Решение системы с тремя неизвестными онлайн: Решение систем уравнений · Калькулятор Онлайн

Методы решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ТРЁХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

2. Основные понятия

Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: a11x1 a12 x2 a13 x3
b1,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b ,
31 1 32 2 33 3 3
где —
x1 , x2 , x3
неизвестные,
aij
— коэффициенты ( i 1,2,3; j 1,2,3 ),
b1 , b2 , b3 — свободные члены.
Тройка чисел ( 1 , 2 , 3 ) называется решением системы трёх линейных уравнений с тремя
неизвестными, если при подстановке их в уравнения системы вместо x1 , x2 , x3 получают верные
числовые равенства.
Если система трёх линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется
совместной.
Если система трёх линейных уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.
Если система трёх линейных уравнений имеет единственное решение, то ее называют
определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.
Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется
однородной, в противном случае – неоднородной.

3. Метод Крамера

Пусть нам требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b ,
32 2
33 3
3
31 1
(1)
в которой определитель системы (он составлен из коэффициентов при неизвестных) ∆≠0, а
определители x , x , x получаются из определителя системы ∆ посредством замены
свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.
1
a11 a12 a13
2
3
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
a21 a22 a32 , x1 b2 a22 a32 , x2 a21 b2 a32 , x3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
a31 a32 a33
b3 a32 a33
a31 b3 a33
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы ∆≠0, то рассматриваемая
система (1) имеет одно и только одно решение, причём
x1
x1
, x2
x2
, x3
x3
.

4. Решите систему методом Крамера:

2 x1 3 x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Решение:
1.
Вычислим определитель системы:
2 3 1
1 2 1 2 2 2 3 1 1 1 1 0 1 2 1 3 1 2 2 1 0 13.
1 0 2
Так как определитель системы отличен от нуля, то система имеет
единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.
2.
Составим и вычислим необходимые определители :
9 3 1
x1 3 2 1 9 2 2 3 1 2 1 3 0 1 2 2 3 3 2 9 1 0 52,
2
x2
2
1
1
x3
0 2
9 1
3 1 2 3 2 9 1 1 1 1 2 1 3 1 9 1 2 2 1 2 0,
2
2 3
1 2
1
0
2
9
3 2 2 2 3 3 1 9 1 0 9 2 1 3 1 2 2 3 0 13.
2

5. Решите систему методом Крамера:

3.
2 x1 3×2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Находим неизвестные по формулам Крамера:
x1
x1
x1
x2
x3
x2
, x2
x1
x2
x3
52
4,
13
, x3
x3
0
0,
13
13
1.
13
Ответ: x1 4, x2 0, x3 1.
;

6. Метод Гаусса

Ранее рассмотренный метод можно применять при решении только тех систем, в которых
число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен
быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем
с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных
из уравнений системы.
Вновь рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b .
31 1 32 2 33 3 3
Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые,
содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем
сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –
а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
x2 a23
x3 b2 ,
a22
x2 a33
x3 b3 .
a32

7. Метод Гаусса

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье
уравнение разделим на a32 , умножим на a22 и сложим со вторым. Тогда будем иметь
систему уравнений:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
x2 a23
x3 b2 ,
a22
x3 b3 .
a33
Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из
1-го – x1.

8. Решите систему методом Гаусса:

2 x1 3 x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Решение:
1.
Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1.
Для этого второе уравнение умножим на a11 2 , а затем сложим с 1-ым уравнением.
a21
Аналогично третье уравнение умножим на
a11
2
a31
, а затем сложим с первым.
В результате исходная система примет вид:
2 x1 3 x2 x3 9,
7 x2 3 x3 3,
3 x 2 5 x3 5.
2.
Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье
a
7
уравнение умножим на 22 , и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:
a32
3
2 x1 3×2 x3 9,
7 x2 3×3 3,
2
2
8 x3 8 .
3
3

9. Решите систему методом Гаусса:

3.
2 x1 3×2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
На этом прямой ход метода Гаусса закончен, начинаем обратный ход.
Из последнего уравнения полученной системы уравнений находим x3:
2
3 1.
x3
2
8
3
8
Из второго уравнения получаем:
x2
1
3 3×3 1 3 3 1 0 .
7
7
Из первого уравнения находим оставшуюся неизвестную переменную и этим завершаем
обратный ход метода Гаусса:
x1
Ответ: x1 4, x2 0, x3 1.
1
9 3×2 x3 1 9 3 0 1 4 .
2
2

10. Матричный метод (с помощью обратной матрицы)

Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b .
31 1 32 2 33 3 3
В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид
где
a11 a12 a13
A a21 a22 a23 ;
a
31 a32 a33
A X B ,
x1
b1
X x2 ; B b2 .
x
b
3
3
Пусть A 0 . Тогда существует обратная матрица A 1 . Если умножить
1
обе части равенства A X B на A слева, то получим формулу для
нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных, т.е. A 1 A X A 1 B
1
или X A B .
Так мы получили решение системы трёх линейных уравнений с тремя
неизвестными матричным методом.

11. Решите систему матричным методом:

2 x1 3 x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Решение:
1.
Перепишем систему уравнений в матричной форме:
A X B
Так как
2 3 1 x1 9
1
2
1
x2 3 .
1 0
2 x3 2
2 3 1
1 2 1 2 2 2 3 1 1 1 1 0 1 2 1 3 1 2 2 1 0 13 ,
1 0 2
то систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными можно решить матричным
методом. С помощью обратной матрицы решение этой системы может быть найдено как:
1
X A 1 B
x1 2 3 1 9
x 1 2 1 3 .
2
x 1 0 2 2
3

12. Решите систему матричным методом:

2.
Построим обратную матрицу
элементов матрицы A :
A11 A12 A13
1
1
A A21 A22 A23
A
A31 A32 A33
где
A11 1
1 1
3 1
T
2 1
4, A12 1
3 1
2
A 1 с помощью матрицы из алгебраических дополнений
6
1
4
T
13
13
13
1
4 1 2
4 6
1
1
1
5
3
6
5 3 1
5 3
,
13
13
13 13 13
1 3 7
2 3 7 2
3
7
13 13 13
1 2
0 2
2 1 3 1
A21 1
6,
0 2
A31 1
2 x1 3 x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
1
1,
1 1
1, A13 1
1 3
1 2
2 2 2 1
A22 1
1 2
A32 1
3 2
5,
2 1
1
1
1 2
2,
1 0
2 3 2 3
A23 1
3,
1 0
3, A33 1 3 3
2 3
1 2
7.

13. Решите систему матричным методом:

3.
2 x1 3×2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Осталось вычислить матрицу неизвестных переменных, умножив обратную матрицу
на матрицу-столбец свободных членов:
4
6
1
6
1
4
9 3 2
13
13
13 13 9 13
13
4
1
5
3
1
3
5
1
X A B
9 3 2 0 ,
3
13 13
13
13
13 13
2
1
2
3
7
2 9 3 3 7 2
13
13 13 13
13
13
x1 4
X x2 0 .
x 1
3
Ответ:
x1 4, x2 0, x3 1 .

определение, теорема и примеры решения задач

Содержание:

• Теорема Крамера
• Примеры решения систем уравнений

Метод Крамера (теорема Крамера) — способ решения квадратных СЛАУ с ненулевым определителем основной матрицы. Назван по имени Габриэля Крамера, автора метод.

Теорема Крамера

Теорема

Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

$x_{i}=\frac{\Delta_{i}}{\Delta}$

где $\Delta$ — определитель матрицы системы, $\Delta_{i}$ — определитель матрицы системы, где вместо $i$ -го столбца стоит столбец правых частей.

Замечание

Если определитель системы равен нулю, то система может быть как совместной, так и несовместной.

Замечание

Данный метод удобно применять для маленьких систем с громоздкими вычислениями, а так же если нужно найти одну из неизвестных.

Трудность заключается в том, что необходимо считать много определителей.

Примеры решения систем уравнений

Пример

Задание. Найти решение СЛАУ $\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+2 x_{2}=7 \\ 2 x_{1}+x_{2}=9 \end{array}\right.$ при помощи метода Крамера.

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

$$\Delta=\left|\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right|=5 \cdot 1-2 \cdot 2=1 \neq 0$$

Так как $\Delta \neq 0$ , то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители. Определитель $\Delta_{1}$ получим из определителя $\Delta$ заменой его первого столбца столбцом свободных коэффициентов. Будем иметь:

$$\Delta_{1}=\left|\begin{array}{ll} 7 & 2 \\ 9 & 1 \end{array}\right|=7-18=-11$$

Аналогично, определитель $\Delta_{2}$ получается из определителя матрицы системы $\Delta$ заменой второго столбца столбцом свободных коэффициентов:

$$\Delta_{2}=\left|\begin{array}{ll} 5 & 7 \\ 2 & 9 \end{array}\right|=45-14=31$$

Тогда получаем, что

$$x_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{-11}{1}=-11, x_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{31}{1}=31$$

Ответ. $x_{1}=-11, x_{2}=31$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. При помощи формул Крамера найти решение системы $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{1}-x_{2}=-2 \\ 3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2 \end{array}\right.$

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

$$\Delta=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 1+1 \cdot 0 \cdot 3-$$ $$-3 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-4 \neq 0$$

Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:

$$\Delta_{1}=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+(-2) \cdot(-1) \cdot 1+$$ $$+1 \cdot 0 \cdot 2-2 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-(-2) \cdot 1 \cdot 2=4$$ $$\Delta_{2}=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 3 & 2 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-2) \cdot 2+1 \cdot 2 \cdot 1+2 \cdot 0 \cdot 3-$$ $$-3 \cdot(-2) \cdot 1-2 \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 2 \cdot 2=-4$$ $$\Delta_{3}=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 2+$$ $$+1 \cdot(-2) \cdot 3-3 \cdot(-1) \cdot 2-(-1) \cdot(-2) \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-12$$

Таким образом,

$x_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{4}{-4}=-1 \quad x_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{-4}{-4}=1 \quad x_{3}=\frac{\Delta_{3}}{\Delta}=\frac{-12}{-4}=3$

Ответ. $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.$

Читать дальше: метод Гаусса. Метод последовательного исключения неизвестных.

Предварительное исчисление по алгебре — Как решить систему двух уравнений с тремя неизвестными

спросил 6 лет, 8 месяцев назад

Изменено 6 лет, 8 месяцев назад

Просмотрено 7к раз

$\begingroup$

$x+y=5$

$2x+y-3z=12$

Я знаю, что для решения трех неизвестных нужны три уравнения, поэтому я не уверен, можно ли это решить или для решения подобных задач используются другие методы (помимо обычных исключений/замен).

• алгебра-предварительное исчисление
• системы уравнений

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Эту систему уравнений можно решить, просто у нее нет единственного решения.

Мы можем попытаться решить это, как если бы у нас было только 2 переменные, $x$ и $y$.

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы получить $x = 3z + 7.$

Тогда, поскольку $y = 5 — x$, мы получим $y = -3z — 2.$

Теперь мы решили систему , у нас есть только одно решение для каждого возможного выбора $z$.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Решение — перенести одну из неизвестных в правую часть и считать систему уравнений параметрической.

$$\begin{align}x+y&=5\\ 2x+y&=12+3z.\end{align}$$

Теперь вы решаете систему $2\times2$, что дает

$$\begin{align}x&=7+3z\\ y&=-2-3z.\end{align}$$

Нет ограничений на значения, которые может принимать $z$, что дает полный набор решений.

$\endgroup$

$\begingroup$

Вычитая одно из другого, вы получаете отношение между двумя переменными, например,

$$ x — 3 z = 7 $$

Без еще одного отношения (x,z) вы не сможете перейти к решению.

$\endgroup$

1

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Решение систем трех линейных уравнений — Krista King Math

Для решения системы трех линейных уравнений можно использовать замену, исключение или построение графика.

В этом уроке мы рассмотрим, как решать системы трех уравнений с тремя разными переменными.

Помните, что решением системы уравнений является набор чисел, который делает все уравнения верными. Если система с тремя переменными имеет решение, она будет иметь решение для каждой переменной.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Пошаговый пример решения системы трех линейных уравнений

Пройти курс

Хотите узнать больше об Алгебре 2? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Учить больше

Решение системы трех уравнений методом исключения

Пример

Решите систему уравнений.

???-x-5y+z=17???

???-5x-5y+5z=5???

???2x+5y-3z=-10???

Чтобы не запутаться, пронумеруем уравнения.

[1]   ???-x-5y+z=17???

[2]   ???-5x-5y+5z=5???

[3]   ???2x+5y-3z=-10???

Обратите внимание, что уравнения  [1]  и  [3]  есть ???-5г??? и ???5г???. Мы можем сложить эти два уравнения, чтобы сократить ???y???-член.

???(-x-5y+z)+(2x+5y-3z)=17+-10???

Удалите скобки и объедините одинаковые термины.

???-x-5y+z+2x+5y-3z=17+-10???

???-x+2x-5y+5y+z-3z=17+-10???

???x-2z=7???

Вы могли также заметить, что уравнения [2] и [3] имеют ???-5y??? и ???5г???. Итак, давайте добавим их вместе, чтобы получить еще один ???x??? и ???з??? уравнение.

???(-5x-5y+5z)+(2x+5y-3z)=5+-10???

Удалите скобки и объедините одинаковые термины.

???-5x-5y+5z+2x+5y-3z=5+-10???

???-5x+2x-5y+5y+5z-3z=5+-10???

???-3x+2z=-5???

Давайте сложим эти новые уравнения вместе, потому что у одного есть ???2z??? а у одного ???-2z???.

???x-2z=7???

???-3x+2z=-5???

???(x-2z)+(-3x+2z)=7+-5???

Удалите скобки и объедините одинаковые термины.

???x-2z+-3x+2z=7-5???

???x-3x-2z+2z=2???

???-2x=2???

???х=-1???

Выберите одно из новых уравнений для подстановки ???x=-1??? решить для ???z???. Мы выберем ???x-2z=7???.

???-1-2z=7???

???-2z=8???

???z=-4???

Выберите исходное уравнение для подстановки ???x=-1??? и ???z=-4??? решить для ???y???. Мы выберем ???-x-5y+z=17???.

???-(-1)-5y+(-4)=17???

Упростите и решите ???y???.

???1-5y-4=17???

???-5y+1-4=17???

???-5y-3=17???

???-5y=20???

???y=-4???

Решение ???(-1,-4,-4)??? или ???x=-1???, ???y=-4??? и ???z=-4???.

Давайте еще раз.

Если система с тремя переменными имеет решение, она будет иметь решение для каждой переменной.

Принятие решения о том, какой метод использовать для решения системы и что делать, если система не имеет решения

Пример

Используйте любой метод, чтобы найти единственное решение системы уравнений.

???3a-3b+4c=-23???

???a+2b-3c=25???

???4a-b+c=25???

Чтобы не запутаться, пронумеруем уравнения.

[1]   ???3a-3b+4c=-23???

[2]   ???a+2b-3c=25???

[3]   ???4a-b+c=25???

Ни у одного из членов нет одинаковых коэффициентов, поэтому нам нужно умножить уравнение, чтобы исключить переменную. Умножим уравнение [2]  от ???3??? так что мы можем устранить ???a??? член, вычитая его из уравнения  [1] .

Назовем новую форму уравнения [2] , уравнение [2a] .

???3(a+2b-3c=25)???

[2a]   ???3a+6b-9c=75???

Теперь давайте вычтем [2a] из уравнения [1] , чтобы исключить ???a??? срок.

???(3a-3b+4c)-(3a+6b-9c)=-23-75???

Распределите знак минус через круглые скобки.

???3a-3b+4c-3a-6b+9c=-98???

???3a-3a-3b-6b+4c+9c=-98???

[1. 2a]   ???-9b+13c=-98???

Назовем это новое уравнение [1.2a] .

Теперь нам нужно получить еще одно уравнение только с ???b??? и ???с??? условия. Давайте воспользуемся уравнениями [2] и [3] .

На этот раз нам нужно умножить уравнение  [2]  на ???4??? поэтому мы можем вычесть его из уравнения  [3]  и избавиться от ???a??? срок. Мы назовем новую форму уравнения [2] , [2b] .

???4(a+2b-3c=25)???

[2b]   ???4a+8b-12c=100???

Теперь вычтем уравнение [2b] из уравнения [3] и назовем результат [3.2b] .

[3]   ???4a-b+c=25???

???(4a-b+c)-(4a+8b-12c)=25-100???

Распределите знак минус через круглые скобки.

???4a-b+c-4a-8b+12c=25-100???

Упрощение.

???4a-4a-b-8b+c+12c=25-100???

[3.