Решения иррациональных уравнений: Простейшие иррациональные уравнения — урок. Алгебра, 10 класс.

Иррациональные уравнения. Решение иррациональных уравнений.

Иррациональные уравнения – это один из видов уравнений, изучаемых на уроках математики в школе. Сейчас мы познакомимся с иррациональными уравнениями: узнаем определение иррациональных уравнений, рассмотрим примеры, взглянем на простейшие иррациональные уравнения. После этого переключимся на решение иррациональных уравнений: запишем универсальный алгоритм, изучим все методы решения иррациональных уравнений и детально разберем примеры решения иррациональных уравнений.

Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения – это… Определение

Определение

Иррациональные уравнения – это уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня.

Приведенное определение объективно является самым простым, понятным и удобным определением иррационального уравнения. Оно позволяет по одному взгляду на уравнение определить, является оно иррациональным уравнением или нет: для этого нужно лишь посмотреть, есть переменная под знаком корня или нет.

Необходимо заметить, что в некоторых учебниках алгебры и начал анализа иррациональные уравнения определяются немного иначе. В одних книгах уточняется вид выражений, которые могут находиться под знаками корней, в других – к иррациональным уравнениям причисляют уравнения с переменной, находящейся в основании степени с дробным рациональным показателем. Эти нюансы раскрыты в материале что такое иррациональные уравнения. Там же упомянуто про иррациональные уравнения с несколькими переменными и про иррациональные уравнения с параметром.

К началу страницы

Примеры иррациональных уравнений

Запишем несколько иррациональных уравнений, отвечающих определению из предыдущего пункта:

Во всех записанных уравнениях есть переменная под знаком корня, значит, это иррациональные уравнения.

К началу страницы

Простейшие иррациональные уравнения

В некоторых задачниках можно встретить словосочетание «простейшие иррациональные уравнения». Обычно под простейшими иррациональными уравнениями понимают иррациональные уравнения, которые можно описать формулой или более общей формулой , где f(x) и g(x) – некоторые рациональные выражения, часто многочлены, причем низких степеней, первой или второй. Вот примеры простейших иррациональных уравнений: , и т.п. За более полной информацией обращайтесь к статье что такое простейшие иррациональные уравнения.

К началу страницы

Решение иррациональных уравнений

Алгоритм решения иррациональных уравнений

Решение иррациональных уравнений проводится в соответствии с универсальным алгоритмом решения иррациональных уравнений. Чтобы решить иррациональное уравнение, надо:

1. Выбрать подходящий метод решения
2. Провести решение.

К началу страницы

Методы решения иррациональных уравнений

Решение иррациональных уравнений упирается в

• знание методов решения иррациональных уравнений,
• умение выбирать подходящий метод в каждом конкретном случае
• и в умение проводить решение иррационального уравнения выбранным методом.

Сейчас мы перечислим и разберем все основные методы решения иррациональных уравнений, после этого дадим рекомендации по выбору метода.

Из представленной таблицы видно, что для решения иррациональных уравнений используются практически все известные методы решения уравнений. Давайте уделим внимание каждому из них:

• Метод решения иррациональных уравнений по определению корня наиболее удобно использовать при решении иррациональных уравнений , в левых частях которых находятся корни, а в правых – числа. В частности, метод позволяет констатировать отсутствие решений в случае четного показателя корня и отрицательного числа в правой части. Например, иррациональное уравнение с квадратным корнем в левой части и отрицательным числом в правой части не имеет решений. В случае неотрицательного числа в правой части или нечетного показателя корня иррациональное уравнение по определению корня заменяется решением уравнения Cⁿ=f(x). Так решение иррационального уравнения заменяется решением уравнения 2²=x²−5, а от иррационального уравнения можно перейти к уравнению (−1) ³=x+5.

  Метод решения иррациональных уравнений по определению корня применяется и для решения иррациональных уравнений , с корнем в левой части и некоторым выражением с переменной в правой части. В случае четных показателей корня решение иррационального уравнения по методу решения через определение корня заменяется решением системы , а в случае нечетных показателей корня решение уравнения заменяется решением уравнения g^2·k+1(x)=f(x). Например, иррациональное уравнение по определению корня можно заменить системой , а от иррационального уравнения перейти к уравнению (x+1)³=x³+4·x²+3·x−3.

• Самым характерным методом решения иррациональных уравнений является, пожалуй, метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень. Его целесообразно применять тогда, когда возведение обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень позволяет избавиться от знаков корней. В этом свете первыми на ум приходят иррациональные уравнения с корнем в одной из частей и числом или выражением без знаков корней в другой части. Приведем пример: иррациональное уравнение по методу возведения обеих частей уравнения в квадрат сводится к уравнению 1−5·x=(x−3)
  2, не содержащему знаков корней в записи. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень позволяет решать и многие другие иррациональные уравнения более сложного вида с двумя, тремя и большим количеством корней в записи, с корнями под корнями и т.д. Например, методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень могут быть решены следующие иррациональные уравнения: , , и т.п. При этом к возведению частей уравнения в степень приходится прибегать несколько раз и пользоваться дополнительным техническим приемом, называемым уединение радикала.
  Наконец, необходимо помнить, что при решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в четную степень (в квадрат, четвертую, шестую и так далее) необходимо проводить отсеивание посторонних корней.
• Метод введения новой переменной широко применяется при решении иррациональных уравнений. Самым верным признаком того, что иррациональное уравнение может быть решено методом введения новой переменной является присутствие переменной только в составе одинаковых выражений. Например, в иррациональном уравнении переменная находится только в составе корней , значит, для решения целесообразно использовать метод введения новой переменной. Обязательно стоит изучить возможность введения новой переменной в случаях, когда в иррациональных уравнениях фигурируют корни с одинаковыми подкоренными выражениями, но разными показателями корня, корни из взаимно обратных выражений. Для наглядности приведем несколько характерных иррациональных уравнений: , .
• Метод разложения на множители используется для решения иррациональных уравнений, в левой части которых находится произведение нескольких выражений с переменной, а в правой – нуль. Например, он подходит для решения иррационального уравнения . Это иррациональное уравнение по методу разложение на множители на области допустимых значений переменной x для этого уравнения заменяется совокупностью трех уравнений x−2=0, x²−x−12=0 и .
• Решение иррациональных уравнений почти никогда не обходится без проведения преобразований. Преобразования проводятся в согласии с методом решения уравнений через преобразования. Самыми характерными для иррациональных уравнений являются преобразования, базирующиеся на определении корня и свойствах корней. При их проведении необходимо внимательно следить за тождественностью и за областью допустимых значений при замене одного выражения другим. Эти моменты детально разобраны на примере решения иррационального уравнения . Также очень широко используются и другие преобразования, хорошо известные к моменту изучения иррациональных уравнений, такие как перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением их знаков на противоположные, умножение и деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число и др. Например, вынесение за скобки общего множителя в уравнении позволяет проводить дальнейшее решение методом разложения на множители.
• Метод решения уравнений, сводящихся к числовым равенствам, применяется для решения иррациональных уравнений, которые в результате проведения преобразований сводятся к числовым равенствам. Например, с его помощью могут быть решены иррациональные уравнения и . Первое из них сводится к верному числовому равенству 0=0, его решением является любое число из ОДЗ. А второе иррациональное уравнение сводится к неверному числовому равенству 0=3, оно решений не имеет.
• Решение иррациональных уравнений с дробью в левой части и нулем в правой части проводится методом решения уравнений «дробь равна нулю». Например, указанный метод решения уравнений подходит для решения иррационального уравнения . По этому методу на ОДЗ для исходного уравнения нужно решить уравнение, являющееся результатом приравнивания числителя дроби к нулю.
• Метод освобождения от внешней функции применяется для решения иррациональных уравнений, имеющих вид h(f(x))=h(g(x)), где внешняя функция h принимает каждое свое значение только один раз. Выполнение указанного условия позволяет отбросить внешнюю функцию и перейти к уравнению f(x)=g(x) на ОДЗ для исходного иррационального уравнения. Методом освобождения от внешней функции можно решить, например, иррациональное уравнение .
• Метод решения уравнений по ОДЗ позволяет решать иррациональные уравнения, ОДЗ для которых есть пустое множество или состоит из нескольких чисел. Приведем пример: для иррационального уравнения ОДЗ есть пустое множество, это позволяет констатировать, что уравнение не имеет решений.
• Когда все упомянутые выше методы решения иррациональных уравнений не позволяют справиться с заданным иррациональным уравнением остается надежда на функционально-графический метод решения уравнений.
• Графический метод решения уравнений может выручить, когда функции, отвечающие частям иррационального уравнения, довольно простые в плане построения графиков. В частности, графически могут быть решены иррациональные уравнения и .
• Решение иррациональных уравнений проводится методом решения уравнений через возрастание-убывание, когда очевиден или легко подбирается корень иррационального уравнения, а также просматривается возможность обосновать возрастание одной из функций, отвечающих частям уравнения, и убывание другой функции. Например, несложно подобрать корень иррационального уравнения , также несложно обосновать убывание функции в левой части уравнения и возрастание функции в правой части уравнения.
• Иногда решить иррациональное уравнение позволяет метод оценки. Это касается тех случаев, когда не видно альтернативных более простых методов решения иррациональных уравнений, а также есть возможность получить подходящие оценки значений частей уравнения. В качестве примера приведем иррациональное уравнение . Оценки его частей и позволяют получить решение.
• В особо хитрых случаях приходится искать какие-либо специфические методы решения иррациональных уравнений.

Итак, мы рассмотрели все основные методы решения иррациональных уравнений. Хорошее владение ими позволяет довольно быстро выбрать подходящий метод решения для каждого конкретного иррационального уравнения. Также в этом помогают следующие рекомендации по выбору метода решения иррационального уравнения.

К началу страницы

Примеры решения иррациональных уравнений

В этом пункте собраны примеры решения иррациональных уравнений. На них мы разберем все основные тонкости, возникающие при решении иррациональных уравнений. Для удобства разобьем примеры по группам в соответствии с применяемыми методами решения.

Первыми рассмотрим примеры решения иррациональных уравнений по определению корня. Три следующих примера демонстрируют, как определение корня позволяет решать иррациональные уравнения с корнем в левой части и числом в правой части:

Пример

Решить иррациональное уравнение

Смотреть решение

Пример

Решите уравнение

Смотреть решение

Пример

Решите иррациональное уравнение

Смотреть решение

Теперь разберем все тонкости использования определения корня для перехода от иррационального уравнения к системе . Вот соответствующие примеры с решениями:

Пример

Решить уравнение

Смотреть решение

Пример

Решите уравнение

Смотреть решение

Пример

Имеет ли решения иррациональное уравнение

Смотреть решение

Пример

Решите иррациональное уравнение

Смотреть решение

В первой группе примеров осталось рассмотреть пример решения иррационального уравнения с корнем нечетной степени в левой части, то есть, уравнения . Метод решения по определению корня предписывает в таком случае осуществить переход к уравнению g^2·k+1(x)=f(x).

Пример

Найдите решение иррационального уравнения

Смотреть решение

За подробностями обращайтесь к материалу решение иррациональных уравнений по определению корня.

Переходим к примерам решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. В первом примере возведение обеих частей уравнения в квадрат приводит к уравнению, не имеющему корней. Это позволяет утверждать, что исходное иррациональное уравнение не имеет корней.

Пример

Решить иррациональное уравнение

Смотреть решение

Возведение обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же четную степень (в квадрат, четвертую, шестую и т. д.) может приводить к появлению посторонних корней. По этой причине решения следующих иррациональных уравнений заканчиваются отсеиванием посторонних корней:

Пример

Решите иррациональное уравнение

Смотреть решение

Пример

Решить иррациональное уравнение

Смотреть решение

Пример

Решить иррациональное уравнение

Смотреть решение

Возведение обеих частей уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием и не приводит к появлению посторонних корней. Разберем пример решения иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в куб:

Пример

Решить иррациональное уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень

Смотреть решение

Решению иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в натуральную степень часто предшествует так называемое уединение радикала (произведения радикалов, дроби с радикалами). Давайте разберем примеры решения иррациональных уравнений, в которых приходится прибегать к уединению радикала:

Пример

Решить иррациональное уравнение , пользуясь возведением обеих частей в одну и ту же степень.

Смотреть решение

Пример

Решите уравнение

Смотреть решение

Уединение радикала вместе с возведением обеих частей уравнения в одну и ту же степень позволяет решать иррациональные уравнения с двумя, тремя и большим количеством корней в записи, с корнями под корнем и др. Вот соответствующие примеры с решениями:

Пример

Решите уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень.

Смотреть решение

Пример

Решите иррациональное уравнение

Смотреть решение

Пример

Решить уравнение

Смотреть решение

Пример

Решить иррациональное уравнение

Смотреть решение

Пример

Решите иррациональное уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень

Смотреть решение

Более полная информация дана в статье решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Дальше рассмотрим примеры решения иррациональных уравнений методом введения новой переменной. Начнем с примеров, в которых очевидно выражение для замены на новую переменную:

Пример

Решить иррациональное уравнение

Смотреть решение

Пример

Решите уравнение

Смотреть решение

Пример

Решить иррациональное уравнение

Смотреть решение

Пример

Решите иррациональное уравнение

Смотреть решение

В иррациональных уравнениях выражения, подходящие для его замены на новую переменную, часто скрываются за числовыми коэффициентами, отличающимися показателями корней, взаимно обратными дробями и т.п. Давайте остановимся на решении подобных показательных уравнений:

Пример

Решить иррациональное уравнение

Смотреть решение

Пример

Решите уравнение

Смотреть решение

Пример

Решить иррациональное уравнение

Смотреть решение

Пример

Решить иррациональное уравнение

Смотреть решение

Бывает, что возможность введения новой переменной открывается только после проведения довольно серьезных преобразований иррационального уравнения. Следующий пример с решением служит хорошей иллюстрацией сказанного:

Пример

Решить уравнение

Смотреть решение

В статье решение иррациональных уравнений методом введения новой переменной фигурируют и другие интересные примеры с решениями.

Переходим к примерам решения иррациональных уравнений методом разложения на множители:

Пример

Решите иррациональное уравнение

Смотреть решение

Пример

Решить уравнение

Смотреть решение

Часто перед применением метода разложения на множители требуются предварительные преобразования, направленные на получение произведения в левой части уравнения и нуля в правой части. Такие примеры с решениями есть в статье решение иррациональных уравнений методом разложения на множители.

Раз уж мы в предыдущем абзаце упомянули про проведение преобразований, то стоит на примерах разобраться с преобразованием иррациональных уравнений. Давайте рассмотрим решения нескольких иррациональных уравнений с упором на проведение преобразований:

Пример

Решить иррациональное уравнение

Смотреть решение

Пример

Решите иррациональное уравнение

Смотреть решение

Пример

Решите уравнение

Смотреть решение

Пример

Решите иррациональное уравнение

Смотреть решение

Другие примеры проведения преобразований содержатся в материале решение иррациональных уравнений через преобразования.

Дальше на примерах разберем, как проводится решение иррациональных уравнений, сводящихся к числовым равенствам. Покажем решения двух примеров: в первом случае иррациональное уравнение в результате проведения преобразований сводится к неверному числовому равенству, из чего делается вывод об отсутствии решений, во втором случае – к верному, откуда следует вывод, что решением уравнения является любое число из ОДЗ.

Пример

Решите уравнение

Смотреть решение

Пример

Решите иррациональное уравнение

Смотреть решение

Но если в цепочке преобразований, приводящих иррациональное уравнение к верному числовому равенству, есть преобразование, заключающееся в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то нельзя утверждать, что решением уравнения является любое число из ОДЗ. Пример, объясняющий этот момент, есть в статье решение иррациональных уравнений, сводящихся к числовым равенствам.

Решение иррациональных уравнений, в левой части которых находятся дроби, а в правой части – нули, сводится к решению уравнений «числитель равен нулю» на ОДЗ для исходного уравнения. Рассмотрим примеры решения иррациональных уравнений «дробь равна нулю»:

Пример

Решите иррациональное уравнение

Смотреть решение

Пример

Решите уравнение

Смотреть решение

Более полная информация содержится в статье решение иррациональных уравнений «дробь равна нулю».

А вот пример решения иррационального уравнения методом освобождения от внешней функции:

Пример

Решите иррациональное уравнение

Смотреть решение

Теорию и другие примеры с решениями смотрите в материале решение иррациональных уравнений методом освобождения от внешней функции.

Иногда решение иррациональных уравнений упирается в нахождение ОДЗ. Это касается случаев, когда ОДЗ является пустым множеством или состоит из нескольких чисел. Все необходимые разъяснения содержатся в статье решение иррациональных уравнений через ОДЗ. Здесь приведем решения соответствующих примеров:

Пример

Решите уравнение

Смотреть решение

Пример

Решите иррациональное уравнение

Смотреть решение

Переходим к примерам решения иррациональных уравнений графическим методом. Покажем решения двух уравнений, на них разберем, как и когда графики функций позволяют получать решения уравнений:

Пример

Решите иррациональное уравнение

Смотреть решение

Пример

Решить уравнение

Смотреть решение

Более полно тема освещена в статье решение иррациональных уравнений графическим методом.

А вот пример решения иррационального уравнения через возрастание-убывание:

Пример

Решите уравнение

Смотреть решение

В статье решение иррациональных уравнений через возрастание-убывание разобрано решение еще одного более сложного примера.

Завершим серию примеров примерами решения иррациональных уравнений методом оценки:

Пример

Решить иррациональное уравнение

Смотреть решение

Пример

Решите иррациональное уравнение методом оценки.

Смотреть решение

Другие примеры использования метода оценки смотрите в статье решение иррациональных уравнений методом оценки.

Иррациональные уравнения — что это, определение и ответ

Иррациональное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня или возведённое в степень, которую нельзя свести к целому числу.

ПЕРВЫЙ ТИП ИРРАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ «КОРЕНЬ=ЧИСЛО»:

\(\sqrt{f(x)} = a\)

Решение:

\(\left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0 \\ a \geq 0 \\ f(x) = a^{2} \\ \end{matrix} \right. {2}\)

Пример №1:

Решим уравнение:

\(\sqrt{3x} = 6\)

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, при условии, что они неотрицательные.

\(\left\{ \begin{matrix} 3x \geq 0 \\ 6 \geq 0 \\ 3x = 36 \\ \end{matrix} \right.\ \)

2. Определить знак числа справа можно сразу, 6 – положительное число, а значит больше нуля. В первом неравенстве выразим «х», получим:

\(\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 3x = 36 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x = 12 \\ \end{matrix} \right.\ \)

3. Система имеет решение при \(x = 12\). Запишем ответ.

Ответ: 12.

Если a < 0, то решений нет

Например, решим уравнение:

\(\sqrt{3x} = \ –6\)

1. Составим систему:

\(\left\{ \begin{matrix} 3x \geq 0 \\ –6 \geq 0 \\ 3x = 36 \\ \end{matrix} \right.\ \)

2. Второе неравенство не имеет смысла, поэтому вся система не имеет решений.

Ответ: \(\mathbf{\varnothing}\)

То, что мы с вами сейчас сделали будет верно для любого корня четной степени. {n}\)

Пример №2:

Решим уравнение:

\(\sqrt[3]{3x} = \ –6\)

1. Видим корень нечетной степени – сразу возводим в эту степень обе части:

\(\sqrt[3]{3x} = \ –6\)

\(3x = \ –216\)

\(x = \ –72\)

2. Записываем ответ. Уравнение не имеет никаких ограничений.

Ответ: –72.

ВТОРОЙ ТИП ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ «КОРЕНЬ=КОРЕНЬ»:

\(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\)

Решение:

Если и слева и справа будет стоять корень алгоритм остается тот же: записываем ОДЗ и возводим обе части в квадрат.

\(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x) = g(x) \\ \end{matrix} \right.\ \)

Пример №3:

Решим уравнение:

\(\sqrt{–2x + 6} = \sqrt{15 + x}\)

1. Составим систему:

\(\left\{ \begin{matrix} –2x + 6 \geq 0 \\ 15 + x \geq 0 \\ –2x + 6 = 15 + x \\ \end{matrix} \right.\ \)

2. {2}\ –\ 20x + 36 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)

5. Решим квадратное уравнение через теорему Виета:

\(\left\lbrack \frac{x_{1} = 18}{x_{2} = 2} \right.\ \)

Только \(x = 2\) является уравнением системы. Это значение переменной и запишем в ответ.

Ответ: 2.

ПЯТЫЙ ВИД ИРРАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ «КОРЕНЬ – КОРЕНЬ = ЧИСЛО»:

\(\sqrt{f(x)}\ –\ \sqrt{g(x)} = a\)

Решение:

\(\sqrt{f(x)} = a + \sqrt{g(x)}\)

И решаем такое уравнение как четвертый вид «корень + корень = число».

2}\big].$$ LHS обращается в нуль для $\pm 1$ и $2$. RHS обращается в нуль для $-1$ и $\pm2$. Таким образом, два корня равны $-1$ и $2$.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Поскольку правая часть остается положительной, а левая остается отрицательной от $-1$ до $2$, между ними больше нет корней. В диапазоне от $-\sqrt 5$ до -1 LHS больше RHS, а в диапазоне от $2$ до $\sqrt 5$ LHS меньше RHS

$\endgroup$

2

92-14x=-x

как я могу сказать, являются ли его решения рациональными или иррациональными??

Подписаться І 1

Подробнее

Отчет

2 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: ЛучшиеНовыеСамыеСтарые

Кертис Х. ответил 16.04.20

Репетитор

Новое в Византе

Поддерживающий и эффективный репетитор, специализирующийся на математике + подготовка ко всем тестам

См. таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Дискриминант определяет количество и тип решений любого квадратного уравнения. Дискриминант — это часть квадратной формулы ((-b±√(b ² -4ac))÷2a, где ax ² + bx + c = 0) под квадратным корнем: Таким образом, значение b ² -4ac определяет количество и типы решений любого квадратного уравнения.

Если b ² -4ac = 0, то существует одно рациональное решение

Если квадратный корень из b ² -4ac > 0 и является целым числом, то существует два рациональных решения

Если квадратный корень из b ² -4ac > 0 и не является целым числом, то имеются два иррациональных решения

Если b ² -4ac < 0, то имеются два сложных (ни рациональных, ни иррациональных) решения 92-4(2)(0) = 169 Квадратный корень из 169 = 13, поэтому есть два рациональных решения. Используя формулу квадрата, получаем решения (13-13)÷2(2)=0 и (13+13)÷2(2)= 61/2.

Голосовать за 0 Понизить

Подробнее

Отчет

Марк М. ответил 15.04.20

Репетитор

5,0 (265)

Учитель математики — высококвалифицированный специалист NCLB

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

2x ² + x — 14 = 0

Проверить b ² — 2ac из квадратичной формулы

1 + 56

57

Квадратный корень из 57 иррационален.

Голосовать за 0 Понизить

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощи? Получите правильный ответ, быстро.