уравнения / Решить в натуральных числах уравнение / Математика
|
Нужно решить в натуральных числах уравнение: $$xy(x + y) = 120$$ уравнения диофантовы-уравнения задан 7 Июл ’15 2:26 Math_2012 |
старыеновыеценные
 ссылка отвечен 7 Июл ’15 2:54 night-raven |
Ваш ответ
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
регистрация »
отмечен:
уравнения
×972
диофантовы-уравнения
×177
задан
7 Июл ’15 2:26
показан
1173 раза
обновлен
7 Июл ’15 2:54
Связанные исследования
Связанные вопросы
Отслеживать вопрос
по почте:
Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления
по RSS:
Ответы
Ответы и Комментарии
Основные методы решения уравнений в целых числах
Введение
Существует множество математических задач, ответами к которым служат одно или несколько целых чисел.
В качестве примера можно привести четыре классические задачи, решаемые в целых числах – задача о взвешивании, задача о разбиении числа, задача о размене и задача о четырёх квадратах. Стоит отметить, что, несмотря на достаточно простую формулировку этих задач, решаются они весьма сложно, с применением аппарата математического анализа и комбинаторики. Идеи решения первых двух задач принадлежат швейцарскому математику Леонарду Эйлеру (1707–1783). Однако наиболее часто можно встретить задачи, в которых предлагается решить уравнение в целых (или в натуральных) числах. Некоторые из таких уравнений довольно легко решаются методом подбора, но при этом возникает серьёзная проблема – необходимо доказать, что все решения данного уравнения исчерпываются подобранными (то есть решений, отличных от подобранных, не существует). Для этого могут потребоваться самые разнообразные приёмы, как стандартные, так и искусственные. Анализ дополнительной математической литературы показывает, что подобные задания достаточно часто встречаются в олимпиадах по математике разных лет и различных уровней, а также в задании 19 ЕГЭ по математике (профильный уровень).
1) Проанализировать олимпиадные материалы, а также материалы профильного ЕГЭ по математике;
2) Обозначить методы решения уравнений в целых числах и выделить преобладающие;
3) Полученные результаты проиллюстрировать примерами;
4) Составить несколько тренировочных заданий по данной теме;
5) Применяя разработанные задания, определить степень готовности учащихся девятых классов МБОУ СОШ №59 к решению подобного рода задач и сделать практические выводы.
Основная часть
Анализ разнообразной математической литературы показывает, что среди методов решения уравнений в целых числах в качестве основных можно выделить следующие:
- Представление уравнения в виде произведения нескольких множителей, равного некоторому целому числу;
- Представление уравнения в виде суммы квадратов нескольких слагаемых, равной некоторому целому числу;
- Использование свойств делимости, факториалов и точных квадратов;
- Использование Малой и Великой теорем Ферма;
- Метод бесконечного спуска;
- Выражение одной неизвестной через другую;
- Решение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных;
- Рассмотрение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое число.
Сразу же нужно оговорить, что мы понимаем под основными методами решения уравнений. Основными будем называть наиболее часто применяющиеся методы, что, конечно, не исключает возможности периодического применения новых «неожиданных» приёмов.
В качестве примера сочетания методов рассмотрим уравнение, предлагавшееся на ЕГЭ по математике в 2013 году (задание С6).
Задача. Решить в натуральных числах уравнение n! + 5n + 13 = k2.
Решение. Заметим, что оканчивается нулём при n > 4. Далее, при любых n ∈ N оканчивается либо цифрой 0, либо цифрой 5. Следовательно, при n > 4 левая часть уравнения оканчивается либо цифрой 3, либо цифрой 8. Но она же равна точному квадрату, который не может оканчиваться этими цифрами. Поэтому нужно перебрать только четыре варианта: n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.
Значит, уравнение имеет единственное натуральное решение
В этой задаче использовались свойства точных квадратов, свойства факториалов, и остатки от деления обеих частей уравнения на 10.
Теперь приведём комплекс авторских задач.
Задача 1. Решить в целых числах уравнение n2 — 4y! = 3.
Решение. Сначала перепишем исходное уравнение в виде n2 = 4y! + 3. Если посмотреть на это соотношение с точки зрения теоремы о делении с остатком, то можно заметить, что точный квадрат, стоящий в левой части уравнения, даёт при делении на 4 остаток 3, что невозможно. Действительно, любое целое число представимо в одном из следующих четырёх видов:
Таким образом, точный квадрат при делении на 4 даёт в остатке либо 0, либо 1. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
Ключевая идея – применение свойств точных квадратов.
Задача 2. Решить в целых числах уравнение 8z2 = (t!)2 + 2.
Решение. Непосредственная проверка показывает, что t = 0 и t = 1 не являются решениями уравнения.
Если t > 1, то t! является чётным числом, то есть, оно представимо в виде t! = 2s. В таком случае уравнение можно преобразовать к виду 4z2 = 2s2 + 1. Однако, полученное уравнение заведомо не имеет решений, ибо в левой части стоит чётное число, а в правой – нечётное.
Ключевая идея – применение свойств факториалов.
Задача 3. Решить в целых числах уравнение x
Решение. Исходное уравнение можно переписать следующим образом: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 5.
Из условия следует, что (x – 1), (y + 3) – целые числа. Следовательно, данное уравнение эквивалентно следующей совокупности:
Теперь можно выписать всевозможные целые решения уравнения.
Задача 4. Решить в целых числах уравнение zt + t – 2z = 7.
Решение. Исходное уравнение можно преобразовать к виду (z + 1) (t – 2) = 5. Числа (z + 1), (t – 2) являются целыми, поэтому имеют место следующие варианты:
Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения.
Ключевая идея
– представление уравнения в виде произведения, равного целому числу.Задача 5. Решить в целых числах уравнение n(n + 1) = (2k + 1)‼
Решение. Число (2k + 1)‼ нечётно при всех неотрицательных значениях k согласно определению (при отрицательных k оно вообще не определено). С другой стороны, оно равно числу n(n + 1), которое чётно при всех целых значениях k. Противоречие.
Ключевая идея – использование чётности/нечётности частей уравнения.
Задача 6. Решить в целых числах уравнение xy + x + 2y = 1.
Решение. Путём преобразований уравнение можно свести к следующему:
Данное преобразование не изменило ОДЗ неизвестных, входящих в уравнение, так как подстановка
Ключевая идея – выражение одной неизвестной через другую.
Задача 7. Решить в целых числах уравнение 5m = n2 + 2.
Решение. Если m = 0, то уравнение примет вид n2 = –1. Оно не имеет целых решений. Если m < 0, то левая часть уравнения, а значит, и n, не будет являться целым числом. Значит, m > 0. Тогда правая часть уравнения (как и левая) будет кратна 5. Но в таком случае n2 при делении на 5 должно давать остаток 3, что невозможно (это доказывается методом перебора остатков, который был изложен при решении задачи 1). Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ключевая идея – нахождение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое натуральное число.
Задача 8. Решить в целых числах уравнение (x!)4 + (y – 1)4 = (z + 1)4.
Решение. Заметим, что в силу чётности показателей степеней уравнение эквивалентно следующему: (x!)4 + |y – 1|4 = |z + 1|4.
Тогда x!, |y – 1|, |z + 1| – натуральные числа. Однако, согласно Великой теореме Ферма, эти натуральные числа не могут удовлетворять исходному уравнению. Таким образом, уравнение неразрешимо в целых числах.
Ключевая идея – использование Великой теоремы Ферма.
Задача 9. Решить в целых числах уравнение x2 + 4y2 = 16xy.
Решение. Из условия задачи следует, что x – чётное число. Тогда x2 = 4x12. Уравнение преобразуется к виду x12 + y2 = 8x1y. Отсюда вытекает, что числа x1, y имеют одинаковую чётность. Рассмотрим два случая.
1 случай. Пусть x1, y – нечётные числа. Тогда x1 = 2t + 1, y = 2s + 1.
Подставляя эти выражения в уравнение, получим:
Выполним соответствующие преобразования:
Сокращая обе части полученного уравнения на 2, получим?
В левой части стоит нечётное число, а в правой – чётное. Противоречие. Значит, 1 случай невозможен.
2 случай. Пусть x1, y – чётные числа. Тогда x1 = 2x2 + 1, y = 2y1. Подставляя эти значения в уравнение, получим:
Таким образом, получилось уравнение, точно такое же, как на предыдущем шаге. Исследуется оно аналогично, поэтому на следующем шаге получим уравнение и т.д. Фактически, проводя эти преобразования, опирающиеся на чётность неизвестных, мы получаем следующие разложения: . Но величины n и k не ограничены, так как на любом шаге (со сколь угодно большим номером) будем получать уравнение, эквивалентное предыдущему.
То есть, данный процесс не может прекратиться. Другими словами, числа x, y бесконечно много раз делятся на 2. Но это имеет место, только при условии, что x = y = 0. Итак, уравнение имеет ровно одно целое решение (0; 0).
Ключевая идея – использование метода бесконечного спуска.
Задача 10. Решить в целых числах уравнение 5x2 – 3xy + y2 = 4.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде 5x2 – (3x)y + (y2 – 4) = 0. Его можно рассмотреть как квадратное относительно неизвестной x. Вычислим дискриминант этого уравнения:
Для того чтобы уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы , то есть Отсюда имеем следующие возможности для y: y = 0, y = 1, y = –1, y = 2, y = –2.
Итак, уравнение имеет ровно 2 целых решения: (0;2), (0;–2).
Ключевая идея – рассмотрение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных.
Составленные автором задачи были использованы при проведении эксперимента, который состоял в следующем. Всем учащимся девятых классов были предложены разработанные задания с целью выявления уровня подготовки детей по данной теме. Каждому из учеников необходимо было предложить метод нахождения целочисленных решений уравнений. В эксперименте приняли участие 64 ученика. Полученные результаты представлены в таблице 1.
ТАБЛИЦА 1
| Номер задания | Количество учащихся, справившихся с заданием (в процентах) |
1 | 11 |
2 | 21 |
3 | 18 |
4 | 11 |
5 | 7 |
6 | 11 |
7 | 11 |
8 | 14 |
9 | 11 |
10 | 7 |
Данные показатели говорят о том, что уровень подготовки учащихся девятых классов по данной теме очень низкий.
Поэтому целесообразной представляется организация спецкурса «Уравнения в целых числах», который будет направлен на усовершенствование знаний учеников в данной области. Прежде всего, это ученики, которые систематически участвуют в математических конкурсах и олимпиадах, а также планируют сдавать профильный ЕГЭ по математике.
Выводы
В ходе выполнения данной работы:
1) Проанализированы олимпиадные материалы, а также материалы ЕГЭ по математике;
2) Обозначены методы решения уравнений в целых числах и выделены преобладающие;
3) Полученные результаты проиллюстрированы примерами;
4) Составлены тренировочные задания для учащихся девятых классов;
5) Поставлен эксперимент по выявлению уровня подготовки по данной теме учащихся девятых классов;
6) Проанализированы результаты эксперимента и сделаны выводы о целесообразности изучения уравнений в целых числах на математическом спецкурсе.
Результаты, полученные в ходе данного исследования, могут быть использованы при подготовке к математическим олимпиадам, ЕГЭ по математике, а также при проведении занятий математического кружка.
Список литературы
1. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. – М.: Наука, 1983 – 64 с.
2. Алфутова Н.Б. Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ – М.: МЦНМО, 2009 – 336 с.
3. Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады: Кн. для учащихся / Под ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1986. – 303 с., илл.
4. Далингер В.А. Задачи в целых числах – Омск: Амфора, 2010 – 132 с.
5. Гастев Ю. А., Смолянский М. Л. Несколько слов о Великой теореме Ферма // Квант, август 1972.
Глоссарий
Метод бесконечного спуска – метод, разработанный французским математиком П.Ферма (1601–1665), заключающийся в получении противоречия путём построения бесконечно убывающей последовательности натуральных чисел. Разновидность метода доказательства от противного.
Точный (полный) квадрат — квадрат целого числа.
Факториал натурального числа n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.
алгебраическое предварительное исчисление — Решение системы уравнений с натуральными числами?
Задавать вопрос
спросил
Изменено 10 лет, 1 месяц назад
Просмотрено 988 раз
$\begingroup$
Во-первых, мне очень жаль, если уровень этого вопроса далеко не соответствует обычному уровню вопросов на этом сайте, потому что мои математические знания все еще очень низки. Надеюсь, ты не будешь возражать.
Я нашел эту проблему на каком-то сайте:
«Корзина апельсинов стоит 20 долларов, корзина груш стоит 30 долларов и корзина киви стоит 40 долларов.
Восемь корзин этих фруктов были куплены за 230 долларов.
Какое максимально возможное количество корзин киви было куплено?»
Ответ на сайте объясняется тем, что нужно просто ввести значения и посмотреть, работают ли они. Однако я хотел бы знать, есть ли математический метод решения этого.
Итак, позвольте мне составить систему уравнений:
$20o+30p+40k=230$
$o+p+k=8$
дополнительные ограничения:
$o, p, k$ — натуральные числа
$k$ должно быть как можно больше.
Можно ли что-то подобное решить математически, не вводя значений и не проверяя, работают ли они? Если да, то как?
- алгебра-предварительное исчисление
$\endgroup$
$\begingroup$
Да, но это сложнее. Если мы купили $O$ корзин с апельсинами, $P$ корзин с грушами и $K$ корзин с киви, мы получим
$20O+30P+40K=230$$ $$O+P+K=8$$
Итак, теперь мы объединяем уравнения:
$$20(O+P+K)+10P+20K=230$$ $160+10P+20K=230$$ $$10P+20K=70$$ $$P+2K=7$$
теперь число $2K$ явно четное.
Но правая часть $нечетная$, что означает, что мы купили нечетное количество корзин с грушами. Итак, мы знаем, что $0\leq P \leq 8$ и что $P$ нечётно. Таким образом, наши варианты для $P$ находятся в $1,3,5,7$. Глядя на $P+2K=7$, мы видим, что $K$ может быть не более $3$ (если $P=1$).
В более общем случае $K$ может равняться $3,2,1,0$. Итак, у нас есть четыре разных варианта:
$$O=4, P=1, K=3$$ $$O=3, P=3, K=2$$ $$O=2, P=5, K=1$$ $$O=1, P=7, K=0$$
$\endgroup$
7
$\begingroup$
Так как $20o+30p+40a=230$, то $2o+3p+4a=23$ и из второго уравнения $o=8-p-a$ (отсюда $p+a\leq8$). Подставляя в первое уравнение, получаем $16-2p-2a+3p+4a=23$, то есть $p+2a=7$. Итак, $p=7-2a$. Отсюда следует, что $2a\leq7$, а так как мы имеем дело с натуральными числами, то $a\leq3$. Осталось проверить, что возможно $a=3$: тогда $b=7-6=1$ и $o=8-3-1=4$.
Итак, мы имеем, что максимальное значение $a$ равно $3$.
$\endgroup$
$\begingroup$
Начиная с ваших уравнений $$20o+30p+40k=230$$ $$o+p+k=8$$ ясно (если все решения должны быть положительными), что $k$ может быть не более $5 $, иначе $40k\geq 240$. Теперь проработайте значения одно за другим — попробуйте $k=5$, затем $k=4$ и так далее. Для каждой из этих замен вы можете попробовать решить два получившихся уравнения для $o$ и $p$.
Но $k=5$ и $k=4$ не приводят к решениям с целыми положительными числами для $o$ и $p$, поэтому эти случаи можно отбросить. Вы найдете правильное решение, когда доберетесь до $k=3$.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
2=72?Математика Сб Математика
Габриэлиус Т.
спросил 17.03.20Подписаться І 1
Подробнее
Отчет
4 ответа от опытных наставников
Лучший Новейшие Самый старыйАвтор: Лучшие новыеСамые старые
Исаак Д. ответил 17.03.20
Репетитор
4.9 (131)
Степень магистра чистой математики и многоязычного функционального программиста
См. таких репетиторов
Смотрите таких репетиторов
В подобных вопросах хорошо то, что мы можем быстро получить верхнюю границу возможных значений x и y. Мы ищем только целочисленные решения и знаем, что y 2 ≥ 0 для любого натурального числа y (конечно, то же самое относится и к x 2 ).
Это говорит нам, что x 2 = x 2 + 0 ≤ x 2 + y 2 = 72 (поскольку 0 ≤ y 2 ), что просто говорит о том, что x ≤ √72 < 9. Теперь мы можем просто проверьте эти значения x (конечно, эти границы справедливы и для y). Единственное, что следует иметь в виду, это то, что мы можем использовать симметрию в этой задаче, т. е. если (a, b) является решением (то есть x = a, y = b, то есть a 2 + b 2 = 72), то также верно, что (b, a) является решением (т. е. x = b, y = a).
Надеюсь, это поможет!
Голосовать за 2 Понизить
Подробнее
Отчет
Дэвид В. ответил 17.03.20
Репетитор
4.7 (89)
Опытный профессор
Об этом репетиторе ›
Об этом репетиторе ›
Во-первых, есть некоторые определения и характеристики, делающие эту задачу очень легкой для решения.
Натуральное число: положительные целые числа (целые числа) 1, 2, 3 и т. д., а иногда и ноль.
Квадрат натурального числа равен n•n — произведение натурального числа n на себя. Получается идеальный квадрат. Полный квадрат также является натуральным числом.
Сумма двух натуральных чисел также является натуральным числом [примечание: разность может не быть натуральным числом, потому что это фактически сложение натурального числа с отрицательным числом.]
Для суммы двух натуральных чисел ( квадратов натуральных чисел) равным 72, каждое натуральное число должно быть меньше 72 (если считать, что натуральные числа начинаются с 1).
Это означает, что оба x 2 и y 2 должны быть меньше 72. Ну, конечно, это означает, что x и y могут быть только 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, или 8 потому что 9 2 = 81 (что больше 72)..
Теперь, если у нас есть список квадратов чисел от 1 до 8, мы просто выбираем два, которые дают 72 при сложении.
Это очень простая таблица сложения :
| x и y | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 |
| 1 | 2 | 5 | 10 | 17 | 26 | 37 | 50 | 65 |
| 4 | 5 | 8 | 13 | 20 | 29 | 40 | 53 | 68 |
| 9 | 10 | 13 | 18 | 25 | 34 | 45 | 58 | |
| 16 | 17 | 20 | 25 | 32 | 41 | 52 | 65 | |
| 25 | 26 | 29 | 34 | 41 | 50 | 61 | ||
| 36 | 37 | 40 | 45 | 52 | 61 | 72 | ||
| 49 | 50 | 53 | 58 | 65 | ||||
| 64 | 65 | 68 |
На самом деле есть два ответа:
1) x = 6 и Y = 6
2) x = 6 и Y = 6
Проверка:
.