Решение системы уравнений методом гаусса: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

alexxlab / / Разное

Содержание

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

2. Метод Гаусса – это метод последовательного исключения переменных

• Систему уравнений приводят к
эквивалентной ей системе с
треугольной матрицей. Это называется
прямым ходом.
• Из полученной треугольной системы
переменные находят с помощью
последовательных подстановок. Это
называется обратным ходом.

3. При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

1. Умножение или деление коэффициентов
свободных членов на одно и то же число;
2. Сложение и вычитание уравнений;
3. Перестановка уравнений системы;
4. Исключение из системы уравнений, в
которых все коэффициенты при
неизвестных и свободные члены равны
нулю.

4. Решить систему уравнений методом Гаусса

x y 5
2 x y 7
Нужно записать расширенную матрицу системы
1 1 5
2 1 7
Вертикальная черта внутри матрицы не несёт
никакого математического смысла – это
просто отчеркивание для удобства
оформления.
Матрица системы – это матрица,
составленная только из
коэффициентов при неизвестных.
Расширенная матрица системы – это
та же матрица системы плюс
столбец свободных членов, в
данном случае.

6. Решение. Умножим первую строку на (-2)

1 1 5
2 1 7
2 2 10
2 1 7

7.

ко второй строке прибавим первую строку умноженную на -21 1 5
2 1 7
2 2 10
0 3 3
2 2 10
2 1 7

8. Разделим опять первую строку на (-2)

1 1 5
2 1 7
2 2 10
0 3 3
2 2 10
2 1 7
1 1 5
0 3 3
строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ – не изменилась.
Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ.

9. Цель элементарных преобразований –

Цель элементарных преобразований
–
привести матрицу к ступенчатому виду.
Сам термин «ступенчатый вид» не
вполне теоретический, в научной и
учебной литературе он часто
называется трапециевидный
вид или треугольный

10. В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений

В результате элементарных преобразований
получена эквивалентная исходной система уравнений
x y 5
2 x y 7
x y 5
y 1
Выполняем обратный ход, т.е. подстановку в первое
уравнение вместо у,
х =-5+у
х=-5+1
х=-4
Ответ: (-4; 1)

11.

Решить систему уравнений методом Гаусса3 x 2 y z 4
2 x y 3z 9
x 2 y 2z 3
Решение.
Переставим третье уравнение на место первого и запишем расширенную
матрицу:
x 2 y 2z 3
3 x 2 y z 4
2 x y 3z 9
1 2 2 3
3 2 1 4
2 1 3 9

12. Чтобы в первом столбце получить а2=а3=0, умножим 1-ю строку сначала на 3, а затем на 2 и вычтем результаты из 2-й и 3-й строк

1 2 2 3
3 2 1 4
2 1 3 9
1 2 2 3
0 8 7 5
0 3 1 3

13. Разделим 2-ю строку на 8, полученные результаты умножим на 3 и вычтем из 3-й строки

1 2 2 3
3 2 1 4
2 1 3 9
1 2 2 3
0 1 7 5
8 8
0 3 1 3
1 2 2 3
0 8 7 5
0 3 1 3
1 2 2 3
0 3 21 15
8
8
0 3 1 3
1 2 2
3
21
15
0
3
8
8
39
0 0 13
8
8

14. Запишем новую эквивалентную систему с учетом расширенной матрицы

x 2 y 2z 3
7
5
y z
8
8
13
39
z
8
8
x 2 y 2z 3
7
5
y z
8
8
13
39
z
8
8
Выполняем обратный ход, с помощью
последовательных подстановок находим
неизвестные
13
39
z
z 3
8
8
7
5
5 21 16
y 3
y
2
8
8
8 8
8
x 2 2 2 3 3 x 3 4 6 1
Ответ: (1; 2; 3)

English     Русский Правила

Примеры решения системы линейных алгебраических уравнений 3-его порядка методом Гаусса, пример № 11

СЛАУ 3-его порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12
СЛАУ 4-ого порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12

Условие

 5x 1 — x 2 — x 3   =   0
 x 1 + 2x 2 + 3x 3   =   14
 4x 1 + 3x 2 + 2x 3   =   16

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусс

Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом — Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Все действия описанные в данном разделе не противоречат правилам обращения с матрицами и являются элементарными преобразованиями матрицы. Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по геометрии и другим предметам!

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 3 × 4, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.


Проведём следующие действия:

  • Поменяем местами строку № 1 и строку № 2

Получим:

Проведём следующие действия:

  • Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 5 (
    Строка 2 — 5 × строка 1    )
  • Из строки № 3 вычтем строку № 1 умноженную на 4 (Строка 3 — 4 × строка 1)

Получим:

Проведём следующие действия:

  • Строку № 3 поделим на -5 (Строка 3 = строка 3 / -5)
  • Поменяем местами строку № 2 и строку № 3

Получим:

Проведём следующие действия:

  • К строке № 3 прибавим строку № 2 умноженную на 11 (Строка 3 + 11 × строка 2)

Получим:

Проведём следующие действия:

  • Строку № 3 поделим на 6 (Строка 3 = строка 3 / 6)

Получим:

Проведём следующие действия:

  • Из строки № 2 вычтем строку № 3 умноженную на 2 (Строка 2 — 2 × строка 3)
  • Из строки № 1 вычтем строку № 3 умноженную на 3 (Строка 1 — 3 × строка 3)

Получим:

Проведём следующие действия:

  • Из строки № 1 вычтем строку № 2 умноженную на 2 (Строка 1 — 2 × строка 2)

Получим:

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:
х1 = 1
х2 = 2
х3 = 3


Вы поняли, как решать? Нет?

Другие примеры

Как вы решаете, используя исключение Гаусса или исключение Гаусса Жордана, x-2y-z=2 ,2x – y + z = 4, -x + y -2z = -4 ?

Ответ

Проверено

188,1 тыс.+ просмотров

Подсказка: Решая систему линейных уравнений методом исключения Гаусса, мы записываем все коэффициенты и константы уравнений в матричной форме, а затем, выполняя операции со строками, пытаемся чтобы сделать коэффициенты любых строк равными 0, кроме одного коэффициента, а затем найти неизвестные.

Полное пошаговое решение:
Уравнения, данные в вопросе: x-2y-z=2 ,2x – y + z = 4, -x + y -2z = -4 , если мы запишем в матричной форме получить
$\left| \begin{matrix}
   1 & -2 & -1 & 2 \\
   2 & -1 & 1 & 4 \\
    -1 & 1 & -2 & -4 \\
\end{matrix} \right| $
Теперь мы можем выполнять операции со строками, давайте запишем ${{R}_{3}}$ как сумму ${{R}_{1}}$ и ${{R}_{3}}$ и $ {{R}_{2}}$ как ${{R}_{2}}-2{{R}_{1}}$
$\слева| \begin{matrix}
   1 & -2 & -1 & 2 \\
   0 & 3 & 3 & 0 \\
   0 & -1 & -3 & -2 \\
\end{matrix} \right|$
Теперь запишите ${{R}_{3}}$ как $\dfrac{1}{3}{{R}_{2}}+{{R}_{3}}$
$\left| \begin{matrix}
   1 & -2 & -1 & 2 \\
   0 & 3 & 3 & 0 \\
   0 & 0 & -2 & -2 \\
\end{matrix} \right|$
Из строки 3 мы получаем, что -2z равно -2, поэтому z равно 1
. Из строки 2 мы получаем 3y + 3z = 0, поэтому, если мы положим z = 1, y окажется равным -1.
Из строки 1 получаем x – 2y — z = 2, если положить z = 1 и y = -1, то получим x равным 1.

Итак, x = 1, y = -1 и z = 1 равно решение системы уравнений.

Примечание: Данные 3 уравнения в приведенном выше вопросе представляют собой плоскость в трехмерной системе координат. Если любые 2 плоскости параллельны друг другу, то система не будет иметь решения. Если одна плоскость проходит через линию, образованную пересечением двух других плоскостей, то решений будет бесконечное множество.

Недавно обновленные страницы

Если ab и c единичные векторы, то left ab2 right+bc2+ca2 математика класса 12 JEE_Main

Стержень AB длиной 4 единицы перемещается горизонтально, когда математика класса 11 JEE_Main

Вычислить значение intlimits0 cos 3xdx A 0 B 1 class 12 maths JEE_Main

Что из следующего верно0002 KCN легко реагирует с образованием цианида с A Этиловый спирт класс 12 химический состав JEE_Main

Если ab и c единичные векторы, то левый ab2 правый+bc2+ca2 класс 12 математический JEE_Main

Стержень AB длиной 4 единицы движется горизонтально при выполнении класса 11 maths JEE_Main

Оценить значение intlimits0pi cos 3xdx A 0 B 1 class 12 maths JEE_Main

Что из следующего верно 1 nleft S cup T right class 10 maths JEE_Main

Какова площадь треугольника с вершинами Aleft 11 класс математика JEE_Main

KCN легко реагирует с образованием цианида с этиловым спиртом класса 12 по химическому составу JEE_Main

Тенденции сомнения

Система линейных уравнений с использованием алгоритма исключения Гаусса | Программа инженерного образования (EngEd)

Система линейных уравнений представляет собой набор одного или нескольких линейных уравнений, включающих один и тот же набор переменных. Линейные системы встречаются при построении регрессионных моделей в машинном обучении.

Существуют различные способы решения этой проблемы. Некоторые методы сложны, другие просты для понимания и реализации. Метод исключения Гаусса является одним из лучших решений для этих систем.

В этой статье будет рассмотрена интуиция, стоящая за методом исключения Гаусса, выполнено удобное вычисление и, наконец, показано, как мы можем реализовать этот метод в R.

Предварительные условия

Читатель должен иметь: понимание элементарной линейной алгебры.

  • R Навыки программирования.
  • R установлен на их компьютер.

    • Понимание алгоритма исключения Гаусса

    Эти шаги необходимы для решения системы линейных уравнений с использованием алгоритма исключения Гаусса.

    Предположим, нам дана система линейных уравнений, показанная ниже.

    Шаг 1:

    Представить приведенную выше систему линейных уравнений в матричной форме, т. е.

    Присвоить A, X и b матрице коэффициентов, вектору переменных и вектору решений соответственно.

    То есть:

    Шаг 2:

    Используя матрицы A и b, мы создаем расширенную матрицу, т. е. присоединяем b к матрице A как последний столбец.

    Теперь, чтобы привести приведенную выше матрицу ${C}$ к форме, которую можно легко решить для неизвестных, нам нужно выполнить некоторые операции. Эти операции не должны изменять решение линейной системы.

    Некоторые из разрешенных операций:

    1. Изменение порядка строк.
    2. Увеличение строки, т. е. умножение на константу.
    3. Чтобы исключить определенные значения, вы можете умножить одну строку на константу и добавить результат в другую строку. 9{rd}$ описанной выше операции, мы делаем все значения ниже опорного значения нулями. Это показано в матрице ниже.

      Шаг 4:

      Мы сохраняем первое значение после нуля во второй строке во второй итерации. Затем, как и в первой итерации, сделайте все значения ниже этого значения нулями.

      Это показано ниже:

      Шаг 5:

      Повторяйте описанные выше операции, пока не получите верхнюю треугольную матрицу. Матрица, которую мы получили на предыдущем шаге, уже имеет верхнетреугольную форму.

      Следующим шагом будет поиск решения нашей исходной системы с использованием этой уменьшенной матрицы. Из нашей сокращенной матрицы мы можем записать следующую систему линейных уравнений.

      Эту новую систему уравнений решить намного проще, чем исходную. Чтобы найти решение нашей исходной системы, мы решим эти уравнения, которые мы только что вывели из верхней треугольной матрицы. Это очень просто и быстро по сравнению с вычислительным решением исходной системы.

      Теперь в приведенной выше системе все, что нам нужно сделать, это выполнить обратную замену. Обратная замена выполняется в порядке, указанном ниже:

      Обратите внимание: сначала мы нашли последнюю переменную $(x_3)$, а затем включили ее решение в решение предыдущей переменной, пока не получили $x_1$.

      Как мы все знаем, системы линейных уравнений в реальных данных могут состоять из миллионов уравнений. Решать эти системы вручную нецелесообразно. Это требует от нас использования вычислительного программного обеспечения. В последнем разделе этой статьи мы увидим, как мы можем реализовать этот метод.

      R Реализация алгоритма исключения Гаусса

      Здесь нам нужно создать матрицу, которую мы использовали для объяснения этой концепции, которую затем мы напишем код для сведения ее к верхней треугольной матрице. Ниже приведен процесс реализации этого метода.

       # создать матрицу
A <- матрица (c (-3,2,-1,6,-6,7,3,-4,4),byrow = T,nrow=3,ncol=3)
A # напечатать матрицу
b <- матрица (c (-1,-7,-6),nrow=3,ncol=1)
b # матрица печати b
# размерность матрицы A
nrow <- nrow(A)
сейчас
# соедините матрицу A и вектор b
Ugmt.mtx <- cbind(A,b)
Ugmt.mtx
Ugmt.mtx[1,] <- Ugmt.mtx[1,]/Ugmt.mtx[1,1]
for (i in 2:nrow){ # цикл по строкам
  for (j in i:nrow) { # цикл по столбцам
    Ugmt.
        mtx[j, ] <- Ugmt.mtx[j, ] - Ugmt.mtx[i-1, ] * Ugmt.mtx[j, i-1] # заменить значения строки в j-й позиции левыми вычислениями
  }
  Ugmt.mtx[i,] <- Ugmt.mtx[i,]/Ugmt.mtx[i,i]
}
# вывод на печать
Ugmt.mtx

      Выполнив код получаем:

       [1] [2] [3] [4]
[1,] 1 -0,6666667 0,3333333 0,3333333
[2,] 0 1,0000000 -2,5000000 4,5000000
[3,] 0 0,0000000 1,0000000 -1,0000000

      Примечание, чтобы найти значения наших переменных; нам нужно выполнить обратную замену, используя этот вывод. Однако для дальнейшего упрощения мы можем взять приведенную выше матрицу и сделать элементы в верхнем треугольнике равными нулям. Это гарантирует, что нам не нужно выполнять обратную замену в конечном выводе, что может потребовать значительных вычислительных ресурсов. Вместо создания матрицы идентичности по отношению к выходным переменным.

      Этот метод уменьшения матрицы называется методом исключения Гаусса-Жордана. Чтобы лучше понять, как работает этот метод, я рекомендую посетить этот блог.

      Этот метод реализован в R следующим образом:

       A <- matrix(c(-3,2,-1,6,-6,7,3,-4,4),byrow = T,nrow=3 ,nкол=3)
А
b <- матрица (c (-1,-7,-6),nrow=3,ncol=1)
б
# размерность матрицы A
nrow <- nrow(A)
сейчас
# соедините матрицу A и вектор b
Ugmt.mtx <- cbind(A,b)
Ugmt.mtx
Ugmt.mtx[1,] <- Ugmt.mtx[1,]/Ugmt.mtx[1,1]
для (я в 2: nrow) {
  для (j в i:nrow) {
    Ugmt.mtx[j, ] <- Ugmt.mtx[j, ] - Ugmt.mtx[i-1, ] * Ugmt.mtx[j, i-1]
  }
  Ugmt.mtx[i,] <- Ugmt.mtx[i,]/Ugmt.mtx[i,i]
}
для (я в р: 2) {
  для (j в i: 2-1) {
    Ugmt.mtx[j, ] <- Ugmt.mtx[j, ] - Ugmt.mtx[i, ] * Ugmt.mtx[j, i]
  }
}
Ugmt.mtx

      Этот код возвращается.

       [1] [2] [3] [4]
[1,] 1 0 0 2
[2,] 0 1 0 2
[3,] 0 0 1 -1

      Как мы видим, возвращаемый результат содержит точные значения переменных, которые мы решаем.

      Заключение

      В данной статье представлена ​​концепция решения систем линейных уравнений методом исключения Гаусса. Используя редуцированную матрицу, мы определили решение для наших переменных, используя концепцию обратной подстановки.

      No related posts.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *