С из н по к формула: 7. Сочетания. Число сочетаний из n по k. Свойства чисел сочетаний.

Число сочетаний (с из n по k) есть ли быстрый алгоритм? Python

Число сочетаний можно найти используя рекурсию и, соответственно, рекуррентное соотношение. Код получается вот такой:

def C(n, k):
    if k == n or k == 0:
        return 1
    if k != 1:
        return C(n-1, k) + C(n-1, k-1)
    else:
        return n
print(C(int(input()), int(input())))

Но я знаю, что рекурсия штука не быстрая и не всегда надежная. Есть ли другие алгоритмы и на сколько они быстрые?

• python
• алгоритм
• производительность

7

Через факториал медленно и не эффективно.
В формуле n! / (k! (n - k)!), если сократить, то получится (n-k+1)(n-k+2)..n/k!

Получается такой код:

def С(n, k):
    if 0 <= k <= n:
        nn = 1
        kk = 1
        for t in xrange(1, min(k, n - k) + 1):
            nn *= n
            kk *= t
            n -= 1
        return nn // kk
    else:
        return 0

Также можно посмотреть библиотеку itertools:

combinations('ABCD', 2)  # AB AC AD BC BD CD

используйте math. comb

import math
n = int(input())
k = int(input())
print(math.comb(n, k)) 

Предлагаю использовать модуль itertools, там сразу реализована нужная операция. Она составляет необходимые сочетания. Подсчитать их кол-во не составит труда.

import itertools
def C(n, k):
    return len(list(itertools.combinations(range(1, n), k)))

Хочу заметить, что сочетания она может составлять из чего угодно (т.е. передавать можно любой итерируемый контейнер).

4

Для ТС уже неактуально, наверное, но может кому пригодится.

Треугольник Паскаля (сочетания — это биномиальные коэффициенты).

Чтобы его «нарисовать», умножать вообще не нужно.

Быстрее уже никак.

7

Зарегистрируйтесь или войдите

Регистрация через Google

Регистрация через Facebook

Регистрация через почту

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Нажимая на кнопку «Отправить ответ», вы соглашаетесь с нашими пользовательским соглашением, политикой конфиденциальности и политикой о куки

Скрытие значений и индикаторов ошибок в ячейках

Предположим, что в формулах с электронными таблицами есть ошибки, которые вы ожидаете и которые не нужно исправлять, но вы хотите улучшить отображение результатов. Существует несколько способов скрытие значений ошибок и индикаторов ошибок в ячейках.

Существует множество причин, по которым формулы могут возвращать ошибки. Например, деление на 0 не допускается, и если ввести формулу =1/0, Excel возвращает #DIV/0. Значения ошибок: #DIV/0!, #N/A, #NAME?, #NULL!, #NUM!, #REF! и #VALUE!.

Преобразование ошибки в нулевое значение и использование формата для скрытия значения

Чтобы скрыть значения ошибок, можно преобразовать их, например, в число 0, а затем применить условный формат, позволяющий скрыть значение.

Создание примера ошибки

1. Откройте чистый лист или создайте новый.

2. org/ListItem»>

   Введите 3 в ячейку B1, в ячейку C1 — 0, а в ячейку A1 — формулу =B1/C1.
   The #DIV/0! в ячейке A1.

3. Выделите ячейку A1 и нажмите клавишу F2, чтобы изменить формулу.

4. После знака равно (=) введите ЕСЛИERROR и открываю скобку.
   ЕСЛИERROR(

5. Переместите курсор в конец формулы.

6. Введите ,0), то есть запятую и закрываюю скобки.
   Формула =B1/C1 становится=ЕСЛИERROR(B1/C1;0).

7. Нажмите клавишу ВВОД, чтобы завершить редактирование формулы.
    Теперь в ячейке вместо ошибки #ДЕЛ/0! должно отображаться значение 0.

Применение условного формата

1. Выделите ячейку с ошибкой и на вкладке Главная нажмите кнопку Условное форматирование.

2. Выберите команду Создать правило.

3. В диалоговом окне Создание правила форматирования выберите параметр Форматировать только ячейки, которые содержат.

4. Убедитесь, что в разделе Форматировать только ячейки, для которых выполняется следующее условие в первом списке выбран пункт Значение ячейки, а во втором — равно. Затем в текстовом поле справа введите значение 0.

5. Нажмите кнопку Формат.

6. На вкладке Число в списке Категория выберите пункт (все форматы).

7. В поле Тип введите ;;; (три точки с запятой) и нажмите кнопку ОК.

   Нажмите кнопку ОК еще раз.
    Значение 0 в ячейке исчезнет. Это связано с тем, что пользовательский формат ;;; предписывает скрывать любые числа в ячейке. Однако фактическое значение (0) по-прежнему хранится в ячейке.

Для форматирования ячеек с ошибками используйте следующую процедуру, чтобы текст в них отображался белым шрифтом. В этом случае текст ошибки в этих ячейках практически невидим.

1. Выделите диапазон ячеек, содержащих значение ошибки.

2. На вкладке Главная в группе Стили щелкните стрелку рядом с командой

   Условное форматирование и выберите пункт Управление правилами.
    Появится диалоговое окно Диспетчер правил условного форматирования.

3. Выберите команду Создать правило.
    Откроется диалоговое окно Создание правила форматирования.

4. В списке Выберите тип правила выберите пункт Форматировать только ячейки, которые содержат.

5. В разделе Измените описание правила в списке Форматировать только ячейки, для которых выполняется следующее условие

   выберите пункт Ошибки.

6. org/ListItem»>

   Нажмите кнопку Формат и откройте вкладку Шрифт.

7. Щелкните стрелку, чтобы открыть список Цвет, а затем в списке Цвета темывыберите белый цвет.

Иногда вы не хотите, чтобы в ячейках появлялись оценки ошибок и вместо них должна отображаться текстовая строка, например «#N/Д», тире или строка «0». Сделать это можно с помощью функций ЕСЛИОШИБКА и НД, как показано в примере ниже.

Описание функций

ЕСЛИERROR     С помощью этой функции можно определить, содержит ли ячейка ошибку и возвращает ли ошибку формула.

НД    Эта функция возвращает в ячейке строку «#Н/Д». Синтаксис =NA().

1. Выберите отчет сводной таблицы.
   Появится область «Инструменты для работы со pivottable».

2. Excel 2016 и Excel 2013: на вкладке Анализ в группе Таблица щелкните стрелку рядом с кнопкой Параметры ивыберите параметры.

   Excel 2010 и Excel 2007: на вкладке Параметры в группе Таблица щелкните стрелку рядом с кнопкой Параметры ивыберите параметры.

3. Перейдите на вкладку Разметка и формат, а затем выполните следующие действия.

   • Изменение способа отображения ошибок.     В поле Формат выберите значение ошибкиПоказывать. Введите в поле значение, которое нужно выводить вместо ошибок. Для отображения ошибок в виде пустых ячеек удалите из поля весь текст.

   • Изменение способа отображения пустых ячеек     Установите флажок Для пустых ячеек отображать. Введите в поле значение, которое нужно выводить в пустых ячейках. Чтобы они оставались пустыми, удалите из поля весь текст. Чтобы отображались нулевые значения, снимите этот флажок.

В левом верхнем углу ячейки с формулой, которая возвращает ошибку, появляется треугольник (индикатор ошибки). Чтобы отключить его отображение, выполните указанные ниже действия.

Ячейка с ошибкой в формуле

1. В Excel 2016, Excel 2013 и Excel 2010: Выберите Файл >Параметры >Формулы.

   In Excel 2007: Click the Microsoft Office button > Excel Options >Formulas.

2. В разделе Поиск ошибок снимите флажок Включить фоновый поиск ошибок.

n Выберите формулу k – определение, применение и примеры

Формула известна как n Choose k , как следует из названия, она позволяет нам выбрать k элементов из n элементов . k_n \mbox{ и } C_{n, k}\).

Вычисление биномиальных коэффициентов

Биномиальные коэффициенты можно вычислить несколькими способами, без расширения формулы:

Рекурсивная формула } + {n-1 \выберите k-1}\)

для всех целых чисел \(n, k\), таких что \(1 \leq k \leq n-1\).

Мультипликативная формула

\({n \выберите k} = \frac{n(n-1)(n-2) … (n-(k + 1))}{k(k-1)( к-2)(к-3) … 1}\)

Формула факториала  

\({n \выберите k} = \frac{n!}{k!(n – k)!}\)

Приложения

• Биномиальный коэффициент широко используется в комбинаторика .
• Он также находит применение в статистике , в частности, в концепции биномиального распределения .
• Он также используется в биномиальной теореме , в элементарной алгебре.

Решенные примеры

Вопрос 1. Найдите количество способов сформировать крикетную команду из 11 игроков из 20.

Раствор. Дано, n = 20, k = 11

Как известно,

\({n \выберите k} = \frac{n!}{k!(n – k)!}\)

⇒ \( {20 \выберите 11} = \frac{20!}{11!(20 – 11)!}\)

⇒ \({20 \выберите 11} = \frac{20*19*18*17*16* 15*14*13*12}{9*8*7*6*5*4*3*2*1}\)

⇒ \({20 \выберите 11} = 167960\)

Следовательно, 167960 способов выбрать 11 игроков из 20 игроков, чтобы сформировать крикетную команду.

Вопрос 2. Сколько существует способов вытянуть 5 карт из набора из 10 карт?

Раствор. Дано, n = 10, k = 5

Как известно,

\({n \выберите k} = \frac{n!}{k!(n – k)!}\)

⇒ \( {10 \выберите 5} = \frac{10!}{5!(10 – 5)!}\)

⇒ \({10 \выберите 5} = \frac{10*9*8*7*6} {5*4*3*2*1}\)

⇒ \({10 \выберите 5} = 252\)

Таким образом, существует 252 возможных способа выбрать 5 карт из 10.

Часто задаваемые вопросы

Как рассчитать n выбрать k?

n выберите k, также известный как биномиальный коэффициент, который можно рассчитать по формуле
\({n \выбрать k} = \frac{n!}{k!(n – k)!}\)

n выбрать комбинацию k или перестановку?

Биномиальный коэффициент \({n \выбрать k}\) по существу подпадает под комбинацию. Формула вычисляет различные способы, которыми различные комбинации из k элементов могут быть выбраны из n элементов.
Другим обозначением для n select k является C(n, k) , где C по существу обозначает комбинации.

Чему равно n выбирает k?

Биномиальный коэффициент \({n \выбрать k}\) используется для нахождения количества способов, которыми можно выбрать k элементов из n элементов при условии, что n ≥ k ≥ 0.
Его можно вычислить по формуле \({n \выберите k} = \frac{n!}{k!(n – k)!}\)

9N разными способами, так как каждый слот можно заполнить двумя способами. Сколько существует способов поставить ровно K решек в эту последовательность из N периодов времени? Решения подобных абстрактных алгебраических задач легче понять, если сначала решить их для конкретных значений K и N. Это упрощает интуитивное понимание логики ответа. Итак, сначала мы решим эту задачу для частного случая, когда N=10 и K=4. Сколькими способами мы можем поставить ровно четыре единицы в последовательность из 10 слотов, каждый из которых может содержать 0 или 1?

Особый случай: N=10 и K=4

Чтобы решить эту задачу, полезно разбить ее на два этапа. Первый шаг — решить более простую задачу.

ПЕРВЫЙ ШАГ: вместо того, чтобы ставить четыре единицы, мы помещаем четыре РАЗНЫХ предмета в четыре слота в последовательности из 10 слотов. Назовем четыре элемента A, B, C, D. Теперь у нас есть четыре разных объекта, и мы хотим посчитать, сколькими способами мы можем поместить их в 10 слотов. Теперь основная формула подсчета дает простой ответ. Первый объект А можно поставить в любую из 10 позиций. Второй объект B можно положить в любой из 9оставшиеся позиции. Третий объект C можно поставить в любую из 8 оставшихся позиций. Четвертый объект D можно поставить в любую из оставшихся 7 позиций. Таким образом, ответ на этот вопрос 10 х 9 х 8 х 7. В математической записи N! является произведением всех целых чисел от 1 до N, поэтому 10! = 10 x 9 x 8 x … x 1. Если мы хотим перейти от 10 к 7, то мы можем исключить множители 6, 5, 4, 3, 2, разделив на 6!. Используя это обозначение, мы можем сказать, что количество способов разместить 4 разных объекта в последовательности из 10 слотов равно 10! / 6!

ВТОРОЙ ЭТАП: Сколько пересчета? Приведенная выше формула не является ответом на наш первоначальный вопрос, потому что она имеет пересчет. Чтобы понять почему, рассмотрим следующие последовательности: C0A0B0D0000, A0C0B0D0000, D0C0A0B0000. Все они представляют собой последовательность из 10, с 6 нулями и четырьмя разрядами с A, B, C и D в них. Если мы заменим A,B,C,D на 1, то все три будут ОДНОЙ последовательностью: 10101010000. Но наша формула первого шага считает все три как отдельные последовательности. Итак, вопрос в том, насколько сильно мы пересчитываем, когда считаем различные комбинации A, B, C, D отдельными последовательностями? Рассмотрим только одну последовательность 1111000000, где все четыре единицы встречаются в начальных четырех позициях. Сколько раз будет подсчитана эта последовательность, если мы заменим четыре единицы четырьмя разными объектами A, B, C, D?

Все способы, которыми мы можем поместить ABCD в первые четыре слота, эквивалентны, если мы заменим ABCD на 1111. Первую букву A можно поставить на любую из 4 позиций. Второй объект B можно поставить в любую из оставшихся 3 позиций. Третий объект C можно поставить в любую из оставшихся двух позиций. У последнего объекта D будет только одна оставшаяся позиция, в которую он может перейти. Таким образом, общее количество способов, которыми мы можем поставить ABCD на первые четыре позиции, равно 4! = 4 x 3 x 2 x 1.  

Это же рассуждение справедливо для ЛЮБОГО размещения четырех единиц в последовательности из десяти нулей и единиц. Каждая такая последовательность будет пересчитана на 4! раз. Таким образом, мы получаем ответ на исходный вопрос, разделив ответ первого шага на 4!. Количество способов поставить ровно 4 единицы в последовательность из 10 нулей и единиц равно 10! / [6! х 4!].

Общий случай для любых N и K

Теперь мы можем просто повторить те же рассуждения, чтобы получить общий ответ. Предположим, у нас есть последовательность из N нулей и единиц. Мы хотим посчитать, сколькими способами мы можем поместить ровно K 1 в эту последовательность.

ПЕРВЫЙ ШАГ — заменить идентичные объекты «1» разными объектами; назовем их 1,2,3,…,К. Первый объект можно поставить в любую из N позиций. Второй можно поставить в N-1. Продолжая таким образом, K-й объект можно поставить в любую из N-(K-1) позиций. Умножая эти варианты, мы получаем ответ на первом шаге: N x (N-1) x … x (N-K+1) = N! / (Н-К)!

ВТОРОЙ ШАГ: Насколько сильно мы пересчитываем, когда заменяем одинаковые единицы разными объектами? Последовательность чисел 1,2,…,K можно переставить в K! различные пути. Мы можем поставить 1 в любую из K позиций, 2 в любую из оставшихся K-1 позиций, и так далее. Все К! способы идентичны, когда мы заменяем разные объекты одним и тем же объектом «1». Это означает, что имеется пересчет K! на первом шаге. Таким образом, решение исходной задачи делит ответ первого шага на K! придя к формуле N, выберите K: N! / [К! х (К-К)!]

Биномиальные вероятности.

Теперь мы можем сформулировать окончательный результат всех этих вычислений следующим образом. Предположим, у нас есть последовательность из N независимых случайных событий, которые имеют два возможных исхода, названных «1» и «0». Предположим, что вероятность «1» равна p для каждого из N событий. Пусть X — случайная величина, которая подсчитывает количество «1», встречающихся в этом случайном следе. Тогда мы говорим, что X является биномиальной случайной величиной с N испытаниями и вероятностью успеха p. Эта случайная величина X может принимать любое целое значение от 0 до N.

No related posts.