Ряды (Математический анализ)
Ряды (Математический анализ)
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА § 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ЧИСЛОВОГО РЯДА 2. Сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. § 2. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 1. Необходимый признак сходимости ряда. Остаток ряда. § 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ § 4. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА § 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ТЕЙЛОРА 1.  а, где |x| 7. Разложение других элементарных функций.ГЛАВА II. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ § 6. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ 2. Признаки сходимости Даламбера и Коши. 3. Интегральный признак сходимости Коши. 4. Примеры исследования рядов на сходимость. § 7. СВОЙСТВА РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ 1. Перестановка членов ряда с неотрицательными членами. 2. Группировка членов и умножение рядов с неотрицательными членами. § 8. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ 2. Абсолютно сходящиеся ряды. 3. Свойства абсолютно сходящихся рядов. 4. Свойства условно сходящихся рядов. § 9. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ ГЛАВА III. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ § 10. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ § 11. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 2. Чебышевское расстояние между функциями. 3. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности. 4. Равномерно сходящиеся ряды. Признак Вейерштрасса. 5. Сохранение свойства непрерывности в случае равномерной сходимости.  § 12. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 1. Почленное интегрирование функциональных рядов. 2. Почленное дифференцирование функциональных рядов. § 13. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 1. Функции комплексного переменного. 2. Дифференцирование функций комплексного переменного. 3. Функциональные последовательности и ряды в комплексной области. ГЛАВА IV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ § 14. КРУГ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА 2. Область сходимости степенного ряда. Круг и радиус сходимости. 3. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда. § 15. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 1. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов в действительной области. 3. Единственность разложения функции в степенной ряд. § 16. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 1.  Показательная функция в комплексной области.2. Тригонометрические функции в комплексной области. Формулы Эйлера. § 17. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ РЯДОВ 1. Вычисление значений функций и интегралов. 2. Вычисление пределов. 3. Метод последовательных приближений. ГЛАВА V. РЯДЫ ФУРЬЕ § 18. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ 2. Скалярное произведение функций. 3. Ортонормированные системы функций. § 19. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ. РЯД ФУРЬЕ 2. Коэффициенты Фурье для тригонометрических систем функций. § 20. ЛЕММА РИМАНА 1. Кусочно гладкие функции. 2. Лемма Римана. § 21. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 1. Формула для частичных сумм ряда Фурье. 2. Сходимость разложения кусочно гладких функций в ряды Фурье. 3. Разложение функций, заданных на конечных промежутках, в ряд Фурье. 4. Разложение четных и нечетных функций в ряды Фурье. 5. Примеры разложения функций в ряды Фурье. Ответы к упражнениям |
Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.
Свойства абсолютно сходящихся рядов.Числовой ряд сходится, если имеет предел. Сходящийся ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , иначе – условно сходящимся. Т.е. ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
Свойства абсолютно сходящихся рядов:
Теорема: Для абсолютной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами.
Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Теорема: При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.
Если ряды и сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно и , то ряд, составленный из всех произведений вида взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна — произведению сумм перемножаемых рядов.
Функциональные ряды. Точка сходимости ряда. Степенной ряд.
Функциональный ряд – ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а некоторая функция .
Пусть фиксированная точка, тогда сходится, если – точка сходимости, и расходится, если – точка расходимости.
Степенной ряд – ряд вида , где — некоторые постоянные.
Мажорируемые и равномерно сходящиеся ряды.
Ряд называется мажорируемым если существует числовой ряд все члены которого положительны и который сходится и при этом выполняется для .
Сходящийся ряд — сумма которого равна на — называется равномерно сходящимся если для
Теорема. Мажорируемый ряд равномерно сходиться.
Теорема.
Сумма ряда непрерывных
функций мажорируемого на некотором
отрезке
,
есть функция непрерывная на этом отрезке.
Теорема. Пусть ряд составленный из непрерывных на функция сходиться равномерно, тогда этот ряд можно почленно интегрировать.
Сходимость степенных рядов. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
Теорема Абеля: Если степенной ряд сходится при , то он абсолютно сходится при всех .
Доказательство: Пусть ряд сходится, тогда и потому существует такая постоянная , что В силу этого для n-ого члена ряда имеем . Если , то ряд — сходится. Поэтому по признаку сравнения сходится и ряд , а это означает абсолютную сходимость ряда при .
Следствие. Если степенной ряд расходиться при , то он расходится при всех
Радиус сходимости степенного ряда – радиус круга сходимости степенного
ряда, т.
е. такое число ,
что ряд сходится при и расходится при .
На границе круга сходимости ряд может
как сходиться, так и расходиться.
Определение радиуса сходимости степенного ряда. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Свойства степенных рядов.
Радиус сходимости степенного ряда определяется с помощью признака Даламбера и радикального признака Коши.
Признак Даламбера: Если существует предел , то ряд абсолютно сходится, если , а если — расходится. Замечание. Если , то признак Даламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.
— радиус сходимости.
Радикальный признак Коши: Пусть дан ряд -с положительными членами и существует предел . Тогда если — сходиться. — расходиться.
— радиус сходимости
Свойства степенных рядов:
Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости
Степенные ряды и имеющие радиусы сходимости соответственно и , можно почленно складывать, умножать и вычитать.
Степенные ряды можно почленно дифференцировать и интегрировать внутри интервала сходимости.
Конвергенция в математике — объяснение, примеры решений и часто задаваемые вопросы
Определение конвергенции в математике — это свойство (отображаемое определенными бесчисленными рядами и функциями) приближаться к пределу все более и более явно по мере увеличения или уменьшения аргумента (переменной) функции или по мере увеличения количества членов ряда. Например, функция y = 1/x сходится к нулю (0) по мере увеличения x. Даже в этом случае никакое конечное значение x не повлияет на то, чтобы значение y действительно стало равным нулю, предельное значение y равно нулю (0), поскольку y можно сделать сколь угодно маленьким, выбрав «x» достаточно большим. Линия y = 0 (ось x) известна как асимптота функции.
Divergent Convergent Math
Таким же образом, как и в приведенном выше примере, для любого значения x между (но исключая) +1 и -1 ряд 1 + x + x2 + ⋯ + xn сходится к пределу 1/ (1 − x) при n, количество членов увеличивается.
Интервал −1 < x < 1 известен как диапазон сходимости ряда; для значений x вне этого диапазона ряд объявляется расходящимся.
Разница между конвергентной и дивергентной математикой
Конвергенция обычно означает объединение, тогда как дивергенция обычно подразумевает разъединение. В мире торговли и финансов термины «конвергенция» и «дивергенция» используются для определения направленной связи двух цен, трендов или индикаторов.
Сходящаяся последовательность, последовательность чисел, в которой числа приближаются к действительному числу (известная как предел):
Например, 70, 80, 90, 95, 97, 98, 99, 99,5, 99,8, 99,9, 99,999….
Глядя на эту последовательность, вы, скорее всего, подумаете, что числа всегда приближаются к 100, и будете правы.
Другие примеры сходящихся последовательностей включают:
0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2….
Здесь действует правило: продолжайте добавлять +1 к предыдущему числу, пока не получите 2, затем поставьте паузу.
Таким образом, предел равен 2,9.0003
64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 0,5, 0,25, 0,125…
Здесь каждое число равно половине предыдущего. Предел равен НОЛЬ (0). (Ни один член последовательности никогда не достигает нуля; он просто будет бесконечно приближаться к нему.)
Теперь расходящаяся последовательность, любая последовательность, которая НЕ приближается к действительному числу.
Либо потому, что его предел бесконечен:
Например:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 и 512, 1024, 2048, 4096…
В этой последовательности каждое число в два раза больше предыдущего (U (n+1) = 2*Un). Оно будет увеличиваться бесконечно. Поскольку его предел, бесконечность, НЕ является действительным числом, говорят, что это бесконечная последовательность.
Решенные примеры
Вы, должно быть, поняли определение конвергентной математики, теперь давайте приступим к решению числовой задачи, связанной с этим понятием.
Пример: Оцените, сходится или расходится данный ряд. Если оно сходится, найдите его сумму.
9{2}} — 1 = 3/4\]Исчисление BC: Ряд: Сходимость рядов
Дана последовательность чисел a 1 , a 2 , 2 09 090 9 0 , (также обозначается просто { a n }), мы можем составить суммы:
| s n = a 1 + a 2 + … + a n |
получается суммированием первых n чисел в последовательности. Мы называем s n n -я частичная сумма последовательности.
Мы хотели бы как-то определить сумму всех чисел в последовательности, если это
что-то, что имеет какой-либо смысл.
Запишем эту сумму как
| а n = а 1 + а 2 + … |
и назовем это серией. Во многих случаях эта сумма явно не имеет смысла. Например, рассмотрим случай, когда мы принимаем каждое как n = 1. По мере того как мы добавляем все больше и больше a n вместе, сумма становится все больше и больше, без ограничений. В других случаях тем не менее, сумма всех n , кажется, имеет смысл. Например, пусть
| + + + + … |
По мере того, как мы добавляем все больше и больше членов, кажется, что сумма становится все ближе и ближе к 1.
Давайте сделаем все это немного более точным. Учитывая последовательность { a n }, частичные суммы s n определено выше как
| с н = а 1 + а 2 + … + а н | 2
образуют другую последовательность { s n }. В нашем первом примере выше эта последовательность частичных суммы выглядят как
| 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, |
или
| 1, 2, 3, 4, |
Во втором примере последовательность частичных сумм начинается
Если члены последовательности { s n } становятся все ближе и ближе к определенному числу, как n →∞, то говорят, что ряд сходится к L , или сходится, и написать
а 1 + а 2 + . .. = а н = с н = л |
Если последовательность частичных сумм не сходится ни к какому конкретному числу, то мы говорим ряд расходится или расходится. Следовательно, наш первый пример выше расходится и наш второй пример сходится к 1; то есть,
| = 1 |
В качестве другого примера расходящегося ряда рассмотрим гармонический ряд:
| = + + + … |
Чтобы увидеть, что эта последовательность расходится, просто заметьте, что a 2 ≥1/2, a 3 , a 4 ≥ Таким образом,
| с 1 | ≥ | 1, | |
| с 2 | ≥ | 1 + 1, | |
| с 4 | ≥ | 1 + 1 +2, | |
| с 8 | ≥ | 1 + 1 +2 +4 |
и так далее.