| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 8 | cos(pi/4) | ||
| 9 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 11 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 16 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 25 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 27 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 28 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 29 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 31 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 32 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 33 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 34 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 36 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
| 37 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 39 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 45 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 46 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 47 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 48 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 49 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 53 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 54 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 58 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 59 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
| 61 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 62 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 63 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 66 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| Найти точное значение | tan(45) | ||
| 69 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 70 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 76 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | csc(45) | |
| 83 | Упростить | arctan( квадратный корень из 3) | |
| 84 | Найти точное значение | sin(135) | |
| 85 | Найти точное значение | sin(105) | |
| 86 | Найти точное значение | sin(150 град. ) | |
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/4 | |
| 90 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 91 | Найти точное значение | sec(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | arcsin(0) | |
| 95 | sin(120 град. ) | ||
| 96 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | cos(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
| 100 | Преобразовать из градусов в радианы | 88 град. |
Формулы тригонометрии. Основные тригонометрические формулы для ЕГЭ
Для того чтобы сдать ЕГЭ по математике, вам понадобится около 20 формул тригонометрии. Это не много. Но их надо знать наизусть!
Вот таблица, в которой собраны основные тригонометрические формулы.
Здесь все самое необходимое. Их легко выучить и применять.
Эти формулы применяются и в заданиях 1 части ЕГЭ по математике, и в заданиях 2 части.
Эта полезная табличка – только одна из многих страниц Справочника Анны Малковой для подготовки к ЕГЭ. Скачай Справочник бесплатно здесь.
Кроме того, надо знать определения синуса, косинуса и тангенса, а также значения этих функций для основных углов.
Первые 3 блока формул из нашей таблицы часто встречаются в заданиях 1 части ЕГЭ и в задаче из второй части, где надо решить тригонометрическое уравнение.
В первую очередь это основное тригонометрическое тождество:
sincos
Это формулы, которые показывают, как выразить тангенс через косинус и котангенс через синус угла.
tg
1 + ctg
Формулы синуса и косинуса двойного угла, формулы синуса суммы, косинуса разности, — все это надо знать, чтобы без ошибок решать тригонометрические уравнения.
А вот формулы суммы синусов и косинусов, а также преобразование произведения в сумму могут пригодиться при решении задач с параметрами.
Где же могут встретиться формулы из двух последних блоков, внизу таблицы?
Формулы понижения степени могут присутствовать и в тригонометрических уравнениях, и в «параметрах». И даже в задачах с физическим содержанием из 1 части ЕГЭ, если там вдруг попадется тригонометрия.
А универсальная тригонометрическая замена, когда мы выражаем синус и косинус угла альфа через тангенс половинного угла? А формулы синуса и косинуса тройных углов? Где же они применяются? Оказывается, они помогают решать задачи по геометрии из 2 части ЕГЭ. Так что их тоже стоит знать, если рассчитываете сдать на высокий балл.
Обратите внимание, что в этой таблице нет формул приведения. О них мы рассказываем в отдельной статье нашего сайта.
Как же выучить тригонометрические формулы?
1. Учите формулы сразу. Не рассказывайте себе сказки о том, что в последнюю ночь перед ЕГЭ все выучите. Каждый день – один блок, то есть три-четыре формулы из нашей таблицы.
2. Тренируйтесь. Выучить иностранный язык проще всего тому, кто вынужден постоянно на нем говорить.
Так и здесь. Для тренировки можно из классического задачника Сканави выбрать 20-50 заданий на преобразование тригонометрических выражений и доказательство тождеств.
3. Универсальный способ: ежедневно, садясь за уроки, берите чистый листок и выписывайте наизусть все тригонометрические формулы, какие помните. Когда всё готово — сверяете. И к экзамену вы будете помнить всё.
4. Еще один отличный способ. Вырежьте из плотной бумаги карточки. На одной пишете левую часть формулы. На другой – правую. Перемешиваете. И собираете. Любые формулы запоминаются легко и быстро!
5. И конечно, решаем задания ЕГЭ на применение этих формул. Начнем с задач 1 части, преобразование тригонометрических выражений.
Задача 1.
Найдите tg, если cos и
Решение:
Воспользуемся формулой
tg tg x
Какой знак будет у тангенса, плюс или минус?
В условии дано, что , то есть это угол из четвертой четверти, значит tgx
tgx
Ответ: -3
Задача 2.
Найдите если sin
Решение:
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin2 = 2sincos
Ответ: 4
Задача 3.
Найдите 24cos если sin
Решение:
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: cos 2 = 1 — 2sin
24cos2 = 24(1 — 2sin
Ответ: 22,08
Задача 4.
Найдите если tg
Решение:
Вынесем косинус альфа за скобки в числителе и знаменателе:
Ответ: -9
Задача 5.
Найдите значение выражения
Решение:
Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
sin2 = 2sincos тогда sincos =
Ответ: 10
Задача 6.
Найдите значение выражения cossin
Решение:
Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
cos = cos — sin
cos
Ответ: -1,5
Задача 7.
Найдите значение выражения -50tg tg
Решение:
Используя формулы приведения, получим: tg = tg = ctg
Пользуемся также тем, что тангенс и котангенс угла альфа — взаимно обратные величины, Получим:
-50tg ctg
Ответ: -19
Задача 8.
Найдите значение выражения sin
Решение:
sinsin
cos cos cos
Мы вынесли за скобки множитель и применили формулу косинуса двойного угла, выразив его через квадрат синуса угла.
Ответ: 6
Задача 9.
Найдите значение выражения 5sin cos
Решение:
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin = 2sincos Также применим одну из формул приведения: sin = -sin
5sin cos sin sin sin
Ответ: -1,25
Задача 10.
Найдите значение выражения
Решение:
Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
cos2 = 1 — 2
cos cos cos
Ответ: -3
Задача 11.
Найдите значение выражения
Решение:
Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
cos2 =
coscos cos
Ответ: 4,5
Задача 12.
Найдите значение выражения
Мы воспользовались периодичностью функции синус: sinsin В нашей задаче 374 = 360 + 14.
Ответ: — 6
Задача 13.
Найдите значение выражения
Решение:
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin2 = 2sincos
sin cos sin sin sin
Ответ: 3,5
Заметим, что если в задаче нам встретилось произведение синуса альфа на косинус альфа, то, скорее всего, нужно будет применять формулу синуса двойного угла.
Задача 14.
Найдите tg если cos и
Решение:
Вспомним основное тригонометрическое тождество: Выразим из этой формулы синус альфа:
sin
Какой же знак выбрать, плюс или минус?
Угол альфа в третьей четверти, значит, его синус отрицателен.
sin
tg
Ответ: 1,25
Задача 15.
Найдите sin если cos и
Решение: Как и в предыдущей задаче, выразим синус альфа из основного тригонометрического тождества.
sin
Дан угол альфа, принадлежащий второй четверти, значит, его синус положителен.
sin
Ответ: 0,9
Задача 16.
Найдите tg если sin и
Решение:
Аналогично предыдущим задачам, выразим косинус альфа из основного тригонометрического тождества.
cos
Угол альфа в третьей четверти, значит, его косинус отрицателен.
cos тогда tg
Ответ: 0,8
Задача 17.
Найдите значение выражения — 42tg tg
Решение:
-42tg tg -42tg tg -42tg ctg
Мы применили формулу приведения, а также то, что тангенс и котангенс угла альфа — взаимно обратные величины, и их произведение равно единице.
Задача 18.
Найдите значение выражения sin
Решение:
Воспользуемся формулами приведения:
Также мы применили основное тригонометрическое тождество. Сумма квадратов синуса и косинуса угла альфа равна единице.
Ответ: 4,8
Задача 19.
Найдите значение выражения
Решение:
Так как то заменим на по формуле приведения и воспользуемся формулой синуса двойного угла:
sin2 = 2sincos
Ответ: 4
Задача 20.
Найдите значение выражения
Решение:
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
Ответ: -21
Задача 21.
Найдите значение выражения
Решение:
Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
Ответ: -0,25
Задача 22.
Найдите значение выражения
Решение:
И здесь тоже была формула косинуса двойного угла, но только в другой форме.
Ответ: 3
Задача 23.
Найдите значение выражения
Решение:
А здесь мы просто вычислили косинус и синус табличного угла
Ответ: -13
Задача 24.
Найдите значение выражения
Решение:
Это задача на вычисление тригонометрических функций для табличного угла Если этот угол выразить в градусах, то он равен 45 градусов.
Ответ: 18
Задача 25.
Найдите значение выражения
Решение:
Используя формулы приведения, получим:
Лайфхак: если вам сложно запомнить формулы приведения, вы можете вместо них использовать формулы косинуса разности и синуса суммы.
Ответ: -2,5
Посмотрим, как формулы тригонометрии применяются при решении уравнений.
Задача 26.
Решите уравнение
Решение:
Воспользуемся формулой понижения степени: sin
Ответ:
Задача 27.
Решите уравнение
Решение:
Воспользуемся формулой понижения степени:
Умножим обе части на два:
Воспользуемся формулой суммы косинусов: cos + cos = 2cos cos
cos6x + cos10x = 2cos8x cos2x
Уравнение примет вид:
2cos8x cos2x + cos8x =0;
вынесем общий множитель за скобки. Теперь произведение двух множителей равно нулю, а с этим мы умеем работать.
Ответ:
Все о решении тригонометрических уравнений здесь.
Чему равняется синус 2 альфа?
Содержание
- — Чему равен 2 синус квадрат альфа?
- — Как найти синус 2а?
- — Чему равен синус альфа умножить на косинус альфа?
- — Чему равен минус синус?
- — Чему равен синус в квадрате?
- — Чему равен тангенс альфа?
- — Чему равен cos 2 a?
- — Как сравнивать значения синусов?
- — Как найти синус любого числа?
- — Что такое sin альфа?
- — Чему равен синус числа Пи?
- — Чему равен синус 90 градусов?
- — Чему равен минус тангенс альфа?
- — Чему равно минус пи на 2?
- — Чему равен синус минус пи на 4?
| (1) | Основное тригонометрическое тождество | sin2(α) + cos2(α) = 1 |
|---|---|---|
| (5) | Синус двойного угла | sin(2α) = 2sin(α)cos(α) |
| (6) | Косинус двойного угла | cos(2α) = cos2(α) – sin |
| (7) | Тангенс двойного угла | tg(2α) = 2tg(α) 1 – tg2(α) |
| (8) | Котангенс двойного угла | ctg(2α) = ctg2(α) – 1 2ctg(α) |
Чему равен 2 синус квадрат альфа?
sin2α = 1 — cos2α
или более сложный вариант формулы: синус квадрат альфа равен единице минус косинус двойного угла альфа и всё это делить на два.
Как найти синус 2а?
Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса данного угла на его косинус. cos 2α = cos α cos α—sin α sin α= cos 2 α — sin 2 α.
Чему равен синус альфа умножить на косинус альфа?
sin альфа умножить на cos альфа равняется нулю решение
Чему равен минус синус?
Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Чему равен синус в квадрате?
Косинус в квадрате, синус в квадрате
равен единице минус косинус двойного угла альфа и всё это делить на два. или более сложный вариант формулы: косинус квадрат альфа равен единице плюс косинус двойного угла альфа и также делим всё на два.
Чему равен тангенс альфа?
Тангенс угла (tg α t g α ) — отношение противолежащего катета к прилежащему.
Чему равен cos 2 a?
Тригонометрические формулы
| (1) | Основное тригонометрическое тождество | sin2(α) + cos2(α) = 1 |
|---|---|---|
| (5) | Синус двойного угла | sin(2α) = 2sin(α)cos(α) |
| (6) | Косинус двойного угла | cos(2α) = cos2(α) – sin2(α) = 2cos2(α) – 1 = 1 – 2sin2(α) |
| (7) | Тангенс двойного угла | tg(2α) = 2tg(α) 1 – tg2(α) |
| (8) | Котангенс двойного угла | ctg(2α) = ctg2(α) – 1 2ctg(α) |
Как сравнивать значения синусов?
Если же нужно сравнить синус и косинус одного знака, то опираемся на геометрическую интерпретацию синуса и косинуса: синус — это ордината точки (y), а косинус — абсцисса (x). Аналогично, cos 4 > sin 4, cos 3< sin 4 и т.
Как найти синус любого числа?
Синус числа можно определить с помощью числовой окружности – синус числа равен ординате соответствующей точки на ней.
Числовая окружность позволяет определить синус любого числа, но обычно находят синус чисел как-то связанных с Пи: π2 , 3π4 3 π 4 , −2π . Например, для числа π6 — синус будет равен 0,5 .
Что такое sin альфа?
синус квадрат альфа равен единице минус косинус двойного угла альфа и всё это делить на два. или более сложный вариант формулы: косинус квадрат альфа равен единице плюс косинус двойного угла альфа и также делим всё на два.
Чему равен синус числа Пи?
Синус пи. таким образом, синус пи — это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю. 2. Косинус пи.
Чему равен синус 90 градусов?
sin (90°) = sin (π/2) = 1.
Чему равен минус тангенс альфа?
ctg (2π — α) = ctg α
Для угла 1/2 пи плюс альфа и угла 3/2 пи плюс альфа котангенс равняется минус тангенсу -tg угла альфа.
Если в этих же выражениях угол альфа не прибавляется, а вычитается, тогда котангенс такого угла равняется тангенсу угла альфа. Функция котангенс пи минус альфа равна минус котангенсу угла альфа.
Чему равно минус пи на 2?
Правильный ответ, разумеется, 57.5 градусов плюс минус пи эн Но как это можно. Косинус пи/2 равен 0, синус равен единице. Народ. Графики тригонометрических функций: синуса косинуса тангенса.
Чему равен синус минус пи на 4?
Делаем выражение отрицательным, поскольку синус является отрицательным в четвертом квадранте. Точное значение sin(π4) sin ( π 4 ) равно √22 . Результат можно выразить в различном виде.
Интересные материалы:
Чей город Выборг?
Чем известен город Радужный хмао?
Чем полезны голуби в городе?
Чем славится город Иваново?
Чем славится город Калининград?
Чем славится город Краков?
Чем славится город Минск?
Чем славится город Орел?
Чем славится город Псков?
Чем славится город Рыбинск?
sin | cos | tg | ctg | ||||
I | + | + | + | + | |||
II | + | | | | |||
III | | | + | + | |||
IY | | + | | + | – | /2 | | 3/2 | 2 – |
sin | -sin | cos | +sin | — cos | — sin | ||
cos | cos | +sin | — cos | sin | cos | ||
tg | — tg | + ctg | tg | + ctg | — tg | ||
ctg | — ctg | + tg | ctg | + tg | -ctg | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 180 | 270 |
/ 6 | /4 | /3 | /2 | | 3/2 | ||
sin | 0 | Ѕ | 2 / 2 | 3 / 2 | 1 | 0 | – 1 |
cos | 1 | 3 / 2 | 2 / 2 | Ѕ | 0 | 1 | 0 |
tg | 0 | 3 / 3 | 1 | 3 | | 0 | |
ctg | – | 3 | 1 | 3 / 3 | 0 | | 0 |
Как найти двойной угол
Содержание
- Список формул двойного угла
- Доказательство формул двойного угла
- Примеры использования формул двойного угла
- Формулы тройного, четверного и т.
д. угла - Перечень всех формул двойного угла
- Доказательство формул двойного угла
- Примеры использования формул при решении задач
- Формулы тройного угла
д. углаФормулы двойного угла служат для выражения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов угла со значением 2 α , используя тригонометрические функции угла α . Данная статья познакомит со всеми формулами двойного угла с доказательствами. Будут рассмотрены примеры применения формул. В заключительной части будут показаны формулы тройного, четверного углов.
Список формул двойного угла
Для преобразования формул двойного угла следует помнить о том, что углы в тригонометрии имеют вид n α записи, где n является натуральным числом, значение выражение записывается без скобок. Таким образом, считается, что запись sin n α имеет то же значение, что и sin ( n α ) . При обозначении sin n α имеем аналогичную запись ( sin α ) n . Использование записи применимо для всех тригонометрических функций со степенями n .
Ниже приведены формулы двойного угла:
sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α , cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α c t g 2 α — c t g 2 α — 1 2 · c t g α
Отметим, что данные формулы sin и cos применимы с любым значением угла α . Формула тангенса двойного угла справедлива при любом значении α , где t g 2 α имеет смысл, то есть α ≠ π 4 + π 2 · z , z является любым целым числом. Котангенс двойного угла существует при любом α , где c t g 2 α определен на α ≠ π 2 · z .
Косинус двойного угла имеет тройную запись двойного угла. Все они являются применимыми.
Доказательство формул двойного угла
Доказательство формул берет начало из формул сложения. Применим формулы синуса суммы:
sin ( α + β ) = sin α · cos β + cos α · sin β и косинуса суммы cos ( α + β ) = cos α · cos β — sin α · sin β . Предположим, что β = α , тогда получим, что
sin ( α + α ) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α и cos ( α + α ) = cos α · cos α — sin α · sin α = cos 2 α — sin 2 α
Таким образом доказываются формулы синуса и косинуса двойного угла sin 2 α = 2 · sin α · cos α и cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α .
Остальные формулы cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 приводят к виду cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , при замене 1 на сумму квадратов по основному тождеству sin 2 α + cos 2 α = 1 . Получаем, что sin 2 α + cos 2 α = 1 . Так 1 — 2 · sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α — 2 · sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α и 2 · cos 2 α — 1 = 2 · cos 2 α — ( sin 2 α + cos 2 α ) = cos 2 α — sin 2 α .
Для доказательства формул двойного угла тангенса и котангенса применим равенства t g 2 α = sin 2 α cos 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α . После преобразования получим, что t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α — sin 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α 2 · sin α · cos α . Разделим выражение на cos 2 α , где cos 2 α ≠ 0 с любым значением α , когда t g α определен. Другое выражение поделим на sin 2 α , где sin 2 α ≠ 0 с любыми значениями α , когда c t g 2 α имеет смысл. Чтобы доказать формулу двойного угла для тангенса и котангенса, подставим и получим:
t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α — sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α cos 2 α — sin 2 α cos 2 α = 2 · sin 2 α cos 2 α 1 — sin 2 α cos 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α 2 · sin α · cos = cos 2 α — sin 2 α sin 2 α 2 · sin α · cos α sin 2 α = cos 2 α sin 2 α — 1 2 · cos α sin α = c t g 2 α — 1 2 · c t g α
Примеры использования формул двойного угла
Данный пункт показывает несколько примеров решения с формулами двойного угла.
Конкретные примеры помогут глубже понять изучаемый материал. Чтобы убедиться в справедливости формул 2 α для α = 30 ° , применим значения тригонометрических функций для этих углов. Если α = 30 ° , тогда 2 α = 60 ° . Проверим значения sin 60 ° = 2 · sin 30 ° · cos 30 ° , cos 60 ° = cos 2 30 ° — sin 2 30 ° .
Подставив значения, получим t g 60 ° = 2 · t g 30 ° 1 — t g 2 30 ° и c t g 60 ° = c t g 2 30 ° — 1 2 · c t g 30 ° . .
Известно, что sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 и
sin 60 ° = 3 2 , cos 60 ° = 1 2 , t g 60 ° = 3 , c t g 60 ° = 3 3 , тогда отсюда видим, что
2 · sin 30 ° · cos 30 ° = 2 · 1 2 · 3 2 = 3 2 , cos 2 30 ° — sin 2 30 ° = ( 3 2 ) 2 — ( 1 2 ) 2 = 1 2 , 2 · t g 30 ° 1 — t g 2 30 ° = 2 · 3 2 1 — ( 3 3 ) = 3
и c t g 2 30 ° — 1 2 · c t g 30 ° = ( 3 ) 2 — 1 2 · 3 = 3 3
Проведя вычисления, можно сделать вывод, что справедливость для α = 30 ° подтверждена.
Основное использование тригонометрических формул двойного угла – это преобразования тригонометрических выражений.
Рассмотрим пример применения двойного угла, года имеем угол, отличный от 2 α . В примере допускается применение формулы двойного угла 3 π 5 . Тогда его необходимо преобразовать, в результате чего получим α = 3 π 5 : 2 = 3 π 10 . Отсюда следует, что формула двойного угла для косинуса будет иметь вид cos 3 π 5 = cos 2 3 π 10 — sin 2 3 π 10 .
Представить sin 2 α 3 через тригонометрические функции, при α 6 .
Заметим, что из условия имеем 2 α 3 = 4 · α 6 . Тогда использовав 2 раза формулу двойного угла, выразим sin 2 α 3 через тригонометрические функции угла α 6 . Применяя формулу двойного угла, получим sin 2 α 3 = 2 · sin α 3 · cos α 3 . После чего к функциям sin α 3 и cos α 3 применим формулы двойного угла: sin 2 α 2 = 2 · sin α 3 · cos α 3 = 2 · ( 2 · sin α 5 · cos α 6 ) · ( cos 2 α 6 — sin α 6 ) = = 4 · sin α 6 · cos 3 α 6 — 4 · sin 3 α 6 · cos α 6
Ответ: sin 2 α 3 = 4 · sin α 6 · cos 3 α 6 — 4 · sin 3 α 6 · cos α 6 .
Формулы тройного, четверного и т.
д. углаТаким же образом выводятся формулы тройного, четверного и т.д. углов. Формулы тройного угла можно вывести из формул сложения двойного угла.
sin 3 α = sin ( 2 α + α ) = sin 2 α · cos α + cos 2 α · sin α = 2 · sin α · cos α · cos α + ( cos 2 α — sin 2 α ) · sin α = = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α
При замене cos 2 α на 1 — sin 2 α из формулы sin 3 α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α , она будет иметь вид sin 3 α = 3 · sin α — 4 · sin 3 α .
Так же приводится формула косинуса тройного угла:
cos 3 α = cos ( 2 α + α ) = cos 2 α · cos α — sin 2 α · sin α = = ( cos 2 α — sin 2 α ) · cos α — 2 · sin α · cos α · sin α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α
При замене sin 2 α на 1 — cos 2 α получим формулу вида cos 3 α = — 3 · cos α + 4 · cos 3 α .
При помощи полученных формул преобразуем формулу тройного угла для тангенса и котангенса тройного угла:
t g 3 α = sin 3 α cos 3 α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α cos 3 α cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α cos 3 α = = 3 · sin α cos α — sin 3 α cos 3 α 1 — 3 · sin 2 α cos 2 α = 3 · t g α — t g 3 α 1 — 3 · t g 2 α ; c t g 3 α = cos 3 α sin 3 α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α sin 3 α 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α sin 3 α = = cos 3 α sin 3 α — 3 · cos α sin α 3 · cos 2 α sin 2 α — 1 = c t g 3 α — 3 · c t g α 3 · c t g 2 α — 1
Чтобы выводить формулы четвертой степени, имеет смысл представить 4 α как 2 · 2 α , тогда имеет место использование формулы двойного угла два раза.
2 alpha>`
`ctg 2alpha=frac<2 ctg alpha>`
Следующие тождества выражают все тригонометрические функции угла ` 2alpha` через функции тангенс и котангенс угла `alpha`.
Формулы для косинуса и синуса двойного угла выполняются для любого угла `alpha`. Формулы для тангенса двойного угла справедливы для тех `alpha`, при которых определен `tg 2alpha`, то есть при ` alpha
efracpi4+fracpi2 n, n in Z`. Аналогично, для котангенса они имеют место для тех `alpha`, при которых определен `ctg 2alpha`, то есть при ` alpha
efracpi2 n, n in Z`.
Доказательство формул двойного угла
Все формулы двойного угла выводятся из формул сумы и разности углов тригонометрических функций.
Возьмем две формулы, для сумы углов синуса и косинуса:
`sin(alpha+eta)=` `sin alpha cos eta+cos alpha sin eta` и `cos(alpha+eta)=` `cos alpha cos eta-sin alpha sin eta`. Возьмем `eta=alpha`, тогда `sin(alpha+alpha)=` `sin alpha cos alpha+cos alpha sin alpha=2 sin alpha cos alpha`, аналогично `cos(alpha+alpha)=` `cos alpha cos alpha-sin alpha sin alpha=cos^2 alpha-sin^2 alpha`, что и доказывает формулы двойного угла для синуса и косинуса.
2, alpha>\&\ cosalpha
e 0 & sinalpha
e 0\ hline end]
(lacktriangleright) Формула вспомогательного аргумента: [egin <|c|>hline ext<Частный случай>\ hline \ sinalphapm cosalpha=sqrt2cdot sin<left(alphapm dfrac<pi>4
ight)>\\ sqrt3sinalphapm cosalpha=2sin<left(alphapm dfrac<pi>6
ight)>\\ sinalphapm sqrt3cosalpha=2sin<left(xpm dfrac<pi>3
ight)>\\ hline ext<Общий случай>\ hline\ asinalphapm bcosalpha=sqrtcdot sin<(alphapm phi)>, cosphi=dfrac a<sqrt>, sinphi=dfrac b<sqrt>\\ hline end]
Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.
Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.
(lacktriangleright) Вывод формулы косинуса разности углов (cos<(alpha -eta)>=cosalphacoseta+sinalphasineta)
Рассмотрим тригонометрическую окружность и на ней углы (alpha) и (eta) .
2alpha=dfrac<1-cos2alpha>2)
Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна (2) в левой части, а в правой части степень косинуса равна (1) .
(lacktriangleright) Вывод формул произведения функций:
1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:
Получим: (cos(alpha+eta)+cos(alpha-eta)=2cosalphacoseta Rightarrow cosalphacoseta=dfrac12Big(cos(alpha-eta)+cos(alpha+eta)Big))
2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:
3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:
(lacktriangleright) Вывод формул суммы/разности функций:
Обозначим (alpha+eta=x, alpha-eta=y) . Тогда: (alpha=dfrac2, eta=dfrac2) . Подставим эти значения в предыдущие три формулы:
Получили формулу суммы косинусов.
Получили формулу разности косинусов.
Получили формулу суммы синусов.
4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:
Аналогично выводится формула суммы котангенсов.
2=dfrac=1)
Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол (phi) , для которого, например, (cos phi=a_1, sin phi=b_1) . Тогда наше выражение примет вид:
(sqrt,ig(cos phi sin x+sin phicos xig)=sqrt,sin (x+phi)) (по формуле синуса суммы двух углов)
Значит, формула выглядит следующим образом: [<large,sin (x+phi),>> quad ext <где >cos phi=dfrac a<sqrt>] Заметим, что мы могли бы, например, принять за (cos phi=b_1, sin phi=a_1) и тогда формула выглядела бы как [asin x+bcos x=sqrt,cos (x-phi)]
(lacktriangleright) Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:
(a) sin xpmcos x=sqrt2,left(dfrac1<sqrt2>sin xpmdfrac1<sqrt2>cos x
ight)=sqrt2, sin left(xpmdfrac<pi>4
ight))
(b) sqrt3sin xpmcos x=2left(dfrac<sqrt3>2sin xpm dfrac12cos x
ight)=2, sin left(xpmdfrac<pi>6
ight))
(c) sin xpmsqrt3cos x=2left(dfrac12sin xpmdfrac<sqrt3>2cos x
ight)=2,sinleft(xpmdfrac<pi>3
ight))
Формула уравнения косинуса.
Основные формулы тригонометрии. Задачи для самостоятельного решенияОсновными методами решения тригонометрических уравнений являются: сведение уравнений к простейшим (с использованием тригонометрических формул), введение новых переменных, разложение на множители. Рассмотрим их применение на примерах. Обратите внимание на оформление записи решений тригонометрических уравнений.
Необходимым условием успешного решения тригонометрических уравнений является знание тригонометрических формул (тема 13 работы 6).
Примеры.
1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.
1) Решить уравнение
Решение:
Ответ:
2) Найти корни уравнения
(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, принадлежащие отрезку .
Решение:
Ответ:
2. Уравнения, сводящиеся к квадратным.
1) Решить уравнение 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Решение: Используя формулу sin 2 x = 1 – cos 2 x, получаем
Ответ:
2) Решить уравнение cos 2x = 1 + 4 cosx.
Решение: Используя формулу cos 2x = 2 cos 2 x – 1, получаем
Ответ:
3) Решить уравнение tgx – 2ctgx + 1 = 0
Решение:
Ответ:
3. Однородные уравнения
1) Решить уравнение 2sinx – 3cosx = 0
Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cosx. Получим
Ответ:
2) Решить уравнение 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
Решение:
Используем формулы 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, получим
sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
Пусть cosx = 0, тогда sin 2 x = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1.
Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cos 2 x. Получим
tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Обозначим tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y 2 = 2
а) tgx = 4, x= arctg4 + 2 k , k
б) tgx = 2, x= arctg2 + 2 k , k .
Ответ: arctg4 + 2 k , arctg2 + 2 k, k
4. Уравнения вида a sinx + b cosx = с, с ≠ 0.
1) Решить уравнение .
Решение:
Ответ:
5. Уравнения, решаемые разложением на множители.
1) Решить уравнение sin2x – sinx = 0.
Корнем уравнения f ( х ) = φ ( х ) может служить только число 0. Проверим это:
cos 0 = 0 + 1 – равенство верно.
Число 0 единственный корень данного уравнения.
Ответ: 0.
Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!
Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.
Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.
1. Уравнение `sin x=a`.
n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Уравнение `cos x=a`
При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.
При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.
Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.
3. Уравнение `tg x=a`
Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Уравнение `ctg x=a`
Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице
Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:
Методы решения тригонометрических уравнений
Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:
- с помощью преобразовать его до простейшего;
- решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы. 2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!
Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.
Концепция решения тригонометрических уравнений.
- Для решения тригонометрического уравнения преобразуйте его в одно или несколько основных тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения в конечном итоге сводится к решению четырех основных тригонометрических уравнений.
Решение основных тригонометрических уравнений.
- Существуют 4 вида основных тригонометрических уравнений:
- sin x = a; cos x = a
- tg x = a; ctg x = a
- Решение основных тригонометрических уравнений подразумевает рассмотрение различных положений «х» на единичной окружности, а также использование таблицы преобразования (или калькулятора).
- Пример 1. sin x = 0,866. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: 2π/3. Запомните: все тригонометрические функции являются периодическими, то есть их значения повторяются. Например, периодичность sin x и cos x равна 2πn, а периодичность tg x и ctg x равна πn. Поэтому ответ записывается следующим образом:
- x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
- Пример 2. соs х = -1/2. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = 2π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: -2π/3.
- x1 = 2π/3 + 2π; х2 = -2π/3 + 2π.
- Пример 3. tg (x — π/4) = 0.
- Ответ: х = π/4 + πn.
- Пример 4. ctg 2x = 1,732.
- Ответ: х = π/12 + πn.
Преобразования, используемые при решении тригонометрических уравнений.
- Для преобразования тригонометрических уравнений используются алгебраические преобразования (разложение на множители, приведение однородных членов и т.д.) и тригонометрические тождества.
- Пример 5. Используя тригонометрические тождества, уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0 преобразуется в уравнение 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Таким образом, нужно решить следующие основные тригонометрические уравнения: cos x = 0; sin (3x/2) = 0; cos (x/2) = 0.
Нахождение углов по известным значениям функций.
- Перед изучением методов решения тригонометрических уравнений вам необходимо научиться находить углы по известным значениям функций. Это можно сделать при помощи таблицы преобразования или калькулятора.
- Пример: соs х = 0,732. Калькулятор даст ответ х = 42,95 градусов. Единичная окружность даст дополнительные углы, косинус которых также равен 0,732.
- Перед изучением методов решения тригонометрических уравнений вам необходимо научиться находить углы по известным значениям функций.
Отложите решение на единичной окружности.
- Вы можете отложить решения тригонометрического уравнения на единичной окружности. Решения тригонометрического уравнения на единичной окружности представляют собой вершины правильного многоугольника.
- Пример: Решения x = π/3 + πn/2 на единичной окружности представляют собой вершины квадрата.
- Пример: Решения x = π/4 + πn/3 на единичной окружности представляют собой вершины правильного шестиугольника.
Методы решения тригонометрических уравнений.
- Если данное тригонометрическое уравнение содержит только одну тригонометрическую функцию, решите это уравнение как основное тригонометрическое уравнение. Если данное уравнение включает две или более тригонометрические функции, то существуют 2 метода решения такого уравнения (в зависимости от возможности его преобразования).
- Метод 1.
- Преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: f(x)*g(x)*h(x) = 0, где f(x), g(x), h(x) — основные тригонометрические уравнения.
- Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0
- Решение. Используя формулу двойного угла sin 2x = 2*sin х*соs х, замените sin 2x.
- 2соs х + 2*sin х*соs х = 2cos х*(sin х + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: соs х = 0 и (sin х + 1) = 0.
- Пример 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0
- Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
- Пример 8. sin x — sin 3x = cos 2x . (0
- Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.
- Метод 2. 2 — 1) = 0. Теперь найдите t, а затем найдите х для t = tg х.
- Метод 2.
- Если данное тригонометрическое уравнение содержит только одну тригонометрическую функцию, решите это уравнение как основное тригонометрическое уравнение. Если данное уравнение включает две или более тригонометрические функции, то существуют 2 метода решения такого уравнения (в зависимости от возможности его преобразования).
- sin2x = 2 sin x cos x (в терминах sin и cos)
- sin2x = (2tan x)/(1 + tan 2 x) (относительно тангенса)
- sin2x = 2 √(1 — cos 2 x) cos x (формула sin2x через cos)
- sin2x = 2 sin x √(1 — sin 2 x) (формула sin2x через sin)
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей.
Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.Простейшие тригонометрические уравнения решаются, как правило, по формулам. Напомню, что простейшими называются вот такие тригонометрические уравнения:
sinx = а
cosx = а
tgx = а
ctgx = а
х — угол, который нужно найти,
а — любое число.А вот и формулы, с помощью которых можно сразу записать решения этих простейших уравнений.
Для синуса:
Для косинуса:
х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Для тангенса:
х = arctg a + π n, n ∈ Z
Для котангенса:
х = arcctg a + π n, n ∈ Z
Собственно, это и есть теоретическая часть решения простейших тригонометрических уравнений.
Причём, вся!) Совсем ничего. Однако, количество ошибок по этой теме просто зашкаливает. Особенно, при незначительном отклонении примера от шаблона. Почему?Да потому, что масса народу записывает эти буковки, не понимая их смысла совершенно! С опаской записывает, как бы чего не вышло…) С этим надо разобраться. Тригонометрия для людей, или люди для тригонометрии, в конце концов!?)
Разберёмся?
Один угол у нас будет равен arccos a, второй: -arccos a.
И так будет получаться всегда. При любом а.
Если не верите, наведите курсор мышки на картинку, или коснитесь рисунка на планшете.) Я изменил число а на какое-то отрицательное. Всё равно, один угол у нас получился arccos a, второй: -arccos a.
Следовательно, ответ можно всегда записать в виде двух серий корней:
х 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
х 2 = — arccos a + 2π n, n ∈ Z
Объединяем эти две серии в одну:
х= ± arccos а + 2π n, n ∈ Z
И все дела.
Получили общую формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.Если вы понимаете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращённая запись двух серий ответов, вам и задания «С» будут по плечу. С неравенствами, с отбором корней из заданного интервала… Там ответ с плюсом/минусом не катит. А если отнестись к ответу делово, да разбить его на два отдельных ответа, всё и решается.) Собственно, для этого и разбираемся. Что, как и откуда.
В простейшем тригонометрическом уравнении
sinx = а
тоже получается две серии корней. Всегда. И эти две серии тоже можно записать одной строчкой. Только эта строчка похитрее будет:
х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Но суть остаётся прежней. Математики просто сконструировали формулу, чтобы вместо двух записей серий корней, сделать одну. И всё!
Проверим математиков? А то мало ли…)
В предыдущем уроке подробно разобрано решение (безо всяких формул) тригонометрического уравнения с синусом:
В ответе получились две серии корней:
х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Если мы будем решать это же уравнение по формуле, получим ответ:
х = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Вообще-то, это недоделанный ответ.
) Ученик обязан знать, что arcsin 0,5 = π
/6. Полноценный ответ будет:х = (-1) n π /6 + π n, n ∈ Z
Тут возникает интересный вопрос. Ответ через х 1 ; х 2 (это правильный ответ!) и через одинокий х (и это правильный ответ!) — одно и то же, или нет? Сейчас узнаем.)
Подставляем в ответ с х 1 значения n =0; 1; 2; и т.д., считаем, получаем серию корней:
х 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 и так далее.
При такой же подстановке в ответ с х 2 , получаем:
х 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 и так далее.
А теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4…) в общую формулу для одинокого х . Т.е возводим минус один в нулевую степень, затем в первую, вторую, и т.д. Ну и, разумеется, во второе слагаемое подставляем 0; 1; 2 3; 4 и т.д. И считаем. Получаем серию:
х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и так далее.
Вот всё и видно.) Общая формула выдаёт нам точно такие же результаты, что и два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядочку. Не обманули математики.)
Формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом тоже можно проверить. Но не будем.) Они и так простенькие.
Я расписал всю эту подстановку и проверку специально. Здесь важно понять одну простую вещь: формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений есть, всего лишь, краткая запись ответов. Для этой краткости пришлось вставить плюс/минус в решение для косинуса и (-1) n в решение для синуса.
Эти вставки никак не мешают в заданиях, где нужно просто записать ответ элементарного уравнения. Но если надо решать неравенство, или далее нужно что-то делать с ответом: отбирать корни на интервале, проверять на ОДЗ и т.п, эти вставочки могут запросто выбить человека из колеи.
И что делать? Да либо расписать ответ через две серии, либо решать уравнение/неравенство по тригонометрическому кругу.
Тогда исчезают эти вставочки и жизнь становится легче.)Можно подвести итоги.
Для решения простейших тригонометрических уравнений существуют готовые формулы ответов. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, надо решить уравнения:
sinx = 0,3
Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Запросто: х = arctg 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Одной левой: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Если вы, блистая знаниями, мгновенно пишете ответ:
х= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
то блистаете вы уже, это… того… из лужи.) Правильный ответ: решений нет. Не понимаете, почему? Прочитайте, что такое арккосинус. Кроме того, если в правой части исходного уравнения стоят табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, — 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и т.
п. — ответ через арки будет недоделанным. Арки нужно обязательно перевести в радианы.А если уж вам попалось неравенство, типа
то ответ в виде:
х πn, n ∈ Z
есть редкая ахинея, да…) Тут надо по тригонометрическому кругу решать. Чем мы и займёмся в соответствующей теме.
Для тех, кто героически дочитал до этих строк. Я просто не могу не оценить ваши титанические усилия. Вам бонус.)
Бонус:
При записи формул в тревожной боевой обстановке, даже закалённые учёбой ботаны частенько путаются, где πn, а где 2π n. Вот вам простой приёмчик. Во всех формулах стоит πn. Кроме единственной формулы с арккосинусом. Там стоит 2πn. Два пиэн. Ключевое слово — два. В этой же единственной формуле стоят два знака в начале. Плюс и минус. И там, и там — два.
Так что, если вы написали два знака перед арккосинусом, легче вспомнить, что в конце будет два пиэн.
Если Вам нравится этот сайт… А ещё наоборот бывает. Пропустит человек знак ± , доберётся до конца, напишет правильно два пиэн, да и спохватится. Впереди-то два знака! Вернётся человек к началу, да ошибку-то и исправит! Вот так.)Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Sin2x — Формула, Тождества, Примеры, Доказательство
Формула Sin2x — одна из формул двойного угла в тригонометрии. Используя эту формулу, мы можем найти синус угла, значение которого увеличивается в два раза. Мы знаем, что грех — это одно из основных тригонометрических соотношений, которое определяется как отношение длины противоположной стороны (угла) к длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике. Существуют различные формулы, связанные с sin2x, и их можно проверить, используя основные тригонометрические формулы.
Поскольку диапазон функции sin равен [-1, 1], диапазон sin2x также равен [-1, 1]. 92x с точки зрения различных тригонометрических функций с использованием разных тригонометрических формул и, следовательно, вывести формулы.1. Что такое Sin2x? 2. Sin2x Формула 3. Происхождение Sin 2x Identity 4. Формула Sin2x для загара 5. 92x Формула7. Часто задаваемые вопросы о Sin2x Formula Что такое Sin2x?
Sin2x — это тригонометрическая формула в тригонометрии, которая используется для решения различных тригонометрических задач, задач интегрирования и дифференцирования. Он используется для упрощения различных тригонометрических выражений. Формула Sin2x может быть выражена в различных формах с использованием различных формул тригонометрии.
Наиболее часто используемая формула sin2x представляет собой удвоенное произведение функции синуса и функции косинуса, которое математически определяется выражением sin2x = 2 sinx cosx. Мы также можем выразить sin2x через функцию тангенса.Sin2x Формула
Формула sin2x представляет собой тождество двойного угла, используемое для функции синуса в тригонометрии. Тригонометрия — это раздел математики, изучающий взаимосвязь между углами и сторонами прямоугольного треугольника. Есть две основные формулы для sin2x:
Это основные формулы sin2x. Но мы можем записать эту формулу только в терминах sin x (или) cos x, используя тригонометрическое тождество sin 2 x + cos 2 x = 1. Используя это тригонометрическое тождество, мы можем записать sinx = √(1 — cos 2 x) и cosx = √(1 — sin 2 x).
Отсюда формулы sin2x через cos и sin:Происхождение Sin 2x Identity
Чтобы получить формулу для sin2x, можно использовать формулу суммы углов для sin. Формула суммы sin: sin(A + B) = sin A cos B + sin B cos A. Рассмотрим вывод sin2x шаг за шагом:
Подставим A = B = x в формулу sin(A + B ) = sin A cos B + sin B cos A,
sin(x + x) = sin x cos x + sin x cos x
⇒ sin2x = 2 sin x cos x
Следовательно, мы получили формулу грех2х.
Формула Sin2x для загара
Формулу sin2x можно записать только в терминах функции тангенса или тангенса. Для этого начнем с формулы sin2x.
sin2x = 2 sin x cos x
Умножьте и разделите приведенное выше уравнение на cos x. Тогда
sin2x = (2 sin x cos 2 x)/(cos x)
= 2 (sin x/cosx ) × (cos 2 x)
Мы знаем, что sin x/cos x = tan х и cos х = 1/(сек х).
Итак,sin2x = 2 tan x × (1/сек 2 x)
Используя одно из пифагорейских тригонометрических тождеств, сек 92x
- Производное от Cos2x
2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.
Решение тригонометрического уравнения в конечном итоге сводится к решению четырех основных тригонометрических уравнений.
Единичная окружность дает еще один ответ: -2π/3.
Это можно сделать при помощи таблицы преобразования или калькулятора.
2 — 1) = 0. Теперь найдите t, а затем найдите х для t = tg х.
Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Причём, вся!) Совсем ничего. Однако, количество ошибок по этой теме просто зашкаливает. Особенно, при незначительном отклонении примера от шаблона. Почему?
Получили общую формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.
) Ученик обязан знать, что arcsin 0,5 = π
/6. Полноценный ответ будет:
Тогда исчезают эти вставочки и жизнь становится легче.)
п. — ответ через арки будет недоделанным. Арки нужно обязательно перевести в радианы.
А ещё наоборот бывает. Пропустит человек знак ± , доберётся до конца, напишет правильно два пиэн, да и спохватится. Впереди-то два знака! Вернётся человек к началу, да ошибку-то и исправит! Вот так.)
Поскольку диапазон функции sin равен [-1, 1], диапазон sin2x также равен [-1, 1]. 92x с точки зрения различных тригонометрических функций с использованием разных тригонометрических формул и, следовательно, вывести формулы.
Наиболее часто используемая формула sin2x представляет собой удвоенное произведение функции синуса и функции косинуса, которое математически определяется выражением sin2x = 2 sinx cosx. Мы также можем выразить sin2x через функцию тангенса.
Отсюда формулы sin2x через cos и sin:
Итак,Часто задаваемые вопросы о Sin2x Formula
Что такое формула Sin2x?
Формула Sin2x представляет собой формулу двойного угла функции синуса, а sin 2x = 2 sin x cos x является наиболее часто используемой формулой. Но sin2x с точки зрения тангенса равен sin 2x = 2tan(x)/(1 + tan 2 (x)).
Каков период Sin2x?
Период sin bx в общем случае равен (2π)/b. Таким образом, период sin2x равен (2π)/2 = π, что означает, что значение sin2x повторяется через каждые π радиан.
Что такое Sin2A с точки зрения Cos?
Общая формула sin2A: sin2A = 2 sin A cos A. Используя sin 2 A + cos 2 A = 1, мы получаем sin A = √(1 — cos 2 A). Подставляя это в данную формулу, sin2A = 2 √(1 — cos 2 A) cos A.
Эта формула выражается только в терминах функции косинуса или косинуса.
Как доказать формулу Sin 2x?
Из формулы суммы sin мы имеем sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B. Подставив здесь A = B = x, мы получим sin 2x = 2 sin x cos x.
Что такое Sin2A с точки зрения греха?
Общая формула sin 2A: sin 2A = 2 sin A cos A. Используя sin 2 A + cos 2 A = 1, мы получаем cos A = √(1 — sin 2 A). Подставив это в приведенную выше формулу, sin2A = 2 sin A √(1 — sin 2 A). Эта формула представлена только в терминах функции sin или синуса.
Sin2x равен 2 Sin x?
Нет, sin2x не равно 2 sin x. Фактически, sin2x = 2 sin x cos x из формулы двойного угла для sin. 92x = (1 — cos2x)/2.
Формула Sin2x. Получение, использование, примеры и часто задаваемые вопросы
Тригонометрия — занимательный и фундаментальный раздел математики. Мы изучаем ряд формул, теорем и уравнений тригонометрии, которые широко используются в науке.
В этой статье мы увидим часть этой широкой области, которая включает функцию греха, формулу двойного угла и, в частности, формулу двойного угла для функции греха. Мы увидим его вывод, пример и использование всех формул sin2x.
В тригонометрии можно найти много формул двойного угла, формула «sin 2x» — одна из них. Используя эту формулу, мы можем позволить себе вычислить синус угла, значение которого удваивается. Функция синуса — одно из основных тригонометрических соотношений, определяемое как отношение длины противоположной стороны к длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике.
Существует множество формул, связанных с sin 2x, которые можно вывести с помощью основных тригонометрических формул.
Формулы и тождества sin 2x, cos 2x, tan 2x, cot 2x, sec 2x и cosec 2x известны как формулы двойного угла, потому что они имеют угол в два раза больше, чем угол, присутствующий в их формулах.
Формула Sin 2x равна 2sinxcosx.
Sin 2x =2 sinx cosx
Вывод формулы Sin2x
Прежде чем приступить к фактическому доказательству, сначала давайте взглянем на саму формулу.
Sin 2x = 2 sinx cosx
Обратите внимание, что формула sin2x является произведением sinx и cosx. Мы начнем с использования известной формулы, в которой sin и cos кратны друг другу. Этот подход приводит к формуле, известной нам как формула суммы углов греха.
Sin(a+b) = Sin a Cos b + Cos a Sin b
, где a и b — углы.
Мы можем заменить a и b как x, что дает нам
Sin(x+x) = Sin x Cos x + Cos x Sin x
, что можно записать как
Sin(2x)= 2Sin x Cos x
Отсюда доказано.
Использование формулы Sin2x All
Эти формулы двойного угла, а точнее формулы cos 2x и sin 2x, используются в больших задачах интегрирования и дифференцирования. Помимо чистой математики, они также используются в реальных задачах высоты и расстояния. Упрощение больших проблем облегчит нам их решение. Это упрощение осуществляется с помощью формул двойного угла cos 2x и формулы sin 2x.
Примеры, основанные на формуле sin2x
Вопрос: Найдите формулу 2sinx sin2x через Cos.
Ответ: Мы можем упростить данное выражение, подставив значение sin 2x. We know that
Sin (2x) = 2Sin x Cos x
On substituting the value we get,
2sin x sin2x =2sinx 2sinxcosx
2sinxsin2x =4sin 2 xcosx
Так как нам нужно получить это выражение в cos, мы можем использовать тождество Sin 2 θ + Cos 2 θ = 1.
Получаем,
2sinxsin2x = 4(1-cos 2 х)0cos
2sinxsin2x = 4cosx-4cos 3 x
Вопрос: Найдите значение sin90 o . Для этого используйте формулу двойного угла.
Ответ: Мы знаем формулу двойного угла sin, которая является формулой sin2x как 2sinxcosx
9{o}=2\times\frac{1}{2}\]
sin90 o = 1
Следовательно, требуемое значение sin90 o равно 1.
:Вопрос. данных выражений sin75 ∘ sin15 ∘ .
Ответ: данное выражение,
SIN750 SIN15O
= SIN (90O -15O) SIN15O
= COS15O SIN15O [AS COSX = SIN (9065
77777779777979779.. и деление на 2 90)} {2}\]
As sin 30o = \[\frac {1} {2}\]
Итак, = \[\frac {1} {2}\]*\[ \фракция {1} {2}\] = \[\frac {1} {4}\] \[\frac {1} {2}\]
Таким образом, решение для sin75 o sin15 o будет \[\frac {1} {4}\].
Двуугольные тождества — тригонометрия
Тригонометрия
Наука
- Анатомия и физиология
- астрономия
- Астрофизика
- Биология
- Химия
- науки о Земле
- Наука об окружающей среде
- Органическая химия
- Физика
Математика
- Алгебра
- Исчисление
- Геометрия
- Преалгебра
- Предварительный расчет
- Статистика
- Тригонометрия
Гуманитарные науки
- Английская грамматика
- История США
- Всемирная история
- Сократическая мета
- Избранные ответы
.
.. и не толькоТемы
Что такое двухугольные тождества?
Как использовать тождество двойного угла, чтобы найти точное значение каждого выражения?
Как использовать тождество двойного угла, чтобы найти точное значение sin 120°?
Как использовать тождества с двойным углом для решения уравнений?
Как найти все решения для #sin 2x = cos x# для интервала #[0,2pi]#? 92x#?
Если #tan x = 0,3#, то как найти tan 2x?
Если #sin x= 5/3#, чему равен sin 2x?
92 А — 1#?Как можно упростить tan 4x или sec 2x?
Как найти точное значение cos2x, учитывая, что #cotx = -5/3# при pi/2
Как найти точное значение cos2x, учитывая #cosx=-2/13#, #pi/2
Используйте Идентификацию двойного угла, чтобы найти точное значение для cos 2x , учитывая #sin x= sqrt2/ 4#?
Как найти tan(x/2), если #tanx = (-5/12)#?
Как упростить #sin(pi/8)cos(pi/8)#, используя тождества с двойным углом?
Как с помощью формулы двойного угла переписать выражение #3 − 6 sin2 x#?
Как найти sin 2x, cos 2x и tan 2x из данной информации: #tan x=-6/5# и x находится во втором квадранте?
Как использовать формулы двойного угла для вычисления cos 2x и sin 2x, не находя x, если #cos x = 3/5# и x находится в первом квадранте?
Как проверить #sin 4x = 4 sin x cos x cos 2x#?
Как определить точное значение cos(2x), если угол x лежит в 3-м квадранте и #tanx=7/24#?
Если A положительный острый угол и #sin A = sqrt5/3#, чему равен cos 2A?
Как найти точные значения sin 2u, cos 2u и tan 2u, используя формулы двойного угла, заданные #tan u = 3/4#, #0 < u < pi/2#?
Как вы используете формулы для sin (A +- B) и cos (A +-B), чтобы доказать формулы двойного угла для sin 2A и cos 2A? 92x-3#?
Как найти точное значение tan2x, используя формулу двойного угла?
Как найти точное значение sin2x, используя формулу двойного угла?
Как найти точное значение cos2x, используя формулу двойного угла?
Как использовать формулу двойного угла для определения тангенса 300?
92x#?Как с помощью формулы двойного угла переписать #6sin x cos x #?
Как упростить выражение, используя формулу двойного угла #2(cos^2) 5 тета — 1#?
Какова формула трех двойных углов для cos2x?
Как использовать формулу двойного угла, чтобы переписать выражение: #6sinxcosx#?
92 (x — pi/2) + cos(x + pi) sin(x + pi/2)#?Как с помощью формулы двойного угла переписать выражение #7 sin x cos x#?
Как упростить выражение, используя формулу двойного угла или формулу половинного угла для #cos^2(theta/4)-sin^2(theta/4)#?
Как упростить выражение, используя формулу двойного угла или формулу половинного угла для #4 sin(theta/8)cos(theta/8)#?
Как упростить выражение, используя формулу двойного угла #1-2sin^2(2x)#? 92(пи/8)#?
Как найти точное значение выражения sin 2x, cos 2x и tan 2x, учитывая #Sin x = 12/13#, где x лежит в квадранте I?
Как упростить #2 sin 35 cos 35#? 92 (тета/2)#?
Как найти точное значение cos2x, используя формулу двойного угла, заданную #cosx=-2/13#, #pi/2
Как упростить выражение #1-2sin^2 ( theta / 3 )# с помощью формулы двойного угла? 94(x)=cos2x#, используя тождество двойного угла?
Как решить #sin 2x = 2 sin x cos x#, используя тождество двойного угла?
Как найти значение #sin 20(theta)#, используя тождество двойного угла?
Как найти значение #cos 2*(theta)#, используя тождество двойного угла?
Как найти значение #tan 20(theta)#, используя тождество двойного угла? 93(x)-3cos(x)#, используя тождество двойного угла?
Как решить #cos2x-cosx=0#, используя тождество двойного угла?
Как упростить #7 sin x cos x#, используя тождество двойного угла? 92 (x — π/2) + cos(x + π) sin(x + π/2)#, используя тождество двойного угла?
Как использовать тождества двойного угла, чтобы найти tan(2x), если cos x=8/17, а sin x меньше 0?
Как использовать тождества двойного угла для нахождения tan(2x), если sec x=root65 и sin x меньше 0?
Как использовать тождества двойного угла для нахождения sin(2x), если csc x= -root21 и cos x меньше 0?
Как использовать тождества двойного угла, чтобы найти cot(2x), если cos x= -15/17 и csc x меньше 0?
Если csc x=-2 и cos x больше 0, найти cos x/2?
- 92x)# с использованием тождества двойного угла?
Как решить #cos2x+2sinx=0#, используя тождество двойного угла?
Как упростить #sin2x + cosx = 0#, используя тождество двойного угла?
Как записать одно выражение #cos(2a) cos(a) — sin(2a) sin(a)#, используя тождество двойного угла?
Как выразить sin x/2 через cos x, используя тождество двойного угла?
Как выразить cos(4θ) через cos(2θ), используя тождество двойного угла?
Если Cosx = 5/13 и x является рефлексом, как найти точное значение cos2x?
Как найти точное значение cos2x, учитывая, что cotx = -5/3, где pi/2
Как найти sin2x, если sinx = -3/5 и x находится в квадранте 3?
92#?Как использовать формулы двойного угла или половинного угла для решения #2 sinx cosx=cos 2x#?
Как использовать формулы двойного или половинного угла, чтобы найти точное значение #tan2x# при условии, что tanx = 7/13, 0 < x < pi/2?? 92#?
Как использовать формулы двойного угла или половинного угла для получения cos(4x) через cos x?
Как использовать формулы двойного или половинного угла для упрощения cos22.
5?Как использовать формулы двойного или половинного угла для решения #tan2x-cotx=0#?
Как использовать формулы двойного или половинного угла для решения #2 + 3cos2x = cosx#? 92 (5Б)#?
Как использовать формулы двойного или половинного угла для решения #cos2x-cosx=0#?
Как использовать формулы двойного угла или половинного угла, чтобы найти точное значение cos2x, когда #sinx=(sqrt 5)/3# и #pi/2 <= x <= pi#?
Как использовать формулы двойного или половинного угла для упрощения #cos(2a) cos(a) — sin(2a) sin(a)#?
Как вы используете формулы двойного угла или половинного угла, чтобы доказать #sin(pi+x) = — sinx#?
Как использовать формулы двойного угла или половинного угла, чтобы выразить sin x/2 через cos x?
Как использовать формулы двойного или половинного угла для упрощения #sin 8x cos 8x#? 92x#?
Как использовать формулы двойного угла или половинного угла для упрощения #6sin x cos x #?
Как использовать формулы двойного угла или половинного угла для упрощения #6cos^2 x — 3#?
Как использовать формулы двойного или половинного угла, чтобы переписать выражение sin2x + cosx так, чтобы оно включало только sinx и cosx?
Как вы используете формулы двойного угла или половинного угла, чтобы доказать #cos(3x)= 4cos^3(x)-3cos(x)#?
Как использовать формулы двойного или половинного угла для упрощения 2sin35cos35?
Как использовать формулы двойного или половинного угла для упрощения tan 300? 92 ( тета / 3 ) # с использованием тождеств с двойным углом?
Как упростить #cos(2theta)-2sin (2theta )#, используя тождества двойного угла?
Как упростить #cos^2theta-2sin (2theta )#, используя тождества двойного угла? 92theta-2cos(2theta )# с использованием тождеств с двойным углом?
Как упростить #-1/(cos2theta)+tan2theta#, используя тождества двойного угла?
Как упростить #sin2theta -tan2theta#, используя тождества двойного угла?
Как упростить #cos2theta -tan2theta#, используя тождества двойного угла?
Как упростить #6cot4theta-tan3theta# для тригонометрических функций #theta#? 92theta# в тригонометрические функции единицы #theta#?
Как упростить #5sec2theta-csc2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #sin4theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #cos4theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #tan4theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #cot4theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #cot4theta-cos2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #sin4theta-cot2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #cos4theta-cot2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #cos4theta-sin2theta+tan2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #3cos8theta-6sin4theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #5sin2theta-cot2theta+cos2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #cot8theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #sin8theta-tan2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #cos8theta-5tan2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #cos8theta-5tan2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #cos4theta-3tan2theta+sin2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #cos4theta-6sin2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=sin4theta-cos2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=sin4theta-cos6theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=sin3theta-cos3theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=sec4theta-tan4theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=sin4theta-2tan2theta+5csc2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=sin4theta-2cot2theta+5csc2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=csc4theta-2cot2theta+5sec2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=csc2theta-sec2theta-3tan2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=csc2theta-sec2theta-3cot2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=csc2theta-sin2theta-3cot2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=csc2theta-cos4theta-3cot2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=2csc2theta-cos2theta+sec2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=2tan2theta-cos2theta+sec2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=2tan2theta-3sin2theta+sec2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=2tan2theta-3sin2theta+csc2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=tan2theta-2cot2theta-csc2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=tan2theta-2cot2theta-3sec2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=cot2theta-2cos2theta+sec2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=cot2theta-sin2theta+3tan2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=cot4theta-sin8theta-2tan2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=cot4theta-sin2theta-2cos8theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=tan4theta+sin2theta+3cos8theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=-tan4theta+sin2theta+cos4theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=csc2theta+sin4theta+cos4theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=csc2theta-sin2theta+cos4theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Как упростить #f(theta)=csc2theta-sin2theta-5sec2theta# до тригонометрических функций единицы #theta#?
Если #sinx=(4/5)#, как найти #sin2x#?
Как использовать тождество двойного угла для sin 2x, учитывая, что cos x= 4/5, где x — угол в квадранте 1?
Как вы доказываете, что cos (90 градусов + A) = -sin A? 92#?
Как использовать тождества с двойным углом, чтобы найти точное значение sin 2x и cos 2x, когда csc(x) = -25/7 и cos x>0?
Как использовать тождества половинного угла, чтобы найти точные значения sin (u/2) и cos (u/2), когда sin(u)= — 4/5 и 3pi/2
Как доказать #(sin 2x) / (1 + cos2x) = tan x#?
Как доказать #sin8x = 8sinx cosx cos2x cos4x#?
92 х)#?Как вы доказываете #sin( (3π/2) + x ) + sin ( (3π/2) — x ) = — 2 cos x#?
Как доказать #(1 + tanx) / (1 — tanx) = (1 + sin2x) / (cos2x)#?
Как доказать, что #(1+tanx)tan2x = (2tanx)/(1-tanx)#?
Как доказать #tanx tan(1/2)x = sec x- 1#?
94 п = cos 2 п#?Вопрос #b3353
Вопрос #a9735
92x)/(1 + sin2x) = (1 — tanx)/(1+ tanx)#?Докажите, что #cos(y-pi)+sin(y+pi/3)=0#?
Вопрос #0ff6c
92x)# с использованием тождества двойного угла?Как найти точное значение cos2x, учитывая, что cotx = -5/3, где pi/2
Как использовать формулу двойного угла, чтобы найти точное значение cos2u, когда sin u = 7/25, где pi/2
Учитывая cos2x=(-5/12) и pi/2 < x < pi, как найти значения шести триггерных функций?
Как найти значение #sin120#, используя тождество двойного угла?
Как найти значение #tan60#, используя тождество двойного угла?
Как найти значение #cos(4pi/3)#, используя тождество двойного угла?
Как найти значение #sin((5pi)/3)#, используя тождество двойного угла?
Как найти значение #sin2theta#, учитывая #costheta=4/5# и #270
Как найти значение #sin(theta/2)#, учитывая #costheta=-4/5# и #90
Как найти значение #cot2theta#, зная #cottheta=4/3# и #pi
Как найти значение #tan(theta/2)#, зная #sintheta=(-3/5)# и #(3pi)/2
Как найти значение #sin2theta#, учитывая #costheta=1/3# и #0
Как найти значение #sin2theta#, зная #cottheta=4/3# и #pi
Как записать #2sin0.
6cos0.6# в виде одной тригонометрической функции?Как записать #2sin3cos3# в виде одной тригонометрической функции?
Как записать #2sin2cos2# в виде одной тригонометрической функции?
Учитывая #sin theta =-3/5# и #pi
Учитывая #sin theta =8/17# и #pi/2
Как найти значение #sin ((2pi)/3)#?
Как найти значение #sin ((11pi)/12)#?
Как найти значение #cos 120#?
Как найти значение #cos 300#?
Учитывая #costheta=-15/17# и #180
Если #cosx=1/2#, как найти #sin2x#?
Если #sinx=2/4#, как найти #cos2x#?
Если #sinx=1/3#, как найти #cos2x#?
Если #cosx=2/5#, как найти #sin2x#?
Если #costheta=-24/25# и #pi/2
Если #sintheta=sqrt403/22# и #pi/2
Если #costheta=-15/17# и #pi/2
Если #costheta=-4/5# и #pi/2
Учитывая #sintheta=-7/25# и #((3pi)/2
Учитывая #sintheta=-9/22# и #270
Учитывая #tantheta=3/4# и #pi
Учитывая #tantheta=5/12# и #pi
Учитывая #sintheta=(2sqrt2)/3# и #pi/2
Учитывая #costheta=-(2sqrt10)/11# и #pi
92(-75)#?Как найти значение для #sin2theta#, #cos2theta# и #tan2theta# и квадрант, в котором находится #2theta#, учитывая, что #sintheta=4/5# и #theta# находится в квадранте I?
Как найти значение для #sin2theta#, #cos2theta# и #tan2theta# и квадрант, в котором находится #2theta#, учитывая, что #costheta=5/13# и #theta# находится в квадранте I?
Как найти значение для #sin2theta#, #cos2theta# и #tan2theta# и квадрант, в котором находится #2theta#, учитывая, что #costheta=-3/5# и #theta# находится в квадранте III?
Как найти значение #sin2theta#, #cos2theta# и #tan2theta# и квадрант, в котором находится #2theta#, если #tantheta=-15/8# и #theta# находится в квадранте II?
Как найти значение для #sin2theta#, #cos2theta# и #tan2theta# и квадрант, в котором находится #2theta#, учитывая, что #tantheta=-5/12# и #theta# находится в квадранте II?
Как найти значение для #sin2theta#, #cos2theta# и #tan2theta# и квадрант, в котором находится #2theta#, учитывая, что #sintheta=-sqrt10/10# и #theta# находится в квадранте IV? 93xcosx)#?
Вопрос № b1a65
Вопрос #f51a4
Найдите точное значение #sin(pi/12)# и #cos(pi/12)#?
Вопрос № f14bb
Вопрос #de5ff
92тета_я#?Вопрос № 02bba
Вопрос № 7b448
- 9@# используя идентичность с двойным углом?
Вопрос № 495a3
Вопрос № 42bd5
Вопрос #c2854
Вопрос #acbec
Упростить эту функцию двойных углов?
Как найти точные решения уравнения #sin2x-sinx=0# в интервале #[0,2pi)#?
Как найти точные решения уравнения #sin2x+cosx=0# в интервале #[0,2pi)#?
Как найти точные решения уравнения #4sinxcosx=1# в интервале #[0,2pi)#?
Как найти точные решения уравнения #tan2x-cotx=0# в интервале #[0,2pi)#?
Как найти точные решения уравнения #tan2x-2cosx=0# в интервале #[0,2pi)#?
Как найти точные решения уравнения #sin4x=-2sin2x# в интервале #[0,2pi)#? 92=1# в интервале #[0,2pi)#?
Как с помощью формулы двойного угла переписать выражение #(cosx+sinx)(cosx-sinx)#?
Как найти точные значения #sin2u, cos2u, tan2u#, используя значения двойных углов, заданные #cosu=-2/3, pi/2
Как найти точные значения #sin2u, cos2u, tan2u#, используя значения двойных углов, заданные #cotu=-4, (3pi)/2
Как найти точные значения #sin2u, cos2u, tan2u#, используя значения двойного угла, заданные #secu=-5/2, pi/2
Как найти точные значения #sin2u, cos2u, tan2u#, используя значения двойного угла, заданные #cscu=3, pi/2
Как с помощью формул уменьшения степени переписать выражение #cos^4x# в первой степени косинуса? 92x=(1-cos2x)/(1+cos2x)#?
Может ли кто-нибудь продемонстрировать работу для получения решения?
Вопрос № 26ac4
Ответ на это уравнение формулы двойного угла в тригонометрии?
Вопрос № c05e6
Вопрос #78bc0
Вопрос #cc030
Решить уравнение #tan2x+1=sec2x#?
Вопрос #b2446
Вопрос #acd9c
Мне трудно, как мне переписать 3 cos 4x через cos x?
5?
6cos0.6# в виде одной тригонометрической функции?Посмотреть все главы
Фундаментальные тождества
Подтверждение личности
Решение тригонометрических уравнений
Тождества суммы и разности
Идентичности с двойным углом
Полуугольные тождества
Произведения, суммы, линейные комбинации и приложения
Пред.
Следующий
Sin Squared x формула — GeeksforGeeks
Слово «тригонометрия» происходит от двух греческих слов: «trigon», означающее «треугольник», и «metron», означающее «измерять». Проще говоря, тригонометрия означает «измерение треугольников». Итак, мы можем сказать, что тригонометрия — это раздел математики, который занимается измерением сторон и углов треугольника и задачами, связанными с углами.
Синус в квадрате x формула
Согласно более общему определению, угол определяется как «количество оборотов, которые совершает линия, вращаясь вокруг одного из своих концов при переходе из фиксированного начального положения в другое положение.
1. SIN 2 θ + COS 2 θ = 1
Деривация: Давайте рассмотрим треугольник ABC,
, SIN 2 θ + COS 2 1102.
Как известно,
Sinθ = Перпендикуляр/Гипотенуза = AB/AC
Cosθ = Основание/Гипотенуза = BC/AC
Из уравнения (i) получаем
LHS: Sin 2 θ + Cos 2 θ
(AB/AC) 2 + (BC/AC) 2 ………. (II)
AB 2 + BC 2 /AC 2
Использование теоремы Pythagorean, (H 2 = P 2 + B 2 ) ) 9
11) ) 11) ) 911) = P 2 + B 2 ) 2 + B 2 ) = P 2 + B 2 ) Здесь h = гипотенузаp = перпендикуляр
b = основание
(AC) 2 = (AB) 2 + (BC) 2
от EQ (II)
AC 2 /AC 2 = 1
Следовательно, LHS = RHS
2. Sin 2 X = 1 – Cos2X/2
Вывод: Мы изучили некоторые тригонометрические тождества, одно из них
Cos(A + B) = CosACos2 Let us SinASinB
3
4 рассматривал и A, и B как X,
Теперь это стало
Cos(X+X) = CosXCosX – SinXSinX
Cos2X = Cos 2 x – Sin 2 X ……….
Ранее мы изучали, Sin 2 x + Cos 2 x = 1
Итак, из приведенного выше уравнения: Cos 2 x = 1 — SIN 2 x
Теперь, уравнение (1)
COS2X = 1 — SIN 2 X — SIN 2 X
COS2X = 1 — 2SIN2X
— 2SIN 2 x = Cos2x – 1
Sin 2 x = 1 – Cos2x/2
Отсюда получено.
Проблемы выборки
Вопрос 1: Решите уравнение: 4COS 2 x + 6sin 2 x = 5
Решение:
.0070 2 x + 6sin 2 x = 5
Как мы знаем SIN 2 θ + COS 2 θ = 1
4 (1 — SIN 2 x) + 6 SIN 2 x = SIN 5
4 — 4 SIN 2 X + 6 SIN 2 X = 5
2SIN 2 X = 1
SIN 2 X = 1/2
SINX = 1/√2
x = sin -1 1/√2
x = π/4
Вопрос 2: Решите уравнение: 2Sin 2 x + Sin 2 2x = 2
Solution:
The given equation is 2Sin 2 x + Sin 2 2x = 2
2Sin 2 x + (2SinxCosx) 2 = 2
2sin 2 x + 4sin 2 XCOS 2 x = 2
Мы видим ранее, SIN 2 x = 1 — COS2X/2
2 (1 — COS2X) + 4SIN 2 XCOS 2 (1 — COS2X) + 4SIN 2 11111.
2Cos 2 х(-1 + 2Sin 2 х) = 0
Случай 1: 2COS 2 x = 0
COS 2 X = 0
COS X = 0
x = π/2
Случай 2: -1 + 2SIN 2 x = 0
2sin 2 x = 1
SIN 2 x = 1/2
SINX = 1/√2
x = sin -1 1/√2
x = π/ 4
Вопрос 3: Решите уравнение: 2Cos 2 x – 5Sinx + 1 = 0
Решение:
Данное уравнение имеет вид 2Cos 2 x – 5Sinx + 1 = 0
2(1 – Sin 2 x) – 5Sinx + 1 = 0
2-2Sin 2 900 1 = 0
2Sin 2 x + 5Sinx – 3 = 0
2Sin2x + 6Sinx – Sinx – 3 = 0
2Sinx(Sinx + 3) – 1(Sinx 2 – 2 0 900) ) + (Sinx – 3) = 0
Случай 1: 2Sinx – 1 = 0
2Sinx = 1
Sinx = 1/2
x = π/6
Случай 2: Sinx – 3 = 0
Sinx = 3
Невозможно.
Вопрос 4: Решите уравнение: Cot 2 α + 3/Sinα + 3 = 0
Решение:
Данное уравнение = Cot 2/α3 1
0 0COS 2 α/sin 2 α + 3/sinx + 3 = 0
COS 2 x + 3SINX + 3SIN 2 x = 0
1 — SIN 2 X + 3SINX +. 3Sin 2 x = 0
2sin 2 x + 3sinx + 1 = 0
2sin 2 x + 2sinx + sinx + 1 = 0
2sinx (sinx + 1) + 1 (sinx + 1) = = = = = = 0
2sinx (sinx + 1) + 1 (sinx + 1) = 0
Случай 1: sinx + 1 = 0
sinx = -1
x = -π/2
Случай 2: 2Sinx + 1 = 0
sinx = -1/2
x = -70sin 90 -1 1/2
x = -π/6
Вопрос 5. Решите уравнение: Cosx – Sinx = 1/√2
Решение:
Данным уравнением является Cosx – Sinx = 1/√2
Возведение обеих сторон в квадрат,
(Cosx – Sinx) 2 = (1/√2) 2
Sin 2 x 2 x 2 x 0002 2 x – 2SinxCosx = 1/2
(1) – sin2x = 1/2
Sin2x = 1/2
2x = π/6
x = π/12
3 , полуугол и формулы приведения
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 1525
- OpenStax
- OpenStax
Цели обучения
- Использование формул двойного угла для нахождения точных значений
- Использовать формулы двойного угла для проверки тождества
- Использование формул сокращения для упрощения выражения
- Используйте формулы половинного угла, чтобы найти точные значения
Велосипедные рампы, сделанные для соревнований (см.
Рисунок \(\PageIndex{1}\): Велосипедные рампы для опытных райдеров имеют более крутой наклон, чем для новичков.Использование формул двойного угла для нахождения точных значений
В предыдущем разделе мы использовали формулы сложения и вычитания для тригонометрических функций. Теперь еще раз взглянем на те же формулы. Формулы двойного угла являются частным случаем формул суммы, где \(\alpha=\beta\). Вывод формулы двойного угла для синуса начинается с формулы суммы
\[\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta\]
Если мы позволим \(\alpha=\beta=\theta\), то у нас есть
\[\begin{align*} \sin(\theta+\theta)&= \sin \theta \cos \theta+\cos \theta \sin \theta\\[4pt] \sin(2\theta) &= 2\sin \theta \cos \theta \end{align*}\]
Получение двойного угла для косинуса дает нам три варианта.
Как: Зная тангенс угла и квадрант, в котором он расположен, используйте формулы двойного угла, чтобы найти точное значение
- Нарисуйте треугольник для отражения данная информация.
- Определите правильную формулу двойного угла.
- Подставьте значения в формулу на основе треугольника.
- Упростить.
Пример \(\PageIndex{1}\): использование формулы двойного угла для нахождения точного значения, включающего тангенс
Учитывая, что \(\tan \theta=−\dfrac{3}{4}\) и \(\theta\) находится в квадранте II, найдите следующее:
- \(\sin(2\theta) \)
- \(\cos(2\тета)\)
- \(\загар(2\тета)\)
Решение
Если мы нарисуем треугольник, отражающий предоставленную информацию, мы сможем найти значения, необходимые для решения задач на изображении.
Теперь мы можем нарисовать треугольник, подобный показанному на рисунке \(\PageIndex{2}\).
Рисунок \(\PageIndex{2}\)
- Начнем с записи формулы двойного угла для синуса.
\(\sin(2\theta)=2 \sin \theta \cos \theta\)
Мы видим, что нам нужно найти \(\sin \theta\) и \(\cos \theta\). На основании рисунка \(\PageIndex{2}\) мы видим, что гипотенуза равна \(5\), поэтому \(\sin θ=35\), \(\sin θ=35\) и \(\ cos θ=−45\). Подставьте эти значения в уравнение и упростите. 92}\\[4pt]
&= \dfrac{-\dfrac{3}{2}}{1-\dfrac{9}{16}}\\[4pt]
&= -\dfrac{3}{ 2}\left(\dfrac{16}{7}\right)\\[4pt]
&= -\dfrac{24}{7}
\end{align*}\]Упражнение \(\PageIndex{1}\)
Учитывая \(\sin \alpha=\dfrac{5}{8}\), с \(\theta\) в квадранте I, найдите \(\cos( 2\альфа)\).
- Ответить
\(\cos(2\alpha)=\dfrac{7}{32}\)
Пример \(\PageIndex{2}\): использование формулы двойного угла для косинуса без точных значений 92 3x \end{align*}\]
Анализ
Этот пример показывает, что мы можем использовать формулу двойного угла, не имея точных значений. Он подчеркивает, что шаблон — это то, что нам нужно помнить, и что тождества верны для всех значений в области определения тригонометрической функции.
Использование формул двойного угла для проверки тождественности
Установление тождества с использованием формул двойного угла выполняется с использованием тех же шагов, которые мы использовали для получения формул суммы и разности. Выберите более сложную часть уравнения и перепишите ее, пока она не совпадет с другой стороной. 92 \theta}{\tan \theta}}\\[4pt] &= \dfrac{2}{\cot \theta-\tan \theta} \qquad \text {Используйте взаимное тождество для } \dfrac{1}{ \tan \theta} \end{align*}\]
Анализ
Вот случай, когда более сложная часть исходного уравнения оказалась справа, но мы решили работать с левой частью.
92 \тета\)Использование формул приведения для упрощения выражения
Формулы двойного угла можно использовать для получения формул приведения, которые являются формулами, которые мы можем использовать для уменьшения мощности данного выражения, включающего четные степени синуса или косинуса. Они позволяют нам переписать четные степени синуса или косинуса в терминах первой степени косинуса. Эти формулы особенно важны в курсах математики более высокого уровня, в частности исчисления. Также называемые формулами уменьшения степени, включены три тождества, которые легко выводятся из формул двойного угла. 92 x\\[4pt]
&= \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2} \cos(2x)+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8} \cos(4x)\\[4pt]
&= \dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2} \cos(2x)+\dfrac{1}{8} \cos(4x)
\end{align*}\]Анализ
Решение находится с помощью формулы редукции дважды, как уже отмечалось, и формулы полного квадрата из алгебры.
Использование формул половинного угла для нахождения точных значений
Следующий набор тождеств — это набор из формул половинного угла , которые могут быть получены из формул приведения, и мы можем использовать их, когда имеем угол, равный половине размер специального угла. Если мы заменим \(\theta\) на \(\dfrac{\alpha}{2}\), формула половинного угла для синуса будет найдена путем упрощения уравнения и решения для \(\sin\left(\dfrac{ \alpha}{2}\right)\). Обратите внимание, что формулам половинного угла предшествует знак \(\pm\) . Это не означает, что допустимы как положительные, так и отрицательные выражения. Скорее, это зависит от квадранта, в котором заканчивается \(\dfrac{\alpha}{2}\) .
ФОРМУЛЫ ПОЛУУГЛОВ
Формулы для полууглов следующие:
\[\begin{ выравнивание} \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)&=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}} \label{halfsine} \\[4pt] \cos \left(\dfrac{\alpha}{2} \right) &=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{2}} \\[4pt] \tan\left(\dfrac {\alpha}{2}\right) &=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} =\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos \alpha} =\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\end{align}\] 9{\circ}}{2}}\\[4pt]
&= \sqrt{\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}\\[4pt]
&= \ sqrt {\ dfrac {\ dfrac {2- \ sqrt {3}} {2}} {2}} \\ [4pt]
&= \ sqrt {\ dfrac {2- \ sqrt {3}} {4} }\\[4pt]
&= \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}
\end{align*}\]Помните, что мы можем проверить ответ с помощью графического калькулятора.
Анализ
Обратите внимание, что мы использовали только положительный корень, потому что \(\sin(15°)\) положительно.
Практическое руководство: Зная тангенс угла и квадрант, в котором находится угол, найдите точные значения тригонометрических функций половины угла.
- Нарисуйте треугольник для представления данной информации.
- Определите правильную формулу половинного угла.
- Подставьте значения в формулу на основе треугольника.
- Упростить.
Пример \(\PageIndex{8}\): поиск точных значений с использованием тождеств половинного угла
квадрант III, найдите точное значение следующего:
- \(\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\)
- \(\cos\влево(\dfrac{\alpha}{2}\вправо)\)
- \(\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\)
Решение
Используя данную информацию, мы можем нарисовать треугольник, показанный на рисунке \(\PageIndex{3}\).
Рисунок \(\PageIndex{3}\)
- Прежде чем мы начнем, мы должны помнить, что если \(α\) находится в квадранте III, то \(180°<\alpha<270°\), поэтому \(\ dfrac{180°}{2}<\dfrac{\alpha}{2}<\dfrac{270°}{2}\). Это означает, что конечная сторона \(\dfrac{\alpha}{2}\) находится в квадранте II, так как \(90°<\dfrac{\alpha}{2}<135°\). Чтобы найти \(\sin \dfrac{\alpha}{2}\), начнем с записи формулы половинного угла для синуса. Затем мы подставляем значение косинуса, которое мы нашли из треугольника на рисунке \(\PageIndex{3}\), и упрощаем. \[\begin{align*} \sin \dfrac{\alpha}{2}&= \pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{2}}\\[4pt] &= \pm \ sqrt{\dfrac{1-(-\dfrac{15}{17})}{2}}\\[4pt] &= \pm \sqrt{\dfrac{\dfrac{32}{17}}{2} }\\[4pt] &= \pm \sqrt{\dfrac{32}{17}\cdot \dfrac{1}{2}}\\[4pt] &= \pm \sqrt{\dfrac{16}{ 17}}\\[4pt] &= \pm \dfrac{4}{\sqrt{17}}\\[4pt] &= \dfrac{4\sqrt{17}}{17} \end{align*} \] Мы выбираем положительное значение \(\sin \dfrac{\alpha}{2}\) , потому что угол заканчивается в квадранте II, а синус положителен в квадранте II.
- Чтобы найти \(\cos \dfrac{\alpha}{2}\), мы напишем формулу половинного угла для косинуса, подставим значение косинуса, которое мы нашли из треугольника на рисунке \(\PageIndex{3} \) и упростить. \[\begin{align*} \cos \dfrac{\alpha}{2}&= \pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{2}}\\[4pt] &= \pm \ sqrt{\dfrac{1+\left(-\dfrac{15}{17}\right)}{2}}\\[4pt] &= \pm \sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{17} {2}}\\[4pt] &= \pm \sqrt{\dfrac{2}{17}\cdot \dfrac{1}{2}}\\[4pt] &= \pm \sqrt{\dfrac {1}{17}}\\[4pt] &= -\dfrac{\sqrt{17}}{17} \end{align*}\] Мы выбираем отрицательное значение \(\cos \dfrac{\alpha {2}\) , потому что угол находится в квадранте II, потому что косинус отрицателен в квадранте II.
- Чтобы найти \(\tan \dfrac{\alpha}{2}\), запишем формулу половинного угла для тангенса. Снова подставляем значение косинуса, которое мы нашли из треугольника на рисунке \(\PageIndex{3}\), и упрощаем. \[\begin{align*} \tan \dfrac{\alpha}{2}&= \pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}\\[4pt] &= \pm \sqrt{\dfrac{1-\left(-\dfrac{15}{17}\right)}{1+\left(-\dfrac{15}{17}\right)}}\\ [4pt] &= \pm \sqrt{\dfrac{\dfrac{32}{17}}{\dfrac{2}{17}}}\\[4pt] &= \pm \sqrt{\dfrac{32} {2}}\\[4pt] &= -\sqrt{16}\\[4pt] &= -4 \end{align*}\] Мы выбираем отрицательное значение \(\tan \dfrac{\alpha} {2}\) потому что \(\dfrac{\alpha}{2}\) лежит в квадранте II, а тангенс отрицателен в квадранте II.
Упражнение \(\PageIndex{5}\)
Учитывая, что \(\sin \alpha=−\dfrac{4}{5}\) and \(\alpha\) лежит в квадранте IV, найдите точное значение из \(\cos \left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\).
- Ответ
\(-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)
Пример \(\PageIndex{9}\): нахождение измерения половинного угла
Теперь вернемся к задаче, поставленной в начале раздела. Велосипедная рампа сконструирована для соревнований высокого уровня с углом \(θ\) , образованным рампой и землей. Еще одна рампа должна быть построена вполовину меньшей крутизны для соревнований новичков. Если \(tan θ=53\) для соревнований более высокого уровня, каково измерение угла для соревнований новичков? 92&=34\\[4pt] c&=\sqrt{34} \end{align*}\]
Рисунок \(\PageIndex{4}\)Мы видим, что \(\cos \theta=\dfrac{3} {\ sqrt {34}} = \ dfrac {3 \ sqrt {34}} {34} \). Мы можем использовать формулу половинного угла для тангенса: Поскольку \(\tan \theta\) находится в первом квадранте, то и \(\tan \dfrac{\theta}{2}\).
\[\begin{align*}
\tan \dfrac{\theta}{2}&= \sqrt{\dfrac{1-\dfrac{3\sqrt{34}}{34}}{1+\ dfrac{3\sqrt{34}}{34}}}\\[4pt]
&= \sqrt{\dfrac{\dfrac{34-3\sqrt{34}}}{34}}{\dfrac{34+ 3\sqrt{34}}{34}}}\\[4pt] 9{−1}(0,57)≈29,7°\). Таким образом, угол рампы для соревнований новичков равен \(≈29,7°\).Медиа
Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с формулами двойного угла, половинного угла и сокращения.
- Двухугольные тождества
- Полуугольные тождества
Ключевые уравнения
Формулы двойного угла \(\sin(2\theta)=2\sin \theta \cos \theta\) 92 \тета=\dfrac{1−\cos(2\theta)}{1+\cos(2\theta)}\)
Формулы полууглов \(\sin \dfrac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1−\cos \alpha}{2}}\)
\(\cos \dfrac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{2}}\)
\(\tan \dfrac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1−\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}\)
\(=\dfrac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}\)
\(=\dfrac{1−\cos \alpha}{\sin \alpha}\)
Ключевые понятия
- Тождества двойных углов получаются из формул суммы основных тригонометрических функций: синуса, косинуса и тангенса.
- Формулы редукции особенно полезны в математических вычислениях, поскольку они позволяют уменьшить мощность тригонометрического члена. См. Пример \(\PageIndex{5}\) и Пример \(\PageIndex{6}\).
- Формулы половинного угла позволяют нам найти значение тригонометрических функций, содержащих половинные углы, независимо от того, известен исходный угол или нет. См. Пример \(\PageIndex{7}\), Пример \(\PageIndex{8}\) и Пример \(\PageIndex{9}\).
Эта страница под названием 9.3: Формулы двойного угла, половинного угла и сокращения распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформа LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или страница
- Автор
- ОпенСтакс
- Лицензия
- СС BY
- Версия лицензии
- 4,0
- Программа ООР или издатель
- ОпенСтакс
- Показать страницу Оглавление
- нет
- Метки
- формулы двойного угла
- формула половинного угла
- формулы половинного угла
- Теорема Пифагора
- формулы приведения
- источник@https://openstax.
Вывод, двойной угол и примеры
Формула Sin2x: 2sinx cosx. Формула sin2x — это формула двойного угла, используемая для решения синуса в тригонометрии. Используя эту формулу двойного угла, мы можем вычислить значение тригонометрической функции , угол которой удвоен. Формула двойного угла состоит из тригонометрические формулы , такие как Sin2x, Cos 2x, Tan 2x. Эти формулы являются наиболее важной частью тригонометрии, поскольку они широко используются в науке. В этой статье мы рассмотрим формулу и вывод Sin2x вместе с некоторыми примерами.
SIN2X = 2 SINX COSX Читать также: SIN COS Значения
9000 2 9000 2 9000 2 9000 2
.
- Sin2x Formula
- Derivation of Sin2x
- Examples of Sin2x Formula
- Things to Remember
- Sample Questions
Key Takeaways: Sin2x, Формула Sin2x, тригонометрические отношения, тригонометрические формулы, функция двойного угла
Формула Sin2x
[Нажмите здесь, чтобы просмотреть примеры вопросов]
Формула Sin2x — одна из формул двойного угла, используемая для нахождения синуса угла. Формула Sin2x используется для нахождения синуса угла, значение которого удваивается. Он представлен формулой
Sin2x = 2sinx cosx
Sin является одним из основных тригонометрических соотношений. В прямоугольном треугольнике есть три стороны: гипотенуза, перпендикуляр и смежная сторона.
Следовательно, соотношение синуса или греха определяется,
sin = \ (\ frac {противоположная сторона} {hypotenuse} \)
Sinx и Sin2x
также читайте:
Вывод Sin2x
[Нажмите здесь, чтобы просмотреть примеры вопросов]
Формула sin2x: Sin2x = 2sinxcosx. Следовательно, значение sin для двойного угла представляет собой произведение sin и cos со значениями одиночного угла.
По формуле суммы углов sin мы знаем, что
Sin (a + b) = Sin a Cos b + Cos a Sin b
Где a и b – углы.
Поскольку Sin2x — это формула двойного угла, где один угол умножается сам на себя, мы можем заменить «a» и «b» на «x», что дает нам
Sin (x + x) = Sin x Cos x + Cos x Sin x
При переписывании
Sin (2x) = 2Sin x Cos x
Отсюда доказано.
Также проверьте: Применение тригонометрии
Примеры формулы Sin2x
[Нажмите здесь, чтобы просмотреть примеры вопросов]
Ответ: При подстановке значения получаем
2sinx sin2x = 2sinx 2sinx cosx
2sinx sin2x = 4sin2xcosx
тета\) + cos2\(\тета\) = 1,
Получаем,
2sinx sin2x = 4(cos2x) Cos x
2sinx sin2x = 4cosx-4cos3x
Пример 2: Найдите значение степени sin90. Используйте формулу двойного угла.
Ответ: Мы знаем формулу двойного угла sin, которая является формулой sin2x как 2sinxcosx
Чтобы найти значение sin90 градусов, мы должны использовать эту формулу. Найдя правильное значение x, можно найти значение sin90 градусов.
2x = 90 градусов
X = 90°/2
X=45°
Теперь мы получили значение x.
Sin (2x 45°) = 2sin45° cos45°
Мы знаем, что sin45° = 1/√2 и cos 45° = 1/√2 используя эти значения получаем
⇒Sin90°=2×1/√2 x 1/√2
sin90° = 1
Следовательно, требуемое значение sin90° равно 1
Проверьте тригонометрические функции2842
Что следует помнить
Ниже приведены некоторые моменты, которые следует уяснить читателям:
- Тригонометрия – наиболее важный и интересный раздел математики.
- Тригонометрия — раздел математики. Изучает взаимосвязь между сторонами и углами треугольника.
- Тригонометрия содержит множество формул, уравнений и теорем, которые очень полезны при решении задач интегрирования .
- Тригонометрические формулы также широко используются в науке.
- Формулы, используемые в тригонометрии, также известны как формулы двойного угла.
- Существует шесть видов тригонометрических формул или формул двойного угла. Шесть видов тригонометрических формул двойного угла следующие: Sin2x, Cos x, tan 2x, cot 2x, sec 2x и cosec 2x.
Примеры вопросов
Вопросы: Укажите формулу sin2x 2sinx. [2 балла]
Ответ: Здесь нам нужно найти значение 2sinx sin2x. Как мы знаем, sin2x = 2sinxcosx.
Используя эту формулу в данном выражении, мы получаем,
2sinx 2sinxcosx
=4sin2xcosx
Следовательно, это требуемый результат.
Вопрос: Найдите значение Sin 75 sin 15. [2 балла]
Ответ: Из данного утверждения
Sin 75 Sin 15 = Sin (90-15) Sin 15
CosSin 15 ….(от cos x = sin (90-x))
→ ½ sin 30 (от sin 2x = 2sinx cosx)
→ ½ x ½ (поскольку sin 30 = ½ )
= ¼
Вопрос: Найдите значение Sin 90.
Ответ: Мы знаем, что Sin2x = 2 sinx cosx
. sin 45 cos 45
sin 90 = 2 sin 45 cos 45
sin 90 = 2 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)\(\frac{1}{\sqrt{2}} \)
Sin 90 =1
Вопросы: Объясните формулу cos 2x. [2 балла]
Ответ: Доказательство формулы sin2x упрощает доказательство формулы cos2x. Мы знаем формулу суммы углов cos as-
Cos (a + b) = cos a. cos б – грех а. sin b
Где a и b расположены под углом.
Теперь замените a и b на x. мы получим
Cos (x + x) = cos x cos x- sin x sin x
Что дает нам
Cos2x = cos2x – sin2x
Это требуемая формула cos2x.
Вопрос: Что такое тригонометрия и ее тождества? [2 балла]
Ответ: Тригонометрия – это изучение соотношений между углами и сторонами прямоугольного треугольника. Его придумал греческий математик Гиппарх.
Однако тригонометрическое тождество — это уравнение, которое всегда верно для всех прямоугольных треугольников; это полезно для решения тригонометрических выражений.
θ = 1 ……….(i)
.(1) 
2 х = 2
рисунок \(\PageIndex{1}\)) должны различаться по высоте в зависимости от уровня навыков участников. Для продвинутых участников угол, образованный рампой и землей, должен быть \(\theta\) таким, что \(\tan \theta=\dfrac{5}{3}\). Угол делится пополам для новичков. Какая крутизна пандуса для новичков? В этом разделе мы исследуем три дополнительные категории тождеств, которые мы можем использовать, чтобы ответить на такие вопросы, как этот.
Во-первых, исходя из формулы суммы \(\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta−\sin \alpha \sin \beta\), и пусть \(\alpha=\beta=\ тета\), у нас есть 92\theta} \end{align}\]
Нам даны \(\tan \theta=−\dfrac{3}{4}\), такие что \(\theta\) находится в квадранте II. Тангенс угла равен противолежащей стороне относительно прилежащей стороны, а поскольку \(\theta\) находится во втором квадранте, прилежащая сторона находится на 92\\[4pt] c&= 5 \end{align*}\]
Однако, если бы мы выбрали для перезаписи левую часть, мы бы работали в обратном направлении, чтобы получить эквивалентность. Например, предположим, что мы хотели показать
3(2x)=\left[ \dfrac {1}{2} \sin(2x) \right] [ 1−\cos(4x) \) 92 x\\[4pt] &= \dfrac{10}{4}+\dfrac{10}{2} \cos(2x)+\dfrac{10}{8}+\dfrac{10}{8}\ cos(4x)\\[4pt] &= \dfrac{30}{8}+5\cos(2x)+\dfrac{10}{8}\cos(4x)\\[4pt] &= \dfrac{ 15}{4}+5\cos(2x)+\dfrac{5}{4}\cos(4x) \end{align*}\]
92\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)&= \dfrac{1-\cos\left(2\cdot \dfrac{\alpha}{2}\right)}{1+\cos\ влево (2\cdot \dfrac{\alpha}{2}\right)}\\[4pt] \tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)&= \pm \sqrt{\dfrac{ 1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} \end{align*}\]
Используя теорему Пифагора, мы находим, что гипотенуза равна 17. Следовательно, мы можем вычислить {17}\).
См. Пример \(\PageIndex{1}\), Пример \(\PageIndex{2}\), Пример \(\PageIndex{3}\) и Пример \(\PageIndex{4}\).
org/details/books/precalculus
0004
Гипотенуза — наибольшая сторона прямоугольного треугольника; сторона, противоположная углу, является противоположной стороной и называется перпендикуляром. Сторона, на которую опирается гипотенуза и перпендикуляр, называется прилежащей стороной.
Подставим значение в формулу sin2x