Решить уравнение y x 2 y: Mathway | Популярные задачи

23-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение – это уравнение с функцией и одной или несколькими ее производными:

Пример: уравнение с функцией y и ее производная dy dx

Здесь мы рассмотрим специальный метод решения «Однородных дифференциальных уравнений»

Дифференциальное уравнение первого порядка равно Однородный если он может быть в такой форме:

dy dx = F( y x )

Мы можем решить это с помощью разделения переменных, но сначала создадим новую переменную v = y x

v = y x   , что также равно   y = vx

И dy dx = d (vx) dx = v dx dx + x dv dx

(по Правилу продукта)

, который можно упростить до dy dx = v + x dv dx

Используя y = vx и dy dx = v + x dv dx , мы можем решить дифференциальное уравнение.

Пример покажет, как это все делается:

Пример: Решите

dy dx = x ² + y ² xy

Можем ли мы получить это в стиле F ( y x )?

Начните с: x ² + y ² xy

Отдельные термины: x ² x y + y ² xy

Упрощение: x y + y x

Обратная величина первого члена:( y x ) ^-1 + y x

Да, у нас есть функция y x .

Итак, давайте:

Начните с: dy dx = ( y x ) ^-1 + y x

у = vx и dy dx = v + x dv dx :v + x dv dx = v ^-1 + v

Вычтите v из обеих сторон: x dv dx = v ^-1

Теперь используйте разделение переменных:

Разделите переменные: v dv = 1 x дх

Поставьте перед ним знак интеграла: ∫v dv = ∫ 1 x dx

Интегрируем: v ² 2 = ln(x) + C

Тогда мы делаем C = ln(k ) : v ² 2 = ln(x) + ln(k)

Объединить ln: v ² 2 = ln(kx)

Упростить:v = ±√(2 ln(kx))

Теперь заменить обратно v =

y x

Замена v = y x : y x = ±√(2 ln(kx))

Упрощение:y = ±x √(2 ln(kx ))

И у нас есть решение.

Положительная часть выглядит так:

 

Другой пример:

Пример: Решите

dy dx = y(x−y) x ²

Можем ли мы получить это в F( y 90 915 x ) стиль?

Начните с: y(x−y) x ²

Отдельные термины: xy x ² − 909 13 лет ² x ²

Упрощение: г х − ( г х ) ²

Да! Итак, давайте:

Начнем с: dy dx = y x − ( y x ) ^{2 9100 0}

у = vx

и dy dx = v + x dv dx v + x dv dx = v − v ²

Sub тракт v с обеих сторон:x dv dx = −v ²

Теперь используйте разделение переменных:

Разделите переменные: − 1 v ² dv = 1 909 15 x dx

Поставьте знак интеграла впереди:∫ − 1 v ² dv = ∫ 1 x dx

Интегрируем: 1 v 909 16 = ln(x) + C

Тогда получаем C = ln(k) : 1 v = ln(x) + ln(k)

Объединить ln: 1 v = ln(kx)

Упростить:v = 1 ln(kx)

Теперь подставить обратно v = у х

Замена v = y x

: y x = 1 ln(kx)

Упрощение: y = x ln (kx)

И у нас есть решение.

Вот некоторые примеры значений k:

И последний пример:

Пример: решить

dy dx = x−y x+y

Можем ли мы получить это в стиле F( y x )?

Начать с: x−y x+y

Разделить на x: x/x−y/x x/x+y/x

Упростить: 909 13 1−у/х 1+y/x

Да! Итак, приступим:

Начните с: dy dx = 1−y/x 1+y/x

y = vx и dy dx 90 911 = в + х дв дх в + х dv dx = 1−v 1+v

Вычесть v с обеих сторон: x dv dx = 1−v 909 14 1+v − v

Тогда: x dv dx = 1−v 1+v − v+v ² 1+v

Упростить:x dv dx = 1−2v−v ² 90 914 1+v

Теперь используйте разделение переменных:

Разделите переменные: 1+v 1−2v−v ² dv = 1 x dx

Поставьте перед ним знак интеграла: ∫ 1+v 90 914 1-2в-в ² dv = ∫ 1 x dx

Интегрируем: − 1 2 ln(1−2v−v ² ) = ln(x) + C

Тогда получаем C = ln(k) :− 1 2 90 916 пер(1−2в −v ² ) = ln(x) + ln(k)

Объединить ln:(1−2v−v ² ) ^-½ = kx

Квадрат и обратный: 1−2v−v ² = 1 k ² x ²

Теперь подставьте обратно v = y x

Замените v = г x :1−2( y x )−( y x ) ² = 1 k ² x ²

Умножить на x ² 😡 ² −2xy−y ² = 1 k ²

Мы почти у цели.

No related posts.