Сходимость рядов калькулятор онлайн: Исследование степенного ряда на сходимость

37.6. Ряд Тейлора. Ряд Лорана

ФункцияОднозначная и аналитическая в точкеРазлагается в ок

Рестности этой точки в ряд Тейлора

(37.37)

КоэффициентыКоторого определяются формулами

(37.38)

1

Где— окружность с центром в точке, расположенная в окрестности точкиВ которой функцияАналитическая. Центр окружности круга сходимости находится в точке; эта окружность проходит через особую точкуФункции Ближайшую к точке, т. е. радиус сходимости ряда (37.37) будет равен расстоянию от точкиДо ближайшей особой точки функции

Для функцийI рады Тейлора имеют

Следующий вид:

(37.39)

(37.40)

(37.41)

(37.42)

Формула (37.42) определяет разложение в рад Тейлора в окрестности точки Главного значения логарифма. Чтобы получить ряд Тейлора для других значений многозначной функцииНеобходимо в правой части добавить

Числа

ФункцияОднозначная и аналитическая в кольце(не ис

Ключены случаиРазлагается в этом кольце в ряд Лорана

(37. 43)

Коэффициенты которого определяются формулами

(37.44)

Где— произвольная окружность с центром в точке, расположенная

Внутри этого кольца.

В формуле (37.43) рад

Называется главной частью рада Лорана, а рад

Называется правильной частью рада Лорана.

Пример 37.24. Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки

Преобразуем эту функцию следующим образом:

Поскольку (см. формулу (37.39))

(37.45)

То приПолучим

Следовательно,

Полученный ряд сходится приИли

Пример 37.25. Разложить в ряд Тейлора функциюВ ок

Рестности точки

Преобразуем данную функцию:

В соответствии с формулой (37.45) приПолучаем

Итак,

Полученный ряд сходится приИли

Пример 37.26. Разложить в ряд Тейлора функциюВ

Окрестности точки

Ближайшая от начала координат особая точка функцииЕсть, поэтому

ФункцияРазлагается в рядВ круге

Заметив, что— нечетная функция, поэтому в разложении будут только члены с нечетными показателями, использовав равенствоИ ряды

ДляИ(см. формулы (37.4) и (37.5)), получим

Сравнивая коэффициенты приВ обеих частях равенства, находим

Из этих уравнений определяем коэффициенты:

Следовательно,

(37.46)

Пример 37.27. Найти первые три члена ряда Тейлора по степеням функции

Поскольку (см. формулу (37.3))

То приПолучим

Итак,

Пример 37.28. Разложить функциюВ ряд Лорана в сле

Во всех этих кольцах данная функция является аналитической и поэтому может быть разложена в них в соответствующий ряд Лорана. Представим эту функцию в виде суммы элементарных дробей:

1.  ПосколькуТо с учетом формулы (37.39) получим

Главная часть ряда Лорана здесь имеет только один член.

2.  ЕслиПоэтому

В этом разложении отсутствует правильная часть.

3.  ЕслиТо функциюНужно разложить в геометрический ряд со знаменателем

Главная часть полученного ряда Лорана содержит только один член.

Пример 37.29. ФункциюРазложить в ряд Лорана,

Приняв

Данная функция имеет две особые точки:Следовательно, име

Ется три кольца с центром в точке 0, в каждом из которых функция аналитическая: 1) круг2) кольцо3) внешность кругаТ. е.

ФункциюРазлагаем на элементарные дроби:

’ 1. ПосколькуТо с учетом (37.39) получим

(II)

Сложив ряды (I) и (II), найдем, что  Полученный ряд является рядом Тейлора.

2.  ЕслиТо ряд (I) сходящийся (ибо, но ряд (II) расходится (так как|. Разложение (II) заменим другим:

(III)

Ряд (III) сходится, поскольку

Сложив ряды (I) и (III), получим ряд Лорана для данной функции:  в котором

3.  КогдаТо равенство (III) верно, поскольку иНо ряд в правой части формулы (I) уже будет расходящимся. Разложение (I) заменим другим:

(IV)

Этот ряд сходится, так какИ, следовательно,Сложив

ИПолучим разложение данной функции в ряд Лорана

Для которого

Пример 37.30. ФункциюРазложить в ряд

Лорана по степеням

ОбозначимТогда

Здесь главная часть ряда Лорана имеет два члена, а правильная — три члена. Поскольку полученное разложение содержит только конечное количество членов, то оно справедлива для любой точки плоскости, кроме

< Предыдущая   Следующая >

Свойства сходящихся рядов.

Необходимое условие сходимости ряда.

Ряды.

  1. Понятие числового ряда и его свойства. Основные определения.

Пусть задана числовая последовательность (последовательность – простейшая функция натурального аргумента). Ряды — сумма бесконечного числа элементов бесконечной последовательности.

Выражение вида , называется числовым рядом или просто рядом. Числа называются членами ряда, член с про­извольным номером — общим членом ряда. Суммы конечного числа членов ряда

называются частичными суммами ряда (1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм (2).

Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) сходится к какому-нибудь числу , которое в этом случае называется суммой ряда (1).

Символически это запи­сывается так: или . Если же последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.

Остаток ряда – ряд, в котором удалено конечное число первых членов ряда.

Теорема1. Если схо­дится ряд ,(4) то сходится и ряд, (и его остаток) , (5) и обратно, если сходится ряд (5), то сходится и ряд, (и остаток) (4). То есть, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов. Доказательство. Обозначим  . Пусть S nk= а12+…аnk, тогда

, = S- limSk — существует.

Т е о р е м а 2. Если ряд сходится и его сумма равна , то и ряд , где некоторое число, также сходится, и его сумма равна . Доказательство. Пусть — частичная сумма ряда , а — частичная сумма ряда . Тогда

. Отсюда, переходя к пределу при , получаем , т. е. последовательность частичных сумм ряда сходится к . Следовательно, . Теорема доказана.

Теорема 3. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и , то и ряд сходится и его сумма равна .Доказательство. Пусть и — частичные суммы рядов и , а — частичная сумма ряда .Тогда . Отсюда, переходя к пределу при , получаем , т. е. последовательность частичных сумм ряда

сходится к . Следовательно, . Теорема доказана. Таким образом, установлено, что сходящиеся ряды можно умно­жать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и ко­нечные суммы.

Необходимое условие сходимости ряда. Теорема 4. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е. .

Доказательство. По условию ряд сходится. Обозначим через его сумму. Рассмотрим частичные суммы ряда и . От­сюда . Так как и при , то . Теорема доказана. Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.

  1. Ряды с неотрицательными членами. Необходимый и достаточный признак сходимости ряда с неотрицательными членами.

Теорема 5. Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последо­вательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Доказательство. Необходимость. Пусть ряд сходится. Это значит, что последовательность его частичных сумм имеет предел. В силу теоремы о сходящихся последовательностях всякая сходящаяся последова­тельность является ограниченной. Члены последовательности неотрицательны, то Sn не могут превзойти значение S.

Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда ограничена. Так как ряд с неотрицательными членами, то его частичные суммы образуют неубывающую последо­вательность: В силу теоремы 2.12 о монотонных ограниченных последовательностях она сходится, т е сходится ряд

. Теорема доказана.

  1. Достаточные условия сходимости рядов с неотрицательными членами. Можарантный признак. Примеры.

Теорема. 6. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех выполняется неравенство . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .Доказательство. Обозначим через и соответственно частичные суммы рядов и . Из неравенства следует, что .(7). Если ряд сходится, то по теореме 14.5 (необходимость) последовательность его частичных сумм ограничена, т.е. для любого , где — некоторое число. Но тогда по фор­муле (7) и , откуда по той же теореме 14.5 (достаточность) следует, что ряд сходится. Если же ряд расходится, то ряд

также расходится, так как, допустив сходимость ряда , получим по только что доказанному сходимость ряда , а это противоречит условию теоремы. Теорема доказана. Пример. Ряд сходится, так как сходится ряд из членов геометрической прогрессии , а члены данного ряда не больше соответствующих членов ряда сходящейся геометрической прогрессии: .

Калькулятор сходимости серии

— Обмен файлами

Этот сценарий находит сходимость или расхождение бесконечных рядов, вычисляет сумму, предоставляет график частичной суммы и вычисляет радиус и интервал сходимости степенного ряда. Включены следующие тесты: тест дивергенции (тест n-го члена), интегральный тест (тест Маклорена-Коши), тест сравнения, тест предельного сравнения, тест отношения (тест отношения Даламбера), тест корня (тест корня Коши), тест чередующихся рядов. (критерий Лейбница), критерий абсолютной сходимости, критерий p-ряда, критерий геометрического ряда, критерий Раабе, критерий Бертрана, критерий Ермакова и критерий степенного ряда. Тест степенных рядов использует тест отношений, тест корней и теорему Коши-Адамара для расчета радиуса и интервала сходимости степенных рядов. Все тесты имеют графики частичной суммы, кроме теста Power Series. Этот сценарий поможет учащимся исчисления (II или III) с главой «Бесконечные ряды», учащимся, изучающим дифференциальные уравнения, с решениями для рядов и учащимся, изучающим реальный анализ, с расширенными тестами сходимости.

В основном списке (упомянутом выше) 14 тестов сходимости. Тест абсолютной сходимости имеет второй список с 3 тестами сходимости: абсолютная сходимость с интегральным тестом, абсолютная сходимость с тестом сравнения и абсолютная сходимость с тестом предельного сравнения. Всего имеется 16 тестов сходимости. Все тесты на сходимость требуют ввода выражения бесконечной последовательности, выбранного номера теста (из 14) и начального k для 11 тестов — это все, что требуется для выполнения этих тестов. Тест абсолютной сходимости имеет дополнительные входные данные из списка Тест абсолютной сходимости (из 3): Абсолютная сходимость с интегральным тестом, Абсолютная сходимость с тестом сравнения и Абсолютная сходимость с тестом предельного сравнения. 2 сравнительных теста и 2 предельных сравнительных теста имеют 2 дополнительных входа: является ли выражение сравнения сходящимся или расходящимся, и, наконец, выражение сравнения. Чтобы ввести входные данные, ответьте на вопросы в нижней части командного окна после запуска скрипта. Слева от заголовка приведен пример снимка экрана с тестом чередующихся серий (описание теоремы и теста чередующихся серий закомментировано, чтобы вместить всю информацию).

Я написал этот скрипт, потому что никто другой этого не делал, и я предположил, что он может получить значительное количество загрузок. Я тщательно протестировал этот сценарий с ~22 книгами по математическому анализу. Первоначально я предназначал этот сценарий для студентов, но он стал настолько мощным, точным, простым в использовании и надежным, что профессор получил прибыль от его использования. Если у кого-то есть вопросы или комментарии по этому сценарию, включая возможности трудоустройства, не стесняйтесь обращаться ко мне!

Цитировать как

Дэвид Казенав (2023). Калькулятор сходимости серий (https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/72141-series-convergence-calculator), MATLAB Central File Exchange. Проверено .

Конвергенция телескопического ряда — Криста Кинг Математика

Определение сходимости телескопического ряда

Телескопический ряд — это ряд, в котором все члены, кроме первого и последнего, сокращаются. Если вы подумаете о том, как схлопывается сам длинный телескоп, вы сможете лучше понять, как аннулируется середина серии телескопов.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать больше.

Чтобы определить, является ли ряд телескопическим, нам нужно вычислить хотя бы несколько первых членов, чтобы увидеть, начинают ли средние члены сокращаться друг с другом.

Сходимость телескопического ряда

Чтобы увидеть, сходится или расходится телескопический ряд, нам нужно посмотреть на его ряд частичных сумм ???s_n???, который является просто суммой серия через первый ???n??? сроки. 94 а_и=а_1+а_2+а_3+а_4???

???s_4=a_1+a_2+a_3+a_4???

Мы хотим выяснить, получим ли мы ответ в виде вещественного числа, когда возьмем сумму всего ряда, потому что если мы возьмем сумму всего ряда и получим ответ в виде вещественного числа, это означает, что ряд сходится. В противном случае, если сумма всего ряда окажется бесконечной, значит, ряд расходится. Другими словами, мы хотим получить ответ в виде вещественного числа ???s???, когда мы используем бесконечное количество терминов ???n??? в ряд частичных сумм ???s_n???. ???с??? сумма ряда, где 9\infty a_n=a_1+a_2+a_3+…+a_n???

Итак, если мы посчитаем предел как ???n\to\infty??? из ???s_n??? и мы получаем вещественный ответ ???s???, то мы можем сказать, что ряд частичных сумм ???s_n??? сходится, что также позволяет заключить, что ряд ???a_n??? сходится. Если мы не можем найти вещественный ответ для ???s???, то ???s_n??? расходится, и поэтому ???a_n??? также расходится.

Чтобы найти ???s_n???, мы расширим ряд телескопирования, вычислив несколько первых членов, убедившись, что он также включает последний член ряда, а затем упростим сумму, сократив все члены в ряду. середина. Оставшийся ряд будет рядом частичных сумм ???s_n???.

Как определить сходимость или расхождение телескопического ряда

Пройти курс

Хотите узнать больше об исчислении 2? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Учить больше

Скажите, сходится или расходится телескопический ряд

Пример

Покажите, что этот ряд является телескопическим рядом, затем скажите, сходится или расходится этот ряд. 9{\infty}_{n=1}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}???

???=\lim_{n\to\infty}\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{ 1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1} {5}\right)+…+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right]???

Ряд телескопируется, если мы можем отменить все члены в середине (каждый член, кроме первого и последнего). Когда мы смотрим на наш расширенный ряд, мы видим, что вторая половина первого члена будет сокращаться с первой половиной второго члена, что вторая половина второго члена будет сокращаться с первой половиной третьего члена, и, таким образом, вкл., поэтому можно сказать, что серия телескопическая.

Ряд становится телескопическим, если мы можем отменить все члены в середине (каждый член, кроме первого и последнего).

Сокращение всего, кроме первой половины первого члена и второй половины последнего члена, дает выражение для ряда частичных сумм.

???s=\lim_{n\to\infty}s_n=\lim_{n\to\infty}1-\frac{1}{n+1}???

Если этот ряд частичных сумм ???s_n??? сходится как ???n\to\infty??? (если мы получим вещественное значение для ???s???), то мы можем сказать, что ряд частичных сумм сходится, что позволяет нам заключить, что телескопический ряд ???a_n??? также сходится.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *