Формулы Крамера. Матричный способ решения систем линейных уравнений | Математика
Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое число уравнений и неизвестных
| (1.19) |
Введем три матрицы
Матрица , составленная из коэффициентов системы, является квадратной матрицей порядка . Матрицы и являются столбцовыми и составлены соответственно из неизвестных и свободных членов системы.
Помощь с решением задач
Так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то существует произведение , являющееся столбцовой матрицей тех же размеров, что и матрица . Тогда систему уравнений (1.19) можно записать в форме одного матричного уравнения.
| (1.20) |
Для определения матрицы из (1.
20) допустим, что матрица имеет обратную матрицу определяемую формулой (17). Тогда, умножая обе части (1.20) слева на , получим
| (1.21) |
По определению обратной матрицы ,где единичная матрица порядка . Отсюда
Следовательно, уравнение (1.21) запишется в виде
| (1.22) |
Матричное равенство (1.22) определяет решение заданной системы уравнений в матричной форме. Для определения конкретных значений неизвестных перепишем (1.22) в виде
| , | (1.23) |
где определитель, соответствующий матрице ;
алгебраические дополнения элементов этой матрицы.
Перемножив матрицы в правой части (23), найдем
Отсюда, согласно условию равенства двух матриц, получим
(1. 24) |
Формулы (1.24) и определяют матричный способ решения системы
Для запоминания этих формул и последующего их применения на практике введем группу определителей:
,
Заметим, что определитель получен из заменой его первого столбца на столбец свободных членов, определитель получен из заменой его второго столбца на столбец свободных членов и т.д.. Разложим каждый из определителей по столбцу из свободных членов Тогда
| (1.25) |
Из сравнения полученных результатов (1.25) с числителями равенств (1.24) следует, что решение системы (1.19) можно записать в виде
| (1.26) |
Формулы (1.26) называются формулами Крамера.
ПРИМЕР 1.1.13
Решить по формулам Крамера систему уравнений
Решение.
Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель этой системы.
Так как ,то решение можно найти по формулам Крамера:
Тогда
Ответ: {1;2}.
ПРИМЕР 1.1.14
Решить матричным способом систему уравнений
Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель этой системы:
Так как , то система может быть решена матричным способом.
Составим матрицы
Так как определитель системы , то матрица имеет обратную матрицу , где
Вычислим алгебраические дополнения всех элементов
Тогда
Так как решением является , то
Или Ответ: {1,1,1}
- Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
- Курс математики
Сохранить или поделиться с друзьями
Вы находитесь тут:
Уважаемые студенты
На нашем сайте можно получить помощь по всем разделам математики и другим предметам:
✔ Решение задач
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Подробнее
Стоимость мы сообщим в течение 5 минут
на указанный вами адрес электронной почты.
Если стоимость устроит вы сможете оформить заказ.
Сохранить или поделиться с друзьями
- Решение задач и контрольных
- Написание учебных работ
- Онлайн помощь на экзамене
Подробнее
Помощь с решением
Поиск математических формулРешение задач Решить 📝 три системы матричным способом линейных уравнений
Онлайн-сервис
помощи студентам
Видео о сервисе
Эксперты сайта vsesdal.com проводят работу по подбору, обработке и структурированию материала по предложенной заказчиком теме. Результат данной работы не является готовым научным трудом, но может служить источником для его написания.
Высшая математика
Решить три системы матричным способом линейных уравнений
- Задание
- Обсуждение
1607617
Решение задач
Высшая математика
Заказ выполнен
{3х1-5х2=13, {2х1+7х2=81; {3х1-4х2=-6, {3х1+4х2=18; {5х1+8х2+х3=2, {3х1-2х2+6х3=-7, {2х1+х2-х3=-5;
Это место для переписки тет-а-тет между заказчиком и исполнителем.
Войдите в личный кабинет (авторизуйтесь на сайте) или
зарегистрируйтесь, чтобы
получить доступ ко всем возможностям сайта.
Закажите подобную или любую другую работу недорого
или
Последние размещенные задания
только что
4 минуты назад
5 минут назад
9 минут назад
10 минут назад
10 минут назад
10 минут назад
10 минут назад
10 минут назад
10 минут назад
10 минут назад
10 минут назад
10 минут назад
10 минут назад
11 минут назад
11 минут назад
11 минут назад
11 минут назад
Разместите заказ и получите
предложения с ценами
экспертов
Выберите эксперта
по цене и отзывам
Сдайте работу на проверку
преподавателю
Получите положительную оценку,
оплатите работу и оставьте
отзыв эксперту
Узнать стоимость
Узнать стоимость
Заботимся о вас
и вашем времени
Экономия времени
Теперь у вас есть время на друзей, любимые занятия,
работу и семью
Удобный интерфейс
Современный дизайн, созданный для удобства
пользователей сайта
1.
Сколько стоит помощь?
Цена, как известно, зависит от объёма, сложности и срочности. Особенностью «Всё сдал!» является то, что все заказчики работают со экспертами напрямую (без посредников). Поэтому цены в 2-3 раза ниже.
2. Каковы сроки?
Специалистам под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный, требующий существенных временных затрат. Для каждой работы определяются оптимальные сроки. Например, помощь с курсовой работой – 5-7 дней. Сообщите нам ваши сроки, и мы выполним работу не позднее указанной даты. P.S.: наши эксперты всегда стараются выполнить работу раньше срока.
3. Выполняете ли вы срочные заказы?
Да, у нас большой опыт выполнения срочных заказов.
4. Если потребуется доработка или дополнительная консультация, это бесплатно?
Да, доработки и консультации в рамках заказа бесплатны, и выполняются в максимально короткие сроки.
5. Я разместил заказ. Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?
Да, конечно — оценка стоимости бесплатна и ни к чему вас не обязывает.
6. Каким способом можно произвести оплату?
Работу можно оплатить множеством способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, в терминале, в салонах Евросеть / Связной, через Сбербанк и т.д.
7. Предоставляете ли вы гарантии на услуги?
На все виды услуг мы даем гарантию. Если эксперт не справится — мы вернём 100% суммы.
8. Какой у вас режим работы?
Мы принимаем заявки 7 дней в неделю, 24 часа в сутки.
или
Задать вопрос
Тип работыВыберите тип работыКонтрольнаяРешение задачКурсоваяРефератОнлайн-помощьТест дистанционноДипломЛабораторнаяЧертежОтчет по практикеЭссеОтветы на билетыПрезентацияПеревод с ин.
языкаДокладСтатьяСочинениеМагистерская диссертацияКандидатская диссертацияБизнес-планПодбор литературыШпаргалкаПоиск информацииРецензияДругое
— это все линейные уравнения, которые можно решить матрицами или матричным методом.
Линейные уравнения с двумя переменными Матричная алгебра и приложения
Бен Ф.
спросил 22.04.18Подписаться І 3
Подробнее
Отчет
2 ответа от опытных наставников
Лучший Новейшие Самый старыйАвтор: Лучшие новыеСамые старые
Артуро О. ответил 22.04.18
Репетитор
5,0 (66)
Опытный преподаватель физики для репетиторства по физике
Смотрите таких репетиторов
Смотрите таких репетиторов
Если решение существует и существует столько же независимых линейных уравнений, сколько и неизвестных, вы сможете решить задачу любым способом.
Если вы получаете разные ответы, где-то должна быть математическая ошибка. Насколько велика ваша матрица? У меня есть электронные таблицы для решения систем с матрицами 2×2 и 3×3, и я могу быстро проверить ваши ответы. Если ваша матрица не больше 3×3, введите строки в окне комментариев, и я смогу это проверить.
Голосовать за 0 голос против
Подробнее
Отчет
Томас Р. ответил 22.04.18
Репетитор
4.9 (1407)
Более 25 лет опыта и чувство юмора в отношении математики
Смотрите таких репетиторов
Смотрите таких репетиторов
На самом деле у вас есть два вопроса. Во-первых, выбор метода не должен создавать разные ответы. Это говорит о том, что вы где-то ошиблись.
Матрицы отлично подходят для создания ошибок, поэтому я не удивлюсь, если это было ответственно.
Во-вторых, вы спросили, всякую ли линейную систему можно решить с помощью матрицы. Нет. Некоторые системы не имеют решений. Если это правда, вы обнаружите, что замена приводит к противоречию, например, «0 = 17». Точно так же матрицы также будут давать ошибку.
Голосовать за 0 голос против
Подробнее
Отчет
Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.
Задайте вопрос бесплатно
Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.
ИЛИ
Найдите онлайн-репетитора сейчас
Выберите эксперта и встретьтесь онлайн.
Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.
Решение систем уравнений | ПТК
Написано Дэйв Мартин
- 16.12.2020
- Время чтения: 5 мин.
В математике и инженерии нам часто приходится иметь дело с серией уравнений с равным количеством переменных, которые мы хотим решить. Это известно как система уравнений. Реальные примеры, требующие решения системы уравнений, включают закон Кирхгофа для электрического сопротивления и аэродинамических траекторий. [Это Кирхофф на изображении выше.]
В PTC Mathcad есть несколько методов, которые мы можем использовать для вычисления переменных. К ним относятся:
- Конструкция Solve Block.
- Функция lsolve .
- Символьное решение.
Давайте посмотрим, как использовать каждый из этих методов.
Блоки решения
Блок решения — это специальная структура в Mathcad. Помимо решения систем уравнений, его можно использовать для выполнения оптимизаций — нахождения минимума или максимума функции — и дифференциальных уравнений. Если вы собираетесь использовать Mathcad для инженерных расчетов, я настоятельно рекомендую вам научиться использовать эту конструкцию.
Блок решения запускается с вкладки Math. Он содержит три разных раздела:
- Угадай значения: в этом разделе вы инициализируете переменные, которые вы хотите решить для использования оператора Определение для присвоения значения. Если я не знаю, что использовать, я буду использовать значение 1.
- Ограничения: здесь вы пишете свою систему уравнений. Обратите внимание, что для знака равенства используется оператор сравнения , а не оператор оценки .
- Решатель: создайте вектор для переменных, для которых вы хотите найти решение. Затем используйте оператор Definition , чтобы назначить функцию Find для тех же переменных.
Затем вне блока решения оцените вектор или отдельные переменные, чтобы увидеть решения.
Мне нравятся блоки решения, потому что их можно использовать для решения как линейных, так и нелинейных систем уравнений. Линейная система — это система, в которой все переменные возводятся в первую степень, а уравнение приводит к прямой. В нелинейной системе одна или несколько переменных возводятся в степень выше единицы.
Кроме того, Mathcad предупредит вас, если у вас есть противоречивая система уравнений, то есть такая, для которой не существует решения.
Функция lsolve
Mathcad имеет встроенную функцию для решения линейной системы уравнений, называемую lsolve . Чтобы использовать lsolve , выполните следующие шаги:
- Создайте матрицу, которая содержит коэффициенты переменных в вашей системе уравнений.
- Создайте вектор констант, входящих в правую часть системы уравнений.
- Вычислите функцию lsolve, используя матрицу и вектор в качестве входных данных.
При желании функцию lsolve также можно назначить переменной.
Символьное решение
Иногда, когда у нас есть система уравнений, вместо численного решения мы хотим найти переменные как функции коэффициентов или констант в правой части выражений. Мы можем сделать это с помощью Оператор Symbolic Evaluation и ключевое словоsolve. После выбора ключевого слова решения введите через запятую переменные, которые вы хотите решить символически:
Теперь у вас есть формулы для каждой из переменных.
Заключение
Mathcad предоставляет несколько методов решения систем уравнений. Ознакомившись с этими инструментами, вы сможете применять их к множеству инженерных и математических задач. Я особенно рекомендую научиться использовать блоки решения, так как я нашел их полезными во многих ситуациях.