2+n-72)=1/(n+9)Решить {l}{5x-2y=4}{3x+2y=12} | Microsoft Math Solver
x=2
y=3
Викторина
Simultaneous Equation
5 задач, подобных этой:
\left. \begin{array} { l } { 5 x — 2 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 12 } \end{array} \right.
Подобные задачи из результатов поиска в Интернете
Поделиться
Копировать
Скопировано в буфер обмена
5x-2y=4,3x+2y=12
Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.
5x-2y=4
Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.
5x=2y+4
Прибавьте 2y к обеим частям уравнения.
x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)
Разделите обе части на 5.
x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}
Умножьте \frac{1}{5} на 4+2y.
3\left(\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}\right)+2y=12
Подставьте \frac{4+2y}{5} вместо x в другом уравнении 3x+2y=12.
\frac{6}{5}y+\frac{12}{5}+2y=12
Умножьте 3 на \frac{4+2y}{5}.
\frac{16}{5}y+\frac{12}{5}=12
Прибавьте \frac{6y}{5} к 2y.
\frac{16}{5}y=\frac{48}{5}
Вычтите \frac{12}{5} из обеих частей уравнения.
y=3
Разделите обе стороны уравнения на \frac{16}{5}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.
x=\frac{2}{5}\times 3+\frac{4}{5}
Подставьте 3 вместо y в x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.
x=\frac{6+4}{5}
Умножьте \frac{2}{5} на 3.
x=2
Прибавьте \frac{4}{5} к \frac{6}{5}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.
x=2,y=3
Система решена.
5x-2y=4,3x+2y=12
Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.
\left(\begin{matrix}5&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)
Запишите уравнения в матричном виде.
inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)
Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}5&-2\\3&2\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)
Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)
Перемножение матриц слева от знака равенства.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)
Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)
Выполните арифметические операции.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 12\\-\frac{3}{16}\times 4+\frac{5}{16}\times 12\end{matrix}\right)
Перемножьте матрицы.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)
Выполните арифметические операции.
x=2,y=3
Извлеките элементы матрицы x и y.
5x-2y=4,3x+2y=12
Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.
3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\times 4,5\times 3x+5\times 2y=5\times 12
Чтобы сделать 5x и 3x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 3 и все члены в обеих частях второго уравнения на 5.
{2}+2 x-3}
Как решать системы уравнений в 4-5 классе
Рассмотрим уравнение с двумя неизвестными:
x + y = 10
У этого уравнения может быть много решений: x=1, y=9; x=2, y=8; x=3, y=7 и т.д.
Какое из решений выбрать — непонятно. Ситуация становится более определённой, если мы знаем, что между x и y существует ещё какая-то другая взаимосвязь. Например, мы знаем про те же самые x и y, что y-x = 2.
Итак, мы можем записать:
{
x + y = 10
y — x = 2
То, что мы записали, называется системой уравнений. Уравнения, входящие в систему, объединяются большой фигурной скобкой. Чтобы система уравнений имела решение, число уравнений должно быть равно числу неизвестных.
Так как это связанные между собой уравнения, то мы можем выразить, например, y через x в первом уравнений, и подставить получившееся выражение вместо y во второе уравнение — тем самым во втором уравнении останется только одно неизвестное (x) и мы сможем решить уравнение.
Запишем это в виде формул.
x + y = 10
y = 10 — x
Подставляем полученное выражение 10 — x вместо y во второе уравнение:
y — x = 2
10 — x — x = 2
10 — 2 = x + x
8 = 2x
x = 4
Мы нашли x. Теперь найдём y, зная, что y = 10 — x
y = 10 — 4 = 6
Мы нашли x и y. x = 4, y = 6
Проверим наше решение, подставим x и y в оба уравнения системы:
x + y = 10
y — x = 2
4 + 6 = 10
6 — 4 = 2
10 = 10
2 = 2
В обеих уравнениях левые и правые части равны, то есть x и y мы нашли правильно.
Почему мы смогли воспользоваться этим приёмом — выразить y через x в первом уравнении и подставить получившееся выражение вместо y во второе? Потому что у нас система уравнений и в этих двух уравнениях эти x и y — это одни и те же неизвестные, поэтому мы можем в одном уравнении заменять на выражения, полученные в другом
Не имеет значения — будем ли мы y выражать через x в первом уравнении и подставлять во второе, или во втором и подставлять в первое.
Точно также не имеет значение, что именно мы будем подставлять — y, выраженный через x, или x, выраженные через y. Мы выражаем и подставляем то, что нам удобнее в дальнейших расчётах.
Существует и другой метод решения уравнений
Хотите, чтобы ваш ребёнок обучался самостоятельно?
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС
Вычитание одного уравнения из другого
Рассмотрим систему уравнений:
{
5x + 6y = 80
2x + 3y = 35
Глядя на эту систему уравнений мы понимаем, что мы не можем выразить x или y через целые числа — 80 делится на цело на 5, но не делится нацело на 6, а 35 не делится нацело ни на 2, ни на 3. Если мы не умеем работать с дробными числами, то уравнение мы можем решить по другому.
Для решения этого уравнения надо из левой части первого уравнения вычесть левую часть второго уравнения, а из правой части первого вычесть правую часть второго. При этом не принципиально вычитать именно из первого уравнения второе — можно и из второго первое.
Но если мы в данной системе уравнений вычтем из правой части второго уравнения правую часть
Почему мы можем вычесть из из левой части одного уравнения левую часть другого, а из правой части одного правую часть другого и при этом быть уверенными, что равенство сохранится? Потому что это свойство систем уравнений. При вычитании соответствующих частей уравнений друг из друга, равенство сохраняется.
Итак, запишем соответствующую операцию вычитания частей уравнений в виде формулы:
5x + 6y — (2x + 3y) = 80 — 35
5x + 6y — 2x — 3y = 45
3x + 3y = 45
x + y = 15
Итак, мы получили простое уравнение x + y = 15, где отсутствуют множители у x и y.
Теперь мы можем выразить x через y (или y через x — это без разницы) и подставить получившееся выражение в одно из уравнений системы.
x = 15 — y
Подставим это выражение вместо x во второе уравнение
2x + 3y = 35
2(15 — y) + 3y = 35
30 — 2y + 3y = 35
y = 35 — 30
y = 5
Мы нашли y, осталось найти x
x = 15 — y
x = 15 — 5 = 10
Наш ответ: x = 10, y = 5
Проверим наше решение, подставив найденные x и y в систему уравнений:
{
5x + 6y = 80
2x + 3y = 35
5∙10 + 6∙5 = 80
2∙10 + 3∙5 = 35
50 + 30 = 80
20 + 15 = 35
80 = 80
35 = 35
Обе части в обеих уравнениях равны друг другу, значит наше решение верное.
Ответ: x = 10, y = 5
Сложение одного уравнения с другим
Уравнения можно не только вычитать друг из друга, но и складывать.
Например:
{
5x + 3y = 712x + 4y = 48
Если мы просуммируем оба уравнения, то у нас в правой части у неизвестных x и y будут одинаковые коэффициенты 7 — нам будет удобно на эту 7 поделить, чтобы оставить x и y без коэффициентов.
Сложим два уравнения:
5x + 3y + 2x + 4y = 48 + 71
7x + 7y = 119
x + y = 17
x = 17 — y
Подставим x во второе уравнение:
2x + 4y = 48
Сначала разделим обе части уравнения на 2
x + 2y = 24
Подставим x:
17 — y + 2y = 24
y = 24 — 17
y = 7
x = 17 — y
x = 17 — 7 = 10
Ответ: x = 10, y = 7
Пример 1
{
2n + 3m = 19
3n – m = 12
Выразим m через n во втором уравнении:
3n – m = 12
m = 3n – 12
Подставим 3n – 12 вместо m в первое уравнение
2n + 3m = 19
2n + 3(3n – 12) = 19
2n + 9n – 36 = 19
11n = 55
n = 5
Мы нашли n, теперь найдём m
m = 3n – 12
m = 3∙5 – 12
m = 3
Проверка решения:
2∙5 + 3∙3 = 19
3∙5 – 3 = 12
Ответ: m=3, n = 5
Пример 2
{
2x – 4y = 12
13x + 6y = 142
2x – 4y = 12
x – 2y = 6
x = 6 + 2y
13x + 6y = 142
13(6 + 2y) + 6y = 142
78 + 26y + 6y = 142
32y = 64
y = 2
x = 6 + 2y
x = 6 + 2∙2 = 10
Проверка:
2∙10 – 4∙2 = 12
13∙10 + 6∙2 = 142
Ответ: x = 10, y = 2
Пример 3
{
2x + 3y = 117
8x – 2y = 34
8x – 2y = 34
Разделим левую и правую части уравнения на 2:
4x – y = 17
4x – 17 = y
Теперь в первое уравнение вместо y подставим 4x-17:
2x + 3y = 117
2x + 3(4x – 17) = 117
2x + 12x – 51 = 117
14x = 117+51
14x = 168
x = 12
y = 4x – 17
y = 4∙12 – 17
y = 31
Ответ: x = 12, y = 31
ВИДЕОКУРС 2plus2.
online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.
Пример 4
{
2x + 3y – 2z = 19
3x – 2y + 3z = 69
4z + y – x = 97
Мы имеем дело с системой уравнений, где три уравнения и три неизвестных.
Нас это не должно пугать. Для начала выразим одну неизвестную через две других, например, x через z и y. Так как в третьем уравнении у нас возле x нет никакого множителя, то именно через третье уравнение мы и будем выражать x.
4z + y – x = 97
4z + y – 97 = x
x = 4z + y – 97
Теперь подставим полученное выражение для x во второе уравнение.
3x – 2y + 3z = 69
3(4z + y – 97) – 2y + 3z = 69
12z + 3y – 291 – 2y + 3z = 69
15z + y = 360
y = 360 — 15z
Ранее мы выразили x через z и y:
x = 4z + y – 97
Теперь полученное выражение для y (y = 360 — 15z) подставим в это выражение для x
x = 4z + 360 – 15z – 97
x + 15z – 4z = 263
x + 11z = 263
x = 263 – 11z
Итак, теперь у нас есть x, выраженный через z, и y, выраженный через z.
Запишем эти выражение ещё раз:
x = 263 – 11z
y = 360 – 15z
Теперь мы можем эти выражения подставить в первое уравнение системы, и у нас получится уравнение с одним неизвестным — z
2x + 3y – 2z = 19
2(263 – 11z) + 3(360 – 15z) — 2z = 19
526 – 22z + 1080 – 45z – 2z = 19
526 + 1080 – 19 = 2z + 45z + 22z
1587 = 69z
z = 23
Теперь подставим z в выражения для x и y:
x = 263 – 11z = 263 – 11∙23 = 10
y = 360 – 15z = 360 – 15∙23 = 15
x = 10
y = 15
z = 23
Проверка:
2∙10 + 3∙15 – 2∙23 = 19
3∙10 – 2∙15 + 3∙23 = 69
4∙23 + 15 – 10 = 97
Ответ: x = 10, y = 15, z = 23
Пример 5
{
5x — z = 17
3x – 2y + 3z = 11
2x + 8y – 6z = 30
Эта система уравнений отличается от предыдущих тем, что в первом уравнении тут не три
неизвестных, а два.
Выразим z через x в первом уравнении:
5x – z = 17
5x – 17 = z
z = 5x – 17
Подставим полученное выражение для z во второе уравнение.
3x – 2y + 3z = 11
3x – 2y + 3(5x – 17) = 11
3x – 2y + 15x – 51 = 11
18x – 2y = 62
9x – y = 31
9x – 31 = y
y = 9x – 31
Итак, теперь у нас есть z и y, выраженные через x. Запишем их ещё раз:
z = 5x – 17
y = 9x – 31
Теперь подставим эти выражения в третье уравнение
2x + 8y – 6z = 30
2x + 8(9x – 31) – 6(5x – 17) = 30
2x + 72x – 248 – 30x + 102 = 30
44x = 30 + 248 – 102
44x = 176
x = 4
Мы нашли x, теперь найдём z и y
z = 5x — 17
z = 5∙4 – 17 = 3
y = 9x – 31
y = 9∙4 – 31 = 5
x = 4
y = 5
z = 3
Проверка:
2∙4 + 8∙5 – 6∙3 = 30
3∙4 – 2∙5 + 3∙3 = 11
5∙4 – 3 = 17
Ответ: x = 4, y = 5, z = 3
ВИДЕОКУРС 2plus2.
online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.
Пример 6
{
4x + 3y = 61
4x + 5y = 75
Тут мы не можем выразить ни x, ни y, т.к. левая и правая части уравнений не делятся на цело и на 3, и на 4, ни на 5.
Поэтому воспользуемся описанным ранее способом — вычитанием частей уравнений друг из друга. Вычтем из второго уравнения первое:
4x + 5y – (4x + 3y) = 75 – 61
4x + 5y – 4x – 3y = 14
2y = 14
y = 7
Найденный y подставим в первое уравнение:
4x + 3∙7 = 61
4x + 21 = 61
4x = 40
x = 10
x = 10
y = 7
Проверка:
4∙10 + 3∙7 = 61
4∙10 + 5∙7 = 75
40 + 21 = 61
40 + 35 = 75
Ответ: x = 10, y = 7
Пример 7
{
2x + 5y = 50
3x + 7y = 71
Эту систему уравнений можно решить двумя способами.
Первый способ
Вычтем из второго уравнение первое.
3x + 7y – (2x + 5y) = 71 – 50
3x + 7y – 2x – 5y = 21
x + 2y = 21
x = 21 – 2y
Подставим выражение для x в первое уравнение.
2(21 – 2y) + 5y = 50
42 – 4y + 5y = 50
y = 8
Подставим найденный y в выражение для x
x = 21 – 2y
x = 21 – 2∙8 = 21 – 16 = 5
Проверка:
2∙5 + 5∙8 = 50
3∙5 + 7∙8 = 71
10 + 40 = 50
15 + 56 = 71
Второй способ
{
2x + 5y = 50
3x + 7y = 71
Умножим обе части первого уравнения на 3, а обе части второго уравнения на 2.
Тем самым мы в обеих уравнениях получим множитель 6 у x, после чего при вычитании одного
уравнения из другого x у нас уйдёт (6x — 6x = 0), и останется только y.
3(2x + 5y) = 3∙50
2(3x + 7y) = 2∙71
6x + 15y = 150
6x + 14y = 142
Вычтем из первого уравнения второе.
6x + 15y – (6x + 14y) = 150 – 142
6x + 15y – 6x – 14y = 8
y = 8
Подставим найденный y в первое уравнение системы:
2x + 5y = 50
2x + 5∙8 = 50
2x + 40 = 50
2x = 50 – 40
2x = 10
x = 5
В этой системе уравнений мы применили такой приём, как умножение обеих уравнений на разные числа так, чтобы у одного из неизвестных (в нашем случае у x) в обеих уравнениях оказался один и тот же множитель. После этого мы вычли одно уравнение из другого, x у нас исчез, и мы легко смогли найти y.
Ответ: x = 5, y = 8
Решите систему уравнений 2х у 1: Решить систему уравнений: 2х-у=1 3х+2у=12 — ЭкоДом: Дом своими руками
Содержание
Взаимодиктанты по алгебре для 7 класса по теме »Системы линейных уравнений»
Тема »Системы линейных уравнений» 7 класс
Карточка 1
1.Что является графиком уравнения 5х=1
2.выразите у через х а)х+у=2; в)2у-х=3
3.
Решите систему уравнений способом подстановки 3х+у=13
5х+4у=31
Карточка 2
1.Что является графиком уравнения 3у=2
2.Выразите одну какую-либо переменную через другую: а) х-2у=5, б) 3х+2у=10
3.Решите систему уравнений, способом сложения х+3у=1
2х-3у=20
Карточка 3
1.Запишите систему уравнений 2х+3у=5 является ли пара чисел (1,1)решением этой системы? х у=1
2.Из уравнения выразите переменную у через х а) 6х-3у=12; в) 4х-3у=10
3.Решите систему уравнений, способом подстановки х+2у=14
3х-у=7
Карточка 4
1.Запишите систему уравнений х+у=4 является ли пара чисел (1,3) решением этой системы 2ху=6
2. Сколько решений имеет система уравнений у=5х-3
у=3х+5
3.Решите систему уравнений способом сложения 2х-3у=-25
х+7у=47
Карточка 5
1.Графики двух уравнений с двумя неизвестными пересекаются в одной точке с ординатой 3 и абсциссой 5.Запишите решение системы этих уравнений.
2.
Запишите систему уравнений у-7х=0 Из какого уравнения удобнее выразить у
3х+5у=0
через х: из первого или из второго?
3.Решите систему уравнений способом подстановки х+у=4
2х-3у=23
Карточка 6
1.Графики двух уравнений с двумя неизвестными пересекаются в одной точке с ординатой –2 и абсциссой 0.Запишите решение системы этих уравнений
2.Выразите х через у а) 3х-у=6 в)2у-х=1
3.Решите систему уравнений способом сложения 2х-у=1
х+у=-4
Карточка 7
1.Дано уравнение х-0,4у=2.Выразите переменную у через х
2.Напишите формулу для функции у=кх+в, если график этой функции проходит через точку а (-3,к) и число в больше числа к на 6
3. Решите систему уравнений способом подстановки 10х-9у=-1
2х+3у=-5
Карточка 8
1.Дано уравнение 0,6х- у=6.Выразите переменную у через х
2.Сколько решений имеет система уравнений х+у=3
-2х-2у=-6
3.Решите систему уравнений способом сложения 5х-2у=26
3х+5у=-3
Карточка 9
1.
Выразите из уравнения одну переменную через другую а)3х+у=217 в) 5х-у=17
2.Является ли пара чисел (-1,2) решением системы уравнения х+2у=3
у-х=3
3.Решите систему уравнения способом подстановки 2х=11-у
5х-4у=8
Карточка 10
1.Выразите из уравнения одну переменную через другую а)х+6у=4; в) 3х+2у=1
2.Решая систему уравнений 2х+у=4
х-4у=11
Ученик нашел что х=3 у=-2.Определите правильно ли решена система?
3.Решите систему уравнения способом сложения 6х-7у=40
2х-5у=8
Решите систему уравнений: у
Решите систему уравнений:
у — 2х = 1, 4x — y = 11,
а) { г) {
6х — у = 7; 6х — 2y = 13;
7х — 3у = 13, у — х = 20,
б) { д) {
х — 2у = 5; 2х — 15y = -1;
x + у = 6, 25 — x = -4y,
в) { е) {
3х — 5у = 2; 3х — 2y = 30.
Решение:
Решите систему уравнений:
у — 2х = 1
а) {
6х — у = 7
Выразим из первого уравнения у через х: у = 1 + 2х.
Подставим в первое уравнение вместо буквы у выражение 1 + 2х получаем: 6х — (1 + 2х) = 7 => 4х = 8 => х = 2 => у = 1 + 2х => у = 1 + 4 => у = 5. Ответ: x = 2, у = 5;
7х — 3у = 13
б) {
х — 2у = 5
Выразим из второго уравнения х через у: х = 5 + 2у. Подставим в первое 7 • (5 + 2у) — 3у = 13 => 35 + 14y — 3у =
= 13 => 11у = -22 => у = -2 => х = 5 + 2у => х = 5 — 4 => х = 1. Ответ: x = 1, у = 2.
x + у = 6
в) {
3х — 5у = 2
Выразим из второго уравнения х через у: х = 6 — у. Подставим в первое: 3 • (6 — у) — 5y = 2 => 18 — 3у — 5y =
= 2 => 8y = 16 => y = 2 => х = 6 — у => х = 6 — 2 => х = 4. Ответ: х = 4, y = 2.
4x — y = 11
г) {
6х — 2y = 13
Выразим из первого уравнения у через х: у = 4х — 11. Подставим во второе: 6х — 2 • (4х — 11) = 13 => бх — 8х + 22 =
= 13 => -2x = -9 => x = 4,5 => y = 4x — 11 => у = 18 — 11 => y = 7.
Ответ: x = 4,5, у = 7;
у — х = 20
д) {
2х — 15y = -1
Выразим из первого уравнения у через х: у = 20 + х. Подставим во второе: 2х — 15 • (20 + х) = -1 => 2х — 300 — 15x =
= -1 => -13x = 299 => х = -23 => у = 20 + х => у = 20 — 23 => y = -3. Ответ: х = -23, у = -3.
25 — x = -4y
е) {
3х — 2y = 30
Выразим из первого уравнения х через у: х = 25 + 4у. Подставим во второе: 3 • (25 + 4у) — 2у = 30 => 75 + 12у — 2у =
= 30 => 10у = -45 => у = -4,5 => x = 25 + 4у => x = 25 — 18 => х = 7. Ответ: х = 7, у = -4,5.
Похожие задачи:
Решить систему уравнений 2х-у=1 и 5х+у=25
стороны равны 6 и 7
т. к площадь=а× b
площадь =6×7= 42
периметр = (а+b) ×2
периметр= (7+6) ×2=26
3 мин = часа
Пусть х дет. обрабатывал рабочий на старом станке за шестичасовую смену, тогда
(х+10) дет. обрабатывает рабочий на новом станке за шестичасовую смену
час на обработку одной детали на старом станке
час на обработку одной детали на новом станке
По условию рабочий на новом станке экономит 3 минуты при обработке одной детали.
Уравнение
ОДЗ: x>0; x≠10
Делим обе части уравнения на (- 0,05) и получаем:
30 дет. обрабатывал рабочий на старом станке за шестичасовую смену
30+10= 40 дет. обрабатывает рабочий на новом станке за шестичасовую смену
Ответ: 40
Надо сделать либо только синусы, либо только косинусы.
Будем делать синусы.
Sin 2x + Sin( 90 — 5x) = 0 теперь формулы суммы синусов.
2 Sin(2x + 90 — 5x)/2 Cos( 2x — 90 + 5x)/2 = 0
2Sin(90 — 3x)/2 Cos (7x — 90)/2= 0
Sin (90 — 3x)/2 = 0 или Cos ( 7x — 90 )/2 =0
Sin(π/2 -3x)/2 = 0 Cos( 7x — π/2)/2 = 0
(π/2 -3х)/2 = nπ,где n∈Z (7x -π/2)/2 = π/2 +πк, где к ∈Z
π/2 -3х = 2πn, где n∈Z 7x -π/2 = π + 2πк, где к ∈Z
-3x = 2πn — π/2,где n∈Z 7x = π +2πk + π/2, где к ∈Z
x = -2πn/3 + π/6, где n∈Z x = π/7 + 2πк/7 + π/14, где к ∈Z
x = 3π/14 + 2πк/7, где к ∈Z
Здравствуйте!
Давайте сходим всё дроби:
Дальше сложение производить не нужно.
— знак степени
2x — y = -1 и 3x + 4y = 26
Хай Мара,
Посмотрим, сможем ли мы вам помочь. Чтобы решить эту Систему уравнений с помощью подстановки, начните с решения для любой переменной в любом уравнении. Лично я попытаюсь решить для любой переменной с коэффициентом 1 (или отрицательным 1), поэтому я буду решать для y в первом уравнении.
2x — у = -1
Вычтем 2x из обеих частей уравнения.
-y = -2x -1
Умножьте обе части уравнения на -1.
-1 (-y = -2x -1)
Если y РАВНО 2x + 1, то они эквивалентны, и каждый из них заменяет другой. Мы сделаем это.
Теперь используйте второе уравнение:
3x + 4 y = 26
Замените y здесь выражением, которое y эквивалентно из первого уравнения.
3x + 4 (2x + 1) = 26
Раздать 4.
3x + 8x + 4 = 26
Объедините похожие термины.
11x + 4 = 26
Вычтем 4 из обеих частей уравнения.
11x = 22
Разделите обе части уравнения на 11, чтобы изолировать x.
х = 2
Отлично! Мы почти там!
А теперь вернемся к тому уравнению, которое, как я сказал, было важным раньше.
г = 2х + 1
Так как x EQUALS 2, они эквивалентны и каждый может заменять другой. Итак, теперь замените x в этом важном уравнении на 2.
у = 2 (2) + 1
у = 4 + 1
г = 5
Теперь сложите все вместе: если x = 2 и y = 5, то решением этой системы пересекающихся линейных уравнений будет точка (2,5), в которой они пересекаются.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Чтобы решить с ликвидацией:
Запишите уравнения друг под другом, например:
2x — у = -1
+ 3x + 4y = 26
В идеале, мы хотели бы, чтобы одна из переменных была исключена, когда мы добавляем вертикально (прямо вниз). Но если мы добавим их как есть, этого не произойдет.
Мы должны манипулировать одним из уравнений, чтобы это произошло. Опять же, вы можете попытаться исключить либо x, либо y. Я всегда ищу термин с коэффициентом 1 (или отрицательным 1). Итак, давайте снова воспользуемся y из первого уравнения.
Если коэффициент перед y в другом уравнении ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ 4, то мне нужно, чтобы коэффициент из первого уравнения был его противоположностью, ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ 4. Для этого просто умножьте первое уравнение на 4, это создаст ВОЛШЕБСТВО!
4 (2x — y = -1)
+ 3x + 4y = 26
Обязательно распределите по всему первому уравнению, поэтому умножьте все три члена на 4.
8x — 4y = -4
+ 3x + 4y = 26
Теперь складываем прямо вниз (вертикально). Член y будет исключен.
11x = 22
Разделите обе части уравнения на 11.
х = 2
Почти готово! Теперь замените 2 на x в любом из исходных уравнений. Любой из них будет работать. Я воспользуюсь вторым уравнением.
3x + 4y = 26
3 (2) + 4y = 26
6 + 4y = 26
Вычтем 6 из обеих частей уравнения.
4 года = 20
Разделите обе части уравнения на 4.
г = 5
Вот и все! Вот оно снова. Положил все это вместе. Если x = 2 и y = 5, то решением является упорядоченная пара (2,5).
Удачи!
1) Каково решение системы уравнений?
-2x + y = -5
3х — 2у = 12
А) (3, 1) Б) (6,
Каково решение системы уравнений?
-2x + y = -5
3x — 2y = 12
A) (3, 1)
B) (6, 3)
C) (-2, -9)
D) (-2, -1)
2)
y = x + 2
2x — y = -4
Решите систему уравнений с помощью подстановки.
A) (-2, -4)
B) (-2,0)
C) (-6, -4)
D) (-6,8)
3)
x = y + 4
2x — 3y = -2
Каково решение системы уравнений?
A) (6, 10)
B) (9, 5)
C) (10, 6)
D) (14, 10)
4)
x + 2y = 3
3x — 2y = 5
What такое решение системы уравнений?
A) (4, 3. 5)
B) (2,
1
2
))
C) (2, -1)
D) (
1
2
, 2)
5)
Используйте график метод решения системы линейных уравнений:
2x + y = 3 и x + y = 3
A) (-1.
5, 0)
B) (0, -1,5)
C) (0, 3)
D) (3, 0)
6)
y = —
1
3
x + 2
y = x + 2
Каково решение системы уравнений?
A) (0, 2)
B) (2, 0)
C) (-1, 3)
D) (0, -2)
7)
x = y — 3
x + 3y = 13
Каково решение системы уравнений?
A) (1, 4)
B) (4, 1)
C) (7, 4)
D) (2.5, 5.5)
8)
Сколько решений можно найти для представленной системы линейных уравнений на графике?
A) нет решения
B) одно решение
C) два решения
D) бесконечно много решений
9)
Какой график представляет решение уравнения
1
2
x — 1 = -x + 2?
A) A
B) B
C) C
D) D
* Наведите курсор на изображение ответа, чтобы увеличить
10)
x + 3y = 5
-x + 6y = 4
Решите систему уравнений.
A) x = 1, y = 2
B) x = 2, y = 1
C) x = 1, y = 1
D) x = 0, y = 2
11)
Найдите решение система уравнений, изображенная здесь.
A) (-1, -3)
B) (1, -3)
C) (1, 3)
D) (3, 1)
12)
Сколько решений можно найти для системы линейные уравнения, представленные на графике?
A) нет решения
Исключить
B) одно решение
C) два решения
D) бесконечно много решений
13)
Используйте метод графа для решения системы линейных уравнений:
y — x = -2 и 2x + y = 7
A) (0,7)
B) (2,0)
C) (3.
5,0)
D) (3,1)
14)
Найдите решение для системы уравнений, изображенной здесь.
A) (1, 1)
B) (-1, 1)
C) (1, -1)
D) (-1, -1)
Системы уравнений — проблемы и ответы
Системы 2-х линейных уравнений — задачи с решениями
Тест
Задача 1 Две из следующих систем уравнений имеют решение (1; 3). Узнайте их, проверив.
а) $ \ begin {array} {| l} x + y = 5 \\ 2x — y = 7; \ end {array} $
б) $ \ begin {array} {| l} 2x + y = 5 \\ x — y = 2 \ end {array} $
c) $ \ begin {array} {| l } 3x + y = 6 \\ 4x — 3y = -5; \ end {array} $
г) $ \ begin {array} {| l} \ frac {1} {x — 1} = y-3 \\ x — y = -2; \ end {array} $
e) $ \ begin {array} {| l} \ frac {9x + 4y} {3} — \ frac {5x-11} {2} = 13-y \\ 13x — 7y = -8; \ end {array} $
Ответ: c и e имеет решение (1; 3)
Задача 2 Эквивалентны ли системы (проверьте, одинаковы ли решения обеих систем):
$ \ begin {array} {| l} 4x + 5y = 11 \\ x — y = 5 \ end {array} $
и
$ \ begin {array} {| l} 4x — 5y = 11 \\ 2x + y = 9? \ end {array} $
Ответ: Нет.
(3-32) Решите систему уравнений:
Задача 3
$ \ begin {array} {| l} 2x — y = -5 \\ y = 1-3x \ end {array} $
Ответ: x = 1, y = -2.
Задача 4
$ \ begin {array} {| l} 3x — y = 13 \\ 3y — 2x = -4 \ end {array} $
Ответ: x = 5, y = 2.
Задача 5
$ \ begin {array} {| l} 6x — y = 11 \\ 12x — 2y — 22 = 0 \ end {array} $
Ответ: Решением является каждая пара чисел, которая является решением уравнения $ 6x — у = 11 $.
Задача 6
$ \ begin {array} {| l} 5u — 6v = -2 \\ 7u + 18v = 2 \ end {array} $
Ответ: $ x = -1, y = \ frac {1} {2} $ .
Задача 7
$ \ begin {array} {| l} 8x — 5y + 16 = 0 \\ 1x + 3y — 17 = 0 \ end {array} $
Ответ: $ x = \ frac {1} {2}, y = 4 $.
Задача 8
$ \ begin {array} {| l} 4 (x + 2) — 7 (x — y) = 7 \\ 7 (x + y) + 10 (x — 2) = 79 \ end {array} $
Ответ: $ x = 5, y = 2. $.
Задача 9
$ \ begin {array} {| l} 3x + 4 (x — 3) = 3 (2y — 3) — 3y \\ 3y + 2 (x — 4) = 5 (y + 2) — 28 \ end { array} $
Ответ: (-4; 1).
2 — y (4y — 3) + 12x — 15 = 0 \ end {array} $
Ответ: Решение — это каждая пара, которая является решением уравнения 4x — 3y — 2 = 0.
Задача 13
$ \ begin {array} {| l} \ frac {y + 2} {6} — \ frac {y-4} {2} = \ frac {x} {3} \\ \ frac {4} {3 } (y — 1) — 2x = -2 \ end {array} $
Ответ: x = 3, y = 4.
Задача 14
$ \ begin {array} {| l} 0,25x — 0,04y = 1 \\ 0,4x + 1,5y = 40,7 \ end {array} $
Ответ: x = 8, y = 25.
Задача 15
$ \ begin {array} {| l} \ frac {5x-3y} {4} = \ frac {x-5y} {3} \\ 7x + y = 12 \ end {array} $
Ответ: x = 2, у = -2
Задача 16
$ \ begin {array} {| l} \ frac {3x + 1} {5} + 2y-3 = 0 \\ \ frac {4y-5} {6} + 3y-9 = — \ frac {1} {2} \ end {array} $
Ответ: $ x = — \ frac {42} {11}, y = \ frac {28} {11} $
Задача 17
$ \ begin {array} {| l} \ frac {3x-1} {5} + 3y-4 = 15 \\ \ frac {3y-5} {6} + 2x-8 = \ frac {23} { 3} \ end {array} $
Ответ: $ x = 7, y = 5 $
Задача 18
$ \ begin {array} {| l} \ frac {2x-z} {6} + \ frac {2x-z} {9} = 3 \\ \ frac {x + z} {3} — \ frac { xz} {4} = 4 \ end {array} $
Ответ: x = y = 6
Задача 19
$ \ begin {array} {| l} \ frac {x-1} {3} + \ frac {5y + 1} {2} = \ frac {x + 10y-8} {6} \\ \ frac { (x + 2) (5y-2)} {2} = 5+ \ frac {5xy} {2} -2 (x + 1) \ end {array} $
Ответ: Нет решения.
Задача 20
$ \ begin {array} {| l} \ frac {5x-1} {6} + \ frac {3y-1} {10} = 3 \\ \ frac {11-x} {6} + \ frac { 11 + y} {4} = 3 \ end {array}
$ Ответ: x = 5, y = -3.
Задача 21
$ \ begin {array} {| l} y-0.2 (x — 2) = 1.4 \\ \ frac {5} {2} — \ frac {2y — 3} {4} = \ frac {4x — y} {8} \ end {array} $
Ответ: $ x = 5, y = 2. $
Задача 22
$ \ begin {array} {| l} \ frac {x} {5} + 0,03 (10y — 20) = 0,8 \\ \ frac {2x + 4,5} {20} — 0,75 = \ frac {y — 3} {8} \ end {array} $
Ответ: $ x = 4, y = 2.$
Задача 23
$ \ begin {array} {| l} yx- \ frac {5x-4} {2} = 3- \ frac {11y + 17} {4} \\ x + \ frac {9y + 11} {4} — \ frac {3y + 4} {7} = 6 \ end {array} $
Ответ: $ x = 2, y = 1. $
Задача 24
$ \ begin {array} {| l} \ frac {5x-3y} {3} — \ frac {2y-3x} {5} = x + 1 \\ \ frac {2x-3y} {3} — \ гидроразрыв {3y-4x} {2} = y + 1 \ end {array} $
Ответ: $ x = 3, y = 2. $
Задача 25
$ \ begin {array} {| l} \ frac {x-1} {4} \ frac {1 + y} {2} = \ frac {1} {6} — \ frac {x + 2y} {6 } \\ \ frac {x-2} {3} + \ frac {x} {15} = \ frac {y + 4} {5} — \ frac {4x-y} {15} \ end {array} $
Ответ: Решением является каждая пара, которая является решением уравнения $ 5x — 2y = 11.
$
Задача 26
$ \ begin {array} {| l} \ frac {x + 2y} {4} — \ frac {x-2y} {2} = 1- \ left [x- \ frac {7-2y} {3} \ right] \\ 3x-2y = 8 \ end {array} $
Ответ: $ x = 3, y = \ frac {1} {2}. $
Задача 27
$ \ begin {array} {| l} \ frac {7 + x} {5} — \ frac {2x-y} {4} -3y = -5 \ end {array} $
$ \ begin {array} {| l} \ frac {5y-7} {2} + \ frac {4x-3} {6} -18 = -5x \ end {array} $
Ответ: x = 3, y = 2.
Задача 28
$ \ begin {array} {| l} \ frac {11y} {20} -0.8 \ left (\ frac {x} {4} +2.5 \ right) = \ frac {5} {2} \ end {array} $
$ \ begin {array} {| l} \ frac {6x-0.3y} {2} — \ frac {3} {2} = 2 (1 + x) \ end {array} $
Ответ: x = 5, y = 10.
Задача 29
$ \ begin {array} {| l} 0.5x- \ frac {y-4} {5} = 0.3x- \ frac {y-4} {2} \ end {array} $
$ \ begin {array } {| l} 0,5y- \ frac {x-4} {6} = \ frac {7y} {12} — \ frac {x-3} {3} \ end {array} $
Ответ: x = 3 , у = 2.
Задача 30
$ \ begin {array} {| l} \ frac {2 (xy)} {3} + 1.
6 = \ frac {8x} {15} — \ frac {3y-10} {5} \ end {array} $
$ \ begin {array} {| l} \ frac {3x + 4} {4} + \ frac {y} {8} = \ frac {5x} {6} — \ frac {y-17} {12} \ end {array} $
Ответ: x = 5, y = 4.2 = 2 (1 + 2y) (x-1) \ end {array} $
Ответ: Решением является каждая пара, которая является решением уравнения x + 5y = 5
Системы 2-х линейных уравнений — задачи с решениями
Тест
Системы нелинейных уравнений: решение промежуточных систем
Системы
нелинейных уравнений:
Средняя сложность
Системы (стр.
4 из 6)
Нелинейные системы, которые мы решили до сих пор, представляют собой одно квадратное уравнение и одно линейное уравнение, которые изображены в виде параболы и прямой линии соответственно. Двигаясь вверх по сложности, мы приходим к решению систем двух квадратных уравнений, которые будут отображены в виде двух парабол; и аналогично беспорядочные системы.
- Решите следующее
система:
y
= 2 x 2 + 3 x + 4
y = x 2
+ 2 x + 3
Как и раньше, я | 2 x 2 | |
Использование квадратичного | ||
Но я не умею рисовать Взгляните на |
Линии не пересекаются.
Поскольку нет пересечения, значит, и решения нет. Это,
это противоречивая система. Мой окончательный ответ: нет
Решение: несовместимая система.
В целом метод
решения для
общая система уравнений заключается в решении одного из уравнений (вы выбираете
which) для одной из переменных (опять же, вы выбираете какую). Затем вы подключаете
полученное выражение в другие
уравнение для выбранной переменной и решите для значений других
Переменная.Затем вы вставляете эти решения обратно в первое уравнение,
и найдите значения первой переменной. Вот еще несколько
Примеры:
Copyright 2002-2011 Элизабет Стапель. Все права защищены.
- Решите следующее
система:
Графически эта система
прямая линия (из первого уравнения), пересекающая круг с центром в начале координат (из второго уравнения):
Кажется, двое
решения. Я продолжу алгебраически, чтобы подтвердить это впечатление, и
чтобы получить точные значения.
Поскольку первое уравнение
уже решено для y ,
Я вставлю « x
3 дюйма для
« y »
во втором уравнении и найдите значения x :
x 2
+ y 2 = 17
x 2 + ( x
3) 2
= 17
x 2 + ( x 3) ( x 3) = 17
x 2
+ ( x 2 + 6 x + 9) = 17
2 x 2
+ 6 x + 9 = 17
2 x 2 + 6 x 8 = 0
x 2
+ 3 x 4 = 0
( x + 4) ( x 1) = 0
x
= 4, х = 1
Когда x
= 4, y = x 3 = (4) 3 = 4 3 = 1
Когда x
= 1, y
= х
3 = (1) 3 = 4
Затем
решение состоит из точек (4,
1) и (1,
4) .
Обратите внимание на процедуру: я решил
одно из уравнений (первое уравнение выглядело проще) для одного из
переменные (решение для « y =»
выглядело проще), и
затем вставил полученное выражение обратно в другое уравнение.
Этот
дал мне одно уравнение с одной переменной (переменная оказалась x ),
а уравнение с одной переменной — это то, что я умею решать. Когда-то у меня было
значения решения для x ,
Я сделал обратное решение для соответствующих значений , и .Я подчеркиваю «соответствующий», потому что вы должны отслеживать
y -значение
идет с которым x -значение.
В приведенном выше примере точки (4,
4) и (1,
1) являются , а не решениями.
Хотя я придумал x
= 4 и 1
и y
= 4 и 1,
x
= 4 не пошел с
и
= 4, а x
= 1 не пошел с
и
= 1.
Предупреждение: Вы должны
сопоставить значения x
и y -значения
правильно. Будь осторожен!
- Решите следующее
система уравнений:
Поскольку оба уравнения
уже решены за у ,
Я установлю их равными и найду значения x :
.
Когда x
= 5 / 2 :
Когда x
= 4:
Тогда решениями являются
точки (
5 / 2 , 15 / 4 )
и (4, 7) .
Графически Точки пересечения на графике, похоже, хорошо совпадают с численными решениями, которые я получил с помощью алгебры, что подтверждает правильность выполнения упражнения. |
- Решите следующее
система уравнений:
Беглый взгляд на
На графике я вижу, что есть только одно решение:
Думаю, я решу
второе уравнение для y ,
и подставьте результат в первое уравнение:
Тогда:
Тогда:
Тогда решение
точка (1,
1) .
1
| 2 | 3 | 4 |
5 | 6 |
Вернуться к указателю Далее
>>
Цитируйте эту статью | Стапель, Елизавета. |
Системы линейных уравнений — Бесплатная математическая справка
Системы линейных уравнений имеют место, когда существует более одного связанного математического выражения. Например, в \ (y = 3x + 7 \) есть только одна линия со всеми точками на этой линии, представляющая набор решений для приведенного выше уравнения.
Когда вам задают 2 уравнения в одном и том же вопросе и просят решить для единственного ответа, вы можете визуализировать проблему как две линии на одной плоскости xy. Следующие два уравнения изображены на одной плоскости xy:
$$ y = 3x + 5 $$
$$ y = — x $$
Решение любого уравнения — это место пересечения ОБЕИХ уравнений на плоскости xy. Это место встречи называется Точкой пересечения. Если у вас есть линейное уравнение и квадратное уравнение в одной плоскости xy, могут быть ДВЕ ТОЧКИ, где график каждого уравнения будет встречаться или пересекаться.
Вот геометрический вид:
Вот пример двух уравнений с двумя неизвестными переменными:
Пример
$$ x + y = 10 $$
$$ 3x + 2y = 20 $$
Есть три метода решения нашего пробного вопроса.
- 1) Решаем графически
- 2) Мы можем решить это алгебраически
- 3) Мы также можем решить это с помощью алгебраического исключения
Решу вопрос всеми 3 способами. Метод 1. Решить графически:
Для графического решения лучше всего записать ОБА уравнения в форме пересечения наклона или в форме: \ (y = mx + b \), где m = наклон, а b = точка пересечения y в качестве первого шага.Таким образом, \ (x + y = 10 \) становится \ (y = — x + 10 \) (форма пересечения наклона). Затем \ (3x + 2y = 20 \) становится \ (y = — \ frac {3x} {2} + 10 \) при записи в форме пересечения наклона.
Затем нарисуйте две линии, ведущие к точке пересечения. Построив эти линии, вы обнаружите, что ОБА уравнения пересекаются в точке (0,10). Точка (0,10) означает, что если вы подставите x = 0 и y = 10 в ОБЕИ исходные уравнения, вы обнаружите, что это решает оба уравнения.
Вот как эти два уравнения выглядят на плоскости xy:
Метод 2. Решить алгебраически
Шагов:
1) Решите относительно x или y в первом уравнении (\ (x + y = 10 \)).Решу за у. Итак, \ (x + y = 10 \) становится \ (y = -x + 10 \).
2) Подставьте значение y (то есть -x + 10) во второе уравнение, чтобы найти x. Наше второе уравнение было \ (3x + 2y = 20 \) и после подстановки становится \ (3x + 2 (-x + 10) = 20 \)
Далее: Решите относительно x.
$$ 3x -2x + 20 = 20 $$
$$ x + 20 = 20 $$
$$ x = 0 $$
3) Подставьте x = 0 в ЛЮБОЕ исходное уравнение, чтобы найти значение y. Я буду использовать наше второе уравнение.
$$ 3x + 2y = 20 $$
$$ 3 (0) + 2y = 20 $$
$$ 0 + 2y = 20 $$
$$ y = 10 $$
Итак, наша точка пересечения снова (0,10).
Метод 3: Алгебраическое исключение
Этот метод имеет дело с сопоставлением переменных для ELIMINATE или устранением одной. Имейте в виду, что какую переменную удалить в первую очередь — это ваш выбор.
ЦЕЛЬ: исключить x и решить вместо y или наоборот. Вернемся к нашим исходным уравнениям.
В нашем втором 3x + 2y = 20, вы можете исключить 3x, умножив -3 на КАЖДЫЙ член в нашем первом уравнении (x + y = 10).
x + y = 10
3x + 2y = 20
-3 (x) + -3 (y) = -3 (10)
3x + 2y = 20
-3x + -3y = -30
3x + 2y = 20
ВНИМАНИЕ, что -3x и 3x исключаются.Вижу это? Понять, почему? И вот почему: отрицательный плюс положительный = ноль.
Теперь у нас есть это:
-3y = -30
2y = 20
-3y + 2y = -30 + 20
-y = -10
y = 10.
Далее: чтобы найти x, мы подставляем y = 10 в ЛЮБОЕ из исходных уравнений. К настоящему времени вы должны увидеть, что наш ответ для x будет НУЛЬ.
Вот он:
Я буду использовать x + y = 10
x + 10 = 10
x = 0.
Вы видите то, что вижу я? Да, я снова нашел ту же самую точку пересечения, которая составляет (0,10).
По г-ну Фелизу
(c) 2005
Решите следующую систему линейных уравнений графически: 2x-y = 1, xy = -1 Закрасьте область, ограниченную этими линиями и — Математика — — 12106533
На миллиметровой бумаге начертите горизонтальную линию X’OX и вертикальная линия YOY ‘ как ось x и ось y соответственно.
График 2 x — y = 1
2 x — y = 1
⇒ y = (2 x — 1)…….. (i)
Положив x = 1, мы получим y = 1.
Положив x = 2, мы получим y = 3.
Положим x = 0, получаем y = −1.
Таким образом, мы имеем следующую таблицу для уравнения 2 x — y = 1:
Теперь строим точки A (1, 1), B (2, 3) и C ( 0, −1) на миллиметровой бумаге.
Присоединитесь к AB и AC , чтобы получить линию графика BC .Расширьте его в обе стороны.
Таким образом, линия BC является графиком 2 x — y = 1.
График x — y = −1
x — y = — 1
⇒ y = ( x + 1) ………… (ii)
Положив x = 1, мы получим y = 2.
Положим x = 2, получаем y = 3.
Положив x = 0, мы получим y = 1.
Таким образом, у нас есть следующая таблица для уравнения x — y = −1: Теперь нарисуйте точки P (1, 2 ), Q (0, 1). Точка B (2, 3) уже нанесена. Присоединитесь к PB и PQ , чтобы получить линию графика BQ . Расширьте его в обе стороны.
Тогда линия BQ является графиком уравнения x — y = 1.
Две линии графика пересекаются в точке B (2, 3).
∴ x = 2 и y = 3 является решением данной системы уравнений.
Эти линии графика пересекают оси y в точках C и Q .
Следовательно, область, ограниченная этими линиями и осью y — заштрихована.
Узнайте, как решить систему уравнений графически
vimeo.com/video/62917137?title=0&byline=0&portrait=0&autoplay=1;base64,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»> Узнайте, как решить систему уравнений графически, нанося точки и находя точки пересечения.
После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки Алгебры 1 и попрактикуйтесь.
Есть два способа найти точку пересечения линий. После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки предварительной алгебры и практические задачи.
Графический способ найти точку пересечения состоит в графическом отображении уравнений, сначала записывая наклон и точку пересечения по оси Y каждой линии. (значение «m» и значение «b».)
Наклон — это еще один способ измерения высоты над пробегом или отношения расстояний от каждой точки на линии.Начните рисовать точки от точки пересечения каждой линии по оси Y, а затем нанесите точку оттуда, используя наклон линии.
Когда вы делаете это для каждой линии, вы получаете точку пересечения, где координаты этой точки идентичны на обеих линиях.
Другой способ найти точку пересечения — составить таблицу для значений x и y и найти координаты, подставив каждое значение x в линейное уравнение для обеих линий.
Пример:
Итак, теперь вы найдете две идентичные координаты из двух таблиц, и эта координата будет вашей точкой пересечения.
Примеры Графическое решение системы уравнений
Пример 1
Для
Для
Пример 2
Для
Для
9000 Видео В этом уроке мы обсудим, как решить систему уравнений графическим способом.
Система уравнений — это два или более уравнений.
И чтобы решить эту проблему, мы должны иметь значение и.Для этого мы должны работать с двумя данными уравнениями. Помните, не одно, а оба уравнения одновременно.
Мы собираемся решить систему уравнений с помощью графика. Построим точки приведенных уравнений. Мы построим их график и найдем пересечение этих двух уравнений.
Пересечение двух уравнений представляет значения и.
Например, у нас есть
и
Просто обзор, формула для наклона и -пересечение.
Итак, для
наклон равен
, а
—
. Давайте изобразим это на графике, начав с нашего -intercept или начав с него.
Итак, наносим координаты.
Решите систему уравнений x+8y=-6 5x-2y=12
Алгебра, 2021-09-03 05:04:45, kristinka140320
Ответ
Ответ разместил: aigerim341
Выражаем х их первого уравнения: х= -6-8у
подставляем во второе : 5(-6-8у)-2у=12 упрощаем -42у=42 отсюда у=-1, находим х: -6-8(-1)=-6+8=2 🙂 Х=2 , У=-1
Ответ
Ответ разместил: magomedalievaa4
X+8y=-6
x=-6-8y
5x-2y=12
5(-6-8y)-2y=12
-30-40y-2y=12+30
-42y=42
y=-1
x=-6-8*(-1)=-6+8=2
ответ: (2;-1)
Ответ
Ответ разместил: 5656653256586865656
второе уравнение умножим на 4
х + 8у = — 6
20х — 8у = 48
Сложим эти уравнения почленно
21х = 42
х = 2; 2 + 8у = — 6; 8у = — 8; у = — 1
Ответ
Ответ разместил: rom32кат
На фото сделать почти все
Ответ
Ответ разместил: staroverovandr
X+8y=-6 (умножаем на -5)
5x-2y=12
-5х-40у=30
5х-2у=12
-42у=42
5х-2у=12
у=-1
5х=10
х=2
у=-1
Ответ
Ответ разместил: Angel0464118
X+8y=-6<=>x=-6-8y<=>-6-8y<=>-6-8y<=>x=2 5x-2y=12<=>5*(-6-8y)-2y=12<=>-30-40y-2y=12<=> y=-1
Ответ
Ответ разместил: JûšțĞîřł
X= -6+8у
5(-6+8у) — 2у = 12
-30+40у-2у=12
38у=42
у=42/38 у=21/19
x+8 x 21/19=-6
x + 21/2 = -6
x = -6 +21/2
x = -12/2 + 21/2 = 9/2=4,5
Ответ
Ответ разместил: mainaalikuliev
X=-6-8y
подставляем во вторую строчку
5(-6-8у)-2у=12
-30-40у-2у=12
-42у=12+30
-у=1
у=-1
отсюда находим Х
х+8у=-6
х=-6-(-1)
х=-5
Ответ
Ответ разместил: петро27
X=-6-8у
5(-6-8у)-2у=12
х=-6-8у
-30-40у-2у=12
х=-6-8у
-42у=42
х=-6-8у
у=-1
;—
х=-6-8(-1)
у=-1
х=2
у=-1
Ответ
Ответ разместил: Natalii2017
умножим 2ое уравнение на 4
х+8у= -6
20х-8у= 48
21х= 42
х= 2
что бы найти у подставим в первое уравнение: 2+8у= -6, 8у= -8, у= -1
ответ: ( 2;-1)
Другие вопросы по: Алгебра
Из 13.
44 л ацитилена получили 12г бензола. сколько процентов это составит от теоретического выхода?…
Опубликовано: 26.02.2019 18:30
Ответов: 2
.(За месяц рабочий должен был сделать 150 деталей. через некоторое время ему осталось сделать 30 деталей. сколько процентов месячной нормы выполнил рабочий за это время?)….
Опубликовано: 28.02.2019 11:40
Ответов: 1
Как составить нераспространенные предложения?…
Опубликовано: 01.03.2019 07:10
Ответов: 3
Слодки массой 200кг, движущейся со скоростью 1 м/с, прыгает мальчик массой 50 кг в горизонтальном направлении со скоростью 7 м/с. какова скорость лодки после прыжка мальчика, если…
Опубликовано: 01.03.2019 10:00
Ответов: 1
Решите уравнение : 16х(в квадрате)=49…
Опубликовано: 02.03.2019 17:20
Ответов: 3
Перевести на место музей под открытым небом восхитительный повседневная жизнь старомодный понимать титул.
3+x-10 a=2)….
Опубликовано: 28.02.2019 14:30
Ответов: 1
Решите уравнение 3sin2x-4cosx+3sinx-2=0. укажите корни, принадлежащие отрезку пи на 2 и 3 пи на 2…
Опубликовано: 01.03.2019 04:00
Ответов: 2
Целое разделено на 100 равных частей. как называются 5,17,36,40,54,89,таких частей? запиши эти дроби, и запиши эти части также и с знака%….
Опубликовано: 01.03.2019 07:00
Ответов: 3
Из 523 цыплят, выведенных в инкубаторе, петушков оказалось на 25 меньше, чем курочек. сколько курочек и сколько петушков было выведено в инкубаторе?…
Опубликовано: 01.03.2019 11:00
Ответов: 3
Подскажите формулу практического объема. в ходе реакции 56г n2 с н2 образовалось 48г аммиака nh4 найдите выход продукта….
Опубликовано: 02.03.2019 20:20
Ответов: 2
Впараллелепипеде abcda1b1c1d1 в основание находится параллелограмм со сторонами 12см и 8см и углом равным 60 градусам .
тачка k, m,n, середины ребра ab1, a1b1 ,и b1c1 соответственн…
Опубликовано: 02.03.2019 20:30
Ответов: 2
Два мальчика одновременно побежали навстречу друг другу по дорожке длиной 100 м. они встретились через 10 с. первый бежал со скоростью 4м/с. с какой скорость бежал второй мальчик?…
Опубликовано: 03.03.2019 05:40
Ответов: 2
Больше вопросов по предмету: Алгебра Случайные вопросы
Решите {l}{5x-2y=12}{6x-2y=32} | Microsoft Math Solver
x=20
y=44
Викторина
Одновременное уравнение
5 задач, похожих на:
\слева. \begin{array} { l } { 5 x — 2 y = 12 } \\ { 6 x — 2 y = 32 } \end{array} \right.
Аналогичные задачи из веб-поиска
Поделиться
Скопировано в буфер обмена
5x-2y=12,6x-2y=32
Чтобы решить пару уравнений с помощью подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных .
Затем подставьте результат этой переменной в другое уравнение.
5x-2y=12
Выберите одно из уравнений и решите его относительно x, выделив x слева от знака равенства.
5x=2y+12
Добавьте 2y к обеим частям уравнения.
x=\frac{1}{5}\left(2y+12\right)
Разделить обе части на 5.
x=\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}
Умножить \frac{1}{5} на 12+2г.
6\left(\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}\right)-2y=32
Подставьте \frac{12+2y}{5} вместо x в другом уравнении, 6х-2у=32.
\frac{12}{5}y+\frac{72}{5}-2y=32
Умножьте 6 раз на \frac{12+2y}{5}.
\frac{2}{5}y+\frac{72}{5}=32
Добавьте \frac{12y}{5} к -2y.
\frac{2}{5}y=\frac{88}{5}
Вычтите \frac{72}{5} из обеих частей уравнения.
y=44
Разделите обе части уравнения на \frac{2}{5}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.
x=\frac{2}{5}\times 44+\frac{12}{5}
Подставьте 44 вместо y в x=\frac{2}{5}y+\frac{12}{5} .
Поскольку результирующее уравнение содержит только одну переменную, вы можете найти x напрямую.
x=\frac{88+12}{5}
Умножить \frac{2}{5} на 44.
x=20
Добавить \frac{12}{5} к \frac{88} {5} путем нахождения общего знаменателя и сложения числителей. Затем уменьшите дробь до меньших членов, если это возможно.
x=20,y=44
Теперь система решена.
5x-2y=12,6x-2y=32
Приведите уравнения к стандартной форме, а затем используйте матрицы для решения системы уравнений.
\left(\begin{matrix}5&-2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left( \начало{матрица}12\\32\конец{матрица}\справа)
Запишите уравнения в матричной форме.
обратная(\левая(\начало{матрица}5&-2\\6&-2\конец{матрица}\правая))\левая(\начало{матрица}5&-2\\6&-2\конец{матрица} \right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\6&-2\end{matrix}\right) )\left(\begin{matrix}12\\32\end{matrix}\right)
Умножьте уравнение влево на обратную матрицу \left(\begin{matrix}5&-2\\6&-2\end {матрица}\справа).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin {матрица}5&-2\\6&-2\конец{матрица}\справа))\слева(\начало{матрица}12\\32\конец{матрица}\справа)
Произведение матрицы и ее обратной является единичной матрицей.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\6&-2\end{matrix}\right)) \left(\begin{matrix}12\\32\end{matrix}\right)
Умножьте матрицы слева от знака равенства.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-2}{5\left(-2\right)-\left (-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{5\left(-2\right)-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{ 5\влево(-2\вправо)-\влево(-2\умножить на 6\вправо)}&\frac{5}{5\влево(-2\вправо)-\влево(-2\умножить на 6\вправо) }\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\32\end{matrix}\right)
Для матрицы 2\x 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) обратная матрица равна \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad- bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матрица уравнение можно переписать как задачу умножения матриц.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-3&\frac{5}{2}\end{matrix} \right)\left(\begin{matrix}12\\32\end{matrix}\right)
Выполните арифметические действия.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12+32\\-3\times 12+\frac{5}{2 }\times 32\end{matrix}\right)
Перемножить матрицы.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\44\end{matrix}\right)
Выполните арифметические действия.
x=20,y=44
Извлечь элементы матрицы x и y.
5x-2y=12,6x-2y=32
Чтобы решить методом исключения, коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сокращалась при вычитании одного уравнения из другого .
5x-6x-2y+2y=12-32
Вычтите 6x-2y=32 из 5x-2y=12, вычитая одинаковые члены по обе стороны от знака равенства.
5x-6x=12-32
Добавить -2г к 2г. Члены -2y и 2y сокращаются, оставляя уравнение только с одной переменной, которую можно решить.
-x=12-32
Добавьте 5x к -6x.
-x=-20
Прибавьте 12 к -32.
x=20
Разделите обе части на -1.
6\times 20-2y=32
Подставьте 20 вместо x в 6x-2y=32. Поскольку результирующее уравнение содержит только одну переменную, вы можете найти y напрямую. 9{ 2 } — 4 x — 5 = 0
Тригонометрия
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Линейное уравнение
y = 3x + 4
Арифметика 3 0 3 0 9
90Матрица
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{массив} \right]
Одновременное уравнение
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right. 93-8
Как найти уравнение параллельной прямой
Все математические ресурсы ACT
14 Диагностические тесты 767 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 Следующая →
ACT Math Help » Алгебра » Координатная плоскость » Линии » Параллельные линии » Как найти уравнение параллельной прямой
Существует прямая, определяемая следующим уравнением:
Через точку проходит вторая прямая, параллельная указанной выше прямой.
Каково уравнение этой второй линии?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Параллельные прямые имеют одинаковый наклон. Решите для наклона в первой строке, преобразовав уравнение в форму пересечения наклона.
3x + 4y = 12
4y = – 3x + 12
y = – (3/4)x + 3
второй наклон = – 90 90 02 034 линия также будет иметь наклон – 3/4, и нам дана точка (1,2). Мы можем составить уравнение в форме пересечения наклона и использовать эти значения для решения для пересечения по оси y.
y = mx + b
2 = – 3/4(1) + b
2 = – 3/4 + b
b = 2 + 3/4 = 2,75
Подставьте ось y обратно в уравнение, чтобы получить окончательный ответ.
y = – (3/4)x + 2,75
Сообщить об ошибке
Каково уравнение прямой, параллельной и проходящей через ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы решить, нам нужно найти наклон линии.
Мы знаем, что она параллельна линии, заданной уравнением, а это означает, что две линии будут иметь равные наклоны. Найдите наклон данной линии, преобразовав уравнение в форму пересечения наклона.
Наклон линии будет . В форме перехвата наклона мы знаем, что линия будет . Теперь мы можем использовать данную точку, чтобы найти y-пересечение.
Окончательное уравнение для линии будет .
Сообщить об ошибке
Какая прямая параллельна и проходит через точку ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Начните с преобразования исходного уравнения в форму с наклонной точкой пересечения.
Наклон этой линии равен . Параллельная линия будет иметь такой же наклон. Теперь, когда мы знаем наклон нашей новой линии, мы можем использовать форму пересечения наклона и заданную точку для решения для пересечения по оси y.
Чтобы получить окончательный ответ, подставьте точку пересечения y в уравнение наклона.
Сообщить об ошибке
Каково уравнение прямой, параллельной прямой и содержащей точку?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Линия, параллельная , должна иметь наклон , что дает нам уравнение . Чтобы найти b , мы можем заменить значения y и x .
Следовательно, уравнение прямой .
Сообщить об ошибке
Какая прямая параллельна и проходит через точку ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Преобразуя заданную линию в форму пересечения наклона, мы получаем следующее уравнение:
Для параллельных линий наклоны должны быть равными, поэтому наклон новой линии также должен быть равен .
Мы можем подставить новый наклон и заданную точку в форму пересечения наклона, чтобы определить точку пересечения по оси y новой линии.
Используйте точку пересечения по оси y в уравнении наклона для получения окончательного ответа.
Сообщить об ошибке
Какая линия параллельна в ?
Возможные ответы:
Неверный ответ:
Правильный ответ:
2 Объяснение:
Найдите наклон заданной линии: (форма пересечения наклона)
поэтому наклон равен
Параллельные прямые имеют одинаковый наклон, поэтому теперь нам нужно найти уравнение линии с наклоном и проходящей через точку путем подстановки значений в формулу точка-наклон.
Итак,
Таким образом, новое уравнение будет
Сообщить об ошибке
Какая из этих формул может быть формулой для прямой, перпендикулярной прямой?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Это двухшаговая задача.
Во-первых, необходимо найти наклон исходной линии. Наклон будет представлен знаком «», когда линия находится в форме перехвата.
Итак, наклон исходной линии равен . Линия с перпендикулярным наклоном будет иметь наклон, обратно обратный исходному. Таким образом, в этом случае наклон будет . Второй шаг — найти, какая линия даст вам этот наклон. Для правильного ответа находим следующее:
Итак, наклон равен , и эта линия перпендикулярна исходной.
Сообщить об ошибке
Что из следующего является линией, параллельной линии, определяемой уравнением ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Так как параллельные прямые имеют одинаковые наклоны, вам нужно найти наклон данной вам прямой. Самый простой способ сделать это — решить уравнение так, чтобы его форма была .
представляет наклон.
Возьмите уравнение:
Сначала вычтите из обеих сторон:
Затем вычтите из обеих сторон:
Наконец, разделите на :
Таким образом,, что равно 3 900 .
Среди предоставленных вариантов только параллельный. Решите это уравнение и для формы.
Сначала вычтите из обеих сторон:
Затем разделите на :
Сообщить об ошибке
Какой из следующих вариантов ответа дает уравнение прямой, параллельной прямой:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Параллельные прямые имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения по оси Y. Когда уравнения двух прямых одинаковы, они имеют бесконечно много общих точек, тогда как параллельные прямые не имеют общих точек.
Наше уравнение представлено в форме пересечения наклона,
где — наклон.
В данной конкретной ситуации.
Поэтому мы хотим найти уравнение, которое имеет то же значение, но другое значение.
Таким образом,
параллельно нашему уравнению.
Сообщить об ошибке
Каково уравнение прямой, параллельной прямой, заданной уравнением:
?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Параллельные линии имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения по оси Y. Поскольку это единственное уравнение с одинаковым наклоном, а точка пересечения с другой отличается, это уравнение параллельной прямой.
Сообщить об ошибке
← Назад 1 2 Далее →
Уведомление об авторских правах
Все ресурсы ACT Math
14 Диагностические тесты 767 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции
Решение систем линейных уравнений с двумя переменными — промежуточная алгебра
Системы линейных уравнений
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Определять, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений
- Решите систему линейных уравнений, построив график
- Решите систему уравнений подстановкой
- Решите систему уравнений методом исключения
- Выберите наиболее удобный способ решения системы линейных уравнений
Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.
- Для уравнения
ⓐ Есть решение? ⓑ Есть решение?
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
- Найти наклон и y -пересечение линии
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
- Найти точки пересечения x и y линии
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Определить, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений
В разделе «Решение линейных уравнений» мы научились решать линейные уравнения с одной переменной. Теперь мы будем работать с двумя или более линейными уравнениями, сгруппированными вместе, что известно как система линейных уравнений.
Система линейных уравнений
Когда два или более линейных уравнения группируются вместе, они образуют систему линейных уравнений .
В этом разделе мы сосредоточим нашу работу на системах двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Мы будем решать более крупные системы уравнений позже в этой главе.
Ниже показан пример системы двух линейных уравнений. Мы используем фигурную скобку, чтобы показать, что два уравнения сгруппированы вместе, чтобы сформировать систему уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными, имеющее, например, бесконечное число решений. Его график представляет собой линию. Помните, что каждая точка на прямой — это решение уравнения, а каждое решение уравнения — это точка на прямой.
Чтобы решить систему двух линейных уравнений, мы хотим найти значения переменных, являющихся решениями обоих уравнений. Другими словами, мы ищем упорядоченные пары, которые делают оба уравнения верными. Они называются решениями системы уравнений.
Решения системы уравнений
решений системы уравнений являются значениями переменных, которые делают все уравнений верными.
Решение системы двух линейных уравнений представлено упорядоченной парой
Чтобы определить, является ли упорядоченная пара решением системы двух уравнений, мы подставляем значения переменных в каждое уравнение. Если упорядоченная пара делает оба уравнения верными, это решение системы.
Определите, является ли упорядоченная пара решением системы
ⓐⓑ
ⓐ
ⓑ
Определите, является ли упорядоченная пара решением системы
ⓐⓑ
ⓐ ⓑ Нет.
Определить, является ли заказанная пара решением системы
ⓐⓑ
ⓐ нет ⓑ да
Решение системы линейных уравнений с помощью графика
В этом разделе мы будем использовать три метода для решения системы линейных уравнений. Первый метод, который мы будем использовать, — это построение графика.
График линейного уравнения представляет собой линию. Каждая точка на прямой является решением уравнения. Для системы двух уравнений мы начертим две линии.
Тогда мы сможем увидеть все точки, являющиеся решениями каждого уравнения. И, найдя, что общего у линий, мы найдем решение системы.
Большинство линейных уравнений с одной переменной имеют одно решение, но мы видели, что некоторые уравнения, называемые противоречиями, не имеют решений, а для других уравнений, называемых тождествами, решениями являются все числа.
Аналогичным образом, когда мы решаем систему двух линейных уравнений, представленную графиком из двух линий на одной плоскости, возможны три случая, как показано.
Каждый раз, когда мы демонстрируем новый метод, мы будем использовать его на одной и той же системе линейных уравнений. В конце раздела вы решите, какой метод был наиболее удобным для решения этой системы.
Как решить систему уравнений с помощью графика
Решить систему с помощью графика
Решить систему с помощью графика:
Решить систему с помощью графика:
Шаги линейной системы, используемые для решения системы уравнения в виде графика показаны здесь.
Решите систему линейных уравнений с помощью графика.
- Нарисуйте первое уравнение.
- Постройте график второго уравнения в той же прямоугольной системе координат.
- Определите, пересекаются ли линии, параллельны ли они или являются одной и той же линией.
- Определите решение системы.
- Если линии пересекаются, определите точку пересечения. Это решение системы.
- Если прямые параллельны, система не имеет решения.
- Если линии одинаковые, система имеет бесконечное число решений.
- Проверьте решение обоих уравнений.
В следующем примере мы сначала перепишем уравнения в форме наклон-пересечение, так как это облегчит нам быстрое построение линий.
Решите систему, построив график:
Мы решим оба этих уравнения для, чтобы мы могли легко построить их график, используя их наклоны и y -перехваты.
Solving the first equation for y, we get y equal to minus 3 x minus 1. So, slope is minus 3 and y intercept is minus 1. Similarly, for the second equation, we get y equal to minus 2 x. So, slope is minus 2 and y intercept is 0. Graphing the lines, we get the point of intersection minus 1, 2. To check the solution in both equations, we substitute minus 1 and 2 for x and y respectively. Both equations hold true. The solution is minus 1, 2.» data-label=»»>
Решите систему с помощью графика:
Решите систему с помощью графика:
Во всех системах линейных уравнений до сих пор линии пересекались и решением была одна точка. В следующих двух примерах мы рассмотрим систему уравнений, не имеющую решения, и систему уравнений, имеющую бесконечное число решений.
Решите систему графически:
The slope and y intercept of the first equation are half and minus 3 respectively. To graph the second equation, we will use the intercepts x equal to 0 when y equal to minus 2 and x equal to 4 when y equal to 0. We graph the lines to determine the point of intersection. The lines are parallel. Since no point is on both lines, there is no ordered pair that makes both equations true. There is no solution to this system.» data-label=»»>наклон и у -пересечение.
перехвата.
Поскольку на обеих линиях нет точек, нет
упорядоченная пара, которая составляет оба уравнения
правда. У этой системы нет решения.
Решите систему с помощью графика:
Нет решения
Решите систему с помощью графика:
Нет решения
Иногда уравнения в системе представляют собой одну и ту же линию. Поскольку каждая точка на прямой делает оба уравнения верными, существует бесконечно много упорядоченных пар, которые делают оба уравнения верными. Система имеет бесконечно много решений.
Решите систему графически:
We use these points for graphing the lines to determine the point of intersection. The lines are the same. Since every point on the line makes both equations true, there are infinite many ordered pairs that make both equations true. There are infinite many solutions to this system.» data-label=»»>Так как каждая точка на прямой составляет
уравнений верны, их бесконечно много
упорядоченных пары, которые делают оба уравнения верными.
У этой системы бесконечно много решений.
Если вы запишете второе уравнение в форме наклон-пересечение, вы увидите, что уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковые y -пересечение.
Решить систему графически:
бесконечно много решений
Решить систему графически:
бесконечно много решений
Когда мы рисовали вторую линию в последнем примере, мы нарисовали ее прямо над первой линией. Мы говорим, что две прямые совпадают. Совпадающие прямые имеют одинаковый наклон и одинаковые г- перехват.
Совпадающие прямые
Совпадающие прямые имеют одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения и .
Каждая из систем уравнений (рисунок) и (рисунок) состоит из двух пересекающихся линий. Каждая система имела одно решение.
На (рис.) уравнения дали совпадающие прямые, поэтому система имела бесконечно много решений.
Системы в этих трех примерах имели по крайней мере одно решение. Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется соответствует системе .
Система с параллельными прямыми, подобная (рисунок), не имеет решения. Мы называем такую систему уравнений несовместимой. Не имеет решения.
Непротиворечивые и непротиворечивые системы
Непротиворечивая система уравнений — это система уравнений, имеющая хотя бы одно решение.
Несогласованная система уравнений — это система уравнений, не имеющая решения.
Мы также классифицируем уравнения в системе уравнений, называя уравнения независимый или зависимый . Если два уравнения независимы, то каждое из них имеет собственный набор решений. Пересекающиеся прямые и параллельные прямые независимы.
Если два уравнения являются зависимыми, то все решения одного уравнения являются также решениями другого уравнения.
Когда мы рисуем два зависимых уравнения, мы получаем совпадающие линии.
Подведем итоги, взглянув на графики трех типов систем. См. ниже и (рисунок).
| Линии | Пересечение | Параллельный | Совпадение |
|---|---|---|---|
| Количество растворов | 1 балл | Нет решения | Бесконечно много |
| Последовательный/непоследовательный | Последовательный | Несоответствие | Последовательный |
| Зависимый/ независимый | Независимый | Независимый | Зависимый |
Без построения графика определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.
ⓐⓑ
ⓐ Сравним наклоны и точки пересечения двух линий.
Система уравнений, графики которой представляют собой параллельные прямые, не имеет решения, несовместна и независима.
ⓑ Сравним наклон и точки пересечения двух линий.
Система уравнений, графики которой пересекаются, имеет 1 решение, является непротиворечивой и независимой.
Без построения графика определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.
ⓐⓑ
ⓐ нет решения, противоречивое, независимое ⓑ одно решение, последовательное, независимое
Без построения графика определите количество решений и затем классифицируйте систему уравнений.
ⓐⓑ
ⓐ нет решения, противоречивый, независимый ⓑ одно решение, непротиворечивый, независимый
Решение систем линейных уравнений с помощью графика — хороший способ визуализировать возможные решения. Однако во многих случаях решение системы с помощью графика неудобно или неточно.
Если графики выходят за пределы маленькой сетки с размерами 91 520 x 91 110 и 91 520 y 91 110 между числами и 10, построение графиков может быть громоздким. И если решения системы не являются целыми числами, может быть трудно точно прочитать их значения по графику.
Решите систему уравнений подстановкой
Теперь решим системы линейных уравнений методом подстановки.
Мы будем использовать ту же систему, которую использовали для построения графика.
Сначала мы решим одно из уравнений либо для x , либо для y . Мы можем выбрать любое уравнение и найти решение для любой переменной, но мы постараемся сделать такой выбор, который облегчит нам работу.
Затем мы подставляем это выражение в другое уравнение. В результате получается уравнение только с одной переменной, и мы знаем, как его решить!
После того, как мы найдем значение одной переменной, мы подставим это значение в одно из исходных уравнений и найдем другую переменную.
Наконец, мы проверяем наше решение и убеждаемся, что оба уравнения верны.
Как решить систему уравнений подстановкой
Решить систему подстановкой:
Решить систему подстановкой:
Решить систему подстановкой:
Решить систему уравнений.
- Решите одно из уравнений для любой переменной.
- Подставьте выражение из шага 1 в другое уравнение.
- Решите полученное уравнение.
- Подставьте решение шага 3 в любое из исходных уравнений, чтобы найти другую переменную.
- Запишите решение в виде упорядоченной пары.
- Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений.
Будьте очень осторожны со знаками в следующем примере.
Решить систему подстановкой:
Нам нужно решить одно уравнение для одной переменной. Решим первое уравнение для y .
Solving the first equation for y, we get y equal to minus 2 x plus 2. Substituting this in the second equation, we get 6 x minus open parentheses minus 2 x plus 2 close parentheses equals 8. Solving for x, we get x equal to 5 by 4. Substituting this in the first equation, and solving for y, we get y equal to minus 1 by 2. The ordered pair is 5 by 4, minus 1 by 2. Check the ordered pair in both equations. Both hold true. Hence, that is the solution.» data-label=»»>Замените на во втором уравнении.
Решить систему подстановкой:
Решить систему подстановкой:
Решите систему уравнений методом исключения
Мы решили системы линейных уравнений с помощью графиков и подстановок. Графики хорошо работают, когда переменные коэффициенты малы, а решение имеет целые значения. Подстановка работает хорошо, когда мы можем легко решить одно уравнение для одной из переменных и не иметь слишком много дробей в результирующем выражении.
Третий метод решения систем линейных уравнений называется методом исключения. Когда мы решали систему подстановкой, мы начинали с двух уравнений и двух переменных и сводили ее к одному уравнению с одной переменной. То же самое мы сделаем и с методом исключения, но у нас будет другой способ добраться туда.
Метод исключения основан на свойстве сложения равенства. Свойство сложения равенства говорит о том, что, когда вы добавляете одно и то же количество к обеим частям уравнения, вы все равно получаете равенство. Мы расширим свойство равенства сложения, чтобы сказать, что когда вы добавляете равные количества к обеим частям уравнения, результаты равны.
Для любых выражений a, b, c, и d .
Чтобы решить систему уравнений методом исключения, мы начинаем с обоих уравнений в стандартной форме. Затем мы решаем, какую переменную будет проще всего исключить. Как мы решаем? Мы хотим, чтобы коэффициенты одной переменной были противоположными, чтобы мы могли сложить уравнения и исключить эту переменную.
Обратите внимание, как это работает, когда мы складываем эти два уравнения вместе:
и прибавляются к нулю, и мы получаем одно уравнение с одной переменной.
Давайте попробуем еще один:
На этот раз мы не видим переменную, которую можно сразу исключить, если мы добавим уравнения.
Но если мы умножим первое уравнение на, мы сделаем коэффициенты x противоположными. Мы должны умножить каждый член в обеих частях уравнения на
Тогда перепишите систему уравнений.
Теперь мы видим, что коэффициенты членов x являются противоположными, поэтому x будут исключены, когда мы сложим эти два уравнения.
Получив уравнение только с одной переменной, мы решаем его. Затем мы подставляем это значение в одно из исходных уравнений, чтобы найти оставшуюся переменную. И, как всегда, мы проверяем наш ответ, чтобы убедиться, что он является решением обоих исходных уравнений.
Теперь мы посмотрим, как использовать исключение для решения той же системы уравнений, которую мы решали с помощью графика и подстановки.
Как решить систему уравнений методом исключения
Решить систему методом исключения:
Решить систему методом исключения:
Решить систему методом исключения:
Шаги перечислены здесь для удобства.
Решите систему уравнений методом исключения.
- Запишите оба уравнения в стандартной форме. Если какие-либо коэффициенты являются дробями, очистите их.
- Сделайте коэффициенты одной переменной противоположными.
- Решите, какую переменную вы удалите.
- Умножьте одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты этой переменной были противоположны.
- Добавьте уравнения, полученные на шаге 2, чтобы исключить одну переменную.
- Найдите оставшуюся переменную.
- Подставьте решение шага 4 в одно из исходных уравнений.
Затем найдите другую переменную. - Запишите решение в виде упорядоченной пары.
- Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений.
Затем найдите другую переменную.Теперь сделаем пример, где нам нужно умножить оба уравнения на константы, чтобы сделать коэффициенты одной переменной противоположными.
Решите систему методом исключения:
В этом примере мы не можем умножить только одно уравнение на любую константу, чтобы получить противоположные коэффициенты. Поэтому мы стратегически умножим оба уравнения на разные константы, чтобы получить противоположные значения.
Simplifying both, we get 8x minus 6y equals 18 and 21x plus 6y equals minus 18. Adding the two equations to eliminate y, and solving for x, we get x equal to 0. Substituting this into one of the original equations and solving for y, we get y equal to minus 3. The ordered pair of the solution is 0, minus 3. Check that the ordered pair is a solution to both original equations.» data-label=»»>Чтобы получить противоположные коэффициенты y , мы будем
умножьте первое уравнение на 2 и
второе уравнение на 3.
оба исходных уравнения.
Решить систему методом исключения:
Решите каждую систему методом исключения:
Когда система уравнений содержит дроби, мы сначала очистим дроби, умножив каждое уравнение на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении.
Решите систему методом исключения:
В этом примере оба уравнения содержат дроби. Нашим первым шагом будет умножение каждого уравнения на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении, чтобы очистить дроби.
| Чтобы убрать дроби, умножьте каждую
Уравнение на ЖК-дисплее. | |
| Упрощение. | |
| Теперь мы готовы устранить один переменных. Обратите внимание, что оба уравнения находятся в Стандартная форма. | |
| Мы можем исключить, умножив первое уравнение на | |
| Упростить и добавить. Подставить в одно из исходных уравнений. | |
| Решите для . | |
| Запишите решение в виде упорядоченной пары. | Заказанная пара |
| Убедитесь, что заказанная пара является решением оба исходных уравнения. | |
| Решение |
Решить каждую систему методом исключения:
Решить каждую систему методом исключения:
Когда мы решили систему с помощью графика, мы увидели, что не все системы линейных уравнений имеют в качестве решения одну упорядоченную пару. Когда два уравнения действительно представляли собой одну прямую, решений было бесконечно много. Мы назвали это последовательной системой. Когда два уравнения описывали параллельные прямые, решения не было. Мы назвали это непоследовательной системой.
То же самое верно при использовании замены или исключения. Если уравнение в конце подстановки или исключения является верным утверждением, мы имеем непротиворечивую, но зависимую систему, а система уравнений имеет бесконечно много решений. Если уравнение в конце подстановки или исключения является ложным утверждением, мы имеем противоречивую систему, и система уравнений не имеет решения.
Решите систему методом исключения:
Это верное утверждение. Уравнения непротиворечивы, но зависимы. Их графики были бы одной линией. Система имеет бесконечно много решений.
После того, как мы очистили дроби во втором уравнении, вы заметили, что два уравнения были одинаковыми? Это означает, что у нас есть совпадающие линии.
Решить систему методом исключения:
бесконечно много решений
Решить систему методом исключения:
бесконечно много решений
Выберите наиболее удобный метод решения системы линейных уравнений
Когда вы решаете систему линейных уравнений в приложении, вам не сообщают, какой метод использовать. Вам нужно будет принять это решение самостоятельно. Таким образом, вы захотите выбрать метод, который проще всего сделать и сводит к минимуму вероятность ошибок.
Для каждой системы линейных уравнений решите, будет ли удобнее решать ее подстановкой или исключением. Поясните свой ответ.
ⓐⓑ
ⓐ
Поскольку оба уравнения имеют стандартную форму, наиболее удобным будет использование исключения.
ⓑ
Поскольку одно уравнение уже решено для y , наиболее удобным будет использование подстановки.
Для каждой системы линейных уравнений решите, будет ли удобнее решать ее подстановкой или исключением. Поясните свой ответ.
ⓐⓑ
ⓐ Поскольку оба уравнения имеют стандартную форму, наиболее удобным будет использование исключения. ⓑ Так как одно уравнение уже решено за x , использовать подстановку будет удобнее всего.
Для каждой системы линейных уравнений решите, будет ли удобнее решать ее подстановкой или исключением. Поясните свой ответ.
ⓐⓑ
ⓐ Поскольку одно уравнение уже решено для y , наиболее удобным будет использование подстановки. ⓑ Так как оба уравнения имеют стандартную форму, наиболее удобным будет использование метода исключения.
Ключевые понятия
Практика делает совершенным
Определите, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений
В следующих упражнениях определите, являются ли следующие точки решениями данной системы уравнений.
ⓐ да ⓑ нет
ⓐ да ⓑ нет
Решение системы линейных уравнений с помощью графика
В следующих упражнениях решите следующие системы уравнений с помощью графика.
no solution
no solution
infinite solutions
бесконечные решения
Без построения графика определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.
1 точка, согласованная и независимая
1 точка, согласованные и независимые
Бесконечные растворы, согласованные, зависимые
Решайте систему уравнений. упражнения, решить системы уравнений с заменой.
. решать системы уравнений методом исключения.
infinitely many
infinitely many
Choose the Most Convenient Method to Solve a Система линейных уравнений
В следующих упражнениях решите, будет ли удобнее решать систему уравнений путем замены или исключения.
ⓐ
ⓑ
ⓐ
ⓑ
ⓐ Замена ⓑ Элиминация
ⓐ
ⓑ
ⓐ
ⓑ
ⓐ leptinum два уравнения имеют одинаковые точки пересечения. Опишите возможные решения системы.
Решите систему уравнений подстановкой и объясните все свои действия словами:
Ответы будут разными.
Решите систему уравнений методом исключения и объясните все свои действия словами:
Решите систему уравнений
ⓐ графически ⓑ подстановкой
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?
Ответы будут разными.
Самопроверка
После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.
Если большинство ваших чеков были:
…уверенно. Поздравляем! Вы достигли целей в этом разделе. Подумайте об учебных навыках, которые вы использовали, чтобы вы могли продолжать их использовать.
Что вы сделали, чтобы обрести уверенность в своих способностях делать эти вещи? Быть конкретной.
…с некоторой помощью. Это нужно решать быстро, потому что темы, которые вы не осваиваете, становятся выбоинами на вашем пути к успеху. В математике каждая тема основывается на предыдущей работе. Прежде чем двигаться дальше, важно убедиться, что у вас есть прочная основа. Кого можно попросить о помощи? Ваши одноклассники и преподаватель являются хорошими ресурсами. Есть ли в кампусе место, где есть репетиторы по математике? Можно ли улучшить свои учебные навыки?
…нет – не понимаю! Это предупреждающий знак, и вы не должны его игнорировать. Вы должны немедленно обратиться за помощью, иначе вы быстро будете поражены. Как можно скорее обратитесь к инструктору, чтобы обсудить вашу ситуацию. Вместе вы можете придумать план, как получить необходимую вам помощь.
Глоссарий
- совпадающие строки
- Совпадающие прямые имеют одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения и .
- согласованные и несогласованные системы
- Непротиворечивая система уравнений – это система уравнений, имеющая хотя бы одно решение; несовместная система уравнений – это система уравнений, не имеющая решения.
- решения системы уравнений
- Решениями системы уравнений являются значения переменных, составляющих все уравнения верны; решение представлено упорядоченной парой
- система линейных уравнений
- Когда два или более линейных уравнения группируются вместе, они образуют систему линейных уравнений.
Системы уравнений: Решение систем линейных уравнений с помощью подстановок
Решение систем линейных уравнений с помощью подстановок
Графики — полезный инструмент для решения систем уравнений, но иногда он может занимать много времени. Более быстрый способ решения систем состоит в том, чтобы изолировать одну переменную в одном уравнении и подставить полученное выражение для этой переменной в другое уравнение.
Обратите внимание:
Пример 1 : Решите следующую систему, используя подстановку:
| 5 x + y | = | 13 | 3 |
| 3 x | = | 15 — 3 у |
Легче всего выделить переменную y в первом уравнении, потому что она не имеет коэффициента:
y = 13 — 5 x
Во втором уравнении подставьте вместо y его эквивалентное выражение:
3 x = 15 — 3 (13 — 5 x )
Решить уравнение:
3 х = 15 — 39 + 15 х
3 х = 15 х — 24
-12 х = — 24
х = 2
Теперь подставьте это значение x в «уравнение изоляции», чтобы найти y :
y = 13 — 5 x = 13 — 5(2) = 13 — 10 = 3
Таким образом, решением системы является (2, 3).
Полезно проверить это решение в обоих уравнениях.
Примечание: Хотя мы выбрали y в первом уравнении в предыдущем примере, выделение любой переменной в любом уравнении даст одно и то же решение.
Пример 2 : Решите следующую систему, используя замену:
| 2 x + 4 y | = | 36 | |
| 3 | |||
| 10 у — 5 х | = | 0 |
Легче работать со вторым уравнением, потому что в нем нет постоянного члена:
5 x = 10 y
х = 2 у
В первом уравнении подставьте вместо x его эквивалентное выражение:
2 (2 y ) + 4 y = 36
Решите уравнение:
4 y + 4 у = 36
8 у = 36
y = 4,5
Подставьте это значение y в уравнение изоляции, чтобы найти x :
x = 2 y = 2(4,5) = 9
Таким образом, решением системы является (9, 4.
5).
Пример 3 : Решите следующую систему, используя замену:
| 2 x — 4 y | = | 12 | |
| 3 | 3 | ||
| 3 х | = | 21 + 6 у |
Легче всего выделить х во втором уравнении, так как член х уже стоит особняком:
В первом уравнении подставьте вместо x его эквивалентное выражение:
2 (7 + 2 y ) — 4 y = 12
Решите уравнение:
14 + 4 г — 4 г = 12
14 = 12
Поскольку 14≠12, система уравнений не имеет решения.
Он противоречив (и независим). Два уравнения описывают две параллельные прямые.
Пример 4
Для выделения переменной можно использовать любое уравнение. Выделим y во втором уравнении:
2 y = 5 x + 34
у =
у = х + 17
В первом уравнении подставьте вместо y его эквивалентное выражение:
10 x = 4( x + 17) — 68
10 х = 10 х + 68 — 68
10 х = 10 х
0 = 0
Так как 0 = 0 для любого значения x , система уравнений имеет бесконечные решения. Каждая упорядоченная пара ( x , y ), которая удовлетворяет y = x + 17 (уравнение изоляции), является решением системы.
Система зависима (и непротиворечива). Два уравнения описывают одну и ту же прямую: y = x + 17.
Clip При каком значении k уравнение 2x 3y 4 и K 2 x 6y 3k 2 будет иметь бесконечно много решений?
Thủ Thuật Hướng dẫn При каком значении k уравнение 2x 3y 4 и K 2 x 6y 3k 2 будет иметь бесконечно много решений? Чи Тит
Bùi Minh Chính đang tìm kiếm từ khóa При каком значении k уравнение 2x 3y 4 и K 2 x 6y 3k 2 будет иметь бесконечно много решений? được Cập Nhật vào lúc : 2022-10-05 01:28:08 . Với phương châm chia sẻ mẹo về trong nội dung bài viết một cách chi tiết 2022. nếu sau khi читайте nội dung bài viết vẫn ko hiểu thì hoàn to of thể n.
При каком значении k система уравнений
x + 2y = 3,
5x + ky + 7 = 0
Имеет (i) единственное решение, (ii) не имеет решения?
Кроме того, покажите, что не существует значения k, для которого данная система уравнений имеет бесконечное число решений.
Математика Глава 3. Пара линейных уравнений с двумя переменнымиЧасто задаваемые вопросы о решениях RD Sharma для математики 10 класса Глава 3Где я могу получить точное решение для RD Sharma Solution for Class 10 Math Chapter 3?Необходимо ли решать каждую задачу, представленную в Решение Р. Д. Шармы для 10-го класса по математике, глава 3? Перечислите концепции, рассмотренные в решении Р. Д. Шармы по математике для 10-го класса, глава 3? При каком значении k уравнения 2x 3y 4 и K 2 x 6y 3k 2 представляют совпадающие прямые? Для чего При каком значении k эта система имеет бесконечно много решений? При каком значении K следующая система линейных уравнений будет иметь бесконечное число решений x/y z 3? При каком значении k следующая пара уравнений будет иметь бесконечное множество решений 2x 3y 7?
Данная система уравнений:
x + 2y = 3
⇒ x + 2y — 3 = 0 ….(i)
И, 5x + ky + 7 = 0
…(ii)
Эти уравнения имеют следующий вид:
`a_1x+b_1y+c_1 = 0, a_2x+b_2y+c_2 = 0`
где, `a_1 = 1, b_1= 2, c_1= -3 и a_2 = 5, b_2 = k, c_2 = 7`
(i) Для единственного решения мы должны иметь:
∴ `(a_1)/(a_2) ≠ (b_1)/(b_2), т.
е. 1/5 ≠ 2/k ⇒ k ≠ 10`
Таким образом, при всех действительных значениях k, отличных от 10, данная система уравнений будет иметь единственное решение.
(ii) Для того, чтобы данная система уравнений не имела решения, мы должны иметь:
`(a_1)/(a_2) = (b_1)/(b_2 )≠
(c_1)/(c_2)`
`⇒ 1/5 ≠ 2/k ≠ (−3)/7`
`⇒ 1/5 ≠ 2/k и 2/k ≠ (−3)/7`
` ⇒k = 10, k ≠ 14/(−3)`
Следовательно, искомое значение k равно 10.
Не существует значения k, при котором данная система уравнений имеет бесконечное число решений.
RD Sharma Solutions для 10-го класса по математике, глава 3 — бесплатная загрузка в формате PDF
RD Sharma Solutions для 10-го класса по математике, глава 3 — Пара линейных уравнений
В двух переменных предоставлены здесь студентам для изучения и подготовки к экзаменам. Предмет математики хорошо изучен с правильными методами и инструментами для его изучения. Для студентов, которым трудно понять и решить проблемы, есть то, что вам нужно — RD Sharma Solutions.
Эксперты BYJU’S создали эти ответы с учетом концептуального уровня студентов, чтобы удовлетворить их потребности. Подробные решения помогут
учащиеся получают хорошие оценки по предмету.
9Решения 1121 RD Sharma для класса 10, глава 3 , доступны здесь. Студенты могут найти эти решения в формате PDF по указанным ссылкам. Класс 10 — это этап, на котором вводятся несколько новых тем. Наши эксперты формулируют эти темы, чтобы помочь учащимся при подготовке к экзаменам получить отличные оценки по математике. Решения пошаговые и подробные, чтобы облегчить обучение для учащихся.
Студенты, которые хотят преуспеть в экзамены практика Решения RD Sharma для класса 10. Это руководство по решению также закладывает основу в жизни учащегося. Эта глава является продолжением того, что вы узнали в средней школе о линейное уравнение с одной переменной. Рассмотрим некоторые понятия, обсуждаемые в этой главе:
- Системы линейных уравнений с двумя переменнымиРешение системы линейных уравнений с двумя переменнымиГрафические и алгебраические методы решения системы
линейные уравнения с двумя переменными, такие как методы замены, исключения и перекрестного умножения.
Последовательная и непоследовательная система уравнений. Применение линейных уравнений с двумя переменными при решении простых задач из разных областей.Глава 3 Пара линейных уравнений с двумя переменными
Доступ к решениям RD Sharma для класса 10 Математика Глава 3. Пара линейных уравнений с двумя переменными
Упражнение 3.1 Номер страницы: 3.12
1 . Ахила пошла на ярмарку в свою деревню. Она хотела покататься на Гигантском колесе и поиграть в хупла (тро-чи, в котором вы бросаете оснастку на предметы в киоске, и если кольцо полностью закрывает какой-либо предмет, вы его получаете). Количество раз, когда она играла в Hoopla, вдвое меньше, чем она каталась на гигантском колесе. Каждая поездка стоит ₹ 3 и три чая шумихи стоит ₹ 4. Если она потратила ₹ 20 на ярмарке, изобразите эту ситуацию алгебраически и графически.
Решение:
Пусть «x» будет количеством поездок Ахилы на гигантском колесе.
И пусть «y» будет количеством раз, когда она играла в Hoopla.
Из вопроса мы можем написать следующую пару уравнений.
у = (1/2) х ⇒ х -2у = 0……. (i)
3x + 4y = 20……. (ii)
Чтобы представить эти уравнения графически, нам нужно как минимум два решения для каждого (i) и (ii).
И запишем их в таблицу для каждого:
Для уравнения (i),
Для уравнения (ii),
Икс 0 20/3 4 у = (20 – 3х)/4 5 0 2
Когда:
Решение переменной равно нулю; уравнение решается легко. Полагая x =0 в уравнении (ii), мы получаем
4y = 20 ⇒y = 5
Аналогичным образом, положив y = 0 в уравнении (ii), мы получим
3x = 20 ⇒x = 20/3 но это не целое число, поэтому его нелегко изобразить на миллиметровой бумаге.
Итак, мы выбрали y=2, что дает x =4 как целочисленное значение.
Вышеизложенное можно изобразить на графике, как показано ниже:
Мы можем заметить, что две линии, представляющие уравнения (i) и (ii), пересекаются в одной точке.
2. Афтаб говорит своей дочери: «Семь лет назад я был в семь раз старше тебя. Кроме того, через три года мне будет три раз старше, чем ты будешь». Разве это не интересно? Представьте эту ситуацию алгебраически и графически.
Решение:
Пусть настоящий возраст Афтаба и его дочери равен x и y соответственно.
Следовательно, семь лет назад
Возраст Афтаба = x – 7 и Возраст его дочери = y – 7
Согласно заданному условию,
x – 7 = 7 (y – 7) ⇒ x – 7y = -42……… (i)
Через три года от настоящего возраста,
x + 3 = 3 (y + 3) ⇒x – 3y = 6………..(ii)
Следовательно, уравнения (i) и (ii) представляют ситуацию алгебраически.
Чтобы представить эти уравнения графически, нам нужно как минимум два решения для каждого (i) и (ii).
И запишем их в таблицу для каждого:
Для уравнения (i),
Икс -7 0 7 у = (х + 42)/7 5 6 7
Для уравнения (ii),
Икс 6 3 0 у = (х – 6)/3 0 -1 -2
Вышеупомянутое можно изобразить на графике, как показано ниже:
3.
Путь
поезд A задается уравнением 3x+4y-12=0, а путь другого поезда B задается уравнением 6x+8y-48=0. Изобразите эту ситуацию графически.
Решение:
Дана пара линейных уравнений, которая представляет пути поезда А и поезда В,
3x + 4y – 12 = 0…………………………….. (i)
6x + 8y – 48 = 0 …………………………….. (ii)
Чтобы представить эти уравнения графически, нам нужно как минимум два решения для каждого (i) и (ii).
И давайте поместим их в таблица для каждого:
Для уравнения (i),
Икс 0 4 у = (12 – 3х)/4 3 0
Для уравнения (i),
Икс 0 8 у = (48 – 6х)/8 6 0
Вышеизложенное можно представить в виде графика:
Упражнение 3.2 Номер страницы: 3.29
Решите графически следующую систему уравнений:
1. x + y = 3
2x + 5y = 12
Решение:
Дано,
x… + .
y = .y +. (i) 2x + 5y = 12……. (ii)
Для уравнения (i),
Когда y = 0, мы имеем x = 3
Когда x = 0, мы имеем y = 3
Таким образом, у нас есть следующая таблица, дающая точки на линии x + y = 3
Для уравнения (ii ),
Находим y:
⇒ y = (12 – 2x)/5
Итак, при x = 1
y = (12 – 2(1))/5 = 2
И, когда x = 6
⇒ y = (12 – 2(6))/5 = 0
Таким образом, мы имеем следующую таблицу, дающую точки на линии 2x + 5y = 12
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Ясно, что две прямые пересекают одну точку P (1, 2)
Следовательно, x= 1 и y = 2
2. x – 2y = 5
2x + 3y = 10
Решение:
Дано,
х – 2у = 5……. (i)
2x + 3y = 10…….
(ii)
Для уравнения (i):
⇒ y = (x – 5)/2
Когда y = 0, мы имеем x = 5
Когда x = 1, мы имеем y = -2
Таким образом, у нас есть следующая таблица с точками на линии x – 2y = 5
Для уравнения ( ii),
Находим y:
⇒ y = (10 – 2x)/3
Итак, когда x = 5
y = (10 – 2(5))/3 = 0
И, когда x = 2
⇒ y = (10 – 2(2))/3 = 2
Таким образом, мы имеем следующую таблицу с точками на линии 2x + 3y = 10
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Ясно, что две линии пересекают одну точку P (5, 0)
Следовательно, x= 5 и y = 0
3. 3x+ y + 1 = 0
2x – 3y + 8 = 0
Решение:
Дано,
… 1+0 = 3.1+0y21 (i)
2x – 3y + 8 = 0…….
(ii)
Для уравнения (i),
⇒ y = -(1 + 3x)
При x = 0 имеем y = -1
При x = -1 имеем y = 2
Таким образом, имеем В следующей таблице указаны точки на прямой 3x+ y + 1 = 0
Для уравнения (ii)
Решим для y:
⇒ y = (2x + 8)/3
3 Итак, при x = -4
y = (2(-4) + 8)/3 = 0
И при x = -1
⇒ y = (2(-1) + 8)/3 = 2
Таким образом, у нас есть следующая таблица с точками на линии 2x – 3y + 8 = 0
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Ясно, что две линии пересекают одну точку P (-1, 2)
Следовательно, x= — 4 и y = 0
4. 2x + y – 3 = 0
2x – 3y – 7 = 0
Решение:
Дано,
2x + y – 3 = 0……. (i)
2x – 3y – 7 = 0…….
(ii)
Для уравнения (i):
⇒ y = (3 – 2x)
При x = 0 имеем y = (3 – 2(0)) = 3
При x = 1 имеем y = (3 – 2(1)) = 1
Таким образом, мы имеем следующую таблицу, в которой указаны точки на прямой 2x + y – 3 = 0
Для уравнения (ii)
Решим для y:
⇒ y = 2x y – 7)/ 3
Итак, при x = 2
y = (2(2) – 7)/3 = -1
И при x = 5
⇒ y = (2(5) – 7)/3 = 1
Таким образом, мы есть следующая таблица, дающая точки на линии 2x – 3y – 7 = 0
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Ясно, что две прямые пересекают одну точку P (2, -1)
Следовательно, x= 2 и y = -1
5. x + y = 6
x – y = 2
Решение:
Дано,
х + у = 6……. (i)
х – у = 2…….
(ii)
Для уравнения (i):
⇒ y = (6 – x)
При x = 2 имеем y = (6 – 2)) = 4
При x = 3 имеем y = (6 – 3) = 3
Таким образом, мы Имеем следующую таблицу с точками на прямой x + y = 6
Для уравнения (ii)
Решаем для y:
⇒ y = (x – 2)
Итак, когда х = 2
у = (0 – 2) = -2
И, когда x = 5
⇒ y = (2 – 2) = 0
Таким образом, мы имеем следующую таблицу с точками на линии x – y = 2
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Ясно, что две прямые пересекают одну точку P (4, 2)
Следовательно, x= 4 и y = 2
6. x — 2y = 6
3x — 6y = 0
Решение:
,
x — 2y = 6 ……. (i)
3x – 6y = 0 ……. (ii)
Для уравнения (i):
⇒ y = (x – 6)/2
При x = 2 имеем y = (2 – 6)/2 = -2
При x = 0 имеем y = (0 – 6)/2 = -3
Таким образом, имеем следующее таблица, дающая точки на линии x – 2y = 6
Для уравнения (ii),
Решим для y:
⇒ y = x/ 2
Итак, когда x = 0
y0/2 = 0
И, когда x = 2
⇒ y = 2/2 = 1
Таким образом, мы имеем следующую таблицу, дающую точки на линии 3x – 6y = 0
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Ясно, что две линии параллельны друг другу.
Итак, две прямые не пересекаются.
Следовательно, данная система не имеет решений.
7. х + у = 4
2х – 3у = 3
Решение:
Дано,
х + у = 4……. (i)
2x – 3y = 3……. (ii)
Для уравнения (i):
⇒ y = (4 – x)
При x = 4 имеем y = (4 – 4) = 0
При x = 2 имеем y = (4 – 2) = 2
Таким образом, имеем следующая таблица дает точки на прямой x + y = 4
Для уравнения (ii),
Решаем для y:
⇒ y = (2x – 3)/3
Итак, при x = 3
y = (2(3) – 3)/3 = 1
И при x = 0
⇒ y = (2(0) – 3)/3 = -1
Таким образом, мы есть следующая таблица, дающая точки на линии 2x – 3y = 3
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Ясно, что две прямые пересекают одну точку P (3, 1)
Следовательно, x= 3 и y = 1
8.
2x + 3y = 4
x – y + 3 = 0
Решение:
Дано,
2x + 3y = 4……. (i)
х – у + 3 = 0……. (ii)
Для уравнения (i):
⇒ y = (4 – 2x) /3
При x = -1 имеем y = (4 – 2(-1))/3 = 2
При x = 2 имеем y = (4 – 2(2))/3 = 0
Таким образом, у нас есть следующая таблица с точками на прямой: 2x + 3y = 4
Для уравнения (ii)
Найдем у:
⇒ y = (x + 3)
3 Итак , когда x = 0
y = ( 0 + 3) = 3
И, когда x = 1
⇒ y = ( 1 + 3) = 4
Таким образом, у нас есть следующая таблица с точками на линии x – y + 3 = 0
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Понятно две прямые пересекают одну точку P (-1, 2)
Следовательно, x= -1 и y = 2
9.
2x – 3y + 13 = 0
3x – 2y + 12 = 0
Решение:
Дано,
2x – 3y + 13 = 0……. (i)
3x – 2y + 12 = 0……. (ii)
Для уравнения (i),
⇒ y = (2x + 13)/3
При x = -5 имеем y = (2(-5) + 13))/3 = 1
При x = -2 имеем y = (2(-2) + 13))/3 = 3
Таким образом, у нас есть следующая таблица, дающая точки на линии 2x – 3y + 13 = 0
Для уравнения (ii),
Мы находим y:
⇒ y = (3x + 12)/2
Итак, при x = -4
y = (3(-4) + 12)/2 = 0
И при x = -2
⇒ y = (3(-2) + 12)/ 2 = 3
Таким образом, у нас есть следующая таблица с точками на прямой 3x – 2y + 12 = 0
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Ясно, что две прямые пересекают одну точку P (-2, 3)
Следовательно, x= -2 и y = 3
10.
2x + 3y + 5 = 0
3x + 2y – 12 = 0
: 9112 Решение
Дано,
2x + 3y + 5 = 0……. (и)
3x – 2y – 12 = 0……. (ii)
Для уравнения (i)
⇒ y = -(2x + 5)/3
Когда x = -4, мы имеем y = -(2(-4) + 5)) /3 = 1
Когда x = -2, мы имеем y = -(2(-2) + 5))/3 = -1
Таким образом, мы имеем следующую таблицу с точками на линии 2x + 3y + 5 = 0
Для уравнения (ii),
Решим для y:
⇒ y = (3x – 12)/2
Таким образом, когда x = 4
y 90 4) – 12)/2 = 0И, когда x = 6
⇒ y = (3(6) – 12)/2 = 3
Таким образом, мы имеем следующую таблицу с точками на линии 3x – 2y – 12 = 0
График уравнения (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Ясно, что две прямые пересекают одну точку P (2, -3)
Следовательно, x= 2 и y = -3
Покажите графически, что каждая одна из следующих систем уравнений имеет бесконечно много решение:
11.
2x + 3y = 6
4x + 6y = 12
Решение:
Дано,
2x + 3y = 6……. (i)
4x + 6y = 12……. (ii)
Для уравнения (i)
⇒ y = (6 – 2x)/3
Когда x = 0, имеем y = (6 – 2(0))/3 = 2
Когда x = 3, мы имеем y = (6 – 2(3))/3 = 0
Таким образом, у нас есть следующая таблица, дающая точки на линии 2x + 3y = 6
Для уравнения (ii),
Находим у:
⇒ у = (12 – 4x)/6
Итак, когда х = 0
y = (12 – 4(0))/ 6 = 2
И, когда x = 3
⇒ y = (12 – 4(3))/6 = 0
Таким образом, мы имеем следующую таблицу с точками на линии 4x + 6y = 12
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Таким образом, графики двух уравнений совпадают.
Следовательно, система уравнений имеет бесконечно много решений.
12. х – 2у = 5
3х – 6у = 15
Решение:
Дано,
x – 2y = 5……. (i)
3x – 6y = 15……. (ii)
Для уравнения (i)
⇒ y = (x – 5)/2
Когда x = 3, мы имеем y = (3 – 5)/2 = -1
Когда x = 5, мы имеем y = (5 – 5)/2 = 0
Таким образом, у нас есть следующая таблица с точками на линии x – 2y = 5
Для уравнения (ii),
Решаем для y:
⇒ y = (3x – 15)/6
Итак, когда x = 1
y = (3(1) – 15)/6= -2
И, когда x = -1
⇒ y = (3 (-1) – 15)/6= -3
Таким образом, мы имеем следующую таблицу с точками на линии 3x – 6y = 15
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Таким образом, графики двух уравнений совпадают.
Следовательно, система уравнений имеет бесконечно много решений.
13. 3x + y = 8
6x + 2y = 16
Решение:
Дано,
3x + y = 8……. (i)
6x + 2y = 16……. (ii)
Для уравнения (i)
⇒ y = (8 – 3x)
Когда x = 2, мы имеем y = (8 – 3(2)) = 2
Когда x = 3 имеем y = (8 – 3(3)) = -1
Таким образом, у нас есть следующая таблица с точками на линии 3x + y = 8
Для уравнения (ii)
Решим для y:
⇒ yx = (16 – 6x =)// 2
Итак, при x = 3
y = (16 – 6(3))/2= -1
А при x = 1
⇒ y = (16 – 6(1))/2= 5
Таким образом, мы имеем следующую таблицу с точками на линии 6x + 2y = 16
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Таким образом, графики двух уравнений совпадают.
Следовательно, система уравнений имеет бесконечно много решений.
14. х – 2у + 11 = 0
3х + 6у + 33 = 0
Решение:
Дано,
х – 2у + 11 = 0……. (i)
3x – 6y + 33 = 0……. (ii)
Для уравнения (i):
⇒ y = (x + 11)/2
Когда x = -1, мы имеем y = (-1 + 11)/2 = 5
Когда x = -3, мы имеем y = (-3 + 11)/2 = 4
Таким образом, мы имеем следующее таблица, дающая точки на прямой x – 2y + 11 = 0
Для уравнения (ii)
Решаем для y:
⇒ y = (3x + 33)/6
Итак, при x = 1
y = (3(1) + 33)/6 = 6
А при x = -1
⇒ y = (3(-1) + 33)/6 = 5
Таким образом, у нас есть следующая таблица с точками на линии 3x – 6y + 33 = 0
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Таким образом, графики двух уравнений совпадают.
Следовательно, система уравнений имеет бесконечно много решений.
Покажите графически, что каждая из следующих систем уравнений несовместимо (т.е. не имеет решения):
15. 3x – 5y = 20
6x – 10y = – 40
Решение:
30002
Дано,3x – 5y = 20……. (i)
6x – 10y = – 40……. (ii)
Для уравнения (i)
⇒ y = (3x – 20)/5
Когда x = 5, мы имеем y = (3(5) – 20)/5 = -1
Когда x = 0, мы имеем y = (3(0) – 20)/5 = -4
Таким образом, у нас есть следующая таблица с очками на линии 3x – 5y = 20
Для уравнения (ii),
Находим у:
⇒ y = (6x + 40)/10
Итак, при x = 0
y = (6(0) + 40)/10 = 4
И, когда x = -5
⇒ y = (6(-5) + 40)/10 = 1
Таким образом, мы имеем следующую таблицу с точками на линии 6x – 10y = – 40
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом: :
Хорошо видно, что между этими двумя линиями нет общей точки.
Следовательно, данная система уравнений несовместна.
16. х – 2у = 6
3x – 6y = 0
Решение:
Дано,
x – 2у = 6……. (i)
3x – 6y = 0……. (ii)
Для уравнения (i)
⇒ y = (x – 6)/2
Когда x = 6, мы имеем y = (6 – 6)/2 = 0
Когда x = 2 имеем y = (2 – 6)/2 = -2
Таким образом, у нас есть следующая таблица с точками на линии x – 2y = 6
Для уравнения (ii),
Находим у:
⇒ у = х/2
Итак, при х = 0
у = 0/2 = 0
А, при х = 2/
2 ⇒ 900 2 = 1
Таким образом имеем следующую таблицу с точками на прямой 3x – 6y = 0
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Хорошо видно, что нет общей точки между эти две строки.
Следовательно, данная система уравнений несовместна.
17. 2y – x = 9
6y – 3x = 21
Решение:
Дано,
– 9000 (i)6y – 3x = 21……. (ii)
Для уравнения (i)
⇒ y = (x + 9)/2
Когда x = -3, мы имеем y = (-3 + 9)/2= 3
Когда x = -1, мы имеем y = (-1 + 9)/2= 4
Таким образом, мы имеем следующую таблицу давая точки на линии 2y – x = 9
Для уравнения (ii)
Решим для y:
⇒ y = (21 + 3x)/6
Итак, когда x = -3
3(-21 + 3 3))/6 = 2
И, когда x = -1
⇒ y = (21 + 3(-1))/6 = 3
Таким образом, мы имеем следующую таблицу с точками на линии 6y – 3x = 21
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Хорошо видно, что между этими двумя линиями нет общей точки.
Следовательно, данная система уравнений несовместна.
18. 3x – 4y – 1 = 0
2x – (8/3)y + 5 = 0
Решение:
Дано,
3x – 4y – 1 = 0……. (i)
2x – (8/3)y + 5 = 0 ……. (ii)
Для уравнения (i)
⇒ y = (3x – 1)/4
Когда x = -1, мы имеем y = (3(-1) – 1)/4= -1
При x = 3 имеем y = (3(3) – 1)/4= 2
Таким образом, у нас есть следующая таблица с точками на линии 3x – 4y – 1 = 0
Для уравнения (ii),
Решаем для y:
⇒ y = (6x + 15)/8
Итак, когда x = -2,5
y = (6(-2,5) + 15)/8 = 0
И, когда x = 1,5
⇒ y = (6(1,5) + 15)/8 = 3
Таким образом, у нас есть следующая таблица с точками на линии 2x – (8/3)y + 5 = 0
График уравнений (i ) и (ii) выглядит следующим образом:
Хорошо видно, что между этими двумя линиями нет общей точки.
Следовательно, данная система уравнений несовместна.
19. Графически определить вершины треугольника, уравнения сторон которого приведены ниже:
(i) 2y – x = 8, 5y – x = 14 и y – 2x = 1
Решение:
Дано,
2у – х = 8……. (i)
5y – x = 14……. (ii)
y – 2x = 1……… (iii)
Для уравнения (i)
⇒ y = (x + 8)/2
При x = -4 имеем y = (-4 + 8)/2 = 2
Когда x = 0, мы имеем y = (0 + 8)/2 = 4
Таким образом, мы имеем следующая таблица дает точки на линии 2y – x = 8
Для уравнения (ii),
Решаем для y:
⇒ y = (x + 14)/5
,Итак когда x = -4
y = ((-4) + 14)/5= 2
И, когда x = 1
⇒ y = (1 + 14)/5= 3
Таким образом, мы имеем следующую таблицу с точками на линии 5y – x = 14
Наконец, для уравнения ( iii),
⇒ y = (2x + 1)
Когда x = -1, мы имеем y = (2(-1) + 1) = -1
Когда x = 1, мы имеем y = (2(1) + 1) = 3
Таким образом, мы имеем следующую таблицу с точками на прямой y – 2x = 1
График уравнений (i), (ii ) и (iii) выглядит следующим образом:
От На приведенном выше графике мы видим, что прямые, взятые попарно, пересекают точки A(-4,2), B(1,3) и C(2,5)
Следовательно, вершины треугольника равны A(-4, 2 ), B(1, 3) и C(2,5)
(ii) y = x, y = 0 и 3x + 3y = 10
у = х …….
(i)
y = 0 ……. (ii)
3x + 3y = 10……… (iii)
Для уравнения (i),
Когда x = 1, мы имеем y = 1
Когда x = -2, у нас есть y = -2
Таким образом, мы имеем следующую таблицу с точками на линии y = x
Для уравнения (ii),
Когда x = 0
y = 0
И, когда x = 10/3
⇒ y = 0
Таким образом, мы имеем следующую таблицу, дающую точки на линии y = 0
Наконец, для уравнения (iii)
⇒= (10 – 3x)/3
При x = 1 имеем y = (10 – 3(1))/3) = 7/3
При x = 2 имеем y = (10 – 3(2))/3 = 4/ 3
Итак, мы имеют следующую таблицу с точками на прямой 3x + 3y = 10
График уравнений (i), (ii) и (iii) выглядит следующим образом:
Из приведенного выше графика видно, что линии взятые попарно, пересекают точки A(0,0) B(10/3,0) и C(5/3, 5/3)
Следовательно, вершины треугольника A(0,0) B(10/3 ,0) и С(5/3, 5/3).
20. Графически определите, является ли система уравнений x – 2y = 2, 4x – 2y = 5 состоятельной или несовместной.
Решение:
Дано,
x – 2y = 2……. (i)
4x – 2y = 5……. (ii)
Для уравнения (i),
⇒ y = (x – 2)/2
При x = 2 имеем y = (2 – 2)/2 = 0
При x = 0 имеем y = (0 – 2)/2 = -1
Таким образом, у нас есть следующая таблица с точками на линии x – 2y = 2
Для уравнения (ii),
Решим для x:
⇒ x = (5 + 2y)/4
x = 30 9002 Таким образом, когда y = 30 9002 (5 + 2(0))/4 = 5/4
И, когда y = 1,5
⇒ x = (5 + 2(1))/4 = 7/4
Таким образом, мы имеем следующую таблицу, дающую точек на линии 4x – 2y = 5
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Хорошо видно, что две линии пересекаются (1,0)
Следовательно, система уравнений непротиворечива.
21. Определите с помощью графика, имеет ли следующая система линейных уравнений единственное решение или нет:
(i) 2x – 3y = 6 и x + y = 1
2x – 3y = 6 ……. (i)
х + у = 1……. (ii)
Для уравнения (i):
⇒ y = (2x – 6)/3
При x = 3 имеем y = (2(3) – 6)/3= 0
При x = 0 имеем y = (2(0) – 6)/3= -2
Таким образом, мы иметь следующая таблица дает точки на линии 2x – 3y = 6
Для уравнения (ii),
Решаем для y:
⇒ y = (1 – x)
Итак, когда x 0
y = (1 – 0) = 1
И, когда x = 1
⇒ y = (1 – 1) = 0
Таким образом, мы имеем следующую таблицу с точками на линии x + y = 1
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Четко видно, что две прямые пересекают одну.
Таким образом, можно сделать вывод, что система уравнений имеет единственное решение.
(ii) 2y = 4x – 6 и 2x = y + 3 = 4x – 6……. (i)
2x = y + 3……. (ii)
Для уравнения (i):
⇒ y = (4x – 6)/2
Когда x = 1, имеем y = (4(1) – 6)/2 = -1
Когда x = 4, имеем y = (4( 4) – 6)/2= 5
Таким образом, мы имеем следующую таблицу, в которой указаны точки на линии 2y = 4x – 6
Для уравнения (ii)
Найдем у:
⇒ y = 2x – 3
Итак, при x = 2
y = 2(2) – 3 = 1
И, когда x = 3
⇒ y = 2(3) – 3 = 3
Таким образом, у нас есть следующая таблица, в которой указаны точки на линии 9.1121 2x = y + 3
График уравнений (i) и (ii) выглядит следующим образом:
Мы видим, что две линии совпадение. И, следовательно, имеет бесконечно много решений.
Следовательно, система уравнений не имеет единственного решения.
Упражнение 3.3 Стр. №: 3.44
Решение Следующей системы уравнений:
1. 11x + 15y + 23 = 0
7x — 2y — 20 = 0
Решение: 9x — 20 = 0
:1122
Данная пара уравнений:
11x +15y + 23 = 0 …………………………. (i)
7x – 2y – 20 = 0 …………………………….. (ii)
От (ii)
2y = 7x – 20
⇒ y = (7x −20)/2 ……………………………… (iii)
Теперь, подставляя y в уравнение (i), мы получаем ,
⇒ 11x + 15((7x−20)/2) + 23 = 0
⇒ 11x + (105x − 300)/2 + 23 = 0
⇒ (22x + 105x – 300 + 46) = 0
⇒ 127x – 254 = 0
⇒ x = 2
Далее, подставляя значение x в уравнение (iii), мы получаем,
⇒ y = (7(2) − 20)/2
∴ y= -3
Таким образом, значения x и y равны 2 и -3 соответственно.
2. 3x – 7y + 10 = 0
y – 2x – 3 = 0
Решение:
Данная пара уравнений:
3x – 7y + 10 = 0 ………………………….
(i)
y – 2x – 3 = 0 ………………………………….. (ii)
Из (ii)
y – 2x – 3 = 0
y = 2x+ 3 ……………………………… (iii)
Теперь, подставляя y в уравнение (i), получаем,
⇒ 3x – 7(2x+3) + 10 = 0
⇒ 3x – 14x – 21 + 10 = 0
⇒ -11x = 11
⇒ x = -1
Nextx, в уравнении (iii) мы получаем,
⇒ y = 2(-1) + 3
∴ y= 1
Таким образом, значение x и y оказывается равным -1 и 1 соответственно.
3. 0,4x + 0,3y = 1,7
0,7x – 0,2y = 0,8
Решение:
Данная пара уравнений0002 0,4x + 0,3y = 1,7
0,7x – 0,2y = 0,8
Давайте умножим LHS и RHS на 10, чтобы получить коэффициенты в виде целого числа
4x + 3y = 17 ……………………… .. (i)
7x – 2y = 8 ……………………………… (ii)
Из (ii)
7x – 2y = 8
x = (8 + 2y)/7 ……………………………… (iii)
Теперь, подставив x в уравнение (i), мы получим
⇒ 4[(8 + 2y)/7] + 3y = 17
⇒ 32 + 8y + 21y = (17 x 7)
⇒ 29y = 87
⇒ y = 3
Далее, подставляя значение y в уравнение (iii), мы получаем
⇒ x = (8 + 2(3))/ 7
⇒ x = 14/7
∴ x = 2
Таким образом, значение x и y оказывается равным 2 и 3 соответственно.
4. x/2 + y = 0,8
7/(x + y/2) = 10
Решение:
Дана пара уравнений:
x/2 + y = 0,8 ⇒ x + 2y = 1,6…… (a)
7/(x + y/2) = 10 ⇒ 7 = 10(x + y /2) ⇒ 7 = 10x + 5y
Давайте умножим левую и правую части уравнения (а) на 10 для простоты расчета
Таким образом, мы окончательно получим
10x + 20y = 16 ………………………….. (i) И,
10x + 5y = 7 …………………………… (ii)
Теперь, вычитая два уравнения, мы получаем,
⇒ (i) – (ii)
15y = 9
⇒ y = 3 /5
Далее, подставляя значение y в уравнение (i), мы получаем,
x = [16 − 20(3/5)]/10
⇒ (16 – 12)/10 = 4/10
∴ x = 2/5
Таким образом, полученные значения x и y равны 2/5 и 3/5 соответственно.
5. 7(y + 3) – 2(x + 2) = 14
4(y – 2) + 3(x – 3) = 2
Решение:
3
пара уравнений:
7(y+3) – 2(x+2) = 14………………………….
(i)
4(y-2) + 3(x-3) = 2………………………………….. (ii)
Из (i) получаем
7y + 21 – 2x – 4 = 14
7y = 14 + 4 – 21 + 2x
⇒ у = (2x – 3)/7
Из (ii) получаем
4у – 8 + 3х – 9 = 2
4у + 3х – 17 – 2 = 0
⇒ 4у + 3х – 19 = 0 …………….. (iii)
Теперь, подставив y в уравнение (iii)
4[(2x − 3)/7] + 3x – 19=0
8x – 12 + 21x – (19 x 17) = 0 [после приема LCM]
29x = 145
⇒ x = 5
Теперь, подставив значение x и в уравнение (ii)
4(y-2) + 3(5-3) = 2
⇒ 4y -8 + 6 = 2
⇒ 4y = 4
∴ y = 1
Таким образом, полученные значения x и y равны 5 и 1 соответственно.
6. x/7 + y/3 = 5
x/2 – y/9 = 6
Решение:
Данная пара уравнений:
3 x 7y/
3
/3 = 5…………………………. (i)
x/2 – y/9 = 6…………………………………..(ii)
Из (i) получаем
x/7 + y/3 = 5
⇒ 3x + 7y = (5×21) [После приема LCM]
⇒ 3x = 105 – 7y
⇒ x = (105 – 7y)/3…….
(4)
Из (ii) получаем
x/2 – y/9 = 6
⇒ 9x – 2y = 108 ……………………… (iii) [После приема LCM]
Теперь, подставляя x в уравнение (iii), мы получаем,
9[(105 − 7y)/3] – 2y = 108
⇒ 945 – 63y – 6y = 324 [После приема LCM]
⇒ 945 – 324 = 69y
⇒ 69y = 621
⇒ y = 9
Теперь, подставив значение y в уравнение (iv)
x = (105 − 7(9))/3
⇒ x = (105 − 63) /3 = 42/3
∴ х = 14
Таким образом, полученные значения x и y равны 14 и 9 соответственно.
7. x/3 + y/4 = 11
5x/6 − y/3 = −7
Решение:
Данная пара уравнений:
x/3 + y/4 = 11…………………………. (i)
5x/6 − y/3 = −7……………………………….. (ii)
Из (i) получаем
x/3 + y/4 = 11
⇒ 4x + 3y = (11×12) [После приема LCM]
⇒ 4x = 132 – 3y
⇒ x = (132 – 3y)/4……. (4)
Из (ii) получаем
5x/6 − y/3 = −7
⇒ 5x – 2y = -42 ……………………… (iii) [После приема LCM]
Сейчас , подставив x в уравнение (iii), мы получим
5[(132 − 3y)/4] – 2y = -42
⇒ 660 – 15y – 8y = -42 x 4 [После приема LCM]
⇒ 660 + 168 = 23y
⇒ 23y = 828
⇒ y = 36
))/4
⇒ х = (132 − 108)/4 = 24/4
∴ x = 6
Таким образом, полученные значения x и y равны 6 и 36 соответственно.
8. 4/x + 3y = 8
6/x −4y = −5
Решение:
Занимая 1/x =
. Затем два уравнения.
4U. + 3у = 8…………………… (i)
6у – 4у = -5……………………. (ii)
Из (i) получаем
4u = 8 – 3y
⇒ u = (8 − 3y)/4 …….. (iii)
Подставляя u в (ii)
[6 (8 − 3г)/4] – 4г = -5
⇒ [3(8−3л)/2] − 4л = −5
⇒ 24 − 9л −8л = −5 x 2 [После приема LCM]
⇒ 24–17л = -10
⇒ -17л =- 34
⇒ y = 2
Полагая y=2 в (iii), получаем
u = (8 − 3(2))/4
⇒ u = (8 − 6)/4
⇒ u = 2/4 = 1/2
⇒ x = 1/u = 2
∴ x = 2
Таким образом, решение приведенной пары уравнений равно x=2 и у =2.
9. х + у/2 = 4
2у + х/3 = 5
Решение:
Данная пара уравнений:
x + y/2 = 4 ……………………. (i)
2y + x/3 = 5…………………….
(ii)
Из (i) получаем
x + y/2 = 4
⇒ 2x + y = 8 [После приема LCM]
⇒ y = 8 – 2x …..(iv)
Из (ii) получаем
x + 6y = 15 ……………… (iii) [После взятия LCM]
Подставляя y в (iii), получаем
x + 6(8 – 2x) = 15
⇒ х + 48 – 12х = 15
⇒ -11x = 15 – 48
⇒ -11x = -33
⇒ x = 3
Подставляя x = 3 в (iv), получаем
y = 8 – (2×3)
3 ⇒ 90 y = 8 – 6 = 2
Следовательно, решениями данной системы уравнений являются x = 3 и y = 2 соответственно.
10. x + 2y = 3/2
2x + y = 3/2
Решение:
/y = 2…23 x
3 x
……………. (i)
2x + y = 3/2…………………… (ii)
Исключим y из заданного уравнения. Коэффициенты y в данных уравнениях равны 2 и 1 соответственно. LCM 2 и 1 равно 2. Итак, мы делаем коэффициент y равным 2 в двух уравнениях.
Умножение уравнения (i)x1 и (ii)x2 ⇒
x + 2y = 3/2 ………………………….
(iii)
4x + 2y = 3 ……………………………………………………. (iv)
Вычитание уравнения (iii) из (iv)
(4x – x) + (2y-2y) = 3x = 3 – (3/2)
⇒ 3x = 3/2
⇒ x = 1/2
Подставляя x = 1/2 в уравнении (iv)
4(1/2) + 2y = 3
⇒ 2 + 2y = 3
∴ y= 1/2
Решение системы уравнений x = 1/2 и y = 1/2
11. √2x – √3y = 0
√3x − √8y = 0
Решение:
Данная пара уравнений:
√2x – √3y = 0…….…… i)
√3x − √8y = 0………………………….. (ii)
Из уравнения (i)
x = √(3/2)y …………….. (iii)
Подставляя это значение в уравнение (ii), мы получаем
√3x − √8y = 0
⇒ √3(√(3/2)y) − √8y = 0
⇒ (3/√2)y – √8y = 0
⇒ 3y – 4y = 0
⇒ y = 0
Теперь, подставляя y в уравнении (iii) мы получаем
⇒ x=0
Таким образом, полученные значения x и y равны 0 и 0 соответственно.
12. 3x – (y + 7)/11 + 2 = 10
2y + (x + 11)/7 = 10
Решение:
Дана пара уравнений:
3x – (y + 7)/11 + 2 = 10……………….
. (i)
2y + (x + 11)/7 = 10… ………………….. (ii)
От уравнение (i)
33x – y – 7 + 22 = (10 x 11) [После приема LCM]
⇒ 33x – y + 15 = 110
⇒ 33x + 15 – 110 = y
90x y 3 ⇒ – 95………. (iv)Из уравнения (ii)
14 + x + 11 = (10 x 7) [после приема LCM]
⇒ 14y + x + 11 = 70
⇒ 14y + x = 70 – 11,
⇒ 14y + x = 59 …………………….. (iii)
Подставляя (iv) в (iii) получаем,
14 (33x – 95) + x = 59
⇒ 462x – 1330 + x = 59
⇒ 463x = 1389
⇒ x = 3
Подставляя x = 3 в (iii), мы получаем,
⇒ y = 33(3) – 95
∴ y= 4
Решением данной пары уравнений является x = 3 и y = 4 соответственно.
13. 2x – (3/у) = 9
3x + (7/у) = 2 ,y ≠ 0
Решение:
Данная пара уравнений:
2x – (3/y) = 9………………………………. (i)
3x + (7/y) = 2……………………………… (ii)
Подставляя 1/y = u в приведенное выше уравнение, получаем
2x – 3u = 9 …… ………………….
.(iii)
3x + 7u = 2………………………..(iv)
Из (iii)
2x = 9 + 3u
⇒ x = (9+3u)/2
. Подставляя значение x, указанное выше, в уравнение (iv), мы получаем,
3[(9+3u)/2] + 7u = 2
⇒ 27 + 9u + 14u = (2 x 2)
⇒ 27 + 23u = 4
⇒ 23u = -23
⇒ u = -1
⇒ u = -1
90 0/u И подставляя u = -1 в x = (9 + 3u)/2, мы получаем
⇒ x = [9 + 3(−1)]/2 = 6/2
∴ x = 3
Решение задачи приведенная пара уравнений: y = 3 и x = -1 соответственно.
14. 0,5х + 0,7у = 0,74
0,3x + 0,5y = 0,5
Решение:
Данная пара уравнений:
0,5x + 0,7y = 0,74……………………… (i)
0,3x – 0,5y = 0,5 ………………………….. (ii)
Теперь давайте умножьте LHS и RHS на 100 как для (i), так и для (ii) для получения интегральных коэффициентов и констант.
(i) x100 ⇒
50x +70y = 74 ………………………….. (iii)
(ii) x100 ⇒
30x + 50y = 50 …………………… ……… (iv)
Из (iii)
50x = 74 – 70 лет
x = (74−70 лет)/ 50 ……………………………… (v)
Теперь, подставляя x в уравнение (iv), мы получаем,
30[(74−70 лет)/ 50] + 50 лет = 50
⇒ 222 – 210 лет + 250 лет = 250 [После приема LCM]
⇒ 40 лет = 28
⇒ 0,7 у0 = 0,7 значение y в уравнении (v), мы получаем
⇒ x = [74 − 70(0,7)]/ 50=0
⇒ x = 25/ 50 = 1/2
∴ x = 0,5
Таким образом, , полученные таким образом значения x и y составляют 0,5 и 0,7 соответственно.
15. 1/(7x) + 1/(6y) = 3
1/(2x) – 1/(3y) = 5
Решение:
Дана пара уравнений:
1/(7x) + 1/(6y) = 3………………………….. (i)
1/(2x ) – 1/(3г) = 5……………………………. (ii)
Умножая (ii) на 1/2, мы получаем,
1/(4x) – 1/(6y) = 52………………………………. (iii)
Теперь, решая уравнения (i) и (iii)
1/(7x) + 1/(6y) = 3………………………….. (i)
1/ (4x) – 1/(6y) = 5/2……………………………. (iii)
Складывая (i) + (iii), получаем,
1/x(1/7 + 1/4 ) = 3 + 5/2
⇒ 1/х(11/28) = 11/2
⇒ х = 1/14
Используя x = 1/14, мы получаем, в (i)
1/[7(1/14)] + 1/(6y) = 3
⇒ 2 + 1/(6y)=3
⇒ 1/(6y) = 1
⇒ y = 1/6
Решением данной пары уравнений является x=1/14 и y=1/6 соответственно.
16. 1/(2x) + 1/(3y) = 2
1/(3x) + 1/(2y) = 13/6
Решение:
3
3 = u и 1/y = v,
Таким образом, данное уравнение принимает следующий вид:
и/2 + v/3 = 2 ………………(i)
и/3 + v/2 = 13/6 ……………(ii)
Из (i) получаем
u/2 + v/3 = 2
⇒ 3u + 2v = 12
⇒ u = (12 – 2v)/ 3 ………….
(iii)
Использование (iii) в (ii)
[(12 – 2v)/3]/3 + v/2 = 13/6
⇒ (12 – 2v)/9 + v/2 = 13/6
⇒ 24 – 4v + 9v = (13/6) x 18 [после приема LCM]
⇒ 24 + 5v = 39
⇒ 5v = 15
⇒ v0 = 3 900
Замена v в (iii)
u = (12 – 2(3))/3
⇒ u = 2
Таким образом, x = 1/u ⇒ x = 1/2 и
y = 1/v ⇒ y = 1/3
Решением данной пары уравнений является x = 1/2 и y = 1/3 соответственно.
17. 15/u + 2/v = 17
1/u + 1/v = 36/5
Решение:
Итак, данное уравнение принимает вид
15x + 2y = 17 ………………………….. (i)
x + y = 36/5………………………. (ii)
Из уравнения (i) получаем,
2y = 17 – 15x
=y = (17 − 15x)/ 2 …………………. (iii)
Подставив (iii) в уравнение (ii), мы получим, принимая LCM]
-13x = 72/5 – 17
= -13x = -13/5
⇒ x = 1/5
⇒ u = 1/x = 5
Полагая x = 1/5 в уравнении (ii) , мы получаем
1/5 + y = 36/5
⇒ y = 7
⇒ v = 1/y = 1/7
.
Решение данной пары уравнений: u = 5 и v = 1/7 соответственно.
18. 3/x – 1/y = −9
2/x + 3/y = 5
Решение:
Пусть 1/x = u и 1/y = v
Итак, данное уравнение принимает вид
3u – v = -9…………………..(i)
2u + 3v = 5 ……………………… (ii)
Умножая уравнения (i) x 3 и (ii) x 1, получаем,
9u – 3v = -27 ………………………….. (iii)
2u + 3v = 5 ……………………………… (iv)
Складывая уравнения (iii) и (iv), получаем ,
9u + 2u – 3v + 3v = -27 + 5
⇒ 11u = -22
⇒ u = -2
Теперь, подставляя u = -2 в уравнение (iv), мы получаем,
2(-2) + 3v = 5
⇒ 3v = 9
⇒ v = 3
Следовательно, x = 1/u = −1/2 и,
y = 1/v = 1/3
19, 2/x + 5/y = 1
60/x + 40/y = 19
Решение:
Пусть 1/x = u и 1/y = v
900 2у + 5в = 1…………………..(i)
60u + 40v = 19 ……………………….
(ii)
Умножая уравнение (i) x 8 и (ii) x 1, получаем,
16u + 40v = 8 …………… …………….. (iii)
60u + 40v = 19 ………………………………… (iv)
Вычитая уравнение (iii) из (iv) получаем,
60u – 16у + 40в – 40в = 19 – 8
⇒ 44u = 11
⇒ u = 1/4
Теперь, подставляя u = 1/4 в уравнении (iv), мы получаем,
60(1/4) + 40v = 19
⇒ + 40v = 19⇒ v = 4/40 = 1/10
Следовательно, x = 1/u = 4 и
y = 1/v = 10
20. 1/(5x) + 1/(6y) = 12
1/(3x) – 3 /(7y) = 8
Решение:
Пусть 1/x = u и 1/y = v
Итак, данное уравнение принимает вид
u/5 + v/6 = 12………… ………..(i)
u/3 – 3v/7 = 8……………………….(ii)
Взяв НОК для обоих уравнений, мы получим
6u + 5v = 360… ……. (iii)
7u – 9v = 168……….. (iv)
Вычитание (iii) из (iv)
7u – 9v – (6u + 5v) = 168 – 360
⇒ u – 14v = -192
⇒ u = (14v – 192)……….
(v)
Используя (v) в уравнении (iii), мы получаем
6(14v – 192) + 5v = 360
⇒ 84v -1152 + 5v = 360
⇒ 89v = 1512
3 =
3 1512/89
⇒ y = 1/v = 89/1512
Теперь, подставляя v в уравнение (v), находим u
u = 14 x (1512/89) – 192
⇒ u = 4080/ 89
⇒ x = 1/u = 89/ 4080
Следовательно, решением данной системы уравнений является x = 89/4080 и y = 89/ 1512
21. 4/x + 3y = 14
3/x – 4y = 23
Решение: становится
4u + 3y = 14…………………….. (i)
3u – 4y = 23…………………….. (ii)
Добавление (i) и (ii ), получаем
4и + 3у + 3у – 4у = 14 + 23
⇒ 7у – у = 37
⇒ у = 7у – 37……………………… (iii)
Используя (iii ) в (и),
4u + 3(7у – 37) = 14
⇒ 4u + 21u – 111 = 14
⇒ 25u = 125
⇒ u = 5
⇒ x = 1/u = 1/5
. y = 7(5) – 37
⇒ y = -2
Следовательно, решением данной системы уравнений является x = 1/5 и y = -2
22, 4/x + 5y = 7
3/x + 4y = 5
Решение:
Приняв 1/x = u, данное уравнение принимает вид
4u + 5y = 7…………………….
. (и)
3u + 4y = 5…………………….. (ii)
Вычитая (ii) из (i), получаем
4u + 5y – (3u + 4y) = 7 – 5
⇒ u + y = 2
⇒ u = 2 – y……………………… (iii)
Используя (iii) в (i),
4(2 – y) + 5y = 7
⇒ 8 – 4y + 5y = 7
⇒ y = -1
Полагая y = -1 в (iii), находим u
u = 2 – (-1)
⇒ u = 3
⇒ u = 3 ⇒x = 1/u = 1/3
Следовательно, решением данной системы уравнений является x = 1/3 и y = -1
23. 2/x + 3/y = 13
5/x – 4/y = -2
Решение:
Пусть 1/x = u и 1/y = v
Итак, данные уравнения принимают вид
2u + 3v = 13………………….. (i)
5u – 4v = -2 … ……………………. (ii)
Складывая уравнения (i) и (ii), получаем,
2u + 3v + 5u – 4v = 13 – 2
⇒ 7u – v = 11
⇒ v = 7u – 11…….. (iii)
Используя (iii) в (i), мы получаем
2u + 3(7u – 11) = 13
⇒ 2u + 21u – 33 = 13
⇒ 23u = 46
⇒ u = 2
Подставляя в (iii) 2 u = 2 v 900, находим3 = 7(2) – 11
⇒ v = 3
Следовательно, x = 1/u Решение :
Пусть 1/√x = u и 1/√y = v,
Таким образом, данное уравнение принимает вид
2u + 3v = 2…………………….
. (i)
4у – 9в = -1 ………………………. (ii)
Умножая (ii) на 3 и
Складывая уравнения (i) и (ii)x3, получаем, = 1/2
Подставляя u = 1/2 в (i), находим v
2(1/2) + 3v = 2
⇒ 3v = 2 – 1
⇒ v = 1/3
Поскольку 1/√x = u, получаем x = 1/u2
⇒ x = 1/(1/2)2 = 4
И,
1/√y = v y = 1/v2
⇒ y = 1/(1/3)2 = 9
Следовательно, решение x = 4 и y = 9.
25. (x + y)/xy = 2
(x – y)/xy = 6
Решение: 1 Данная пара уравнений: (x + y)/xy = 2 ⇒ 1/y + 1/x = 2……. (i) (x – y)/xy = 6 ⇒ 1/y – 1/x = 6………(ii) Пусть 1/x = u и 1/y = v,
поэтому уравнение (i) и (ii) принимает вид v + u = 2……. (iii) v – u = 6……..(iv) Складывая (iii) и (iv), получаем 2v = 8 ⇒ v = 4 ⇒ y = 1/v = 1/4 Подставляя v = 4 в (iii), чтобы найти x, 4 + u = 2 = ⇒ 2 ⇒ x = 1/u = -1/2 Следовательно, решение x = -1/2 и y = 1/4. 26. 2/x + 3/y = 9/xy 4/x + 9/y = 21/xy Решение: Принимая LCM, мы имеем оба уравнения (2у + 3х)/ ху = 9/ху ⇒ 3х + 2у = 9………. (и) (4y + 9x)/ xy = 21/xy ⇒ 9x + 4y = 21………(ii) Выполнение (ii) – (i)x2⇒ 9x + 4y – 2(3x + 2y) = 21 – (9×2) ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1 Используя x = 1 в (i), находим y 3(1) + 2y = 9 ⇒ y = 6/ 2 ⇒ y = 3 Таким образом, решением данной системы уравнений является x = 1 и y = 3. Упражнение 3.4 Номер страницы: 3.57 Решите каждую из следующих систем уравнений методом перекрестного умножения: 1. x + 2y + 1 = 0 2x — 3y — 12 = 0 Решение: Данная система уравнений — x + 2y + 1 = 0 2x – 3y – 12 = 0 Для перекрестного умножения используем Сравнивая два приведенных выше уравнения с общей формой, получаем Отсюда решение данной системы уравнений х = 3 и у = -2. 2. 3x + 2y + 25 = 0 2x + y + 10 = 0 Решение: данная система уравнений 3x + 2y + 25 = 0 2x + y + 10 = 0 Для перекрестного умножения мы используем, 
Отсюда решение данной системы уравнений x = 5 и y = -20.
3. 2x + y = 35, 3x + 4y = 65
Решение:
Данная система уравнений может быть записана как
2x + y — 35 = 0
3x + 4y — 65 = 0
Для перекрестного умножения мы используем,
Сравнение выше. два уравнения общего вида, получаем
Отсюда решение данной системы уравнений x = 15 и y = 5.
4. 2x – y = 6, x – y = 2
Решение:
Данную систему уравнений можно записать в виде 0
Для перекрестного умножения используем
Сравнивая два приведенных выше уравнения с общей формой, получаем
Следовательно, решение данной системы уравнений x = 4 и y = 2.
5. (х + у)/ ху = 2
(x – y)/ xy = 6
Решение:
Данное система уравнений
(x + y)/ xy = 2 ⇒ 1/y + 1/x = 2…….. (i)
(x – y)/ xy = 6 ⇒ 1/y – 1/ x = 6……… (ii)
Пусть 1/x = u и 1/y = v, поэтому уравнение принимает вид
u + y = 2….. (iii)
u – y = 6…… (iv)
Для перекрестного умножения мы используем,
Сравнивая два приведенных выше уравнения (iii) и (iv) с общей формой, мы получаем
Следовательно, решением данной системы уравнений является x = -1/2 и y = 1/4.
6. ax + by = a-b
bx – ay = a+b
Решение:
Данную систему уравнений можно записать в виде
бх – ay – (a+b) = 0
Для перекрестного умножения мы используем,
Сравнивая два приведенных выше уравнения с общей формой, мы получаем
Следовательно, решением данной системы уравнений является x = 1 и y = -1.
7. x + ay = b
ax + by = c
Решение:
Данная система уравнений можно записать как
x + ay – b = 0
ax + by – c = 0
Для перекрестного умножения мы используем,
Сравнивая два приведенных выше уравнения с общей формой, получаем
Следовательно, решение данной системы уравнений есть x = (b2 + ac)/(a2 + b2)
и y = (-c2 + ab)/(a2 + b2).
8. ах + бай = а2
Ьх + ау = b2
Решение:
Данную систему уравнений можно записать в виде мы используем перекрестное умножение,
Сравнивая два приведенных выше уравнения с общей формой, мы получаем
Следовательно, решение для данной системы уравнений x = (a2 + ab + b2)/(a + b)
и у = -аб/(а+б).
9. 5/(х + у) – 2/(х — у) = -1
15/(х + у) + 7/(х – у) = 10
Решение:
Подставим 1/(x + y) = u и 1/(x – y) = v, так что данное уравнение примет вид
5u – 2v = -1
15u + 7v = 10
Для перекрестного умножения мы используем,
Сравнивая два приведенных выше уравнения с общей формой, мы получаем
Следовательно, решение данной системы уравнений x = 3 и y = 2.
10. 2/x + 3/y = 13
5/x – 4/y = -2
Решение:
Пусть 1/x = u и 1/y = v, так что уравнение принимает вид ,
Сравнение вышеуказанного два уравнения общего вида, получаем
Следовательно, решение данной системы уравнений x = 1/2 и y = 1/3.
11. 57/(х + у) + 6/(х – у) = 5
38/(x + y) + 21/(x – y) = 9
Решение:
Подставим 1/(x + y) = u и 1/(x – y) = v, поэтому данное уравнение принимает вид
57u + 6v = 5 ⇒ 57u + 6v – 5 = 0
38u + 21v = 9 ⇒ 38u + 21v – 9 = 0
уравнений общего вида, получим
Отсюда решение данной системы уравнений x = 11 и y = 8,
12. xa – yb = 2
ax – by = a2-b2
Решение:
Данное система уравнений может быть записана как
xa – yb – 2 = 0
ax – by – (a2-b2) = 0
приведенные выше два уравнения в общем виде, мы получаем
Следовательно, решение для данной системы уравнений x = a и y = b.
13. х/а + у/б = а + б
x/a2 + y/b2 = 2
Решение:
Данную систему уравнений можно записать в виде
x/a + y/b – (a + b) = 0
x/ a2 + y/b2 – 2 = 0
Для перекрестного умножения мы используем,
Сравнивая два приведенных выше уравнения с общей формой, мы получаем
Следовательно, решение для данной системы уравнений: х = а2 и у = b2.
14. x/a = y/b
ax + by = a2 + b2
Решение:
Данное система уравнений может быть записана в виде приведенные выше два уравнения в общем виде, мы получаем
Следовательно, решение для данной системы уравнений x = a и y = b.
Упражнение 3.5 Номер страницы: 3.73
В каждом
из следующих систем уравнений определяют, имеет ли система единственное решение, не имеет решения или имеет бесконечное число решений.
Если существует единственное решение, найти его от 1 до 4:
1. x − 3y = 3
3x − 9y = 2
Решение:
0 :
x − 3y – 3 = 0
3x − 9y − 2 = 0
Приведенные выше уравнения имеют вид
a1 x + b1 y − c1 = 0
a2 x + b2 y − c2 = 0
Здесь a1 = 1, b1 = −3, c1 = −3
a2 = 3, b2 = −9, c2 = −2
Итак, согласно вопросу, мы получаем
a1 / a2 = 1/3
b1 / b2 = −3/ −9 = 1/3 и,
c1 / c2 = −3/ − 2 = 3/2
⇒ a1 / a2 = b1/ b2 ≠ c1 / c2
Отсюда можно сделать вывод, что данная система уравнений не имеет решений.
2. 2x + y = 5
4x + 2y = 10
Решение:
Данная система уравнений:
2x + y – 5 = 0
4x + 2y – 10 = 0
Приведенные выше уравнения имеют вид a2 = 4, b2 = 2, c2 = −10
Итак, согласно вопросу, мы получаем
a1 / a2 = 2/4 = 1/2
b1 / b2 = 1/ 2 и,
c1 / с2 = -5/ -10 = 1/2
⇒ a1 / a2 = b1/ b2 = c1 / c2
Отсюда можно заключить, что данная система уравнений имеет бесконечно много решений.
3. 3x – 5y = 20
6x – 10y = 40
Решение:
Данная система уравнений: c1 = 0
a2 x + b2 y − c2 = 0
Здесь a1 = 3, b1 = -5, c1 = -20
a2 = 6, b2 = -10, c2 = −40
Итак, согласно вопросу, получаем
a1 / a2 = 3/6 = 1/2
b1 / b2 = -5/ -10 = 1/2 и,
c1 / c2 = -20/ −40 = 1/2
⇒ a1 / a2 = b1/ b2 = c1 / c2
Отсюда можно заключить, что данная система уравнений имеет бесконечно много решений.
4. x – 2y = 8
5x – 10y = 10
Решение:
Данная система уравнений:
x – 2y – 8 = 0
5x – 10y – 10 = 0
Приведенные выше уравнения имеют вид
Здесь a1 = 1, b1 = -2, c1 = -8
a2 = 5, b2 = -10, c2 = -10
Таким образом, согласно вопросу, мы получаем
a1 / a2 = 1/5
b1 / b2 = -2/ -10 = 1/5 и,
c1 / c2 = -8/ −10 = 4/5
⇒ a1 / a2 = b1/ b2 ≠ c1 / c2
Отсюда можно заключить, что заданное система уравнений не имеет решения.
Найдите значение k, при котором следующая система уравнений имеет единственное решение: (5-8)
5. kx + 2y = 5
3x + y = 1
2 Решение :
Данная система уравнений:
kx + 2y – 5 = 0
3x + y – 1 = 0
Приведенные выше уравнения имеют вид
a1 x + b1 y − c1 = 0
a2 x + b2 y − c2 = 0
0003
a2 = 3, b2 = 1, c2 = -1
Итак, согласно вопросу,
Для единственного решения условие
a1 / a2 ≠ b1 / b2
k/3 ≠ 2/1
⇒ k ≠ 6
Следовательно, данная система уравнений будет иметь единственное решение для всех действительных значений k, отличных от 6.
6. 4x + ky + 8 = 0
0
Решение:
Данная система уравнений:
4x + ky + 8 = 0
2x + 2y + 2 = 0
Приведенные выше уравнения имеют вид Здесь a1 = 4, b1 = k, c1 = 8
a2 = 2, b2 = 2, c2 = 2
Итак, согласно вопросу,
Для единственного решения выполняется условие
a1 / a2 ≠ b1 / b2
4/2 ≠ k/2
⇒ k ≠ 4
Следовательно, данная система уравнений будет иметь единственное решение для всех действительных значений k, отличных от 4.
7. 4x — 5y = K
2x — 3y = 12
Решение
Данная система уравнений:
4x — 5y — k = 0
2x — 3y — 12 = 0 0003
приведенные выше уравнения имеют вид b2 = 3, c2 = 12
Итак, согласно вопросу,
Для единственного решения условие
a1 / a2 ≠ b1 / b2
4/2 ≠ 5/3
⇒k может иметь любое действительное ценности.
Следовательно, данная система уравнений будет иметь единственное решение при всех действительных значениях k.
8. x + 2y = 3
5x + Ky + 7 = 0
Решение:
. Данная система уравнений:
x + 2y — 3 = 0
5x +:
x + 2y = 0
5x. ky + 7 = 0
Приведенные выше уравнения имеют вид
a1 x + b1 y − c1 = 0
a2 x + b2 y − c2 = 0
Здесь a1 = 1, b1 = 2, c1 = -3
a2 = 5, b2 = k, c2 = 7
Итак, согласно вопрос,
Для единственности решения выполняется условие действительные значения k, отличные от 10.
Найдите значение k, при котором каждая из следующих систем уравнений имеет бесконечное множество решений: (9-19)
9. 2x + 3y – 5 = 0
6x + ky – 15 = 0
Решение:
Данная система уравнения:
2x + 3y – 5 = 0
6x + ky – 15 = 0
Приведенные выше уравнения имеют вид
a1 x + b1 y − c1 = 0
a2 x + b2 y − c2 = 0
Здесь a1 = 2, b1 = 3, c1 = -5
a2 = 6, b2 = k, c2 = -15
Итак, согласно вопросу,
Для единственного решения условие
a1 / a2 = b1 / b2 = c1 / c2
2/6 = 3/k
⇒ k = 9
Следовательно, данная система уравнений будет иметь бесконечно много решений, если k = 9,
10. 4х + 5у = 3
kx + 15y = 9
Решение:
Данная система уравнений:
4x + 5y – 3= 0 форма
a1 x + b1 y — c1 = 0
a2 x + b2 y — c2 = 0
Здесь a1 = 4, b1 = 5, c1 = -3
a2 = k, b2 = 15, c2 = -9
Итак, согласно вопросу,
Для единственного решения условие
a1 / a2 = b1 / b2 = c1 / c2
4/ k = 5/ 15 = −3/ −9
4/ k = 1/ 3
⇒k = 12
Следовательно, данная система уравнений будет имеют бесконечно много решений, если k = 12.
11.kx – 2y + 6 = 0
4x – 3y + 9 = 0
Решение:
Данная система уравнений имеет вид:
kx – 2y + 6 = 0
4x – 3y + 9 = 0
Приведенные выше уравнения имеют вид
a1 x + b1 y − c1 = 0
a2 x + b2 y − c2 = 0
Здесь a1 = k, b1 = -2, c1 = 6
a2 = 4, b2 = -3, c2 = 9
Итак, согласно вопросу,
Для единственное решение, условие
a1 / a2 = b1 / b2 = c1 / c2
k/ 4 = −2/ −3 = 2/ 3
⇒k = 8/ 3
Следовательно, данная система уравнений будет иметь бесконечно много решений, если k = 8/3.
12. 8x + 5y = 9
Kx + 10y = 18
Решение:
. Данная система уравнений:
8x + 5y — 9 = 0 0003
Kx + 10y — –10. 18 = 0
Приведенные выше уравнения имеют вид
a2 = k, b2 = 10, c2 = -18
Итак, согласно вопросу,
Для единственного решения условие
a1 / a2 = b1 / b2 = c1 / c2
8/k = 5/10 = −9/ −18 = 1/2
⇒k=16
Следовательно, данная система уравнений будет иметь бесконечно много решений, если k = 16,
13,2x – 3y = 7
(k+2)x – (2k+1)y = 3(2k-1)
Решение:
Данная система уравнений:
2х – 3г – 7 = 0
(k+2)x – (2k+1)y – 3(2k-1) = 0
Приведенные выше уравнения имеют вид
a1 x + b1 y − c1 = 0
a2 x + b2 y − c2 = 0
Здесь a1 = 2, b1 = -3, c1 = -7
a2 = (k+2), b2 = -(2k+1), c2 = -3(2k -1)
Итак, согласно вопросу,
Для единственного решения условие
a1 / a2 = b1 / b2 = c1 / c2
2/ (k+2) = −3/ −(2k+ 1) = −7/ −3(2k−1)
2/(k+2) = −3/ −(2k+1) и −3/ −(2k+1)= −7/ −3(2k −1
⇒ 2(2k+1) = 3(k+2) и 3×3(2k−1) = 7(2k+1)
⇒4k+2 = 3k+6 и 18k – 9 = 14k + 7
⇒k=4 и 4k = 16 ⇒k=4
Следовательно, данная система уравнений будет иметь бесконечно много решений, если k = 4.
14 2x + 3y = 2
(k+2)x + (2k+1)y = 2(k-1)
Решение:
Данная система уравнений:
2x + 3y – 2= 0
(k+2)x + (2k+1)y – 2(k-1) = 0
Приведенные выше уравнения имеют вид
a1 x + b1 y − c1 = 0
a2 x + b2 y − c2 = 0
Здесь a1 = 2, b1 = 3, c1 = -5
a2 = (k+2), b2 = (2k+1), c2 = -2(k-1)
Итак, согласно вопросу,
Для единственного решения условие
a1 / a2 = b1 / b2 = c1 / c2
2/ (k+2) = 3/ (2k+1) = −2/ −2(k−1)
2/ (k+2) = 3/ (2k+1) и 3/(2k+1) = 2/2(k−1)
⇒ 2(2k+1) = 3(k+2) и 3(k−1) = (2k+1 )
⇒ 4k+2 = 3k+6 и 3k−3 = 2k+1
⇒k = 4 и k = 4
Следовательно, данная система уравнений будет иметь бесконечно много решений, если k = 4.
15. x + (k+1)y = 4
(k+1)x + 9y = 5k + 2
Решение:
Данная система уравнений:
x + (k+1)y – 4= 0
(k+1)x + 9y – (5k + 2) = 0
Приведенные выше уравнения имеют вид = (k+1), c1 = -4
a2 = (k+1), b2 = 9, c2 = -(5k+2)
Итак, согласно вопросу,
Для единственного решения условие
a1 / a2 = b1 / b2 = c1 / c2
1/ k+1 = (k+1)/ 9 = −4/ −(5k+2)
1/ k+1 = k+1/9 и k+1/9 = 4/ 5k+2
⇒9 = (k+1)2 и (k+1)(5k+2) = 36
⇒9 = k2 + 2k + 1 и 5k2+2k+5k+2 = 36
⇒k2+2k−8 = 0 и 5k2+7k−34 = 0
⇒k2+4k−2k−8 = 0 и 5k2+17k− 10k−34 = 0
⇒k(k+4)−2(k+4) = 0 и (5k+17)−2(5k+17) = 0
⇒ (k+4)(k−2) = 0 и (5k+17) (k−2) = 0
⇒k = −4 или k = 2 и k = −17/5 или k = 2
Видно, что k=2 удовлетворяет обоим условиям.
Следовательно, данная система уравнений будет иметь бесконечно много решений, если k = 9.
16. kx + 3y = 2k + 1
2(k+1)x + 9y = 7k + 1
Решение:
Данная система уравнений:
kx + 31 ) = 0
2(к+1)х + 9y – (7k + 1) = 0
Приведенные выше уравнения имеют вид 3, c1 = – (2k+1)
a2 = 2(k+1), b2 = 9, c2 = – (7k+1)
Итак, согласно вопросу,
Для единственного решения условие
а1 / а2 = b1 / b2 = c1 / c2
k/ 2(k+1) = 3/9 и 3/9 = -(2k+1)/ -(7k+1)
3k = 2k+2 и 7k+1 = 3(2k +1) = 6k + 3
k = 2 и k = 2
Следовательно, данная система уравнений будет иметь бесконечно много решений, если k = 2.
17. 2x + (k-2)y = k
6x + (2k-1)y = 2k + 5
Решение:
Данная система уравнений:
2x + (k-2)y – k = 0
6x + (2k-1)y – (2k+5) = 0
Приведенные выше уравнения имеют вид
a1 x + b1 y − c1 = 0
a2 x + b2 y − c2 = 0
Здесь a1 = 2, b1 = k-2, c1 = – k
a2 = 6, b2 = 2k-1, c2 = -2k-5
Итак, согласно вопросу,
Для единственного решения условие
a1 / a2 = b1 / b2 = c1 / c2
2/6 = (k-2)/ (2k-1) и (k-2)/ (2k-1) = – k/ -2k-5
4k -2 = 6k -12 и (k-2) (2k+5) = k(2k-1)
2k = 10 и 2k2 – 4k + 5k – 10 = 2k2 – k
⇒ k = 5 и 2k = 10 ⇒ k = 5
Следовательно, данная система уравнений будет иметь бесконечно много решений, если k =
5.
18. 2x + 3y = 7
(k+1)x + (2k-1)y = 4k+1
Решение:
Данная система уравнений:
2xy – 7= 0
(k+1)x + (2k-1)y – (4k+1) = 0
Приведенные выше уравнения имеют вид
a1 x + b1 y − c1 = 0
a2 x + b2 y − c2 = 0
Здесь a1 = 2, b1 = 3, c1 = – 7
a2 = (k+1), b2 = 2k-1, c2 = – (4k+1)
Итак, согласно вопросу,
Для единственного решения условие
а1 / а2 = Ь1 / b2 = c1 / c2
2/ (k+1) = 3/ (2k−1) = −7/ −(4k+1)
2/ (k+1) = 3/(2k−1) и 3/ (2k−1) = 7/(4k+1)
2(2k−1) = 3(k+1) и 3(4k+1) = 7(2k−1)
⇒4k− 2 = 3k+3 и 12k + 3 = 14k − 7
⇒k = 5 и 2k = 10
⇒k = 5 и k = 5
Следовательно, данная система уравнений будет иметь бесконечно много решений, если k = 5.
Упражнение 3.6 № страницы: 3.73
1. 5 ручек и 6 карандашей вместе стоят ₹ 9 и 3 ручки и 2 карандаша стоят ₹ 5.
Найти
стоимость 1 ручки и 1 карандаша.
Решение:
Предположим, что стоимость ручки и карандаша равна ₹ x и ₹ y соответственно.
Затем, составляя уравнения в соответствии с вопросом
5x + 6y = 9 … (i)
3x + 2y = 5 … (ii)
При умножении уравнения (i) на 2 и уравнения (ii) на 6, получаем
10x + 12y = 18 … (iii)
18x + 12y = 30 … (iv)
Теперь, вычитая уравнение (iii) из уравнения (iv), мы получаем
18x – 10x + 12y – 12y = 30 – 18
8x = 12
x = 3/2 = 1,5
Подставляя x = 1,5 в уравнении (i), находим y
5(1,5) + 6y = 9
6y = 9 – 7,5
y = (1,5)/ 6 = 0,25
Следовательно, стоимость одной ручки = 1,50 ₹ и, следовательно, стоимость одного карандаша = 0,25
₹ 2. 7 аудиокассет и 3 видеокассеты стоят ₹ 1110, а 5 аудиокассет и 4 видеокассеты стоят ₹ 1110 ₹ 1350. Узнать стоимость аудиокассеты и видеокассеты.
Решение:
Давайте предположим, что стоимость аудиокассеты и видеокассеты составляет ₹ x и ₹ y соответственно. Затем составив уравнения в соответствии с вопросом, мы имеем
7x + 3y = 1110 … (i)
5x + 4y = 1350 … (ii)
При умножении уравнения (i) на 4 и уравнения (ii) на 3,
Получаем,
28х + 12у = 4440 … (iii)
15х + 4у = 4050 … (iv)
Вычитание уравнения (iv) из уравнения (iii) в уравнении (i)
7(30) + 3y = 1110
3y = 1110 – 210
y = 900/ 3
⇒ y = 300
Следовательно, стоимость одной аудиокассеты = ₹ 30
И стоимость одной видеокассеты = 300 ₹
3. У Рины есть ручки и карандаши, которых вместе 40 штук. Если у нее на 5 карандашей больше и на 5 ручек меньше, то карандашей станет в 4 раза больше, чем ручек. Найдите исходное количество ручек и карандашей.
Решение:
Давайте
предположим, что количество ручек и карандашей равно x и y соответственно.
Составляя уравнения согласно вопросу, имеем
x + y = 40 … (i)
(y+5) = 4(x-5)
y + 5 = 4x – 20
5 + 20 = 4x – y
4x – y = 25 … (ii)
Складывая уравнения (i) и (ii),
Получаем,
x + 4x = 40 + 25
5x = 65
⇒ x = 13Положив x=13 в уравнение (i), мы получим
13 + y = 40
⇒ y = 40 – 13 = 27
Следовательно, количество ручек у Рины равно 13
И, количество карандашей у Рины равно 27.
4. 4 стола и 3 стула вместе стоят ₹ 2250, а 3 стола и 4 стула стоят ₹ 1950. Найдите стоимость 2 стульев и 1 стола.
Решение:
Предположим, что стоимость 1 стола равна ₹ x, а стоимость 1 стула — ₹ y.
Тогда по вопросу
4x + 3y = 2250 … (i)
3x + 4y = 1950 … (ii)
При умножении (i) на 3 и (ii) на 4,
Получаем,
12x + 9y = 6750 … (iii)
12x + 16y = 7800 … (iv)
Теперь, вычитая уравнение (iv) из (iii),
получаем,
-7y = -1050
y = 150
3 Используя y = 150 в (i), находим x
4x + 3(150) = 2250
4x = 2250 – 450
x = 1800/ 4
⇒ x = 450
Из вопроса требуется найти значение (x + 2y) ⇒ 450 + 2(150) = 750
Следовательно, общая стоимость 2 стульев и 1 стола составляет 750 ₹.
5. 3 сумки и 4 ручки вместе стоят ₹ 257 тогда как 4 сумки и 3 ручки вместе стоят ₹ 324. Найдите общую стоимость 1 сумки и 10 ручек.
Решение:
Пусть стоимость сумки и ручки равна ₹ x и ₹ y соответственно.
Тогда по вопросу
3x + 4y = 257 … (i)
4x + 3y = 324 … (ii)
При умножении уравнения (i) на 3 и (ii) на 4,
Получаем,
9x + 12y = 770 … (iii)
16x + 12y = 1296 … (iv)
Вычитая уравнение (iii) из (iv), получаем
16x – 9x = 1296 – 771
7x = 525
x = 525/7 = 75
Отсюда стоимость мешка = 75
₹. 4г = 257
225 + 4y = 257
4y = 257 – 225
4y = 32
y = 32/4 = 8
Следовательно, стоимость ручки = 8 ₹
3 90, значение (x + 10y) ⇒ 75 +10(8) = 20
Таким образом, общая стоимость 1 сумки и 10 ручек = 75 + 80 = 155 ₹.
6. 5 книг и 7 ручек вместе стоят ₹ 79, тогда как 7 книг и 5 ручек вместе стоят ₹ 77.
Найдите общую стоимость 1 книги и 2 ручек.
Решение:
Предположим, что стоимость книги и ручки равна ₹ x и ₹ y соответственно.
Тогда согласно вопросу
5x + 7y = 79 … (i)
7x + 5y = 77 … (ii)
При умножении уравнения (i) на 5 и (ii) на 7,
Мы get,
25x + 35y = 395 … (iii)
49x + 35y = 539 … (iv)
Вычитание уравнения (iii) из (iv),
Мы есть,
49x – 25x = 539 – 395
24x = 144
x = 144/24 = 6
Следовательно, стоимость книги = 6 ₹
Подставляя x= 6 в уравнение (i),
Получаем,
5 (6) + 7y = 79
30 + 7y = 79
7y = 79 – 30
7y = 49
y = 49/ 7 = 7
Следовательно, стоимость ручки = 7 ₹
Из вопроса требуется найти, это значение (x + 2y) ⇒ 6 + 2(7) = 20
Таким образом, общая стоимость 1 книги и 2 ручек = 6 + 14 = ₹ 20
7. Джамиля продала стол и стул
на ₹ 1050, тем самым получив прибыль 10% на столе и 25% на стуле.
Если бы она получила прибыль 25 % на столе и 10 % на стуле, то получила бы 91 122 ₹ 91 121 1065. Найдите себестоимость каждого из них.
Решение:
Пусть себестоимость одного стола и одного стула равна ₹ x и ₹ y соответственно.
Итак,
Цена продажи стола, при его продаже прибыль 10% = ₹ x + 10x/100 = ₹ 110x / 100
Цена продажи стола стул, когда он продан, прибыль 25% = ₹ y + 25y/100 = ₹ 125y / 100
Следовательно, согласно вопросу
110x / 100 + 125y / 100 = 1050 … (i)
Аналогично,
Цена продажи стола, при его продаже прибыль 25% = ₹ (x + 25x /100) = ₹ 125x/ 100
Цена продажи стула, при его продаже прибыль в размере 10% = ₹ (y + 10y/100) = ₹ 110y / 100
Следовательно, снова из вопроса
125x / 100 + 110y / 100 = 1065 … (ii)
Переписано (i) и (ii) с их простейшие коэффициенты,
11x/10 + 5y/4 = 1050…….. (iii)
5x/4 + 11y/10 = 1065…….. (iv)
Складывая (iii) и (iv), получаем
(11/10 + 5/4)x + (5/4 + 11/10)y = 2115
47/20x + 47/20y = 2115
x + y = 2115(20/47) = 900
⇒ х = 900 – у …….
(v)
Используя (v) в (iii),
11(900 – y)/10 + 5y/4 = 1050
2(9900 -11y) +25y = 1050 x 20 [После приема LCM]
19800 – 22 года + 25 лет = 21000
3 года = 1200
⇒ y = 400
Подставив y = 400 в (v), мы получим
x = 900 – 400 = 500
Следовательно, себестоимость стола 500 рупий, а стула 400 рупий.
Упражнение 3.7 Номер страницы: 3.85
1. Сумма двух чисел равна 8. Если их сумма в четыре раза больше их разности, найдите эти числа.
Решение:
Предположим, что эти два числа равны x и y.
Также допустим, что x больше или равно y.
Теперь, согласно вопросу
Сумма двух чисел, x + y = 8…………. (i)
Также учитывая, что их сумма в четыре раза превышает их разницу. Итак, мы можем написать;
х + у = 4(х – у)
⇒ х + у = 4х-4у
⇒ 4х – 4у – х – у = 0
⇒ 3х – 5у = 0………………. (ii)
Решая (i) и (ii), мы можем найти x и y, то есть искомые два числа.
Умножив уравнение (i) на 5, а затем сложив с уравнением (ii), мы получим здесь;
5 (x + y) + (3x – 5y) = 5 × 8 + 0
⇒ 5x + 5y + 3x – 5y = 40
⇒ 8x = 40
⇒ x = 5
9002 х в (i), мы найти y5 + y = 8
⇒ y = 8 – 5
⇒ y = 3
Следовательно, два числа 5 и 3.
2. Сумма цифр двузначного числа равно 13. Если число, полученное путем перестановки цифр, вычесть из числа, получится 45. Что это за число?
Решение:
Давайте предположим, что разряд единицы в качестве x и разряд десятков в качестве y. Тогда искомое число равно 10y + x.
Также известно, что сумма цифр число равно 13,
Итак, x + y = 13………… (i)
При перестановке цифр местами новое число будет 10x+y.
Снова дано, что разница между новым числом, образованным таким образом при перестановке цифр, и исходным числом равна 45. Следовательно, это можно выразить как;
(10x + y) – (10y + x) = 45
⇒ 110x + y – 10y – x = 45
⇒ 9x – 9y = 45
⇒ 9(x – y) = 3 ⇒ 9000 – y = 5……….
.(ii)
Решая (i) и (ii) находим x и y,
Теперь, складывая (i) и (ii), мы получаем;
(x + y) + (x – y) = 13 + 5
⇒ x + y + x – y = 18
⇒ 2x = 18
⇒ x = 9 уравнение (i), находим y;
9 + у = 13
⇒ у = 13 – 9
⇒ y = 4
Следовательно, искомое число 10 × 4 + 9 = 49.
3. Число состоит из двух цифр, сумма которых равна пяти. При перестановке цифр число увеличивается на девять. Найдите число.
Решение:
Предположим, что разряд единиц цифры равен x, а разряд десятков — y. Таким образом, нужно найти число 10y + x.
Из поставленного вопроса сумма цифр числа равна 5.
Таким образом, мы можем написать, x + y = 5 ………….. (i)
При перестановке цифр местами новое число, сформированное таким образом, будет 10x+y.
Опять же из вопроса, как это дано, новое число, полученное таким образом после перестановки цифр, больше на 9 от исходного числа.
Следовательно, это может быть
пишется как;
10х + у = 10у + х +9
⇒ 10х + у – 10у – х = 9
⇒ 9х – 9у = 9 ………………. (ii)
Решив (i) и (ii), мы можем найти x и y
Добавление экв. 1 и 2, получаем;
(x + y) + (x – y) = 5+1
⇒ x + y + x – y = 5+1
⇒ 2x = 6
⇒ x = 6/2 3
Подставив значение x в уравнение 1, получим;
3 + y = 5
⇒ y = 5-3
⇒ y = 2
Следовательно, искомое число равно 10 × 2 + 3 = 23
4. Сумма цифр двузначного числа равна 15. Число, полученное обратным порядком цифр данного числа, больше данного числа на 9. Найдите заданное число.
Решение:
Пусть разряд единиц будет равен x, а разряд десятков — y соответственно. Таким образом, число, которое нам нужно найти, равно 10y + x.
Согласно данному утверждению сумма цифр числа равна 15. Таким образом, мы имеем;
x+ y = 15 ……………(i)
При перестановке цифр местами,
новое число будет 10x + y.
Также из вопроса следует, что полученное новое число превышает исходное число на 9. Следовательно, мы можем записать это как;
10х + у = 10у + х + 9
⇒ 10х + у – 10у –х = 9
⇒ 9х – 9у = 9 /9
⇒ x – y = 1 ………………….. (ii)
Решив (i) и (ii), мы можем найти x и y
Теперь, складывая уравнения (i) и (ii), мы получаем;
(х + у) + (х — у) = 15 + 1
⇒ х + у + х — у = 16
⇒ 2х = 16
⇒ x = 16/2
⇒ x = 8
Подставив значение x в уравнение (i), получим y
8+ y = 5
⇒ y = 15 – 8
⇒ y = 7
Следовательно, искомое число равно 10 × 7 + 8 = 78
5. Сумма двузначного числа и число, образованное обратным порядком цифр, равно 66. Если две цифры отличаются на 2, найдите число. Сколько таких чисел?
Решение:
Предположим, что разряд единиц равен х, а разряд десятков
как у. Таким образом, из вопроса нужно найти число 10y + x.
Из вопроса, как сказано, две цифры числа отличаются на 2. Таким образом, мы можем написать
x – y = ±2………….. (i)
Теперь, после изменения порядка цифры, число становится 10x + y.
Опять же из вопроса следует, что сумма чисел, полученных путем перестановки цифр и исходного числа, равна 66. Таким образом, это можно записать как;
(10x+y) + (10y+x) = 66
⇒ 10x+y+10y + х = 66
⇒ 11х +11у = 66
⇒ 11(x + y) = 66
⇒ x + y = 66/11
⇒ x + y = 6………….. (ii)
Теперь у нас есть два набора систем одновременного уравнения
x – y = 2 и x + y = 6
x – y = -2 и x + y = 6
Сначала решим первую систему уравнений;
х – у = 2 …………. (iii)
x + y = 6 ………….. (iv)
Складывая уравнения (iii) и (iv), получаем;
(х – у) + (х + у) = 2+6
⇒ х – у + х + у = 8
⇒ 2x =8
⇒ x = 8/2
⇒ x = 4
Подставляя значение x в уравнение (iii), получаем
4 – y = 2
⇒ y = 4 – 2
⇒ y = 2
, отсюда искомое число 10 × 2 +4 = 24
Теперь давайте решим вторую систему уравнений,
x – y = -2 ………….
(v)
x + y = 6 ………….. (vi)
Складывая уравнения (v) и (vi), получаем
(x – y)+(x + y )= — 2 + 6
⇒ х – у + х + у = 4
⇒ 2x = 4
⇒ x = 4/2
⇒ x = 2
Подставляя значение x в уравнение 5, получаем;
2 – y = -2
⇒ y = 2+2
⇒ y = 4
Следовательно, искомое число равно 10×4+ 2 = 42
Следовательно, таких возможных чисел два, т. е. 24 и 42.
6. Сумма двух чисел равна 1000, а разница между их квадратами равна 256000. Найдите числа.
Решение:
Предположим, что эти два числа равны x и y. А также предположим, что x больше или равно y.
Итак, согласно вопросу, мы можем записать сумму двух чисел как
x + y = 1000 ……….. (i)
Опять же, учитывая, что разница между квадратами двух чисел, Таким образом, написание
x2-y2 = 256000
⇒ (x + y) (x-y) = 256000
⇒ 1000 (x-y) = 256000
⇒ x-y = 256000/1000
⇒ x-y = 256 ………….
. (ii)
Решив (i) и (ii), мы можем найти два числа
Сложив уравнения (i) и (ii), мы получим;
(х+ у) + (х- у) = 1000 + 256
⇒ х + у + х – у = 1256
⇒ 2х = 1256
⇒ х = 1256/ 2
х 9000 = 628Теперь, подставив значение x в уравнение (i), мы получим
628 + y = 1000
⇒ y = 1000 – 628
⇒ y = 372
Следовательно, два искомых числа равны 68. и 372.
7. Сумма двузначного числа и числа, полученного путем перестановки его цифр, равна 99. Если цифры отличаются на 3, найдите число.
Решение:
Предположим, что разряд единиц равен x, а разряд десятков — y. Таким образом, из вопроса, число, которое нам нужно найти 10y + x.
Из вопроса, так как две цифры числа отличаются на 3. Следовательно,
x – y = ±3 …………. (i)
И после перестановки цифр получается число 10x + y.
Опять же, из вопроса следует, что сумма чисел, полученных путем перестановки цифр и исходного числа, равна 9.
9. Таким образом, это можно записать как;
(10x + y) + (I0y + x) = 99
⇒ 10x + y + 10y + x = 99
⇒ 11x + 11y = 99 + y = 99/11
⇒ x + y = 9 …………… (ii)
Итак, наконец, у нас есть две системы уравнений для решения. Это
x – y = 3 и x + y = 9
x – y = -3 и x + y = 9
Теперь давайте решим первую систему уравнений;
х – у = 3 ……….. (iii)
х + у = 9 ………. (iv)
Складывая уравнения (iii) и (iv), получаем;
(х – у) + (х + у) = 3 + 9
⇒ х – у + х + у = 12
⇒ 2х = 12
Ввод значения x в уравнение (iii), находим y
6 – y = 3
⇒ y = 6 – 3
⇒ y = 3
Следовательно, при рассмотрении этого множества искомое число должно быть 10×3 + 6 =36
Теперь при решении второй системы уравнений
x – y = –3 ……….(v)
x + y = 9 ………….. (vi)
Складывая уравнения (v) и (vi), получаем;
(x – y) + (x + y) = –3 + 9
x – y + x + y = 6
2x = 6
x = 3
Подставляя значение x в уравнение 5, мы получаем;
3 – y = -3
⇒ y = 3 + 3
⇒ y = 6
Следовательно, при рассмотрении этого множества искомое число должно быть 10×6+3=63
Следовательно, таких два номера для заданного вопроса.
8. Двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр. Если к числу добавить 18, цифры меняются местами. Найдите число.
Решение:
Предположим, что разряд единиц равен x, а разряд десятков — y. Таким образом, из вопроса число, которое нам нужно найти, равно 10y + x.
Из вопрос, так как число в 4 раза больше суммы двух цифр. Мы можем написать:
10у + х = 4(х + у)
⇒ 10у + х = 4х+ 4у
⇒ 4x + 4y – 10y -x = 0
⇒ 3x – 6y = 0
⇒ 3(x – 2y) = 0
⇒ x – 2y = 0 ……………… (i)
Во-вторых , после перестановки цифр получается новое число 10x + y.
Опять же из вопроса следует, что если к исходному числу добавить 18, цифры меняются местами. Таким образом, имеем
(10y+x) + 18 = 10x+y
⇒ 10x + y- 10y – x = 18
⇒ 9x – 9y = 18
⇒ 9(x -y) = 18
⇒ x – y = 18/9
⇒ x-y =2 …………. (ii)
Теперь, решая уравнения (i) и (ii), мы можем найти значения x и y и, следовательно, число.
Вычитая уравнение (i) из уравнения (ii), мы получаем;
(x-y) – (x – 2y) = 2-0
⇒ x – y – x + 2y = 2
⇒ y=2
Подставив значение y в уравнение (i), чтобы найти х, получаем
х – 2 × 2=0
⇒ х – 4=0
⇒ х = 4
Отсюда искомое число 10×2 +4 = 24
Упражнение 3.8 Номер страницы: 3.88
1. Числитель дроби на 4 меньше знаменателя. Если числитель уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 1, то знаменатель в восемь раз больше числителя. Найдите дробь.
Решение:
Предположим, что числитель дроби равен x, а знаменатель дроби равен y.
Итак, нужная дробь x/y.
Из поставленного вопроса
Числитель дроби на 4 меньше знаменателя.
Таким образом, полученное таким образом уравнение имеет вид 2 и знаменатель увеличивается на 1, тогда знаменатель в 8 раз больше числителя.
Подставляя вышеуказанное условие в уравнение, получаем
y + 1 = 8(x-2)
⇒ y + 1 = 8x–16
⇒ 8x – y = 1 + 16
⇒ 8x – y = 17 …… (ii)
Решение (i) и (ii),
Вычитание уравнения (ii) из (i), получаем
(x – y) – (8x – y) = – 4 – 17
⇒ x – y − 8x + y = −21
⇒ −7x = −21
⇒ x = 21/7
⇒ x = 3
Подставляя значение x =3 в уравнение (i), находим y
3 – y = – 4
⇒ y = 3+4
⇒ y = 7
Следовательно, дробь равна 3/7.
2. Дробь становится 9/11, если 2 добавить и к числителю, и к знаменателю. Если к числителю и знаменателю прибавить 3, получится 5/6. Найдите дробь.
Решение:
Предположим, что числитель дроби равен x, а знаменатель дроби равен y.
Итак, нужная дробь x/y.
Из вопроса, заданного как
Если 2 добавить и к числителю, и к знаменателю, дробь станет 9/11 .
Таким образом, получается следующее уравнение: 11х – 9у = 18 – 22
⇒ 11х – 9у + 4 = 0 ……. (и)
И
Если добавить 3 и к числителю, и к знаменателю, дробь станет 5/6,
.
⇒ 6(х+3) = 5(у+3)
⇒ 6х + 18 = 5у + 15
⇒ 6х – 5у = 15 – 18
⇒ 6х – 5у + 3 = 0…….. ( ii)
Решая (i) и (ii), чтобы найти дробь
Используя метод перекрестного умножения, мы имеем
x = 7, y = 9
Следовательно, искомая дробь равна 7/9.
3. Дробь становится 1/3, если из ее числителя и знаменателя вычесть 1.
Если к числителю и знаменателю добавить 1, получится 1/2. Найдите
дробная часть.
Решение:
Предположим, что числитель дроби равен x, а знаменатель дроби равен y.
Итак, нужная дробь x/y.
Из поставленного вопроса
Если из числителя и знаменателя вычесть 1, дробь станет 1/3.
Таким образом, уравнение будет таким: 3(x–1) = (y–1)
⇒ 3x – 3 = y – 1
⇒ 3x – y – 2 = 0…. (i)
А также указан в вопрос как,
Если 1 добавить и к числителю, и к знаменателю, дробь станет 12. Выражая вышеуказанное условие в уравнении, мы имеем
(x+1)/ (y+1) = 1/ 2
⇒ 2(x+1) = (y+1)
⇒ 2x + 2 = y + 1
⇒ 2x – y + 1 = 0 …….. (ii)
Решение (i) и ( ii), чтобы найти дробь
Используя перекрестное умножение, мы имеем
⇒ x = 3, y = 7
Следовательно, искомая дробь равна 3/7.
4. Если мы добавим 1 к числителю и вычтем 1 из знаменателя, дробь станет 1.
Она также станет 1/2, если мы
только прибавьте 1 к знаменателю. Что такое дробь?
Решение:
Предположим, что числитель дроби равен x, а знаменатель дроби равен y.
Итак, нужная дробь x/y.
Из вопроса, заданного как
Если к числителю прибавить 1, а из знаменателя вычесть 1, дробь станет равной 1.
Таким образом, уравнение будет таким: y−1) = 1
⇒ (x+1) = (y–1)
⇒ x + 1 – y + 1 = 0
⇒ x – y + 2 = 0 …….. (i)
А также это дается в вопросе как,
Если 1 добавить к знаменателю, дробь станет 12.
Выражая вышеуказанное условие в уравнении, мы имеем
x/ (y+1) = 1/ 2
⇒ 2x = (y+1)
⇒ 2x – y – 1 = 0 …… (ii)
Решая (i) и (ii), чтобы найти дробь
Используя перекрестное умножение, мы имеем
⇒x = 3, y = 5
Следовательно, искомая дробь 3/5.
5. Сумма числителя и знаменателя дроби равна 12. Если знаменатель увеличить на 3, дробь
становится 12.
Найдите дробь.
Решение:
Предположим, что числитель дроби равен x, а знаменатель дроби равен y.
Итак, нужная дробь x/y.
Из поставленного вопроса:
Сумма числителя и знаменателя дроби равна 12.
Таким образом, получается уравнение:
x + y = 12
⇒ x + y – 12 = 0
А также дается в вопросе как,
Если знаменатель увеличить на 3, дробь становится 1/2.
Превратив это в уравнение, мы получим
x/ (y+3) = 1/2
⇒ 2x = (y+3)
⇒ 2x – y – 3 = 0
Два уравнения:
x + y – 12 = 0…… (i)
2x – y – 3 = 0…….. (ii)
Складывая (i) и (ii), получаем
x + y – 12 + (2x – y – 3) = 0
⇒ 3x -15 = 0
⇒ x = 5
Используя x = 5 в (i), находим y
5 + y – 12 = 0
⇒ y = 7
Следовательно, искомая дробь равна 5/7.
Упражнение 3.9 Номер страницы: 3.92
1. Отец
в три раза старше своего сына.
Через двенадцать лет его возраст будет в два раза больше, чем у его сына. Найдите их настоящий возраст.
Решение:
Примем настоящий возраст отца за x лет, а возраст его сына за y лет.
Из вопроса следует, что
Отец старше сына в 3 раза. (Настоящее)
Таким образом, получается уравнение
х = 3 года
⇒ х – 3 года = 0……. (i)
Также снова из вопроса, который дан как,
После 12 лет, возраст отца будет (x+12) лет, а возраст сына будет (y+12) лет.
Кроме того, соотношение между их возрастами после 12 лет приведено ниже ii)
Решая (i) и (ii), мы получаем решение
Используя перекрестное умножение, мы имеем
x = 36, y = 12
Следовательно, настоящий возраст отца 36 лет, а настоящий возраст сына 12 лет.
2. Десять лет спустя А будет вдвое старше Б, а пять лет назад А был в три раза старше.
Решение:
Пусть настоящий возраст A равен x лет, а возраст B равен y лет
Из вопроса дано, что
Через 10 лет возраст A будет (x +10) лет, а возраст B будет (y + 10) лет.
Кроме того, соотношение между их возрастом через 10 лет приведено ниже (i)
Также снова из вопрос задан как
До 5 лет возраст А составлял (x – 5) лет, а возраст B был (y – 5) лет.
Таким образом, получается уравнение
x – 5 = 3(y-5)
⇒ x – 5 = 3y – 15
⇒ x – 3y + 10 = 0…….. (ii)
Таким образом , решив (i) и (ii), получим искомое решение
Используя перекрестное умножение, мы получаем,
⇒ x = 50, y = 20
Следовательно, настоящий возраст A равен 50 годам, а настоящий возраст B равен 20 годам.
3. А старше Б на 2 года. Отец А в два раза старше А, а В в два раза старше его сестра S. Если возраст отца и сестры различаются на 40 лет, найдите возраст A.
Решение:
Предположим, что настоящий возраст A = x
настоящий возраст B = у
нынешний возраст F = z
нынешний возраст S = t
Из вопроса следует, что
A старше b на 2 года.
⇒ x = y + 2
F вдвое старше A. ⇒ z = 2x
B вдвое старше S. ⇒ y = 2t
Также учитывая, что возраст F и S разный к 40 годам. ⇒ z – t = 40.
Итак, четыре уравнения:
x = y + 2 … (i)
z = 2x … (ii)
y = 2t … (iii)
z – t = 40 …(iv)
Из полученных уравнений ясно видно, что x, y, z и t неизвестны.
И мы должны найти значение x.
Таким образом, используя уравнение (iii) в (i),
(i) становится x = 2t + 2
Из (iv) мы имеем t = z – 40
Следовательно, мы получаем
x = 2(z – 40) + 2
= 2z – 80 + 2
= 2z – 78
Используя уравнение (ii), мы
х = 2×2х – 78
⇒ х = 4х – 78
⇒ 4х – х = 78
⇒ 3x = 78
⇒ x = 78/3
⇒ x = 26
Следовательно, возраст А равен 26 годам.
4. Через шесть лет возраст мужчины будет в три раза старше его сына, а три года назад он был в девять раз старше своего сына. Найдите их настоящий возраст.
Решение:
Предположим, что настоящий возраст отца равен x годам, а возраст его сына — y годам.
Из вопроса следует, что
После 6 лет, возраст мужчины будет (x + 6) лет, а возраст сына будет (y + 6) лет.
Таким образом, получается уравнение
x + 6 = 3(y + 6)
x + 6 = 3y + 18
x – 3y – 12 = 0……. (i)
Также снова из вопроса, который дан как,
До 3 лет возраст мужчины составлял (x – 3) лет, а возраст сына был (y – 3) лет.
Кроме того, отношение между их 3-летней давностью приведено ниже
x – 3 = 9(y – 3)
x – 3 = 9y – 27
x – 9y + 24 = 0……. (ii)
Таким образом, решая (i) и (ii), получаем искомое решение
Используя перекрестное умножение, мы получаем
⇒x = 30, y = 6
Следовательно, настоящий возраст мужчины 30 лет, а настоящий возраст сына 6 лет годы.
5. Десять лет назад отец был в двенадцать раз старше сына, а через десять лет он будет вдвое старше сына. Найдите их настоящий возраст.
Решение:
Предположим, что настоящий возраст отца равен x годам, а возраст его сына — y годам.
Из вопроса следует, что
Через 10 лет возраст отца будет (x+10) лет, а возраст сына будет (y + 10) лет.
Таким образом, получается уравнение
x + 10 = 2(y + 10)
x – 10 = 2y + 20
x – 2y – 10 = 0……… (i)
Также снова из вопрос задан как,
До 10 лет возраст отца был (x – 10) лет, а возраст сына был (y – 10) лет.
Кроме того, соотношение между их 10-летней давностью приведено ниже
х – 10 = 12(у – 10)
х – 10 = 12у – 120
х – 12у + 110 = 0……… (ii)
Таким образом, решая (i) и (ii), получаем требуемое решение
Используя перекрестное умножение, имеем
⇒x = 34, y = 12
Следовательно, настоящий возраст отца 34 года, а настоящий возраст сына 12 лет.
6. Настоящий возраст отца на 3 года более чем в три раза превышает возраст
сын. Через три года возраст отца будет на 10 лет больше, чем возраст сына в два раза. Определите их настоящий возраст.
Решение:
Примем настоящий возраст отца за x лет, а возраст его сына за y лет.
Из вопроса следует, что
Нынешний возраст отца на три года больше, чем возраст сына в три раза.
Таким образом, получается уравнение
x = 3y + 3
x – 3y -3 = 0 …….. (i)
Еще раз из вопроса:
Через 3 года возраст отца будет (x + 3) лет, а возраст сына будет (y + 3) лет.
Кроме того, соотношение между их возрастом через 3 года приведено ниже решая (i) и (ii), получаем требуемое решение
Используя перекрестное умножение, имеем
⇒x = 33, y = 10
Следовательно,
Настоящий возраст отца = 33 года и настоящий возраст его сына = 10 лет.
Упражнение 3.10 Номер страницы: 3.101
1. Точки A и B составляют 70 км.
отдельно на шоссе. Автомобиль стартует из А, а другой автомобиль стартует из Б одновременно. Если они едут в одном направлении, то встретятся через 7 часов, а если навстречу друг другу, то встретятся через 1 час. Найдите скорость двух автомобилей.
Решение:
Рассмотрим автомобиль, стартующий из точки А, как X и его скорость как x км/ч.
И, автомобиль, отправляющийся из точки B как Y, и его скорость как y км/ч.
Видно, что в вопросе два падежа:
# Дело 1: Автомобиль X и Y движутся в одном направлении
# Случай 2: Автомобиль X и Y движутся в противоположном направлении
Предположим, что точка встречи в случае 1 обозначена как P, а в случае 2 — как Q..
Теперь, решение для случая 1:
Расстояние, пройденное автомобилем X = AP
И расстояние, пройденное автомобилем Y = BP
Поскольку время, необходимое для встречи обеих автомобилей, составляет 7 часов,
Расстояние, пройденное автомобилем X за 7 часов = 7x км [∵ расстояние = скорость x время]
⇒ AP = 7x
Аналогично,
Расстояние, пройденное автомобилем Y за 7 часов = 7y км
⇒ BP = 7Y
Так как автомобили движутся в одном направлении (т. е. в разные стороны), мы можем написать
AP – BP = AB
Итак, 7x – 7y = 70
x – y = 10 …………………………. (i) [после взятия 7 общих выходов]
Теперь, решая для случая 2:
В этом случае, как ясно видно, что
Расстояние, пройденное автомобилем X = AQ
И,
Расстояние пройдено на машине Y = BQ
Как затраченное время время встречи обеих машин составляет 1 час,
Расстояние, пройденное автомобилем x за 1 час = 1x км
⇒ AQ = 1x
Аналогично,
Расстояние, пройденное автомобилем y за 1 час = 1y км
⇒ BQ = 1y
Теперь, поскольку автомобили движутся в противоположном направлении (т.е. навстречу друг другу), мы можем записать
AQ + BQ = AB
⇒ x + y = 70 …………… (ii)
Отсюда, решая (i) и (ii), получаем требуемое решение
Из (i) имеем x = 10 + у……. (iii)
Подставив это значение x в (ii).
⇒ (10 + у) + у = 70
⇒ у = 30
Теперь, используя y = 30 в (iii), мы получаем
⇒ x = 40
Следовательно,
– Скорость автомобиля X = 40 км/ч.
– Скорость автомобиля Y = 30 км/ч.
2. Моряк прошел 8 км вниз по течению за 40 минут и вернулся за 1 час. Определить скорость моряка в стоячей воде и скорость течения.
Решение:
Предположим,
Скорость моряка в стоячей воде x км/ч
А,
Скорость течения как y км/ч
Мы знаем, что,
Скорость моряка против течения = (x – y) км/ч
Скорость моряка против течения = (x + y) км/ч
Итак, время, необходимое для прохождения 8 км вверх по течению = 8/ (x – y) ч [∵ время = расстояние/скорость]
И время, необходимое для прохождения 8 км вниз по течению = 8/ (x + y hr [∵ time = расстояние/скорость]
Дано время, необходимое для преодоления 8 км вниз по течению за 40 минут или 40/60 часов или 2/3 часа
8/ (х + y) = 2/3
8 × 3 = 2(x + y)
24 = 2x + 2y
x + y = 12 …………………… (i) [После взятия 2 общих выходов и перестановка]
Точно так же время, необходимое для прохождения 8 км вверх по течению за 1 час, можно записать как
8/ (x – y) = 1
8 = 1(x – y)
⇒ x – y = 8 … …………. . (ii)
Следовательно, решая (i) и (ii), мы получаем требуемое решение
Складывая (i) и (ii), получаем
2x = 20
⇒ x = 10
Теперь, подставляя значение x в (i), находим y
10 + y = 12
⇒ y = 2
Следовательно, скорость моряка 10 км/ч, а скорость течения 2 км/ч.
3. Лодка проходит 30 км вверх по течению и 44 км вниз по течению за 10 часов. За 13 часов он может пройти 40 км вверх по течению и 55 км вниз по течению. Определить скорость течения и скорость лодки в стоячей воде.
Решение:
Предположим,
Скорость лодки в стоячей воде x км/ч
А,
Скорость потока как y км/час
Мы знаем, что,
Скорость лодка против течения = (x – y) км/ч
Скорость лодки против течения = (x + y) км/ч
Итак,
Время, затраченное на преодоление 30 км вверх по течению = 30/ (x − y ) час [∵ время = расстояние/скорость]
Время, затраченное на преодоление 44 км вниз по течению =44/ (x + y) час [∵ время = расстояние/скорость]
Учитывая, что общее время в пути составляет 10 часов. Таким образом, это может быть выражено как
30/ (x – y) + 44/ (x + y) = 10 …….. (i)
Аналогично,
Время, необходимое для преодоления 40 км вверх по течению = 40/ (x – y) ч [∵ время = расстояние/скорость]
Время, затраченное на преодоление 55 км вниз по течению = 55/(x + y) ч [∵ время = расстояние/скорость]
В этом случае общее время пути определяется как 13 часов.
Следовательно, мы можем написать
40/(x – y) + 55/ (x + y) = 13 ……. (ii)
Следовательно, решая (i) и (ii), мы получаем требуемое решение
Принимая 1/ (x – y) = u и 1/ (x + y) = v в уравнениях (i) и (ii), мы имеем
30u + 44v = 10
40u + 55v = 10
Который можно переписать как
30u + 44v – 10 = 0 ……. (iii)
40u + 55v – 13 = 0……… (iv)
Решая эти уравнения перекрестным умножением, получаем,
Теперь
1/ (x – y) = 2/10
⇒ 1 х 10 = 2(х – у)
⇒ 10 = 2х – 2у
⇒ х – у = 5 ……. (в)
А,
1/(х + у) = 1/11
⇒ х + у = 11 ……. (vi)
Снова решая (v) и (vi)
Складывая (v) и (vi), получаем
2x = 16
⇒ x = 8
Используя x в (v), находим y
8 – y = 5
⇒ y = 3
Следовательно, скорость лодки в стоячей воде 8 км/ч, а скорость течения 3 км/ч.
4. Лодка проходит 24 км вверх по течению и 28 км вниз по течению за 6 часов. Он проходит 30 км вверх по течению и 21 км вниз по течению за 6,5 часов. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения. 9
Скорость лодки в стоячей воде x км/ч известно, что
Скорость лодки против течения = (x – y) км/ч
Скорость лодки против течения = (x + y) км/ч
Итак, время, необходимое для прохождения 28 км вниз по течению = 28 / (x+y) час [∵ время = расстояние/ скорость]
Время, затраченное на преодоление 24 км вверх по течению = 24/ (x – y) ч [∵ время = расстояние/ скорость]
Учитывая, что общее время в пути 6 часов. Таким образом, это можно выразить как
24/ (x – y) + 28/ (x + y) = 6…… (i)
Аналогично,
Время, затрачиваемое на преодоление 30 км вверх по течению = 30/ (x – y ) [∵ время = расстояние/скорость]
Время, затраченное на преодоление 21 км вниз по течению = 21/ (x + y) [∵ время = расстояние/скорость]
В этом случае общее время в пути равно 6,5. то есть 13/2 часа.
Следовательно, мы можем написать
30/ (x – y) + 21/ (x + y) = 13/2 ….. (ii)
Следовательно, решая (i) и (ii), мы получаем требуемое решение
Принимая, 1/ (x – y) = u и 1/ (x + y) = v в уравнениях (i) и (ii) имеем (после перестановки)
24u + 28v – 6 = 0 …… (iii)
30u + 21v – 13/2 = 0 ……. (iv)
Решая эти уравнения перекрестным умножением, получаем у = 6 …. (v)
v = 1/(x + y) = 1/14
x + y = 14……. (vi)
При решении (v) и (vi)
Добавление (v) и (vi), мы получаем
2x = 20
⇒ x = 10
Используя x = 10 в (v), мы находим y
10 + y = 14
⇒ y = 4
3
Следовательно,
Скорость потока = 4 км/ч.
Скорость лодки = 10 км/ч.
5. Человек проходит определенное расстояние с определенной скоростью. Если он пройдет на 1/2 км в час быстрее, то пройдёт на 1 час меньше. Но, если он идет на 1 км в час медленнее, ему потребуется на 3 часа больше. Найдите расстояние, пройденное человеком, и его первоначальную скорость ходьбы.
Решение:
Пусть фактическая скорость человека равна x км/ч, а y — фактическое время, затраченное им в часах.
Итак, мы знаем, что
Пройденное расстояние = скорость × расстояние
⇒ Расстояние = x × y = xy ……………………………. (i)
Первое условие вопроса гласит, что
Если скорость человека увеличится на 1/2 км/ч, время в пути сократится на 1 час.
Показывая это с использованием переменных, мы имеем
⇒ Когда скорость равна (x + 1/2) км/ч, время в пути = y – 1 час
Сейчас,
Расстояние пройдено = (x + 1/2) x (y – 1) км
Поскольку расстояние одинаковое, то есть xy, мы можем приравнять его [из (i)]
xy = (x + 1/2) x ( y – 1)
И в итоге получаем,
-2x + y – 1 = 0 …………………….. (ii)
Из второго условия вопроса имеем
Если скорость уменьшается на 1 км/ч, то время в пути увеличивается на 3 часа.
⇒ При скорости (x-1) км/ч время в пути составляет (y+3) часов
Поскольку пройденное расстояние = xy [из (i)]
xy = (x-1)(y+3)
⇒ xy = xy – 1y + 3x – 3
⇒ xy = xy + 3x – 1y – 3
⇒ 3x – y – 3 = 0 ……………… (iii)
Из (ii) и (iii) значение x можно рассчитать как
(ii) + (iii) ⇒
x – 4 = 0
x = 4
Теперь y можно получить, используя x = 4 в (ii)
-2 (4) + y – 1 = 0
⇒ y = 1 + 8 = 9
Отсюда, подставляя значения x и y в уравнение (i), находим расстояние
Пройденное расстояние = xy
= 4 × 9
= 36 км
Таким образом, расстояние равно 36 км, а скорость ходьбы равна 4 км/ч.
6. Человеку, плывущему со скоростью 5 км/ч в стоячей воде, требуется в три раза больше времени, чтобы пройти 40 км вверх по течению, чем 40 км вниз по течению. Найдите скорость потока.
Решение:
Предположим, что x — это скорость потока.
Итак, мы знаем, что
Скорость лодки по течению = (5 + x) и,
Скорость лодки против течения = (5 – x)
Дано, что
Расстояние в одну сторону 40км.
А,
Время, затраченное на восходящий поток = 3 × время, затраченное на движение вниз по течению
Выразив его уравнениями, мы имеем
40/ (5 – x) = 3 x 40/ (5 + x) [∵ время = расстояние/скорость]
Путем перекрестного умножения получаем
(5+x) = 3(5-x)
⇒ 5 + x = 3(5 – x)
⇒ x + 3x = 15 – 5
⇒ x = 10/4 = 2,5
Следовательно, скорость потока 2,5 км/ч.
7. Рамеш проезжает 760 км до дома частично на поезде и частично на машине. Ему потребуется 8 часов, если он проедет 160 км на поезде, а остальное на машине. Он берет 12 минут больше, если он проедет 240 км на поезде, а остальное на машине. Найдите скорость поезда и автомобиля соответственно.
Решение:
Предположим,
Скорость поезда x км/ч
Скорость автомобиля = y км/ч
Из вопроса понятно, что есть две части
# Часть 1: Когда Рамеш проезжает 160 км на поезде, а остальное на машине.
# Часть 2: Когда Рамеш проезжает 240 км на поезде, а остальное на машине.
Часть 1,
Время затраченное Рамешем на проезд 160 км на поезде = 160/x часов [∵ время = расстояние/скорость]
Время, затраченное Рамешем на проезд оставшихся (760–160) км, т. е. 600 км на автомобиле = 600/год часов
Итак, общее время, затраченное Рамешем на преодоление 760 км = 160/x часов + 600/y часов
Дано, что
Общее время, затраченное на это путешествие = 8 часов
Итак, по уравнениям его
160/x + 600/y = 8
20/x + 75/y = 1 уравнение на 8] …………………… (i)
Часть 2,
Время, затраченное Рамешем на проезд 240 км на поезде = 240/x часов
Время, затраченное Рамешем на проезд (760 – 240) = 520 км на машине = 520/y часов
Для этого путешествия задано, что Рамешу потребуется в общей сложности 8 часов и 12 минут, чтобы закончить.
240/x + 520/y = 8 часов 12 минут = 8 + (12/60) = 41/5 часа
240/x + 520/y = 41/5 200 ………. (ii)
Решая (i) и (ii), получаем требуемое решение
Возьмем 1/x = u и 1/y = v,
Итак, (i) и (ii) становятся
20u + 75v = 1 ……….. (iii)
6u + 13v = 41/200 … …. (iv)
При умножении (iii) на 3 и (iv) на 10,
60u + 225v = 3
60u + 130v = 41/20
Вычитая два приведенных выше уравнения, мы получаем
(225 – 130)v = 3 – 41/20
95v = 19/20
⇒ v = 19/ (20 x 95) = 1/100
⇒ y = 1/v = 100
3 Используя v = 1/100 в (iii), чтобы найти v,
20u + 75(1/100) = 1
20u = 1 – 75/100
⇒ 20u = 25/100 = 1/4
⇒ u знак равно 1/80
⇒ x = 1/u = 80
Итак, скорость поезда 80 км/ч, а скорость автомобиля 100 км/ч.
8) Человек проехал 600 км частично на поезде и частично на машине. Если он проедет 400 км на поезде, а остальное на машине, то это займет у него 6 часов 30 минут. Но если он проедет 200 км на поезде, а остальные на машине, то на полчаса у него уйдет больше времени. Найдите скорость поезда и скорость автомобиля.
Решение:
Предположим,
Скорость поезда равна x км/ч
Скорость автомобиля = y км/ч
Из вопроса понятно, что есть две части
# Часть 1: Когда человек проезжает 400 км на поезде, а остальное на машине.
# Часть 2: Когда Рамеш проезжает 200 км на поезде, а остальное на машине.
Часть 1,
Время, необходимое человеку, чтобы проехать 400 км на поезде = 400/x часов [∵ время = расстояние/скорость]
Время, затраченное человеком на поездку (600 – 400) = 200 км на машине = 200 часов в год
Время, затраченное человеком на преодоление 600 км = 400/x часов + 200/y часов
Общее время, затраченное на это путешествие = 6 часов + 30 минут = 6 + 1/2 = 13/2
Итак, по уравнениям это
400/x + 200/y = 13/2
400/x + 200/y = 13/2
400/x + 200/y = 13/2
200 (2/x + 1/y) = 13/2
2/ x + 1/y = 13/400 . …(i)
Часть 2,
Время, необходимое человеку, чтобы проехать 200 км на поезде = 200/x часов. [∵ время = расстояние/скорость]
Затраченное время человек должен проехать (600 – 200) = 400 км на машине = 200 часов в год
Для части общее время в пути определяется как 6 часов 30 минут + 30 минут, то есть 7 часов,
200/x + 400/y = 7
200 (1/x + 2/y) = 7
1/x + 2/y = 7/200 ….. (ii)
Принимая 1/x = u, и 1/ y = v,
Таким образом, уравнения (i) и (ii) принимают вид (iv)
Решение (iii) и (iv), на
(iv) x 2 – (iii) ⇒
3v = 14/200 – 13/400
3v = 1/400 x (28 – 13)
3v = 15/400
2 v = 1/400
⇒ y = 1/v = 80
Теперь, используя v в (iii), находим u,
2u + (1/80) = 13/400
2u = 13/400 – 1/80
2u = 8/400
u = 1/100
⇒ x = 1/u = 100
Следовательно, скорость поезда 100 км/ч, а скорость автомобиля 80 км/ч.
9. Пункты A и B находятся на расстоянии 80 км друг от друга по шоссе. Автомобиль стартует из A, а другой из B
в то же время. Если они движутся в одном направлении, то встретятся через 8 часов, если в противоположном направлении, то встретятся через 1 час 20 минут. Найдите скорости автомобилей.
Решение:
Рассмотрим автомобиль, стартующий из точки А, как X и его скорость как x км/ч.
И, автомобиль, отправляющийся из точки B как Y, и его скорость как y км/ч.
Видно, что в вопросе два случая:
# Случай 1: Автомобили X и Y движутся в одном направлении
# Случай 2: Автомобиль X и Y движутся в противоположном направлении
Предположим, что точка встречи в случае 1 обозначена как P, а в случае 2 — как Q..
Теперь, решение для случая 1:
Расстояние, пройденное автомобилем X = AP
И расстояние, пройденное автомобилем Y = BP
Поскольку время, необходимое для встречи обоих автомобилей, составляет 8 часов,
Расстояние, пройденное автомобилем X за 7 часов = 8x км [∵ расстояние = скорость x время]
⇒ AP = 8x
Аналогично,
Расстояние, пройденное автомобилем Y за 8 часы = 8y км
⇒ BP = 8Y
Так как автомобили движутся в одном направлении (т. е. в разные стороны), мы можем написать
AP – BP = AB
Итак, 8x – 8y = 80
⇒ x – y = 10 ………………………. (i) [После взятия 8 общих выходов]
Теперь, решая случай 2:
В этом случае, как ясно видно, что
Расстояние, пройденное автомобилем X = AQ
И,
Расстояние проехал на машине Y = BQ
Поскольку время, необходимое для встречи обеих машин, составляет 1 час 20 минут, ⇒1 + (20/60) = 4/3 часа
Расстояние, пройденное автомобилем x за 4/3 часа = 4x/3 км
⇒ AQ = 4x/3
Аналогично,
Расстояние, пройденное автомобилем y за 4/3 часа = 4y/3 км
⇒ BQ = 4y/3
направлении (то есть друг к другу), мы можем написать
AQ + BQ = AB
⇒ 4x/3 + 4y/3 = 80
⇒ 4x + 4y = 240
⇒ x + y = 60 ………… … (ii) [После принятия LCM]
Следовательно, решая (i) и (ii), мы получаем требуемое решение
Из (i) имеем x = 10 + у……. (iii)
Подстановка этого значения x в (ii).
⇒ (10 + y) + y = 60
⇒ 2y = 50
⇒ y = 25
Теперь, используя y = 30 в (iii), мы получаем
⇒ x = 33 9000
– Скорость автомобиля Х = 35 км/ч.
– Скорость автомобиля Y = 25 км/час.
Упражнение 3.11 Номер страницы: 3.111
1. Если в прямоугольнике длину увеличить, а ширину уменьшить на 2 единицы, площадь уменьшится на 28 квадратных единиц. Если же длину уменьшить на 1 единицу, а ширину увеличилась на 2 единицы, площадь увеличилась на 33 кв. Найдите площадь прямоугольника.
Решение:
Предположим, что длина и ширина прямоугольника равны x единицам и y единицам соответственно.
Следовательно, площадь прямоугольника = xy квадратных единиц
Из вопроса мы имеем следующие случаи,
Случай 1:
Длина увеличивается на 2 единицы ⇒ теперь новая длина составляет x+2 единицы
Ширина уменьшена на 2 единицы ⇒ теперь новая ширина составляет y-2 единицы
И
дано, что площадь уменьшилась на 28 квадратных единиц, т. е. = xy – 28
Таким образом, уравнение принимает вид
⇒ −2x + 2y + 24 = 0
⇒ 2x − 2y – 24 = 0 ……… (i)
Случай 2:
Длина уменьшена на 1 единицу ⇒ теперь новая длина равна x-1 единиц
Ширина увеличилась на 2 единицы ⇒ теперь новая ширина равна y+2 единицы
И, учитывая, что площадь увеличилась на 33 квадратных единицы, т.е. = т.е. = xy + 33
Итак, уравнение принимает вид
(x−1)(y+2) = xy + 33
⇒ xy + 2x – y – 2 = x + 33
⇒ 2x – y − 2 − 33 = 0
⇒ 2x – y −35 = 0 ……….. (ii)
Решая (i) и (ii),
Используя перекрестное умножение, мы получаем
x = 46/2
x = 23
И,
y = 22/2
y = 11
Следовательно,
Длина прямоугольника 23 единицы.
Ширина прямоугольника 11 единиц.
Итак, площадь фактического прямоугольник = длина x ширина,
= x×y
= 23 x 11
= 253 кв. единицы
Следовательно, площадь прямоугольника составляет 253 кв. единицы.
2. Площадь прямоугольника не изменится, если его длину увеличить на 7 м, а ширину уменьшить на 3 м. Площадь остается неизменной, если длину уменьшить на 7 метров, а ширину увеличить на 5 метров. Найдите размеры прямоугольника.
Решение:
Предположим длину и ширина прямоугольника равна x единицам и y единицам соответственно.
Следовательно, площадь прямоугольника = xy квадратных единиц
Из вопроса мы имеем следующие случаи,
Случай 1
Длина увеличивается на 7 метров ⇒ теперь новая длина равна x+7
Ширина равна уменьшилась на 3 метра ⇒ теперь новая ширина равна y-3
И это дано, площадь прямоугольника остается прежней, т.е. = xy.
Итак, уравнение принимает вид
xy = (x+7)(y−3)
xy = xy + 7y − 3x − 21
3x – 7y + 21 = 0 ………. (i)
Случай 2:
Длина уменьшена на 7 метров ⇒ теперь новая длина равна x-7
Ширина увеличена на 5 метров ⇒ теперь новая ширина равна y+5
И дано, что , площадь прямоугольника остается неизменной, т. е. = xy.
Итак, уравнение принимает вид0002 5x – 7y – 35 = 0 ………. (ii)
Решая (i) и (ii),
Используя перекрестное умножение, мы получаем,
x = 392/14
x = 28
И,
y = 210/14
y = 15
Следовательно, длина прямоугольника равна 28 м. а ширина реального прямоугольника 15 м.
3. В прямоугольнике, если длина увеличилась на 3 метра, а ширина уменьшилась на 4 метра, площадь треугольника уменьшилась на 67 квадратных метров. Если длину уменьшить на 1 метр, а ширину увеличить на 4 метра, то площадь увеличится на 89кв метров Найдите размер прямоугольника.
Решение:
Предположим, что длина и ширина прямоугольника равны x единицам и y единицам соответственно.
Следовательно, площадь прямоугольника = xy квадратных единиц
Из вопроса имеем следующие случаи,
Согласно вопросу,
Случай 1:
Длина увеличена на 3 метра ⇒ теперь новая длина равна x+3
Ширина уменьшена на 4 метра ⇒ теперь новая ширина равна y- 4
Известно, что площадь прямоугольника уменьшилась на 67 mét vuông = xy – 67.
Итак, уравнение принимает вид
xy – 67 = (x + 3)(y – 4)
xy – 67 = xy + 3y – 4x – 12
4xy – 3y – 67 + 12 = 0
4x – 3y – 55 = 0 —— (i)
Случай 2:
Длина уменьшается на 1 м ⇒ теперь новая длина x-1
Ширина увеличилась на 4 метра ⇒ теперь новая ширина равна y+4
Дано, площадь прямоугольника увеличилась на 89mét vuông = xy + 89.
Тогда уравнение принимает вид
xy + 89 = (x -1)(y + 4)
4x – y – 93 = 0 —— (ii)
Решение (i) и (ii),
Используя перекрестное умножение, мы получаем
x = 224/8
x = 28
И,
y = 152/8
y = 19
Следовательно, длина прямоугольника равна 28 м, а ширина прямоугольника 19 м.
4. Доходы X и Y находятся в соотношении 8:7 и их расходы находятся в соотношении 19: 16. Если каждый откладывает по 1250 ₹, найдите их доходы.
Решение:
Обозначим доход через x, а расход через y.
Тогда из вопроса мы имеем
Доход X составляет ₹ 8x, а расходы X составляют 19y.
Доход Y составляет ₹ 7x, а расход Y составляет 16y.
Итак, при подсчете экономии получаем
Экономия X = 8x – 19y = 1250
Экономия Y = 7x – 16y = 1250
Следовательно, образована система уравнений:
8x – 19y – 1250 = 0 –– (i)
7x – 16y – 1250 = 0 –– (ii)
Используя метод перекрестного умножения, мы имеем
x = 3750/5
х = 750
Если, х = 750, тогда
Доход Х = 8х
= 8 х 750
= 6000
Доход У = 7х
= 7 х 750
= 5250 90, поэтому доход Х = 5250 90 ₹ 6000, а доход Y составляет ₹ 5250
5. У А и Б есть немного денег. Если А отдаст 30 рупий В, то у В останется вдвое больше денег, чем у А. Но если В отдаст 10 рупий А, то у А останется втрое больше, чем осталось у В. Сколько денег осталось у каждого?
Решение:
Предположим, что деньги с A
быть ₹ x, а деньги с B равны ₹ y.
Тогда из вопроса мы имеем следующие случаи
Случай 1: если А отдает 30 ₹ В, то у Б останется вдвое больше денег, чем у А.
Таким образом, уравнение принимает вид i)
Случай 2: Если B отдает 10 ₹ А, то у A будет в три раза больше, чем осталось у B.
х – 3г + 10 + 30 = 0
х – 3г + 40 = 0 —— (ii)
Решение (i) и (ii),
Умножая уравнение (ii) на 2, мы получаем,
2x – 6y + 80 = 0
Вычтем уравнение (ii) из (i), получим:
2x – y – 90 – (2x – 6y + 80) = 0
5y – 170 =0
y = 34
Теперь об использовании y = 34 в уравнении (i), мы находим,
x = 62
Следовательно, деньги с A равны 62 ₹, а деньги с B равны 34
7. 2 мужчины и 7 мальчиков могут сделать кусок работы за 4 дня. Такую же работу за 3 дня выполняют 4 мужчины и 4 мальчика. Как долго это будет взять одного мужчину и одного мальчика, чтобы сделать это?
Решение:
Предположим, что время, необходимое одному мужчине, чтобы закончить работу, равно x дней, а время, необходимое одному мальчику, чтобы закончить работу, равно y дней.
Тогда мы знаем
Работа, выполненная мужчиной за один день = 1/x
Работа, выполненная мальчиком за один день = 1/год
Аналогично,
Работа, выполненная двумя мужчинами за один день = 2/x
Работа, выполненная 7 мальчиками за один день = 7/y
Итак, условие, данное в вопросе утверждает, что
2 мужчины и 7 мальчиков вместе могут закончить работу за 4 дня
4(2/x + 7/y) = 1
8/x + 28/y = 1 ——–(i)
Второе условие из вопроса гласит, что
4 человека и 4 мальчика могут закончить работу за 3 дня
Для этого получается уравнение
3(4/x + 4/y) = 1
12/. x + 12/y = 1 ——–(ii)
Следовательно, решая (i) и (ii) ⇒
Принимая, что 1/x = u и 1/y = v
Итак, уравнения (i) и (ii) становится
8u + 28v = 1
12u + 12v = 1
8u + 28v — 1 = 0 —— (iii)
12u + 12v — 1 = 0 —— (iv)
Используя перекрестное умножение, мы получаем,
u = 1/15
1/x = 1/ 15
x = 15
И,
v = 1/60
1/y = 1/60
y = 60
Следовательно,
дней, а время, необходимое одному мальчику, чтобы закончить работу, составляет 60 дней.
8. В а Δ ABC, ∠ A = xo, ∠ B = (3x – 2)o, ∠ C = yo. Также, ∠ С – ∠ В = 9°. Найдите три угла.
Решение:
. Показано, что
♂ = XO,
♂ = (3x — 2) O,
♂ = YO
Также дано, что,
♂к — B = 9o
⇒ ∠C = 9∘ + ∠B
⇒ ∠C = 9∘ + 3x∘ − 2∘
⇒ ∠C = 7∘ + 3x∘
9 Подставляя значение0003
∠C = yo в приведенном выше уравнении мы получаем,
yo = 7o + 3xo
Мы знаем, что ∠A + ∠B + ∠C = 180o (свойство суммы углов треугольника)
⇒ x∘ + ( 3x∘ − 2∘) + (7∘ + 3x∘) = 180∘
⇒ 7x∘ + 5∘ = 180∘
⇒ 7x∘ = 175∘
⇒ x∘ = 25∘
получаем углы,
∠A = xo = 25o
∠B = (3x – 2)o = 73o
∠C = (7 + 3x)o = 82o
Следовательно,
2 ∠A = ∠ B = 73° и ∠C = 82°.
9. Во вписанном четырехугольнике ABCD ∠ A = (2x + 4)o, ∠ B = (y + 3)o, ∠ C = (2y + 10)o, ∠ 9111 Д = (4х – 5)о. Найдите четыре
углы.
Решение:
Мы знаем, что
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника должна быть 180o.
А во вписанном четырехугольнике ABCD
Углы ∠A и ∠C и углы ∠B и ∠D являются парами противоположных углов.
Итак,
∠A + ∠C = 180° и
∠B + ∠D = 180°
Подставляя значения, данные в два приведенных выше уравнения, мы имеем
Для ∠A + ∠C = 180°
−2x + 4)o и ∠C = (2y + 10)o
2x + 4 + 2y + 10 = 180o
2x + 2y + 14 = 180o
2x + 2y = 180o – 14o
2x + 2y = 166 —— (i)
∠B = (y+3)o и ∠D = (4x – 5)o
y + 3 + 4x – 5 = 180o
4x + y – 5 + 3 = 180o
4x + y – 2 = 180o
4x + y = 180o + 2o
4x + y = 182o ——- (ii)
Теперь для решения (i) и (ii) мы выполняем
Умножение уравнения (ii) на 2, чтобы получить
8x + 2y = 364 —— (iii)
А теперь вычтите уравнение (iii) из (i), чтобы получить
-6x = -198
x = -198/ −6
⇒ x = 33o
Теперь, подставив значение x = 33o в уравнение (ii), найдем y
4x + y = 182
132 + y = 182
y = 182 — 132
⇒ y = 50
Таким образом, расчет углов циклического четырехугольника:
♂ = 2x + 4
= 66 + 4
= 70o
трясти =. Y + 3
= 50 + 3
= 53O
♂ = 2y + 10
= 100 + 10
= 110o
▲ = 4x — 5
= 132 — 5
= 127o
Следовательно, углы циклического четырехугольник ABCD равен
∠A = 70°, ∠B = 53°, ∠C = 110° и ∠D = 127°
10. Яш набрал 40 баллов за тест, получив 3 балла за каждый правильный ответ и потеряв 1 балл за каждый неправильный ответ. Если бы за каждый правильный ответ присуждалось 4 балла, а за каждый неправильный ответ вычитались бы 2 балла, то Яш набрал бы 50 баллов. Сколько вопросов было в тесте?
Решение:
Предположим, что общее количество правильных ответов равно x и общее количество неправильных ответов будет y.
Следовательно, их сумма даст общее количество вопросов в тесте, т.е. x + y
Помимо вопроса, у нас есть два типа схемы оценивания:
1) Когда за каждый правильный ответ присуждается 3 балла, а за каждый неправильный ответ вычитается 1 балл.
В соответствии с этим типом общее количество баллов, набранных Яшем, равно 40. (Дано)
Таким образом, получается уравнение: 4 балла присуждается за каждое право Ответ и за каждый неправильный ответ снимаются 2 балла.
По этому типу общее количество баллов, набранных Яшем, равно 50. (Дано)
Итак, полученное уравнение будет
4x – 2y = 50 …… (ii)
Таким образом, решая (i) и (ii), мы получили значения x и y.
Из (i) получаем
y = 3x – 40 …….. (iii)
Используя (iii) в (ii), получаем,
4x – 2(3x – 40) = 50
4x – 6x + 80 = 50
2x = 30
x = 15
Положив x = 14 в (iii), мы получим,
y = 3(15) – 40
y = 5
2 9 Итак,
3 + у = 15 + 5 = 20
Следовательно, количество вопросов в тесте было 20.
11. В Δ ABC ∠ A = xo, ∠ B = 3xo, ∠ C = yo. Если 3y – 5x = 30, докажите, что треугольник прямоугольный.
Решение:
Нам нужно доказать, что угол ΔABC прямоугольный.
Дано:
∠A = xo, ∠B = 3xo и ∠C = yo
Сумма трех углов треугольника равна 180° (свойство суммы углов треугольника треугольник)
т. е. ∠A + ∠B + ∠C = 180o
x + 3x + y = 180o
4x + y = 180 —— (i)
Из вопроса дано, что 3y – 5x = 30 —– ( ii)
Чтобы решить (i) и (ii), мы выполняем
Умножая уравнение (i) на 3, чтобы получить уравнение (iii) мы получаем
17x = 510
x = 510/17
⇒ x = 30o
Подставив значение x = 30o в уравнение (i), чтобы найти y
4x + у = 180
120 + у = 180
у = 180 – 120
⇒ y = 60°
Таким образом, углы ∠A, ∠B и ∠C равны
Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого одна сторона образует прямой угол с другой, т. е. под углом 90° к другой.
И вот,
∠B = 90o.
Следовательно, треугольник ABC прямоугольный. Значит доказано.
12. Плата за аренду автомобиля в городе состоит из фиксированной платы и платы за пройденное расстояние. Для путешествия за 12 км оплачивается сбор 89 рупий, а за проезд 20 км оплачивается сбор 145 рупий. Сколько человек должен будет заплатить за проезд на расстояние 30 км?
Решение:
Пусть фиксированная плата за автомобиль составляет ₹ x и,
Пусть переменная плата за автомобиль составляет ₹ y за км.
Итак, согласно вопросу, мы получаем 2 уравнения
x + 12y = 89 —— (i) и,
x + 20y = 145 —— (ii)
Теперь, решая (i) и (ii), мы можем найти заряды.
На вычитание из (i) из (ii), мы получаем,
-8y = -56
y = -56 — 8
⇒ y = 7
Таким образом, подставляя значение y = 7 в уравнение (i), мы получить
х + 12у = 89
х + 84 = 89
х = 89 – 84
⇒ х = 5
Таким образом, общие расходы на проезд на расстояние 30 км можно рассчитать как: х + 30у
⇒ x + 30y = 5 + 210 = 215 ₹
Следовательно, человек должен заплатить 215 ₹ за проезд на автомобиле на расстояние 30 км.
Часто задаваемые вопросы о решениях RD Sharma для математики для 10 класса, глава 3
Где я могу получить точное решение для решения RD Sharma для математики для 10 класса, глава 3?
В BYJU’S вы можете получить точное решение в формате PDF для RD Sharma Solution for Class 10 Math Chapter 3. The RD Sharma Решения учебника для этой главы были тщательно разработаны экспертами по математике BYJU’S. Все эти решения предоставляются с учетом нового шаблона CBSE, чтобы студенты могли получить глубокие знания для своих экзаменов.
Нужно ли решать каждую задачу, представленную в RD Sharma Solution for Class 10 Math Chapter 3?
Да. Потому что эти
вопросы важны с точки зрения экзамена. Эти вопросы решаются экспертами, чтобы помочь учащимся легко освоить упражнения. Эти решения помогают учащимся ознакомиться с целыми числами. Решения доступны в формате PDF на сайте BYJU. Присутствующие в нем вопросы были решены экспертами по математике BYJU, и это поможет учащимся решать задачи без каких-либо затруднений.
Перечислите концепции, описанные в RD Sharma Solution for Class 10 Math Chapter 3?
Понятия изложены в Р. Д. Шарма Решение для 10 класса по математике Глава 3
1. Системы линейных уравнений с двумя переменными
2. Решение системы линейных уравнений с двумя переменными
3. Графические и алгебраические методы решения система линейных уравнений с двумя переменными типа замены,
методы исключения и перекрестного умножения.
4. Совместная и несовместная системы уравнений.
5. Применение линейных уравнений с двумя переменными при решении простых задач из разных областей.
Система x 2y=3 и 3x+ky=1 имеет единственное решение только тогда, когда a k= 6 bk ≠ 6 c k=0 d k≠ 0,
⇒k=−6. Этот ответ был полезен?
(1) Не существует решения только для k = 1. (2) Бесконечно много решений не существует ни для какого значения к. (3) Единственное решение имеет место при k = 1.
Следовательно, данная система уравнений будет иметь бесконечно много решений, если k=2.
При каком значении k уравнения 2x 3y 4 и K 2 x 6y 3k 2 будут представлять совпадающие прямые?
Это проверенный экспертом ответ к = 2.
При каком значении k эта система имеет бесконечно много решений?
(2) Существует бесконечно много решений ни при каком значении k.
При каком значении K следующая система линейных уравнений будет иметь бесконечные решения x/y z 3?
Итак, при k=2 данная система линейных уравнений имеет бесконечные решения.
При каком значении k следующая пара уравнений будет иметь бесконечно много решений 2x 3y 7?
Следовательно, значение k равно 7. Tải thêm tài liệu liên quan đến nội dung bài viết При каком значении k уравнение 2x 3y 4 и K 2 x 6y 3k 2 будет иметь бесконечно много решений?
Clip При каком значении k уравнение 2x 3y 4 и K 2 x 6y 3k 2 будет иметь бесконечно много решений? ?
Bạn vừa đọc nội dung bài viet Với Một số hướng dẫn một cách rõ ràng hơn về Обзор При каком значении k уравнение 2x 3y 4 и K 2 x 6y 3k 2 будет иметь бесконечно много решений? tiên tiến nhất
Chia Sẻ Link Cập nhật При каком значении k уравнение 2x 3y 4 и K 2 x 6y 3k 2 будет иметь бесконечно много решений? миен фи
Người Hùng đang tìm một số trong những ShareLink Скачать При каком значении k уравнение 2x 3y 4 и K 2 x 6y 3k 2 будет иметь бесконечно много решений? Бесплатно .