Sin cos tg ctg таблица окружность: Синус и косинус. Тангенс и котангенс — урок. Алгебра, 10 класс.

Содержание

Таблица из числа в синус и косинус – dj-sensor.ru

Калькулятор поможет рассчитать точные значения тригонометрических функций sin, cos, tg и ctg для различных значений углов в градусах или радианах.

На данной странице таблица Брадиса, которая дает значение sin, cos, tg, ctg любого острого угла, содержащего целое число градусов и десятых долей градуса. Для нахождения значения угла берется число на пересечении строки, которое соответствует числу градусов и столбца, которое соответствует числу минут. Например, sin 70°30′ = 0.9426.

Значения косинуса графически могут быть отображены в виде тригонометрической окружности, на которой угол α образует с осью прямоугольный треугольник. Из этого треугольника, спроецировав точку пересечения угла α с окружностью на ось синуса или косинуса, можно получить его приближенное значение.

Также тригонометрическая окружность показывает знак синуса и косинуса для каждого раскрытия угла α . Поскольку угол начинает раскрываться с правой стороны по оси косинусов, то значения косинуса угла α от 0° до 90° – положительны, так находятся правее нулевой точки отсчета. Угол α от 90° до 270° дает отрицательные значения косинусу, так как точка пересечения его с окружностью расположена левее оси синуса, то есть нуля. Косинус углов от 270° до 360° вновь становится положительным. Точные значения косинусов всех углов от 0° до 360° можно узнать из таблицы косинусов, приведенной ниже.

В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90. 360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

Читайте также: Тестовое задание middle php

sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 0 0 = 0, котангенс от 0 0 будет неопределенным
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0,тангенс от 90 0 будет неопределенным

Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3 , ctg 60 0 = √3/3

Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы:

Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 0 0 +360 0 *z . 330 0 +360 0 *z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Найдем по таблице.

Для более поиска тригонометрических значений углов с точностью до минут используются таблицы Брадиса. Подробная инструкция как ими пользоваться на странице по ссылке.

Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса – которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

Читайте также: 1С как ограничить список выбора

Синус и косинус

tg угла начиная с 0 0 заканчивая 76 0 , ctg угла начиная с 14 0 заканчивая 90 0 .

tg до 90 0 и ctg малых углов.

Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.

Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.

При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 – 0,0003 = 0,3054

При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 20 0 = 0.9397

Значения tg угла до 90 0 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 78 0 37мин = 4,967

а ctg 20 0 13мин = 25,83

Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Автор: Мария Сухоруких

ТРИГОНОМЕТРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ, элементарные функции синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Обозначаются соответственно $\sin x$, $\cos x$, $\text{tg}\, x$, $\text{ctg}\, x$, $\sec x$, $\text{cosec}\, x$. Используются и др. обозначения, напр. $\tan x$, $\cot x$, $\text{cotg}\,x$, $\text{ctn}\,x$.

Пусть $A$ – точка окружности единичного радиуса с центром в начале координат и $α$ – угол между осью абсцисс и вектором $OA$, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс (рис. 1). При этом если отсчёт ведётся против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной. Если ($x_α$,$y_α$) – декартовы прямоугольные координаты точки $A$, то Т. ф. синус и косинус определяются как $$\sin α=y_α,\,\,\cos α=x_α,$$ Остальные Т. ф. определяются равенствами$$\text{tg}\,α=\frac{\sin α}{\cos α},\,\text{ctg}\,α=\frac{\cos α}{\sin α},\\ \text{sec}\,α=\frac{α}{\cos α},\,\,\text{cosec}\,α=\frac{1}{\sin α}.$$

Угол может измеряться как в (угловых) градусах, так и в радианах и изменяется от $–∞$ до $+∞$. Чаще используется радианное измерение, при этом обозначение радиан опускается и Т. ф. считаются функциями числового аргумента. При радианном измерении считается, что α есть взятая с соответствующим знаком длина дуги единичной окружности, соединяющей точки (1, 0) и $A$, при этом допускается, что эта дуга, прежде чем закончиться в точке $A$, может неск. раз наматываться на окружность. Точку $A$ называют ещё точкой $α$, при этом нужно иметь в виду, что числам $α$ и $α+2kπ$, $k=0,±1,±2,…,$ соответствует одна и та же точка единичной окружности. Иногда точки этой окружности делят на четверти, при этом в I четверти окружности находятся точки, для которых $2kπ < α < 2kπ+π/2$, во II четверти – точки, для которых $2kπ+π/2 < α < 2kπ+π,$ в III четверти – точки, для которых $2kπ+π < α < 2kπ+3π/2$, в IV четверти – точки, для которых $2kπ+3π/2 < α < 2kπ+2π$, $k=0,±1,±2,. ..$.

Для углов, величины которых лежат между 0 и $π/2$, значения Т. ф. можно определять как отношения сторон прямоугольного треугольника. На рис. 2 показан прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$. Для угла $α$, противолежащего катету $a$, справедливы равенства $$\sin α=a/c,\,\cos α=b/c,\,\text{tg}\,α=a/b,\\ \text{ctg}\,α=b/a,\,\text{sec}\,α=c/b,\,\text{cosec}\,α=c/a.$$

На рис. 3 показано представление Т. ф. как отрезков, связанных с единичной окружностью:$$\sin α=AB,\,\cos α=OB,\,\text{tg}\,α=CD,\\ \text{ctg}\,α=EF, \text{sec}\,α=OC,\,\text{cosec}\,α=OF$$ (римские цифры I–IV на рис. 3 обозначают четверти единичной окружности). С этими отрезками связано происхождение названий Т. ф. Так, лат. слово «tangens» означает касающийся ($\text{tg}\,α$ изображается отрезком $CD$ касательной к окружности), «secans» – секущая ($\text{sec}\,α$ изображается отрезком $OC$ секущей к окружности. Назв. «синус» (лат. sinus – пазуха) – перевод араб. слова «джайб», являющегося, по-видимому, искажением санскр. слова «джива» (букв. – тетива лука), которым инд. математики обозначали синус ($\sin α$ изображается отрезком $AB$). Названия «косинус», «котангенс», «косеканс» происходят от сокр. слова «complementi» (дополнение). Напр., «косинус» – от «complementi sinus» (синус дополнения). Это связано с тем, что $\cos α$, $\text{ctg}\,α$, $\text{cosec}\,α$ равны соответственно синусу, тангенсу и секансу аргумента, дополняющего $α$ до $π/2$: $$\cos α=\sin(π/2-α),\,\text{ctg}\,α=\text{tg}\,(π/2-α),\\ \text{cosec}\,α=\sec(π/2-α).$$

Т. ф. sinα и cosα определены при всех действительных α, множество значений этих функций – отрезок [–1, 1]. Функция $\text{tg}\,α$ определена при всех действительных α таких, что $α≠π/2+kπ$, $k=0,±1,±2,…$. Функция $\text{ctg}\,α$ определена при всех действительных α таких, что $α≠kπ$, $k=0,±1,±2,…$. Множеством значений функций тангенс и котангенс является множество всех действительных чисел.

Все Т. ф. являются периодич. функциями. Наименьший положительный период функций синус и косинус равен $2π$, т. е. для любого действительного $α$ $$\sin(α+2π)=\sin α,\,\cos(α+2π)=cos α,$$наименьший положительный период функций тангенс и котангенс равен $π$, т. е. для любого $α$ из областей их определения$$\text{tg}(α+π)=\text{tg} α,\,\text{ctg}(α+π)=\text{ctg} α.$$ График функции синус см. в ст. Синусоида, график функции косинус получается сдвигом синусоиды влево на величину $π/2$. График функции тангенс – тангенсоида – приведён на рис. 4, график функции котангенс приведён на рис. 5, он получается зеркальным отражением тангенсоиды относительно оси абсцисс и сдвигом влево на $π/2$. Функция $\sin α$ положительна в I и II четвертях единичной окружности, в др. четвертях она отрицательна. Функция $\cos α$ положительна в I и IV четвертях, в др. четвертях она отрицательна. Функции $\text{tg} α$ и $\text{ctg} α$ положительны в I и III четвертях, в др. четвертях они отрицательны. Функция $\sin α$ возрастает в I и IV четвертях, в др. четвертях она убывает. Функция $\cos α$ возрастает в III и IV четвертях, в др. четвертях она убывает. Функция $\text{tg}\,α$ возрастает во всех интервалах, где она определена. Функция $\text{ctg}\,α$ убывает во всех интервалах, где она определена.

Значения Т. ф. любого аргумента можно выразить через Т. ф. аргумента, лежащего в I четверти. Для этого нужно исходный аргумент представить в виде $2kπ+β$, где $0 ⩽ β < 2π$, а $k$ – целое число, и воспользоваться равенством $f(2kπ+β)=f(β)$, где $f$ – любая из Т. ф. Затем, если $β$ не лежит в I четверти, нужно воспользоваться формулами приведения, которые дают значения Т. ф. аргумента $β$, $π/2 < β < 2π$, через значения Т. ф. аргумента $α$, $0 < α < π/2$. Эти формулы даны в таблице:

$β$	$\sin β$	$\cos β$	$\text{tg}\,β$	$\text{ctg}\,β$
$π/2-α$	$\cos α$	$\sin α$	$\text{ctg}\,α$	$\text{tg}\,α$
$π/2+α$	$\cos α$	$-\sin α$	$-\text{ctg}\,α$	$-\text{tg}\,α$
$π-α$	$\sin α$	$-\cos α$	$-\text{tg}\,α$	$\text{ctg}\,α$
$π+α$	$-\sin α$	$-\sin α$	$\text{ctg}\,α$	$\text{tg}\,α$
$3π/2-α$	$-\cos α$	$\sin α$	$-\text{ctg}\,α$	$-\text{tg}\,α$
$2π-α$	$-\sin α$	$\cos α$	$-\text{tg}\,α$	$-\text{ctg}\,α$

Для некоторых значений аргумента значения Т. ф. можно найти из геометрич. соображений. Так, $$\sin 0 = \cos \frac{π}{2} = \text{tg}\,0=0,$$ $\text{ctg}\,0$ не существует;$$\sin\frac{π}{6}=\cos\frac{π}{3}=\frac{1}{2};\\ \text{tg}\,\frac{π}{6}=\text{ctg}\,\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0,5774;\\ \sin\frac{π}{4}=\cos\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,7071,\\ \text{tg}\, \frac{π}{4}=\text{ctg}\,\frac{π}{4}=1;\\ \sin\frac{π}{3}=\cos\frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660,\\ \text{tg}\,\frac{π}{3}=\cos\frac{π}{6}=\sqrt{3}\approx 1,7322;\\ \sin\frac{π}{2}=\cos 0=1,\,\, \text{ctg}\,\frac{π}{2}=0,$$ $\text{tg}\,\frac{π}{2}$ не существует.

Наиболее важные соотношения между Т. ф. одного аргумента: $$\sin^2α+\cos^2α=1,\,\,\text{tg}\,α\,\text{ctg}\,α=1;\\ 1+\text{tg}^2\,α=\frac{1}{\cos^2α},\,\,1+\text{ctg}^2α=\frac{1}{\sin^2α}. n\arcsin a+kπ,\\ α=±\arccos a+2kπ,\,k=0,±1,±2,…\,.$$ Решения уравнений $\text{tg}\,α=a$, $\text{ctg}\,α=a$ для любого действительного $a$ суть $$α=\text{arctg}\,a+kπ,\,α=\text{arcctg}\,a+kπ,\,k=0,±1,±2,…\,.$$

Т. ф. появились в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся, по существу, Т. ф., встречаются уже в работах математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и др. Однако эти соотношения не являются у них самостоят. объектом исследования, так что Т. ф. как таковые ими не изучались. Т. ф. рассматривались как отрезки и в таком виде применялись Аристархом Самосским, Гиппархом, Менелаем и Птолемеем при решении сферич. треугольников. Птолемей составил первую таблицу хорд для острых углов через 30´ с точностью до 10^–6. Это была первая таблица синусов. Формулы преобразования сумм Т. ф. в произведения выводились Региомонтаном и Дж. Непером в связи с изобретением последним логарифмов (1614). Региомонтан дал таблицу синусов через 1´. Разложения Т. ф. в степенные ряды получены И. Ньютоном (1669). В совр. форму теорию Т. ф. привёл Л. Эйлер (18 в.), который предложил и принятую ныне символику.

Первое свойство — знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол α . Второе свойство — периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и — α .

Точки A 1 и A 2 симметричны относительно оси абсцисс. В случае, когда α = 0 ° , ± 180 ° , ± 360 ° точки A 1 и A 2 совпадают. Пусть одна точка имеет координаты ( x , y ) , а вторая — ( x , — y ) . Вспомним определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и запишем:

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Действительно, при изменении угла на целое число оборотов мы всегда будем попадать из начальной точки A на единичной окружности в точку A 1 с одними и теми же координатами. Соответственно, не будут меняться и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R
Формулы сложения.
Тригонометрия: Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: «угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти». Что это такое?
Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A 0 ( 1 , 0 ) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α , попадем в точку A 1 ( x , y ) . В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A 1 ( x , y ) , угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно.
Для наглядности приведем иллюстрацию.

Угол α = 30 ° лежит в первой четверти. Угол — 210 ° является углом второй четверти. Угол 585 ° — угол третьей четверти. Угол — 45 ° — это угол четвертой четверти.
При этом углы ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.
Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.

Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус — это ордината точки A 1 ( x , y ) . Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной — отрицательна.
Косинус — это абсцисса точки A 1 ( x , y ) . В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.

Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс — отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки — отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям.

Синус угла α имеет знак плюс в 1 и 2 четвертях, знак минус — в 3 и 4 четвертях.

Косинус угла α имеет знак плюс в 1 и 4 четвертях, знак минус — в 2 и 3 четвертях.

Тангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус — в 2 и 4 четвертях.

Котангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус — в 2 и 4 четвертях.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
Это тема 10-11 классов.
Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!
Тригонометрические функции. Значение тригонометрических функций.
Тригонометрические функции — это периодические функции с периодами для sin, cos, sec и cosec, и для tg и ctg.
Зачастую тригонометрические функции обозначают отношением сторон прямоугольного треугольника либо длины конкретных отрезков в единичной окружности.
Прямые тригонометрические функции.
Другие тригонометрические функции.
В современном мире есть 6 базовых тригонометрических функций, которые ниже в таблице указаны вместе с уравнениями, которые связывают их.
Функция
Соотношение

Тригонометрические формулы.
Тригонометрические формулы — это самые необходимые в тригонометрии формулы, необходимые для выражения тригонометрических функций, которые выполняются при любых значениях аргумента.
Читайте также:

Еа ком фифа мобайл

Где найти большой аквариум в subnautica

Как сделать заправку в майнкрафте

Кто является главным маскотом danganronpa

Где найти шкуру сумрачного леопарда в far cry 4

Онлайн калькулятор синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Подробности
Обновлено: 18.05.2018 13:25
Опубликовано: 19.02.2018 17:22
Калькулятор онлайн вычисляет тригонометрические функции для любого значения угла α заданного в градусах: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg), секанс (sec), косеканс (cosec), версинус (синус-верзус) (versin), коверсинус (косинус-верзус) (vercos), гаверсинус (половина от синус-верзус) (haversin), экссеканс (exsec), экскосеканс (excsc).
Вычислить значения синуса и косинуса для стандартных значений углов можно с помощью
тригонометрической окружности (тригонометрического круга). Например по тригонометрическому кругу можно найти значение синуса 45 градусов, косинуса 60 градусов или косинуса 90 градусов.
Вычислить значения для тангенсов и котангенсов можно с помощью таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Например по таблице тригонометрических функций можно найти значение тангенса 60 градусов или котангенса 30 градусов.
Дано: Решение:
Значение угла α, град.
Прямые тригонометрические функции
sin(α) = синус = вычисление синуса угла
cos (α) = косинус = вычисление косинуса угла

Производные тригонометрические функции
tg (α) = тангенс = вычисление тангенса угла
сtg (α) = котангенс = вычисление котангенса угла
Прочие тригонометрические функции
sec (α) = секанс = вычисление секанса угла
cosec (α) = косеканс = вычисление косеканса угла
versin (α) = версинус = вычисление версинуса угла
vercos (α) = коверсинус = вычисление коверсинуса угла
haversin (α) = гаверсинус
= вычисление гаверсинуса угла
exsec (α) = экссеканс = вычисление экссеканса угла
excsc (α) = экскосеканс = вычисление экскосеканса угла
округление до 12345 знаков после запятой
Тригонометрические функций на единичной окружности Тригонометрический круг (тригонометрическая окружность)
Тригонометрическая таблица основных значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.

α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
sin(α) 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 -√3/2 -√2/2 -1/2 0
cos(α) 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 -√3/2 -√2/2 -1/2 0 1/2 √2/2 √3/2 1
tg(α) 0 √3/3 1 √3 — -√3 -1 -√3/3 0 √3/3 1 √3 — -√3 -1 -√3/3 0
ctg(α) — √3 1 √3/3 0 -√3/3 -1 -√3 — √3 1 √3/3 0 -√3/3 -1 -√3 —
α 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π
I. Для справки:
тригонометрические функции
— элементарные функции, которые возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

тригонометрический круг (окружность)
— единичная окружность (круг с радиусом равном единице), с центром в начале системы координат.
Основные тригонометрические функции:
синус угла α
обозначается sin(α) — отношение длины противоположного этому углу катета к гипотенузе;
косинус угла α
обозначается cos(α) — отношение прилежащего этому углу катета к гипотенузе.

Остальные тригонометрические функции можно выразить через синус и косинус:
тангенс
обозначается tg(α) — отношение длины противоположного углу катета к прилежащему катету;
котангенс
обозначается ctg(α) — отношение длины прилежащего к углу катета к противоположному катету;
секанс
обозначается sec(α) — отношение длины гипотенузы к прилежащему к углу катету;
косеканс
обозначается cosec(α) — отношение длины гипотенузы к противоположному катету.
Редко используемые тригонометрические функции:
версинус
обозначается versin(α) — единица минус косинус угла α;
коверсинус
обозначается vercos(α) — единица минус синус угла α;
гаверсинус
обозначается haversin(α) — половина версинуса угла α;
экссеканс
обозначается exsec(α) — секанс угла α минус единица;
экскосеканс
обозначается excsc(α) — косеканс угла α минус единица.
II. Примечание:
Округление результатов расчета выполняется до указанного количества знаков после запятой (по умолчанию — округление до сотых).
Блок исходных данных выделен желтым цветом, блок промежуточных вычислений выделен голубым цветом, блок решения выделен зеленым цветом.
ФорумСпециалистыО нас
Ссылка для цитирования в списке литературы:
CAE-CUBE: [Электронный ресурс]. URL: https://premierdevelopment.ru/ (дата обращения )
premierdevelopment.ru, все права защищены, 2015&nbsp-&nbsp2021
e-mail: Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Прогнозирующий результат:
I-группа — должны показать оперативность применения знаний
II-группа — должны уметь применять знания на практике, выполнять задания обязательного уровня.

Сценарий урока:
Наглядные пособия:

1. на доске таблицы:
2. на доске модель окружности с радиусом 20см и подвижным радиусом ОА
3. у каждого ученика модель окружности с R=4см и радиусом ОА
4. заготовлена таблица на доске и у ребят в тетрадях

?
30^o

45^o

60^o

90^o

180^o

0 ^o

270^o

360^o

sin
cos
tg

ctg

Класс разбит на разноуровневые группы:

в группе
— 3 ученика, которые учатся на “3”
— 2 ученика, которые учатся на “4 и 5”.
Цель урока вырабатывается вместе с учениками.

Проверка домашнего задания —

На дом было задано:
повторить из курса геометрии определение синуса, косинуса, тангенса в прямоугольном треугольнике 7 п. 62. п.67 (А. Погорелов)

значение синуса, косинуса, тангенса для 0^o, 30^o ,45^o , 60^o , 90^o .

Фронтальная проверка по вопросам
Устно.
каждой группе задаётся вопрос, ученик отвечает и заполняется заготовка таблицы значений тригонометрических функций.

вопросы
значения sin 30^o , cos 60^o , tg 45^o и т.д.

столбец для 180^o и 270^o остался пустой.

Фронтально — устно:
ответить на вопросы
что называется синусом угла в прямоугольном треугольнике

что называется косинусом угла в прямоугольном треугольнике

что называется тангенсом угла в прямоугольном треугольнике

Учитель в своих записях отмечает учеников, которые верно ответили.
У доски выполнить задание: задание ученик выполняет с комментариями
вычислить:
2cos 60^o + sin30^o

2cos 30^o + 2sin45^o

Ученики выполняют эти задания в тетрадях.
Сильные ученики работают по карточкам из 10 заданий выполнить по выбору 5.
Карточка: вычислить:
2cos 60^o + 3cos30^o
5sin30^o – ctg45^o
2sin60^o + 6cos60^o– 4tg45^o
12sin60^o • cos60^o
3tg45^o • tg60^o
4tg60^o • sin60^o
2sin60^o • tg60^o
2sin45^o – 4cos30^o
7tg30^o •cos30^o
6tg30^o – 2sin60^o

Проверка через проектор, каждый проверяет свою работу и ставит баллы, за каждое задание – 1 балл.
В это время остальные выполняют диктант в тетрадях:
вычислить:
2cos60^o
sin30^o + cos60^o
cos90^o + sin45^o
2sin30^o + 2tg45^o
3tg60^o

Ученики меняются работами, и проверяют. Решение записано на доске. Выставляют отметки. Заполняется учётный лист “самооценка”

Объяснение по теме:
У каждого ученика модель окружности с подвижным радиусом. Работаем с этой окружностью. Повернём радиус ОА на угол 60^o — этот угол называется углом поворота. У доски на модели тоже показывают этот угол. Если радиус ОА повернуть около точки О по часовой стрелке, то угол поворота считают отрицательным; против часовой стрелки – положительным.
В группах ребята работают самостоятельно: на модели покажите углы 45^o , 100^o, 120^o, -45^o, -100^o , -120^o , -60^o.
В курсе геометрии мера угла выражается от 0^o до 180^o . Угол поворота может выражаться от — до + . На модели у доски показан угол 300^o. Отработать углы поворота 0^o, 90^o, 180^o, 270^o, 360^o.Показать угол 400^o=360^o+40^o.
Работа у доски:
к доске приглашается ученик, он показывает угол, а ребята выполняют на месте (обсуждают вместе). Показать угол поворота и указать четверть, в которой он расположен: 283^o, 700^o, -150^o , 190^o , 270^o , 80^o, 100^o, 4220^o, 325^o, -20^o, 800^o.
из каждой группы выходит один ученик и выполняет два задания.
Объяснения учителя:
Отметим на окружности угол , рассмотрим треугольник ОАС.
А ( х; у ), С = 90^o , АС = у,
ОС = х, ОА = R.
Вырабатывается вместе с ребятами определение синуса угла : sin = AC/OA = у/R
Вырабатывается вместе с ребятами определение косинуса угла : cos= AC/OA = х/R
tg= AC/OC = у/х , ctg = OC/AC = х/у.
Рассмотрим определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Ребята в группах прорабатывают определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса по учебнику.
В тетрадях записывают: sin = у/R , cos = х/R , tg = у/х , ctg = х/у.

Фронтальная работа:
На окружности показать угол поворота 90^o , найти sin90^o , cos90^o , tg90^o , ctg не имеет смысла для 90^o .
2 таблица значений.
Вывод:
выражение sin и cos определены при любом ;

tg определён при любом кроме +90?, +270?, +450? .

ctg определён при любом , кроме 0?, +180? , +360? .

В тетрадях сделать эту запись.
Каждому значению соответствует единственное значение sin, cos, tg , ctg . Поэтому синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями угла ?. Их называют тригонометрическими функциями.

Область значений синуса и косинуса является [-1; 1], тангенса и котангенса ? ( — , +).

Фронтальное закрепление:
Ученики выполняют в тетрадях, один ученик работает у доски:
Указать наибольшее значение выражения 1 + sin . ( в тетрадях: 1 + sin принимает наибольшее значение 2 )

Какое наименьшее значение имеет выражение 1 + sin

Какое наибольшее и наименьшее значение имеет выражение 2 — cos

Устно:
может ли sin принимать значения 2 , 2 , 1 / 2 , 3 , 3 – 1 , 3 / 2 , 1 + 3.
Вопрос задан группе, ученик из группы отвечает и объясняет кратко.

может ли cos , sin принимать значения (1 + 3)/ 2 ; (1 — 3)/2 .
Ученики объясняют.

Закрепление:

Найти значение выражения:
Все работают с учеником, который работает у доски с комментариями. У доски проработали три ученика и получили отметки.

Ребята пересели по парам.

Самостоятельная работа:
В “самооценке” отмечают столбик “Как я понял тему”:
О – “хорошо”
[] — не всё;
V — плохо.

I — В II — В

1. Углом какой четверти является угол :

= 130^o , = 200^o , = 490^o .
= 170^o , = 280^o , = 700^o .
1 балл

2. Вычислить:

sin 0^o + 2cos60^o
tg 60^o •sin60^o •ctg30^o
4sin90^o ? 3cos180^o
3ctg90^o • 3sin270^o

3 балл

3. Найти значение выражения sin + cos, если

= 0^o
= 90^o
= 45^o
= 180^o

1 балл

Каждое задание дано в баллах; ученики выполняют задание по выбору, работа выполняется в тетрадях под копирку. Листочки с работой ученики сдают, а работу ученики проверяют сами, готовое решение на доске. И оценивают. Заполняют “самооценку”.

Домашнее задание:
определение sin, cos , tg , ctg .

№ 717, 770.

“Самооценка”

Ф.И. ученика

диктант

тема

самостоятельная

(своя оценка)

самостоятельная

(учитель)

за урок

1. Соколов Н.
4

О

5

5

5

2. Аношина А.
5

О

5

5

5

3. Зуева О.

3

[]

3

3

3

4. Белов К.
4

[]

4

3

4

5. Гриненко К.
5

О

5

4

5

За диктант – ставит учитель.
За урок выводится общая оценка
2.4.1. Основные понятия тригонометрии

Глава 2. Алгебраические выражения
2.4.

2.4.1.

В геометрии угол определяется как часть плоскости, ограниченная двумя лучами. При таком определении получаются углы от 0° до 180°. Однако угол можно рассматривать и как меру поворота. Возьмем на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат. Пусть одна сторона угла α с вершиной в начале координат O идёт по оси абсцисс, а сам угол положительный, то есть, по определению, отложен по направлению против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс. Из геометрии известно, что отношение длины дуги l, на которую опирается этот угол, к радиусу R этой окружности не зависит от самого радиуса. Поэтому это отношение может быть выбрано характеристикой и мерой данного угла:

Такая мера называется радианной мерой угла и используется наравне с угловой. Говорят, что угол равен определённому числу радиан. Ясно, что угол в один радиан опирается на длину дуги окружности, равную её радиусу. В самом деле: Обозначение радиана – «рад». Так как длина всей окружности радиуса R равна 2πR, то всей окружности соответствует угол радиан. Поскольку вся окружность содержит 360°, то один радиан соответствует градусов:

И наоборот,

Значит, можно написать следующие формулы перехода от градусного измерения к радианному:

и от радианного измерения к градусному:

Обозначение «рад» при записи часто опускают и вместо, например, 180° = π рад пишут просто 180° = π.

Пользуясь этими формулами, легко получить следующую таблицу перевода некоторых наиболее часто встречающихся углов из градусной меры в радианную и обратно.

Угол, градусы 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
Угол, радианы 0 π 2π

Таблица 2. 4.1.1
Пример 1
Определите радианную меру угла, если его градусная мера равна: 1) 2°; 2) 225°.
Показать решение

Снова рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат. Как известно, координатные оси делят окружность на четыре дуги, которые называют четвертями.

1
Рисунок 2.4.1.1.
Окружность радиуса R

Рассмотрим произвольный угол α. Изобразим его как угол поворота радиус-вектора против часовой стрелки. При таком повороте точка A (R; 0) перейдёт в некоторую точку B (x; y) на этой окружности, при этом (α может быть больше не только 180°, но и больше 360°). В зависимости от того, в какой четверти лежит точка B, угол α называется углом этой четверти.

2
Рисунок 2.4.1.2
Докажем, что отношения и не зависят от величины радиуса R. Действительно, выберем на отрезке OA точку такую, что Построим окружность с центром в начале координат радиуса Построенная окружность пересекает радиус-вектор в точке Так как векторы и коллинеарны и одинаково направлены, то

Однако равные векторы имеют равные координаты, следовательно,

Откуда следует после деления обеих частей последних равенств на R₁, что

Итак, для любого угла поворота отношение координат радиус-вектора к его длине не зависит от этой длины радиус-вектора. Следовательно, отношения и характеризуют не окружность, а лишь угол поворота. Значит, для того, чтобы рассмотреть основные свойства этих отношений, можно взять окружность любого радиуса, например, R = 1. Так мы и сделаем. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат называется тригонометрической окружностью.

Модель 2.6. Координатная окружность

Ввиду всего вышесказанного, рассмотренные отношения и пр. как характеристики только угла (но не окружности) удобно как-либо обозначить. Введём несколько ключевых определений.

Косинусом угла α называется абсцисса x точки B − конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол α с осью абсцисс.
cos α = x.

Модель 2.8. Функция y = cos x

Синусом угла α называется ордината y точки B − конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол α с осью абсцисс.
sin α = y.

Модель 2. 7. Функция y = sin x

Тангенсом угла α называется отношение ординаты y к абсциссе x точки B − конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол α с осью абсцисс.

Модель 2.9. Функция y = tg x

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x к ординате y точки B − конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол α с осью абсцисс.

Модель 2.10. Функция y = ctg x

Ясно, что для данного угла α функции sin α, cos α, tg α и  ctg α, которые называются тригонометрическими функциями, определены однозначно (поскольку каждому углу соответствует единственная точка на тригонометрической окружности). Однако если функции sin α и  cos α определены для любого угла α, то функции tg α и  ctg α определены только для тех углов, для которых не равен нулю знаменатель дробей и Значит, tg α не определён для углов вида где ctg α не определён для углов вида

Поскольку синус по определению равен ординате точки на единичной окружности, а косинус − абсциссе, то знаки тригонометрических функций по четвертям будут такими:

Функция Знаки тригонометрических функций по четвертям
I II III IV
sin α + + − −
cos α + − − +
tg α + − + −
ctg α + − + −

Таблица 2. 4.1.2

Вычисление тригонометрических функций некоторых углов
3
Рисунок 2.4.1.3.
Вычисление углов

Найдём значения тригонометрических функций некоторых наиболее часто встречающихся углов. Конец радиус-вектора, отвечающего углу 0°, точка A, имеет координаты (1; 0). Поэтому cos 0° = 1, sin 0° = 0, tg 0° = 0, ctg 0° не определён. Совершенно аналогично рассматриваются точки B (0; 1), C (–1; 0)  и  D (0; –1), что даёт:

sin 90° = 1, cos 90° = 0, ctg 90° = 0, tg 0° не определён.

sin 180° = 0, cos 180° = –1, tg 180° = 0, ctg 180° не определён.

sin 270° = –1, cos 270° = 0, ctg 270° = 0, tg 270° не определён.

Данные нами определения совпадают для острых углов с определениями тригонометрических функций в геометрии. В самом деле, например, синусом острого угла прямоугольного треугольника AOC (см. рис. 2.4.1.4) называлось отношение противолежащего катета к гипотенузе: Кроме того, в курсе геометрии было доказано, что значения тригонометрических функций острых углов не зависят от размеров прямоугольного треугольника.

Однако если мы поместим наш прямоугольный треугольник так, что его вершина – точка O – совпадёт с началом координат, а точка A будет лежать на единичной окружности (то есть мы выбираем тем самым гипотенузу OA = 1), то геометрическое определение синуса примет вид:

Значит, синус острого угла равен ординате точки, лежащей на тригонометрической окружности. А это как раз совпадает с нашим определением синуса. Совершенно те же самые рассуждения приводят нас к полной эквивалентности геометрического определения тригонометрических функций с тем, что дано в настоящем разделе. Следовательно, для вычисления значений тригонометрических функций мы можем воспользоваться их геометрическим определением.

4
Рисунок 2.4.1.4.
Прямоугольный треугольник

5
Рисунок 2.4.1.5.
Правильный треугольник

Рассмотрим правильный треугольник ABC со стороной, равной 1. Тогда по теореме Пифагора легко найти, что длина его высоты BH равна

6
Рисунок 2.4.1.6.
Прямоугольный равнобедренный треугольник

Значит, Рассматривая угол ABH, найдём, что Соответственно,

Рассмотрим теперь прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с катетами, равными CA = CB = 1, CAB = 45°. Тогда по теореме Пифагора и Следовательно,

Итак, мы вычислили значения тригонометрических функций основных углов. Составим таблицу значений тригонометрических функций, которую мы только что получили.

Функция Углы
0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Градусы
0° Радианы
sin α 0 1 0 –1 0
cos α 1 0 –1 0 1
tg α 0 1 – 0 – 0
ctg α – 1 0 – 0 –

Таблица 2. 4.1.3
Пример 2
Найдите значения выражений
1)
2)
Показать решение

Периодические функции

Функция f называется периодической с периодом T ≠ 0, если для любого x из области определения функции выполнено:

Если функция f имеет период T, то она, очевидно, имеет период nT, где Поэтому говорят о наименьшем положительном периоде (НПП) функции f. Существуют периодические функции, не имеющие НПП. Так, например, f (x) = C, где C − произвольная постоянная, является периодической, однако любое положительное число является её периодом. Очевидно, среди них нет наименьшего.

Пример 3
Доказать, что НПП функции y = sin x является 2π.
Показать решение

Аналогично можно показать, что функция y = cos x также имеет НПП T = 2π. А функции y = tg x и y = ctg x имеют НПП T = π.

Главная Онлайн учебники База репетиторов России Тренажеры по математике Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Minecraft лицензия
Minecraft с моментальной доставкой. Реальные отзывы
steamplay.ru
Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.

таблица sin cos tan
таблица sin cos tan (тригонометрические значения) содержит расчетные значения тригонометрических функций для определенного угла от 0 до 360 градусов в виде простой таблицы и в виде таблицы Брадиса. Также приведены значения тригонометрических функций в радианах для наиболее распространенных углов, используемых в расчетах.
Таблицы с расчетными значениями sin, cos, tg, ctg применяются для упрощения и ускорения математических расчетов, когда нет возможности воспользоваться калькулятором или компьютером.
грех
потому что
тг
КТГ
триггер. значения
Грех Брейди и cos
Bradys TG и CTG
sin 0° = sin 360° = 0
α° грех α α° грех α α° грех α α° грех α
α° грех α α° грех α α° грех α α° грех α
cos 0° = cos 360° = 1
α° потому что α° потому что α α° потому что α° потому что
α° потому что α° потому что α° потому что α° потому что
tg 0° = tg 360° = 0
α° тг α α° тг α α° тг α α° тг α
α° тг α α° тг α α° тг α α° тг α
ЦТ 0° = ЦТ 360° = ∞
α° КТГ α α° КТГ α α° КТГ α α° КТГ α
α° КТГ α α° КТГ α α° КТГ α α° КТГ α
Значения тригонометрических функций в радианах для наиболее распространенных углов.

Таблица синусов и косинусов
грех 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 1′ 2′ 3′
0,0000 90°
0° 0,0000 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 89° 3 6 9
1° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 88° 3 6 9
2° 0349 0366 0384 0401 0419 0436 0454 0471 0488 0506 0523 87° 3 6 9
3° 0523 0541 0558 0576 0593 0610 0628 0645 0663 0680 0698 86° 3 6 9
4° 0698 0715 0732 0750 0767 0785 0802 0819 0837 0854 0,0872 85° 3 6 9
5° 0,0872 0889 0906 0924 0941 0958 0976 0993 1011 1028 1045 84° 3 6 9
6° 1045 1063 1080 1097 1115 1132 1149 1167 1184 1201 1219 83° 3 6 9
7° 1219 1236 1253 1271 1288 1305 1323 1340 1357 1374 1392 82° 3 6 9
8° 1392 1409 1426 1444 1461 1478 1495 1513 1530 1547 1564 81° 3 6 9
9° 1564 1582 1599 1616 1633 1650 1668 1685 1702 1719 0,1736 80° 3 6 9
10° 0,1736 1754 1771 1788 1805 1822 1840 1857 1874 1891 1908 79° 3 6 9
11° 1908 1925 1942 1959 1977 1994 2011 2028 2045 2062 2079 78° 3 6 9
12° 2079 2096 2113 2130 2147 2164 2181 2198 2215 2233 2250 77° 3 6 9
13° 2250 2267 2284 2300 2317 2334 2351 2368 2385 2402 2419 76° 3 6 8
14° 2419 2436 2453 2470 2487 2504 2521 2538 2554 2571 0,2588 75° 3 6 8
15° 0,2588 2605 2622 2639 2656 2672 2689 2706 2723 2740 2756 74° 3 6 8
16° 2756 2773 2790 2807 2823 2840 2857 2874 2890 2907 2924 73° 3 6 8
17° 2924 2940 2957 2974 2990 3007 3024 3040 3057 3074 3090 72° 3 6 8
18° 3090 3107 3123 3140 3156 3173 3190 3206 3223 3239 3256 71° 3 6 8
19° 3256 3272 3289 3305 3322 3338 3355 3371 3387 3404 0,3420 70° 3 5 8
20° 0,3420 3437 3453 3469 3486 3502 3518 3535 3551 3567 3584 69° 3 5 8
21° 3584 3600 3616 3633 3649 3665 3681 3697 3714 3730 3746 68° 3 5 8
22° 3746 3762 3778 3795 3811 3827 3843 3859 3875 3891 3907 67° 3 5 8
23° 3907 3923 3939 3955 3971 3987 4003 4019 4035 4051 4067 66° 3 5 8
24° 4067 4083 4099 4115 4131 4147 4163 4179 4195 4210 0,4226 65° 3 5 8
25° 0,4226 4242 4258 4274 4289 4305 4321 4337 4352 4368 4384 64° 3 5 8
26° 4384 4399 4415 4431 4446 4462 4478 4493 4509 4524 4540 63° 3 5 8
27° 4540 4555 4571 4586 4602 4617 4633 4648 4664 4679 4695 62° 3 5 8
28° 4695 4710 4726 4741 4756 4772 4787 4802 4818 4833 4848 61° 3 5 8
29° 4848 4863 4879 4894 4909 4924 4939 4955 4970 4985 0,5000 60° 3 5 8
30° 0,5000 5015 5030 5045 5060 5075 5090 5105 5120 5135 5150 59° 3 5 8
31° 5150 5165 5180 5195 5210 5225 5240 5255 5270 5284 5299 58° 2 5 7
32° 5299 5314 5329 5344 5358 5373 5388 5402 5417 5432 5446 57° 2 5 7
33° 5446 5461 5476 5490 5505 5519 5534 5548 5563 5577 5592 56° 2 5 7
34° 5592 5606 5621 5635 5650 5664 5678 5693 5707 5721 0,5736 55° 2 5 7
35° 0,5736 5750 5764 5779 5793 5807 5821 5835 5850 5864 0,5878 54° 2 5 7
36° 5878 5892 5906 5920 5934 5948 5962 5976 5990 6004 6018 53° 2 5 7
37° 6018 6032 6046 6060 6074 6088 6101 6115 6129 6143 6157 52° 2 5 7
38° 6157 6170 6184 6198 6211 6225 6239 6252 6266 6280 6293 51° 2 5 7
39° 6293 6307 6320 6334 6347 6361 6374 6388 6401 6414 0,6428 50° 2 4 7
40° 0,6428 6441 6455 6468 6481 6494 6508 6521 6534 6547 6561 49° 2 4 7
41° 6561 6574 6587 6600 6613 6626 6639 6652 6665 6678 6691 48° 2 4 7
42° 6691 6704 6717 6730 6743 6756 6769 6782 6794 6807 6820 47° 2 4 6
43° 6820 6833 6845 6858 6871 6884 6896 8909 6921 6934 6947 46° 2 4 6
44° 6947 6959 6972 6984 6997 7009 7022 7034 7046 7059 0,7071 45° 2 4 6
45° 0,7071 7083 7096 7108 7120 7133 7145 7157 7169 7181 7193 44° 2 4 6
46° 7193 7206 7218 7230 7242 7254 7266 7278 7290 7302 7314 43° 2 4 6
47° 7314 7325 7337 7349 7361 7373 7385 7396 7408 7420 7431 42° 2 4 6
48° 7431 7443 7455 7466 7478 7490 7501 7513 7524 7536 7547 41° 2 4 6
49° 7547 7559 7570 7581 7593 7604 7615 7627 7638 7649 0,7660 40° 2 4 6
50° 0,7660 7672 7683 7694 7705 7716 7727 7738 7749 7760 7771 39° 2 4 6
51° 7771 7782 7793 7804 7815 7826 7837 7848 7859 7869 7880 38° 2 4 5
52° 7880 7891 7902 7912 7923 7934 7944 7955 7965 7976 7986 37° 2 4 5
53° 7986 7997 8007 8018 8028 8039 8049 8059 8070 8080 8090 36° 2 3 5
54° 8090 8100 8111 8121 8131 8141 8151 8161 8171 8181 0,8192 35° 2 3 5
55° 0,8192 8202 8211 8221 8231 8241 8251 8261 8271 8281 8290 34° 2 3 5
56° 8290 8300 8310 8320 8329 8339 8348 8358 8368 8377 8387 33° 2 3 5
57° 8387 8396 8406 8415 8425 8434 8443 8453 8462 8471 8480 32° 2 3 5
58° 8480 8490 8499 8508 8517 8526 8536 8545 8554 8563 8572 31° 2 3 5
59° 8572 8581 8590 8599 8607 8616 8625 8634 8643 8652 0,8660 30° 1 3 4
60° 0,8660 8669 8678 8686 8695 8704 8712 8721 8729 8738 8746 29° 1 3 4
61° 8746 8755 8763 8771 8780 8788 8796 8805 8813 8821 8829 28° 1 3 4
62° 8829 8838 8846 8854 8862 8870 8878 8886 8894 8902 8910 27° 1 3 4
63° 8910 8918 8926 8934 8942 8949 8957 8965 8973 8980 8988 26° 1 3 4
64° 8988 8996 9003 9011 9018 9026 9033 9041 9048 9056 0,9063 25° 1 3 4
65° 0,9063 9070 9078 9085 9092 9100 9107 9114 9121 9128 9135 24° 1 2 4
66° 9135 9143 9150 9157 9164 9171 9178 9184 9191 9198 9205 23° 1 2 3
67° 9205 9212 9219 9225 9232 9239 9245 9252 9259 9256 9272 22° 1 2 3
68° 9272 9278 9285 9291 9298 9304 9311 9317 9323 9330 9336 21° 1 2 3
69° 9336 9342 9348 9354 9361 9367 9373 9379 9383 9391 0,9397 20° 1 2 3
70° 9397 9403 9409 9415 9421 9426 9432 9438 9444 9449 0,9455 19° 1 2 3
71° 9455 9461 9466 9472 9478 9483 9489 9494 9500 9505 9511 18° 1 2 3
72° 9511 9516 9521 9527 9532 9537 9542 9548 9553 9558 9563 17° 1 2 3
73° 9563 9568 9573 9578 9583 9588 9593 9598 9603 9608 9613 16° 1 2 2
74° 9613 9617 9622 9627 9632 9636 9641 9646 9650 9655 0,9659 15° 1 2 2
75° 9659 9664 9668 9673 9677 9681 9686 9690 9694 9699 9703 14° 1 1 2
76° 9703 9707 9711 9715 9720 9724 9728 9732 9736 9740 9744 13° 1 1 2
77° 9744 9748 9751 9755 9759 9763 9767 9770 9774 9778 9781 12° 1 1 2
78° 9781 9785 9789 9792 9796 9799 9803 9806 9810 9813 9816 11° 1 1 2
79° 9816 9820 9823 9826 9829 9833 9836 9839 9842 9845 0,9848 10° 1 1 2
80° 0,9848 9851 9854 9857 9860 9863 9866 9869 9871 9874 9877 9° 0 1 1
81° 9877 9880 9882 9885 9888 9890 9893 9895 9898 9900 9903 8° 0 1 1
82° 9903 9905 9907 9910 9912 9914 9917 9919 9921 9923 9925 7° 0 1 1
83° 9925 9928 9930 9932 9934 9936 9938 9940 9942 9943 9945 6° 0 1 1
84° 9945 9947 9949 9951 9952 9954 9956 9957 9959 9960 9962 5° 0 1 1
85° 9962 9963 9965 9966 9968 9969 9971 9972 9973 9974 9976 4° 0 0 1
86° 9976 9977 9978 9979 9980 9981 9982 9983 9984 9985 9986 3° 0 0 0
87° 9986 9987 9988 9989 9990 9990 9991 9992 9993 9993 9994 2° 0 0 0
88° 9994 9995 9995 9996 9996 9997 9997 9997 9998 9998 0,9998 1° 0 0 0
89° 9998 9999 9999 9999 9999 1. 0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0° 0 0 0
90° 1.0000
грех 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ 1′ 2′ 3′
Таблица Бради для тангенсов и котангенсов
тг 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ КТГ 1′ 2′ 3′
0 90°
0° 0,000 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 89° 3 6 9
1° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 88° 3 6 9
2° 0349 0367 0384 0402 0419 0437 0454 0472 0489 0507 0524 87° 3 6 9
3° 0524 0542 0559 0577 0594 0612 0629 0647 0664 0682 0699 86° 3 6 9
4° 0699 0717 0734 0752 0769 0787 0805 0822 0840 0857 0,0875 85° 3 6 9
5° 0,0875 0892 0910 0928 0945 0963 0981 0998 1016 1033 1051 84° 3 6 9
6° 1051 1069 1086 1104 1122 1139 1157 1175 1192 1210 1228 83° 3 6 9
7° 1228 1246 1263 1281 1299 1317 1334 1352 1370 1388 1405 82° 3 6 9
8° 1405 1423 1441 1459 1477 1495 1512 1530 1548 1566 1584 81° 3 6 9
9° 1584 1602 1620 1638 1655 1673 1691 1709 1727 1745 0,1763 80° 3 6 9
10° 0,1763 1781 1799 1817 1835 1853 1871 1890 1908 1926 1944 79° 3 6 9
11° 1944 1962 1980 1998 2016 2035 2053 2071 2089 2107 2126 78° 3 6 9
12° 2126 2144 2162 2180 2199 2217 2235 2254 2272 2290 2309 77° 3 6 9
13° 2309 2327 2345 2364 2382 2401 2419 2438 2456 2475 2493 76° 3 6 9
14° 2493 2512 2530 2549 2568 2586 2605 2623 2642 2661 0,2679 75° 3 6 9
15° 0,2679 2698 2717 2736 2754 2773 2792 2811 2830 2849 2867 74° 3 6 9
16° 2867 2886 2905 2924 2943 2962 2981 3000 3019 3038 3057 73° 3 6 9
17° 3057 3076 3096 3115 3134 3153 3172 3191 3211 3230 3249 72° 3 6 10
18° 3249 3269 3288 3307 3327 3346 3365 3385 3404 3424 3443 71° 3 6 10
19° 3443 3463 3482 3502 3522 3541 3561 3581 3600 3620 0,3640 70° 3 7 10
20° 0,3640 3659 3679 3699 3719 3739 3759 3779 3799 3819 3839 69° 3 7 10
21° 3839 3859 3879 3899 3919 3939 3959 3979 4000 4020 4040 68° 3 7 10
22° 4040 4061 4081 4101 4122 4142 4163 4183 4204 4224 4245 67° 3 7 10
23° 4245 4265 4286 4307 4327 4348 4369 4390 4411 4431 4452 66° 3 7 10
24° 4452 4473 4494 4515 4536 4557 4578 4599 4621 4642 0,4663 65° 4 7 11
25° 0,4663 4684 4706 4727 4748 4770 4791 4813 4834 4856 4877 64° 4 7 11
26° 4877 4899 4921 4942 4964 4986 5008 5029 5051 5073 5095 63° 4 7 11
27° 5095 5117 5139 5161 5184 5206 5228 5250 5272 5295 5317 62° 4 7 11
28° 5317 5340 5362 5384 5407 5430 5452 5475 5498 5520 5543 61° 4 8 11
29° 5543 5566 5589 5612 5635 5658 5681 5704 5727 5750 0,5774 60° 4 8 12
30° 0,5774 5797 5820 5844 5867 5890 5914 5938 5961 5985 6009 59° 4 8 12
31° 6009 6032 6056 6080 6104 6128 6152 6176 6200 6224 6249 58° 4 8 12
32° 6249 6273 6297 6322 6346 6371 6395 6420 6445 6469 6494 57° 4 8 12
33° 6494 6519 6544 6569 6594 6619 6644 6669 6694 6720 6745 56° 4 8 13
34° 6745 6771 6796 6822 6847 6873 6899 6924 6950 6976 0,7002 55° 4 9 13
35° 0,7002 7028 7054 7080 7107 7133 7159 7186 7212 7239 7265 54° 4 8 13
36° 7265 7292 7319 7346 7373 7400 7427 7454 7481 7508 7536 53° 5 9 14°
37° 7536 7563 7590 7618 7646 7673 7701 7729 7757 7785 7813 52° 5 9 14
38° 7813 7841 7869 7898 7926 7954 7983 8012 8040 8069 8098 51° 5 9 14
39° 8098 8127 8156 8185 8214 8243 8273 8302 8332 8361 0,8391 50° 5 10 15
40° 0,8391 8421 8451 8481 8511 8541 8571 8601 8632 8662 0,8693 49° 5 10 15
41° 8693 8724 8754 8785 8816 8847 8878 8910 8941 8972 9004 48° 5 10 16
42° 9004 9036 9067 9099 9131 9163 9195 9228 9260 9293 9325 47° 6 11 16
43° 9325 9358 9391 9424 9457 9490 9523 9556 9590 9623 0,9657 46° 6 11 17
44° 9657 9691 9725 9759 9793 9827 9861 9896 9930 9965 10000 45° 6 11 17
45° 10000 0035 0070 0105 0141 0176 0212 0247 0283 0319 0355 44° 6 12 18
46° 0355 0392 0428 0464 0501 0538 0575 0612 0649 0686 0724 43° 6 12 18
47° 0724 0761 0799 0837 0875 0913 0951 0990 1028 1067 1106 42° 6 13 19
48° 1106 1145 1184 1224 1263 1303 1343 1383 1423 1463 1504 41° 7 13 20
49° 1504 1544 1585 1626 1667 1708 1750 1792 1833 1875 1,1918 40° 7 14 21
50° 1,1918 1960 2002 2045 2088 2131 2174 2218 2261 2305 2349 39° 7 14 22
51° 2349 2393 2437 2482 2527 2572 2617 2662 2708 2753 2799 38° 8 15 23
52° 2799 2846 2892 2938 2985 3032 3079 3127 3175 3222 3270 37° 8 16 24
53° 3270 3319 3367 3416 3465 3514 3564 3613 3663 3713 3764 36° 8 16 25
54° 3764 3814 3865 3916 3968 4019 4071 4124 4176 4229 1,4281 35° 9 17 26
55° 1,4281 4335 4388 4442 4496 4550 4605 4659 4715 4770 4826 34° 9 18 27
56° 4826 4882 4938 4994 5051 5108 5166 5224 5282 5340 5399 33° 10 19 29
57° 5399 5458 5517 5577 5637 5697 5757 5818 5880 5941 6003 32° 10 20 30
58° 6003 6066 6128 6191 6255 6319 6383 6447 6512 6577 6643 31° 11 21 32
59° 6643 6709 6775 6842 6909 6977 7045 7113 7182 7251 1,7321 30° 11 23 34
60° 1 732 1 739 1 746 1 753 1 760 1 767 1 775 1 782 1 789 1 797 1 804 29° 1 2 4
61° 1 804 1 811 1 819 1 827 1 834 1 842 1 849 1 857 1 865 1 873 1 881 28° 1 3 4
62° 1 881 1 889 1 897 1 905 1 913 1 921 1 929 1 937 1 946 1 954 1 963 27° 1 3 4
63° 1 963 1 971 1 980 1 988 1 997 2 006 2 014 2 023 2 032 2 041 2,05 26° 1 3 4
64° 2 050 2 059 2 069 2 078 2 087 2 097 2 106 2 116 2 125 2 135 2 145 25° 2 3 5
65° 2 145 2 154 2 164 2 174 2 184 2 194 2 204 2 215 2 225 2 236 2 246 24° 2 3 5
66° 2 246 2 257 2 267 2 278 2 289 2,3 2 311 2 322 2 333 2 344 2 356 23° 2 4 5
67° 2 356 2 367 2 379 2 391 2 402 2 414 2 426 2 438 2 450 2 463 2 475 22° 2 4 6
68° 2 475 2 488 2,5 2 513 2 526 2 539 2 552 2 565 2 578 2 592 2 605 21° 2 4 6
69° 2 605 2 619 2 633 2 646 2,66 2 675 2 689 2 703 2 718 2 733 2 747 20° 2 5 7
70° 2 747 2 762 2 778 2 793 2 808 2 824 2 840 2 856 2 872 2 888 2 904 19° 3 5 8
71° 2 904 2 921 2 937 2 954 2 971 2 989 3 006 3 024 3 042 3,06 3 078 18° 3 6 9
72° 3 078 3 096 3 115 3 133 3 152 3 172 3 191 3 211 3 230 3 251 3 271 17° 3 6 10
73° 3 271 3 291 3 312 3 333 3 354 3 376 3 7 10
3 398 3,42 3 442 3 465 3 487 16° 4 7 11
74° 3 487 3 511 3 534 3 558 3 582 3 606 4 8 12
3 630 3 655 3 681 3 706 3 732 15° 4 8 13
75° 3 732 3 758 3 785 3 812 3 839 3 867 4 9 13
3 895 3 923 3 952 3,981 4 011 14° 5 10 14
тг 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ КТГ 1′ 2′ 3′
Тригонометрические таблицы
Тригонометрические таблицы
Дом | Учитель | Родители | Глоссарий | О нас
Отправить эту страницу другу по электронной почте
Ресурсы
·
·
·
·
·
·
Поиск


Тригонометрический Столы
(Математика | Триггер | Столы)
PI = 3,141592. .. (приблизительно 22/7 = 3,1428)
радианы = градусы x PI / 180 (преобразование градусов в рад)
градусы = радианы x 180 / PI (преобразование рад в градус)

Рад град Грех Кос Тан CSC сек Детская кроватка
.0000 00 .0000 1,0000 .0000 —— 1,0000 —— 90 1,5707
.0175 01 . 0175 .9998 .0175 57,2987 1,0002 57,2900 89 1,5533
.0349 02 .0349 .9994 .0349 28,6537 1,0006 28,6363 88 1,5359
.0524 03 .0523 .9986 .0524 19.1073 1,0014 19.0811 87 1,5184
. 0698 04 .0698 .9976 .0699 14,3356 1,0024 14.3007 86 1,5010
.0873 05 .0872 .9962 .0875 11.4737 1,0038 11.4301 85 1,4835
.1047 06 .1045 .9945 .1051 9,5668 1,0055 9,5144 84 1,4661
. 1222 07 .1219 .9925 .1228 8.2055 1,0075 8.1443 83 1,4486
.1396 08 .1392 .9903 .1405 7,1853 1,0098 7,1154 82 1,4312
.1571 09 .1564 .9877 .1584 6,3925 1,0125 6,3138 81 1,4137
. 1745 10 .1736 .9848 .1763 5,7588 1,0154 5,6713 80 1,3953
.1920 11 .1908 .9816 .1944 5.2408 1,0187 5.1446 79 1,3788
.2094 12 .2079 .9781 .2126 4,8097 1,0223 4,7046 78 1,3614
. 2269 13 .2250 .9744 .2309 4.4454 1,0263 4,3315 77 1,3439
.2443 14 .2419 .9703 .2493 4,1336 1.0306 4.0108 76 1,3265
.2618 15 .2588 .9659 .2679 3,8637 1,0353 3,7321 75 1,3090
. 2793 16 .2756 .9613 .2867 3,6280 1.0403 3,4874 74 1,2915
.2967 17 .2924 .9563 .3057 3,4203 1,0457 3,2709 73 1,2741
.3142 18 .3090 .9511 .3249 3,2361 1,0515 3,0777 72 1,2566
. 3316 19 .3256 .9455 .3443 3,0716 1,0576 2,9042 71 1,2392
.3491 20 .3420 .9397 .3640 2,9238 1,0642 2,7475 70 1.2217
.3665 21 .3584 .9336 .3839 2,7904 1.0711 2,6051 69 1. 2043
.3840 22 .3746 .9272 .4040 2,6695 1,0785 2,4751 68 1,1868
.4014 23 .3907 .9205 .4245 2,5593 1,0864 2,3559 67 1,1694
.4189 24 .4067 .9135 .4452 2,4586 1,0946 2,2460 66 1. 1519
.4363 25 .4226 .9063 .4663 2,3662 1.1034 2,1445 65 1,1345
.4538 26 .4384 .8988 .4877 2,2812 1.1126 2,0503 64 1.1170
.4712 27 .4540 .8910 .5095 2,2027 1. 1223 1,9626 63 1,0996
.4887 28 .4695 .8829 .5317 2.1301 1.1326 1,8807 62 1,0821
.5061 29 .4848 .8746 .5543 2,0627 1.1434 1,8040 61 1,0647
.5236 30 .5000 . 8660 .5774 2,0000 1,1547 1,7321 60 1,0472
.5411 31 .5150 .8572 .6009 1,9416 1,1666 1,6643 59 1,0297
.5585 32 .5299 .8480 .6249 1,8871 1.1792 1,6003 58 1,0123
. 5760 33 .5446 .8387 .6494 1,8361 1.1924 1,5399 57 .9948
.5934 34 .5592 .8290 .6745 1,7883 1,2062 1,4826 56 .9774
.6109 35 .5736 .8192 .7002 1,7434 1.2208 1,4281 55 . 9599
.6283 36 .5878 .8090 .7265 1,7013 1,2361 1,3764 54 .9425
.6458 37 .6018 .7986 .7536 1,6616 1,2521 1,3270 53 .9250
.6632 38 .6157 .7880 .7813 1,6243 1,2690 1,2799 52 . 9076
.6807 39 .6293 .7771 .8098 1,5890 1,2868 1,2349 51 .8901
.6981 40 .6428 .7660 .8391 1,5557 1,3054 1.1918 50 .8727
.7156 41 .6561 .7547 .8693 1,5243 1,3250 1. 1504 49 .8552
.7330 42 .6691 .7431 .9004 1,4945 1,3456 1.1106 48 .8378
.7505 43 .6820 .7314 .9325 1,4663 1,3673 1,0724 47 .8203
.7679 44 .6947 .7193 . 9657 1,4396 1.3902 1,0355 46 .8029
.7854 45 .7071 .7071 1,0000 1,4142 1,4142 1.0000 45 .7854
CO Грех Детская кроватка сек CSC Тан град рад
Триггерная таблица общих углов
угол (градусы) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360 = 0
угол (радианы) 0 PI/6 ИП/4 ИП/3 ИП/2 2/3PI 3/4 PI 5/6PI ИП 7/6PI 5/4PI 4/3PI 3/2PI 5/3PI 7/4PI 11/6PI 2ПИ = 0
грех(а) (0/4) (1/4) (2/4) (3/4) (4/4) (3/4) (2/4) (1/4) (0/4) -(1/4) -(2/4) -(3/4) -(4/4) -(3/4) -(2/4) -(1/4) (0/4)
СО(а) (4/4) (3/4) (2/4) (1/4) (0/4) -(1/4) -(2/4) -(3/4) -(4/4) -(3/4) -(2/4) -(1/4) (0/4) (1/4) (2/4) (3/4) (4/4)
желто-коричневый(а) (0/4) (1/3) (2/2) (3/1) (4/0) -(3/1) -(2/2) -(1/3) -(0/4) (1/3) (2/2) (3/1) (4/0) -(3/1) -(2/2) -(1/3) (0/4)
Те, у кого в знаменателе ноль, не определены. Они включены исключительно для демонстрации шаблона.



Связаться с нами | Реклама и спонсорство | Товарищество | Ссылка на нас
© 2000-2005 Math.com. Все права защищены. Юридический Уведомления. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей Конфиденциальностью Политика.

Тригонометрическая таблица от 0 до 360 (cos-sin-cot-tan-sec-cosec)
Тригонометрические соотношения являются важным модулем в математике. Здесь, в этом посте, я приведу тригонометрическую таблицу от 0 до 360 (cos-sin-cot-tan-sec-cosec), а также простой и удобный способ ее запомнить.
Тригонометрическая таблица от 0 до 90 представлена как
И это можно легко запомнить с помощью метода 9 ниже. 0003
Как легко запомнить таблицу тригонометрических соотношений
Тригонометрическая таблица (таблица sin-cos-tan) для чисел от 0 до 360 задается как
Теперь, чтобы вспомнить Тригонометрическую таблицу для чисел от 120 до 360, нам просто нужно запомнить знак функции в четырех квадрантах. Мы можем использовать приведенную ниже фразу, чтобы запомнить
ВСЕ СЕРЕБРЯНЫЕ ЧАЙНЫЕ ЧАШКИ
A LL — Все тригонометрические функции положительны в I квадранте II квадрант
T EA – функции tan и cot положительные, остальные отрицательные в III квадранте
C UPS – функции cos и sec положительные, остальные отрицательные в IV квадранте
Теперь мы можем использовать формулу ниже таблица для расчета отношений от 120 до 360
Эту таблицу очень легко запомнить, так как все они соответствуют одной и той же функции. Знак определяется соответствующим знаком тригонометрической функции угла в квадранте
Например
а. $ \cos 120 = \cos (180 -60) = – \cos 60$ . Его легко запомнить, а знак определяется угловым квадрантом. Так как 120 лежит во II квадранте, то cos отрицательно
b.$\sin 120 = \cos (180 -60) = \sin 60$. Здесь, поскольку sin во II квадранте положителен, мы ставим положительный знак
c. $\tan 120 = \tan (180 -60) = – \tan 60$. Здесь, поскольку тангенс отрицателен во II квадранте, мы ставим знак минус
. Теперь тригонометрическая таблица для чисел от 120 до 180 дается как
и рассчитывается как
$\sin (120) = \sin (180 -60) =\sin 60= \frac {\sqrt {3}}{2}$
$\cos (120) = \cos (180 -60) =- \cos 60= – \frac {1}{2}$
$\tan 120 = \frac {\sin 120}{\cos 120} = -\sqrt {3}$
$\sin (135 ) = \sin (180 -45) = \sin 45= \frac {1}{\sqrt {2}}$
$\cos (135) = \cos (180 -45) =- \cos 45= — \frac {1}{\sqrt {2}}$
$\tan 135 = \frac {\sin 135}{\cos 135} = -1$
$\sin (180) = \sin (180 — 0) =sin 0= 0$
$\cos (180) = \cos (180 -0) =-cos 0= -1$
$\tan 180 = \frac {\sin 180}{\cos 180} = 0$
$\csc 120 = \frac {1}{\sin 120} = \frac {2}{\sqrt 3} $
$\sec 120 = \frac {1}{\cos 120} = -2$
$\cot 120 = \frac {1}{\tan 120} = – \frac {1}{\sqrt 3 }$
$\csc 135 = \frac {1}{\sin 135} = \sqrt 2$
$\sec 135 = \frac {1}{\cos 135} = -\sqrt 2$
$ \cot 135 = \frac {1}{\tan 135} = – 1$
Теперь Тригонометрическая таблица для чисел от 210 до 270 задается как
И рассчитывается как
$\sin (210) = \sin (180 +30) =- \sin 30= -\frac {1}{2}$
$\cos (210) = \cos (180 +30) =- \cos 30=-\frac {\sqrt {3}}{2}$
$\tan (210) = \frac {\sin 210}{\cos 210} = \frac {1}{\sqrt {3 }}$
$\sin (225) = \sin (180 +45) =- \sin 45= -\frac {1}{\sqrt {2}}$
$\cos (225) = \cos (180+45) =- \cos 45= -\frac {1}{\sqrt {2}}$
$\tan 225 = \frac {\sin 225}{\cos 225} = 1$
$ \sin (270) = \sin (180 +90) =- \sin 90= -1$
$\cos (270) = \cos (180+90) =- \cos 90= 0$
$\tan 270 = \frac {\sin 270}{\cos 270} = -\frac {1}{0}$ Неопределенное значение
$\csc (210) = \frac {1}{\sin (210)} = -2$
$\sec (210) = \frac {1}{\cos (210)}=-\frac {2}{\sqrt 3} $
$\cot (210) = \frac {1}{\tan (210)} = \sqrt {3}$
$\csc (225) = \frac {1}{\sin 225}= — \sqrt {2}$
$\sec (225) = \frac {1}{\cos 225}= -\sqrt {2}$
$\cot 225 = \frac {1}{\tan 225} = 1$
Теперь Тригонометрическая таблица от 300 до 360 дается
$\sin (300) = \sin (360 -60) =- \sin 60=-\frac {\sqrt {3}}{2}$
$\cos (300) = \cos (360 -60) =\cos 60=\frac {1}{2}$
$\tan (300) = \frac {\sin 300}{\cos 300} = -{\sqrt {3}}$
$\sin (315) = \sin (360 -45) =- \sin 45= -\frac {1}{\sqrt {2}}$
$\cos (315) = \cos (360-45) =\cos 45= \frac {1}{\sqrt {2}}$
$\tan 315 = \frac {\sin 315}{\cos 315} =- 1$
$\sin (360) = \sin (360 -0) =- \sin 0=0$
$\cos (360) = \cos (360-0) =\cos 0=1$
$\tan (360) = \frac {\sin 360}{\cos 360} = 0$
$\csc (300) = \frac {1}{\sin (300)}=-\frac { 2}{\sqrt 3}$
$\sec (300) = \frac {1}{\cos (300)}=2$
$\cot (300) = \frac {1}{\tan 300 } = -\frac {1}{\sqrt {3}}$
Как вычислить тригонометрические отношения отрицательного угла от 0 до 360
Это довольно просто. Просто запомните эту единственную вещь
$ \cos( x) = \cos (-x)$ и $\sec(x) = \sec(-x)$
Для остальных соотношений
$\sin (x) = – \sin(-x)$ , $\csc (x) = – \csc (-x)$
$\tan (x) = – \tan (-x)$ , $\cot (x) = – \cot(-x)$
Таким образом, мы можем найти отрицательное значение любого угла как
$\cos (-120) = \cos (120) = \cos (180 -60) =- \cos 60 = -\frac {1}{2}$
$\sin (-120)= – \sin(120) = – \sin 60 = – \frac {\sqrt {3}}{2 }$
Мы объяснили все в градусах, то же самое можно сделать и в радианах
Related Posts
Тригонометрические функции
Домен, диапазон и графики тригонометрических функций
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические формулы для 11 класса
Sin 15 градусов
Sin 18 градусов
https://en.wikipedia.org/wiki/Тригонометрия
Таблица тригонометрических функций углов. Тригонометрические функции
ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Таблица значений тригонометрических функций составляется для углов 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 и 360 градусов и соответствующих им углов в радианах. Из тригонометрических функций в таблице указаны синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Для удобства решения школьных примеров значения тригонометрических функций в таблице записываются в виде дроби с сохранением знаков извлечения квадратного корня из чисел, что очень часто помогает сократить сложные математические выражения. Для тангенса и котангенса значения некоторых углов определить невозможно. Для значений тангенса и котангенса таких углов в таблице значений тригонометрических функций ставится прочерк. Принято считать, что тангенс и котангенс таких углов равны бесконечности. На отдельной странице приведены формулы приведения тригонометрических функций.
В таблице значений тригонометрической функции синуса приведены значения для следующих углов: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 в градусная мера, которая соответствует sin 0 pi, sin pi/6, sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi в радианной мере углов. Школьная таблица синусов.
Для функции тригонометрического косинуса в таблице приведены значения для следующих углов: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 в градусах, что соответствует cos 0 pi, cos pi к 6, cos pi к 4, cos pi к 3, cos pi к 2, cos pi, cos 3 pi к 2, cos 2 pi в радианах углов. Школьная таблица косинусов.
Тригонометрическая таблица для тангенса тригонометрической функции дает значения для следующих углов: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 в градусной мере, что соответствует tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций тангенса не определены тг 90, tg 270, tg pi/2, tg 3 pi/2 и считаются равными бесконечности.
Для котангенса тригонометрической функции в тригонометрической таблице даны следующие углы: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 в градусах, что соответствует ctg pi/6, ctg pi/4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций котангенса не определены ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi и считаются равными бесконечности.
Значения тригонометрических функций секанса и косеканса даны для тех же углов в градусах и радианах, что и синус, косинус, тангенс, котангенс.
В таблице значений тригонометрических функций нестандартных углов приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов в градусах 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 градуса и в радианы пи/12, пи/10, пи/8, пи/5, 3пи/8, 2пи/5 радиан. Значения тригонометрических функций выражаются через дроби и квадратные корни для упрощения приведения дробей в школьных примерах.
Еще три монстра тригонометрии. Первый — это тангенс 1,5 с половиной градуса, или число пи, деленное на 120. Второе — это косинус числа пи, деленное на 240, пи/240. Самый длинный — это косинус числа пи, деленного на 17, пи/17.
Тригонометрический круг значений функций синуса и косинуса наглядно представляет знаки синуса и косинуса в зависимости от величины угла. Специально для блондинок значения косинуса подчеркнуты зеленой черточкой, чтобы меньше путаться. Также очень наглядно представлен перевод градусов в радианы, когда радианы выражаются через число пи.
В этой тригонометрической таблице представлены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов от 0 ноль до 90 девяносто градусов с интервалом в один градус. Для первых сорока пяти степеней названия тригонометрических функций надо смотреть вверху таблицы. Первый столбец содержит градусы, в следующих четырех столбцах записываются значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.
Для углов от сорока пяти градусов до девяноста градусов названия тригонометрических функций записываются внизу таблицы. Последний столбец содержит градусы, в предыдущих четырех столбцах записываются значения косинусов, синусов, котангенсов и тангенсов. Следует быть осторожным, так как названия тригонометрических функций в нижней части тригонометрической таблицы отличаются от названий в верхней части таблицы. Синусы и косинусы меняются местами, как тангенс и котангенс. Это связано с симметрией значений тригонометрических функций.
Знаки тригонометрических функций показаны на рисунке выше. Синус имеет положительные значения от 0 до 180 градусов или от 0 до пи. Отрицательные значения синуса от 180 до 360 градусов или от пи до 2 пи. Значения косинуса положительны от 0 до 90 и от 270 до 360 градусов, или от 0 до 1/2 пи и от 3/2 до 2 пи. Тангенс и котангенс имеют положительные значения от 0 до 90 градусов и от 180 до 270 градусов, что соответствует значениям от 0 до 1/2 пи и от пи до 3/2 пи. Отрицательный тангенс и котангенс равны 9От 0 до 180 градусов и от 270 до 360 градусов, или от 1/2 пи до пи и от 3/2 пи до 2 пи. При определении знаков тригонометрических функций для углов больше 360 градусов или 2 пи следует использовать свойства периодичности этих функций.
Тригонометрические функции синуса, тангенса и котангенса являются нечетными функциями. Значения этих функций для отрицательных углов будут отрицательными. Косинус — четная тригонометрическая функция — значение косинуса для отрицательного угла будет положительным. При умножении и делении тригонометрических функций необходимо соблюдать правила знаков.
В таблице значений тригонометрической функции синуса приведены значения для следующих углов
Документ
На отдельной странице приведены формулы приведения тригонометрические функции . AT table values  for trigonometric functions sinus given values  for next corners : sin 0, sin 30, sin 45 …
Предлагаемый математический аппарат является полным аналогом комплексного исчисления для n-мерных гиперкомплексных чисел с любым числом степеней свободы n и предназначен для математического моделирования нелинейных
Документ
… функций равно функции изображения. Из этой теоремы следует , что за нахождением координат U, V, достаточно вычислить функцию … геометрии; полинар функции (многомерные аналоги двумерных тригонометрических функций ), их свойства, таблицы и применение; . ..
1. Тригонометрические функции — это элементарные функции, аргументом которых является инъекция . Тригонометрические функции описывают отношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (рядов Фурье). Эти функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.
2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус , косинус , тангенс , котангенс , секанс и косеканс . Для каждой из этих функций существует обратная тригонометрическая функция.
3. Удобно ввести геометрическое определение тригонометрических функций с помощью единичной окружности . На рисунке ниже показана окружность с радиусом r=1. На окружности отмечена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.
4. синус угол α есть отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:
sinα=y/r.
Так как r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).
5. косинус угол α есть отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
cosα=x/r
6. тангенс угол α есть отношение ординаты y точки M(x,y) к ее абсциссе x:
tanα=y/x,x≠0
7. Котангенс угол α есть отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
cotα=x/y,y≠0
8. Секанс Угол α есть отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0
9. Косеканс угол α есть отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0
10. В единичной окружности проекции x, y точки M(x, y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x, y — катеты, r — гипотенуза. Поэтому приведенные выше определения тригонометрических функций применительно к прямоугольному треугольнику формулируются следующим образом:
синус угол α есть отношение противолежащего катета к гипотенузе.
косинус угол α есть отношение прилежащего катета к гипотенузе.
тангенсом углом α называется катет, противоположный прилежащему.
Котангенсом углом α называется прилежащий катет к противолежащему.
Секанс Угол α является отношением гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс Угол α является отношением гипотенузы к противолежащему катету.
11. график синусоидальной функции
y=sinx, домен: x∈R, домен: −1≤sinx≤1
12. График функции косинуса
y=cosx, домен: x∈R, диапазон: −1≤cosx≤1
13. график функции тангенса
y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область определения: −∞
14. График функции котангенса
y=cotx, область определения: x∈R,x≠kπ, область определения: −∞
15. График секущей функции
y=secx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область определения: secx∈(−∞,−1]∪∪)
Полезное
Реклама
Новый
Тригонометрические функции и унитарная окружность – x-engineer.
org
Обычный подход в тригонометрии заключается в использовании унитарной окружности для представления тригонометрических функций. Для представления унитарного круга мы используем декартову систему координат x-y и круг с радиус 1 . Центр круга находится в начале координат системы x-y.
Изображение: Тригонометрический круг с четырьмя квадрантами
Унитарный круг разделен на 4 части, называемые квадрантами . Первый квадрант (I) образован положительными осями x и y. Если мы нарисуем любой радиус унитарной окружности в первом квадранте, угол с положительной осью x может иметь любое значение от 0 до 90 °.
Угол может быть измерен в градусах (°) или радиана . Полный круг имеет угол 360° или 2π радиан.
В таблице ниже мы суммируем эквивалент между градусами и радианами для квадрантов унитарного круга.
Quadrant I Quadrant II Quadrant III Quadrant IV
Start 0° (0) 90° (π/2 ) 180° (π) 270° (3π/2)
End 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2) 360° (2π)
На рисунке ниже мы видим единый круг с углами, кратными 30° и 45°. Кроме того, для каждого значения угла градуса у нас есть значение в радианах и x-y координаты точки пересечения между сегментом угла и унитарной окружностью.
Изображение: единая окружность с углами (градусы и радианы) и координатами x-y
Преобразование между градусами и радианами подробно объясняется в статье Как преобразовать градусы в радианы и радианы в градусы.
Теперь возьмем любой угол φ в унитарной окружности. Угол φ образован между отрезком AB (длиной 1) и осью x. Координаты x-y точки B будут длиной отрезков ABx и ABy (см. ниже).
Изображение: Унитарный круг для тригонометрических функций
Если применить определение тригонометрических функций для угла φ, то получим:
\[ \begin{equation*} \begin{split}
\text{sin}(\varphi)&=\frac {BB_x}{AB}=\frac{BB_x}{1}=BB_x&=AB_y\\
\text{cos}(\varphi)&=\frac{AB_x}{AB}=\frac{AB_x}{1} &=AB_x\\
\text{tg}(\varphi)&=\frac{BB_x}{AB_x}&=\frac{AB_x}{AB_y}\\
\text{cosec}(\varphi)&=\ frac{AB}{BB_x}=\frac{1}{BB_x}&=\frac{1}{AB_y}\\
\text{sec}(\varphi)&=\frac{AB}{AB_x}&= \frac{1}{AB_x}\\
\text{ctg}(\varphi)&=\frac{AB_x}{BB_x}&=\frac{AB_x}{AB_y}
\end{split} \end{equation*} \]
Как видите все тригонометрические функции выражаются только функцией координат x-y точки B, длины отрезков ABx и ABy.
Таким образом, мы можем найти значения тригонометрических функций для любого заданного угла φ.
В качестве упражнения мы собираемся вычислить и построить значения тригонометрических функций для каждого квадранта. Возьмем 30° (квадрант I), 120° (квадрант II), 210° (квадрант III) и 300° (квадрант IV).
Quadrant I Quadrant II Quadrant III Quadrant IV
Angle (φ) 30° 120° 210° 300 °
.0244 -0.50 -0.87 0.50
Tangent 0.58 -1.73 0.58 -1.73
Cosecant 2.00 1.15 -2.00 -1.15
Secant 1. 15 -2.00 -1.15 2.00
Cotangent 1,73 -0,58 1,73 -0,58
Анализируя значения тригонометрической функции, мы видим, что: IV
функция косинуса положительна в квадрантах I и IV и отрицательна в квадрантах II и III
функция тангенса положительна в квадрантах I и III и отрицательна в квадрантах II и IV
функция косеканса положительна в квадрантах I и II и отрицательна в квадрантах II и IV
функция секанса положительна в квадрантах I и IV и отрицательна в квадрантах II и III отрицательно во II и IV квадрантах
Имеется графическое представление всех тригонометрических функций прямоугольного треугольника внутри унитарной окружности. Мы также можем визуализировать результат тригонометрических функций в виде сегментов, соединенных друг с другом.
Изображение: декартово представление тригонометрических функций на единичной окружности
Мы можем видеть, что длины сегментов на самом деле являются значениями, возвращаемыми тригонометрическими функциями . То, что мы получаем в каждом квадранте, представляет собой прямоугольный треугольник, сегменты и высота которого являются результатом тригонометрических функций.
Зная, как представить треугольник для первого квадранта, мы можем вычислить остальные три путем вертикального и горизонтального отражения первого квадранта.
Если у вас есть какие-либо вопросы или замечания относительно этого руководства, пожалуйста, используйте форму комментариев ниже.
Не забудьте поставить лайк, поделиться и подписаться!
Калькулятор тригонометрии (Sin, Cos, Tan) — [100% бесплатно]
Этот калькулятор тригонометрии — очень полезный онлайн-инструмент, который вы можете использовать в двух распространенных ситуациях, когда вам требуются тригонометрические вычисления. Используйте калькулятор, чтобы найти значения триггерных функций, не выполняя вычисления вручную.
Загрузка калькулятора…
Содержание
Как пользоваться калькулятором тригонометрии?
Один раз взгляните на этот тригонометрический калькулятор, и вы увидите, насколько он прост для понимания и использования. Этот онлайн-инструмент также известен как калькулятор sin cos tan или калькулятор триггерной функции. Вот шаги для его использования:
Сначала введите значение угла.
Затем выберите единицу измерения в раскрывающемся меню.
После этого калькулятор триггерных функций предоставит вам все значения триггерных функций.
Что такое тригонометрия?
Тригонометрия — один из разделов математики. Термин происходит от греческого слова «тригонон» , что буквально означает «треугольник» , и «метрон» , что означает «мера». Таким образом, тригонометрия в основном занимается измерением треугольников и углов.
В частности, речь идет об определении и использовании соотношений и взаимосвязей между сторонами треугольников. Основное применение этой области математики — решение треугольников, особенно прямоугольных. Тригонометрия очень важна, потому что вы можете использовать ее для различных приложений.
Для чего используется тригонометрия?
Хотя вы не можете использовать тригонометрию для непосредственного применения или решения практических задач, она обычно используется во множестве разных вещей. Вот несколько примеров того, для чего люди используют тригонометрию:
Измерение высоты гор или зданий
Вам легко определить высоту гор и зданий, если вы знаете, как далеко вы от них находитесь и угол подъема. Вы также можете решить это с помощью тригонометрии, если знаете угол треугольника и одну из сторон.
В строительстве
Вы можете использовать тригонометрию для измерения площадей, участков и полей; изготовление перпендикулярных и параллельных стен; для укладки керамической плитки; для наклона крыш; и для проведения измерений зданий.
В летной инженерии
Бортинженеры должны учитывать направление, расстояние и скорость, а также направление и скорость ветра. Ветер играет значительную роль в том, когда и как самолет прибывает туда, куда ему нужно. Вы можете решить эту проблему, используя векторы для создания треугольника. Затем вы можете продолжить тригонометрические вычисления.
Используйте тригонометрию, чтобы найти одну сторону треугольника, чтобы вести вашу равнину в правильном направлении. Имейте в виду, что самолеты движутся с силой, создаваемой ветром, как дополнение к курсу самолета.
В физике
Физики используют тригонометрию для решения компонентов векторов, для моделирования электромагнитных и физических колебаний и волновой механики, полной напряженности полей, а также для использования перекрестных и скалярных произведений. Вы также можете использовать тригонометрию для приложений движения снаряда.
В археологии
Археологи используют тригонометрию для точного разделения раскопок на равные рабочие зоны. Они также используют это в процессе раскопок, чтобы помочь им найти инструменты и идентифицировать их.
В криминалистике
Криминалисты могут использовать тригонометрию, чтобы определить траекторию снаряда. Им нужно это, чтобы оценить, что могло быть причиной автомобильного столкновения, как объект упал на кого-то, под каким углом упала пуля и многое другое. Это помогает им в решении некоторых очень важных дел, которые в противном случае было бы невозможно решить.
В биологии
Здесь морские биологи могут использовать тригонометрию для своих измерений. Они могут использовать это для определения уровней освещенности на разных глубинах и того, как эти уровни влияют на способность растений к фотосинтезу; для нахождения расстояний между небесными телами; для измерения и понимания морских существ и их поведения; для измерения размеров животных в дикой природе без необходимости приближаться к ним и так далее.
В морской технике
Морские инженеры используют тригонометрию для постройки различных типов судов и управления ими. В частности, они используют его для проектирования морских пандусов, которые относятся к наклонным поверхностям, соединяющим области более высокого уровня с областями более низкого уровня.
Для навигации
Наконец, вы также можете использовать тригонометрию для определения направления. Через него вы можете определить, в каком направлении двигаться, чтобы не заблудиться. Он также используется в навигации для поиска определенных мест, для определения расстояния от берега до определенной точки в море и т. д.
Как решить тригонометрию прямоугольного треугольника?
Хотя использование тригонометрического калькулятора для решения прямоугольных треугольников намного проще, вам также следует научиться находить значение вручную. Для этого вам понадобятся следующие значения:
один угол и одна сторона треугольника
две стороны треугольника
одна сторона и площадь треугольника
Пока у вас есть эти значения , вы можете решить тригонометрию прямого угла. Для этого вы можете использовать формулу теории Пифагора:
a2 + b2 = c2
Каковы шесть основных тригонометрических функций?
В основе тригонометрии лежат шесть триггерных функций. Основные из них, которые вы должны знать:
Синус (sin)
Косинус (cos)
Тангенс (tan)
8 90 калькулятор. Хотя остальные три функции используются нечасто, их можно вывести из основных функций. Другие три функции:
Секанс (сек)
Косеканс (csc)
Котангенс (cot)
1 Какие шесть круговых функций?
Определение тригонометрических функций позволяет их областям быть наборами углов, а диапазоны — наборами действительных чисел. Для круговых функций домены — это наборы чисел, соответствующие радианам углов аналогичных тригонометрических функций.
No related posts.