Решите уравнение x 2 7x 18 0: Решите уравнение х^2+7х-18=0 — Школьные Знания.com

Содержание

ОГЭ по математике, базовый уровень. Квадратные уравнения

Задание №7 из ОГЭ прошлых лет, рекомендованные как тренировочные.

Задача № 1

Уравнение

x² + px + q = 0

имеет корни: −5; 7. Найдите q.

Решение

Из условия задачи известно, что данное уравнение имеет два корня:

х₁= -5

х₂ = 7

Составим систему уравнений, в которую подставим имеющиеся корни:

Из первого уравнения выразим q:

q = 5p — 25 (1)

Полученное выражение подставим во второе уравнение:

49 + 7p + (5p — 25) = 0

49 + 7p + 5p — 25 = 0

7p + 5p = 25 — 49

12p = — 24

p = -2

Полученное значение «p» подставим в (1):

q = 5· (- 2) — 25 = — 10 — 25 = — 35

Ответ: −35.

Задача № 2

Найдите корни уравнения

x² + 7x — 18 = 0

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение

Перед нами классическое квадратное уравнение. Решим его через нахождение дискриминанта:

D = b² – 4ac = 7²– 4 · 1 · (-18) = 49 + 72 = 121

Значение дискриминанта больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня.

Тогда корни можем найти по формуле:

Запишем получившиеся корни в порядке возрастания: -92

Ответ: −92

Задача № 3

Найдите корни уравнения

х²+ 4 = 5х

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение

Преобразуем уравнение и запишем в виде:

х²— 5х + 4 = 0

Решим его через нахождение дискриминанта:

D = b² – 4ac = 5²– 4 · 1 · 4 = 25 — 16 = 9

Значение дискриминанта больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня.

Тогда, корни можем найти по формуле:

Запишем получившиеся корни в порядке возрастания: 14

Ответ: 14

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Белорусский государственный педагогический университет им. Максима Танка

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 3-8 классов. Я люблю математику, потому что нахожу ее очень увлекательной. В преподавании придерживаюсь гуманистического и личностно-ориентированного методов обучения. Всегда стараюсь найти общий язык с учеником, стать для него товарищем и поддержкой в процессе обучения. Я гарантирую позитивное и познавательное погружение в увлекательный мир математики!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Крымский федеральный университет им. Вернадского

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-4 классов. Я люблю математику потому, что в ней всё подчиняется определенным правилам, которые легко понять и которые одинаковы абсолютно для всех. Математика имеет свои неизменные законы, которые действуют во все времена и во всех странах. Со мной , Ваш ребенок, не будет получать скучные знания в душных кабинетах, а с удовольствием проведёт досуг познания «царицы наук» в игровой форме, не выходя из зоны комфорта , ведь математика — это весело ! Со мной будет интересно , обещаю ; )

Оставить заявку

Репетитор по математике

Барнаульский государственный педагогический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Придерживаюсь знаменитых слов Ломоносова В.М. » Математику за то учить надо, что она ум в порядок приводит»! Мои ученики – девятиклассники успешно сдают ОГЭ. А ребята младших классов повышают свои успехи в изучении интересной, но сложной науки «Математика». Направления моей педагогической деятельности: -Систематизация и совершенствование знаний при изучении математики для улучшения успеваемости по предмету, при подготовки к школе : развитие внимания, логического мышления, изучение основных понятий математики для поступления в школу. -Ликвидация пробелов изучения математики у учащихся и непонимания тем, помощь в выполнении домашних заданий. -Подготовка к ОГЭ и ВПР по математике.

Курсы ЕГЭ

— Индивидуальные занятия
— В любое удобное для вас время
— Бесплатное вводное занятие

1) 3×2 − 18 = 0; 3) x2 − x − 20 = 0; 5) x2 + 6x − 2 = 0; 2) 8×2 − 3x = 0; 4) 3×2 − 2x − 8 = 0; 6) x2 − 4x + 6 = 0. 2. составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу −6, а произведение — числу 3. 3. одна из сторон прямоугольника на 6 см меньше другой. найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 72 см2. 4. число 5 является корнем уравнения 4×2 + 6x + k = 0. найдите второй корень уравнения и значение k. 5. при каком значении a уравнение 4×2 + 8x + a = 0 имеет единственный корень? 6. известно, что x1 и x2 — корни уравнения x2 + 10x + 4 = 0. не решая уравнения, найдите значение выражения . — Знания.org

1) 4×2 − 12 = 0; 3) x2 − 6x − 16 = 0; 5) x2 − 7x + 4 = 0;

2) 7×2 + 5x = 0; 4) 15×2 − 4x − 3 = 0; 6) x2 + 5x + 9 = 0.

2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу 4, а произведение — числу −3.

3. Одна из сторон прямоугольника на 3 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 88 см2.

4. Число −3 является корнем уравнения 5×2 + mx − 12 = 0. Найдите второй корень уравнения и значение m.

5. При каком значении a уравнение 3×2 − 6x + a = 0 имеет единственный корень?

6. Известно, что x1 и x2 — корни уравнения x2 + 6x − 13 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения .

Вариант 4

1. Решите уравнение:

1) 3×2 − 18 = 0; 3) x2 − x − 20 = 0; 5) x2 + 6x − 2 = 0;

2) 8×2 − 3x = 0; 4) 3×2 − 2x − 8 = 0; 6) x2 − 4x + 6 = 0.

2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу −6, а произведение — числу 3.

3. Одна из сторон прямоугольника на 6 см меньше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 72 см2.

4. Число 5 является корнем уравнения 4×2 + 6x + k = 0. Найдите второй корень уравнения и значение k.

5. При каком значении a уравнение 4×2 + 8x + a = 0 имеет единственный корень?

6. Известно, что x1 и x2 — корни уравнения x2 + 10x + 4 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения .

Интерактивный тест по алгебре «Квадратные уравнения»

Тест составлен по теме «Квадратные уравнения» и предназначен для обучающихся 8 класса. Разработанные задания могут быть использованы педагогами при организации обобщающего повторения по названной теме, а также для подготовки обучающихся к итоговой аттестации самостоятельно либо непосредственно на уроке.

Государственное учреждение «Михайловская средняя школа»

Мендыкаринского района Костанайской области Республики Казахстан

Интерактивный тест по алгебре

Тема: «Квадратные уравнения»

для обучающихся 8 класса

Автор разработки:
учитель математики и информатики
Ряполова Татьяна Викторовна

с. Михайловка

2012 год

Пояснительная записка:

Задания, которые содержатся в данном тесте, позволят не только отработать тему «Квадратные уравнения», но и помогут обучающимся научиться уверенно решать задания разного характера (как стандартные, так и нестандартные). Важность представленного теста обусловлена еще и тем, что задания, связанные с нахождением корней квадратных уравнений, встречаются в материалах ГИА (Россия) или материалах ВОУД (Казахстан).

Тест может быть полезен как для обучающихся с повышенной мотивацией к изучению математики, так и для обучающихся, которые стремятся повысить уровень своих знаний по математике.

Тест состоит из 20 заданий по 4 варианта. По трудности варианты между собой равноценны. Каждое задание теста имеет 4 варианта ответов, из которых только один является верным.

Методические рекомендации по применению интерактивного теста в работе:

Интерактивный тест создан с помощью свободно распространяемой программы E-Publish «Конструктор сайтов». Для корректной работы интерактивного теста на Вашем компьютере должны быть установлены браузеры Google Chrom или Firefox (желательно открывать в браузере Google Chrom). Итак, …

Разместите скачанный архив «inter_test» на Рабочем столе.
Откройте архив «inter_test».
В нем откройте архив «test».
Затем откройте папку «test».
Далее откройте папку «project».
И, наконец, откройте файл «index.html».

На главной странице расположен теоретический материал по теме «Квадратные уравнения» с определениями и формулами. На боковой панели расположены гиперссылки: «Главная», «Тест №1. Вариант 1», «Тест №1. Вариант 2», «Тест №1. Вариант 3», «Тест №1. Вариант 4» для навигации. На страницах с названием «Тест №1. Вариант 1-4» размещены интерактивные тесты по данной теме. Каждый тест предполагает выполнение в течение 30-45 минут.

В каждом вопросе теста должен быть проставлен один правильный ответ. По окончании теста нажмите кнопку «Ответить». Результаты появятся в виде списка вопросов с 1-го по 20-ый в форме «правильно» / «неправильно». Чтобы поставить себе оценку, на каждой странице перед тестом даны критерии оценивания, по которым и выставляется оценка за пройденный тест.

Тест по теме «Квадратные уравнения»

8 класс

1) А) Приведите уравнение (3х-1)²— 5х²= 10 — 8х к виду ах²+bx +c =0:

а) 14x²+2x+11=0; б) 4x²+2x-9=0; в) 4x²-2x+9=0; г) 4x²-14x-9=0.

Б) Приведите уравнение х ²+11x=(5-х)(5+x)^{– 17 к виду ах²+bx +c =0:}

а) 2х²+11x -8 =0; б) 2х²-11x +8 =0; в) х²-11x +8 =0; г) 2х²+11x +8 =0.

В) Приведите уравнение (х+7)²— 31= 4х²— х к виду ах²+bx +c =0:

а) 5х²-15x +18 =0; б) 3х²-13x +18 =0; в) -3х²+15x +18 =0; г) 3х²-15x -18 =0.

Г) Приведите уравнение 6х ²—13x=(2х-3)(x+1) к виду ах²+bx +c =0:

а) 4х²+12x -5 =0; б) 8х²-12x +5 =0; в) 8х²-12x -5 =0; г) 4х²-12x +3 =0.

2) А) Составьте уравнение ах²+bx +c =0, если а= -3; b=8; c=5:

а) 3х²+8x +5 =0; б) -3х²+8x -5 =0; в) -3х²+8x +5 =0; г) -3х²-8x +5 =0.

Б) Составьте уравнение ах²+bx +c =0, если а= -2; b=4; c= -3:

а) -2х²-4x +3 =0; б) 2х²-4x -3 =0; в) -2х²+4x -3 =0; г) -2х²+4x +3 =0.

В) Составьте уравнение ах²+bx +c =0, если а= -5; b= -7; c=4:

а) -5х²-7x +4 =0; б) -5х²+7x +4 =0; в) 5х²-7x -4 =0; г) 5х²-7x +4 =0.

Г) Составьте уравнение ах²+bx +c =0, если а=6; b= -2; c= -3:

а) 6х²-2x +3 =0; б) -6х²-2x +3 =0; в) 6х²-2x -3 =0; г) 6х²+2x -3 =0.

3) А) Найдите коэффициенты и свободный член уравнения 7х²-0,1x -2 =0:

а) а=7; b=0,1; c= -2; б) а=7; b=0,1; c= 2; в) а=-7; b=-0,1; c= 2; г) а=7; b= -0,1; c= -2.

Б) Найдите коэффициенты и свободный член уравнения 11х²-8x -2 =0:

а) а= -11; b= -8; c= -2; б) а= 11; b= -8; c= -2; в) а= -11; b= 8; c= 2; г) а= 11; b= 8; c= -2.

В) Найдите коэффициенты и свободный член уравнения 19х²+2x -1 =0:

а) а= -19; b= -2; c= -1; б) а= 19; b= -2; c= 1; в) а= -19; b= 2; c= -1; г) а= 19; b= 2; c= -1.

Г) Найдите коэффициенты и свободный член уравнения -х²+5x +4 =0:

а) а= -1; b= -5; c= -4; б) а= -1; b= 5; c= 4; в) а= 1; b= 5; c= 4; г) а= -1; b= -5; c= 4.

4) А) Приведите уравнение 2х ²+15=(х-3)² к виду х²+px +q =0

а) х²+6x +6 =0; б) х²-6x +24 =0; в) 3х²+6x -1 =0; г) -х²+6x +6 =0.

Б) Приведите уравнение 3х ²—x=2(х-2)(x+2) к виду х²+px +q =0

а) х²-x -8 =0; б) 4х²-x +8 =0; в) х²-x +8 =0; г) х²+x +8 =0.

В) Приведите уравнение x(4-х)=15-2x² к виду х²+px +q =0

а) 3х²-4x -15 =0; б) х²-4x +15 =0; в) х²+4x -15 =0; г) х²+4x +15=0.

Г) Приведите уравнение (5+х) ²-10=7х+1 к виду х²+px +q =0

а) х²+3x -14 =0; б) х²+3x +14 =0; в) х²+3x +16 =0; г) х²+3x +15 =0.

5) А) Какое число является корнем уравнения -2х²+5x -2 =0.

а) 1; б) -2; в) 2; г) 0?

Б) Какое число является корнем уравнения х²+7x -30 =0.

а) -1; б) 2; в) -3; г) 3?

В) Какое число является корнем уравнения х²-3x -10 =0.

а) -3; б) -5; в) 3; г) -2?

Г) Какое число является корнем уравнения -4х²+9x +13=0.

а) -1; б) 1; в) 13; г) -12?

6) А) Решите уравнение -5х²+3x +8=0:

а) 1,6;-1; б) 1;-1,6; в) -5; 8; г) 8; -5.

Б) Решите уравнение 3х²-4x -4=0:

а) 2;-; б) ;-2; в) 1; ; г) -3; 2.

В) Решите уравнение -7х²+2x +5=0:

а) 1;; б) -1;-; в) 1; -; г) -1; -.

Г) Решите уравнение 8х²+5x -3=0:

а) -; 1; б) -; 3; в) -1; ; г) -;8.

7) А) Решите уравнение x(x-2)=2x+12:

а) -6; 2; б) 4; -3; в) 6; -2; г) 3; 4.

Б) Решите уравнение (x-1)²=36-4x:

а) 7; -5; б) 1; 35; в) 5; -7; г) 1; -35.

В) Решите уравнение 24—x=х(x+4):

а) 8; -3; б) -8; 3; в) -4; 6; г) -2; 12.

Г) Решите уравнение (x+1)²-21=20-x:

а) 4; -10; б) -5; 8; в) -8; 5; г) -2; 20.

8) А) При каких значениях х значение выражения 11х²-3х равно нулю:

а) -; 0; б) ; 0; в) 0; ; г) ?

Б) При каких значениях х значение выражения 12х²-3 равно нулю:

а) ; б) ; в) ; г) 12?

В) При каких значениях х значение выражения х²-х равно нулю:

а) 0; 2; б) 0; -0,5; в) 0; 0,5; г) 0; 0,2?

Г) При каких значениях х значение выражения х²-7 равно нулю:

а) 0; ; б) 0; -; в) ; г) ?

9) А) Решите уравнение :

а) 3; -9; б) -3; 9; в) 1; -27; г) -1; 27.

Б) Решите уравнение :

а) 4; -8; б) -4; 8; в) 2; -16; г) -2; 16.

В) Решите уравнение :

а) 1; -11; б) -1; 11; в) 1; 12; г) -12; 1.

Г) Решите уравнение :

а) 2; -13; б) -2; 13; в) 2; 13; г) -26; 1.

10) А) Решите уравнение (x+2)²+3=5-0,5x:

а) 2; -0,5; б) -4; -0,5; в) 0,5; 4; г) 2; -1.

Б) Решите уравнение (x-2)²-5=0,8x:

а) 0,2; -5; б) 0,2; 5; в) -0,2; 5; г) 2; -0,5.

В) Решите уравнение (x+2,5)²+0,7х=8,05:

а) -6; -0,3; б) 6; 0,3; в) 0,3; -6; г) 0,6; -3.

Г) Решите уравнение (x-1)²+0,4х=1,8:

а) 8; -0,1; б) -0,4; 2; в) -0,2; 4; г) -0,8; 1.

11) А) Найдите отрицательный корень уравнения —х²+4x +32 =0:

а) -4; б) -6; в) -8; г) -16.

Б) Найдите отрицательный корень уравнения х²+10x -11 =0:

а) -1; б) -11; в) -10; г) -2.

В) Найдите отрицательный корень уравнения —х²-11x +26 =0:

а) -13; б) -2; в) -1; г) -26.

Г) Найдите отрицательный корень уравнения —х²+6x +27 =0:

а) -1; б) -27; в) -9; г) -3.

12) А) Найдите положительный корень уравнения х²-4,8x -1 =0:

а) 0,2; б) 2; в) 1; г) 5.

Б) Найдите положительный корень уравнения х²+5,7x -1,8 =0:

а) 0,3; б) 6; в) 0,6; г) 3.

В) Найдите положительный корень уравнения х²-1,6x -0,8 =0:

а) 8; б) 0,1; в) 0,4; г) 2.

Г) Найдите положительный корень уравнения х²+3,5x -2 =0:

а) 10; б) 0,5; в) 4; г) 0,2.

13) А) Составьте квадратное уравнение, если корни и -5:

а) х²+4,5x -2,5 =0; б) х²-4,5x -2,5 =0; в) х²+5,5x -25 =0; г) х²-4,5x +2,5 =0.

Б) Составьте квадратное уравнение, если корни и 3:

а) х²+3,25x -7,5 =0; б) х²-3,25x -0,75=0; в) х²+3,25x +7,5 =0; г) х²-3,25x +0,75 =0.

В) Составьте квадратное уравнение, если корни — и 6:

а) х²+6,2x -1,2 =0; б) х²-5,8x -1,2 =0; в) х²-6,2x +1,2 =0; г) х² +5,8x -1,2 =0.

Г) Составьте квадратное уравнение, если корни и -3:

а) х²-2,9x -0,3 =0; б) х²+2,9x -0,3 =0; в) х²-2,9x +0,3 =0; г) х²-2,9x -3 =0.

14) А) При каких значениях х значения дробей и равны:

а) -10;2; б) 4; 5; в) -5; -4; г) -10; -2?

Б) При каких значениях х значения дробей и равны:

а) -24; 2; б) -8; 6; в) -6; 8; г) -3; 16?

В) При каких значениях х значения дробей и равны:

а) -1; 35; б) -35; 1; в) -5; 7; г) -7; 5?

Г) При каких значениях х значения дробей и равны:

а) -6; -5; б) -2; -15; в) 6; 5; г) 2; 15?

15) А) Если х₁—меньший корень, х₂— больший корень уравнения х²-3,25x +0,75 =0, то найдите значение выражения 2х₂-4х₁:

а) 7; б) 5; в) -5; г) 6.

Б) Если х₁—отрицательный корень, х₂— положительный корень уравнения х²-5,8x -1,2 =0, то найдите значение выражения 10х₁-2х₂:

а) -10; б) 14; в) -14; г) -12.

В) Если х₁— положительный корень, х₂— отрицательный корень уравнения х²+2,9x -0,3 =0, то найдите значение выражения 20х₁+5х₂:

а) 17; б) -13; в) 13; г) -17.

Г) Если х₁— положительный корень, х₂— отрицательный корень уравнения х²+4,5x -2,5 =0, то найдите значение выражения 8х₁-2х₂:

а) -6; б) 14; в) 6; г) -14.

16) А) Напишите квадратное уравнение, если один корень равен 7, а второй коэффициент = 3:

а) х²-3x +4 =0; б) х²+3x -4 =0; в) х²+3x +70 =0; г) х² +3x -70 =0.

Б) Напишите квадратное уравнение, если один корень равен 11, а свободный член = -66:

а) х²-5x +66 =0; б) х²+5x -66 =0; в) х²-66x -5 =0; г) х² -5x -66 =0.

В) Напишите квадратное уравнение, если один корень равен 9, а второй коэффициент = -14:

а) х²-14x +45 =0; б) х²+14x +45 =0; в) х²-14x -40 =0; г) х² -14x -45 =0.

Г) Напишите квадратное уравнение, если один корень равен -8, а свободный член = 56:

а) х²-15x +56 =0; б) х²+15x -56 =0; в) х²+15x +56 =0; г) х² -8x +56 =0.

17) А) Одна сторона прямоугольника на 4 см больше другой, а диагональ равна см. Найдите площадь прямоугольника:

а) 9 см²; б) 21 см²; в) 49 см²; г) 24 см².

Б) Одна сторона прямоугольника на 6 см больше другой, а диагональ равна см. Найдите площадь прямоугольника:

а) 24 см²; б) 32 см²; в) 20 см²; г) 16 см².

В) Одна сторона прямоугольника на 5 см больше другой, а диагональ равна см. Найдите площадь прямоугольника:

а) 66 см²; б) 24 см²; в) 14 см²; г) 6 см².

Г) Одна сторона прямоугольника на 5 см больше другой, а диагональ равна см. Найдите площадь прямоугольника:

а) 3 см²; б) 8 см²; в) 22 см²; г) 24 см².

18) А) Найдите два числа, если одно меньше другого на 4 и сумма их квадратов равна 136:

а) 7; 8; б) 7; 11; в) 3; 7; г) 6; 10.

Б) Найдите два числа, если одно меньше другого на 8 и сумма их квадратов равна 130:

а) 2; 10; б) 3; 11; в) 1; 9; г) 4; 12.

В) Найдите два числа, если одно меньше другого на 5 и сумма их квадратов равна 37:

а) 7; 2; б) 1; 6; в) 3; 8; г) 2; -7.

Г) Найдите два числа, если одно меньше другого на 5 и сумма их квадратов равна 97:

а) 2; 7; б) 4; 9; в) 5; 10; г) 3; 8.

19) А) Периметр прямоугольного треугольника равен 48 м, а гипотенуза – 20 м. Найдите катеты:

а) 12; 20; б) 16; 12; в) 8; 6; г) 3; 7.

Б) Периметр прямоугольного треугольника равен 60 м, а гипотенуза – 25 м. Найдите катеты:

а) 15; 20; б) 10; 20; в) 15; 10; г) 20; 5.

В) Периметр прямоугольного треугольника равен 36 м, а гипотенуза – 15 м. Найдите катеты:

а) 13; 8; б) 12; 9; в) 9; 15; г) 10; 11.

Г) Периметр прямоугольного треугольника равен 24 м, а гипотенуза – 10 м. Найдите катеты:

а) 5; 9; б) 9; 1; в) 12; 7; г) 6; 8.

20) А) Знаменатель дроби на 3 больше числителя. Если к этой дроби прибавить обратную ей дробь, то получим . Найдите первоначальную дробь:

а) ; б) ; в) ; г) .

Б) Знаменатель дроби на 5 больше числителя. Если к этой дроби прибавить обратную ей дробь, то получим . Найдите первоначальную дробь:

а) ; б) ; в) ; г) .

В) Знаменатель дроби на 3 больше числителя. Если к этой дроби прибавить обратную ей дробь, то получим . Найдите первоначальную дробь:

а) ; б) ; в) ; г) .

Г) Знаменатель дроби на 1 больше числителя. Если к этой дроби прибавить обратную ей дробь, то получим . Найдите первоначальную дробь:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ключ к тесту

№ задания	Ответ А	Ответ Б	Ответ В	Ответ Г
1	б	а	в	г
2	в	в	а	в
3	г	б	г	б
4	а	в	в	г
5	в	г	г	а
6	а	а	в	в
7	в	в	б	в
8	в	в	в	в
9	а	а	б	а
10	б	в	в	б
11	а	б	а	г
12	г	а	г	б
13	а	г	б	б
14	г	б	в	в
15	б	в	б	б
16	а	г	а	в
17	б	г	в	г
18	г	б	б	б
19	б	а	б	г
20	б	в	г	а

Список литературы и сайтов:

Математика – 1: Учебно-методическое пособие и сборник тестов для поступающих в ВУЗы. Исмаил Акйол. (2007 г., 224 с.). Алматы: Издательство «Шын».
Алгебра: Учебник для 8 класса общеобразовательных школ. Абылкасымова А., Бекбоев И., Абдиев А. (2008, 144с.). Издательство «Мектеп».
Алгебра: Дидактические материалы. Учебное пособие по алгебре для 8 класса общеобразовательных школ. Жумагулова З., Тулеубаева С. (2008, 80 с.). Издательство «Мектеп».
www.wikipedia.org

Конспект урока по теме квадратные уравнения

Тронина Татьяна Сергеевна,
учитель математики МБОУ «Очёрская СОШ №1», г.Очёр
Конспект урока математики в 8 классе по теме
Тема: «Решение квадратных уравнений». Цель: Образовательная: отработка способов решения квадратных уравнений, формирование навыков решения квадратных уравнений по формуле. Развивающая: развитие внимания, памяти, умений сравнивать, обобщать. Воспитательная: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, культуры общения.
План. 1. Повторить теорию. 2. Проверка домашнего задания (выставление оценок руководителями групп, каждому ученику, работающему в группе)- групповая работа. 3. Устная работа (тестовая форма). 4. Решение квадратных уравнений по формуле c самопроверкой. 5. Домашняя работа. 6. Итог урока. Оборудование: 1. Бланки с тестами (для устной работы). 2. Карточки с буквами А Б В Г. 3. Портреты ученых – математиков Евклида, Ф.Виета, У. Гамильтона, Л.Пизанского.
Историческая справка
III век до н. э. Древнегреческий ученый Евклид – решение квадратных уравнений графически. XIII век Европа, Леонардо Пизанский – формулы корней квадратного уравнения. XVI век Французский математик Франсуа Виет – вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде. XVI век Германия, Штифель (священник и математик) – систематическое употребление термина «корень уравнения». XIX век Ирландский ученый – математик Уильям Гамильто – ввел термин «дискриминант».1. Повторение теоретического материала. 1. Вывести формулы корней квадратного уравнения – работают 2 ученика на листочках. 2. Решить графически приведенное квадратное уравнение x2-2x-3=0 — один ученик выполняет задание на доске. 3. Решить приведенное квадратное уравнение выделением квадрата двучлена x2+4x-5=0 – второй ученик выполняет задание на доске.
В это время остальные дети отвечают на вопросы по теме. — Дать определение квадратного уравнения. — По какой формуле находятся корни квадратного уравнения. — Что такое дискриминант? — Как зависят корни квадратного уравнения от дискриминанта? — Дать определение приведенного квадратного уравнения, неприведенного квадратного уравнения. — Привести примеры приведенного и неприведенного квадратных уравнений. — Дать определение неполного квадратного уравнения. — Привести пример неполного квадратного уравнения 1-го вида и решить его на доске.(например, 5×2=0; x2=0;x=0). — Привести пример неполного квадратного уравнения 2-го вида и решить его на доске (например, 3×2-6x=0; x3x-6=0 ; x=0 или 3x-6=0;3x=6;x=2 Ответ: 0; 2). — Привести пример неполного квадратного уравнения 3-го вида и решить его. (например, 2×2-10=0;2×2=10; x2=5;x=5;x=-5 . Ответ: 5;-5 ).
Графическое решение приведенного квадратного уравнения x2-2x-30=0
у y=x2 0 3 хy=2x+3×2=2x+3 Построим 2 графика: y=x2 – параболу и y=2x+3 – прямую.
Эти графики пересеклись в двух точках (-1;1) и (3; 9 ). Ответ: -1; 3.

Решение приведенного квадратного уравнения выделением квадрата двучлена x2+4x-5=0 (x2+2∙2∙x+4)-4-5=0 x+22-9=0 x+22=9 x+2=3 или x+2=-3 x=1 x=-5 Ответ: -5;1. Класс разбился на группы. Группам было предложено домашнее задание: решить квадратные уравнения и ответы записать в виде пар (x1;x2) так, чтобы x1>x2, руководителям групп проверить решение и по координатам этих точек построить на координатной плоскости рисунок. 2. Проверка домашнего задания и выставление оценок (оценки выставляются руководителями групп).
1 группа Дельфин 2 группа Мышонок
x2+4x=0 (0; -4) x2+8x-20=0 (2; -10)
x2-6x+8=0(4; 2) x2+5x-36=0 (4; -9)
x2-8x+12=0 (6; 2) x2-49=0 (7; -7)
-x2+14x-45=0 (9; 5) -x2+6x+40=0 (10; -4)
x2-11x+18=0 (9; 2) x2-7x-18=0 (9; -2)
0,5×2-7x+12=0 (12; 2) 2×2-18x=0 (9; 0)
x2-9x-112=0 (16; -7) x2-12x+20=0 (10; 2)
x2-6x-187=0 (17; -11) -x2+14x-33=0 (11; 3)
x2-5x-150=0 (15; -10) x2-17x+52=0 (13; 4)
x2-144=0 (12; -1 2) x2-18x+65=0 (13; 5)
x2-7x-98=0 (14; -7) x2-19x+78=0 (13; 6)
-x2+6x+40=0 (10; -4) 0,5×2-10x+42=0 (14; 6)
3×2+12x=0 (0; -4) x2-19x+70=0 (14; 5)
x2-2x-3=0 (3; -1) x2-20x+75=0 (15; 5)
-2×2+2x+12=0 (3; -2) 0,5×2-10x+32=0 (16; 4)
12×2-x-4=0 (4; -2) x2-21x+54=0 (18; 3)
x2-3x-4=0 (4; -1) 12×2-10x+18=0 (18; 2)
-x2+2x+3=0 (3; -1) x2-18x+32=0 (16; 2)
x2-7x=0 (7; 0) x2-17x+16=0 (16; 1)
x2-5x-14=0 (7; -2) x2-18x+17=0 (17; 1)
x2-8x-20=0 (10; -2) x2-16x=0 (16; 0)
x2+8x+9=0 (9; -1) -x2+15x=0 (15; 0)
2×2-14x=0 (7; 0) x2-12x-28=0 (14; -2)
x2-10x-39=0 (13; -3)
-x2+13x+45=0 (15; -3)
x2-9x-52=0 (13; -4)
x2-6x-40=0 (10; -4)
x2-19x+48=0 (16; 3)
4 группа Лиса 5 группа Сова 3 группа Заяц
x2-7x+10=0 (5; 2) x2-10x+9=0 (9; 1) x2-17x+60=0 (12; 5)
x2-x=0(1; 0) 2×2-16x=0 (8; 0) x2-19x+88=0 (11; 8)
2×2-8x-10=0 (5; -1) -3×2+9x=0 (3; 0) x2-19x+90=0 (10; 9)
x2-8x=0 (8; 0) x2-7x+10=0 (5; 2) -x2+17x-72=0 (9; 8)
2×2-12x-14=0 (7; -1) x2-13x+36=0 (9; 4) x2-16x+55=0 (11; 5)
-x2+6x+16=0 (8; -2) -x2+14x-40=0 (10; 4) -x2+12x-27=0 (9; 3)
3×2-24x-60=0 (10; -2) x2-14x+45=0 (9; 5) -2×2+10x-8=0 (4; 1)
x2-8x-9=0 (9; -1) x2-16x+63=0 (9; 7) x2-x-6=0 (3; -2)
-x2+7x+8=0 (8; -1) x2-18x+80=0 (10; 8) -x2+x+2=0 (2; -1)
2×2+20x=0 (10; 0) x2-17x+70=0 (10; 7) 3×2-12=0 (2; -2)
x2-10x-11=0 (11; -1) x2-19x+84=0 (18; 7) x2-16=0 (4; -4)
2×2-28x-30=0 (15; -1) -x2+20x-96=0 (12; 8) x2-5x-36=0 (9; -4)
0,5×2-7x-16=0 (16; -2) x2-20x+91=0 (13; 7) x2-5x-24=0 (8; -3)
x2-17x-38=0 (19; -2) x2-18x+65=0 (13; 5) -x2+4x+21=0 (7; -3)
x2-17x-18=0 (18; -1) 0,5×2-8x+24=0 (12; 4) 2×2-22x+20=0 (10; 1)
2×2-30x-32=0 (16; -1) x2-17x+52=0 (13; 4) x2-7x-44=0 (11; -4)
-x2+17x=0 (17; 0) -x2+19x-34=0 (17; 2) x2-8x-48=0 (12; -4)
2×2-36x=0 (18; 0) x2-19x=0 (19; 0) x2-9x-22=0 (11; -2)
x2-20x+19=0 (19; 1) 2×2-28=0 (14; 0) -x2+12x-11=0 (11; 1)
x2-20x+51=0 (17; 3) x2-14x+13=0 (13; 1) x2-14x+24=0 (12; 2)
x2-19x+34=0 (17; 2) x2-11x-26=0 (13; -2 )x2-15x+26=0 (13; 2)
-x2-19x-48=0 (16; 3) -x2+9x+36=0 (12; -3) x2-17x+42=0 (14; 3)
0,5×2-9x+16=0 (16; 2) x2-7x-78=0 (13; -6) x2-17x+60=0 (12; 5)
x2-16x+15=0 (15; 1) x2-6x-55=0 (11; -5) -x2+22x-117=0 (13; 9)
x2-15x+14=0 (14; 1) -x2+3x+54=0 (9; -6) 0,5×2-11x+56=0 (14; 8)
2×2-30x+52=0 (13; 2) x2-7x-30=0 (10; -3) 4×2-68x+225=0 (12,5; 4,5)
-x2+11x-18=0 (9; 2) 2×2-14x-36=0 (9; -2) x2-16x+48=0 (12; 4)
x2-9x+8=0 (8; 1) -2×2+20x-18=0 (9; 1) 12×2-3,5x+5=0 (5; 2) 12×2-8x+30=0 (10; 6) 2×2-37x+35=0 (17,5; 1) x2-16x+55=0 (11; 5) 0,5×2-3x+36=0 (12; 6) Рисунки, полученные при выполнении домашнего задания.
y 1 0 x
y 1 0 x
y 1 0 x
y 1 0 x
y 1 0 x
Решение приведенного квадратного уравнения выделением квадрата двучлена x2+4x-5=0 (x2+2∙2∙x+4)-4-5=0 x+22-9=0 x+22=9 x+2=3 или x+2=-3 x=1 x=-5 Ответ: -5;1. Класс разбился на группы. Группам было предложено домашнее задание: решить квадратные уравнения и ответы записать в виде пар (x1;x2) так, чтобы x1>x2, руководителям групп проверить решение и по координатам этих точек построить на координатной плоскости рисунок. 2. Проверка домашнего задания и выставление оценок (оценки выставляются руководителями групп).
3. Устная работа (дети поднимают карточки с буквами, соответствующими правильному ответу)
А Б В Г
Тест. 1. Какие из уравнений являются квадратными: А) 5-2x=0 Б) 3-7×2+4x=0 В) 5×2-1,5×3+4=0 Г) -7×2+9x=0 2. В квадратном уравнении 5-3×2+4x=0 укажите его коэффициенты А) a=5, b=-3, c=4 Б) a=4, b=5, c=-3 В) a=4, b=-3, c=5 Г) a=-3, b=4, c=5 3. Определите дискриминант в квадратном уравнении 2×2+5x-3=0 А) D=13 Б) D=47 В) D=49 Г) D=25 4. Найдите корни уравнения 3×2-9x=0 А) -3; 3 Б) 0; 3 В) 3 Г) корней нет 5. Какие из чисел являются корнями уравнения -4y2+64=0 А) 4; 0 Б) 0; -4 В) -2; -1 Г) -4; 4№ задания 1 2 3 4 5
Ответ Б Г В Б Г
4. Решите самостоятельно квадратные уравнения по формуле 1 ряд – а), 2 ряд — б) , 3 ряд – в). На доске записать решения этих примеров с ошибками и попросить детей найти эти ошибки после того, как решат сами (в решении уравнения в) ошибок нет)
а) 2×2-5x-3=0 a=2, b=-5, c=-3 D=b2-4ac= -52-4·2·-3==25-24=1>0 уравнение имеет 2корня x=-b±D2a=5±12·2; x1=5-14=44=1;
x2=5+14=64=1,5
Ответ: 1; 1,5. б) 36y2-12y+1=0 a=36, b=-12, c=1 D=b2-4ac= -122-4·36·1= =144-144=0 уравнение имеет 1корнь x=b2a=-122·36=-16;

Ответ: -16 .
в) 3t2-3t+1=0
a=3, b=-3, c=1 D=b2-4ac= -32-4·3·1= =9-12=-3<0 уравнение не имеет корней
Ответ: корней нет.
Решение уравнения г) записываем на доске – 1 ученик решает у доски, остальные работают в тетради.
Решение уравнений без ошибок.
а) 2×2-5x-3=0 a=2, b=-5, c=-3 D=b2-4ac= -52-4·2·-3==25+24=49>0 уравнение имеет 2корня x=-b±D2a=5±492·2; x1=5+74=3;
x2=5-74=-12
Ответ: -12; 3. б) 36y2-12y+1=0 a=36, b=-12, c=1 D=b2-4ac= -122-4·36·1= =144-144=0 уравнение имеет 1корнь x=-b2a=122·36=16;

Ответ: 16 .
в) 3t2-3t+1=0
a=3, b=-3, c=1 D=b2-4ac= -32-4·3·1= =9-12=-3<0 уравнение не имеет корней
Ответ: корней нет. г) x2-5x-3=2x-5 x2-5x-3-2x+5=0 x2-7x+2=0 a=1, b=-7, c=2 D=b2-4ac=(-7)2 -4·1·2= =49-8=41>0 уравнение имеет 2корня x=-b±D2a=7±412·1;
x1=7+412; x2=7-412
Ответ: 7+412; 7-4125. Подведение итога урока Загадка Я у дуба, я у зуба, Я у слов и у цветов. Я упрятан в темноту, Я не вверх, а вниз росту.
Математик без меня Не продержится и дня. Я – решенье уравненья. Это важно, без сомненья. Ответ: корень
6. Рефлексия: — Что нового узнали на уроке? — Какой из способов решения квадратных уравнений вам понравился больше? Чем?
6. Домашнее задание. 1 группа – Приготовить краткую биографию Ф.Виета и как найти корни квадратного уравнения по теореме Виета, привести примеры. 2 группа – узнать у учителей физики, какие физические явления описываются с помощью квадратного уравнения . 3группа – найти в учебнике условие, при котором один из корней равен 1 или -1, привести примеры. 4 группа – найти формулы для нахождения корней квадратного уравнения, используя четверть дискриминанта, привести примеры.2-2*x)+(7*x-19)*1/(x-3)<=(8*x+1)*1/x

Решение:

* 5 * 5 * 5 * 5 * 5 *

Удачи тебе на экзаменах! У тебя всё получится — мы в тебя верим!

Поделись этой информацией с помощью кнопок ниже (облегчи учёбу другим ученикам, и будет тебе плюс в карму!)

Решение других задач по математике на тему «Рациональные неравенства»

Задание 15 № 507658

Решите неравенство

Решение.

Сделаем замену: Тогда

Неравенство принимает вид: откуда

Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда Получаем:

Ответ:

Примечание.

Задача допускает решение без замены переменной: тождественными преобразованиями данное неравенство приводится к откуда также получается ответ

Задание 15 № 508212

Решите неравенство:

Решение.

Используя метод интервалов, получаем:

Ответ:

Задание 15 № 507491

Решите неравенство:

Решение.

Перепишем неравенство в виде:

Множество решений исходного неравенства:

Ответ:

Задание 15 № 508213

Решите неравенство:

Решение.

Используя метод интервалов, получаем:

Ответ:

Задание 15 № 508345

Решите неравенство:

Решение.

Приведём выражение к общему знаменателю:

Предпоследнее преобразование верно, так как модуль не может принимать отрицательных значений.

Получаем или

Ответ:

Задание 15 № 508347

Решите неравенство:

Решение.

Пусть получаем:

Возвращаясь к исходной переменной, получаем: или

Ответ:

Задание 15 № 508348

Решите неравенство:

Решение.

Сделав замену получаем:

Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

Ответ:

Задание 15 № 508355

Решите неравенство:

Решение.

Преобразуем неравенство:

Решения неравенства: или

Ответ:

Задание 15 № 508360

Решите неравенство:

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

Ответ:

Задание 15 № 508364

Решите неравенство:

Решение.

Решим первое неравенство:

Ответ:

Задание 15 № 508367

Решите неравенство:

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

Ответ:

Задание 15 № 508371

Решите неравенство:

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

Ответ:

Задание 15 № 508381

Решите неравенство:

Решение.

Решим второе неравенство:

Ответ:

Задание 15 № 508429

Решите неравенство:

Решение.

Сделав замену получаем:

Значит, и

Ответ:

Задание 15 № 508432

Решите неравенство:

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

Ответ:

Задание 15 № 508434

Решите неравенство:

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

Ответ:

Задание 15 № 508442

Решите неравенство:

Решение.

По теореме Виета, сумма корней уравнения равна , а их произведение равно Поэтому корни этого уравнения — числа и Тогда неравенство можно решить так:

Ответ:

Задание 15 № 508447

Решите неравенство:

Решение.

Преобразуем неравенство:

Ответ:

Задание 15 № 508449

Решите неравенство:

Решение.

Заметим, что поэтому неравенство выполнено при всех , кроме и

Ответ:

Задание 15 № 508530

Решите неравенство:

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ:

Задание 15 № 512484

Решите неравенство

Решение.

Преобразуем неравенство:

Учитывая, что при всех значениях x выражение x² + 3 положительно, получаем

откуда

Ответ:

Задание 15 № 507203

Решите неравенство

Решение.

Сделаем замену Получим

Следовательно,

Ответ:

Задание 15 № 515707

Решите неравенство

Решение.

Решим неравенство:

Ответ:

Задание 15 № 516402

Решите неравенство

Решение.

Преобразуем неравенство:

Ответ:

Задание 15 № 521996

Решите неравенство

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

откуда и

Ответ:

Задание 15 № 522124

Решите неравенство

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

откуда и

Ответ:

Задание 15 № 523996

Решите неравенство

Решение.

Сделаем замену Получим:

Отсюда после обратной замены получаем:

Ответ:

Задание 15 № 526726

Решите неравенство

Решение.

Преобразуем неравенство:

Решая полученное неравенство методом интервалов (см. рис.), находим ответ:

Ответ:

Задание 15 № 530384

Решите неравенство:

Решение.

Заметим, что Применим эту формулу к каждому слагаемому левой части, получим:

Ответ:

Задание 15 № 530457

Решите неравенство

Решение.

Запишем исходное неравенство в виде:

Ответ:

Задание 15 № 530674

Решите неравенство

Решение.

Запишем исходное неравенство в виде:

Ответ:

Задание 15 № 530701

Решите неравенство:

Решение.

Разложим разность по формуле разности кубов, получим:

Вынесем в знаменателе общий множитель за скобки:

Ответ:

2 + 7x

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

1.1 Факторинг x ² + 7x-18

Первый член равен x ² его коэффициент равно 1.
Средний член + 7x, его коэффициент равен 7.
Последний член, «константа», равен -18

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • -18 = -18

Шаг-2: Найдите два множителя -18, сумма которых равен коэффициенту среднего члена, равному 7.

-18	+	1	=	-17
-9	+	2	=	-7
-6	+	3	=	-3
-3	+	6	=	3
-2	+	9	=	7	Вот и все

Шаг 3: Перепишите полином, разделяя средний член, используя два фактора, найденные на шаге 2 выше, -2 и 9
x ² — 2x + 9x — 18

Шаг 4: сложите первые 2 члена, вычитая одинаковые множители:
x • ( x-2)
Сложите последние 2 члена и вычтите общие множители:
9 • (x-2)
Шаг 5: сложите четыре члена шага 4:
(x + 9) • (x-2 )
Требуемая факторизация

Уравнение в конце шага 1:

 (x + 9) • (x - 2) = 0

Шаг 2:

Теория — Корни продукта:

2.1 Произведение нескольких членов равно нулю.

Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы одно из членов должно быть равно нулю.

Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно

Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов есть в произведении.

Любое решение для члена = 0 также решает продукт = 0.

Решение уравнения с одной переменной:

2.2 Решите: x + 9 = 0

Вычтите 9 из обеих частей уравнения:
x = -9

Решение уравнения с одной переменной:

2.3 Решите: x-2 = 0

Добавьте 2 к обеим сторонам уравнения:
x = 2

Дополнение: Решение квадратного уравнения напрямую

 Решение x ² + 7x-18 = 0 напрямую

Ранее мы разложили этот многочлен на множители, разделив средний член. давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратичную формулу

Парабола, найдя вершину:

3.1 Найдите вершину y = x ² + 7x-18

Параболы имеют наибольшее значение или самая низкая точка называется Вершиной.Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).

Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.

Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

Для любой параболы Ax ² + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A). В нашем случае координата x равна -3.5000

Подставляя в формулу параболы -3,5000 для x, мы можем вычислить координату y:
y = 1,0 * -3,50 * -3,50 + 7,0 * -3,50 — 18,0
или y = -30,250

Parabola, Graphing Vertex и X-Intercepts:

Корневой график для: y = x ² + 7x-18
Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {- 3,50}
Вершина в точке {x, y} = {-3,50, -30,25 }
x -Перехват (корни):
Корень 1 при {x, y} = {-9.00, 0.00}
Корень 2 при {x, y} = {2.00, 0.00}

Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

3.2 Решение x ² + 7x-18 = 0, заполнив квадрат.

Добавьте 18 к обеим сторонам уравнения:
x ² + 7x = 18

Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 7, разделите его на два, получив 7/2, и возведите его в квадрат. давая 49/4

Добавьте 49/4 к обеим частям уравнения:
В правой части получим:
18 + 49/4 или, (18/1) + (49/4)
Общий знаменатель две дроби равны 4. Сложение (72/4) + (49/4) дает 121/4
Таким образом, сложив обе стороны, мы, наконец, получаем:
x ² + 7x + (49/4) = 121/4

Сложение 49/4 завершает левую часть в виде полного квадрата:
x ² + 7x + (49/4) =
(x + (7/2)) • (x + (7/2)) =
(x + ( 7/2)) ²
Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Поскольку
x ² + 7x + (49/4) = 121/4 и
x ² + 7x + (49/4) = (x + (7/2)) ²
, то по закону транзитивность,
(x + (7/2)) ² = 121/4

Мы будем называть это уравнение уравнением. # 3.2.1

Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

Обратите внимание, что квадратный корень из
(x + (7/2)) ² равен
(x + (7/2)) ^2/2 =
(x + (7/2)) ¹ =
x + (7/2)

Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению.# 3.2.1 получаем:
x + (7/2) = √ 121/4

Вычтем 7/2 с обеих сторон, чтобы получить:
x = -7/2 + √ 121/4

Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
x ² + 7x — 18 = 0
имеет два решения:
x = -7/2 + √ 121/4
или
x = -7/2 — √ 121 / 4

Обратите внимание, что √ 121/4 можно записать как
√ 121 / √ 4, что равно 11/2

Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы

3.3 Решение x ² + 7x-18 = 0 по квадратичной формуле.

Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax ² + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как:

— B ± √ B ² -4AC
x = ————————
2A

В нашем случае A = 1
B = 7
C = -18

Соответственно B ² — 4AC =
49 — (-72) =
121

Применение квадратичной формулы:

-7 ± √ 121
x = ——————
2

Можно ли упростить √ 121?

Да! Разложение на простые множители 121 равно
11 • 11
Чтобы можно было удалить что-то из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i.2 — 7x

Германия отправила гессиан для поддержки британских солдат

Есть четыре красных сердца и шесть розовых сердечек.

4/6 = 2/3

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Треугольник особенный — это квадрат, разрезанный пополам по диагонали.

Ноги (стороны, образующие угол 90 градусов) равны.

Гипотенуза — это катет, умноженный на квадратный корень из 2.

Итак

Удалите равные части каждого уравнения и сложите.

—

= 3

Переместите все члены, содержащие

, в левую часть уравнения.

Вычтем

из обеих частей уравнения.

—

— 3

из

—

= 3

Переместите все члены, не содержащие

, в правую часть уравнения .

Вычтем

из обеих частей уравнения —

—

Вычесть

из

—

x +

Разделите каждый член на

—

и упростите.

Разделите каждый член на

—

на

—

= —

—

Уменьшить выражение путем отмены общих факторов

x =

—

Деление

—

по

90 008 —

—

1 Заменить все вхождения

на решение найдено путем решения последнего уравнения для

. В этом случае подставляемое значение будет

(

)

= 3

(

)

Упрощение

(

)

(

) 1

(

) 1

Нажмите, чтобы уменьшить количество шагов …

Умножьте

на

1 Складываем

Решение системы уравнений можно представить в виде точка.

(

)

(

)

Результат может быть представлен в нескольких формах.

Точечная форма:

(

)

(

)

Форма уравнения:

Для данного квадратного уравнения X2 7X 18 0 проверьте математику класса 10 CBSE

Подсказка: При решении квадратного уравнения
Прежде всего, мы находим два фактора, сумма которых равна коэффициенту среднего члена.{\ text {2}}} \] его коэффициент равен \ [{\ text {1}} \]
Кроме того, средний член равен \ [{\ text {- 7X}} \], его коэффициент равен \ [{\ text {- 7}} \]
Кроме того, последний член «константа» равен \ [{\ text {- 18}} \]
Здесь мы должны умножить коэффициент первого члена на константу \ [{\ text {1 \ times — 18 = — 18}} \]
Теперь нам нужно найти произведение двух множителей: \ [{\ text {- 18}} \], сумма которого равна коэффициенту среднего члена, который равен \ [{\ text {- 7}} \]
Теперь нам нужно построить это следующим образом:
\ [{\ text {- 18 + 1 = — 17}} \]
\ [{\ text {- 2 + 9 = 7}} \]
\ [{\ text {- 6 + 3 = — 3}} \]
\ [{\ text {- 9 + 2 = — 7}} \]
Здесь мы получаем \ [{ \ text {- 9 + 2 = — 7}} \]
Перепишите данное квадратное уравнение как разделение среднего члена, используя два фактора, найденные выше, а именно \ [{\ text {- 9}} \] и \ [ {\ text {2}} \]
\ [\ Rightarrow {{\ text {x}} ^ {\ text {2}}} {\ text {- 9x + 2x — 18 = 0}}…. \ left (1 \ right) \]
Теперь мы должны сложить первые два члена в \ [\ left (1 \ right) \] и вывести такие же множители: \ [{\ text {x (x — 9)}} \]
Кроме того, мы можем сложить последние два члена, извлекая аналогичные множители: \ [{\ text {+ 2 (x — 9)}} \]
Итак, мы получаем
\ [\ Rightarrow {\ text {(x + 2) (x — 9)}} {\ kern 1pt} {\ text {= 0}} \]
Это желаемая факторизация.
Также мы можем записать это как \ [{\ text {(x + 2) = 0}} \] и \ [{\ text {(x — 9)}} {\ kern 1pt} {\ text {= 0 }} \]
Теперь мы получаем корни данного квадратного уравнения.
\ [{\ text {x = — 2, x = 9}} \]

Следовательно, \ [\ sqrt {\ text {3}} \] и \ [{\ text {4}} \] являются а не корни данного уравнения.

Примечание: Квадратное уравнение с действительным или комплексным коэффициентом имеет два решения, называемых корнями.
Действительные константы — это многочлены нулевой степени.
Эти два решения могут отличаться, а могут и не быть; любые они могут быть или не быть настоящими.
Метод факторизации может использоваться, когда квадратное уравнение может быть разложено на линейные множители.{\ color {# FF6800} {2}} = \ color {# FF6800} {\ dfrac {121} {4}} $

$ $ Решите квадратные уравнения, используя квадратный корень $

$ \ color {# FF6800 } {x} \ color {# FF6800} {-} \ color {# FF6800} {\ dfrac {7} {2}} = \ pm \ sqrt {\ color {# FF6800} {\ dfrac {121} {4} }} $

$ \ color {# FF6800} {x} \ color {# FF6800} {-} \ color {# FF6800} {\ dfrac {7} {2}} = \ pm \ sqrt {\ color {# FF6800} {\ dfrac {121} {4}}} $

$ $ Решите решение для $ x $

$ \ color {# FF6800} {x} = \ pm \ color {# FF6800} {\ dfrac { 11} {2}} \ color {# FF6800} {+} \ color {# FF6800} {\ dfrac {7} {2}} $

$ \ color {# FF6800} {x} = \ pm \ color { # FF6800} {\ dfrac {11} {2}} \ color {# FF6800} {+} \ color {# FF6800} {\ dfrac {7} {2}} $

$ $ Разделить ответ $

$ \ begin {array} {l} \ color {# FF6800} {x} = \ color {# FF6800} {\ dfrac {7} {2}} \ color {# FF6800} {+} \ color {# FF6800} {\ dfrac {11} {2}} \\ \ color {# FF6800} {x} = \ color {# FF6800} {\ df rac {7} {2}} \ color {# FF6800} {-} \ color {# FF6800} {\ dfrac {11} {2}} \ end {array} $

$ \ begin {array} {l} \ color {# FF6800} {x} = \ color {# FF6800} {\ dfrac {7} {2}} \ color {# FF6800} {+} \ color {# FF6800} {\ dfrac {11} {2} } \\ \ color {# FF6800} {x} = \ color {# FF6800} {\ dfrac {7} {2}} \ color {# FF6800} {-} \ color {# FF6800} {\ dfrac {11} {2}} \ end {array} $

$ $ Организуйте выражение $

$ \ begin {array} {l} \ color {# FF6800} {x} = \ color {# FF6800} {9} \ \ \ color {# FF6800} {x} = \ color {# FF6800} {-} \ color {# FF6800} {2} \ end {array} $

Решение уравнений с использованием факторинга

Решение квадратных уравнений с помощью факторинга

Научиться решать уравнения — одна из наших основных целей в алгебре.До этого момента мы решали линейные уравнения степени 1. В этом разделе мы изучим технику, которую можно использовать для решения некоторых уравнений степени 2. Квадратичное уравнение Полиномиальное уравнение с одной переменной степени 2. — любое уравнение, которое можно записать в стандартной форме Квадратичное уравнение, записанное в виде ax2 + bx + c = 0.

, где a , b и c — действительные числа и a 0. Ниже приведены некоторые примеры квадратных уравнений, все из которых будут решены в этом разделе:

Решение квадратного уравнения в стандартной форме называется корневым решением квадратного уравнения в стандартной форме.. Квадратные уравнения могут иметь два действительных решения, одно действительное решение или не иметь реального решения. Квадратное уравнение x2 + x − 6 = 0 имеет два решения, а именно x = −3 и x = 2.

Пример 1: Убедитесь, что x = −3 и x = 2 являются решениями x2 + x − 6 = 0.

Решение: Чтобы проверить решения, подставьте значения для x , а затем упростите, чтобы увидеть, является ли результат истинным.

Ответ: Оба значения дают верные утверждения.Следовательно, они оба являются решениями уравнения.

Наша цель — разработать алгебраические методы нахождения решений квадратных уравнений. Первый метод требует свойства нулевого продукта: любой продукт равен нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из факторов равен нулю .:

Другими словами, если какой-либо продукт равен нулю, то один или оба переменных фактора должны быть равны нулю.

Пример 2: Решить: (x − 8) (x + 7) = 0.

Решение: Это уравнение состоит из произведения двух величин, равных нулю; следовательно, применяется свойство нулевого продукта. Одно или оба количества должны быть равны нулю.

Чтобы убедиться, что это решения, подставьте их вместо переменной x .

Обратите внимание, что каждое решение дает коэффициент, равный нулю.

Ответ: Решения 8 и −7.

Квадратное уравнение не может быть дано в его факторизованной форме.

Пример 3: Решить: x2 + 3x − 10 = 0.

Решение: Цель состоит в том, чтобы произвести продукт, равный нулю. Мы можем сделать это, факторируя трехчлен в левой части уравнения.

Затем примените свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент равным нулю.

Это оставляет нам два линейных уравнения, каждое из которых может быть решено относительно x.

Проверьте решения, подставив их в исходное уравнение, чтобы убедиться, что мы получаем истинные утверждения.

Ответ: Решения — 5 и 2.

Использование свойства нулевого произведения после факторизации квадратного уравнения в стандартной форме является ключом к этому методу. Однако квадратное уравнение не может быть дано в стандартной форме, и поэтому перед факторизацией могут быть предприняты некоторые предварительные шаги.Шаги, необходимые для решения путем факторизации Процесс решения уравнения, равного нулю, путем факторизации и последующего установления каждого переменного коэффициента равным нулю. описаны в следующем примере.

Пример 4: Решить: 2×2 + 10x + 20 = −3x + 5.

Раствор:

Шаг 1: Выразите квадратное уравнение в стандартной форме. Для применения свойства нулевого продукта квадратное выражение должно быть равно нулю.Используйте свойства сложения и вычитания равенства, чтобы объединить противоположные стороны, похожие на члены, и получить ноль на одной стороне уравнения.

В этом примере прибавьте 3x и вычтите 5 с обеих сторон.

Шаг 2: Разложите квадратное выражение на множители.

Шаг 3: Примените свойство нулевого произведения и установите каждый переменный коэффициент равным нулю.

Шаг 4: Решите полученные линейные уравнения.

Ответ: Решения: −5 и −3/2. Проверка не обязательна.

Пример 5: Решить: 9×2 + 1 = 6x.

Решение: Запишите это в стандартной форме, вычтя 6x с обеих сторон.

После того, как уравнение имеет стандартную форму, коэффициент равен нулю.

Это трехчлен в виде полного квадрата. Следовательно, установка каждого коэффициента равным нулю приводит к повторному решению.

Повторяющееся решение называется двойным корнем Корень, который повторяется дважды. и не нужно писать дважды.

Ответ: Решение 1/3.

Попробуй! Решите: x2−3x = 28.

Ответ: x = −4 или x = 7

Не все квадратные уравнения в стандартной форме являются трехчленами. Мы часто сталкиваемся с двучленами.

Пример 6: Решить: x2−9 = 0.

Решение: Это квадратное уравнение дается в стандартной форме, где бином в левой части представляет собой разность квадратов. Фактор:

Затем установите каждый коэффициент равным нулю и решите.

Ответ: Решениями являются 3 и −3, которые также можно записать как ± 3.

Пример 7: Решить: 5×2 = 15x.

Решение: Посмотрев, мы видим, что x = 0 является решением этого квадратного уравнения.Поскольку деление на ноль не определено, мы не хотим делить обе части этого уравнения на x . В общем, мы не хотим делить обе части любого уравнения на переменную или выражение, содержащее переменную. Мы обсудим это более подробно позже. Первый шаг — переписать это уравнение в стандартной форме с нулем на одной стороне.

Затем разложите выражение на множители. Обратите внимание, что бином слева имеет GCF 5x.

Установите каждый коэффициент равным нулю.

Ответ: Решения 0 и 3.

Пример 8: Решите: (2x + 1) (x + 5) = 11.

Решение: Это квадратное уравнение, по-видимому, учитывается; следовательно, может возникнуть соблазн установить каждый коэффициент равным 11. Однако это приведет к неверным результатам. Мы должны переписать уравнение в стандартной форме, равной нулю, чтобы мы могли применить свойство нулевого произведения.

Когда он будет в стандартной форме, мы можем разложить на множители, а затем установить каждый фактор равным нулю.

Ответ: Решения: 1/2 и −6.

Пример 9: Решить: 15×2−25x + 10 = 0.

Решение: Начнем с факторинга GCF 5. Затем разложим полученный трехчлен на множители.

Затем мы устанавливаем каждый переменный коэффициент равным нулю и решаем для x .

Обратите внимание, что коэффициент 5 не является переменным фактором и, следовательно, не вносит вклад в набор решений.

Ответ: Решения 2/3 и 1.

Пример 10: Фактор: 52×2 + 76x − 13 = 0.

Решение: Очистите дроби, умножив обе части уравнения на ЖК-дисплей, который равен 6.

На данный момент у нас есть эквивалентное уравнение с целочисленными коэффициентами, которое, как обычно, можно разложить на множители. Начнем с множителей 15 и 2.

Коэффициент при среднем члене равен 7 = 3 (−1) +5 (2).Фактор:

Установите каждый коэффициент равным нулю и решите.

Ответ: Решения — 2/3 и 1/5.

Попробуй! Решить: 4×2−9 = 0.

Ответ: −3/2 и 3/2

Поиск уравнений с заданными решениями

Состояние нулевого продукта,

Верно и обратное:

В этом случае мы можем написать следующее:

Мы используем это свойство, чтобы находить уравнения по решениям.Для этого шаги решения путем факторинга выполняются в обратном порядке.

Пример 11: Найдите квадратное уравнение с решениями −7 и 2.

Решение: Имея решения, мы можем определить два линейных фактора.

Произведение этих линейных множителей равно нулю, когда x = −7 или x = 2:

Умножьте биномы и представьте уравнение в стандартной форме.

Ответ: x2 + 5x − 14 = 0. Мы можем проверить наше уравнение, подставив данные ответы, чтобы увидеть, получим ли мы истинное утверждение. Кроме того, приведенное выше уравнение не является уникальным, поэтому проверка становится важной, когда наше уравнение отличается от чужого. Это оставлено как упражнение.

Пример 12: Найдите квадратное уравнение с целыми коэффициентами, учитывая решения 1/2 и −3/4.

Решение: Чтобы избежать дробных коэффициентов, мы сначала очищаем дроби, умножая обе части на знаменатель.

Примените свойство нулевого произведения и умножьте.

Ответ: 8×2 + 2x − 3 = 0

Попробуй! Найдите квадратное уравнение с целыми коэффициентами при решениях −1 и 2/3.

Ответ: 3×2 + x − 2 = 0

Решение полиномиальных уравнений с помощью факторинга

Свойство нулевого произведения верно для любого числа факторов, составляющих уравнение.Если выражение равно нулю и может быть разложено на линейные коэффициенты, тогда мы сможем установить каждый коэффициент равным нулю и решить для каждого уравнения.

Пример 13: Решить: 3x (x − 5) (3x − 2) = 0.

Решение: Установите каждый переменный коэффициент равным нулю и решите.

Ответ: Решения: 0, 5 и 2/3.

Конечно, нельзя ожидать, что уравнение будет дано в факторизованной форме.

Пример 14: Решите: x3 + 2×2−9x − 18 = 0.

Решение: Начните с полного факторизации левой стороны.

Установите каждый коэффициент равным нулю и решите.

Ответ: Решения: −2, −3 и 3.

Обратите внимание, что степень многочлена равна 3, и мы получили три решения. В общем, для любого полиномиального уравнения с одной переменной степени n фундаментальная теорема алгебры гарантирует, что будет столько же (или меньше) действительных решений многочлена с одной переменной, сколько его степени.гарантирует n реальных решений или меньше. Мы видели, что многие многочлены не множатся. Это не означает, что уравнения, включающие эти неактивируемые многочлены, не имеют реальных решений. Фактически, многие полиномиальные уравнения, не учитывающие множителей, имеют действительные решения. Мы узнаем, как решать эти типы уравнений, продолжая изучать алгебру.

Попробуй! Решите: −10×3−18×2 + 4x = 0.

Ответ: −2, 0, 1/5

Основные выводы

У многочлена может быть не более числа решений, равных его степени.Следовательно, квадратные уравнения могут иметь до двух вещественных решений.
Чтобы решить квадратное уравнение, сначала запишите его в стандартной форме. Как только квадратное выражение станет равным нулю, разложите его на множители, а затем установите каждый переменный множитель равным нулю. Решения полученных линейных уравнений являются решениями квадратного уравнения.
Не все квадратные уравнения можно решить с помощью факторизации. Позже в курсе мы узнаем, как решать квадратные уравнения, которые не учитываются.
Чтобы найти квадратное уравнение с заданными решениями, выполните процесс решения путем факторизации в обратном порядке.
Если какой-либо полином разложен на линейные множители и установлен на ноль, то мы можем определить решения, установив каждый переменный множитель равным нулю и решив каждый отдельно.

Тематические упражнения

Часть A: Решения квадратных уравнений

Определите, является ли данный набор значений решениями квадратного уравнения.

1. {−3, 5}; x2−2x − 15 = 0

2. {7, −1}; x2−6x − 7 = 0

3. {−1/2, 1/2}; х2−14 = 0

4. {−3/4, 3/4}; х2−916 = 0

5. {−3, 2}; х2-х-6 = 0

6. {−5, 1}; x2−4x − 5 = 0

Решить.

7. (x − 3) (x + 2) = 0

8. (x + 5) (x + 1) = 0

9. (2x − 1) (x − 4) = 0

10.(3x + 1) (3x − 1) = 0

11. (x − 2) 2 = 0

12. (5x + 3) 2 = 0

13. 7x (x − 5) = 0

14. −2x (2x − 3) = 0

15. (x − 12) (x + 34) = 0

16. (x + 58) (x − 38) = 0

17. (14x + 12) (16x − 23) = 0

18. (15x − 3) 2 = 0

19. −5 (x + 1) (x − 2) = 0

20. 12 (x − 7) (x − 6) = 0

21. (x + 5) (x − 1) = 0

22.(х + 5) (х + 1) = 0

23. −2 (3x − 2) (2x + 5) = 0

24. 5 (7x − 8) 2 = 0

Часть B: Решить факторингом

Решить.

25. x2 − x − 6 = 0

26. x2 + 3x − 10 = 0

27. y2−10y + 24 = 0

28. y2 + 6y − 27 = 0

29. x2−14x + 40 = 0

30. x2 + 14x + 49 = 0

31. x2−10x + 25 = 0

32.3×2 + 2x − 1 = 0

33. 5×2−9x − 2 = 0

34. 7y2 + 20y − 3 = 0

35. 9×2−42x + 49 = 0

36. 25×2 + 30x + 9 = 0

37. 2y2 + y − 3 = 0

38. 7×2−11x − 6 = 0

39. 2×2 = −15x + 8

40. 8x − 5 = 3×2

41. x2−36 = 0

42. x2−100 = 0

43. 4×2-81 = 0

44. 49×2−4 = 0

45.х2 = 4

46. 9y2 = 1

47. 16y2 = 25

48. 36×2 = 25

49. 4×2−36 = 0

50. 2×2−18 = 0

51. 10×2 + 20x = 0

52. −3×2 + 6x = 0

53. 25×2 = 50x

54. x2 = 0

55. (x + 1) 2−25 = 0

56. (x − 2) 2−36 = 0

57. 5x (x − 4) = — 4 + x

58.(x − 1) (x − 10) = 22

59. (x − 3) (x − 5) = 24

60. −2x (x − 9) = x + 21

61. (x + 1) (6x + 1) = 2x

62. (x − 2) (x + 12) = 15x

63. (х + 1) (х + 2) = 2 (х + 16)

64. (x − 9) (2x + 3) = 2 (x − 9)

Очистите дроби, сначала умножив обе части на ЖК-дисплей, а затем решив.

65. 115×2 + 13x + 25 = 0

66. 114×2−12x + 37 = 0

67.32×2−23 = 0

68. 52×2−110 = 0

69. 314×2−212 = 0

70. 13×2−15x = 0

71. 132×2−12x + 2 = 0

72. 13×2 + 56x − 12 = 0

73. Стороны квадрата имеют размер x + 3 единицы. Если площадь составляет 25 квадратных единиц, найдите x .

74. Высота треугольника на 2 единицы больше его основания. Если площадь 40 квадратных единиц, то найдите длину основания.

75. Стороны прямоугольного треугольника имеют меры, являющиеся последовательными целыми числами. Найдите длину гипотенузы. (Подсказка: гипотенуза — самая длинная сторона. Примените теорему Пифагора.)

76. Прибыль в долларах от производства и продажи нестандартных ламп x определяется функцией P (x) = — 10×2 + 800x − 12000. Сколько ламп нужно продать и произвести, чтобы обеспечить безубыточность? (Подсказка: мы выходим на уровень безубыточности, когда прибыль равна нулю.)

Предполагая сухие дорожные условия и среднее время реакции, безопасный тормозной путь d футов среднего автомобиля определяется по формуле d = 120v2 + v , где v представляет скорость машина в милях в час.Для каждой приведенной ниже проблемы, учитывая тормозной путь, определите безопасную скорость.

77.15 футов

78. 40 футов

79. 75 футов

80. 120 футов

Часть C: Нахождение уравнений с заданными решениями

Найдите квадратное уравнение с целыми коэффициентами, имея следующие решения.

81. −3, 1

82.−5, 3

83. −10, −3

84. −7, −4

85. −1, 0

86,0, 3/5

87. −2, 2

88. −1/2, 1/2

89. −4, 1/3

90. 2/3, 2/5

91. −1/5, −2/3

92. −3/2, 3/4

93,3, двойной корень

94. −5, двойной корень

Часть D. Решение полиномиальных уравнений

Решить.

95. 7x (x + 5) (x − 9) = 0

96. (x − 1) (x − 2) (x − 3) = 0

97. −2x (x − 10) (x − 1) = 0

98. 8x (x − 4) 2 = 0

99. 4 (x + 3) (x − 2) (x + 1) = 0

100. −2 (3x + 1) (3x − 1) (x − 1) (x + 1) = 0

101. x3 − x2−2x = 0

102. 2×3 + 5×2−3x = 0

103. 5×3−15×2 + 10x = 0

104. −2×3 + 2×2 + 12x = 0

105.3×3−27x = 0

106. −2×3 + 8x = 0

107. x3 + x2 − x − 1 = 0

108. x3 + 2×2−16x − 32 = 0

109. 8×3−4×2−18x + 9 = 0

110. 12×3 = 27x

Часть E: Темы дискуссионной доски

111. Объясните, почему 2 (x + 5) (x − 5) = 0 имеет два решения, а 2x (x + 5) (x − 5) = 0 имеет три решения.

112. Составьте собственное квадратное уравнение и разместите его вместе с решениями на доске обсуждений.

113. Объясните своими словами, как решить квадратное уравнение в стандартной форме.

ответов

1: Есть

3: Есть

5: №

7: −2, 3

9: 1/2, 4

11: 2

13: 0, 5

15: −3/4, 1/2

17: -2, 4

19: -1, 2

21: −5, 1

23: −5/2, 2/3

25: −2, 3

27: 4, 6

29: 4, 10

31: 5

33: -1/5, 2

35: 7/3

37: −3/2, 1

39: −8, ½

41: −6, 6

43: −9/2, 9/2

45: -2, 2

47: −5/4, 5/4

49: −3, 3

51: −2, 0

53: 0, 2

55: −6, 4

57: 1/5, 4

59: -1, 9

61: -1/2, -1/3

63: −6, 5

65: −3, −2

67: −2/3, 2/3

69: ± 7

71: 8

73: 2 шт.

75: 5 шт.

77: 10 миль в час

79:30 миль в час

81: x2 + 2x − 3 = 0

83: x2 + 13x + 30 = 0

85: х2 + х = 0

87: x2−4 = 0

89: 3×2 + 11x − 4 = 0

91: 15×2 + 13x + 2 = 0

93: x2−6x + 9 = 0

95: −5, 0, 9

97: 0, 1, 10

99: −3, −1, 2

101: -1, 0, 2

103: 0, 1, 2

105: −3, 0, 3

107: -1, 1

109: −3/2, 1/2, 3/2

Квадратичная формула: решения и дискриминант

Purplemath

Приведем еще несколько примеров.

Решите
x ( x — 2) = 4. Округлите ответ до двух десятичных знаков.

Я не только не могу применить квадратичную формулу на данном этапе, но и не могу использовать множители. Почему? Потому что это уравнение пока что в правильном виде.

И я, , конечно же, не могу с невозмутимым видом утверждать, что « x = 4, x — 2 = 4», потому что это , а не , как работает «решение с факторингом».

Независимо от того, какой метод решения я собираюсь использовать — факторизирую ли я на множители или использую квадратичную формулу, чтобы найти свои ответы — я должен сначала преобразовать уравнение в форму «(квадратичный) = 0».

MathHelp.com

Первое, что я сделаю здесь, это умножу на левую часть, а затем переместу 4 из правой части в левую:

x ( x — 2) = 4

x ²-2 x = 4

x ²-2 x -4 = 0

Поскольку нет множителей при (1) (- 4) = –4, которые в сумме дают –2, то эта квадратичная величина не множится.(Другими словами, невозможно, чтобы решение с искусственным факторингом « x = 4, x — 2 = 4» могло быть хоть немного правильным.)

Значит, факторинг не сработает, но я могу использовать квадратичную формулу; в этом случае я подставляю значения a = 1, b = –2 и c = –4:

Тогда ответ:

x = –1.24, x = 3,24 с округлением до двух десятичных знаков.

Для справки, вот как выглядит график соответствующей квадратичной, y = x ²-2 x -4, выглядит так:

Как видите, решения квадратичной формулы совпадают с интерцепциями x . Точки пересечения графика с осью x дают значения, которые решают исходное уравнение.

Существует еще одна связь между решениями из квадратичной формулы и графиком параболы: вы можете определить, сколько интервалов x вы получите, исходя из значения внутри квадратного корня. Аргумент (то есть содержание) квадратного корня, являющийся выражением b ² — 4 ac , называется «дискриминантом», потому что, используя его значение, вы можете «различать» (что уметь различать) различные типы решений.

В данном случае значение дискриминанта b ²-4 ac было 20; в частности, значение было , а не ноль, и было , а не отрицательным. Поскольку значение не было отрицательным, уравнение должно было иметь по крайней мере одно (действительное) решение; поскольку значение не было нулевым, два решения должны были быть разными (то есть они должны были отличаться друг от друга).

Решить 9
x ² + 12 x + 4 = 0.Оставьте свой ответ в точной форме.

Используя a = 9, b = 12 и c = 4, квадратичная формула дает мне:

Тогда ответ:

В первом примере на этой странице я получил два решения, потому что значение дискриминанта (то есть значение внутри квадратного корня) было ненулевым и положительным.В результате часть формулы «плюс-минус» дала мне два различных значения; один для «плюсовой» части числителя и другой для «минусовой» части. Однако в этом случае квадратный корень уменьшился до нуля, поэтому плюс-минус ни для чего не учитывался.

Такое решение, при котором вы получаете только одно значение, потому что «плюс или минус ноль» ничего не меняет, называется «повторяющимся» корнем, потому что x равно

^–2/₃, но оно равно этому значению как бы вдвое: ^–2/₃ + 0 и ^–2/₃ — 0.

Вы можете лучше увидеть это повторение, если разложите квадратичный множитель (и, поскольку решения были хорошими аккуратными дробями, квадратичный должен множить ): 9 x ² + 12 x + 4 = (3 x + 2) (3 x + 2) = 0, поэтому первый множитель дает нам 3 x + 2 = 0, поэтому

x = ^–2/₃, и (из второго, идентичный коэффициент) 3 x + 2 = 0, поэтому x = ^–2/₃ снова.

Каждый раз, когда вы получаете ноль внутри квадратного корня квадратной формулы, вы получаете только одно решение уравнения в смысле получения одного числа, которое решает уравнение. Но вы получите два решения в том смысле, что одно значение будет подсчитано дважды. Другими словами, дискриминант (то есть выражение b ² — 4 ac ) с нулевым значением означает, что вы получите одно «повторяющееся» значение решения.

Ниже показан график связанной функции, y = 9 x ² + 12 x + 4, выглядит так:

Парабола только касается оси x при

x = ^–2/₃; это на самом деле не пересекается.Это соотношение всегда верно: если у вас есть корень, который встречается ровно дважды (или, что то же самое, если вы получаете ноль внутри квадратного корня), то график будет «целовать» ось в значении решения, но он не пройдет через ось.

Поскольку нет множителей при (3) (2) = 6, которые в сумме дают 4, эта квадратичная величина не множится. Но квадратичная формула всегда работает; в этом случае я вставлю значения a = 3, b = 4 и c = 2:

На данный момент у меня есть отрицательное число внутри квадратного корня.Если вы еще не узнали о комплексных числах, вам придется остановиться на этом, и ответ будет «нет решения»; если вы знаете комплексные числа, то можете продолжить вычисления:

Таким образом, в зависимости от вашего уровня обучения, ваш ответ будет одним из следующих:

решений с реальными числами: нет решения

комплексно-числовых решений:

Партнер

Но знаете ли вы о комплексах или нет, вы знаете, что вы не можете изобразить свой ответ, потому что вы не можете изобразить квадратный корень из отрицательного числа на правильном декартовом месте.На оси x таких значений нет. Поскольку вы не можете найти графическое решение квадратичной функции, разумно не должно быть никаких перехватов x (потому что вы можете построить график перехвата x ).

Вот график связанной функции, y = 3 x ² + 4 x + 2:

Как видите, график не пересекает ось x и даже не касается ее.Это соотношение всегда верно: если вы получите отрицательное значение внутри квадратного корня, тогда не будет решения действительного числа и, следовательно, не будет перехватов x . Другими словами, если дискриминант (являющийся выражением b ² — 4 ac ) имеет отрицательное значение, то у вас не будет графических нулей.

(взаимосвязь между дискриминантом (являющимся значением внутри квадратного корня), типом решения (два различных решения, одно повторяющееся решение или отсутствие графифицируемых решений) и числом x -перехватываний на графике (два , один или нет) сведены в диаграмму на следующей странице. {2} + b x + c = 0 \)

как уравнение вида

Этот процесс называется , завершение квадрата ⁴.{2} = \ color {Cerulean} {1} \)

Чтобы завершить квадрат, добавьте \ (1 \) к обеим сторонам, завершите квадрат и затем решите, извлекая корни.

На этом этапе разделите «плюс или минус» на два уравнения и решите каждое отдельно.

Ответ :

Решения: \ (- 8 \) и \ (6 \).

Примечание

В предыдущем примере решения — целые числа. Если это так, то исходное уравнение будет учитываться.

Если уравнение множится, мы можем решить его путем факторизации.{2} — 10 х + 26 = 0 \).

Раствор

Начните с вычитания \ (26 \) из обеих частей уравнения.

Здесь \ (b = -10 \), и мы определяем значение, завершающее квадрат, следующим образом:

Чтобы завершить квадрат, добавьте \ (25 \) к обеим сторонам уравнения. {2} + 18 \), где \ (t \) представляет время через секунды после падения объекта.{2} + 50 \), где \ (t \) представляет время в секундах после падения объекта. Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю? (Округлите до ближайшей сотой доли секунды.)

Какова высота лестницы длиной \ (22 \) футов, если ее основание находится в \ (6 \) футах от здания, на которое она опирается? Округлите до ближайшей десятой доли фута.

Высота треугольника равна \ (\ frac {1} {2} \) длине его основания. Если площадь треугольника составляет \ (72 \) квадратных метров, найдите точную длину основания треугольника.

Ответ

1. \ (\ pm 9 \)

3. \ (\ pm \ frac {1} {3} \)

5. \ (\ pm 2 \ sqrt {3} \)

7. \ (\ pm \ frac {3} {4} \)

9. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {2}} {2} \)

11. \ (\ pm 2 \ sqrt {10} \)

13. \ (\ pm i \)

15. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {5}} {5} \)

17. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {2}} {4} i \)

19.\ (\ pm 2 i \)

21. \ (\ pm \ frac {2} {3} \)

23. \ (\ pm 2 \ sqrt {2} \)

25. \ (\ pm 2 i \ sqrt {2} \)

27. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {10}} {5} \)

29. \ (- 9, -5 \)

31. \ (5 \ pm 2 \ sqrt {5} \)

33. \ (- \ frac {2} {3} \ pm \ frac {\ sqrt {6}} {3} i \)

35. \ (\ frac {- 2 \ pm 3 \ sqrt {3}} {6} \)

37. \ (\ frac {1} {3} \ pm \ frac {\ sqrt {6}} {6} i \)

39.{2} = 3 (3 т + 1) \)

\ ((3 t + 2) (t-4) — (t-8) = 1-10 t \)

Ответ

1. \ (- 15 \ pm \ sqrt {10} \)

3. 1 \ (\ pm 2 \ sqrt {2} \)

5. 1 \ (\ pm i \ sqrt {3} \)

7. \ (- 15,5 \)

9. \ (- \ frac {1} {3}, 1 \)

11. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {5}} {2} \)

13. \ (\ frac {-3 \ pm \ sqrt {17}} {2} \)

15. \ (- \ frac {3} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {11}} {2} i \)

17.\ (\ frac {7 \ pm 3 \ sqrt {3}} {2} \)

19. \ (\ frac {1 \ pm \ sqrt {17}} {4} \)

21. \ (\ frac {2 \ pm \ sqrt {5}} {2} \)

23. \ (\ frac {-3 \ pm \ sqrt {6}} {3} \)

25. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {10}} {3} \)

27. \ (\ frac {3 \ pm 2 \ sqrt {6}} {2} \)

29. 1 \ (\ pm 2 i \)

31. \ (\ frac {1 \ pm \ sqrt {17}} {4} \)

33. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {7}} {3} \)

35. 2 \ (\ pm 2 \ sqrt {5} \)

37.{2} -6 (6 x + 1) = 0 \)

Ответ

1. \ (0.19,1.31 \)

3. \ (- 0,45,1,12 \)

5. \ (0,33,0,67 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

Создайте собственное уравнение, которое можно решить, извлекая корни. Поделитесь им и решением на доске обсуждений.
Объясните, почему метод извлечения корней значительно расширяет наши возможности решать квадратные уравнения.
No related posts.

ОГЭ по математике, базовый уровень. Квадратные уравнения

Курсы ЕГЭ

Интерактивный тест по алгебре «Квадратные уравнения»

Конспект урока по теме квадратные уравнения

Решение других задач по математике на тему «Рациональные неравенства»

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

Уравнение в конце шага 1:

Шаг 2:

Теория — Корни продукта:

Решение уравнения с одной переменной:

Решение уравнения с одной переменной:

Дополнение: Решение квадратного уравнения напрямую

Парабола, найдя вершину:

Parabola, Graphing Vertex и X-Intercepts:

Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы

Для данного квадратного уравнения X2 7X 18 0 проверьте математику класса 10 CBSE

Решение уравнений с использованием факторинга

Решение квадратных уравнений с помощью факторинга

Поиск уравнений с заданными решениями

Решение полиномиальных уравнений с помощью факторинга

Основные выводы

Тематические упражнения

ответов

Квадратичная формула: решения и дискриминант

Purplemath

Решите

MathHelp.com

Решить 9

Добавить комментарий Отменить ответ