Решить задачу это значит найти какое математическое действие надо выполнить: Текстовые задачи и их решение арифметическим способом — урок. Математика, 5 класс.

Задача как математическое понятие

Определим прежде всего, что в методике начального обучения подразумевается под задачей. Задача — это текст, содержащий численные компоненты. Структура этого текста такова, что в нем можно выделить условие и требование (которое не всегда выражено в форме вопросительного предложения). Решить задачу — значит выполнить арифметические действия, определенные условием, и удовлетворить требованию задачи.

Согласно этому определению для полноценной работы над задачей ребенок должен:

а)уметь хорошо читать и понимать смысл прочитанного;

б)уметь работать над текстом задачи, выявляя его структуру и взаимоотношения между данными и искомым;

в)уметь правильно выбирать и выполнять арифметические
действия.

Данный список представляет собой сокращенный вариант умений, поскольку каждое из них является « сложносоставленным ».

Суть современного развивающего методического подхода к обучению ребенка решению задач состоит в том, что методика желает сформировать у учащегося самостоятельную учебную деятельность, в том числе и в плане решения задач.

Иными словами, речь идет не о том, чтобы научить ребенка узнавать и решать ограниченный круг типовых задач (сформировать навык решения типовых задач, как говорили в прежние годы), а научить ребенка решать любые задачи, и притом самостоятельно. Понятно, что невозможно научить этому всех детей одинаково хорошо и в одинаковые сроки, но попытаться сформировать у ребенка умение самостоятельно работать над задачей как учебной проблемой — вот одна из основных линий современной методики обучения математике в начальных классах.

В связи с тем, что первое из упомянутых выше умений — умение хорошо читать — формируется у многих детей не в полной мере даже к концу 1 класса, педагогам, обучающим решению задач таких детей, приходится работать с ними « на слух ».

В этой ситуации важнейшее значение приобретают умение ребенка слушать и понимать тексты различных структур, умение правильно представлять себе и моделировать ситуации, предлагаемые педагогом, умение правильно выбирать действие в соответствии с ситуацией, а также умение составлять математическое выражение в соответствии с выбранным действием и выполнять простые вычисления (отсчитывании и присчитыванием).

Все эти умения являются базовыми -подготовки ребенка к обучению решению задач.

Покажем возможные варианты организации подготовите.)! ной работы к обучению решению задач, которую можно реализовать на математических занятиях в ДОУ с детьми шест и седьмого года жизни.

При рассмотрении задачи как вербальной (текстовой) структуры принято выделять ее характерные признаки: услов вопрос, данные, искомое.

В текстах стандартной формы условие выражено повеет вательным предложением и предшествует вопросу, которые выражены вопросительным предложением.

К нетиповым относятся тексты, в которых или требован и. выражено повествовательным предложением, или вся задачи сформулирована одним предложением, или условие раздно на две части и т. п. Например:

В гараже стояли 2 легковые и 5 грузовых машин. Найти количество машин в гараже.

Сколько карандашей было у Маши, если 3 карандаша он* отдала брату, а 4 оставила себе?

На полке стояло 6 книг. Сколько книг осталось на полки после того, как 2 книги Петя отнес в библиотеку? и т. п.

Нетиповые тексты могут быть построены и на других принципах — это могут быть тексты с нехваткой или излишком данных Например:

На дереве сидели птицы. 5 из них — это воробьи, остальные — голуби. Сколько было голубей?

В вазе лежало 8 апельсинов. Ваня съел 2 апельсина, и Катя съела 3 апельсина. Сколько апельсинов они съели?

Работа с такими текстами является наиболее полезной с точки зрения обучения решению задач, поскольку именно такие тексты учат ребенка внимательно читать и анализировать задачу, целенаправленно устанавливать связи между данными и искомым с целью осознанного выбора действия. Безусловно, при отсутствии умения читать такую работу ребенок > осуществить не может. Если же предлагать такую работу ребенку, плохо читающему, то на практике мы обычно наблюдаем в этом случае подмену работы над текстом задачи манипулированием числовыми данными. Это происходит потому,

что числовые данные, обозначенные цифрами, бросаются в глаза при небольшом тексте в первую очередь. Поскольку в тексте стандартной задачи в 1 классе обычно бывает два числовых данных, с которыми нужно выполнить арифметическое действие (сложение или вычитание), ребенок, плохо читающий, просто выполняет с выделенными числовыми данными знакомое арифметическое действие (наугад). Если же учитель не подтверждает правильность выбора действия, то достаточно выполнить другое из двух известных действий. В результате подобной практики формируется достаточно распространенный стереотип действий ребенка с задачей, когда он выполняет действия с числами, заданными текстом задачи, даже не задумываясь над смыслом этих действий и результатом.

Противоположный способ работы над задачей можно наблюдать в практике работы воспитателя ДОУ при раннем знакомстве с задачей, когда педагог, зная что дети не могут работать с текстом самостоятельно, старается облегчить им восприятие этого текста, моделируя все его числовые компоненты на наглядности. (Хотя именно числовые компоненты воспринимаются ребенком быстрее и легче всего. ) При этом на столе или фланелеграфе выставляется все нужное количество предметов и перед глазами детей выполняются все обозначенные условием действия.

Например:

Задача. 6 мартышек сидели на ветке. Одна — свалилась. Сколько мартышек осталось на ветке?

Иллюстрируя этот текст, педагог его, выставляет на фланелеграф изображения шести мартышек, затем снимает одну мартышку и ставит ее несколько в стороне или снимает с фла-нелеграфа. Остальные пять остаются перед глазами детей.

При такой организации наглядности не только процесс решения задачи теряет смысл, но и способ получения результата совершенно противоположен тому, который предполагается при решении задачи. Ответ при решении задачи должен быть получен как результат выполнения арифметического действия (!).

При описанном выше способе работы с наглядностью ребенок не только не озабочен выбором действия, но и не должен его выполнять, поскольку ответ он может получить пересчетом. При ответе на вопрос, какое действие он выполнял, ребенок ориентируется на действие учителя (снял мартышку —

надо отнимать) или на слово (отдали, унесли, съели, остал и т.

п. — надо вычитать, дали, купили, стало, вместе и т. ш надо складывать).

При работе со стандартными формулировками и просты текстами такой прием некоторое время выручает и ребенка и педагога. Однако первый же нестандартный текст покажет порочность такого метода работы при обучении решению задач

Например:

Из бочки вылили сначала 5 ведер воды, а потом еще 2 ведра. Сколько ведер воды вылили? (Типичной ошибкой является действие: 5 — 2.)

У Вани и Пети вместе было 7 шариков. Сколько шариков было у Вани, если у Пети было 3 шарика? (Типичная ошибок 7 + 3 или, в лучшем случае, 3 + 4.)

3. Подготовительная работа к обучению решению задач

Первым необходимым условием подготовки к решению задач является обучение ребенка моделированию различных ситуаций (объединение совокупностей, удаление части, увеличение на несколько штук, сравнение и т. п.) на различной предметной наглядности символического характера (используются простейшие заменители — фигурки, палочки и т.

д.).

Вторым необходимым условием является обучение ребенка выбору соответствующих арифметических действий и составлению математических выражений в соответствии с ситуацией, заданной текстом.

На третьем этапе следует убедиться, что ребенок достаточно уверенно пользуется приемом присчитывания и отсчитывания, поскольку для получения результата арифметического действия следует это действие выполнять, а не получать ответ пересчетом. Пересчет — это способ проверки правильности полученного результата.

Для исключения пересчета рекомендуется использовать прием работы со «скрытой» наглядностью, т. е. сначала наглядность предъявляется, сосчитывается, обозначается цифрами, а затем прячется (в коробку, конверт, корзину, за ширму и т. п.). После этого в соответствии с сюжетом задания приступают к выбору действия, поясняя его. Например, упомянутая выше ситуация с мартышками могла бы выглядеть так:

—На ветке сидели 6 мартышек.

Педагог выставляет мартышек и предлагает обозначить их количество цифрой. Затем изображение задергивается занавеской и сообщается продолжение сюжета:

—Одна свалилась.

Эту одну мартышку можно достать из-за занавески и поставить на незакрытую часть фланелеграфа.

—Обозначьте эту мартышку цифрой.

Теперь рядом с занавеской две карточки с цифрами: б и 1.

Каким действием можно обозначить то, что мартышка свалилась с ветки? (Вычитанием.)

Почему вы выбираете вычитание? Почему не сложение? (Мартышка свалилась с ветки, и теперь на ветке их будет меньше, значит, надо отнять.)

Запись завершается постановкой карточки со знаком вычитания. Теперь на фланелеграфе выражение: 6-1.

—Как найти его значение? (Дети используют любой знакомый способ, объясняя его.) Закончите запись. Какой знак нужно поставить, чтобы обозначить, что получилось 5 мартышек? (Знак равенства.)

Фиксируем равенство: 6-1 = 5.

После этого занавеска отдергивается и детям предлагается проверить правильность ответа пересчетом.

Данная система работы с наглядностью будет формировать у ребенка правильное представление о том, что в решении задачи главное — это поиск действия, и о том, что решение задачи и ее проверка — это разные учебные действия.

Для подготовки ребенка к обучению решению задач полезно учить его «на слух» улавливать различные «необычности» в текстах задач, для чего используются тексты, похожие на задачи, тексты с различными несоответствиями и т. п.

Например:

На окне сидели воробьи и голуби. Три воробья улетели. Сколько голубей осталось на окне? (Нельзя ответить на вопрос. Неизвестно, сколько птиц было сначала.)

На двух скамейках сидели 6 девочек. На одной скамейке — 8 девочек, сколько девочек сидело на другой скамейке? (Такого быть не может. На двух скамейках должно быть больше девочек, чем на одной.)

3. На тарелку положили 4 помидора и 5 огурцов. Сколько огурцов положили на тарелку? (Вопрос о том, что уже известно.)

Данные тексты акцентируют внимание ребенка на основных признаках задачи, учат его внимательно вслушиваться в текст, анализируя его и вычленяя основные параметры: условие, во» прос, данные, искомое, их достаточность и выполнимость.

как сдать часть 2 ЕГЭ по математике — Учёба.ру

Татьяна Петрова,

аспирантка механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова,

преподаватель математики учебного центра Challenge

Задание № 9

Что требуется

Выполнить вычисления и преобразования.

Особенности

Это задача на вычисление значения числового или буквенного выражения. Здесь достаточно уметь выполнять действия с числами и знать определение и простейшие свойства степеней с рациональным показателем, тригонометрических функций, корней n-степени и логарифмов.

Советы

Нужно знать базовые формулы и уметь их применять.

Задание № 10

Что требуется

Решить задачу с прикладным содержанием.

Особенности

Здесь предлагаются задачи прикладного характера, связанные с такими областями науки, как физика, химия, биология. В этом задании можно встретить все типы уравнений и неравенств: линейные, квадратные, степенные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические. Ваша задача — выразить требуемую величину из заданной формулы.

Советы

Внимательно читайте условие и старайтесь его понять. Следите, чтобы единицы измерения были приведены к одному виду. Выражайте ту или иную переменную в общем виде и только потом подставляйте числовые значения. Не спешите считать в лоб, пробуйте сокращать.

Задание № 11

Что требуется

Решить текстовую задачу.

Особенности

Всего существует шесть типов текстовых задач. Они могут быть на движение, на совместную работу, на проценты, на смеси, растворы и сплавы, на прогрессии, на оптимальный выбор и целые числа. Соответственно, нужно знать основные законы и формулы для каждого типа. Традиционная текстовая задача сводится к составлению уравнения и его решению.

Задачи на движение	\(S = V \cdot t\)
Задачи на совместную работу	\(A = p \cdot t\)
Задачи на смеси, растворы и сплавы	\(C = \frac{V_{1}}{ V} \cdot 100\%\)

Советы

Обратите внимание, что формулы в задачах на движение и на работу очень похожи. Производительность — это аналог скорости. Для задач на смеси и растворы не забывайте формулу концентрации. В качестве неизвестной выбирайте искомую величину. Составленное уравнение будет рациональным и в основном сводится к линейному или квадратному.

Задание № 12

Что требуется

Найти наибольшее или наименьшее значение функции.

Особенности

Здесь требуется уметь находить производную функции, а также исследовать функцию с помощью производной. Вопрос может быть двух типов: найти точку минимума/максимума функции или найти наибольшее/наименьшее значение функции. Многие школьники не различают этих понятий, а ведь ответ будет совершенно разный. Еще в этом задании мы сталкиваемся с задачей нахождения минимума/максимума на отрезке или на всей действительной прямой. Если вас ограничивают отрезком, то не забывайте находить значения на его концах и сравнивать их с локальными минимумами/максимумами функции на отрезке.

Советы

Выучите базовую таблицу производных, а также формулы производной произведения, частного и композиции функций. Помните, что если производная положительна, то функция растет, если производная отрицательна — функция убывает. Когда производная меняет свой знак с плюса на минус, это значит, что мы попали в точку максимума. Если производная поменяла свой знак с минуса на плюс, значит, мы попали в точку минимума.

Задание № 13

Что требуется

Решить тригонометрическое, рациональное, показательное, логарифмическое уравнение, уравнение с радикалом или смешанное уравнение, содержащее одновременно логарифмы, модули, радикалы.

Особенности

Для решения любого уравнения существует два основных правила. Во-первых, решение всегда должно начинаться с нахождения ОДЗ — области допустимых значений, то есть всех значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Во-вторых, нужно помнить основные методы решения уравнений и уметь применять их. Как правило, решение данной задачи требует замены, позволяющей свести уравнение к квадратному.

Советы

Для решения тригонометрических уравнений важно знать формулы приведения и знаки тригонометрических функций на четвертях окружности. Формулы приведения позволяют упростить вычисления, привести сложные аргументы тригонометрических функций к аргументам первой четверти. Помните про мнемоническое правило («правило лошади»), которое позволит вам не заучивать все многообразие формул приведения: если вы откладываете угол от вертикальной оси, то «лошадь говорит вам „да“», то есть кивает головой вдоль оси ординат, тем самым вы меняете функцию. Если вы откладываете угол от горизонтальной оси, то «лошадь говорит вам „нет“», то есть кивает головой вдоль оси абсцисс, следовательно, приводимая функция не меняет своего названия (не забудьте про знак, он совпадает со знаком исходной функции!).

Задание № 14

Что требуется

Решить стереометрическую задачу.

Особенности

Это задача на построение сечения многогранника и нахождение его площади, а также на нахождение расстояний и углов в пространстве, нахождение объемов различных многогранников и круглых тел (цилиндр, конус, шар). Здесь нужно хорошо владеть формулировками аксиом и определений, уметь формулировать и доказывать теоремы, признаки, свойства, знать формулы площадей и объемов. Также в этом задании нужно понимать, что такое угол между прямыми, угол между скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью и угол между плоскостями (вспомните, что такое линейный угол двугранного угла).

Советы

В этой задаче, как правило, два пункта. В первом пункте нужно либо что-то построить, либо доказать. Для доказательства очень часто используются признаки подобия треугольников и теорема Фалеса. Во втором пункте нужно найти угол, расстояние или площадь. Вспомните основные формулы расстояний: расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя плоскостями. Вы должны знать основные тригонометрические функции, теорему синусов и косинусов, теорему Пифагора и теорему о трех перпендикулярах. Нужно уметь проводить дополнительные построения и владеть координатным и векторным методами.

Задание № 15

Что требуется

Решить тригонометрическое, рациональное, показательное, логарифмическое (в том числе с переменным основанием) неравенство, неравенство с радикалом, смешанное неравенство, содержащее одновременно логарифмы, модули, радикалы.

Особенности

Здесь необходимо свести сложное неравенство к простейшему. Часто для этого используются замены показательных и тригонометрических функций (не забывайте про ограничения!). Также нужно знать метод интервалов и метод рационализации для логарифмических, показательных неравенств и неравенств, содержащих модуль.

Советы

Метод решения логарифмических неравенств опирается на монотонность логарифмической функции. Помните, что если у логарифма переменное основание, то нужно рассматривать два случая: а) основание лежит в диапазоне от 0 до 1 (функция убывает), б) основание больше единицы (функция возрастает). Если основание переменное, то можно избавиться от перебора случаев, перейдя к новому, постоянному основанию.

В логарифмических неравенствах внимательно следите за областью допустимых значений, применяя формулы действий с логарифмами, она может как расширяться, так и сужаться. И если первую ситуацию легко исправить, то вторая приведет к потере решений, что недопустимо.

Задание № 16

Что требуется

Решить планиметрическую задачу.

Особенности

Под этим номером может быть два варианта задания. Первый вариант: в задаче два пункта — а и b. В пункте a требуется что-то доказать, в пункте b — что-то найти. Могу сказать, что чаще всего надо начинать решать эту задачу именно с пункта b, а уже решение этого пункта поможет доказать пункт а. Как правило, абитуриентам проще что-то найти, чем доказать.

Второй вариант: задача без подпунктов. Здесь чаще всего скрыт подводный камень: задача требует рассмотрения двух случаев и приводит к двум разным ответам. Например, в условии задачи сказано, что окружности касаются в точке A, но не сказано каким образом, внешним или внутренним. Часто бывает так, что выпускник рисует один рисунок и возможно даже находит правильный ответ. А второй случай он не рассматривает, в результате чего получает ровно половину баллов за это задание.

Советы

Необходимое условие для решения этой задачи — хорошее владение теоретическим материалом, например, из классического учебника по геометрии для 7-9 классов (Л. С. Атанасян). Необходимо знать формулировки аксиом и определений, уметь формулировать и доказывать теоремы, признаки, свойства и формулы. Изучите дополнительные методы: метод дополнительного построения, метод подобия, метод замены, метод введения вспомогательного неизвестного, метод удвоения медианы, метод вспомогательной окружности, метод площадей.

Также здесь важен рисунок. 80% успеха геометрической задачи — это правильно нарисованный рисунок. Сделайте большой, хороший, наглядный рисунок, не экономьте на нем место.

И последнее, лайфхак для абитуриента — для решения задач по планиметрии выучите пять формул площади треугольника: через высоту и основание, через две стороны и угол между ними, через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формулу Герона.

Площадь треугольника через высоту и основание	\(S = \frac{1}{2}a \cdot h_{a}\)
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними	\(S = \frac{1}{2}a \cdot b \cdot \sin \alpha\)
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности	\(S = p \cdot r\), где \(p = \frac{a+b+c}{2}\), \(r\) — радиус вписанной окружности
Площадь треугольника через радиус описанной окружности	\(S = \frac{a \cdot b \cdot c}{4R}\), где \(R\) — радиус описанной окружности
Формула Герона	\(S = {\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\), где \(p = \frac{a+b+c}{2}\)

Задание № 17

Что требуется

Решить текстовую задачу преимущественно экономического содержания на кредиты, вклады и оптимальный выбор.

Особенности

Задача на злобу дня, которая появилась на ЕГЭ только в последние годы. Задания на банковские проценты могут быть двух типов: задачи на проценты по вкладам (депозитам) и задачи на проценты по кредитам. Помимо них под этим номером на ЕГЭ могут дать задачу на оптимизацию производства товаров и услуг, в которой необходимо будет либо использовать графическую интерпретацию, либо решать аналитически с помощью производной, чтобы понять, как минимизировать расходы или максимизировать прибыль.

Советы

Внимательно читайте условие задачи, вникайте в процедуры выдачи кредита или открытия вклада, которые там описываются. Каждый пункт условия сразу переводите в уравнение. Таким образом вы получите уравнение или систему уравнений, которые вам останется только решить. Чтоб подготовиться, изучите основные схемы кредитования с дифференцированными и аннуитетными платежами. В задачах оптимизации нужно уметь работать с линейными/нелинейными целевыми функциями с целочисленными/нецелочисленными точками экстремумов.

Задание № 18

Что требуется

Решить уравнение или неравенство с параметрами, систему уравнений или неравенств с параметрами.

Особенности

Эти задачи сложно классифицировать и дать общий алгоритм решения, поскольку каждая из них является нестандартной, но можно изучить основные приемы и методы. Не забывайте про особенности функций: монотонность, непрерывность, четность/нечетность, ограниченность, инвариантность и т. д. Для того чтобы осилить задачу с параметром, необходимо произвести несложные, но последовательные рассуждения и составить логическую схему решения. Самое главное в этом задании — логика.

Советы

Чтобы подготовиться к заданиям с параметрами, я рекомендую решать задачи из учебников С.А. Шестакова «Задачи с параметрами», А.И. Козко и В.Г. Чирского «Задачи с параметрами для абитуриентов». Также хочется дать лайфхак для уравнений с двумя неизвестными: как правило, там спрятана геометрическая фигура, построй ее и получишь честное графическое решение.

Задание № 19

Что требуется

Решить задачу на числа и их свойства.

Особенности

Это самая сложная задача экзамена, олимпиадного уровня, она оценивается в четыре первичных балла. Тем не менее материал для ее решения школьники проходят еще в 6-8 классе. Задание требует хорошего логического мышления и математической культуры.

Советы

Повторите основные признаки делимости целых чисел, вспомните понятия «НОК/НОД», выучите формулы арифметической и геометрической прогрессии. «Прорешайте» типовые задания из сборника Г.И. Вольфсона и М.Я. Пратусевича «Арифметика и алгебра». Последние два задания (№ 18 и № 19) — это прямая заявка на 100 баллов.

Преподавание математики посредством решения задач – математические методы для детей младшего возраста

Джанет Страмел

В своей книге «Как это решить» Джордж Полиа (1945) сказал: «Одна из самых важных задач учителя — помогать своим ученикам. Эта задача не совсем проста; это требует времени, практики, преданности и здравых принципов. Студент должен приобрести как можно больше опыта самостоятельной работы. Но если его оставить наедине со своей проблемой без какой-либо помощи, он может вообще не продвинуться вперед. Если учитель слишком много помогает, ученику ничего не остается. Учитель должен помогать, но не слишком много и не слишком мало, чтобы ученик получил разумную долю работы». (стр. 1)

Что такое в математике? Проблема — это «любая задача или деятельность, для которой учащиеся не имеют предписанных или заученных правил или методов, а также учащиеся не понимают, что существует конкретный «правильный» метод решения» (Hiebert, et. al., 1997). Решение задач по математике — одна из самых важных тем для преподавания; обучение решению проблем помогает учащимся развить чувство решения реальных жизненных задач и применять математику к реальным ситуациям. Он также используется для более глубокого понимания математических понятий. Изучение «математических фактов» недостаточно; учащиеся также должны научиться использовать эти факты для развития своих мыслительных навыков.

Согласно NCTM (2010), термин «решение задач» относится к математическим задачам, которые потенциально могут создавать интеллектуальные задачи для улучшения математического понимания и развития учащихся. Когда вы впервые слышите «решение проблем», о чем вы думаете? Проблемы с рассказом или проблемы со словами? Сюжетные проблемы могут быть ограничены и недостаточно «проблемны». Например, вы можете попросить учащихся найти площадь прямоугольника, зная длину и ширину. Этот тип задач является упражнением в вычислениях и может быть решен бездумно, без понимания концепции площади.  включает в себя задачи, которые действительно проблематичны и могут предоставить условия для математического развития учащихся.

Есть три способа решения проблем: обучение решению проблем, обучение решению проблем и обучение через решение проблем.

начинается с изучения навыка. Например, учащиеся изучают, как умножать двузначное число на однозначное, а выбранные вами сюжетные задачи — это задачи на умножение. Убедитесь, что когда вы обучаете решению задач, вы выбираете или разрабатываете задачи, которые могут способствовать развитию математического понимания.

начинается с предлагаемых стратегий решения проблемы. Например, «нарисуй картинку», «сделай таблицу» и т. д. В классах учителей можно увидеть плакаты «Метода решения задач», например: 1) Прочитать задачу, 2) Разработать план, 3) Решить. проблема, и 4) Проверьте свою работу. Существует мало или совсем нет доказательств того, что способности учащихся решать проблемы улучшаются при обучении решению проблем. Студенты будут рассматривать задачу со словами как отдельное усилие и сосредоточатся на шагах, которым нужно следовать, а не на математике. Кроме того, учащиеся будут склонны использовать метод проб и ошибок вместо того, чтобы сосредоточиться на осмыслении.

 сосредотачивает внимание учащихся на идеях и осмыслении и развивает математические практики. Обучение через решение проблем также развивает уверенность учащихся и укрепляет их сильные стороны. Это позволяет сотрудничать между студентами и вовлекает студентов в их собственное обучение.

Рассмотрим следующие критерии стоящих проблем, разработанные Лаппаном и Филлипсом (1998):

• Задача содержит важную и полезную математику.
• Проблема требует высокого уровня мышления и решения проблем.
• Задача способствует концептуальному развитию учащихся.
• Проблема дает учителю возможность оценить, что изучают его ученики и где они испытывают трудности.
• Учащиеся могут решать эту проблему разными способами, используя разные стратегии решения.
• Проблема имеет различные решения или позволяет принимать и защищать разные решения или позиции.
• Проблема побуждает студентов к участию и обсуждению.
• Проблема связана с другими важными математическими идеями.
• Задача способствует умелому использованию математики.
• Задача дает возможность отработать важные навыки.

Конечно, не каждая проблема будет включать в себя все вышеперечисленное. Иногда вы выбираете задачу, потому что вашим ученикам нужна возможность попрактиковаться в определенном навыке.

Ключевые особенности хорошей математической задачи включают в себя:

• Он должен начинаться там, где студенты занимаются математикой.
• Особенностью задачи должна быть математика, которую ученики должны изучать.
• Должны требовать обоснования и пояснения как к ответам, так и к методам решения.

 

 

Решение проблем не является аккуратным и упорядоченным процессом. Подумайте о рукоделии. С лицевой стороны он аккуратный, идеальный и красивый.

 

Но посмотри сзади.

Он грязный и полон узлов и петель. Решение задач по математике тоже похоже на это, и мы должны помочь нашим ученикам «запутаться» в решении задач; им нужно пройти через эти узлы и петли и научиться решать проблемы под руководством учителя.

Когда вы обучаете от до решению задач , ваши ученики концентрируются на идеях и осмыслении, и они развивают уверенность в математике!

 

Правильный выбор задачи

Выбор видов деятельности и/или заданий является наиболее важным решением, принимаемым учителем и влияющим на обучение учащихся. Рассмотрим следующие вопросы:

• Как выполняется деятельность?
  • Учителя должны сначала выполнить задание. Что проблематичного в деятельности? Что вам нужно будет сделать ДО мероприятия и ПОСЛЕ мероприятия? Кроме того, подумайте, как ваши ученики будут выполнять задание.
• Какова цель деятельности?
  • Какие математические идеи будут развиваться в ходе занятия? Есть ли связь с другими темами, связанными с математикой, или другими областями контента?
• Может ли данное занятие достичь цели/целей обучения?

Низкий пол, высокие потолки

По определению, «» — это математическая деятельность, которую каждый в группе может начать, а затем продолжить на своем уровне вовлеченности. Задания с низким полом и высоким потолком — это задания, которые каждый может начать и выполнять в зависимости от своего уровня, и у учащихся есть множество возможностей для решения более сложной математики. Один из показателей того, является ли действие заданием с низким полом и высоким потолком, — это когда работа над задачами становится более важной, чем сам ответ, и ведет к насыщенному математическому дискурсу [Hover: способы представления, мышления, разговора, согласия и несогласия ; как происходит обмен идеями и что они влекут за собой; и как они формируются задачами, которые учащиеся выполняют, а также характером учебной среды].

Сильные стороны использования задач с низким полом и высоким потолком:

• Позволяет учащимся показать, что они могут, а не то, что не могут.
• Обеспечивает дифференциацию для всех учащихся.
• Способствует созданию позитивной атмосферы в классе.
• Развивает у учащихся установку на рост
• Соответствует стандартам математической практики

Примеры некоторых заданий с низким полом и высоким потолком можно найти на следующих сайтах:

• YouCubed – под классами выберите Низкий пол Высокий потолок

• NRICH Создание класса с низким порогом и высоким потолком
• Математические задачи месяца изнутри

Математика в 3-х действиях

«Математика в 3-х действиях» был разработан Дэном Мейером, чтобы вызвать интерес и вовлечь учащихся в математические исследования, дающие пищу для размышлений. Математика в 3-х актах — это математическое задание для всей группы, состоящее из трех отдельных частей:

Акт первый о том, как замечать и удивляться. Учитель показывает учащимся изображение, видео или другую ситуацию, которая их привлекает и сбивает с толку. Затем учащиеся задают вопросы по ситуации.

В Act Two учитель предлагает ученикам некоторую информацию, которую они могут использовать при поиске решения проблемы.

Третий акт — «раскрытие». Учащиеся делятся своими мыслями и решениями.

«Математика в 3-х действиях» — это увлекательный способ вовлечь учащихся. Низкая точка входа придает учащимся уверенность, существует множество путей к решению, и это побуждает учащихся работать в группах над решением задачи. Некоторые примеры Математики в 3-х действиях можно найти на следующих сайтах:

• Математические задачи Дэна Мейера в трех действиях

• Грэм Флетчер, 3 акта, задания]
• Математика в 3-х актах: математические задачи из реального мира, чтобы сделать математику контекстной, визуальной и конкретной

Телефонные разговоры

Числовые беседы — это короткие 5-15-минутные обсуждения, посвященные решению учащимися математических задач в уме. Учащиеся вслух рассказывают о различных математических процессах в уме, а учитель визуально записывает их мысли на диаграмме или доске. Кроме того, учащиеся учатся на стратегиях друг друга, задавая вопросы, критикуя или опираясь на общие стратегии. Чтобы использовать «цифровой разговор», вы должны включить следующие шаги:

1. Учитель предлагает учащимся решить задачу в уме.
2. Укажите правильное «.»
3. Учитель подзывает учеников и спрашивает: «О чем вы думали?» и «Объясните свое мышление».
4. Для каждого учащегося, вызвавшегося поделиться своей стратегией, напишите на доске свое мнение. Обязательно точно записывайте их мысли; не исправлять свои ответы.
5. Предложите учащимся задавать друг другу вопросы об их стратегиях, сравнивать и сопоставлять стратегии и просить разъяснений о стратегиях, которые сбивают с толку.

«Числовые разговоры» можно использовать как введение, разминку перед уроком или как дополнение. Некоторые примеры Number Talks можно найти на следующих веб-сайтах:

.

• Внутренние разговоры по математике
• Числовые разговоры строят числовое мышление

 

Говорить «Это легко»

«Это просто». Три маленьких слова, которые могут оказать большое влияние на учащихся. Что может быть «легко» для одного человека, может быть «сложнее» для другого. И фраза «это легко» противоречит цели класса с мышлением роста, где учащимся удобно делать ошибки.

Когда учитель говорит «это легко», ученики могут подумать,

• «Все остальные понимают, а я нет. Я не могу этого сделать!»
• Учащиеся могут просто сдаться и отдать математику своим одноклассникам.
• Студенты могут отключиться.

Вместо этого вы и ваши ученики можете сказать следующее:

• «Думаю, я смогу это сделать».
• «У меня есть идея, которую я хочу попробовать».
• «Я уже встречал подобные проблемы».

Трейси Загер написала короткую статью «Это просто»: маленькая фраза, которая вызывает большие проблемы», которая может дать вам больше информации. Прочитайте статью Трейси Загер здесь.

Использование «Рабочих листов»

Вы хотите, чтобы ваши ученики запоминали понятия или чтобы они понимали и применяли математику в различных ситуациях?

Что такое «рабочий лист» по математике? Это задание на бумаге и карандаше, когда никакие другие материалы не используются. Рабочий лист не позволяет вашим учащимся использовать практические материалы/манипуляторы [Hover: физические объекты, которые используются в качестве учебных инструментов для вовлечения учащихся в практическое изучение математики]; и рабочие листы часто представляют собой «голые числа» без контекста. И рабочий лист не должен использоваться для улучшения практической деятельности.

Ученикам нужно время, чтобы исследовать материалы и работать с ними, чтобы изучить математические концепции. Рабочие листы — это всего лишь тест на механическую память. Учащимся необходимо развивать эти навыки мышления более высокого порядка, а рабочие листы не позволят им этого сделать.

Одно продуктивное убеждение из публикации NCTM «Принципы действия» (2014) гласит: «Учащиеся всех классов могут извлечь пользу из использования физических и виртуальных манипулятивных материалов для создания визуальных моделей ряда математических идей».

Вам могут понадобиться «рабочие листы», «графические органайзеры» и т. д. при планировании занятий/уроков по математике, но не забудьте включить в них практические манипуляции. Использование манипуляторов может

• Предоставьте своим ученикам мост между конкретным и абстрактным
• Служить моделями, поддерживающими мышление учащихся
• Предоставить другое представление
• Поддержка участия студентов
• Предоставьте учащимся право собственности на собственное обучение.

Взято из «5 основных причин использования манипулятивных средств в классе».

Обоснование решения

На уроках математики учителям следует побуждать учащихся концентрироваться не только на правильном ответе; учащиеся должны понимать процесс и лежащие в его основе понятия, чтобы получить правильный ответ (Johnson & Watson, 2011). Другими словами, учащиеся должны найти и обосновать свои решения.

Чтобы обосновать решение, учащиеся должны уметь использовать соответствующий математический язык, чтобы обосновать конкретный подход, используемый для решения проблемы. Каждый раз, когда учащийся предлагает «решение» в попытке решить проблему, это «решение» необходимо обосновать. То есть учащийся должен объяснить, откуда он знает, что его «решение» правильное.

Обоснование решения также может возникнуть в контексте обсуждения математики в классе, когда учащиеся должны будут устно объяснить свои решения.

Чтобы помочь учащимся обосновать свои решения, учитель может:

• есть класс обсуждение того, что значит обосновать решение

Учитель может попросить некоторых учащихся описать, как они могут обосновать конкретное решение из предыдущего урока.

Может быть полезно обсудить ключевую терминологию, связанную с изучаемой математической темой, чтобы стимулировать студентов к их обсуждению. Эти ключевые термины можно найти в классе и записать на доске.

• предложите учащимся задачу и попросите их решить ее, записав свои обоснования
  

• попросите учащихся работать в парах, чтобы обосновать свои решения

• попросите пары поделиться и дать конструктивную обратную связь относительно обоснований друг друга.
  

В приведенном ниже примере показано, как эту стратегию можно применить к классу 10-го класса по линейным уравнениям.

Сценарий: взимание платы за выполнение задачи

Сравните два следующих расчета для взимания платы за услугу, где C означает стоимость (в долларах) выполнения задачи, а t означает время, затраченное (в часах) на выполнение задачи:

Определите, когда первое уравнение дешевле второго

C = 25t + 200
C = 30t +150

Разработка решения

Учащиеся будут работать над решением задачи. Либо графически, либо путем решения одновременных уравнений время, для которого затраты равны, составляет 10 часов.

Примечание. Время, в течение которого первая ставка меньше второй, считается временем, превышающим 10 часов.

Обсуждение в классе

Обсудите в классе, что значит обосновывать решение. Попросите некоторых студентов обрисовать, как они могли бы обосновать свое конкретное решение.

Ключевыми терминами для обсуждения могут быть фиксированные затраты, переменные затраты, почасовая ставка и т. д.

Обоснование решения

Попросите учащихся работать в парах, чтобы обосновать свои решения.

Учащиеся обмениваются решениями с другой парой и добавляют предложения по улучшению решений.

Обоснование решения включает следующее:

• проверку решения уравнений, возможно, путем замены
• объяснение с использованием графиков или числовых примеров того, почему решение t >10 часов

Приведенный выше пример ссылается на VCMNA335 и также является частью Математическое умение Рассуждение, когда учащиеся «обосновывают стратегии и сделанные выводы» (VCAA, n.

No related posts.