) находим x1 из первого уравнения системы (9.1).

— ведущий элемент первой строки.

Если , то

( 9.
2)

Обозначим:

( 9.3)

Подставляя (9.3) в (9.2), получим

( 9.4)

где

Подставляем (9.4) во 2, 3 и 4 уравнение системы (9.1), получим:

Обозначив коэффициенты при неизвестных полученной системы через , а свободные члены через перепишем полученную систему:

( 9. 5)

где

Таким образом, в результате выполнения первого шага прямого хода исходная система (9.1) n-го порядка преобразована к совокупности уравнения (9.4) и системы линейных уравнений (9.5), порядок которой равен n-1.

На втором шаге прямого хода (к=2) из первого уравнения системы (9.5) находим x2.

-ведущий элемент первой строки системы (9.5).

Если , то из первого уравнения системы (9.5) имеем:

( 9.6)

где

intuit.ru/2010/edi»>Подставив выражение (9.6) во второе и третье уравнения системы (9.5), получим новую систему линейных уравнений, порядок которой равен n-2.

( 9.7)

где

Таким образом, в результате выполнения второго шага прямого хода исходная система (9.1) преобразована к совокупности уравнений (9.4), (9.6) и системы линейных уравнений (9.7),порядок которой равен n-2.

Дальше >>

< Лекция 8 || Лекция 9: 123 || Лекция 10 >

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Метод Гаусса является одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения систем линейных алгебраических уравнений.

Он применим как для решения системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной матрицей, так и для систем с вырожденной матрицей и для систем, число уравнений которых не совпадает с числом переменных. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных :

 

приводят с помощью эквивалентных преобразований, не меняющих решения системы, к ступенчатому виду( в частности, к верхнетреугольному)

,

решение которой находят следующим образом: выражают .из последнего уравнения, подставляют в предпоследнее, из которого выражается и т.д., из первого уравнения выражается .

Матричная запись метода Гаусса

1.Прямой ход метода Гаусса: выписывается расширенная матрица системы( справа к матрице системы приписывается столбец свободных переменных)

,

применяем элементарные преобразования над строками для приведения матрицы к ступенчатому виду:

· строки можно переставлят местами;

· строку можно умножать на любое число, не равное нулю;

· к строке можно поэлементно прибавлять другую строку, умноженную на ненулевое число.


1-й этап:

Считая элемент ( в противном случае переставляем местами строки), обнулим все элементы первого столбца кроме .

Для этого ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на .

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на и т.д.

Получим преобразованную матрицу:

, где и — преобразованные коэффициенты матрицы.

2-й этап:

Считая , обнулим все коэффициенты второго столбца, кроме и , для чего к каждой строке прибавляем вторую строку, умноженную на соответствующий коэффициент.



Если в процессе приведения появляется нулевая строка, ее выбрасываем. Если появляется строка, все коэффициенты которой нули, а последний , то система несовместна.

Обратный ход метода Гаусса: По виду ступенчатой матрицы: восстановить систему: ,

Если число оставшихся уравнений и число переменных совпадает, то система имеет единственное решение. Если же переменных больше, чем уравнений, то переменные, вышедшие на диагональ называются главными, или зависимыми, а переменные не вышедшие на диагональ свободными. Свободные переменные необходимо перенести в правую часть уравнения и начиная с последнего уравнения выразить главную переменную ,подставить в предпоследнее, из которого выразить , и т.д., из первого уравнения выразить . В этом случае система имеет множество решений. Свободные переменные могут приобретать любые значения, и через них выражаются значения зависимых переменных.

Пример 6: Решить систему методом Гаусса:

Решение: Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к верхнетреугольному виду:

 

является свободной переменной, т.к. не вышла на диагональ, переносим ее вправо. Система имеет бесконечное множество решений.

Из последнего уравнения выражаем

Из второго уравнения выражаем

Из первого уравнения выражаем

Выпишем общее решение системы:

Ответ: Система имеет множество решений, общее решение системы:

Решение однородных систем

Система линейных уравнений называется однородной, если правые части уравнений равны нулю:

Матричный вид однородной системы: Ax=0.

Однородная система всегда совместна, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение:

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю. Линейная комбинация решений однородной системы также является решением этой системы.

Пример: Исследовать однородную систему на совместность, найти решения:

Решение: Расширенную матрицу системы приведем к ступенчатому виду:

восстановим систему:

Система имеет множество решений. и главные переменные, и свободные переменные. Перенесем свободные переменные в правые части уравнений.

Из второго уравнения находим подставляя это выражение в первое уравнение, получим:

Общее решение системы:

Для нахождения частных решений, свободным переменным даем произвольные значения:

 

Элементы векторной алгебры

Векторы

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными.

Вектор-это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А- начало вектора, а В- его конец, то вектор обозначается символом , или . Вектор ( у него начало в точке В , а конец в точке А) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается .

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка AB и обозначается . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор направления не имеет. Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначаются коллинеарные векторы ║

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково, т.е. быть сонаправленными ( ), или быть противоположно направленными ( ).

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора и называются равными ( ), если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора перемешать в любую точку пространства.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или хотя бы два коллинеарные, то такие векторы будут компланарны.



©2015- 2022 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.

Системы уравнений — исключение Гаусса

исключение Гаусса. Звучит ужасно, и именно поэтому большинство людей убегают в другую сторону, когда видят, что это приближается. Не нам. Мы классные такие. Мы научим вас тому, что это всего лишь небольшое расширение метода исключения для решения систем уравнений (из Алгебры 1 и Алгебры 2), но с несколькими дополнительными приемами, называемыми операциями со строками.

Изучение метода исключения Гаусса даст вам возможность решать многомерные (многомерные) системы. Если вам нравится вызов, вас ждет угощение. Угощение по Гауссу, то есть.

Мы изучали пересечение двух линий в двухмерной плоскости. Знаете ли вы, что уравнение, которое выглядит так:

x + y + z = 3

. .. не является линией. Это птица. Это супермен. Хорошо, это на самом деле самолет. Подумайте о трехмерном пространстве. Оглянитесь вокруг того места, где вы сидите. Вспомните геометрию, когда мы узнали, что три точки определяют плоскость . Выберите три точки в пространстве перед вашим лицом. Каждая из этих точек в пространстве перед вашим лицом имеет x , y и z координаты. Теперь представьте, что вы кладете лист бумаги прямо поверх этих трех точек. Уравнение выше фактически определяет плоскость в пространстве.

Посмотрите на плоскость, которая была определена в трехмерном уравнении выше:

Можете ли вы изобразить три плоскости, пересекающиеся в трехмерном пространстве? Можете ли вы представить край куба, где сходятся три плоскости? Пересечение трех плоскостей обычно представляет собой точку с размерами x , y , z координата в формате ( x, y, z ).

Иногда нет решения три. Это происходит, если там плоскости являются параллельными плоскостями. Иногда существуют бесконечные решения, если три плоскости являются одной и той же плоскостью.

Решение уравнений с более чем двумя переменными называется многовариантными системами уравнений . Постарайтесь помнить, что все, что мы пытаемся найти, — это координата, по которой эти уравнения пересекаются.

Проблема выборки

Решить эту систему уравнений методом замены:

x -4 Y + Z = 14
6 Y — Z = -10
4 Z = — 8

Обратите внимание, что первое уравнение имеет x , y и z , второе уравнение имеет y и z , а последнее уравнение имеет z . Это треугольная форма, и ее очень легко решить для пересечения. Начинайте снизу и работайте вверх! Решите на z , подставьте это во второе уравнение и найдите y , а затем тот же процесс для x в первом уравнении.

4 Z = 8
Z = -2

6 Y + 2 = -10
6 Y = -12
Y = -2

X -4 (-2

X -4 (-2

X -4 2) + (-2) = 14
х + 8 – 2 = 14
х + 6 = 14
х = 8

Наша точка трех пересекающихся плоскостей находится в (8, -2, — 2) который является решением нашей многомерной системы уравнений.

Основная цель этого раздела — научиться решать системы с тремя переменными с помощью метода, называемого методом исключения Гаусса. Помните, как началась наша последняя проблема? Он начался с треугольной формы . Наша цель в методе исключения Гаусса состоит в том, чтобы привести уравнения к треугольной форме, чтобы мы могли легко решать их с помощью подстановки.

Кстати, вы можете поблагодарить красавца выше, Карла Фридриха Гаусса, также известного как «Принц математиков». это не было , что давным-давно (начало 1800-х годов), когда он разработал этот замечательный метод решения систем уравнений с несколькими переменными.

Пример задачи

Решите эту систему уравнений с помощью исключения Гаусса.

x + Y — Z = 5
2 x + 3 Y — 3 Z =
5 x + 4 Y — 2 Z = 28

+ + Y — 2 Z = 28

= 28

= 28

= 28

= 28

= 28

.

Наша цель — получить систему уравнений в треугольной форме. В методе исключения Гаусса мы можем умножить любое уравнение на число и добавить его к другому уравнению, сохраняя при этом набор уравнений. Итак, нашим первым шагом здесь будет умножение Ряд 1 на -2 и добавьте его к Ряд 2 , как показано ниже:

Отдельно умножим Ряд 1 на -5 и добавим его к Ряд 3 .

Теперь давайте переписаем наш набор уравнений:

x + Y — Z = 5
Y — Z = -1
— Y + 3 Z = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3
— Y + 3 Z = -1
— Y —

Если мы теперь добавим наш Row 2 и наш Row 3 , y переменные будут отменены.

Наконец, давайте напишем нашу систему уравнений в треугольной форме:

x + Y — Z = 5
Y — Z = — 1
Z = 1

= 1
Z = 1 = 1
Решая это снизу вверх, мы подставим z = 1 в Row 2 , что даст нам значение y = 0, и, наконец, оба этих значения в Row 1 , что даст x = 6. Наше решение (6, 0, 1).

Пример задачи

Решите эту систему уравнений методом исключения Гаусса.

6 x -2 Y + Z = -30
2 x + 3 Y -5 Z = 19
-3 x -4 Y + Z x -4 Y + Z. = -27

Шаг 1: Умножьте Ряд 2 на -3, прибавьте к Ряд 1 .

Шаг 2: Умножьте Строка 3 на 2, прибавьте к Ряд 1 .

Шаг 3: Перепишите.

6 x -2 Y + Z = -30
-11 Y + 16 Z = -87
-10 Y + 17 Z = -84

Шаг 40012 + 17 Z = -84

. : Умножьте новый Row 2 на -10, умножьте новый Row 3 на 11 и сложите вместе.

Шаг 5: Перепишите в треугольной форме и решите в обратном порядке.

6 х – 2 у + z = -30
-11 y + 16 z = -87
z = -2

Итак -11 y + 16(-2)0 = -017
z = -2

, тогда 6 х – 2(5) + -2 = -30, х = -3. Наше решение (-3, 5, -2).

Шаг 6: Упасть на пол и проклясть Гаусса.

IJRAR (ISSN 2348–1269, ISSN для печати 2349-5138) | Журнал UGC CARE | Список UGC-CARE, Новый справочный список UGC-CARE, Журналы UGC CARE, Международный рецензируемый журнал и рецензируемый журнал, одобренный ugc журнал, UGC CARE, список UGC CARE, список журналов UGC CARE, UGCCARE, список журналов по уходу, UGC-CARE список, Новый справочный список UGC-CARE, Новый список журналов по уходу за угком, Исследовательский журнал, Публикация в исследовательском журнале, Исследовательская статья, Недорогой исследовательский журнал, Бесплатная бумажная публикация в исследовательском журнале, Журнал с высоким импакт-фактором, Журнал, Журнал с исследовательской бумагой, Журнал UGC CARE, Журналы UGC CARE, список журналов по уходу за угком, одобренный список угк, одобренный список угк журналов, Следуйте журналу, утвержденному угк, журнал угк CARE, утвержденный угк список журналов, журнал угк уход, список угк забод, UGC-CARE , журнал по уходу, список UGC-CARE, публикация в журнале, утвержденный ISSN, исследовательский журнал, исследовательская работа, публикация исследовательской статьи, публикация исследовательского журнала, высокий импакт-фактор, бесплатная публикация, индексный журнал, публикация статьи, публикация исследовательской статьи, недорогая публикация,Утвержденный UGC журнал, UGC CARE, утвержденный список журналов UGC, журнал ухода UGC, список UGC CARE, UGCCARE, журнал ухода, список UGC-CARE, новый справочный список UGC-CARE, журналы UGC CARE, список журналов ухода UGC, уход UGC список 2020, журнал, утвержденный ugc, список 2020, одобренный ugc, новый журнал, одобренный ugc, в 2020 г.

, список 2021, одобренный ugc, журнал, одобренный ugc, в 2021 г., Scopus, web of Science. | Журнал, одобренный UGC | Журнал пользовательского контента
UGC и ISSN одобрены | E-ISSN 2348-1269, P-ISSN 2349-5138.
Пожалуйста, отметьте нашу страницу в Facebook и получите скидку 100 индийских рупий в DOI | DOI и печатная копия сертификата Предоставьте, если требуется.
Международный журнал исследований и аналитических обзоров (IJRAR) | www.ijrar.org
Лицензия и индексирование

Индексирование в Google Scholar, SSRN, ResearcherID-Publons, ученый-семантик | Инструмент исследований на базе ИИ, Microsoft Academic, Academia.edu, arXiv.org, Research Gate, CiteSeerX, ResearcherID Thomson Reuters, Mendeley: менеджер ссылок, DocStoc, ISSUU, Scribd и многие другие | Высокий коэффициент воздействия | Предоставляется цифровой идентификатор объекта (DOI) и бумажная копия сертификата.

С чего начать Новый журнал и программное обеспечениеПубликации книг и тезисов

International Journal of Research and Analytical Reviews (IJRAR.

ORG)
International Peer Reviewed & Refereed Journal, Open Access Journal

ISSN Approved Journal No: E-ISSN 2348-1269, P-ISSN 2349-5138
Журнал ESTD Год: 2014

Требуйте бумаги — Том 9 | Выпуск 4 | Месяц — ноябрь 2022 г.

Прочтите все новые публикации, связанные с рекомендациями, перед отправкой или публикацией. Научный открытый доступ, рецензирование и рецензирование, импакт-фактор: 7,17, исследовательский инструмент на основе ИИ, междисциплинарный, ежемесячно, индексирование во всех основных базах данных и метаданных, генератор цитирования, цифровой идентификатор объекта (DOI), утвержденный UGC журнал №: 43602 (19)

Свяжитесь с нами Нажмите здесь

Свяжитесь с нами WhatsApp
Нажмите здесь

Неработающая ссылка Ошибка HTTP 404: Страница не найдена Пожалуйста, проверьте URL