00:08:09
Валерий Волков 6 05.01.2015
Будем рады, если Вы поделитесь ссылкой на этот видеоурок с друзьями!
Новости образования
ЕГЭ по математике
Профильный уровень
Задание 1 Задание 2
Задание 3 Задание 4
Задание 5 Задание 6
Задание 7 Задание 8
Задание 9 Задание 10
Задание 11 Задание 12
Задание 13 Задание 14
Задание 15 Задание 16
Задание 17 Задание 18
Задание 19 Задание 20
Задание 21
ГИА по математике
Задача 1 Задача 2
Задача 3 Задача 4
Задача 5 Задача 6
Задача 7 Задача 8
Задача 9 Задача 10
Задача 11 Задача 12
Задача 13 Задача 14
Задача 15 Задача 16
Задача 17 Задача 18
Задача 19 Задача 20
Задача 21 Задача 22
Задача 23 Задача 24
Задача 25 Задача 26
Демонстрационные варианты ОГЭ по математике
Математика.
5 класс.
Натуральные числа
Обыкновенные дроби
Десятичные дроби
Проценты
Математика. 6 класс.
Делимость чисел
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Умножение и деление обыкновенных дробей
Отношения и пропорции
Положительные и отрицательные числа
Измерение величин
Математика. 7 класс.
Преобразование выражений
Многочлены
Формулы сокращенного умножения
Математика. 8 класс.
Модуль числа. Уравнения и неравенства.
Квадратные уравнения
Квадратные неравенства
Уравнения с параметром
Задачи с параметром
Математика. 9 класс.
Функции и их свойства
Прогрессии
Векторы
Комбинаторика, статистика и теория вероятностей
Математика. 10 — 11 класс.
Числовые функции
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения
Преобразование тригонометрических выражений
Производная
Степенные функции
Показательная функция
Логарифмические функции
Первообразная и интеграл
Уравнения и неравенства
Комбинаторика
Создаёте видеоуроки?
Если Вы создаёте авторские видеоуроки для школьников и учителей и готовы опубликовать их, то просим Вас связаться с администратором портала.
Актуально
Физкультминутки для школьников и дошкольников
Подготовка к ЕГЭ Подготовка к ОГЭ© 2007 — 2022 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель / главный редактор: Никитенко Е.И.
Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.
Фотографии предоставлены
arcsin(x 2 − 4x + 4) = π Решение. Если arcsin a = π/2, то a = Следовательно, x
Download 212.74 Kb. Pdf ko’rish
|
И. | Материалы по математике | MathUs.ru Уравнения с аркфункциями Для решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции, нужно чётко знать определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Если вы их не помни- те, то повторите ещё раз статью « Обратные тригонометрические функции. 1 ». Задача 1. Решить уравнение: arcsin(x 2 − 4x + 4) = π 2 . Решение. Если arcsin a = π/2, то a = 1. Следовательно, x 2 − 4x + 4 = 1 ⇔ x 2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x 1 = 1, x 2 = 3. Ответ: 1, 3. Задача 2. Решить уравнение: 12 arctg 2 x − π arctg x − π 2 = 0. Решение. Делая замену t = arctg x, получаем квадратное уравнение относительно t: 12t 2 − πt − π 2 = 0 ⇔ t 1 = π 3 , t 2 = − π 4 . Теперь обратная замена: arctg x = π 3 , arctg x = − π 4 ⇔ » x = √ 3 , x = −1. Ответ: √ 3, −1. Задача 3. Решить уравнение: arcsin 2 x − 2 arcsin x − 3 = 0. Решение. Замена t = arcsin x: t 2 − 2t − 3 = 0 ⇔ t 1 = 3, t 2 = −1. Во первом случае имеем arcsin x = 3. Здесь надо быть осторожным: автоматически написать x = sin 3 нельзя! В данном случае решений нет, поскольку множеством значений арксинуса служит отрезок − π 2 ; π 2 , а число 3 не принадлежит этому отрезку (ведь 3 > π 2 ). Во втором случае имеем arcsin x = −1. нуса: −1 ∈ − π 2 ; π 2 , поэтому решением будет x = sin(−1) = − sin 1 . Ответ: − sin 1. Задача 4. Решить уравнение: arccos 2 x − arccos x − 2 = 0. Решение. Замена t = arccos x: t 2 − t − 2 = 0 ⇔ t 1 = 2 , t 2 = −1. В первом случае имеем arccos x = 2 . Число 2 принадлежит множеству значений арккосину- са: 2 ∈ [0; π], поэтому x = cos 2. Второй случай: arccos x = −1. Решений нет, так как −1 / ∈ [0; π]. Ответ: cos 2. 1 Задача 5. Решить уравнение: arccos x = arctg x. Решение. Множество значений арккосинуса есть отрезок [0; π]. Множество значений арктанген- са есть интервал − π 2 ; π 2 . Поэтому если арккосинус равен арктангенсу, то оба они принимают значения из промежутка 0; π 2 . Но два числа из промежутка 0; π 2 равны тогда и только тогда, когда равны их косинусы. Поэтому наше уравнение равносильно следующему: cos(arccos x) = cos(arctg x). В левой части имеем: cos(arccos x) = x. В правой части (учитывая, что в промежутке 0; π 2 косинус положителен): cos(arctg x) = s 1 1 + tg 2 (arctg x) = r 1 1 + x 2 . Получаем уравнение: x = r 1 1 + x 2 , решить которое — несложное самостоятельное упражнение для вас (возводим обе части в квад- рат, решаем биквадратное уравнение и учитываем на последнем этапе, что x > 0). Ответ: q √ 5−1 2 . Задача 6. Решить уравнение: arcsin x = 2 arctg x. Решение. Когда x пробегает отрезок [−1; 1], функция arcsin x принимает значения на отрезке − π 2 ; π 2 , а функция arctg x принимает значения на отрезке − π 4 ; π 4 . Поэтому обе части нашего уравнения могут принимать значения на отрезке − π 2 ; π 2 . Но равенство чисел из отрезка − π 2 ; π 2 равносильно равенству их синусов: sin(arcsin x) = sin(2 arctg x). С левой частью всё ясно: sin(arcsin x) = x. В правой части используем универсальную под- становку: sin(2 arctg x) = 2 tg(arctg x) 1 + tg 2 (arctg x) = 2x 1 + x 2 . Приходим к уравнению: x = 2x 1 + x 2 , которое элементарно решается. Ответ: 0, ±1. Задача 7. Решить уравнение: sin(3 arccos x) = 1 2 . Решение. Уравнение равносильно совокупности уравнений: 3 arccos x = π 6 + 2πn, 3 arccos x = 5π 6 + 2πn ⇔ arccos x = π 18 + 2πn 3 = π(1 + 12n) 18 , arccos x = 5π 18 + 2πn 3 = π(5 + 12n) 18 (n ∈ Z). 2 С учётом неравенства 0 6 arccos x 6 π из первой серии совокупности годятся лишь π 18 и 13π 18 , а из второй серии годятся лишь 5π 18 и 17π 18 : arccos x = π 18 , arccos x = 13π 18 , arccos x = 5π 18 , arccos x = 17π 18 . Соответственно получаем решения нашего уравнения: x 1 = cos π 18 , x 2 = cos 13π 18 , x 3 = cos 5π 18 , x 4 = cos 17π 18 . Ну и заметим напоследок, что x 4 = −x 1 и x 2 = −x 3 . Ответ: ± cos π 18 , ± cos 5π 18 . Задача 8. Решить уравнение: arcsin 2 x + arccos 2 x = 5π 2 36 . Решение. Пусть t = arcsin x, тогда arccos x = π 2 − t. Имеем: t 2 + π 2 − t 2 = 5π 2 36 ⇔ 2t 2 − πt + π 2 9 = 0. Дальше всё очевидно: t 1 = π 3 , t 2 = π 6 , откуда x 1 = √ 3 2 , x 2 = 1 2 . Ответ: √ 3 2 , 1 2 . Задачи 1. Решите уравнение: а) arcsin x 2 + 3x + 1 2 = π 6 ; б) arccos x 2 − 4x + 2 = π. а)0 ,− 3; б)1, 3 2. Решите уравнение: а) arcsin 2 x + π 2 arcsin x + π 2 18 = 0; б) arccos 2 x − π arccos x + 2π 2 9 = 0. а)− 1 2 ,− √ 3 2 ;б) ± 1 2 3. а) 2 arcsin 2 x − 7 arcsin x + 6 = 0; б) arccos 2 x − arccos x − 6 = 0. в) 2 arctg 2 x − arctg x − 1 = 0; г) 5 arcctg 2 x − 16 arcctg x = 0. а)sin 3 2 ;б) cos3 ;в) tg1 ,tg 1 2 ;г) решенийнет 3 4. Решите уравнение: arcsin x = arcctg x. q √ 5− 1 2 5. Решите уравнение: 2 arcsin x + arccos(1 − x) = 0. 0 6. Решите уравнение: 2 arcsin x = arccos 3x. √ 17− 3 4 7. Решите уравнение: cos(4 arctg x) = 1 2 . ± π 12 ,± 5π 12 8. Решите уравнение: а) arcsin x · arccos x = −1; б) arcsin 2 x + arccos 2 x = 5π 2 4 . а)− sin √ π 2 +16− π 4 ;б) −1 9. Решите уравнение: arctg 1 x − 1 − arctg 1 x + 1 = π 4 . ± √ 2 10. Решите уравнение: arctg(x − 1) = 3 arctg(x + 1). − √ 2 4 Katalog: math Download 212.74 Kb. Do’stlaringiz bilan baham: |
Ma’lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma’muriyatiga murojaat qiling
Пошаговое решение :
Шаг 1 :
Попытка факторизовать путем разделения среднего члена
1. 1 Факторизация x 2 -3x-04 Первый член 9000 есть, x 2 , его коэффициент равен 1 .
Средний член равен -3 x , его коэффициент равен -3 .
Последний член, «константа», равен -18
Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • -18 = -18 равен коэффициенту среднего члена, который равен -3 .
| -18 | + | 1 | = | -17 | ||
| -9 | + | 2 | = | -7 | ||
| -6 | + | 3 | = | -3 | Это |
Шаг -3: Повторный полиноме, разделяющий средний срок, с использованием двух факторов, найденных в стадии 2 выше -6 выше -6 выше -6 выше -6 выше -6 выше -6 выше -6 выше -6 выше -6 выше -6 выше -6 выше -6 выше -6 выше -6 выше -6 выше -6 выше -6 выше -6 выше -6 выше -6 выше -6 :6. и 3
x 2 — 6x+3x — 18
Шаг -4: Сложите первые 2 термина, вытягивая, как факторы:
x • (x -6)
Сложите последние 2 термина, вытягивая общие факторы:
3 • (x-6)
Шаг-5: Сложите четыре члена шага 4:
(x+3) • (x-6)
, что является желаемой факторизацией
уравнение в конце шага 1:
(х + 3) • (х - 6) = 0
Шаг 2 :
Теория – корни произведения:
2.1 Произведение нескольких членов равно нулю.
Если произведение двух или более слагаемых равно нулю, то хотя бы одно из слагаемых должно быть равно нулю.
Теперь мы будем решать каждый термин = 0 отдельно
Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов в произведении
Любое решение термина = 0 также решает произведение = 0.
Решение уравнения с одной переменной:
2,2 Решение: x+3 = 0
Вычитание 3 с обеих сторон уравнения:
x = -3
Решение единого переменного уравнения:
2. 3 Решай: x -6 = 0
Добавить 6 к обе стороны уравнения :
x = 6
Дополнение : Решение квадратного уравнения напрямую давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратную формулу
Парабола, нахождение вершины :
3.1 Найти вершину y = x 2 -3x-18
Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола раскрывается и, соответственно, имеет низшую точку (абсолютный минимум). Мы знаем это еще до того, как начертили «у», потому что коэффициент первого члена, 1 , положителен (больше нуля).
Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух точек пересечения x (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два действительных решения.
Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх через некоторый период времени. Вершина параболы может предоставить нам такую информацию, как максимальная высота, на которую может подняться объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
Для любой параболы, Ax 2 +Bx+C, x координата вершины определяется как -B/(2A) . В нашем случае координата x равна 1,5000
Подключение к формуле 1,5000 Параболы для x Мы можем рассчитать y -координату:
y = 1,0 * 1,50 * 1,50 -3,0 * 1,50 -18,0
или y = -20,250
Parabola, график вершины и X -Intercepts:
.
Корневой график для: y = x 2 -3x-18
Ось симметрии (штриховая) {x}={ 1,50}
Вершина в {x,y} = {1,50,-20,25}
x -Перехваты (корни ) :
Корень 1 в точке {x,y} = {-3,00, 0,00}
Корень 2 в точке {x,y} = {6,00, 0,00}
Решить квадратное уравнение, заполнив квадрат
3.2 Решение x 2 -3x-18 = 0, заполнив квадрат .
Прибавьте 18 к обеим частям уравнения:
x 2 -3x = 18
Теперь немного хитрости: возьмите коэффициент x , который равен 3 , разделите на два, получив 3/2, и, наконец, возведите его в квадрат. что дает 9/4
Добавьте 9/4 к обеим частям уравнения:
В правой части имеем:
18 + 9/4 или, (18/1)+(9/4)
Общий знаменатель двух дробей равен 4 Сложение (72/4) + (9/4) дает 81/4
) = 81/4
Добавление 9/4 завершило левую часть в полный квадрат:
x 2 -3x+(9/4) =
(x-(3/2)) • (x-( 3/2)) =
(x-(3/2)) 2
Вещи, равные одной и той же вещи, также равны друг другу. Поскольку
x 2 -3x+(9/4) = 81/4 и
x 2 -3x+(9/4) = (x-(3/2)) 2
тогда по закону транзитивности
(x-(3/2)) 2 = 81 /4
Мы будем называть это уравнение уравнением. #3.2.1
Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
Обратите внимание, что квадратный корень из
(x-(3/2)) 2 равен
(x-(3/2)) 2/2 =
(x-(3/2)) 1 =
x-(3/2)
Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению #3. 2.1 получаем:
x-(3/2) = √ 81/4
Добавьте 3/2 к обеим частям, чтобы получить:
x = 3/2 + √ 81/4
другое отрицательное число
x 2 — 3x — 18 = 0
имеет два решения:
x = 3/2 + √ 81/4
или
x = 3/2 — √ 81/4
можно записать как
√ 81 / √ 4 что равно 9/2
Решить квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения
3.3 Решение x 2 -3x-18 = 0 по квадратичной формуле.
Согласно квадратичной формуле, x, решение для AX 2 +BX +C = 0, где A, B и C являются числами, часто называемыми коэффициентами, определяются как:
-B ± √ B 2 -4AC
X = ————————
2A
В нашем случае A = 1
B = -3
C = -18
Соответственно, B 2 -4AC =
9-(-72) =
81
Применение квадратичной формулы:
3 ± √ 81
x = ————
2
. упрощенный?
Да! Первичная факторизация 81 это
3•3•3•3
Чтобы иметь возможность удалить что-то из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат, то есть второй корень).