Sin3X производная: Производная от y=sin3x

2

2sin3x производная

Вы искали 2sin3x производная? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и sin 2 3x производная, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «2sin3x производная».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 2sin3x производная,sin 2 3x производная,sin 3x 2 производная,производная 2 sin 3x,производная sin 2 3x,производная sin 3x 2,производная от 2sin 3x. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2sin3x производная. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, sin 3x 2 производная).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2sin3x производная Онлайн?

Решить задачу 2sin3x производная вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

«»Производная»с применением информационных технологий». 10-й класс

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний.

а) Сообщение целей и задач.

• Знать правила дифференцирования, уметь применять правила вычисления производных при решении задач, уравнений и неравенств;
• совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки;
• навыки работы с компьютером;
• развивать интеллектуально-логические умения и познавательные интересы;
• воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

б) Повторение учебного материала.

Правила вычисления производных

(повторение формул по компьютеру со звуковым сопровождением). док.7.

1. Дать определение производной функции.
2. Назовите правила вычисления производной.
3. Какая функция является сложной?
4. Какова область определения сложной функции?
5. Назовите формулу нахождения производной сложной функции.
6. Назовите формулы производной тригонометрических функций.

3. Устная работа.

 

Найти производную.
Вариант 1.		Вариант 2.
У = 2х + 5.		У = 2х – 5.
У = 4cos x.		у = 3sin x.
у = tg x + ctg x.		у = tg x – ctg x.
у = sin 3x.		у = cos 4x.
у = (2x + 3)12		у = (5 + 6x)10
Варианты ответов.
1	2	3	4
2	-2	5	-5
4sin x	-4sin x	3cos x	-3cos x
1/cos2x+1/sin2x	1/cos2x-1/sin2x	1/sin2x-1/cos2x	1
4sin4x	-4sin4x	3cos3x	-3cos3x
24(2x+3)11	12(2x+3)11	60(5+6x)9	10(5+6x)9

Обменяйтесь тетрадями.
Отметьте в диагностических картах верно выполненные задания знаком «+», а неверно выполненные задания знаком «–».

4. Решение уравнений с помощью производной.

Как найти точки, в которых производная равна нулю?

Чтобы найти точки, в которых производная данной функции равна нулю, нужно:

1. определить характер функции;
2. найти область определения функции;
3. найти производную данной функции;
4. решить уравнение f’ (x)=0;
5. выбрать верный ответ.

Задача 1.

Дано: у = х — 2 sin x.

Найти: точки, в которых производная равна нулю.

Решение.

1. Функция определена и дифференцируема на множестве всех действительных чисел, так как на множестве всех действительных чисел определены и дифференцируемы функции

g(x) = x и t(x) = — 2 sin x.

2. Используя правила дифференцирования, получим

f’ (x) = ( x — 2 sin x )’ = (x)’ — ( 2 sin x )’ = 1 — 2 cos x.

Если f’ (x) = 0, то 1 — 2 cos x = 0.

cos x = 1/2; избавимся от иррациональности в знаменателе,

получим cos x = 2 / 2.

По формуле t = ± arccos a + 2 n, n Z, получим:

х = ± arccos 2 / 2 + 2 n, n Z.

Ответ: х = ± p / 4 + 2 n, n Z.

5. Решение уравнений по алгоритму.

Найти, в каких точках обращается в нуль производная.

f(x) = sin x + cos x

f(x) = sin 2x — 3 x

f(x) = 2x + cos(4x- )

Ученик может выбрать любой из трёх примеров. Первый пример оценивается оценкой “3”, второй–“4”, третий–“5”. Решение в тетрадях с последующей взаимопроверкой. Один ученик решает у доски. Если решение оказывается неверным, то нужно ученику вернуться к алгоритму и попытаться решить снова.

6. Программированный контроль.

Вариант 1		Вариант 2
У = 2х3		У = 3х2
У = 1/4 х4 + 2х2 – 7		У = 1/2 х4 + 4х + 5
У = х3 +4х2 – 3х. Решить уравнение у’ = 0		У = 2х3 – 9х2 + 12х + 7. Решить уравнение у’ = 0.
У = (х + 5)(х – 2)		У = (х – 5)(х + 2)
У = (3+5х)/(1–3х)		У = (1+2х)/(3-5х)
У = х3 – 6х2 – 63х. Решить неравенство у’ < 0.		У = х3 – 5х2 + 3х. Решить неравенство у’ < 0.
F(x) = (2x + 3)12. Найти f’ (-2).		F(x) = (5 + 6x)10. Найти f’ (-1).
y = sin 2x – cos 3x.		y = cos 2x – sin 3x.
Y = tg x – ctg(x + /4).		Y = ctg x + tg(x — /4).
У = sin2x.		Y = cos2x.
Варианты ответов.
1	2		3	4
6x2	6x		6	6x3
2x3+4	x3+4x		2x3+4	2x3+4x
-3; 1/3	-1/3; 3		1; 2	-1; 2
3x+2	2x+3		2x-3	3x-2
14/(1-3x)2	-14/(1-3x)2		-11/(3-5x)2	11/(3-5x)2
(-1/3; 3)	(-3; 7)		(1/3; 3)	(3; 7)
-52	-60		30	-24
сos 2x-sin 3x	2sin 3x-3cos 3x		-2sin 2x-3cos 3x	2cos 2x+3sin 3x
1/cos2(x- /4)+1/sin2x	1/cos2x+1/sin2(x+ /4)		1/cos2x-1/sin2(x- /4)	1/cos2(x- /4)-1/sin2x
2sin x cos x	-sin 2x		Sin 2x	2cos x

7. Самостоятельная письменная работа по вариантам

На отдельных листах с последующей сдачей учителю вместе с диагностическими листами. С 28. (дидактические материалы по алгебре и началам анализа).

Вариант 1.	Вариант 2.
Найдите производную функции.
f(x) = sin 5x + cos 3x	f(x) = cos 5x + sin 3x
f(х) = tg x + ctg (x + /6)	f(x) = ctg x + tg (x + /6)

Работы сдаются учителю.

8. Итог урока.

1. Дать определение производной функции.
2. Назовите правила вычисления производной.
3. Какая функция является сложной?
4. Какова область определения сложной функции?
5. Назовите формулу нахождения производной сложной функции.
6. Назовите формулы производной тригонометрической функции.
7. Как найти точки, в которых производная данной функции равна нулю?

Задание на дом.

§4, п.п.12-17. №238(в, г), стр.171. №2(2). Выполняя домашнее задание, закрепляете знание правил дифференцирования.

На дискете выбрать и решить два задания.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1. y = 2x + 3,6 sin⁵ ( — x).
2. y = sin (2x² — 3).
3. y = (1 + sin 3x) cos 3x.
4. y = tg x (tg x – 1).

Приложение 1

Приложение 2

Тест по теме: «Производная функции»

Тест для текущего контроля учащихся 10 класса или

студентов 1 курса СПО

Текущий контроль знаний используется для оперативного и регулярного управления учебной деятельностью (в том числе самостоятельной) студентов. Текущий контроль успеваемости осуществляется в течение семестра, в ходе повседневной учебной работы по индивидуальной инициативе преподавателя. Данный вид контроля стимулирует у студентов стремление к систематической самостоятельной работе по изучению дисциплины.

Методические указания. На выполнение тестов для текущего контроля отводится 30 мин. К каждому заданию с выбором ответа даны четыре варианта ответа, из которых нужно выбрать один верный.

Критерии оценивания. Каждое верно выполненное задание оценивается в 1 балл.

Оценка	Кол-во баллов	Процент верных ответов
Отлично	10	100%
Хорошо	8 — 9	80-90%
Удовлетворительно	6-7	60-70%
Неудовлетворительно	менее 6	50%

Тема: «Производная функции»

Выберите один правильный ответ:

Вариант 1

1. Найдите производную функции y(х) = x4+ 3×3 + 4.

1) 4×3 + 9×2 + 5

2) 4×3 + 9×2 + 4x

3) 4×2 + 3×2 

4) 4×3 + 9×2

2. Производная функции F(x) =  cos5x равна:

1) -5sin 5x

2) 5cos (- 5x)

3) 5xsin 5x

4) 5xcos(- 5x)

3. Найдите значение производной функции при х=1

1) 0,5

2) -1

3) -0,5

4) 1

4. Производная функции f(x) = равна:

1. f’ (x) =

   f’ (x) =

   f’ (x) =

4. f’ (x) =

5. Вычислите значение производной функции в точке .

1)

16

2)

64

3)

– 16

4)

– 64

6. Найдите производную функции .

 

7. Найдите производную функции .

8. Найдите производную функции .

9. К графику функции в точке с абсциссой проведена касательная. Найдите абсциссу точки пересечения касательной с осью ОХ.

 

10. Найти производную функции:

1)

2)

3)

4)

Вариант 2

1. Производная функции y(х) = x3+ 2×5 -6 равна:

1) 3×3 + 10×4 + 6

2) x3 + 10×2 -6х

3) x2 + 3×4

4) 3×3 + 10×4-6

 

2. Производная функции F(x) = sin(3x) равна:

1) 3cosx

2) 3xsin3x

3) cos3x

4) xcos3x

3. Найдите значение производной функции при х=2

1) 2

2) 26

3) 22

4) 1

4. Найти производную функции

1)

2)

3)

4)

5. Найдите значение производной функции в точке с абсциссой .

6. Найдите производную функции

 

7. Найдите производную функции .

8. Найдите производную функции .

 

9. К графику функции в точке с абсциссой проведена касательная. Найдите абсциссу точки графика касательной, ордината которой равна 31.

10. Найти производную функции

1)

2)

3)

4)

Зачет по теме «Производная»

10 класс.

Разработал:

учитель математики МБОУ «Краснооктябрьская СОШ»

п. Десятуха Стародубского района Брянской области

Хандус Татьяна Елисеевна.

1. Найдите производную функции в заданной точке x₀.

а) y = (-5x+11)⁴, x₀ = 2.

б) y = 6x — tg x, x₀ = 0.

в) y = , x₀ =.

г) y = 2x + ctg x, x₀ = .

д) y = — √x.

е) y = 2x ³√x + cos²x.

ж) y = -cos² 2x — sin²2x.

з) y = cos 5x cos 3x + sin 5x sin 3x.

и) y = ctg x + , x₀ = .

к) y = , x₀ = .

л) y = 6(2x – 1)².

м) y = .

н) y = √x (2x -4).

о) y = 17.

2.Геометрический смысл производной.

а) Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой x₀ = , если

f (x) = 2x + ctg x.

б) Угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x) в точке (-2;7), равен 4. Найдите f`(-2).

в) Найдите абсциссу точки графика функции y = x² — 5x +6 , в которой угловой коэффициент касательной равен -4.

г) Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику данной функции через точку с абсциссой x₀ = 2, если f (x) =x³ — ½ x.

д) Касательная в точке М графика функции y= 3x² + 15x +2 параллельна оси абсцисс.

Найдите абсциссу точки М.

е) Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции y = f (x) в точке

C(-6; 12). Найдите f`(-6).

3.Физический смысл производной.

1. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t³+ 3t+1. Найдите её ускорение в момент времени t = 3с.

2. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = t³- 3t. Найдите её скорость и ускорение в момент времени

t = 1с.

3. Тело движется по закону x(t) = t⁵ + t. Определите x( t ) в момент, когда её скорость 65 м/с.

4. Тело движется по закону x(t) = 3 cos 2t. При каких значениях t ускорение точки положительно?

5. Тело движется по закону x(t) = 3t³- 6t. Найдите ускорение точки в момент, когда её скорость 30 м/с.

6. Тело движется по закону x(t) = 7t + 5t² + t³. Определите скорость точки в момент, когда её ускорение 70 м/с².

7. Тело движется по закону x(t) = -t⁴ — 4t³+ 6t². Определите скорость точки в момент, когда её ускорение максимально.

4.Касательная к графику функции.

1. Прямая y = -3x + 5 параллельна касательной к графику функции y = x² + 6x + 8. Найдите абсциссу точки касания.

2. Прямая y = 5x + 14 параллельна касательной к графику функции y = x³ — 4x² + 9x +14. Найдите абсциссу точки касания.

3. Составьте уравнение касательной к графику функции y = x³ — 2x +1 в точке с абсциссой x₀ =2_.

4. Дана кривая y = -x² + 1. Найдите точку её графика, в которой касательная параллельна прямой y = 2x + 3. Написать уравнение касательной.

5. Найдите координаты точки, в которой касательная к графику функции y = x² + √3x -10 образует угол 60° с Оx.

6. Найдите угол между прямой x = 2 и параболой y = x² + 2.

7. Составьте уравнение касательной к графику функции y = в точке пересечения с осью ординат.

8. Составьте уравнение касательной к графику функции y = в точке пересечения с осью абсцисс.

9. На графике функции y = x(x – 4)³. Найти точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс.

10. Под каким углом кривая y = sin3x пересекает ось абсцисс в начале координат?

11. В каких точках касательные к кривой y = — x² — x +1 параллельны прямой y = 2x – 1.

12. . Под каким углом к оси Оx наклонена касательная, проведённая к кривой y = x³ — x² — 7x + 6 в точке М₀(2;-4)?

13. Известно, что прямая y = — x — является касательной к линии, заданной уравнением y = 0,5x⁴ — x. Найдите координаты точек касания.

14) Составьте уравнения касательных к кривым y = 2x² — 5 и y = x² -3x + 5, проведённых через точки их пересечения.

15) Найти угол, который образует с осью ординат касательная к кривой y = x⁵ — x³, проведённая в точку с абсциссой x = 1.

5. Применение производной к исследованию функций

5.1. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (−6; 8).

Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

 

5.2. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (−5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции  отрицательна.

 

 

5.3.  На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямойy = 6 или совпадает с ней.

 

 

5.4. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

 

5.5.  На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка  функция  принимает наибольшее значение?

 

5.6.  На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка   принимает наименьшее значение?

 

 5.7.На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

 

5.8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек минимума функции  на отрезке .

 

5.9. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].

 

5.10. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

 

5.11. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

5.12. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

 

5.13. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

5.14.На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x−11 или совпадает с ней.

 

5.15. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функцииf(x) на отрезке [−2; 6].

5.16. На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

5.17.На рисунке изображён график  производной функции  и восемь точек на оси абсцисс:    , . В скольких из этих точек функция  возрастает?

 

5.18.На рисунке изображён график  производной функции  и восемь точек на оси абсцисс:    ,. В скольких из этих точек функция  убывает?

 

5.19. На рисунке изображен график функции  и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

5.20.

5.21. На рисунке изображен график функции  и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

 

Производная синуса — sin x

Производная по переменной x от синуса x равна косинусу x:
( sin x )′ = cos x.

Доказательство

Для вывода формулы производной синуса, мы воспользуемся определением производной:
.

Чтобы найти этот предел, нам нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы свести его к известным законам, свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Значение первого замечательного предела:
(1)   ;
2) Непрерывность функции косинус:
(2)   ;
3) Тригонометрические формулы. Нам понадобится следующая формула:
(3)   ;
4) Арифметические свойства предела функции:
Если    и  , то
(4)   .

Применяем эти правила к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(3)   .
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.

Теперь сделаем подстановку . При , . Применим первый замечательный предел (1):
.

Сделаем такую же подстановку и используем свойство непрерывности (2):
.

Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):

.

Формула производной синуса доказана.

Примеры

Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x;   y = sin ² x   и   y = sin ³ x.

Пример 1

Найти производную от sin 2x.

Решение

Сначала найдем производную от самой простой части:
( 2x )′ = 2( x )′ = 2 · 1 = 2.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь .

Ответ

( sin 2x )′ = 2 cos 2x.

См. также
Все примеры вычисления производных с решениями > > >

Пример 2

Найти производную от синуса в квадрате:
y = sin ² x.

Решение

Перепишем исходную функцию в более понятном виде:
.
Найдем производную от самой простой части:
.
Применяем формулу производной сложной функции.

.
Здесь .

Можно применить одну из формул тригонометрии. Тогда
.

Ответ

.

Пример 3

Найти производную от синуса в кубе:
y = sin ³ x.

Решение > > >

Производные высших порядков

Заметим, что производную от sin x первого порядка можно выразить через синус следующим образом:
.

Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции:

.
Здесь  .

Теперь мы можем заметить, что дифференцирование sin x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5)   .

Докажем это, применяя метод математической индукции.

Мы уже проверили, что при , формула (5) справедлива.

Предположим, что формула (5) справедлива при некотором значении . Докажем, что из этого следует, что формула (5) выполняется для .

Выпишем формулу (5) при :
.
Дифференцируем это уравнение, применяя правило дифференцирования сложной функции:

.
Здесь .
Итак, мы нашли:
.
Если подставить , то эта формула примет вид (5).

Формула доказана.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 04-03-2017

Общие производные инструменты — Исчисление Как к

1. Список общих производных инструментов:
2. Общие правила по производным инструментам

Производная sin

³ x

Производная sin ³ x равна 3sin ² x cos x.
Есть два основных способа получить производную: либо с помощью определения предела (длинный путь), либо с помощью ярлыка, называемого общим правилом мощности. Существуют ярлыки, позволяющие пропустить долгий путь поиска производной: определение лимита.Общая форма правила мощности помогает вам различать функции вида [u (x)] ⁿ ], например sin3x, который можно переписать как [sin x] ³ , который имеет внутреннюю функцию «sin x ”и внешняя функция x ³ . Общая форма правила мощности:
Если y-u ⁿ , то y = nu ^{n — 1} * u ’, где« u »- внутренняя функция.

Пример задачи : Найдите производную Sin3x

Шаг 1: Перепишите уравнение , чтобы преобразовать его в степенную функцию:
sin ³ x = [sin x] ³

Шаг 2: Найдите производную для «внутренней» части функции , sin x.Согласно общим правилам дифференцирования, производная sin x равна cos x:
f ’sin x = cos x

Шаг 3: Перепишите функцию в соответствии с общим правилом мощности. Другими словами, напишите общее правило мощности, подставляя при необходимости свою функцию. Последняя половина общего правила мощности — это производная внутренней функции, которую вы разработали на шаге 2:
f- = 3 [sin x] ^3-1 [cos x] = 3 [sin x] ² [ cos x]

Шаг 4: Перепишите, используя алгебру :
3 [sin x] ² [cos x] = 3sin ² x cos x

Вот и все!

Совет: Исчисление использует много алгебры и тригонометрии.Если у вас слабые навыки алгебры, то здесь курс, скорее всего, станет трудным. Вместо того, чтобы концентрироваться на запоминании правил дифференциации, сконцентрируйтесь на улучшении своих навыков алгебры. Возможность взглянуть на функцию и увидеть, какое правило может применяться, если вы манипулируете уравнением (например, зная, что квадратный корень можно переписать как «в 1/2 степени»), является ключом к вычислению производных.

Вернуться к началу.

Это список наиболее распространенных производных (тех, которые вы обычно найдете в приложении к учебнику).
Мощность х

Таблица экспоненциальных / логарифмических производных

Тригонометрический

Обратный тригонометрический

Гиперболические функции

Выше приведен список наиболее распространенных производных финансовых инструментов, которые вы найдете в таблице производных финансовых инструментов. Если вы не можете найти здесь нужную производную, возможно, что производная, которую вы ищете, не является общей производной (т. Е. Вам действительно нужно вычислить производную с нуля).Если это так и вам нужно найти производную, выполните поиск на этом сайте или попробуйте онлайн-калькулятор, подобный этому от Wolfram Alpha.

Вернуться к началу.

Посмотрите видео или прочтите ниже:

Не можете посмотреть видео? Кликните сюда.

Производная от x = 1. Аналогично производная от -x = 1.

Почему производная x равна 1?

Определение производной — это наклон касательной в любой точке графика.Функция y = x — постоянная функция. Она имеет положительный наклон ровно 1 во всех точках графика, поэтому производная для всей функции определяется как 1.

График -x показывает, что это убывающая функция с отрицательным наклоном ровно -1 во всех точках:

График y = -x (красная линия) и производной -1 (зеленая линия).

Если вы обернете идею о том, что производная — это просто наклон касательной линии, это значительно упростит поиск многих распространенных производных.Если бы все производные в исчислении были такими простыми!

А как насчет других функций с константами?

Производная любых других функций с некоторым значением x, умноженным на константу, является просто константой. Например:

• Производная 12x равна 12,
• Производная 10,000x равна 10,000.

Вы можете применить это правило к любому значению x, умноженному на константу, включая π (см. Производную пи), e (число Эйлера), десятичные числа, дроби и другие константы.

Вернуться к началу.

Посмотрите видео или прочтите ниже:

Не можете посмотреть видео? Кликните сюда.

Формула

Производная любого значения x, умноженного на константу, — это просто сама константа.
В качестве формулы это: [cx] ′ = c
На словах это означает, что если у вас есть значение x, умноженное на , любая константа , производная (обозначается символом ′, которая называется «простое обозначение «) — это просто константа.

Например, производная 2x равна 2, или производная 100 x равна 100. Вы можете применить это правило к любому значению x, умноженному на константу, включая:

• пи,
• e,
• десятичных знаков,
• фракции.

Правило можно легко расширить, чтобы найти производную 3x (которая равна 3), производную 4x (которая равна 4)… ∞. Просто отбросьте «x», и вы получите производную.

Почему производная от 2x просто «2»?

Производная — это касательная линия в точке.Другими словами, найдите наклон в точке и получите производную. Наклон линии 2x равен 2, независимо от того, какую точку вы выберете, чтобы найти наклон. Следовательно, производная всей функции равна 2.

График y = 2x (красная линия) и производной 2x (зеленая линия).

Совет : На всякий случай, если вам нужно напомнить, формула наклона: изменение y / изменение x. Вы можете использовать эту формулу, чтобы взять среднее значение уклона в двух точках; поскольку наклон линейного графика (например, 2x) постоянен, нахождение наклона между двумя точками также даст вам производную 2x.

Вернуться к началу.

Посмотрите видео или прочтите ниже:

Не можете посмотреть видео? Кликните сюда.

Производная 3x равна 3.

Производная , умноженная на x на константу, — это просто константа. Например:

• Производная от 99x равна 99,
.
• Производная 101x равна 101.

Почему производная от 3x равна 3?

Производная — это касательная линия в точке.Другими словами, для таких функций с прямой линией все, что вы делаете, — это находим наклон в определенной точке, и это значение является производной.

Вы можете найти наклон линии между двумя точками, используя формулу наклона:

Наклон = Изменение y / изменение x.

Как вы, вероятно, можете вывести из формулы, невозможно найти наклон в точке , точка … потому что нет никаких изменений! В расчетах, если вы хотите найти наклон в точке, вы просто выбираете пару точек, которые находятся на расстоянии очень близко от точки, для которой вы хотите найти наклон.Насколько близко достаточно близко? Обычно это вопрос мнения, но пока вы находитесь «в этом районе» (другими словами, пока вы достаточно близко), вы должны быть «достаточно близко».

Например, если вы хотите найти производную 3x (которая является просто наклоном), вы можете выбрать точку x = 3, чтобы найти производную в. Чтобы использовать формулу наклона, вам нужны две точки, поэтому вы можете выбрать x = 2 и x = 4 (которые равны 1 единице с каждой стороны от 3). Линейная функция имеет постоянный наклон, поэтому на самом деле не имеет значения, какие точки вы выберете: функция имеет одинаковую постоянную производную.

Наклон прямой 3x равен 3, независимо от того, какие точки вы выберете, чтобы найти наклон. Следовательно, производная 3x в точке x = 2 до x = 4 является производной всей функции.

Функция 3x имеет постоянный наклон 3.

Пример задачи: Найдите производную f (x) = 3x на TI 89.

Шаг 1: Нажмите кнопку F3.

Шаг 2: Выберите «1: d (дифференцировать». Вы можете использовать клавишу со стрелкой вниз или , чтобы ввести номер, чтобы выбрать его.

Шаг 3: Нажмите ENTER. Калькулятор заполнит командную строку на главном экране цифрой d (

Шаг 4: Введите имя вашей функции и запятую. Например, если ваша функция — 3x, введите «3x,». Синтаксис теперь будет выглядеть следующим образом:

Шаг 5: Введите X. Это сообщает калькулятору, что вы дифференцируете по X.

Шаг 6: Введите закрывающую круглую скобку.

Шаг 7: Нажмите ENTER.Решение показано в правой части экрана.

Производная 3x равна 3.

Предупреждение : буква d для производной не совпадает с буквой D на клавиатуре. Другими словами, вы не можете просто ввести «d (» на главном экране. Вы должны нажать клавишу F3 (вы также можете искать его в каталоге, но зачем это делать так долго?).

Вернуться к началу.

В комплекте:

1. Производная от e
2. Производная e ^x

Производная от e

Производная e равна 0.

Почему?

Поскольку производная любой постоянной функции равна 0.

Число Эйлера (e), иногда называемое константой Напьера, не является такой переменной, как x или y. Это константа, такая как π. Его значение составляет примерно 2,718.

На этом графике показана постоянная функция y = e (красный) и y = e ^x (зеленый):

Если вы посмотрите на график e, вы увидите, что наклон равен нулю для всех точек на линии; Горизонтальная линия всегда имеет нулевой наклон.Следовательно, производная всегда равна нулю для постоянных функций (например, e), отображающих горизонтальную линию на графике.

Вернуться к началу.

Производная от e ^x — e ^x .

Почему?
Это необычная функция, потому что является собственной производной. Другими словами, наклон такой же, как выход функции (значение y) для всех точек на графике. Чтобы сделать это более понятным, попробуйте построить график функции и найти наклон в определенных точках.

На изображении выше показано, что производная (т. Е. Наклон касательной) в точке (0, 1) равна 1. Предположим, вы начали строить график производной. Для этой единственной точки в вашей функции (0, 1) первая точка в вашей производной функции будет лежать на линии функции y = 1. Эта точка показана на красной линии ниже:

Наклон равен 1 в точке (0, 1).

Пока что у нас есть только одна точка на нашей производной. Нам нужно еще несколько, чтобы начать строить график производной функции.Затем давайте посмотрим на наклон для x = 1:

Производная функции e с использованием правила цепочки

Производная от e ^x на самом деле является частным случаем немного более сложного правила, называемого цепным правилом. Вы используете правило, когда степень e является функцией x, а не только переменной x сама по себе.

Когда e, когда он сочетается с другой функцией. Например, вас могут попросить найти производную от функции e, которая выглядит следующим образом: e ^5x или x ^{2x 2} .Для этих функций вам нужно использовать цепное правило.

Далее: Цепное правило.

Вернуться к началу.

Общие производные инструменты: ссылки

Рон Ларсон, Брюс Х. Эдвардс. Исчисление. Cengage Learning, 16 января 2009 г. Получено 12 июня 2019 г. из: https://books.google.com/books?id=Xn9rXyPSrzAC
Правила исчисления — функции одной переменной.

————————————————— —————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области.Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Пример 12 — Найдите интервалы, в которых f (x) = sin 3x уменьшается

Последнее обновление: 19 апреля 2021 г., автор: Teachoo

---

Выписка

Пример 12 Найдите интервалы, в которых функция, заданная как f (x) = sin 3x, x, ∈ [0, 𝜋 / 2], (a) возрастает (b) убывает. f (𝑥) = sin 3𝑥, где 𝑥 ∈ [0, 𝜋 / 2] Нахождение f ’(x) f ’(𝑥) = 𝑑 (sin⁡3𝑥) / 𝑑𝑥 f ’(𝑥) = cos 3𝑥 × 3 f ’(𝒙) = 3.cos 3𝒙 Положив f ’(𝒙) = 0 3 cos 3𝑥 = 0 cos 3𝑥 = 0 Мы знаем, что cos θ = 0 Когда θ = 𝜋 / 2 и 3𝜋 / 2 Итак, при cos 3𝒙 = 0 3𝑥 = 𝜋 / 2 и 3𝑥 = 3𝜋 / 2 𝑥 = 𝜋 / (2 × 3) & 𝑥 = 3𝜋 / (2 × 3) 𝒙 = 𝝅 / 𝟔 & 𝒙 = 𝝅 / 𝟐 Поскольку 𝑥 = 𝜋 / 6 ∈ [𝟎, 𝝅 / 𝟐] & 𝑥 = 𝜋 / 2 ∈ [𝟎, 𝝅 / 𝟐] ∴ Оба значения 𝑥 действительны Нанесение точек на числовую прямую Итак, точка 𝑥 = 𝜋 / 6 делит интервал на два непересекающихся интервала [0, / 6) и (𝜋 / 6, 𝜋 / 2] Проверяющий знак f ’(𝒙) f ’(𝑥) = 3.cos 3𝑥 Случай 1: для 𝒙 ∈ (𝟎, 𝝅 / 𝟔) 0 <𝑥 <𝜋 / 6 3 × 0 <3𝑥 <3𝜋 / 6 𝟎 <𝟑𝒙 <𝝅 / 𝟐 Итак, когда 𝑥 ∈ (0, 𝜋 / 6), то 3𝑥 ∈ (0, 𝜋 / 2) Мы знаем это cos 𝜽> 𝟎 для 𝜽 ∈ (𝟎, 𝝅 / 𝟐) cos 3x> 0 для 3x ∈ (0, 𝜋 / 2) cos 3x> 0 для x ∈ (0, 𝜋 / 6) 3 cos 3x> 0 для x ∈ (0, 𝜋 / 6) 𝒇 ′ (𝒙)> 𝟎 для x ∈ (0, 𝜋 / 6) Поскольку f ’(0) = 3 и f’ (𝝅 / 𝟔) = 0 Следовательно, f ’(x) ≥ 0 для 𝑥 ∈ [0, 𝜋 / 6]. Таким образом, f (x) возрастает при 𝑥 ∈ [0, 𝜋 / 6]. Случай 2: для 𝒙 ∈ (𝝅 / 𝟔, 𝝅 / 𝟐) 𝜋 / 6 <𝑥 <𝜋 / 2 3 × 𝜋 / 6 <3𝑥 <3𝜋 / 2 𝝅 / 𝟐 <𝟑𝒙 <𝟑𝝅 / 𝟐 Итак, когда 𝑥 ∈ (𝜋 / 6, 𝜋 / 2), то 3𝑥 ∈ (𝜋 / 2, 3𝜋 / 2) Мы знаем это, cos 𝜃 <0 для 𝜃 ∈ (𝜋 / 2, 3𝜋 / 2) cos 3𝑥 <0 для 3𝑥 ∈ (𝜋 / 2, 3𝜋 / 2) cos 3𝑥 <0 для 𝑥 ∈ (𝜋 / 6, 𝜋 / 2) 3 cos 3𝑥 <0 для 𝑥 ∈ (𝜋 / 6, 𝜋 / 2) f ‘(x) <𝟎 для 𝑥 ∈ (𝜋 / 6, 𝜋 / 2) Поскольку f ’(𝝅 / 𝟔) = 0 и f’ (𝝅 / 𝟐) = 0 Следовательно, f ’(x) ≤ 0 для 𝑥 ∈ [𝜋 / 6, 𝜋 / 2]. Таким образом, f (x) убывает при 𝑥 ∈ [𝜋 / 6, 𝜋 / 2]. (Поскольку cos 𝜃 отрицательный во 2-м и 3-м квадранте) Таким образом, f (x) возрастает при 𝒙 ∈ [𝟎, 𝝅 / 𝟔]. & f (x) убывает при 𝒙 ∈ [𝝅 / 𝟔, 𝝅 / 𝟐]

Показать больше

Решения NCERT для математики класса 12 Глава 6 Применение производных

Решения NCERT для математики класса 12 Глава 6 Применение производных инструментов

Решения NCERT для математики 12-го класса Глава 6 Применение производных: Учащиеся, готовящиеся к экзаменам совета 12-го класса и JEE (основному и продвинутому), должны тщательно изучить учебники по математике NCERT.Вы должны понимать теорию, лежащую в основе каждой концепции, а затем решать вопросы в конце каждой главы. После того, как вы закончите весь учебный план и будете его пересматривать. вы должны найти ответы на все вопросы. В этой статье мы предоставим вам решения NCERT для математики класса 12, глава 6 — Применение производных финансовых инструментов.

Математика класса 12 Глава 6 Решения NCERT — приложения производных

Решения

NCERT для математики 12 класса, глава 6 — Применение производных инструментов, были разработаны лучшими и опытными преподавателями.Изучите их и получите четкое представление о том, как подойти к проблемам, чтобы вы могли решить их наиболее эффективным способом.

Решения RD Sharma HC Verma Концепции физики

В главе «Применение производных финансовых инструментов» включены следующие темы и подтемы:

Название раздела	Название темы
6	Применение производных инструментов
6.1	Введение
6,2	Скорость изменения количеств
6,3	Увеличение и уменьшение функций
6,4	Касательные и нормали
6,5	Приблизительные значения
6,6	Максимумы и минимумы
6,7	Максимальные и минимальные значения функции в закрытом интервале
6.8	Сводка

Решения NCERT для математики класса 12 Глава 6 Применение производных Хинди Средний Ex 6.1

Математика класса 12 Решения NCERT

• Глава 1 Взаимосвязи и функции
• Глава 2 Обратные тригонометрические функции
• Глава 3 Матрицы
• Глава 4 Детерминанты
• Глава 5 Непрерывность и дифференцируемость
• Глава 6 Применение производных инструментов
• Глава 7 Интегралы Пример 7.1
• Глава 8 Применение интегралов
• Глава 9 Дифференциальные уравнения
• Глава 10 Векторная алгебра
• Глава 11 Трехмерная геометрия
• Глава 12 Линейное программирование
• Глава 13 Вероятность Пример 13.1

Решения NCERT для математики класса 12 Глава 5 Непрерывность и дифференцируемость

Решения NCERT для математики класса 12 Глава 5 Непрерывность и дифференцируемость

Решения

NCERT для математики 12 класса Глава 5 «Непрерывность и дифференцируемость» разработана и подготовлена ​​лучшими учителями Индии.Все важные темы охватываются упражнениями, и каждый ответ сопровождается подробным объяснением, чтобы помочь студентам лучше понять концепции. Эти решения NCERT играют решающую роль в вашей подготовке ко всем экзаменам, проводимым CBSE, включая JEE.

Вы пытались решить проблему непрерывности и дифференцируемости по математике RD Sharma Class 12?

Глава 5 Математика непрерывности и дифференцируемости NCERT Solutions охватывает восемь упражнений. Для вашего лучшего понимания даны ответы на каждый вопрос в каждом упражнении вместе с полными пошаговыми решениями.Это окажется для вас наиболее полезным как при выполнении домашних заданий, так и на практических занятиях.

В главу «Непрерывность и дифференциация» включены следующие темы и подтемы:

• Непрерывность и дифференцируемость
• Введение
• Алгебра непрерывных функций
• Различимость
• Производные сложных функций
• Производные неявных функций
• Производные обратных тригонометрических функций
• Экспоненциальные и логарифмические функции
• Логарифмическое дифференцирование
• Производные функций в параметрических формах
• Производная второго порядка
• Теорема о среднем значении
• Сводка

Всего в 12-м классе по математике, глава 5 «Непрерывность и дифференцируемость», восемь упражнений и одно дополнительное упражнение ( 144 полностью решенных вопросов, ).

• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.1 (34 вопроса полностью решены)
• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.2 (10 вопросов полностью решены)
• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.3 (15 вопросов полностью решены)
• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.4 (10 вопросов полностью решены)
• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.5 (18 вопросов полностью решены)
• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.6 (11 вопросов полностью решены)
• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.7 (полностью решено 17 вопросов)
• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.8 (6 вопросов полностью решены)
• Класс 12 Математика Глава 5 Разное упражнение на непрерывность и дифференцируемость (23 вопроса полностью решены)

Класс 12 Упражнение на непрерывность и дифференцируемость по математике 5.1

• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.2
• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.3

Класс 12 Математика Упражнение на непрерывность и дифференцируемость 5.2 и 5,3

• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.4
• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.5

Упражнение на непрерывность и дифференцируемость по математике для класса 12 5.4

• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.3
• Класс 12. Математика Глава 5 Упражнение 5.5

Упражнение на непрерывность и дифференцируемость по математике для класса 12 5.5

• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.6
• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.4

Упражнение на непрерывность и дифференцируемость по математике 12 класса 5,6

• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.7
• Класс 12. Математика Глава 5 Упражнение 5.5

Упражнение на непрерывность и дифференцируемость по математике 12 класса 5,7

• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.6
• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.8

Класс 12 Математика Упражнение на непрерывность и дифференцируемость 5.8

• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.7
• Класс 12 Математика Глава 5 Разное

Разные упражнения по математике на непрерывность и дифференцируемость для класса 12

• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.1
• Класс 12 Математика Глава 5 Упражнение 5.8

Решения NCERT для математики 12 класса Глава 5 Непрерывность и дифференцируемость Хинди Средний Пример 5.1

Математические решения класса 12 NCERT

• Глава 1 Взаимосвязи и функции
• Глава 2 Обратные тригонометрические функции
• Глава 3 Матрицы
• Глава 4 Детерминанты
• Глава 5 Непрерывность и дифференцируемость
• Глава 6 Применение производных инструментов
• Глава 7 Интегралы Пример 7.

  No related posts.