Уравнение по формуле крамера. Линейные уравнения
Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными
Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.
(2.4)
если 0. Здесь
Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .
Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:
Решение . Находим определитель основной матрицы системы
Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:
Проверка:
Следовательно, решение найдено правильно.
Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место
Теорема
Крамера.
(2.5)
где – определитель основной матрицы , i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .
Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.
Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.
2.4. Определители n-го порядка
Дополнительным
минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый
из данного путем вычеркивания i -й
строки и j -го
столбца. Алгебраическим
дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого
со знаком (–1) i + j ,
т.
е. A ij = (–1) i + j M ij .
Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя
Получаем
Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .
Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
(2.6)
Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (
т.
е.
алгебраические дополнения записывают
в явном виде через миноры.
Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.
2.5. Основные свойства определителей
Разлагая
определитель по какой-либо строке или
столбцу, мы получим n
определителей (n –1)-го
порядка. Затем каждый из этих определителей
(n –1)-го
порядка также можно разложить в сумму
определителей (n –2)-го
порядка. Продолжая этот процесс, можно
дойти до определителей 1-го порядка,
т.е. до элементов матрицы, определитель
которой вычисляется. Так, для вычисления
определителей 2-го порядка придется
вычислить сумму двух слагаемых, для
определителей 3-го порядка – сумму 6
слагаемых, для определителей 4-го порядка
– 24 слагаемых. Число слагаемых будет
резко возрастать по мере увеличения
порядка определителя.
Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы :
.
Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.
Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).
Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.
Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .
Например,
Следствие .
Если
все элементы некоторой строки (столбца)
определителя равны нулю, то и сам
определитель равен нулю .
Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .
Например,
Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:
Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.
Теорема 1
Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное.
Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений:
$x_i = \frac{D_i}{D}$
В чем заключается метод Крамера
- Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
- Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
- Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер крайнего справа столбца.
- После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.
Приёмы для вычисления определителя матрицы
Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:
- Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей — со знаком минус.
Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера
- С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя.
- При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.
Решение систем уравнений методом Крамера
Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:
$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$
Отобразим её в расширенной форме для удобства:
$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$
Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:
$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$
Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:
$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$
$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$
Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:
$x_1 = \frac {D_1}{D}$
$x_2 = \frac {D_2}{D}$
Пример 1
Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.
Решите систему уравнений:
$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 — x_3 = 10 \\ \end{cases}$
Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:
$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 3 = — 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = — 64$
А теперь три других детерминанта:
$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 21 = — 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = — 296$
$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = — 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$
$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 — (-2) \cdot 3 \cdot 10 — (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = — 60$
Найдём искомые величины:
$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$
$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = — 1 \frac {11} {16}$
$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$
2.
Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.
Метод Крамера.
Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).
Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему
Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :
Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:
относительно переменных х и у .
Решение:
Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:
Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:
Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.
Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.
Пример 2 (бесконечное количество решений):
Решить систему уравнений:
относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:
Решение систем методом подстановки.
Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.
и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:
Пример 3 (решений нет, система несовместна):
Решить систему уравнений:
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:
Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки
Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет
Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера — весьма полезный навык.
Системы линейных алгебраических уравнений
Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:
Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!
Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.
Такую систему можно переписать в матричном виде
Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.
Решение СЛАУ методом Крамера
Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.
Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:
Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.
В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:
Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .
А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!
В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.
А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.
Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!
Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.
Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!
Рассмотрим систему уравнений
На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .
метод Гаусса .
Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и
На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .
Корни уравнения находим по формулам:
,
Пример 7
Решить систему линейных уравнений
Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой.
Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.
Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.
Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.
;
;
Ответ : ,
Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.
Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» .
В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.
Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.
Пример 8
Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.
Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).
Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
Находим главный определитель системы:
Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .
Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,
И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:
Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.
Пример 9
Решить систему по формулам Крамера.
Решение : Решим систему по формулам Крамера.
, значит, система имеет единственное решение.
Ответ : .
Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.
Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:
1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).
2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения.
Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.
Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.
Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:
Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.
Пример 10
Решить систему по формулам Крамера.
Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).
Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.
Решение системы с помощью обратной матрицыМетод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).
Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.
Пример 11
Решить систему с матричным методом
Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где
Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы.