Решения тригонометрических неравенств формулы: Решение простейших тригонометрических неравенств | Подготовка к ЕГЭ по математике

Решение простейших тригонометрических неравенств | Подготовка к ЕГЭ по математике

Содержание

Часть 1. 

(Часть 2 см. здесь)

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида

sinx\vee a,

 cosx\vee a,

 tgx\vee a,

ctgx\vee a,

где \vee – один из знаков <,\;>,\;\leq,\;\geq

, a\in R.

Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I,  часть II).

круг тригонометрический

Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.

Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.

Пример 1.

Решить неравенство: cosx<\frac{1}{2}.

Решение: 

Отмечаем на оси  косинусов \frac{1}{2}.

Все значения cosx, меньшие \frac{1}{2},левее точки \frac{1}{2} на оси косинусов.

87

Отмечаем все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрического круга, косинус которых будет меньше \frac{1}{2}.

ен

Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки (!), то есть от точки \frac{\pi}{3} до \frac{5\pi}{3}.

Обратите внимание, многие, назвав первую точку \frac{\pi}{3}, вместо второй точки  \frac{5\pi}{3}  указывают точку -\frac{\pi}{3}

, что неверно!

Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения x:

\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z.

Следите за тем, чтобы «правая/вторая точка» была бы больше «левой/первой».

Не забываем «накидывать» счетчик 2\pi n,\;n\in Z.

Вот так выглядит графическое решение неравенства не на тригонометрическом круге, а в прямоугольной системе координат:

тригонометрические неравенства

Пример 2.

Решить неравенство: cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.

Решение:

Отмечаем на оси  косинусов -\frac{\sqrt2}{2}.

Все значения cosx, большие или равные -\frac{\sqrt2}{2}правее точки -\frac{\sqrt2}{2}, включая саму точку.

Тогда выделенные красной дугой аргументы x

отвечают тому условию, что  cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.

г-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.

Пример 3.

Решить неравенство: sinx\geq -\frac{\sqrt3}{2}.

Решение:

Отмечаем на оси синусов -\frac{\sqrt3}{2}.

Все значения sinx

, большие или равные -\frac{\sqrt3}{2},выше точки -\frac{\sqrt3}{2}, включая саму точку.

67

«Транслируем» выделенные точки на тригонометрический круг:

6 -\frac{\pi}{3}+2\pi n \leq x\leq \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z

Пример 4.

Решить неравенство: sinx<1.

Решение:

Кратко:

л

\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z

или все x, кроме \frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.

Пример 5.

Решить неравенство: sinx\geq 1.

Решение:

Неравенство sinx\geq 1

равносильно уравнению sinx=1, так как область значений функции y=sinx[-1;1].

78н

x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.

Пример 6.

Решить неравенство: sinx<\frac{1}{3}.

Решение:

Действия  – аналогичны применяемым в примерах выше. Но дело мы имеем не с табличным значением синуса.

Здесь, конечно, нужно знать определение арксинуса.

89

\pi -arcsin\frac{1}{3}+2\pi n<x<arcsin\frac{1}{3}+2\pi+2\pi n,\;n\in Z

Если не очень понятно, загляните сюда –>+ показать

Согласны с таким вариантом (одним из) названия углов, соответствующих тому, что синус в них равен \frac{1}{3},\;-\frac{1}{3}?
86

А теперь мы должны позаботиться о том, чтобы правый конец промежутка, являющего собой решение неравенства, был бы больше левого конца.

Поэтому

75

Тренируемся в решении простейших тригонометрических неравенств

Имейте ввиду, решения (ответы) к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. Например, в задании 2 ответ можно было записать и так: \frac{5\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{11\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.

 

1. Решить неравенство: sinx<-\frac{1}{2}.

Ответ: + показать

(-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;-\frac{\pi}{6}+2\pi n),\;n\in Z

2. Решить неравенство: cosx>-\frac{1}{2}.

Ответ: + показать

(-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\frac{2\pi}{3}+2\pi n),\;n\in Z

3. Решить неравенство: sinx\geq -1.

Ответ: + показать

(-\infty;+\infty)

4. Решить неравенство: sinx\geq 0.

Ответ: + показать

[2\pi n;\pi +2\pi n,\;n\in Z]

5. Решить неравенство: cosx\leq 0,2.

Ответ: + показать

[arccos0,2+2\pi n;2\pi-arccos0,2+2\pi n,\;n\in Z]
Часть 2
Если у вас  есть  вопросы, – пожалуйста, – спрашивайте!

стрелка вниз

Тригонометрические уравнения и неравенства

Тригонометрические уравнения и неравенства

Решение простейших тригонометрических уравнений

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения cos x = a, sin x = a, tg x = a, ctg x = a.

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

 

Уравнение cos x = a

  

 

 

Примеры решения задач

 

 

Уравнение sin x = a

 

Примеры решения задач

 

Уравнение tg x = a и ctg x = a

 

 

Примеры решения задач

  

Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших

Как правило, решение тригонометрических уравнений сводится к решению простейших уравнений с помощью преобразований тригонометрических выражений, разложения на множители и замены переменных.

Замена переменных при решении тригонометрических уравнений

Если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

При поиске плана решения более сложных тригонометрических уравнений можно воспользоваться таким ориентиром:

  1. Пробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу.

  2. Если удалось привести к одному аргументу, то пробуем все тригонометрические выражения привести к одной функции.

  3. Если к одному аргументу удалось привести, а к одной функции - нет, тогда пробуем привести уравнение к однородному.

  4. В других случаях переносим все члены в одну сторону и пробуем получить произведение ил используем специальные приемы решения.

Решение тригонометрических уравнений приведением к одной функции

 

Решение простейших тригонометрических неравенств

 

 

 

Тригонометрические неравенства и их решения

Решение тригонометрических неравенств

Решение тригонометрических неравенств зачастую сводится к решению простейших тригонометрических неравенств вида:

   

   

   

   

Решаются простейшие тригонометрические неравенства графически или с помощью единичной тригонометрической окружности.

По определению, синусом угла есть ординатой точки единичного круга (рис. 1), а косинусом – абсцисса этой точки. Этот факт используется при решении простейших тригонометрических неравенств с косинусом и синусом с помощью единичного круга.

Рис. 1

Примеры решения тригонометрических неравенств

Тригонометрические неравенства со сложным аргументом

Тригонометрические неравенства со сложным аргументом можно свести к простейшим тригонометрическим неравенствам с помощью замены. После его решения делается обратная замена и выражается исходная неизвестная.

Двойные тригонометрические неравенства

Понравился сайт? Расскажи друзьям!
Тригонометрические неравенства. Разбор и примеры решения

Неравенства – это соотношения вида a › b, где a и b – есть выражения, содержащие как минимум одну переменную. Неравенства могут быть строгими — ‹, › и нестрогими — ≥, ≤.

Тригонометрические неравенства представляют собой выражения вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в которых F(x) представлено одной или несколькими тригонометрическими функциями.

Простейшие тригонометрические неравенства

Примером простейшего тригонометрического неравенства является: sin x ‹  1/2. Решать подобные задачи принято графически, для этого разработаны два способа.

Способ 1 — Решение неравенств с помощью построения графика функции

Чтобы найти промежуток, удовлетворяющий условиям неравенство sin x ‹ 1/2, необходимо выполнить следующие действия:

  1. На координатной оси построить синусоиду y = sin x.
  2. На той же оси начертить график числового аргумента неравенства, т. е. прямую, проходящую через точку ½ ординаты ОY.
  3. Отметить точки пересечения двух графиков.
  4. Заштриховать отрезок являющийся, решением примера.

задача 1 тригонометрические неравеснства

Когда в выражении присутствуют строгие знаки, точки пересечения не являются решениями. Так как наименьший положительный период синусоиды равен 2π, то запишем ответ следующим образом:

Снимок экрана 2017-12-01 в 23.57.50

Если знаки выражения нестрогие, то интервал решений необходимо заключить в квадратные скобки — [ ]. Ответ задачи можно также записать в виде очередного неравенства: Снимок экрана 2017-12-02 в 0.02.52

Способ 2 — Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Подобные задачи легко решаются и с помощью тригонометрического круга. Алгоритм поиска ответов очень прост:

  1. Сначала стоит начертить единичную окружность.
  2. Затем нужно отметить значение аркфункции аргумента правой части неравенства на дуге круга.
  3. Нужно провести прямую проходящую через значение аркфункции параллельно оси абсциссы (ОХ).
  4. После останется только выделить дугу окружности, являющуюся множеством решений тригонометрического неравенства.
  5. Записать ответ в требуемой форме.

Разберем этапы решения на примере неравенства sin x › 1/2.  На круге отмечены точки α и β – значения

Снимок экрана 2017-12-02 в 0.10.48

Точки дуги, расположенные выше α и β, являются интервалом решения заданного неравенства.

Задача 2 тригонометрические неравестнва

Если нужно решить пример для cos, то дуга ответов будет располагаться симметрично оси OX, а не OY. Рассмотреть разницу между интервалами решений для sin и cos можно на схемах приведенных ниже по тексту.

примеры решений различных тригонометрических неравенств1

Графические решения для неравенств тангенса и котангенса будут отличаться и от синуса, и от косинуса. Это обусловлено свойствами функций.

Trigonometric_function

Арктангенс и арккотангенс представляют собой касательные к тригонометрической окружности, а минимальный положительный период для обеих функций равняется π. Чтобы быстро и правильно пользоваться вторым способом, нужно запомнить на какой из оси откладываются значения sin, cos, tg и ctg.

Касательная тангенс проходит параллельно оси OY. Если отложить значение arctg a на единичном круге, то вторая требуемая точка будет расположено в диагональной четверти.  Углы

Снимок экрана 2017-12-02 в 0.15.24 являются точками разрыва для функции, так как график стремится к ним, но никогда не достигает.

поиск ршения неравенства тангенса

В случае с котангенсом касательная проходит параллельно оси OX, а функция прерывается в точках π и 2π.

поиск решения неравенства котангенса

Сложные тригонометрические неравенства

Если аргумент функции неравенства представлен не просто переменной, а целым выражением содержащим неизвестную, то речь уже идет о сложном неравенстве. Ход и порядок его решения несколько отличаются от способов описанных выше. Допустим необходимо найти решение следующего неравенства:

пример сложного неравенства

Графическое решение предусматривает построение обычной синусоиды y = sin x по произвольно выбранным значениям x. Рассчитаем таблицу с координатами для опорных точек графика:

таблица значений координат

В результате должна получиться красивая кривая.

Для простоты поиска решения заменим сложный аргумент функции

Снимок экрана 2017-12-02 в 15.04.43

синусоида по клеточкам в тетради

Снимок экрана 2017-12-02 в 15.12.38

Пересечение двух графиков позволяет определить область искомых значений, при которых выполняется условие неравенства.

график решения

Найденный отрезок является решением для переменной t:

Поиск решения 1

Однако, цель задания найти все возможные варианты неизвестной x:

Поиск решения 2

Решить двойное неравенство достаточно просто, нужно перенести π/3 в крайние части уравнения и произвести требуемые вычисления:

Поиск решения 3

Ответ на задание будет выглядеть как интервал для строгого неравенства:

Ответ

Подобные задачи потребует опыта и сноровки учащихся в обращении с тригонометрическими функциями. Чем больше тренировочных заданий будет решено в процессе подготовке, тем проще и быстрее школьник найдет ответ на вопрос ЕГЭ теста.

Похожие статьи

Рекомендуем почитать:

методика преподавания – статья – Корпорация Российский учебник (издательство Дрофа – Вентана)

1. Синус и косинус любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример задания. Найти приближенно углы, косинусы которых равны 0,8.

Решение. Косинус — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Все точки с абсциссами, равными 0,8, принадлежат прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку C(0,8; 0). Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: Pα° и Pβ°, симметричных относительно оси абсцисс.

С помощью транспортира находим, что угол α° приближенно равен 37°. Значит, общий вид углов поворота с конечной точкой Pα°:

α° ≈ 37° + 360°n, где n — любое целое число.

В силу симметрии относительно оси абсцисс точка Pβ° — конечная точка поворота на угол –37°. Значит, для нее общий вид углов поворота:

β° ≈ –37° + 360°n, где — любое целое число.

Ответ: 37° + 360°n, –37° + 360°n, где n— любое целое число.

Пример задания. Найти углы, синусы которых равны 0,5.

Решение. Синус — это ордината соответствующей точки единичной окружности. Все точки с ординатами, равными 0,5, принадлежат прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку D(0; 0,5).

Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: Pφ и Pπ–φ, симметричных относительно оси ординат. В прямоугольном треугольнике OKPφ катет KPφ равен половине гипотенузы OPφ, значит, 

Общий вид углов поворота с конечной точкой Pφ:


где n — любое целое число. Общий вид углов поворота с конечной точкой Pπ–φ:


где n — любое целое число.

Ответ:  где n — любое целое число.

2. Тангенс и котангенс любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример 2. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

Пример задания. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

Решение. Отметим на оси тангенсов точку C с ординатой, равной –1,2, и проведем прямую OC. Прямая OC пересекает единичную окружность в точках Pα° и Pβ° — концах одного и того же диаметра. Углы, соответствующие этим точкам, отличаются друг от друга на целое число полуоборотов, т.е. на 180°n (n — целое число). С помощью транспортира находим, что угол Pα° OP0 равен –50°. Значит, общий вид углов, тангенс которых равен –1,2, следующий: –50° + 180°n (n — целое число)

Ответ: –50° + 180°n, n ∈ Z.

По синусу и косинусу углов 30°, 45° и 60° легко найти их тангенсы и котангенсы. Например,

Перечисленные углы довольно часто встречаются в разных задачах, поэтому полезно запомнить значения тангенса и котангенса этих углов.

α°

30°

45°

60°

φ рад

 

tg φ

1

ctg φ

   

1

   
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень

Учебник входит в УМК по математике для 10–11 классов, изучающих предмет на базовом уровне. Теоретический материал разделен на обязательный и дополнительный, система заданий дифференцирована по уровню сложности, каждый пункт главы завершается контрольными вопросами и заданиями, а каждая глава — домашней контрольной работой. В учебник включены темы проектов и сделаны ссылки на интернет-ресурсы.

Купить

3. Простейшие тригонометрические уравнения

Вводятся обозначения: arcsin α, arccos α, arctg α, arcctg α. Не рекомендуется торопиться с введением объединенной формулы. Две серии корней значительно удобнее записывать, особенно, когда нужно отбирать корни на интервале.

tg φ = α,

φ = arctg α + πn, n ∊ Z,

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень

т.е. arctg α — угол из промежутка Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень тангенс которого равен α,

tg (arctg α) = α.

      

ctg φ = α,

φ = arcctg α + πn, n ∊ Z,

0 < arcctg α < π,

т.е. arcctg α — угол из промежутка (0; π), котангенс которого равен α,

ctg (arcctg α) = α.

При изучении темы «простейшие тригонометрические уравнения», уравнения чаще всего сводятся к квадратам.

4. Формулы приведения

Формулы приведения являются тождествами, т. е. они верны для любых допустимых значений φ. Анализируя полученную таблицу, можно заметить, что:

1) знак в правой части формулы совпадает со знаком приводимой функции в соответствующей четверти, если считать φ острым углом;

2) название меняют только функции углов Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень и Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень

 α

φ + 2πn

– φ

π – φ

π + φ

sin α

sin φ

– sin φ

sin φ

– sin φ

cos α

cos φ

cos φ

– cos φ

– cos φ

tg α

tg φ

– tg φ

– tg φ

tg φ

ctg α

ctg φ

– ctg φ

– ctg φ

ctg φ

α

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень    Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень    Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень    Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень   

sin α

cos φ

cos φ

– cos φ

– cos φ

cos α

sin φ

– sin φ

– sin φ

sin φ

tg α

ctg φ

– ctg φ

ctg φ

– ctg φ

ctg α

tg φ

— tg φ

tg φ

– tg φ

5. Свойства и график функции y = sin x

Простейшие тригонометрические неравенства решаются либо по графику, либо на окружности. При решении тригонометрического неравенства на окружности важно не перепутать, какую точку указывать первой.

Что ещё почитать?

6. Свойства и график функции y = cos x

Задачу построения графика функции y = cosможно свести к построению графика функции y = sin x. Действительно, поскольку Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень график функции y = cos x можно получить из графика функции y = sin x сдвигом последнего вдоль оси абсцисс влево на Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень

7. Свойства и графики функций y = tg x и y = ctg x

Область определения функции y = tg x включает в себя все числа, кроме чисел вида Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень где n Z. Как и при построении синусоиды, сначала постараемся получить график функции y = tg x на промежутке Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень

В левом конце этого промежутка тангенс равен нулю, а при приближении к правому концу значения тангенса неограниченно увеличиваются. Графически это выглядит так, как будто график функции y = tg x прижимается к прямой Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень уходя вместе с ней неограниченно вверх.

8. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

Равенства Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень и Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень выражают соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента φ. С их помощью, зная синус и косинус некоторого угла, можно найти его тангенс и котангенс. Из этих равенств легко получить, что тангенс и котангенс связаны между собой следующим равенством.

tg φ · ctg φ = 1

Есть и другие зависимости между тригонометрическими функциями.

Уравнение единичной окружности с центром в начале координат x2 + y2 = 1 связывает абсциссу и ординату любой точки этой окружности.

Основное тригонометрическое тождество

cos2 φ + sin2 φ = 1

9. Синус и косинус суммы и разности двух углов

Формула косинуса суммы

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

Формула косинуса разности

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Формула синуса разности

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Формула синуса суммы

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

10. Тангенс суммы и тангенс разности двух углов

Формула тангенса суммы

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень

Формула тангенса разности

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Учебник входит в УМК по математике для 10–11 классов, изучающих предмет на базовом уровне. Теоретический материал разделен на обязательный и дополнительный, система заданий дифференцирована по уровню сложности, каждый пункт главы завершается контрольными вопросами и заданиями, а каждая глава — домашней контрольной работой. В учебник включены темы проектов и сделаны ссылки на интернет-ресурсы.

Купить

11. Тригонометрические функции двойного угла

Формула тангенса двойного угла

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

cos2α = 1 – 2sin2α cos2α = 2cos2α – 1

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Пример задания. Решить уравнение Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Решение. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Понизим степень еще раз:

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Ответ: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

12. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. Обратное преобразование

Основные формулы
Переход от суммы к произведению

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Переход от произведения к сумме

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

13. Решение тригонометрических уравнений

В большинстве случаев исходное уравнение в процессе решения сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям. Однако для тригонометрических уравнений не существует единого метода решения. В каждом конкретном случае успех зависит от знания тригонометрических формул и от умения выбрать из них нужные. При этом обилие различных формул иногда делает этот выбор довольно трудным.

Уравнения, сводящиеся к квадратам

Пример задания. Решить уравнение 2 cos2x + 3 sinx = 0

Решение. С помощью основного тригонометрического тождества это уравнение можно свести к квадратному относительно sinx:

2cos2x + 3sinx = 0, 2(1 – sin2x) + 3sinx = 0,

2 – 2sin2x + 3sinx = 0, 2sin2x – 3sinx – 2 = 0

Введем новую переменную y = sin x, тогда уравнение примет вид: 2y2 – 3y – 2 = 0.

Корни этого уравнения y1 = 2, y2 = –0,5.

Возвращаемся к переменной x и получаем простейшие тригонометрические уравнения:

1) sin x = 2 – это уравнение не имеет корней, так как sin x < 2 при любом значении x;

2) sin x = –0,5, Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Ответ: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Однородные тригонометрические уравнения

Пример задания. Решить уравнение 2sin2x – 3sinxcosx – 5cos2x = 0.

Решение. Рассмотрим два случая:

1) cosx = 0 и 2) cosx ≠ 0.

Случай 1. Если cos x = 0, то уравнение принимает вид 2sin2x = 0, откуда sinx = 0. Но это равенство не удовлетворяет условию cosx = 0, так как ни при каком x косинус и синус одновременно в нуль не обращаются.

Случай 2. Если cos x ≠ 0, то можно разделить уравнение на cos2x и получить 2tg2x – 3tg– 5 = 0. Вводя новую переменную y = tg x, получаем квадратное уравнение 2y2 – 3y — 5 = 0.

Корни этого уравнения y1 = –1, y2 = 2,5.

Возвращаемся к переменной x.

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

tg x = 2,5,

x = arctg 2,5 + πn, n ∈ Z.

Ответ: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Уравнение, левая часть которого — многочлен, каждый член которого имеет вторую степень, а правая — нуль, называют однородным уравнением второй степени относительно переменных и v.

Обозначив в исходном уравнении sin x буквой u, а cos x буквой v, получим уравнение вида au2 + buv + cv2 = 0.

Делением на v2 такое уравнение сводится к квадратному относительно Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник

Напоминаем, что апробировать учебник «Алгебра и начало математического анализа. 10 класс», как и многие другие издания, можно на платформе LECTA. Для этого воспользуйтесь предложением «5 учеников бесплатно».

#ADVERTISING_INSERT#


Урок по теме "Решение тригонометрических неравенств"

– Переходим к более сложным тригонометрическим неравенствам,

решение которых будет сводиться к решению простейших тригонометрических неравенств. Рассмотрим примеры.

(Решение неравенств на доске под руководством учителя).

№1. cos22x – 2cos2x 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку).

cos2x(cos2x – 2) 0.

Замена: cos2x = t, 1; t(t – 2) 0; Второе неравенство не удовлетворяет условию 1.

cos2x 0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ).

Ответ: + p n< х< + p n, n Z.

№2. 6sin2x – 5sinx + 1 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями).

Замена sinx = t, 1. 6t2 – 5t +1 0, 6(t – )(t – ),

Ответ: + 2p n х + 2p n, -p -arcsin+ 2p k х arcsin+ 2p k, n, k Z.

№3. sinx + cos2x> 1.

(Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Класс решает самостоятельно, один ученик – на индивидуальной доске с последующей проверкой).

sinx + cos2x – 1> 0, sinx – 2sin2x> 0, sinx(1 – 2sinx) > 0,

Ответ:

2p n< x< + 2p n, + 2p n< x< p + 2p n, n Z.

Проанализировать ситуации, когда ответ к решению квадратного неравенства записываем в виде совокупности двух неравенств, а когда – в виде системы. Полезна следующая схема:

00025165926425165824000000000012516582401

№4. coscosx – sinsinx< -.

(Обсуждение. К доске вызываются по одному ученику на каждый шаг решения, комментируются этапы. Учитель проверяет запись у учеников, работающих на месте).

cos(x + ) < -, cost< -.

+ 2p n< t< + 2p n, n Z,

+ 2p n< x + < + 2p n, n Z,

+ 2p n< x< + 2p n, n Z.

Ответ:

+ 2p n < x < + 2p n, n Z.

№5. Определите все а, при каждом из которых неравенство

4sinx + 3cosx а имеет хотя бы одно решение.

(Вспомнить алгоритм решения тригонометрического уравнения с нормирующим множителем. Решение записано на кодоскопной ленте. Открываю его поэтапно по мере рассуждений. Дифференцированная работа).

4sinx + 3cosx а, М = = 5. Разделим обе части неравенства на 5: sinx + cosx . Так как ()2 + ()2 = 1, то существует такой угол , что cos = , а sin = . Перепишем предыдущее неравенство в виде: sin(x + ) . Последнее неравенство, а, значит, и исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при каждома таком, что -1, то есть при каждом а -5. Ответ: а -5.

Калькулятор онлайн - Решение тригонометрических неравенств

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое неравенство. Программа для решения тригонометрического неравенства не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию решения тригонометрических неравенств и некоторые методы решения тригонометрических неравенств.

Примеры подробного решения >>

Введите тригонометрическое неравенство

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Сообщение отправлено. Спасибо.

Тригонометрические неравенства

Неравенства вида \( \sin x > a \) и \( \sin x

Пусть дано простейшее неравенство \( \sin x > a \).
1) При \(-1
Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:
$$ x \in (\arcsin a + 2\pi k; \;\; \pi - \arcsin a + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $$
2) При \(а \geq 1 \) неравенство не имеет решений: \( x \in \emptyset \)
3) При \(а 4) При \(а = -1 \) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)

Пусть дано простейшее неравенство \( \sin x
1) При \(-1
Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:
$$ x \in (\pi - \arcsin a + 2\pi k; \;\; 2\pi + \arcsin a + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $$
2) При \(а > 1 \) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb{R} \)
3) При \(а = 1 \) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)
4) При \(а \leq -1 \) неравенство не имеет решений.

Неравенства вида \( \cos x > a \) и \( \cos x

Пусть дано простейшее неравенство \( \cos x > a \).
1) При \(-1
Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:
$$ x \in (-\arccos(a) + 2\pi k; \;\; \arccos a + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z} $$
2) При \( a \geq 1\) неравенство не имеет решений.
3) При \(а 4) При \(а = -1\) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( \pi + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)

Пусть дано простейшее неравенство \( \cos x
1) При \(-1
Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:
$$ x \in (\arccos a + 2\pi k; \;\; 2\pi - \arccos a + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z} $$
2) При \(a > 1\) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb{R} \)
3) При \(a \leq -1\) неравенство не имеет решений.
4) При \(a = 1\) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)

Неравенства вида \( tg \;x > a \) и \( tg \;x

Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x > a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(arctg \;a + \pi k; \;\; \frac{\pi}{2} + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \;\; arctg \;a + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$

Неравенства вида \( ctg \;x > a \) и \( ctg \;x

Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x > a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in ( \pi k; \;\; arcctg \;a + \pi k ), \; k \in \mathbb{Z} $$

Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in ( arcctg \; a + \pi k; \;\; \pi + \pi k ), \; k \in \mathbb{Z} $$

Решение тригонометрических неравенств

ПРИМЕР 1. Решим неравенство \( \sin x > \frac{1}{2} \).
Так как \( -1 $$ x \in \left( \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi k; \;\; \pi - \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
Так как \( \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \), то решение можно переписать в виде
$$ x \in \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \;\; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 2. Решим неравенство \( \sin \;x Так как \( -1 $$ x \in \left(\pi - \arcsin \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi k; \;\; 2\pi + \arcsin \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
Воспользовавшись равенством \( \arcsin(-a) = -\arcsin a \), перепишем решение в виде
$$ x \in \left(\pi + \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k; \;\; 2\pi - \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 3. Решим неравенство \( \cos x > \frac{1}{2} \).
Так как \( -1 $$ x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \;\; \frac{\pi}{3} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 4. Решим неравенство \( \cos x Так как \( -1 $$ x \in (\arccos(-0{,}3) + 2\pi k; \;\; 2\pi - \arccos(-0{,}3) + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $$
Воспользовавшись равенством \( \arccos(-a) = \pi - \arccos a \), перепишем решение в виде
$$ x \in (\pi-\arccos 0{,}3 + 2\pi k; \;\; \pi + \arccos 0{,}3 + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 5. Решим неравенство \( tg \;x > 1 \).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(\frac{\pi}{4} + \pi k; \;\; \frac{\pi}{2} + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 6. Решим неравенство \( tg \;x Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \;\; arctg \left( -\frac{1}{2} \right) + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$
Воспользовавшись равенством \( arctg(-a) = -arctg \; a \), перепишем решение в виде
$$ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \;\; -arctg \frac{1}{2} + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 7. Решим неравенство \( ctg \;x > \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left( \pi k; \;\; \frac{\pi}{3} + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 8. Решим неравенство \( ctg \;x Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left( arcctg \left( -\frac{5}{4} \right) + \pi k; \;\; \pi + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
Воспользовавшись равенством \( arcctg(-a) = \pi - arcctg \;a \), перепишем решение в виде
$$ x \in \left( \pi - arcctg \frac{5}{4} + \pi k; \;\; \pi + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
или в виде
$$ x \in \left( - arcctg \frac{5}{4} + \pi n; \;\; \pi n \right), \; n \in \mathbb{Z} $$

90000 Trigonometric Equations & its Solutions - Study Material for IIT JEE 90001 90002 90003 90004 90005 Trigonometric Equation 90006 90007 90008 90009 An equation involving one or more trigonometric ratios of unknown angles is called a trigonometric equation.A trigonometric equation can be written as Q 90010 1 90011 (sin θ, cos θ, tan θ, cot θ, sec θ, cosec θ) = Q 90010 2 90011 (sin θ, cos θ, tan θ, cot θ, sec θ , cosec θ), where Q 90010 1 90011 and Q 90010 2 90011 are rational functions. 90018 90008 90005 Example: 90006 Let us consider an equation cos 90022 2 90023 x - 4 sin x = 1. 90018 90008 This is a trigonometric equation and not an identity as it is not satisfied for all values ​​of x e.g. the equation is not satisfied at (2n + 1) π / 4.90018 90004 90005 Solution of a trigonometric equation: 90006 90007 90008 All possible values ​​of unknown which satisfy the given equation are called solution of the given equation. 90018 90008 For complete solution "all possible values" satisfying the equation must be obtained. 90018 90008 When we try to solve a trigonometric equation, we try to find out all sets of values ​​of θ, which satisfy the given equation. Sometimes, in simple equations and when it is easy to draw a graph of an equation, one can find out the solution simply by viewing the graph.90018 90003 90038 90039 90008 90041 90018 90004 90005 Period of a function: 90006 90007 90008 A function f (x) is said to be periodic if there exists T> 0 such that f (x + T) = f (x) for all x in the domain of definition of f (x). If T is the smallest positive real number such that f (x + T) = f (x), then it is called the period of f (x). 90018 90008 The trigonometric functions such as sin, cos and tan are periodic functions.90018 90008 90005 Illustration: 90006 We try to search for the solutions of the equation sin θ = 0 other than θ = 0. By seeing the equation, one might straight away reach at the conclusion that θ = 0 is the only solution. But, in case of trigonometric equations, it is important to rule out all possibilities so as to reach at the correct solution. 90018 90008 Let OX be the initial line 90018 90008 Let ∠POX = θ and OP = r 90018 90008 90060 90018 90008 From ΔPOL, 90018 90008 sin θ = PL / OP = y / r.90018 90008 Now sin θ = 0 90018 90008 ⇒ y / r = 0; ⇒ y = 0. 90018 90008 This is possible only when OP coincides with OX or OX '. 90018 90008 When OP coincides with OX, θ = 0, ± 2π, ± 4π and ± 6π ......... (1) 90018 90008 And when OP coincides with OX ', θ = ± π, ± 3π, ± 5π ......... (2) 90018 90008 Thus from (1) and (2) it follows that at sin θ = 0 90018 90008 90079 90018 90008 θ = nπ, where n = 0, ± 1, ± 2, ......... 90018 90008 We call θ = nπ, a general solution of the trigonometric equation sin θ = 0, because for all values ​​of n, this solution satisfies the given equation.90018 90008 90005 Illustration: 90006 General solution of cos θ = 0 90018 90008 cos θ = 0 ⇒ x = π / 2. 90018 90008 This is possible only when OP coincides with OY or OY '90018 90008 When OP coincides with OY, 90018 90008 θ = π / 2, 5π / 2, 9π / 2 or, -3π / 2, -7π / 2 .. ......... (1) 90018 90008 when OP coincides with OY '90018 90008 θ = -3π / 2, -7π / 2 or, -π / 2, -5π / 2 ............ (2) 90018 90008 90102 90018 90008 Thus from (1) and (2) if follows that the general solution of cos θ = 0 is θ (2n + 1) π / 2, where n = 0, ± 1, ± 2 ......... 90018 90008 For more on trigonometric equations, please refer the video given below: 90018 90008 90109 90110 90018 90004 90005 General solution of the equation sin θ = k.90006 90007 90008 We know that when sin θ = k, k has to be such that -1 ≤ k ≤ 1 90018 90008 We can always find some α ∈ [-π / 2, π / 2] 90018 90008 As sin (-π) / 2 = -1 & sin π / 2 = 1, such that sin θ = k, i.e. α = sin-1k 90018 90008 i.e. sin θ = sin α, α ∈ [-π / 2, π / 2] 90018 90008 ⇒ sin θ - sin α = 0 90018 90008 ⇒ 2 sin {(θ - α) / 2} cos {θ + α) / 2} = 0 90018 90008 from the above equation to be satisfied, either sin {(θ - α) / 2) = 0 90018 90008 and consequently ((θ - α) / 2) = integral multiple of π 90018 90008 ∴ θ - α = 2nπ 90018 90008 i.e. θ = 2nπ + α 90018 90008 θ = 2nπ + (-1) 2n α where n = 0, ± 1, ± 2 ... (1) 90018 90008 or, cos {(θ + α) / 2} = 0 90018 90008 i.e. {(Θ + α) / 2} = any odd multiple of π / 2 90018 90008 i.e. {(Θ + α) / 2} = (2n + 1) π / 2 90018 90008 i.e. θ = (2n + 1) π - α 90018 90008 ⇒ θ = (2n +1) π + (-1) 2n + 1 α ... (2) 90018 90008 From (1) and (2), we conclude that 90018 90008 θ = nπ + (-1) n α, where n is integral multiple, is the general solution of the equation sin θ = k 90018 90004 90005 Trigonometric Equations with their general Solutions: 90006 90007 90039 90157 90158 90159 90160 90008 90005 Trigonometrical equation 90006 90018 90165 90160 90008 90005 General Solution 90006 90018 90165 90172 90159 90160 90008 sin θ = 0 90018 90165 90160 90008 Then θ = nπ 90018 90165 90172 90159 90160 90008 cos θ = 0 90018 90165 90160 90008 θ = (nπ + π / 2) 90018 90165 90172 90159 90160 90008 tan θ = 0 90018 90165 90160 90008 θ = nπ 90018 90165 90172 90159 90160 90008 sin θ = 1 90018 90165 90160 90008 θ = (2nπ + π / 2) = (4n + 1) π / 2 90018 90165 90172 90159 90160 90008 cos θ = 1 90018 90165 90160 90008 θ = 2nπ 90018 90165 90172 90159 90160 90008 sin θ = sin α 90018 90165 90160 90008 θ = nπ + (-1) nα, where α ∈ [-π / 2, π / 2] 90018 90165 90172 90159 90160 90008 cos θ = cos α 90018 90165 90160 90008 θ = 2nπ ± α, where α ∈ (0, π] 90018 90165 90172 90159 90160 90008 tan θ = tan α 90018 90165 90160 90008 θ = nπ + α, where α ∈ (-π / 2, π / 2] 90018 90165 90172 90159 90160 90008 sin2 θ = sin2 α 90018 90165 90160 90008 θ = nπ ± α 90018 90165 90172 90159 90160 90008 cos2 θ = cos2 α 90018 90165 90160 90008 θ = nπ ± α 90018 90165 90172 90159 90160 90008 tan2 θ = tan2 α 90018 90165 90160 90008 θ = nπ ± α 90018 90165 90172 90283 90284 90008 If α is assumed to be the least positive value of θ which satisfies two given trigonometrical equations, then the general value of θ will be 2nπ + α.90018 90008 90005 Illustration: 90006 Find the general solution of equation sin θ = 1/2 90018 90008 90005 Solution: 90006 We know that sin θ = 1/2 = sin π / 6. 90018 90008 So, general solution of the given equation is θ = nπ + (-1) nπ / 6, n ∈ 0, ± 1, ± 2 90018 90008 90005 Illustration: 90006 Solve the equation sin 6x + sin 4x = 0. 90018 90008 90005 Solution: 90006 Applying the formulae for the sum of sine, i.e. 90018 90008 sin A + sin B = sin (A + B) / 2. cos (A-B) / 2, we have 90018 90008 sin 5x cos x = 0 ......... (1) 90018 90008 If 'x' is a solution for the equation, then at least one of the following equations is true: 90018 90008 sin 5x = 0 or cos x = 0 ......... (2) 90018 90008 Conversely, if x is a solution of one of the equation (2) then it is solution of equation (1) as well.Thus equation (1) is equivalent to the equation (2). The solutions of the equation (2) are given by 90018 90008 x = nπ / 5, x = (2n + 1) π / 2, where n = 0, ± 1, ± 2 ...... 90018 90008 All these values ​​of x and only these values ​​are the solutions of the original equation. 90018 90008 90005 Illustration: 90006 Find the most general value of θ where sin θ = - √3 / 2 and tan θ = √3. 90018 90008 90005 Solution: 90006 Signs assume great importance in case of trigonometric functions. Students generally tend to mention the general solutions of sin and tan θ, which is wrong as that would not give us the entire solution.90018 90008 sin θ is negative in 3rd and 4th Quadrant and tan θ is positive in 1st and 3rd Quadrant. 90018 90008 So common is 3rd Quadrant and at θ = 4π / 3 both are satisfied. 90018 90008 ∴ The general solution is 2nπ + 4π / 3. 90018 90008 This is because in interval [0, 2π] it is satisfied only at 4π / 3. Again in [2π, 4π] it is satisfied at 2π + 4π / 3 and so on. 90018 90008 Hence, the general solution of the equation is 2nπ + 4π / 3. 90018 90008 90005 Illustration: 90006 Find general solution of cos 3θ = sin 2θ.90018 90008 90005 Solution: 90006 This can be solved by 2 different ways. 90018 90008 90005 Method 1: 90006 90005 90006 We can write the given equation as 90018 90008 cos 3θ = cos (π / 2 - 2θ) 90018 90008 ⇒ 3θ = 2nπ + (π / 2 - 2θ), where n = 0, ± 1, ± 2 ...... 90018 90008 or 5θ = 2nπ + π / 2 and also θ = 2nπ - π / 2 90018 90008 or θ = (4n + 1) π / 10 and 90018 90008 θ = (4n-1) π / 2, where n ∈ I ...... (A) 90018 90008 90005 Method 2: 90006 sin 2θ = sin (π / 2 - 3θ) 90018 90008 2θ = nπ + (-1) 90022 n 90023 (π / 2 - 3θ).90018 90008 90005 Case I: 90006 When n is even, n = 2m, where m = 0, ± 1, ± 2 ...... 90018 90008 2θ = 2mπ + π / 2 - 3θ 90018 90008 θ = (4m + 1) π / 10, where m ∈ I ....... (B) 90018 90008 90005 Case II: 90006 When n is odd, n = (2m + 1) 90018 90008 2θ = (2m + 1) π - (π / 2 - 3θ) 90018 90008 θ = - (4m + 1) π / 2, where m = 0, ± 1, ± 2 ...... (B) 90018 90008 90005 Note: 90006 No doubt solutions obtained by both methods for odd values ​​of n are different but as shown in the chart below, you can see that all possible values ​​of θ are obtainable by both the given solutions: 90018 90157 90158 90159 90160 90008 From B 90018 90165 90160 90008 From A 90018 90165 90172 90159 90160 90008 for m = 0, θ = - π / 2, 90018 90165 90160 90008 for n = 0, θ = - π / 2 90018 90165 90172 90159 90160 90008 for m = 1, θ = - 5π / 2, 90018 90165 90160 90008 for n = 1, θ = + 3π / 2 90018 90165 90172 90159 90160 90008 for m = 2, θ = - 9π / 2, 90018 90165 90160 90008 for n = 2, θ = + 7π / 2 90018 90165 90172 90159 90160 90008 for m = -1, θ = - 3π / 2, 90018 90165 90160 90008 for m = -1, θ = - 5π / 2 90018 90165 90172 90159 90160 90008 for m = -2, θ = 7π / 2 90018 90165 90160 90008 for m = -2, θ = - 9π / 2 90018 90165 90172 90283 90284 90004 90005 General solution of sin 90022 2 90023 θ = k, where k ∈ [0, 1] 90006 90007 90008 Given that sin 90022 2 90023 θ = k, k ∈ [0, 1] 90018 90008 We can find some α such that 90018 90008 ⇒ sin 90022 2 90023 θ = sin 90022 2 90023 α where α = sin 90022 -1 90023 √k 90018 90008 i.e. (Sin θ - sin α) (sin θ + sin α) = 0 90018 90008 either sin θ - sin α = 0 90018 90008 θ = nπ + (-1) 90022 n 90023 α, where n = 0, ± 1, ± 2 ......... (1) 90018 90008 or, sin θ + sin α = 0 90018 90008 sin θ = - sin α 90018 90008 θ = nπ - (-1) 90022 n 90023 α, where n = 0, ± 1, ± 2 ...... .. (2) 90018 90008 From (1) and (2) we get the general solution of equation the given 90018 90008 θ = nπ ± α where n = 0, ± 1, ± 2 ...... and α = sin 90022 -1 90023 √k 90018 90008 90005 Illustration: 90006 Solve the equation 7tan 90022 2 90023 θ - 9 = 3 sec 90022 2 90023 θ 90018 90008 90005 Solution: 90006 Given, 7tan 90022 2 90023 θ - 9 = 3 sec 90022 2 90023 θ 90018 90008 or, 7tan 90022 2 90023 θ - 9 = 3 (1 + tan 90022 2 90023 θ) 90516 or, 4tan 90022 2 90023 θ = 12 90516 or, tan 90022 2 90023 θ = 3 90516 or, tan 90022 2 90023 θ = (tan π / 3) 90022 2 90023 90516 ⇒ θ = nπ + π / 3, where n = 0, ± 1, ± 2 ............ 90018 90008 90005 Note 90006: We can not define a unique method of solving trigonometric equations.In each case, success in solving a trigonometric equation depends, in particular, on the knowledge and application ability of trigonometric formula and the practice of solving problems. Many trigonometric formulas are true equalities for all the values ​​of the variable's appearing in them. 90018 90008 90005 Illustration: 90006 Solve the equation: cos θ = 0 90516 90005 Solution: 90006 We can solve it to get two forms 90516 cos θ = 0 ⇒ θ = (2n + 1) π / 2 90018 90008 cos θ = cos π / 2 ⇒ θ = 2nπ + π / 2 90516 or, θ = (4n + 1) π / 2.90018 90008 90005 90005 Important: 90006 90006 Following tips and steps will help you systematically solve trigonometric equations. 90018 90008 90005 1. 90006 Try to reduce equation in terms of one single trigonometric ratios preferably sin θ or cos θ. 90516 If we have choice to convert a problem in sine or cosine then cosine form is convenient compared to sine form. This is because in general solution of sine, we will have to deal with (-1) 90022 n 90023 which is inconvenient compared to the dealing of + obtained in cosine form.90516 90005 2. 90006 Factorize the polynomial in terms of these ratios. 90516 90005 3. 90006 For LHS to be zero solve for each factor. And write down general solution, for each factor based on the standard results that are derived earlier in this section. 90018 90008 e.g. sin θ - k 90010 1 90011 = 0 ⇒ θ = nπ + (-1) 90022 n 90023 sin 90022 -1 90023 k 90010 1 90011 90018 90008 cos θ - k 90010 2 90011 = 0 ⇒ θ = 2nπ + cos 90022 -1 90023 k 90010 2 90011. 90018 90008 90005 Caution: 90006 You must check that k 90010 1 90011, k 90010 2 90011 ∈ [-1, 1].Do not blindly write it as it is since it will be absurd if they do not belong to [-1, 1]. 90018 90008 90005 Illustration: 90006 Solve the equation 5sin θ - 2 cos 90022 2 90023 θ - 1 = 0 90018 90008 90005 Solution: 90006 Given, 5 sin θ - 2 cos 90022 2 90023 θ - 1 = 0 90018 90008 or, 5 sin θ - 2 (1 - sin 90022 2 90023 θ) - 1 = 0 90516 or, 2 sin 90022 2 90023 θ + 5 sin θ - 3 = 0 90516 or, (sin θ + 3) (2 sin θ - 1) = 0 90516 ∴ sin θ = -3 or sin θ = ½ 90018 90008 First consider the case when sin θ = -3.90018 90008 But this case is not possible as the range of sine is [-1, 1]. 90018 90008 When sin θ = ½ 90018 90008 Then we have sin θ = sin π / 6. 90018 90008 ⇒ θ = nπ + (-1) 90022 n 90023 π / 6 where n = 0, ± 1, ± 2 ......... 90018 90008 90005 Note: 90006 Never divide by any expression which is zero. e.g. If the given equation is (sin θ - cos θ) (A) = (B) where A and B denote trigonometric equations then you can divide by (sin θ - cos θ) only when θ ≠ nπ + π / 4 90018 90008 90005 Illustration: 90006 Solve the equation tan θ + sec θ = √3 90018 90008 90005 Solution: 90006 tan θ + sec θ = √3 ...... (1) 90018 90008 Then (sin θ) / (cos θ) + 1 / (cos θ) = √3 ...... (2) 90018 90008 or, cos (θ + π / 6) = cos π / 3 90018 90008 General solution θ + π / 6 = 2nπ ± π / 3, n ∈ I 90018 90008 Taking positive sign, θ + π / 6 = 2nπ + π / 3 90018 90008 ⇒ θ = 2nπ + π / 6 90018 90008 Taking negative sign, θ + π / 6 = 2nπ - π / 3 90018 90008 ⇒ θ = 2nπ - π / 2 90018 90008 i.e. θ = (4n - 1) π / 2. 90018 90008 But the solution obtained is correct only if, cos θ ≠ 0 otherwise (2) is not defined. 90018 90008 i.e. θ ≠ odd multiple of π / 2 90018 90008 ⇒ θ ≠ (4n - 1) π / 2. 90018 90008 Hence the general solution will be θ = 2nπ + π / 6 only where n = 0, ± 1, ± 2 ...... 90018 90008 90005 Note: 90006 Domain of an equation should not change. In case it changes, necessary changes must be made in the general solution. 90018 90008 90005 Illustration: 90006 Solve the equation tan 5θ = tan 3θ 90018 90008 90005 Solution: 90006 Now tan 5θ = tan 3θ 90018 90008 ⇒ 5θ = nπ + 3θ 90018 90008 or, 2θ = nπ 90018 90008 θ = nπ / 2, where n = 0, ± 1, ± 2 ...... 90018 90008 putting n = 0 gives θ = 0, original equation is satisfied 90018 90008 putting n = 1 we obtain θ = π / 2 equation becomes tan 5π / 2 = tan 3π / 2.90018 90008 Equation is not defined for odd multiple of π / 2. 90018 90008 Hence we conclude that θ = 2nπ, where n = 0, ± 1, ± 2 ......... 90018 90004 90005 Some key points to be noted: 90006 90007 90008 1. If tan θ or sec θ is involved in the equation, θ ≠ odd multiple of π / 2. 90018 90008 2. If cot θ or cosec θ is involved in the equation, θ ≠ multiple of π or 0. 90018 90008 Trigonometry is full of formulas and the students are advised to learn all the trigonometric formulas including the trigonometry basics so as to remain competitive in JEE and other engineering exams.Students must practice various trigonometry problems based on trigonometric ratios and trigonometry basics so as to get acquainted with the topic. 90018 90008 You might like to refer some of the related resources listed below: 90018 90008 90697 90005 To read more, Buy study materials of 90006 90700 90701 90005 Trigonometry 90697 90700 90006 90706 90697 90005 comprising study notes, revision notes, video lectures, previous year solved questions etc. Also browse for more study materials on Mathematics 90006 90700 90005 here 90006.90018 90714 90516 90716 Course Features 90717 90718 90719 731 Video Lectures 90720 90719 Revision Notes 90720 90719 Previous Year Papers 90720 90719 Mind Map 90720 90719 Study Planner 90720 90719 NCERT Solutions 90720 90719 Discussion Forum 90720 90719 Test paper with Video Solution 90720 90735 90516 .90000 Trigonometric formulas - Free Math Help 90001 90002 Trigonometry: (lesson 1 of 3) 90003 90004 Trigonometric Formulas 90005 $$ \ Begin {aligned} \ Sin \ alpha & = \ frac {opposite} {hypotenuse} \\ \ Cos \ alpha & = \ frac {adjacent} {hypotenuse} \\ \ Tan \ alpha & = \ frac {opposite} {adjacent} \\ \ Cot \ alpha & = \ frac {adjacent} {opposite} \\ \ Sec \ alpha & = \ frac {hypotenuse} {adjacent} \\ \ Csc \ alpha & = \ frac {hypotenuse} {opposite} \ End {aligned} $$ 90006 Reciprocal Properties: 90007 $$ \ Begin {aligned} \ Cot (x) & = \ frac {1} {\ tan (x)} \\ \ Csc (x) & = \ frac {1} {\ sin (x)} \\ \ Sec (x) & = \ frac {1} {\ cos (x)} \\ \ End {aligned} $$ $$ \ Begin {aligned} \ Tan (x) \ cot (x) & = 1 \\ \ Sin (x) \ csc (x) & = 1 \\ \ Cos (x) \ sec (x) & = 1 \ End {aligned} $$ 90006 Quotient Properties: 90007 $$ \ Begin {aligned} \ Tan (x) & = \ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)} \\ \ Cot (x) & = \ frac {\ cos (x)} {\ sin (x)} \\ \ Tan (x) & = \ frac {\ sec (x)} {\ csc (x)} \\ \ Cot (x) & = \ frac {\ csc (x)} {\ sec (x)} \\ \ Tan (x) & = \ frac {\ sec (x)} {\ csc (x)} \\ \ Cot (x) & = \ frac {\ csc (x)} {\ sec (x)} \ End {aligned} $$ 90006 Odd / Even Identities 90007 $$ \ Begin {aligned} \ Sin (-x) & = - \ sin (x) \\ \ Cos (-x) & = - \ cos (x) \\ \ Tan (-x) & = - \ tan (x) \\ \ Csc (-x) & = - \ csc (x) \\ \ Sec (-x) & = - \ sec (x) \\ \ Cot (-x) & = - \ cot (x) \ End {aligned} $$ 90006 Cofunction Identity - radians 90007 $$ \ Begin {aligned} \ Sin (\ frac {\ pi} {2} - x) & = \ cos (x) \\ \ Cos (\ frac {\ pi} {2} - x) & = \ sin (x) \\ \ Tan (\ frac {\ pi} {2} - x) & = \ cot (x) \\ \ Cot (\ frac {\ pi} {2} - x) & = \ tan (x) \ End {aligned} $$ 90006 Cofunction Identities - degrees 90007 $$ \ Begin {aligned} \ Sin (90 ^ \ circ - x) & = \ cos (x) \\ \ Cos (90 ^ \ circ - x) & = \ sin (x) \\ \ Tan (90 ^ \ circ - x) & = \ cot (x) \\ \ Cot (90 ^ \ circ - x) & = \ tan (x) \ End {aligned} $$ 90006 Periodicity Identities - radians 90007 $$ \ Begin {aligned} \ Sin (x + 2 \ pi) & = \ sin (x) \\ \ Cos (x + 2 \ pi) & = \ cos (x) \\ \ Tan (x + \ pi) & = \ tan (x) \\ \ Cot (x + \ pi) & = \ cot (x) \ End {aligned} $$ 90006 Periodicity Identities - degrees 90007 $$ \ Begin {aligned} \ Sin (x + 360 ^ \ circ) & = \ sin (x) \\ \ Sin (x + 360 ^ \ circ) & = \ cos (x) \\ \ Tan (x + 180 ^ \ circ) & = \ tan (x) \\ \ Cot (x + 180 ^ \ circ) & = \ cot (x) \ End {aligned} $$ 90006 Sum / Difference Identities 90007 $$ \ Begin {aligned} \ Sin (x + y) & = \ sin (x) \ cos (y) + \ cos (x) \ sin (y) \\ \ Cos (x + y) & = \ cos (x) \ cos (y) - \ sin (x) \ sin (y) \\ \ Tan (x + y) & = \ frac {\ tan (x) + \ tan y} {1 - \ tan (x) \ cdot \ tan (y)} \\ \ Sin (x - y) & = \ sin (x) \ cos (y) - \ cos (x) \ sin (y) \\ \ Cos (x - y) & = \ cos (x) \ cos (y) + \ sin (x) \ sin (y) \\ \ Tan (x - y) & = \ frac {\ tan (x) - \ tan (y)} {1 + \ tan (x) \ cdot \ tan (y)} \ End {aligned} $$ 90006 Double Angle Identities 90007 $$ \ Begin {aligned} \ Sin (2x) & = 2 \ sin (x) \ cos (x) \\ \ Cos (2x) & = \ cos ^ 2 (x) - \ sin ^ 2 (x) \\ \ Cos (2x) & = 2 \ cos ^ 2 (x) - 1 \\ \ Cos (2x) & = 1 - 2 \ sin ^ 2 (x) \\ \ Tan (2x) & = [2 \ tan (x)] / [1 - \ tan ^ 2 (x)] \ End {aligned} $$ 90006 Half Angle Identities 90007 $$ \ Begin {aligned} \ Sin (\ frac {x} {2}) & = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (x)} {2}} \\ \ Cos (\ frac {x} {2}) & = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + \ cos (x)} {2}} \\ \ Cos (\ frac {x} {2}) & = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (x)} {1 + \ cos (x)}} \ End {aligned} $$ 90006 Product identities 90007 $$ \ Begin {aligned} \ Sin (x) \ cdot \ cos (y) & = \ frac {\ sin (x + y) + \ sin (x - y)} {2} \\ \ Cos (x) \ cdot \ cos (y) & = \ frac {\ cos (x + y) + \ cos (x - y)} {2} \\ \ Sin (x) \ cdot \ sin (y) & = \ frac {\ cos (x + y) - \ cos (x - y)} {2} \ End {aligned} $$ 90006 Sum to Product Identities 90007 $$ \ Begin {aligned} \ Sin (x) + \ sin (y) & = 2 \ sin (\ frac {x + y} {2}) \ cos (\ frac {x - y} {2}) \\ \ Sin (x) - \ sin (y) & = 2 \ cos (\ frac {x + y} {2}) \ sin (\ frac {x - y} {2}) \\ \ Cos (x) + \ cos (y) & = 2 \ cos (\ frac {x + y} {2}) \ cos (\ frac {x - y} {2}) \\ \ Cos (x) - \ cos (y) & = - 2 \ sin (\ frac {x + y} {2}) \ sin (\ frac {x - y} {2}) \ End {aligned} $$ .90000 Trigonometric Inequality - Study Material for IIT JEE 90001 90002 90003 90004 90005 90004 90007 Trigonometric inequality is a vital topic in the IIT JEE Mathematics syllabus.Trigonometry inequality contains one or many trigonometry functions of the function x in the form of R [f (x), g (x) ...]> 0 (or <0), in which f (x), g (x) , ... are trigonometric functions of x. Solving for x implies searching for the values ​​of x which make the inequality true. All such values ​​of x constitute the solution set of the given trigonometric inequality. Some examples of trigonometric inequalities are 90005 90004 sin x + sin 2x> -sin 3x 90005 90004 sin x + sin 3x <1 90005 90004 2tan x + tan 2x> 3cot x 90005 90004 cos 2x -2> -3sin x 90005 90004 IIT JEE trigonometric inequality questions are an amalgamation of both average as well as hard questions.We list here some of the illustrations to give an idea about the type of questions asked from this topic. 90005 90004 90020 90021 Illustration: 90022 90005 90004 Find the solution set of inequality sinx> 1/2. 90005 90004 90021 Solution: 90022 90005 90004 When sinx = ½, the two values ​​of x between 0 and 2π are π / 6 and 5π / 6. 90005 90004 90033 90005 90004 y = sin x 90005 90004 From, the graph of y = sinx, it is obvious that, between 0 and 2π 90005 90004 sinx> 1/2 for π / 6 -1/2. 90005 90004 90021 Solution: 90022 90005 90004 Form the graph of y = cosx, it is obvious that cosx> -1/2 90005 90004 If -2π / 3≤x≤2π / 3. 90005 90004 90061 90005 90004 y = cos x 90005 90004 Hence general value for cosx> -1/2 90005 90004 ⇒ 2nπ -2π / 3 ≤ x ≤2nπ + 2π / 3.90005 90004 The required solution set is ∪ (2nπ -2π / 3,2nπ + 2π / 3). 90005 90004 90020 90021 Illustration: 90022 90005 90004 90021 Solve 90022: 90005 90004 sin4x = 1 + tan8x. 90005 90004 Solution: Considering the both sides one by one 90005 90004 L.H.S. = Sin4x <1. 90005 90004 R.H.S. = 1 + tan8x> 1. 90005 90004 L.H.S. = R.H.S. only when 90005 90004 sin4x = 1 and 1 + tan8x = 1 ⇒ sin2x = 1 and tan8x = 0.90005 90004 which is never possible, since sinx and tanx vanish simultaneously. 90005 90004 Therefore, the given equation has no solution. 90005 90004 90020 90021 Illustration: 90022 90005 90004 Solve sin2x + cos2y = 2sec2z. 90005 90004 90021 Solution: 90022 90005 90004 L.H.S. = Sin2x + cos2y <2. 90005 90004 R.H.S. = 2 sec2z> 2. 90005 90004 Hence L.H.S. = R.H.S. only when 90005 90004 sin2x = 1, cos2y = 1, sec2z = 1 90005 90004 ⇒ | sin x | = 1, | cos y | = 1, | cos z | = 1 90005 90004 ⇒ x = (2m + 1) π / 2, y = nπ and z = tπ where m, n, t are integers.90005 90004 90021 Illustration: 90022 90005 90004 Solve the inequality cos 2x 90124 ½ on the interval 0 (or <) 0, where f (x) and g (x) can be any trigonometric functions. 90005 90004 We need to go step by step to solve these inequalities. The steps are as follows: 90005 90427 90428 90004 Given the function, first find its fundamental period and then draw its graph for that interval. 90005 90431 90428 90004 For, f (x) ≤ a or f (x) ≥ a, draw a line y = a which will help us to set the range or interval.90005 90431 90428 90004 Using the line drawn the previous step, just take the portion of graph which satisfies the given inequality. This will give us the principal solution. 90005 90431 90428 90004 For the general solution, we just need to add the 90010 90345 n 90346 90011 times the fundamental period (90010 90345 p 90346 90011) that is, 90010 90345 np 90346 90011, with the fundamental period. 90005 90431 90440 90004 90017 90010 Example 90011 90020 90005 90004 90517 90005 90009 90010 What is a trigonometric identity? 90011 90012 90004 Identity in mathematics, is a relation or equation which is true for any value of is variable.So the trigonometric identity is a trigonometric identity involving trigonometric ratios which is satisfied for any value of its variable. 90005 90004 Below are few important identities, which is used to simplify the complex trigonometric equations. 90005 90004 90528 90005 90427 90428 90004 sin⁡A sin (60 ° - A) sin⁡ (60 ° + A) = 1/4 sin⁡3A 90005 90431 90428 90004 cos⁡A cos⁡ (60 ° - A) cos⁡ (60 ° + A) = 1/4 cos⁡3A 90005 90431 90428 90004 tan⁡A tan⁡ (60 ° - A) tan (60 ° + A) = tan⁡3A 90005 90431 90440 90004 90010 Note: - 90011 All these above identities can be easily derived by using compound angles formulae.90032 90005 90009 90550 90010 What are the Trigonometric Functions? 90011 90012 90004 Trigonometric Functions, in mathematics, are the functions which help us to understand the triangle and its property more preciously. These are the functions of angle of the triangle and relates the angle with the side length of the triangles. Trigonometric functions are also called as 90010 the Circular Functions 90011 .The basic trigonometric functions in mathematics are 90010 sine 90011, 90010 cosine 90011 and 90010 tangent 90011 functions.All the functions are basically defined considering right angled triangle but can be easily used in general. 90032 90005 90004 90010 Watch this Video for more reference 90011 90005 90004 90570 90571 90005 90004 90032 90010 Related Resources: 90011 90005 90004 90345 90010 To read more, Buy study materials of 90011 90346 90583 90010 Trigonometry 90345 90346 90011 90588 90345 90010 comprising study notes, revision notes, video lectures, previous year solved questions etc.Also browse for more study materials on Mathematics 90011 90346 90010 here 90011. 90005 90004 90032 90010 More Readings 90011 90005 90004 Trigonometric Equation 90005 90603 90032 90605 Course Features 90606 90427 90428 731 Video Lectures 90431 90428 Revision Notes 90431 90428 Previous Year Papers 90431 90428 Mind Map 90431 90428 Study Planner 90431 90428 NCERT Solutions 90431 90428 Discussion Forum 90431 90428 Test paper with Video Solution 90431 90440 90032 .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *