Решение уравнений в 3 степени: Как решить уравнения 3 степени онлайн

{n-1}+…+a_{n-1}x+a_n.\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

На практике коэффициенты \(a_0, a_1, a_{0-1}\), an всегда являются целыми числами.

\(a_0\) является старшим коэффициентом, который никогда не равен 0.

\(a_n \)— свободный член.

В таких уравнениях степень больше 2.

Чтобы решить уравнение высшей степени надо найти его корни, или обнаружить, что их нет. Корни представляют собой все значения переменной х, которые приводят многочлен к нулю или верному равенству.

Виды уравнений высших степеней:

1. Приведенные целые рациональные уравнения n-й степени.
2. Неприведенные.
3. Дробные рациональные.
4. Кубические.
5. Четвертой степени.
6. Биквадратные.
7. Симметричные. Признаком симметричных уравнений являются равные коэффициенты у одночленов, которые равноудалены от начала и конца многочлена, записанного в стандартном виде и стоящего в левой части уравнения.
8. Сводящиеся к возвратному.

На сегодняшний день в математике нет общих формул, которые бы подходили для решения уравнений высших степеней разных видов. Существуют различные системы для решения разных видов таких уравнений.

Методы решения уравнений высших степеней подразделяются на: стандартные и специальные.

Стандартные:

• разложение на множители;
• введение новой переменной.

Специальные:

• деление на подходящее выражение с переменной;
• выделение полного квадрата;
• схема Горнера;
• деление уголком;
• группировка скобок;
• специальная замена;
• представление дроби в виде двух дробей;
• через построение графика функции;
• метод введения параметра.

Теорема Виета

Теорема Виета применяется для решения приведенных квадратных уравнений. 2+px+q=0,\) то

\(x_1+x_2=-p,\)

\(x_1x_2=q.\)

Чтобы решить уравнения высших степеней по данной системе, их сначала приводят к квадратным уравнениям.

Теорема Безу

Теорема

Теорема Безу — остаток при делении многочлена \(Р(х)\) на линейный многочлен \(х-α\) будет равен \(Р(α):\)

\(q= Р(α).\)

Схема решения:

Пусть \(α\) — корень уравнения \(Р(х)=0.\)

Тогда при замене вместо х на α, получим

\(Р(α)=0.\)

Это означает, что остаток при делении\( Р(х)\) на \(х-α\):

\(Р(α)=0=q.\)

Таким образом, если удалось подобрать корень α, то, в соответствии с теоремой Безу, многочлен \(Р(х)\) нацело разделится на \(х-α\).

Таким образом, данный метод решения уравнения высших степеней предполагает, что мы подбираем корень α.

В соответствии с теоремой Безу, остаток \(q\) при делении многочлена на \(х-α\) будет равен нулю, и мы получим уравнение уже на порядок ниже.

Затем, если оно по-прежнему не квадратное, повторяем процедуры, подбираем новый корень \(\alpha_1\). Снова делим на \(х-\alpha_1.\)

Снова получаем целое число, так как, по теореме Безу, остаток \(q=P(α)\). А если α — это корень, то остаток q равен нулю.

То есть, если корень подходит, то деление будет осуществляться нацело.

Как подобрать корень

Правило 1

Если \(a_0=1, \) \(a_i\in Z, \forall i.\)

Такое уравнение называется приведенным, когда старшая степень входит с коэффициентом, равным единице. Если уравнение приведенное, и \(α\) — целый корень, то \(α\) содержится в множестве делителей свободного члена:

\(\alpha\in\left\{da_n\right\}.\)

Корень уравнения находится среди делителей свободного члена \(a_n.\)

Правило 2

Если \(a_0≠1\), это неприведенное уравнение.

В этом случае необязательно, что корень будет лежать среди делителей свободного члена. Корень может быть нецелым. Если α рациональна, то корень содержится среди дробей вида, где в числителе стоят делители свободного члена, а в знаменателе стоят делители старшего коэффициента:

\(\alpha\in\left\{\frac{dan}{da_n}\right\}. \)

Схема Горнера

По данной схеме корень уравнения находят через делители свободного члена. Метод заключается в составлении таблицы, в которой отображаются в верхней строке все коэффициенты уравнения. А в первый столбик заносятся потенциальные варианты решения, то есть делители свободного члена.

Принцип заполнения таблицы:

1. Во втором столбце во вторую и последующие строчки сносится то, что находится в самом верхнем элементе второго столбика.
2. Чтобы найти число для второй строки третьего столбца, перемножают делитель, стоящий на второй строке, с соответствующим ему числом, находящемся во втором столбце и второй строчке, а затем к этому произведению прибавляют следующий коэффициент, стоящий наискосок.
3. Далее схема повторяется.
4. Продолжаем до тех пор, пока в какой-либо строке не получим нуль.
5. Для каждой новой строки прибавляем коэффициенты, а не числа, полученные в предыдущей строке. 2-6x-3=0.\)

   Сначала выписываем делители свободного члена:

   \(d{-3}:\pm1; \pm3.\)

   Коэффициенты: 1, -4, 6, -3. Их заносим в верхнюю строчку таблицы.

   В первый столбец занесем потенциальные кандидаты в решения, например, -1 и 1.

   В первый столбец запишем единицу. Она просто носится по строкам.

   Чтобы записать ответ во второй строке третьего столбца, умножим единицу на минус единицу и прибавим минус 4:

   \(-1*1+4=-5.\)

   По этому принципу заполняем всю таблицу.

   	1	-4	6	-3
   -1	1	-5	11	-14
   1	1	-3	3	0

   В соответствии с таблицей, мы видим, что корень \(х=1\) подходит. 2+x-2=0.\)

   Корнями первого уравнения являются \(x=-1\pm i\sqrt2\), корнями второго — \(х = 1\) и \(х = -2.\)

   Ответ: \(x_{1,2}=x=-1\pm i\sqrt2\), \(x_3=1, x_4=-2.\)

   Сципион дель Ферро, Джероламо Кардано, Никколо Тарталья . Неоткрытые открытия, или Кто это придумал

   Важнейшими математическими достижениями XVI века были алгебраическое решение уравнений 3-й и 4-й степени и создание алгебраической символики. Новый этап развития алгебры зародился в Италии. В начале XVI века профессор математики Болонского университета Сципион дель Ферро (1465–1526) впервые нашел алгебраическое решение простейшего уравнения третьей степени с положительными коэффициентами. Это решение профессор держал в строгом секрете: о нем знали только два его ученика, в том числе некто Фиоре.

   Знание некоего научного открытия в то время имело особое значение для жизни и карьеры его автора. В Италии того времени практиковались математические поединки-диспуты: на многолюдных собраниях противники предлагали друг другу задачи для решения их немедленно или в определенный срок. Побеждал тот, кто решал большее количество задач. Победитель награждался при этом не только назначенным денежным призом, но и возможностью занять университетскую кафедру или другую должность. А человек, потерпевший на диспуте поражение, часто терял занимаемое им место. В математических диспутах XVI века первое место занимала алгебра, названная «великим искусством», в отличие от арифметики, которую называли «малым искусством». Диспуты проходили в Болонском университете. Здесь в разное время работали ученые с мировым именем: Лука Пачоли, Николай Коперник, Галилео Галилей и другие.

   Для участников алгебраических диспутов было исключительно важно обладать неизвестной еще для других формулой решения того или иного типа уравнений. Вот почему после внезапной смерти дель Ферро его ученик Фиоре, который не славился талантом математика, решил воспользоваться сообщенным ему секретом и вызвать на публичный диспут одного из виднейших математиков того времени — Никколо Тарталью (1499–1557).

   Настоящая фамилия ученого была Фонтана. В детстве он получил тяжелую травму и стал заикаться. Прозвище Тарталья и означает «заика». Несмотря на тяжелые материальные условия, одаренный мальчик упорно овладевал математикой. Когда не было денег на покупку бумаги, он писал свои математические вычисления на заборах и камнях. Ко времени вызова на поединок со стороны Фиоре (1535 г.) Тарталья уже занимал кафедру математики в Вероне и имел славу первоклассного ученого.

   Одной из самых актуальных проблем того времени было алгебраическое решение кубических уравнений «в радикалах», то есть успешные поиски общей формулы, выражающей корни любого уравнения третьей степени в зависимости от коэффициентов при помощи конечного числа алгебраических операций — сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней. Для уравнений второй степени такая формула была известна давно, а вот для уравнений третьей степени до описываемого времени ученые мира такой формулы найти не могли.

   Получив вызов на диспут, Тарталья понял, что Фиоре обладает формулой для решения кубического уравнения, и при подготовке к диспуту все свое внимание сосредоточил на поисках своей формулы. Он работал днем и ночью, и эти труды не пропали даром. «Я приложил все свое рвение, усердие и математическое умение, чтобы найти этот алгоритм, и благодаря благосклонной судьбе мне удалось это сделать за 8 дней до срока», — позже писал он.

   Диспут состоялся 20 февраля 1535 года. Тарталья в течение двух часов решил 30 задач, предложенных ему противником. Фиоре, который не смог решить ни одной из 30 предложенных ему задач, выбранных Тартальей из различных областей математики, признал себя побежденным. После диспута Тарталья прославился на всю Италию, но продолжал держать в секрете найденную им формулу — он собирался опубликовать ее в своем труде по алгебре.

   В 1539 году к Тарталье обратился другой видный итальянский ученый, Джероламо Кардано (1501–1576). Он просил сообщить ему формулу для решения уравнения третьей степени, при этом клятвенно пообещав, что никому не раскроет тайну. Тарталья согласился открыть секрет, однако изложил его в стихотворной форме и лишь частично, таким образом замаскировав полное решение кубического уравнения.

   Но три года спустя Кардано знакомится в Болонье с рукописями покойного профессора дель Ферро и получает полную ясность, а в 1545 году публикует знаменитый труд «О великом искусстве, или Об алгебраических вещах в одной книге», в котором впервые приводит решение уравнения и дает формулы корней. В этой книге содержится также алгебраическое решение уравнения четвертой степени — важнейшее открытие, сделанное одним из его учеников, Луиджи Феррари (1522–1565).

   После выхода в свет книги Тарталья обвинил Кардано в нарушении данной им клятвы. «У меня, — писал Тарталья, — вероломно похитили лучшее украшение моего труда по алгебре».

   Эти формулы по сей день носят имя Кардано, хотя следовало бы их называть формулами Ферро — Тарталья — Кардано.

   О Кардано мы еще поговорим чуть позже, а сейчас следует упомянуть об уравнениях бо’льших степеней.

   Кубическое уравнение не поддавалось решению математиков полторы тысячи лет, но стоило его решить, как буквально тут же было решено в общем виде и уравнение четвертой степени. Сделал это ученик Кардано — Луиджи Феррари. Оказалось, что для решения этого уравнения требуется «по пути» решить вспомогательное уравнение третьей степени.

   А вот уравнение пятой степени ждало своего решения целых три столетия. Лишь в 1826 году норвежский математик Нильс Абель доказал, что не существует общей формулы для решения уравнений пятой степени, как и для уравнений более высоких степеней. Это открытие Абель сделал, когда ему было лишь 24 года, а прожил он всего 27 лет.

   Эварист Г алуа, проживший всего 20 лет, продолжил исследования Абеля и определил, как по виду алгебраического уравнения узнать, решаемо ли оно. Метод, предложенный Галуа, положил начало фундаментальному разделу математики — теории групп. Погиб Галуа на дуэли, а в ночь перед смертью изложил на бумаге свои мысли о математике. {2}-1=0 $$ 92+8x$, что равно $0$ при $x=0$ и при $x=-\frac83$. Поскольку функция кубическая с положительным старшим коэффициентом, она имеет локальный максимум при $x=-\frac83$ и локальный минимум при $x=0$. Если вы вычислите $f\left(-\frac83\right)$ и $f(0)$, вы сможете очень быстро определить, сколько реальных решений имеет уравнение.

   $\endgroup$

   1

   $\begingroup$

   У уравнения есть три решения.

   Чтобы доказать это, посмотрите на значения правой части при следующих значениях $x: -4, -1, 0, 1$. Значения чередуются между положительными и отрицательными, поэтому между каждой парой значений $x$, которые я вам дал, есть корень. Это дает три решения, а кубик может иметь не более трех решений.

   $\endgroup$

   $\begingroup$

   Для кубического уравнения $f(x)$, если $f'(x)$ равно $0$ в точках $a$ и $b$.

   Тогда, если $f(a)f(b)<0$, то уравнение имеет три действительных корня, а если $f(a)f(b)>0$, то оно имеет единственный действительный корень. 92$ при $r \in (0,1)$ всегда положительна (она наименьшая при $r = 1$), поэтому эта квадратичная функция имеет два различных действительных корня, следовательно, $f(x)$ имеет три действительных корня. Теперь осталось показать, различны ли эти корни. Два корня приведенного выше квадратного числа не могут быть равны (иначе дискриминант был бы равен нулю), поэтому мы должны проверить, равен ли $r$ любому из этих двух корней. Уравнивание их дает $r = -8/3$ и $r = 0$ соответственно, ни одно из которых не верно, поэтому мы знаем, что $f(x)$ имеет три различных действительных корня. Никаких вычислений и минимум проб и ошибок (отметим, что изменение знака в $(0,1)$ довольно очевидно).

   $\endgroup$

   Зарегистрируйтесь или войдите в систему

   Зарегистрируйтесь с помощью Google

   Зарегистрироваться через Facebook

   Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

   Опубликовать как гость

   Электронная почта

   Требуется, но никогда не отображается

   Опубликовать как гость

   Электронная почта

   Требуется, но не отображается

   Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

   .

   No related posts.