Решения неравенств с модулями: Уравнения и неравенства с модулем

Содержание

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

Учебник для

общеобразовательных

учреждений. Базовый и

профильный уровень

(Оформление и автор интерактивных технологий Морозова Е.)

Объяснение и обоснование

Решать любое уравнение или неравенство, содержащее знак модуля, можно одним из трех основных способов: по определению модуля, исходя из геометрического смысла модуля или по общей схеме. Некоторые уравнения или неравенства с модулем могут быть также решены с использованием специальных соотношений.

В зависимости от выбранного способа решения получаем разные записи решения.

Пример Решите уравнение | 2x – 4 | = 6.

I способ (по определению модуля)

II способ (использование геометрического смысла модуля)

Замечание. При решении уравнения с использованием геометрического смысла модуля знак модуля раскрывается неявно, то есть определение модуля в явном виде не применяется.

Общая схема решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля — это фактически немного измененный метод интервалов. Поясним содержание этой схемы на примере уравнения с двумя модулями вида

|f (x)| + |g (x)| = a (a > 0).

Чтобы решить это уравнение, необходимо раскрыть знаки модулей, а для этого необходимо знать, где функции f (x) и g (x) будут положительными, а где — отрицательными. То есть фактически мы должны решить неравенства

f (x) ≥ или ≤0, (1)

g (x) ≥ или ≤0. (2)

Каждое из этих неравенств мы умеем решать методом интервалов. Перестроим прием решения неравенств методом интервалов таким образом, чтобы он давал возможность одновременно решать каждое из последних неравенств. Как известно, решение неравенства (1) методом интервалов начинается с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции f (x)), а решение неравенства (2) — с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции g (x)). Чтобы начать одновременно решать оба неравенства, необходимо найти общую область определения для функций f (x) и g (x), то есть

найти ОДЗ данного уравнения (это и есть первый из ориентиров необходимой схемы).

Чтобы продолжить решение неравенств f (x) ≥или≤0 и g (x) ≥или≤ 0 методом интервалов, необходимо найти нули функций f (x) и g (x), то есть найти нули всех подмодульных функций (это и есть второй ориентир).

Если далее применить схему метода интервалов одновременно для двух неравенств, необходимо на ОДЗ отметить нули подмодульных функций и разбить ОДЗ на промежутки (это третий ориентир).

В каждом из полученных промежутков знаки функций f (x) и g (x) не могут измениться. Тогда мы можем

найти знаки подмодульных функций на каждом промежутке (в любой точке этого промежутка), раскрыть знаки модулей и найти решение данного уравнения в каждом из этих промежутков (это и есть четвертый ориентир общей схемы).

Обоснование возможности применения приведенной схемы к решению неравенств с модулями проводится аналогично.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Вопросы для контроля

Объясните, какими способами можно решать уравнения и неравенства, содержащие знак модуля. Проиллюстрируйте эти способы на примерах.
Обоснуйте специальные соотношения. Проиллюстрируйте их применение к решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.
Обоснуйте обобщения использования геометрического смысла модуля. Проиллюстрируйте их применение к решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.

Упражнения

Решите уравнения и неравенства, содержащие знак модуля (1–15).

Постройте график функции

ТЕСТ

Уравнения и неравенства

Неравенства с модулем. Способы решения неравенств с модулями

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

Неравенства с модулем

2. Способы решения неравенств с модулями:

2
1. По определению модуля
2. Возведение обоих частей неравенства
в квадрат
3. Замена переменной
4. Раскрытие модуля на промежутке
знакопостоянства
5. Равносильность неравенств системам
6. Важный частный случай

3. 1.По определению модуля

3
| f (x) | < а
-a
|3x-1|<7
-7< 3x-1 <7
-6< 3x <8
8
-2< x <
3
8
Ответ: 2;
3
| f (x) |> а
a
5x 2 4
-a
a
5 x 2 4
5 x 2 4
5 x 6
5 x 2
2 6
Ответ : ; ;
5 5

4. 2.Возведение обеих частей в квадрат

4
|x2-1| > |x2-x|
(x2-1)2 > (x2-x)2 — равносильность не нарушена
(x2-1+ x2-x)(x2-1-x2+x) > 0 – разность квадратов
(2×2-x-1)(x-1) > 0
—
+
1
2
+
1

5. 3.Замена переменной

5
+
-2
0
—
+
3
t

6.

4. Раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства6
|x-1| + |2-x| > 3
x-1
—
2-x
+
1
+
Нули подмодульных выражений: x =1 и x =2
2
+
+
—
а)
б)
в)
x 1
( x 1) 2 x 3
x 1
x 0
1 x 2
x 1 x 3
x 2
x 3 x 3
x 2
x 3
0
1
х ;0
1 x 2
1 3 неверное
Ответ : ;0 3;
2
3
х 3;

7. 5. Равносильность неравенств системам или их совокупности

7
См. решение по определению
Равносильно неравенству:
Можно записать в виде
системы
Неравенство равносильно двум
неравенствам:
Можно записать в виде совокупности

8. 5. Равносильность неравенств системам (примеры)

8
№1
3x | 2 x | 5
№2
5 x 7 | x 2 |
| 2 x | 5 3x
| x 2 | 5 x 7
2 x 5 3 x
2 x 3 x 5
1
x 1 2
x 1 3
4
x 2 5x 7
x 2 7 5x
1
x 2 4
x 5
6
1
Ответ : ( ;1 ]
2
1
Ответ : ( ;2 )
4

9.

6. Один частный случай 9
x 1
1
x 2
x 1
x 2
ОДЗ : x 2
1
умножим на |x+2|>0 в ОДЗ
| x 1 | | x 2 |
возведем в квадрат, обе части
( x 1 x 2)( x 1 x 2) 0
(2 x 1)( 3) 0
2x 1 0
x 12
для преобразования используем
разность квадратов
Учитывая ОДЗ, получим:
1
Ответ : ( ; 2) ( 2; )
2
Обучающая самостоятельная работа
10
Метод решения
1. По определению модуля
условие
ответы
(-5; 1)
По определению модуля
По определению модуля
По определению модуля
(-∞; −2) ∪ (−2; −0,5)
2. Возведение обеих частей в
квадрат
3. Раскрытие модуля на
промежутках

знакопостоянства
4. Замена переменной
Замена переменной
5. Замена совокупностью
систем
0; 2
11

English Русский Правила

Рациональные и модульные неравенства | Понятие и вопросы

Рациональные неравенства:

Неравенства вида (ax+b/cx+d) < k или (ax+b/cx+d) > k называются рациональными неравенствами, где ax + b и cx + d являются линейными алгебраическими выражениями. Для решения рациональных неравенств необходимо выполнить следующие шаги.

Рекомендуемое действие

БЕСПЛАТНЫЕ живые мастер-классы от нашего звездного факультета с более чем 20-летним опытом. Зарегистрируйтесь сейчас

Приравняем правую часть к нулю, переставив постоянный член в левую часть.
Решите левую часть так, чтобы она приняла форму mx+1/nx+p <0 или mx+1/nx+p >0 Убедитесь, что ‘m’ и ‘n’, которые являются коэффициентами ‘x’ в числителе и знаменателе положительны.

Приравняйте числитель и знаменатель к нулю, чтобы получить критические точки. Поместите эти точки на числовую прямую. Числовая строка будет разделена на три части. Крайняя правая часть дает решение положительных неравенств, средняя часть дает решение отрицательных неравенств, а самая левая часть дает решение положительных неравенств.

Решим несколько задач на рациональное неравенство:

Иллюстрация 1: Решить 3x+5/5x-2<0

Решение: Имеем 3x+5/5x-2>0

90 004 Вот правая часть уже равна нулю.

Так что здесь нам не нужно делать никаких расчетов. Чтобы получить критические точки, приравняйте числитель и знаменатель к нулю.

У нас есть 3x + 5 = 0 ⇒ x=(-5/3) и 5x – 2 = 0 ⇒ x = 2/5

Нанесите эти точки на числовую прямую.

Так как данное неравенство отрицательное, то решение (-5/3)< x < (2/5)

Модульные неравенства или абсолютные неравенства

Неравенства вида |ax + b| < k или |ax + b| > k называются модульными или абсолютными неравенствами.

Чтобы решить эти неравенства, помните о следующих правилах:

Если |x| < а, тогда – а < х < а
Если |х| > а, то либо х > а, либо х < - а
Если |х – л| < a, то l – a < x < l + a
Если |х – л| > a, то либо x > l + a, либо x < l – a.

Давайте попробуем ответить на вопросы о модульном неравенстве:

Иллюстрация 2: Решить |x – 3| < 5.

Решение: Имеем |x – 3| < 5
⇒ — 5 < x – 3 < 5 (Если |x| < a, то – a < x < a)
⇒ 3 – 5 < x < 3 + 5 (Одно и то же число может быть добавлено с обеих сторон неравенство)
⇒ -2 < x < 8, что и является требуемым решением.

Предлагаемое действие:

Начните подготовку с БЕСПЛАТНОГО доступа к 25+ макетам, 75+ видео и 100+ тестам по главам. Зарегистрируйтесь сейчас

Иллюстрация 3: Решите |8x + 5| < 9.
Решение: Имеем |8x + 5| < 9.
⇒ — 9 < 8x + 5 < 9 (Если |x| < a, то – a < x < a)
⇒ — 5 – 9 < 8x < 9 – 5 (Одно и то же число может быть добавлено с обеих сторон неравенства)
⇒ — 14 < 8x < 4
⇒ -14/8 < x < 4/8
⇒ -7/4 < x < 1/2, что и является требуемым решением.

Решение абсолютных неравенств — объяснение!

Purplemath

Есть много возможностей для ошибок с абсолютными неравенствами, поэтому давайте рассмотрим эту тему медленно и попутно посмотрим на несколько полезных иллюстраций. Когда мы закончим, надеюсь, у вас будет хорошая картина происходящего в голове, и вы не совершите некоторые из наиболее распространенных ошибок. Как только вы поймете, как работает это неравенство, все окажется не так уж и плохо.

Содержимое продолжается ниже

MathHelp.

com

Неравенства абсолютного значения

(Примечание: этот урок охватывает линейных неравенств абсолютного значения.)

Что такое абсолютные значения?

Вспомните первоначальное определение абсолютных значений как расстояния: «| x | это расстояние x от нуля». Например, и −2, и +2 — это две единицы от нуля, как вы можете видеть на изображении ниже:

Это означает, что их абсолютные значения будут равны 2; то есть имеем:

| −2 | = | +2 | = 2

Имея в виду это определение и картинку, давайте рассмотрим некоторые абсолютные неравенства.

Как решить абсолютные неравенства «меньше чем»?

Чтобы решить неравенство абсолютного значения «меньше чем», мы используем определение абсолютного значения, чтобы переформулировать неравенство как неравенство, состоящее из трех частей; то есть учитывая | м x + б | < c , преобразуйте это в:

− c < m x + б < +; c

Затем решите полученное линейное неравенство из трех частей, чтобы получить переменную в середине.

Это неравенство. Если решением абсолютного значения уравнения являются точки (как на графике выше), то решением абсолютного значения неравенства (или «неравенства») будут интервалы.

В этом неравенстве меня просят найти все значения x , которые отличаются от нуля менее чем на три единицы в любом направлении , поэтому решением будет набор всех точек, которые находятся на расстоянии менее трех единиц от нуля. Во-первых, я нарисую числовую линию:

Глядя на неравенство, я вижу, что число 1 будет работать как решение, как и −1, потому что каждое из них меньше трех единиц от нуля. Число 2 будет работать, как и −2. Но 4 не подойдет, равно как и −4, потому что они слишком далеки от нуля. Даже 3 и −3 не будут работать (хотя они находятся прямо на краю), потому что это неравенство «меньше» (но не равно).

Однако подойдет число 2,99 и −2,99. Другими словами, все точки между -3 и 3, но фактически не включая -3 или 3, будут работать как решения этого неравенства. Итак, графически решение выглядит так:

(Незаштрихованные кружки на концах синей линии означают «до этих точек, но не включая их». В вашей книге вместо кружков могут использоваться круглые скобки.)

Переведя эту картинку в алгебраические символы, я получаю следующее решение:

−3 < x < 3

Этот шаблон для неравенств с абсолютным значением «меньше чем» всегда выполняется:

Для заданного неравенства в форме | x | < a , решение всегда будет иметь вид − a < x < a .

Кстати, правильным союзом для абсолютного неравенства «меньше чем» является «и». Почему? Потому что переменная содержится в пределах одного интервала. В приведенном выше примере x было как «больше -3», так и «меньше +3». x находится в интервале, удовлетворяющем обоим неравенствам одновременно. Так что «и» — правильный союз.

Даже когда упражнения усложняются, описанная выше схема сохраняется.

Поскольку это неравенство абсолютного значения «меньше чем», мой первый шаг — очистить абсолютное значение в соответствии с шаблоном «меньше чем». Тогда я решу линейное неравенство.

| 2 х + 3 | < 6

−6 < 2 x + 3 < 6

Это шаблон для «меньше чем». Продолжая, я вычту 3 из всех трех «сторон» неравенства:

−6 − 3 < 2 x + 3 − 3 < 6 − 3

−9 < 2 x < 3

−9/2 < x < 3/2

Решение исходного абсолютного неравенства | 2 x + 3 | < 6, это интервал:

−9/2 < x < 3/2

Другим случаем абсолютного неравенства является случай «больше чем».

Как решить абсолютные неравенства «больше чем»?

Чтобы решить неравенство с абсолютным значением «больше чем», используйте определение абсолютного значения, чтобы разделить неравенство на два случая; то есть для | м x + б | > c , разделите неравенство на два его случая:

1. m x + b > c

2. m x + b < − c

Затем решите два линейных неравенства по отдельности.

Во-первых, я начну с числовой строки.

Решением данного неравенства будет множество всех точек, удаленных от нуля более чем на две единицы. Например, −3 будет работать, как и +3; −4 будет работать, как и +4. Но −1 не подойдет, равно как и +1, потому что они слишком близки к нулю. Даже −2 не сработает, и +2 тоже не сработает (хотя они прямо на краю), потому что это неравенство «больше» (но не равно).

Однако +2.01 будет работать, как и -2.01. Другими словами, решение будет два отдельных раздела : один раздел будет состоять из всех точек более чем на две единицы от нуля влево , а другой раздел будет состоять из всех точек более чем на две единицы от нуля до право . Решение в графическом виде выглядит так:

Переводя это графическое решение в символы, я получаю:

x < −2 или x > 2

Внимание! Решением этого абсолютного неравенства «больше, чем» являются ДВА обычных неравенства, а не одно. НЕ пытайтесь записать это как одно неравенство. Если вы попытаетесь записать это решение как «−2 > x > 2», ваш ответ будет засчитан как неверный. Почему? Потому что, если вы уберете x посередине, вы увидите, что сказали бы «−2 > 2», что, безусловно, соответствует , а не . Потратьте лишние полсекунды и правильно напишите решение.

Этот шаблон для абсолютных неравенств «больше чем» всегда выполняется:

Учитывая неравенство | x | > a , решение всегда начинается с разделения неравенства на две части: x < − x или x > x .

И, кстати, правильный союз «или», а не «и». Почему? Потому что переменная не может находиться в обоих интервалах решения и в одно и то же время. В приведенном выше примере x не может быть одновременно «меньше -2» и «больше +2» . Поэтому мы используем «или» для этих типов решений.

Даже когда неравенства усложняются, описанная выше закономерность сохраняется.

Первое, что мне нужно сделать, это очистить столбцы абсолютных значений, разделив неравенство на две части. Затем я решу два обычных неравенства.

| 2 х — 3 | > 5

2 x − 3 < −5 или 2 x − 3 > 5

Это шаблон для абсолютных неравенств «больше чем».

2 x < −2 или 2 x > 8

x < −1 или x > 4

Эта ПАРА неравенств является решением исходной абсолютной ценностное неравенство.

x < −1 или x > 4

Каков вывод для решения линейных абсолютных неравенств?

Проверьте символ неравенства: это «больше» или «меньше»?
Если «меньше чем», опустите столбцы абсолютных значений, переформулируйте в виде трехчастного неравенства и решите с помощью оператора «и». Пример: | x − 3| < 5 становится −5 < ( x − 3) < +5
Если «больше», опустите столбцы абсолютного значения, разделите неравенство на два его случая и решите два неравенства по отдельности с помощью оператора «или». Пример: | x − 3| > 5 становится ( x – 3) < –3 или ( x – 3) > 3

Существует еще одна ситуация, с которой вы можете столкнуться: вам будет задана пара неравенств, и вас попросят найти соответствующее абсолютное неравенство. Этот процесс может показаться немного странным, поэтому я приведу пару примеров того, как он работает.

Чтобы понять это, я сначала смотрю на конечные точки. Минус два и плюс четыре составляют шесть единиц друг от друга. Половина шести это три. Это говорит мне, что я хочу скорректировать это неравенство так, чтобы оно относилось к −3 и +3, а не к −2 и +4. Чтобы добиться этого, я вижу, что могу скорректировать значения на левом и правом концах, вычитая 1 из всех трех «сторон» неравенства:

-2 < x < 4

-2 — 1 < x — 1 < 4 - 1

-3 < x — 1 < 3

Поскольку последняя строка выше в «менее чем» для абсолютных неравенств, мое решение неравенства будет иметь вид «абсолютное значение (чего-то) меньше 3». (Что-то) — это кусок посередине, где находится переменная. Итак, я могу преобразовать мою последнюю строку выше в следующую:

| х — 1 | < 3

То, что мне дали, состоит из двух частей, соединенных знаком «или», поэтому я знаю, что это будет неравенство абсолютного значения «больше чем».

Для начала я смотрю на конечные точки. Девятнадцать и 24 разделены пятью единицами. Половина пятого равна 2,5. Поэтому я хочу скорректировать неравенство так, чтобы оно относилось к −2,5 и +2,5, а не к +19 и +24. Поскольку 19 − (−2,5) = 21,5 и 24 − 2,5 = 21,5, я вижу, что мне нужно вычесть 21,5 со всех сторон:

x ≤ 19 или x ≥ 24

x — 21,5 ≤ 19 — 21,5 или x — 21,5 ≥ 24 — 21,5

x — 21,5 ≤ -2 .5 или x − 21,5 ≥ 2,5

Поскольку последняя строка выше формат «больше чем», неравенство абсолютного значения будет иметь форму «абсолютное значение (чего-либо) больше или равно 2,5». (Что-то) будет частью с переменной в ней. Итак, я могу преобразовать мою последнюю строку выше в:

| х — 21,5 | ≥ 2,5

Предупреждение: для такого рода задач существует один «хитрый» тип вопросов, когда вас пытаются сбить с толку при выполнении домашнего задания или тестов. Они попросят вас решить что-то вроде «| x + 2 | < −1». Но может ли абсолютное значение когда-либо быть отрицательным, не говоря уже о том, что меньше, чем отрицательное? Нет! Таким образом, это неравенство не имеет решения; это даже не имеет смысла. Не тратьте много времени, пытаясь «решить» это; просто напишите «нет решения».

Аналогично, если вам дали что-то вроде «| x − 2 | > −3″, первое, что нужно отметить, это то, что все абсолютные значения равны нулю или положительны. В частности, они никогда не бывают отрицательными. Они запрашивают у вас значения x , которые сделают выражение абсолютного значения больше чем отрицательное число.