Решение системы 3 уравнений онлайн: Решение систем уравнений · Калькулятор Онлайн

Содержание

Решение систем линейных уравнений — презентация онлайн

1. Основные понятия

Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: a11x1 a12 x2 a13 x3
b1,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b ,
31 1 32 2 33 3 3
где —
неизвестные,
— коэффициенты (
),
i
1
,
2
,
3
;
j
1
,
2
,
3
ij
— свободные члены.
x1 , x2 , x3
b1 , b2 , b3
a
Тройка чисел
называется решением системы трёх линейных уравнений с тремя
, 3 ) подстановке их в уравнения системы вместо
неизвестными,(
если
получают верные
1 , 2 при
числовые равенства.
x1, x2 , x3
Если система трёх линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется
совместной.
Если система трёх линейных уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.
Если система трёх линейных уравнений имеет единственное решение, то ее называют
определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.

Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется
однородной, в противном случае – неоднородной.

2. Метод Крамера

Метод Крамера—способ решения квадратных
систем линейных алгебраических уравнений с
ненулевым определителем основной матрицы
(причём для таких уравнений решение существует и
единственно). Создан Габриэлем Крамером в 1751
году.

3. Метод Крамера

Пусть нам требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b ,
32 2
33 3
3
31 1
(1)
в которой определитель системы (он составлен из коэффициентов при неизвестных) ∆≠0, а
определители
получаются из определителя системы ∆ посредством замены
x , x , x
свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.
1
a11 a12 a13
2
3
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
a21 a22 a32 , x1 b2 a22 a32 , x2 a21 b2 a32 , x3 a21 a22 b2 .

a31 a32 b3
a31 (правило
a32 a33 Крамера).
b3 Если
a32 aопределитель
aсистемы
33
31 b3 a33
Теорема
∆≠0, то рассматриваемая
система (1) имеет одно и только одно решение, причём
x1
x1
, x2
x2
, x3
x3
.

4. Решите систему методом Крамера:

Решение:
1. Вычислим определитель системы:
2 x1 3 x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
2 3 1
1 2 1 2 2 2 3 1 1 1 1 0 1 2 1 3 1 2 2 1 0 13.
2
Так 1как0 определитель
системы отличен от нуля, то система имеет
единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.
2. Составим и вычислим необходимые определители :
9 3 1
x1 3 2 1 9 2 2 3 1 2 1 3 0 1 2 2 3 3 2 9 1 0 52,
2
x2
2
1
1
x3
0 2
9 1
3 1 2 3 2 9 1 1 1 1 2 1 3 1 9 1 2 2 1 2 0,
2
2 3
1 2
1
0
2
9
3 2 2 2 3 3 1 9 1 0 9 2 1 3 1 2 2 3 0 13.
2

5. Матричный метод (с помощью обратной матрицы)

Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b .

31 1 32 2 33 3 3
В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид
a11 a12 a13
A a21 a22 a23 ;
a
31 a32 a33
A 0
x1
b1
X x2 ; B b2 .
x
b
3
3
, где
A X B
Пусть
. Тогда существует обратная матрица A 1. Если умножить обе части
1
равенства A на слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца
неизвестных переменных, т.е.
A 1 A X A 1 B
или A X B .
Так мы получили решение системы трёх линейных уравнений с тремя
неизвестными матричным методом.
X A 1 B

6. Метод Гаусса

Ранее рассмотренный метод можно применять при решении только тех систем, в которых
число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен
быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем
с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных
из уравнений системы.
Вновь рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b .

31 1 32 2 33 3 3
Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые,
содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем
сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –
а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
x2 a23
x3 b2 ,
a22
x2 a33
x3 b3 .
a32

7. Метод Гаусса

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье
уравнение разделим на a32 , умножим на a22 и сложим со вторым. Тогда будем иметь
систему уравнений:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
x2 a23
x3 b2 ,
a22
x3 b3 .
a33
Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из
1-го – x1.

8. Метод Гаусса

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных
алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения
переменных, когда с помощью элементарных преобразований система
уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного)
вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру)
переменных, находятся все остальные переменные.

Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:
a11 x1 a12 x2 … a1n xn b1
a 21 x1 a 22 x2 … a 2 n xn b2
………………………………………..
a m1 x1 a m 2 x2 … am n xn bn
x1 , x2, …, xn – неизвестные.
ai j — коэффициенты при неизвестных.
bi — свободные члены (или правые части)

9. Элементарные преобразования

К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее:
1. перемена местами двух любых уравнений;
2. умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от
нуля;
3. прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей
другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

10. Общий случай

Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с
тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение:
Дана система:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2
a x a x a x b
32 2
33 3
3
31 1
(1)
1-ый шаг метода Гаусса
На первом шаге исключим неизвестное х1 из всех уравнений системы (1), кроме
первого.

Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое
уравнение системы (1) на а11. Получим уравнение:
a
b
где a a ; j 1,2,3 ; b a
Исключим х1 из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них
уравнение (2), умноженное на коэффициент при х1 (соответственно а21 и а31).
Система примет вид: x a x a x b (2)
(1)
1j
1j
(1)
1
1
11
11
(1)
1
12
(1)
2
13
(1)
3
1
Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой
преобразованной системы. x a x a x b
(3)
a x a x b
(1)
1
12
(1)
22
(1)
2
2
13
(1)
23
(1)
3
3
1
(1)
2
a32 x2 a33 x3 b3
(1)
(1)
(1)
2-ой шаг метода Гаусса
На втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего уравнения системы (3).
Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе
уравнение системы (3), получим уравнение:
x2 a23 x3 b2
( 2)
где
a23
( 2)
a23
a22
(1)
;
(1)
b2
( 2)
b2
( 2)
(4)
(1)
a22
(1)
Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на
Получим уравнение: a x b
b
Предполагая, что a 0, находим x a b
( 2)
33
( 2)
3
3
( 2)
( 2)
33
3
3
3
( 2)
33
3
(1)
a33 .

В результате преобразований система приняла вид:
x1 a12 (1) x 2 a13 (1) x3 b1 (1)
( 2)
( 2)
x 2 a 23 x3 b2
( 3)
x3 b3
(5)
Система вида (5) называется треугольной.
Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют
прямым ходом метода Гаусса.
Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом
метода Гаусса.
Для этого найденное значение х3 подставляют во второе уравнение системы (5) и
находят х2. Затем х2 и х3 подставляют в первое уравнение и находят х1.
Если в ходе преобразований системы получается противоречивое
уравнение вида 0 = b, где b 0, то это означает, что система несовместна и
решений не имеет.
В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса,
составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п
неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду.
Треугольная система имеет вид:
x c x … a x d
Такая система имеет единственное
x .

.. a x d
…………….
решение, которое находится в
x d
результате проведения обратного хода метода Гаусса.
Ступенчатая система имеет вид:
x c x … c x d
Такая система имеет бесчисленное
x … c x d
множество решений.
…………………
1
12
2
2
1n
n
2n
1
n
2
n
1
12 2
2
1n n
2n n
n
1
2
xk … ck n xn d k

14. Рассмотрим на примере

1. Покажем последовательность решения системы из трех уравнений методом Гаусса
2. Поделим первое уравнение на 2, затем вычтем его из второго (a21=1, поэтому
домножение не требуется) и из третьего, умножив предварительно на a31=3
3. Поделим второе уравнение полученной системы на 2, а затем вычтем его из третьего,
умножив предварительно на 4,5 (коэффициент при x2)
Тогда
x3=-42/(-14)=3;
x2=8-2×3=2
x1=8-0,5×2-2×3=1

15. Решите систему методом Гаусса:

2 x1 3 x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.

Решение:
3
1
1. Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1.
Для этого второе уравнение умножим на a11
, а затем сложим с 1-ым уравнением.
a21
2
Аналогично третье уравнение умножим на a11 2 , а затем сложим с первым.
В результате исходная система примет вид: a31
2 x1 3 x2 x3 9,
7 x2 3 x3 3,
3 xслагаемое,
2. Теперь из последнего уравнения исключим
2 5 x3 5.содержащее x2. Для этого третье
уравнение умножим на
, и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:
a22
7
a32
3
2 x1 3×2 x3 9,
7 x2 3×3 3,
2
2
8 x3 8 .
3
3

16. Решите систему методом Гаусса:

2 x1 3×2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
2 x1 3×2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
3. На этом прямой ход метода Гаусса закончен, начинаем обратный ход.
x1 2 x3 2.
Из последнего уравнения полученной системы уравнений находим x3:
Решите систему методом Гаусса:
2
3 1.

x3
2
8
3
8
Из второго уравнения получаем:
x2
1
3 3×3 1 3 3 1 0 .
7
7
Из первого уравнения находим оставшуюся неизвестную переменную и этим завершаем
обратный ход метода Гаусса:
Ответ:
x1
x1 4, x2 0, x3 1.
1
9 3×2 x3 1 9 3 0 1 4 .
2
2

9.8: Решение систем с правилом Крамера

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 1390

OpenStax
OpenStax

Цели обучения

Оценить определители 2 × 2.
Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений с двумя переменными.
Оценить 3 × 3 определителя.
Используйте правило Крамера, чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными.
Знать свойства определителей.

Мы научились решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными, а также несколькими методами: подстановкой, сложением, методом исключения Гаусса, использованием обратной матрицы и построением графика. Некоторые из этих методов легче применять, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

Вычисление определителя матрицы 2 × 2

Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезным в математике, поскольку оно имеет множество применений, например, для вычисления площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы выяснить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы, чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются закодированными в матрице. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимой матрицы и определителя. Для наших целей мы сосредоточимся на определителе как признаке обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы включает в себя следование определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

НАЙТИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 2 × 2

Определитель матрицы 2 × 2,

\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)

равен определяется как

Обратите внимание на изменение обозначения. Есть несколько способов указать определитель, в том числе \(\det(A)\) и замена скобок в матрице прямыми, \(| A |\).

Пример \(\PageIndex{1}\): нахождение определителя матрицы \(2 × 2\)

Найдите определитель данной матрицы.

\(A=\begin{bmatrix}5&2\\−6&3\end{bmatrix}\)

Решение

\[\begin{align*} \det(A)&= \begin{vmatrix} 5&2\\-6&3\end{vmatrix}\\ &= 5(3)-(-6)(2)\\ &= 27 \end{align*}\]

Использование правила Крамера для решения системы двойки Уравнения с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Известен как Правило Крамера , этот метод восходит к середине 18 века и назван в честь его новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704-1752), который представил его в 1750 году в . Правило Крамера — жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, как и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если она существует. Однако, если система не имеет решения или имеет бесконечное число решений, на это будет указывать нулевой определитель. Чтобы выяснить, является ли система противоречивой или зависимой, придется использовать другой метод, такой как исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно посмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений, используя основные операции со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

\[\begin{align} a_1x+b_1y&= c_1 (1) \label{eq1}\\ a_2x+b_2y&= c_2 (2) \label{eq2}\\ \end{align}\]

Исключаем одну переменную, используя операции со строками, и решить для другой. Скажем, что мы хотим найти \(x\). Если уравнение \ref{eq2} умножается на коэффициент, противоположный коэффициенту \(y\) в уравнении \ref{eq1}, уравнение \ref{eq1} умножается на коэффициент \(y\) в уравнении \ref {eq2}, и мы добавим два уравнения, переменная \(y\) будет исключена.

\[\begin{align*} &b_2a_1x+b_2b_1y = b_2c_1 & \text{Умножить }R_1 \text{ на }b_2 \\ -&\underline{b_1a_2x-b_1b_2y=-b_1c_2} & \text{Умножить }R_2 \ text{ by }−b_1 \\ & b_2a_1x−b_1a_2x=b_2c_1−b_1c_2 \end{align*}\]

Теперь найдите \(x\).

\[\begin{align*} b_2a_1x−b_1a_2x &= b_2c_1−b_1c_2 \\ x(b_2a_1−b_1a_2) &= b_2c_1−b_1c_2 \\ x &= \dfrac{b_2c_1−b_1c_2}{b_2a_1−b_1a_2}=\ dfrac{\begin{bmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}} \end{align*}\]

Аналогично, чтобы найти \(y\), мы исключим \(x\).

\[\begin{align*} & a_2a_1x+a_2b_1y = a_2c_1 & \text{Multiply }R_1 \text{ by }a_2 \\ -& \underline{a_1a_2x−a_1b_2y=-a_1c_2} & \text{Multiply }R_2 \text{ by }-a_1 \\ & a_2b_1y-a_1b_2y =a_2c_1-a_1c_2 \end{align*}\]

Решение для \(y\) дает

\[ \begin{align*} a_2b_1y-a_1b_2y &= a_2c_1−a_1c_2 \\ y(a_2b_1−a_1b_2) &= a_2c_1−a_1c_2 \\ y &= \dfrac{a_2c_1−a_1c_2}{a_2b_1−a_1b_2}=\dfrac{a_1c_2−a_2c_1}{a_1b_2−a_2b_1}=\dfrac{ \begin{bmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}} \end{align*}\]

Обратите внимание, что знаменатель для \(x\) и \(y\) является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для нахождения \(x\) и \(y\), но правило Крамера также вводит новые обозначения: детерминанты. Тогда мы можем выразить \(x\) и \(y\) как частное двух определителей.

ПРАВИЛО КРАМЕРА ДЛЯ СИСТЕМ \(2×2\)

Правило Крамера — это метод, использующий определители для решения систем уравнений, в которых число уравнений равно числу переменных.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

\[\begin{align*} a_1x+b_1y&= c_1\\ a_2x+b_2y&= c_2 \end{align*}\]

Решение с использованием правила Крамера дается как

\[\begin{align} x& = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{\begin{bmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}}\; , D\neq 0\\ y&= \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{\begin{bmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix }}\; , D\neq 0 \end{align}\]

Если мы находим \(x\), столбец \(x\) заменяется столбцом констант. Если мы ищем \(y\), столбец \(y\) заменяется постоянным столбцом.

Пример \(\PageIndex{2}\): использование правила Крамера для решения системы \(2 × 2\)

Решите следующую систему \(2 × 2\), используя правило Крамера.

\[\begin{align*} 12x+3y&= 15\\ 2x-3y&= 13 \end{align*}\]

Решение

Найдите \(x\).

\[\begin{align*} x&= \dfrac{D_x}{D}\\ &= \dfrac{\begin{bmatrix}15&3\\13&-3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} 12&3\\2&-3\end{bmatrix}}\\ &= \dfrac{-45-39}{-36-6}\\ &= \dfrac{-84}{-42}\\ &= 2 \end{align*}\]

Найдите \(y\).

\[\begin{align*} y&= \dfrac{D_y}{D}\\ &= \dfrac{\begin{bmatrix}12&15\\2&13\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}12&3\ \2&-3\end{bmatrix}}\\ &= \dfrac{156-30}{-36-6}\\ &= -\dfrac{126}{42}\\ &= -3 \end{align *}\]

Решение: \((2,−3)\).

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Используйте правило Крамера для решения системы \(2 × 2\) уравнений.

\[\begin{align*} x+2y&= -11\\ -2x+y&= -13 \end{align*}\]

Ответ: \((3,−7)\)

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но определить определитель матрицы 3 × 3 сложнее. Один из методов состоит в том, чтобы дополнить матрицу 3×3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3×5. Затем вычисляем сумму произведений записей вниз по по каждой из трех диагоналей (слева вверху справа внизу) и вычесть произведения записей

вверх по по каждой из трех диагоналей (слева внизу справа вверху). Это легче понять с визуальным и пример.
Найдите определитель матрицы 3×3.
\(A=\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{bmatrix}\)
Дополнить \(A\) первыми двумя столбцами.
\(\det(A)=\left| \begin{array}{ccc|cc} a_1&b_1&c_1&a_1&b_1\\a_2&b_2&c_2&a_2&b_2\\a_3&b_3&c_3&a_3&b_3\end{array} \right|\)
От верхнего левого угла к нижнему правому: умножьте числа по первой диагонали. Прибавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей вниз по третьей диагонали.
Из нижнего левого угла в верхний правый: вычтите произведение записей вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по третьей диагонали.

Алгебра выглядит следующим образом:
\(| A |=a_1b_2c_3+b_1c_2a_3+c_1a_2b_3−a_3b_2c_1−b_3c_2a_1−c_3a_2b_1\)
Пример определения {3} × 3 Matrix
Найдите определитель матрицы \(3 × 3\) по данным
\(A=\begin{bmatrix}0&2&1\\3&−1&1\\4&0&1\end{bmatrix}\)
Решение
Дополните матрицу первыми двумя столбцами и следуйте формуле. Таким образом,
\[\begin{align*} | А | &= \влево| \begin{массив}{ccc|cc}0&2&1&0&2\\3&-1&1&3&-1\\4&0&1&4&0\end{массив}\right| \\ &= 0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1)−0(1)(0)−1(3) (2) \\ &=0+8+0+4−0−6 \\ &= 6 \end{align*}\]
Упражнение \(\PageIndex{2}\)
Найдите определитель Матрица 3 × 3.
\(\det(A)=\begin{vmatrix}1&−3&7\\1&1&1\\1&−2&3\end{vmatrix}\)
Ответ
\(−10\)
Вопросы и ответы: Можно ли использовать тот же метод для нахождения определителя матрицы большего размера?
Нет, этот метод работает только для матриц 2 × 2 и 3 × 3. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.
Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными
Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы \(3 × 3\), мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменные. Правило Крамера является простым и следует шаблону, согласующемуся с правилом Крамера для матриц \(2 × 2\). Однако по мере увеличения порядка матрицы до \(3 × 3\) требуется гораздо больше вычислений.
Когда мы вычисляем определитель равным нулю, правило Крамера не указывает, имеет ли система решение или бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить исключение в системе.
Рассмотрим систему уравнений \(3 × 3\).
\[\begin{align} a_1x+b_1y+c_1z &= \color{blue}d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z &= \color{blue}d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z &= \color{blue }d_3 \\ \end{align}\]
\(x=\dfrac{D_x}{D}\), \(y=\dfrac{D_y}{D}\), \(z=\dfrac{ D_z}{D}\), \(D≠0\)
где
\[D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\; ,\; D_x = \begin{vmatrix} \color{blue}d_1 & b_1 & c_1\\ \color{blue}d_2 & b_2 & c_2\\ \color{blue}d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\; ,\; D_y = \begin{vmatrix} a_1 & \color{blue}d_1 & c_1\\ a_2 & \color{blue}d_2 & c_2\\ a_3 & \color{blue}d_3 & c_3 \end{vmatrix}\; ,\; D_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & \color{blue}d_1\\ a_2 & b_2 & \color{blue}d_2\\ a_3 & b_3 & \color{blue}d_3 \end{vmatrix}\]
Если мы записываем определитель \(D_x\), мы заменяем столбец \(x\) постоянным столбцом. Если мы записываем определитель \(D_y\), мы заменяем их столбец y на постоянный столбец. Если мы записываем определитель \(D_z\), мы заменяем столбец \(z\) постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.
Пример \(\PageIndex{4}\): решение системы \(3 × 3\) с помощью правила Крамера
Найдите решение данной системы \(3 × 3\) с помощью правила Крамера.
\[\begin{align*} x+y-z&= 6\\ 3x-2y+z&= -5\\ x+3y-2z&= 14 \end{align*}\]
Решение
Используйте правило Крамера.
\(D=\begin{vmatrix}1&1&−1\\3&−2&1\\1&3&−2\end{vmatrix}\), \(D_x=\begin{vmatrix}6&1&−1\\−5&−2&1 \\14&3&-2\end{vmatrix}\), \(D_y=\begin{vmatrix}1&6&-1\\3&-5&1\\1&14&-2\end{vmatrix}\), \(D_z=\begin{ vmatrix}1&1&6\\3&-2&-5\\1&3&14\end{vmatrix}\)
Затем
\[\begin{align*} x&= \dfrac{D_x}{D}&= \dfrac{- 3}{-3}&= 1\\ y&= \dfrac{D_y}{D}&= \dfrac{-9}{-3}&= 3\\ z&= \dfrac{D_z}{D}&= \dfrac{6}{-3}&= -2\\ \end{align*}\]
Решение: \((1,3,−2)\).
Упражнение \(\PageIndex{3}\)
Используйте правило Крамера для решения матрицы \(3 × 3\).
\[\begin{align*} x-3y+7z&= 13\\ x+y+z&= 1\\ x-2y+3z&= 4 \end{align*}\]
Ответ
\(\влево(−2,\dfrac{3}{5},\dfrac{12}{5}\вправо)\)
Пример \(\PageIndex{5A}\): использование правила Крамера для решения несогласованной системы
Решите систему уравнений с помощью правила Крамера.
\[\begin{align} 3x-2y&= 4 \label{eq3}\\ 6x-4y&= 0 \label{eq4}\end{align}\]
Решение
Начнем с нахождения определители \(D\), \(D_x\) и \(D_y\).
\(D=\begin{vmatrix}3&-2\\6&-4\end{vmatrix}=3(-4)−6(-2)=0\)
Мы знаем, что определитель нуля означает либо система не имеет решений, либо имеет бесконечное число решений. Чтобы увидеть, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.
Умножить уравнение \ref{eq3} на \(−2\).
Добавьте результат к уравнению \ref{eq4}.
\[\begin{align*} &−6x+4y=−8 \\ &\;\;\;\underline{6x−4y=0} \\ &\;\;\;\;\;\ ;\;\;\;\; 0=−8 \end{align*}\]
Получаем уравнение \(0=−8\), которое неверно. Следовательно, система не имеет решений. График системы показывает две параллельные линии. См. рисунок \(\PageIndex{1}\).
Рисунок \(\PageIndex{1}\)
Пример \(\PageIndex{5B}\): использование правила Крамера для решения зависимой системы
Решите систему с бесконечным числом решений.
\[\begin{align} x-2y+3z&= 0 \label{eq5}\\ 3x+y-2z&= 0 \label{eq6}\\ 2x-4y+6z&= 0 \label{eq7} \ end{align}\]
Решение
Сначала найдем определитель. Настройте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.
\(\left| \begin{array}{ccc|cc}1&−2&3&1&-2\\3&1&−2&3&1\\2&−4&6&2&-4\end{array}\right|\)
Затем
\(1(1)(6)+(−2)(−2)(2)+3(3)(−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)( 1)−6(3)(−2)=0\)
Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное число решений. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.
1. Умножьте уравнение \ref{eq5} на \(−2\) и добавьте результат к уравнению \ref{eq7}:
\[\begin{align*} &−2x+4y−6x=0 \ \ &\;\;\underline{2x−4y+6z=0} \\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;0=0 \end{align*}\]
2. Получение ответа \(0=0\), утверждение, которое всегда истинно, означает, что система имеет бесконечное число решений. Изобразив систему, мы видим, что две плоскости одинаковы и обе пересекают третью плоскость по прямой. См. рисунок \(\PageIndex{2}\).
Рисунок \(\PageIndex{2}\)
Понимание свойств определителей
У определителей много свойств. Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.
СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Если матрица имеет верхнетреугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.

При перестановке двух строк определитель меняет знак.
Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю. 9{−1}\) — величина, обратная определителю матрицы \(A\).
Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.
Пример \(\PageIndex{6}\): Иллюстрация свойств определителей
Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.
Решение
Свойство 1 гласит, что если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов, расположенных вниз по главной диагонали.
\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&2&1\\0&0&-1\end{bmatrix}\)
Дополнить \(A\) первыми двумя столбцами.
\(A=\left[ \begin{array}{ccc|cc}1&2&3&1&2\\0&2&1&0&2\\0&0&−1&0&0\end{array}\right]\)
Затем
\[\begin{align* } \det(A)&= 1(2)(-1)+2(1)(0)+3(0)(0)-0(2)(3)-0(1)(1)+1 (0)(2)\\ &= -2 \end{align*}\]
Свойство 2 утверждает, что перестановка строк меняет знак. Учитывая
\[\begin{align*} A&=\begin{bmatrix}-1&5\\4&-3\end{bmatrix}\\ \det(A)&= (-1)(-3)-(4) (5)\\ &= 3-20\\ &= -17 \end{align*}\]
\[\begin{align*} B&= \begin{bmatrix}4&-3\\-1&5\end {bmatrix}\\ \det(B)&= (4)(5)-(-1)(-3)\\ &= 20-3\\ &= 17 \end{align*}\]
Свойство 3 утверждает, что если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.
\[\begin{align*} A&=\left[ \begin{array}{ccc|cc}1&2&2&1&2\\2&2&2&2&2\\-1&2&2&-1&2\end{массив}\right]\\ \det(A) &=1(2)(2)+2(2)(-1)+2(2)(2)+1(2)(2)-2(2)(1)-2(2)(2) \\ &=4-4+8+4-4-8\\ &=0 \end{align*}\] 9{-1})&=-2\left(-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{3}{2}(1)\\ &=-\dfrac{1}{2} \ end{align*}\]
Свойство 6 гласит, что если любая строка или столбец матрицы умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. Таким образом,
\[\begin{align*} A&=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\\ \det(A)&=1(4)-2(3)\\ &= -2 \end{align*}\]
\[\begin{align*} B&=\begin{bmatrix}2(1)&2(2)\\3&4\end{bmatrix}\\ \det(B) &=2(4)-3(4)\\ &=-4 \end{align*}\]
Пример \(\PageIndex{7}\): использование правила Крамера и свойств определителя для решения системы
Найдите решение заданной системы \(3 × 3\).
\[\begin{align} 2x+4y+4z&=2 \label{eq8}\\ 3x+7y+7z&=-5 \label{eq9}\\ x+2y+2z&=4 \label{eq10} \end{align}\]
Решение
Используя правило Крамера, мы имеем
\(D=\begin{bmatrix}2&4&4\\3&7&7\\1&2&2\end{bmatrix}\)
Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны. Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо решений бесконечное множество. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.
1. Умножьте уравнение \ref{eq10} на \(–2\) и добавьте результат к уравнению \ref{eq8}.
\[\begin{align*} -2x-4y-4x&=-8\\ 2x+4y+4z&=2\\ 0&=-6 \end{align*}\]
Получение оператора, который является Противоречие означает, что система не имеет решений.
Медиа
Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практических занятий по правилу Крамера.
Решение системы двух уравнений с помощью правила Крамера
Решите систему из трех уравнений, используя правило Крамера
Ключевые понятия
Определитель для \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) равен \(ad-bc\). См. пример \(\PageIndex{1}\).
Правило Крамера заменяет столбец переменной столбцом константы. Решения: \(x=\dfrac{D_x}{D}\), \(y=\dfrac{D_y}{D}\). См. пример \(\PageIndex{2}\).
Чтобы найти определитель матрицы \(3×3\), увеличьте первые два столбца. Сложите три диагональных элемента (слева вверху справа внизу) и вычтите три элемента по диагонали (слева внизу справа вверху). См. пример \(\PageIndex{3}\).

Чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными с помощью правила Крамера, замените столбец переменных столбцом констант для каждого требуемого решения: \(x=\dfrac{D_x}{D}\), \(y=\dfrac{ D_y}{D}\), \(z=\dfrac{D_z}{D}\). См. пример \(\PageIndex{4}\).
Правило Крамера также полезно для нахождения решения системы уравнений без решения или с бесконечным числом решений. См. Пример \(\PageIndex{5}\) и Пример \(\PageIndex{6}\).
Некоторые свойства определителей полезны при решении задач. Например: 9{−1}\) — величина, обратная определителю матрицы \(A\).
Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. См. Пример \(\PageIndex{7}\) и Пример \(\PageIndex{8}\).

Эта страница под названием 9.8: Решающие системы с правилом Крамера распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с помощью исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
ОпенСтакс

Лицензия
СС BY
Версия лицензии
4,0
Программа OER или Publisher
ОпенСтакс
Показать страницу TOC
нет
Включено
да
Теги
Правило Крамера
Детерминанты
источник@https://openstax. org/details/books/precalculus

Решить x+y=0,x+2y=0 | Microsoft Math Solver. Поделиться
Скопировано в буфер обмена
x+y=0,x+2y=0
Чтобы решить пару уравнений с помощью подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат этой переменной в другое уравнение.
x+y=0
Выберите одно из уравнений и решите его относительно x, выделив x слева от знака равенства.
x=-y
Вычтите y из обеих частей уравнения.
-y+2y=0
Подставьте -y вместо x в другое уравнение, x+2y=0.
y=0
Добавьте -y к 2y.
x=0
Подставьте 0 вместо y в x=-y. Поскольку результирующее уравнение содержит только одну переменную, вы можете найти x напрямую.
х=0,у=0
Теперь система решена.
x+y=0,x+2y=0
Приведите уравнения к стандартной форме и затем используйте матрицы для решения системы уравнений.

\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix }0\\0\end{matrix}\right)
Запишите уравнения в матричной форме.
обратная (\ левая (\ начало {матрица} 1 и 1 \\ 1 и 2 \ конец {матрица} \ правая)) \ левая (\ начало {матрица} 1 и 1 \\ 1 и 2 \ конец {матрица} \ правая) \ левая (\ начало {матрица}x\\y\конец{матрица}\справа)=обратная(\слева(\начать{матрица}1&1\\1&2\конец{матрица}\справа))\слева(\начать{матрица}0\\ 0\конец{матрица}\справа)
Умножьте уравнение слева на обратную матрицу \left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin {matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)
Произведение матрицы и ее обратной является единичной матрицей .
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\ начало{матрица}0\\0\конец{матрица}\справа)

Умножьте матрицы слева от знака равенства.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-1}&-\frac{1}{2 -1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{1}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{ matrix}\right)
Для матрицы 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) обратная матрица равна \left(\begin{matrix}\frac{ d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right ), поэтому матричное уравнение можно переписать как задачу на умножение матриц.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\ begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)
Выполните арифметические действия.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)
Перемножить матрицы.
x=0,y=0
Извлечь элементы матрицы x и y.
x+y=0,x+2y=0
Чтобы решить методом исключения, коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сокращалась при вычитании одного уравнения из другого .
No related posts.