1 | Найти точное значение | sin(30) | |
2 | Найти точное значение | sin(45) | |
3 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
4 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
5 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
6 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
7 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
8 | cos(pi/4) | ||
9 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
10 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
11 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
12 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
13 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
14 | Найти точное значение | tan(60) | |
15 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
16 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
17 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
18 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
19 | Найти точное значение | cos(150) | |
20 | Найти точное значение | sin(60) | |
21 | cos(pi/2) | ||
22 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
24 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
25 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
26 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
27 | Найти точное значение | sin(0) | |
28 | Найти точное значение | sin(120) | |
29 | Найти точное значение | cos(90) | |
30 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
31 | Найти точное значение | tan(30) | |
32 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
33 | Найти точное значение | cos(45) | |
34 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
35 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
36 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
37 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
38 | Найти точное значение | arctan(0) | |
39 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
40 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
44 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
45 | Найти точное значение | sin(300) | |
46 | Найти точное значение | cos(30) | |
47 | Найти точное значение | cos(60) | |
48 | Найти точное значение | cos(0) | |
49 | Найти точное значение | cos(135) | |
50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
51 | Найти точное значение | cos(210) | |
52 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
53 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
54 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
55 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
58 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
59 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
60 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
61 | Найти точное значение | sin(150) | |
62 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
63 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
65 | Найти точное значение | sin(225) | |
66 | Найти точное значение | sin(240) | |
67 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
68 | Найти точное значение | tan(45) | |
69 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
70 | Найти точное значение | sec(0) | |
71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
72 | Найти точное значение | csc(30) | |
73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
74 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
75 | Найти точное значение | tan(0) | |
76 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
80 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
81 | sin((4pi)/3) | ||
82 | Найти точное значение | csc(45) | |
83 | Упростить | arctan( квадратный корень из 3) | |
84 | Найти точное значение | sin(135) | |
85 | Найти точное значение | sin(105) | |
86 | Найти точное значение | sin(150 град. ) | |
87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
88 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
89 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/4 | |
90 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
91 | Найти точное значение | sec(45) | |
92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
94 | Найти точное значение | arcsin(0) | |
95 | Найти точное значение | sin(120 град. ) | |
96 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
97 | Найти точное значение | cos(270) | |
98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
100 | Преобразовать из градусов в радианы | 88 град. |
Простейшие тригонометрические уравнения с тангенсом и котангенсом
Чтобы уверенно решать простейшие уравнения с тангенсом или котангенсом нужно знать значения стандартных точек на круге и стандартные значения на осях тангенсов и котангенсов (если в этом материале есть пробелы, читайте « Как запомнить тригонометрический круг»).
Эта статья состоит из двух частей:
Решение простейших уравнений с тангенсом
Решение простейших уравнений с котангенсом
Алгоритм решения простейших уравнений с тангенсом
Давайте с вами рассмотрим типичное уравнение, например, \(tgx=\sqrt{3}\).
Пример. Решить уравнение \(tgx=\sqrt{3}\).
Чего от нас здесь хотят? Чтобы мы написали все такие значения угла в Пи, для которых тангенс равен корню из трех. Причем написать надо именно все такие углы. Давайте нарисуем тригонометрический круг и ось тангенсов…
…и обозначим то место на оси, куда мы должны попасть в итоге.
Теперь найдем через какие точки на окружности мы должны идти, чтобы попасть в этот самый корень из трех –проведем прямую через начало координат и найденную точку на оси тангенсов.
Точки найдены. Давайте подпишем значение одной из них…
…и запишем окончательный ответ – все возможные варианты значений в Пи, находящиеся в отмеченных точках: \(x=\frac{π}{3}+πn\), \(n∈Z\).
Задача решена.
Замечание. Вы, наверно, обратили внимание, что в отличие от уравнений с синусом и косинусом, здесь записывается только одна серия корней, причем в формуле добавляется \(πn\), а не \(2πn\). Дело в том, что в любом уравнении с тангенсом решением получаются две точки на окружности, которые находятся друг от друга на расстоянии \(π\). Благодаря этому значение обеих точек можно записать одной формулой в виде \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\).
Пример. Решить уравнение \(tgx=-1\).
Итак, окончательный алгоритм решения подобных задач выглядит следующим образом:
Шаг 1. Построить окружность, оси синусов и косинусов, а также ось тангенсов.
Шаг 2. Отметить на оси тангенсов значение, которому тангенс должен быть равен.
Шаг 3. Соединить прямой линией центр окружности и отмеченную точку на оси тангенсов.
Шаг 4. Найти значение одной из точек на круге.
Шаг 5. Записать ответ используя формулу \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\) (подробнее о формуле в видео), где \(t_0\) – как раз то значение, которые вы нашли в шаге 4.
Специально для вас мы сделали удобную табличку со всеми шагами алгоритма и разными примерами к нему. Пользуйтесь на здоровье! Можете даже распечатать и повесить на стенку, чтоб больше никогда не ошибаться в этих уравнениях.
Алгоритм решения простейших уравнений с котангенсом
Сразу скажу, что алгоритм решения уравнений с котангенсом почти такой же, как и с тангенсом.
Пример. Решить уравнение \(ctgx=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Шаг 1. Вопрос у нас практически тот же – из каких точек круга можно попасть в \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) на оси котангенсов?
Строим круг, проводим нужные оси.
Теперь отмечаем на оси котангенсов значение, которому котангенс должен быть равен…
…и соединяем центр окружности и точку на оси котангенсов прямой линией.
По сути точки найдены. Осталось записать их все. Вновь определяем значение в одной из них…
…и записываем окончательный ответ по формуле \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\), потому что у котангенса период такой же как у тангенса: \(πn\).
Кстати, вы обратили внимание, что ответы в задачах совпали? Здесь нет ошибки, ведь для любой точки круга, тангенс которой равен \(\sqrt{3}\), котангенс будет \(\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Разберем еще пример, а потом подведем итог.
Пример. Решить уравнение \(ctgx=-1\). Здесь подробно расписывать не буду, так как логика полностью аналогична вышеизложенной.
Итак, алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений с котангенсом:
Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов, а также ось котангенсов.
Шаг 2. Отметить на оси котангенсов значение, которому котангенс должен быть равен.
Шаг 3. Соединить центр окружности и точку на оси котангенсов прямой линией.
Шаг 4. Найти значение одной из точек на круге.
Шаг 5. Записать ответ используя формулу \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\), где \(t_0\) – как раз то значение, которые вы нашли в шаге 4. И табличка в награду всем дочитавшим до этого места.
Примечание. Возможно, вы обратили внимание, что при решении примеров 2 и 3 в обеих табличках мы использовали функции \(arctg\) и \(arcctg\). Если вы не знаете, что это – читайте эту статью.
1 | Найти точное значение | грех(30) | |
2 | Найти точное значение | грех(45) | |
3 | Найти точное значение | грех(30 градусов) | |
4 | Найти точное значение | грех(60 градусов) | |
5 | Найти точное значение | загар (30 градусов) | |
6 | Найти точное значение | угловой синус(-1) | |
7 | Найти точное значение | грех(пи/6) | |
8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
9 | Найти точное значение | грех(45 градусов) | |
10 | Найти точное значение | грех(пи/3) | |
11 | Найти точное значение | арктан(-1) | |
12 | Найти точное значение | cos(45 градусов) | |
13 | Найти точное значение | cos(30 градусов) | |
14 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(60) | |
15 | Найти точное значение | csc(45 градусов) | |
16 | Найти точное значение | загар (60 градусов) | |
17 | Найти точное значение | сек(30 градусов) | |
18 | Найти точное значение | cos(60 градусов) | |
19 | Найти точное значение | cos(150) | |
20 | Найти точное значение | грех(60) | |
21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
22 | Найти точное значение | загар (45 градусов) | |
23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
24 | Найти точное значение | csc(60 градусов) | |
25 | Найти точное значение | сек(45 градусов) | |
26 | Найти точное значение | csc(30 градусов) | |
27 | Найти точное значение | грех(0) | |
28 | Найти точное значение | грех(120) | |
29 | Найти точное значение | соз(90) | |
30 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/3 | |
31 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(30) | |
32 | 92|||
35 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/6 | |
36 | Найти точное значение | детская кроватка(30 градусов) | |
37 | Найти точное значение | арккос(-1) | |
38 | Найти точное значение | арктан(0) | |
39 | Найти точное значение | детская кроватка(60 градусов) | |
40 | Преобразование градусов в радианы | 30 | |
41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2 шт. )/3 | |
42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
44 | Найти точное значение | тан(пи/2) | |
45 | Найти точное значение | грех(300) | |
46 | Найти точное значение | соз(30) | |
47 | Найти точное значение | соз(60) | |
48 | Найти точное значение | соз(0) | |
49 | Найти точное значение | соз(135) | |
50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
51 | Найти точное значение | cos(210) | |
52 | Найти точное значение | сек(60 градусов) | |
53 | Найти точное значение | грех(300 градусов) | |
54 | Преобразование градусов в радианы | 135 | |
55 | Преобразование градусов в радианы | 150 | |
56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/6 | |
57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/3 | |
58 | Преобразование градусов в радианы | 89 градусов | |
59 | Преобразование градусов в радианы | 60 | |
60 | Найти точное значение | грех(135 градусов) | |
61 | Найти точное значение | грех(150) | |
62 | Найти точное значение | грех(240 градусов) | |
63 | Найти точное значение | детская кроватка(45 градусов) | |
64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/4 | |
65 | Найти точное значение | грех(225) | |
66 | Найти точное значение | грех(240) | |
67 | Найти точное значение | cos(150 градусов) | |
68 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(45) | |
69 | Оценить | грех(30 градусов) | |
70 | Найти точное значение | сек(0) | |
71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
72 | Найти точное значение | КСК(30) | |
73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
74 | Найти точное значение | загар((5pi)/3) | |
75 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(0) | |
76 | Оценить | грех(60 градусов) | |
77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3 пи)/4 | |
79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
80 | Найти точное значение | угловой синус(-1/2) | |
81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
82 | Найти точное значение | КСК(45) | |
83 | Упростить | арктан(квадратный корень из 3) | |
84 | Найти точное значение | грех(135) | |
85 | Найти точное значение | грех(105) | |
86 | Найти точное значение | грех(150 градусов) | |
87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
88 | Найти точное значение | загар((2pi)/3) | |
89 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/4 | |
90 | Найти точное значение | грех(пи/2) | |
91 | Найти точное значение | сек(45) | |
92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
94 | Найти точное значение | угловой синус(0) | |
95 | Найти точное значение | грех(120 градусов) | |
96 | Найти точное значение | желтовато-коричневый ((7pi)/6) | |
97 | Найти точное значение | соз(270) | |
98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
100 | Преобразование градусов в радианы | 88 градусов |
тригонометрия — Докажите, что $\tan(75^\circ) = 2 + \sqrt{3}$ 9\circ}$
- тригонометрия
- иррациональные числа
$\endgroup$
8
$\begingroup$
Доказательство без слов (но с использованием геометрии).