Синус двойного угла равен: HTTP 404 Resource not found

В этой статье мы обсудим концепцию формулы двойного угла греха, докажем ее формулу, используя тригонометрические свойства и тождества, и поймем ее применение. Мы решим несколько примеров, используя различные формы формулы двойного угла греха, чтобы лучше понять концепцию.

Что такое формула двойного угла греха?

Sin Double Angle Formula — это тригонометрическая формула, которая используется для упрощения различных выражений и задач в тригонометрии. Он дает значение функции синуса для двойного угла 2θ, то есть sin2θ. Мы можем выразить формулу двойного угла греха в различных формах и в терминах различных тригонометрических функций. Это одна из основных формул двойного угла тригонометрии. Формула синуса двойного угла может быть выражена как удвоенное произведение косинуса и синуса угла. Формула Sin2θ может быть выражена как:

• sin2θ = 2 sinθ cosθ
• sin2θ = 2tanθ / (1 + тангенс ² θ)

Доказательство формулы двойного угла греха

Теперь, когда мы знаем формулу два греха и двойного угла, давайте выведем эти формулы, используя тригонометрические формулы и тождества. Чтобы вывести первую формулу sin2θ, мы будем использовать формулу sin A плюс B, которая определяется как sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b. В этой формуле подставьте a = θ и b = θ. Итак, у нас

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

⇒ sin (θ + θ) = sin θ cos θ + cos θ sin θ

⇒ sin2θ = 2 sinθ cosθ

Отсюда , мы доказали формулу первого греха двойного угла.

Формула двойного угла греха в терминах загара

Мы будем использовать приведенную выше формулу двойного угла греха, чтобы выразить через тангенс.

sin2θ = (2 sin θ cos ² θ)/(cos θ)

= 2 (sinθ / cosθ ) × (cos ² θ)

Мы знаем, что sin θ/cos θ и = tan cos θ = 1/(сек θ). Таким образом,

sin2θ = 2 tan θ × (1/сек ² θ)

Используя одно из тригонометрических тождеств Пифагора, мы имеем sec ² θ = 1 + tan ² θ. Подставляя это, мы имеем

sin2θ = (2tan θ)​/(1 + tan ² θ)

Следовательно, формула двойного угла sin с точки зрения тангенса равна sin2θ = (2tan θ)​/(1 + tan ² θ) .

Синус-квадрат Формула двойного угла

Формула Sin квадрат двойного угла дает тригонометрические формулы для выражений sin ² (2x). Чтобы выразить формулу sin ² (2x), мы просто заменим θ на 2x в формуле sin ² θ. Итак, сначала запишем sin ²

• sin ² θ = 1 — cos ² θ
• грех ² θ = (1/2) (1 — cos2θ)

Теперь, просто заменив θ на 2x в приведенных выше формулах, мы можем получить формулы квадрата квадрата двойного угла, как показано ниже:

Важные замечания по формуле двойного угла Sin

• Формула двойного угла Sin может быть выражена через различные тригонометрические функции.
• Формула для sin2θ может быть выражена как:
  • sin2θ = 2 sinθ cosθ
  • sin2θ = 2tanθ / (1 + тангенс ² θ)
• Мы можем доказать формулы греха двойного угла, используя формулу греха (A + B) и другие тригонометрические тождества.

☛ Связанные темы:

• Формула двойного угла Cos
• Тригонометрическая таблица
• Тригонометрические соотношения

Часто задаваемые вопросы о формуле Sin Double Angle

Что такое формула двойного угла Sin в тригонометрии?

Sin Формула двойного угла — важная формула в тригонометрии, которая дает значение функции синуса для двойного угла. Это важная формула двойного угла, и ее формулу можно записать двумя способами:

• sin2θ = 2 sinθ cosθ
• sin2θ = 2tanθ / (1 + тангенс ² θ)

Как использовать формулу Sin Double Angle?

Мы можем использовать формулу синуса двойного угла, чтобы найти значение функции синуса для двойного угла 2θ. Просто подставьте известные значения в формулу двойного угла греха, чтобы найти значение неизвестной переменной.

Как вывести формулу двойного угла Sin?

Мы можем вывести формулу синуса двойного угла, используя формулу суммы синуса и другие тригонометрические формулы и тождества.

Что такое формула Sin Squared Double Angle?

Формулы квадрата квадрата двойного угла, приведенные ниже:

• sin ² 2x = 1 — cos ² 2x
• sin ² 2x = (1/2) (1 — cos4x)

Когда использовать формулу Sin Double Angle?

Мы можем использовать формулу sin двойного угла, чтобы найти значение sin2x, когда известно значение тригонометрических функций для угла x.

Что такое формула двойного угла греха с точки зрения загара?

Мы можем выразить формулу двойного угла sin через tan как sin2θ = 2tanθ / (1 + tan ² θ).

Видео-урок: Тождества с двойным и половинным углами

Стенограмма видео

В этом видео мы научимся использовать тождество Пифагора и формулы двойного угла и половинного угла, чтобы вычислить тригонометрические значения. Наша первая задача состоит в том, чтобы вывести эти тождества двойного угла и половинного угла для функций синуса, косинуса и тангенса на основании того, что мы уже знаем.

Что касается тригонометрии отношения, с которыми мы уже знакомы, мы можем вспомнить, что для некоторого угла 𝑥, где 𝑥 может быть в градусах или радианах, квадрат синуса этого угла плюс косинус квадрата этого угла равен единице. Это известно как пифагорейское личность. Наряду с этим можно вспомнить набор уравнений, называемый формулами суммы и разности. Они описывают отношения для функции синуса, косинуса и тангенса двух углов, мы назвали их 𝛼 и 𝛽, которые либо складываются, либо вычитаются.

Работа с этими двумя частями информации, мы можем начать получать тождества двойного угла и половинного угла. Начнем с двойного угла личности, и вот наша цель. Учитывая некоторый угол, который мы назовем 𝜃, мы хотите вывести уравнения для греха двух 𝜃, cos двух 𝜃 и тангенса два 𝜃. Начнем с создания выражение для греха два раза 𝜃. Теперь один способ написать два раза 𝜃 это как 𝜃 плюс 𝜃. И мы пишем это так, потому что это может напомнить нам формулу суммы для функции синуса. Эта формула показывает нам, как принимать синус двух углов, здесь они оба равны 𝜃, сложенные вместе. Грех 𝜃 плюс 𝜃 равняется грех 𝜃 умножить на косинус 𝜃 плюс грех 𝜃 умножить на косис 𝜃, или в два раза грех 𝜃 раз больше, чем 𝜃. Обратите внимание, что теперь у нас есть выражение для греха двух 𝜃 полностью через угол 𝜃. Мы запишем это тогда как наш первое двуугольное тождество.

Далее найдем аналог отношения для cos два раза 𝜃. Еще раз, мы можем записать два 𝜃 как 𝜃 плюс 𝜃 и еще раз используйте формулу суммы, чтобы увидеть, что это равно косинусу 𝜃 умножить на cos 𝜃 минус грех 𝜃 умножить на sin 𝜃, другими словами, cos квадрат 𝜃 минус квадрат греха 𝜃. Это один из способов написать тождество двойного угла для функции косинуса. Заметьте, однако, что в этом отношения, у нас есть косинус в квадрате и синус в квадрате. Каждый раз, когда мы видим косинус в квадрате или квадрат синуса, который может напомнить нам о тождестве Пифагора. Это тождество означает, что при заданном квадрат синуса, мы можем написать это так, или член в квадрате косинуса, например это.

В нашем уравнении для cos двух 𝜃 мы можем сделать обе эти замены по отдельности. Во-первых, давайте заменим cos квадрат 𝜃 с одним минус квадрат греха 𝜃. Это дает нам это выражение, которое, как мы видим, мы получили через пифагорейское тождество, которое упрощается до один минус два умноженных на грех в квадрате 𝜃. Тогда мы можем думать об этом как о альтернативная форма тождества двойного угла для функции косинуса.

Но ведь есть еще одна форма но поскольку, возвращаясь к этой версии нашего выражения cos of two 𝜃, мы можем теперь замените член в квадрате 𝜃 на единицу минус квадрат квадрата 𝜃. Это дает нам это выражение, что в два раза упрощает квадрат косинуса 𝜃 минус один. Это третий и последний форма тождества двойного угла для функции косинуса.

Наконец, мы можем посмотреть на сгенерируйте аналогичное выражение для тангенса двух 𝜃. Тангенс двух 𝜃 равен тангенсу 𝜃 плюс 𝜃. И снова формула суммы позволяет нам переписать форму этого выражения. И это упрощает в два раза тангенс 𝜃 больше единицы минус тангенс квадрат 𝜃.

Записав этот результат, мы теперь достигли нашей цели. У нас есть выражения для греха, cos и тангенс угла два 𝜃 относительно заданного угла 𝜃. Зная все это, давайте перейдем к управление полуугловыми тождествами для этих функций. Теперь наша цель немного изменилась. Учитывая угол 𝜃, мы теперь хотим вывести уравнения для греха 𝜃 больше двух, косинуса 𝜃 больше двух и тангенса этого угла. При этом мы будем использовать в качестве нашего отправной точкой результат, который мы только что получили, формула двойного угла для функция косинуса. В частности, когда мы идем нахождение выражения для греха 𝜃 над двумя, мы будем использовать эту версию двухугловое тождество косинуса. Мы можем написать это так же, как это.

Сначала может показаться, что что-то не так здесь, потому что мы используем косинус 𝜃 и квадрат греха 𝜃 больше двух. Но заметьте, что этот угол, какой мы назвали два 𝜃, это может быть любой угол, если он в два раза больше угла мы позвонили 𝜃. Для этой конкретной формы тождество двойного угла тогда, пока угол для нашего квадрата синуса составляет половину угол для нашей операции косинуса, тождество верно. Следовательно, мы можем написать, что cos 𝜃 равен единице минус два умноженных на квадрат греха 𝜃 больше двух. Это здорово, потому что это означает, что мы просто нужно изменить это выражение, чтобы найти грех 𝜃 больше двух.

Вычитание единицы с обеих сторон дает нам этот результат. А затем разделив обе части на минус два отменяет этот множитель справа. Мы можем переставить левую сторону этого выражения, так что оно равно единице минус косинус 𝜃 всего два. И тогда, если мы возьмем квадратный корень обеих сторон, мы получаем такой результат, что грех 𝜃 над двумя равен квадратному корню из одного минус cos 𝜃 всего два.

Прежде чем мы запишем это как наше ответ, однако, давайте вспомним единичный круг. Если мы разделим этот круг на четыре квадранта, мы знаем, что три функции, с которыми мы работали — синус, косинус и тангенс — могут иметь разные знаки в зависимости от того, в каком квадранте наш угол занимает. Это относится к нашему выражению за грех 𝜃 над двумя.

Глядя на правую сторону это уравнение, мы можем заметить, что, поскольку cos 𝜃 никогда не меньше, чем отрицательная единица и никогда не больше положительной, весь этот числитель, один минус cos 𝜃 никогда не будет отрицательным. А это значит весь правая часть этого выражения всегда будет положительной или равной нулю, но никогда отрицательной. сам.

Однако с левой стороны мы определенно может иметь знак отрицательного угла. Например, скажем, что этот угол здесь на нашем единичном круге 𝜃 больше двух. Этот угол лежит в третьем квадрант, где знак отрицательный. Таким образом, применяя это уравнение, мы только что полученный, у нас была бы отрицательная левая часть, но положительная правая сторона. Чтобы позволить это возможности, в правой части мы будем вести со знаком плюс и минус. Эта двусмысленность допускает тот факт, что хотя квадратный корень никогда не будет отрицательным, результат слева может быть. Все это говорит о том, что теперь у нас есть выражение для уравнения половинного угла функции синуса.

Далее мы перейдем к решению для потому что 𝜃 больше двух. И мы начнем делать это в так же, как и раньше. Мы снова будем использовать двойной угол тождество для функции косинуса. На этот раз будет так форма. Мы выбираем эту форму, потому что если мы заменить два 𝜃 на 𝜃 и, следовательно, 𝜃 на 𝜃 над двумя, значит, закопаться в этом выражение, у нас есть значение, которое мы хотим найти, потому что 𝜃 больше двух.

Добавление одного к обеим сторонам этого уравнение дает нам этот результат. А затем разделив обе части на два, отменив этот множитель справа, мы можем извлечь квадратный корень из обоих стороны. И мы находим, что cos 𝜃 более два равняется квадратному корню из cos 𝜃 плюс один на два. Так же, как с нашим грехом 𝜃 два тождества, у нас здесь ситуация, когда правая часть никогда не будет отрицательно, но левая сторона может быть. Еще раз вставляем эти знаки плюс и минус перед квадратным корнем.

Теперь у нас есть полуугол тождество для функции косинуса. И наша последняя задача состоит в том, чтобы найти что-то подобное для касательной функции. Делая это, мы на самом деле собираемся чтобы использовать полуугловые тождества, которые мы получили до сих пор. Вспоминая, что тангенс угол равен синусу этого угла относительно косинуса того же угла, мы можем написать что тангенс 𝜃 над двумя равен греху 𝜃 над двумя над cos 𝜃 над два. И это равняется этому выражению на право.

В этой составной дроби обратите внимание что у нас есть единица над квадратным корнем из двух как в числителе, так и в знаменатель. Мы можем упростить это выражение затем, записав это как плюс или минус квадратный корень из одного минус косинус 𝜃 над потому что 𝜃 плюс один.

На данный момент, чтобы упростить это Кроме того, мы можем пойти двумя разными путями. В зависимости от того, что мы выберем, мы получим другую форму тождества касательного половинного угла. Первый путь, как мы можем его назвать, включает в себя умножив числитель и знаменатель нашей правой части на квадратный корень из один минус cos 𝜃. Обратите внимание, что это идентично числитель нашей исходной дроби. Каковы результаты этой дроби. Это дает в нашем числителе один минус кос 𝜃. А если перемножить все слагаемых в знаменателе, мы получаем косинус 𝜃 минус косис в квадрате 𝜃 плюс один минус косинус из 𝜃. cos 𝜃 минус cos 𝜃 равно нуль. Таким образом, наш знаменатель упрощается до квадратный корень из единицы минус квадрат косинуса из 𝜃.

Последнее упрощение, которое мы здесь можно сделать. И это зависит еще раз от Пифагорейское тождество. Один минус квадрат косинуса угол равен квадрату синуса этого же угла. А это значит, что мы можем заменить один минус квадрат косина 𝜃 с квадратом греха 𝜃. Но тогда квадратный корень из квадрат греха 𝜃 получается просто как грех 𝜃.

Обратите внимание, что у нас больше нет знак плюс и минус перед этой дробью. Это преднамеренно, потому что, как мы видно один минус косинус любого угла никогда не бывает отрицательным. И вместе с этим под любым углом 𝜃, синус этого угла всегда будет иметь тот же знак, что и тангенс половины угол 𝜃 больше двух. Мы можем написать тогда это выражение для загара нашего половинного угла 𝜃 над двумя.

Ранее мы упоминали, что это — это всего лишь один из двух способов записи этого полууглового тождества. Это потому, что на этом шаге в процесс, мы могли бы умножить на знаменатель нашей исходной дроби, а не чем числитель. Если мы пойдем по этому пути, то дает нам эту дробь. Еще раз, если мы умножим вместе две величины в скобках, тогда у нас есть положительный cos 𝜃 плюс отрицательный потому что 𝜃 прибавляется к нулю. Еще раз, используя пифагорейскую тождества, мы можем заменить единицу минус квадрат косинуса 𝜃 на квадрат греха 𝜃. И квадратный корень из греха в квадрате из 𝜃 равно просто греху 𝜃. По той же причине, что и прежде, мы можно также опускать знаки плюс или минус перед этой дробью. Он всегда будет иметь один и тот же знак как загар 𝜃 над двумя.

Теперь мы получили выражения для тождества двойного и половинного углов для синуса, косинуса и касательная. Имея их в виду, давайте попрактиковаться с этими тождествами на примере.

Что из следующего равно квадратный корень из одного минус грех из двух 𝑥? (A) Абсолютное значение cos 𝑥 минус грех 𝑥. (B) Кос 𝑥 минус грех 𝑥. (C) Абсолютное значение cos 𝑥 плюс грех 𝑥. (D) Кос 𝑥 плюс грех 𝑥. (E) Грех 𝑥 минус cos 𝑥.

Итак, мы оцениваем это выражение. И мы хотим посмотреть, кто из них пять вариантов ответа равны. Первое, что мы можем заметить, это что мы берем грех умноженный на два угла 𝑥. Тогда мы можем думать об этом как о синус двойного угла, где 𝑥 — этот угол. Вспоминая тождество двойного угла для функции синуса мы знаем, что грех двух 𝑥 равен удвоенному греху 𝑥 раз больше, чем 𝑥. Делаем эту замену в нашем квадратный корень дает нам этот результат.

А теперь рассмотрим этот фактор одного. По пифагорейскому тождеству это скромное число один равно квадрату синуса угла плюс косинус квадрат того же угла. Выполнение этой замены дает нам это выражение. Пока кажется, что мы усложняя, а не упрощая выражение под нашим квадратным корнем. Но теперь, когда у нас есть эти три термины — sin в квадрате 𝑥, cos в квадрате 𝑥 и два sin 𝑥 cos 𝑥 — говорят, что мы можем запишите их как количество cos 𝑥 минус sin 𝑥 в квадрате. Мы видим, что наш квадрат операция, а затем извлечение квадратного корня эффективно инвертируют друг друга. Таким образом, мы можем ожидать, что наш окончательный результат быть cos 𝑥 минус грех 𝑥.

Но здесь надо быть осторожным чтобы убедиться, что этот результат действительно равен нашему исходному выражению. Когда мы думаем о синусе функции, мы знаем, что она имеет максимум единицу и минимум отрицательную единицу. Это означает, что если мы подумаем об этом для момент, что один минус грех два 𝑥 никогда не будет отрицательным. Так как это верно для нашего оригинала выражение, оно также должно быть истинным для нашего последнего выражения. Однако, безусловно, возможно для того, чтобы cos 𝑥 минус грех 𝑥 был отрицательным. Чтобы исправить это и сделать наш выражение, действительно равное квадратному корню из единицы минус грех из двух 𝑥, мы положим абсолютные значения вокруг него. И так это наш финал отвечать. Это абсолютное значение cos из 𝑥 минус грех из 𝑥, который равен квадратному корню из одного минус грех из двух 𝑥.

Давайте теперь посмотрим на другой пример.

Что из следующего равно квадратный корень из единицы минус два 𝑥? (A) Абсолютная ценность греха из 𝑥. (B) Двукратное абсолютное значение потому что 𝑥. (C) Квадратный корень из двух раз абсолютное значение cos 𝑥. (D) Двукратное абсолютное значение грех 𝑥. (E) Квадратный корень из двух раз абсолютное значение греха 𝑥.

Хорошо, мы хотим узнать о преобразование данного выражения в один из пяти наших вариантов ответа. Думая в этом направлении, первое, что мы можем заметить, это то, что мы берем cos, умноженный на два угла 𝑥. Это предполагает, что мы используем двухугловое тождество функции косинуса. А на самом деле их три различные формы, которые принимает это тождество. Мы можем выбрать любой из них. Но заметьте, что если мы выберем это третий, то после замены cos двух 𝑥 под нашим квадратом root, у нас будет отрицательная единица, добавленная к положительной в сумме с нулем. Это упростило бы выражение под квадратный корень. Итак, давайте действительно выберем этот третий форма двуугольного тождества.

Когда мы делаем эту замену, действительно, мы обнаруживаем, что это отрицательное, добавленное к положительному, дает нам ноль. И умножая все синусы через, мы получаем квадратный корень из двух умноженных на квадрат греха из 𝑥. Это равно квадратному корню из двух умножить на квадратный корень из квадрата греха из 𝑥. И здесь мы должны быть осторожны потому что у нас может возникнуть соблазн сказать, что квадратный корень из квадрата греха из 𝑥 равно просто греху 𝑥. Обратите внимание, хотя квадрат корень квадрата греха из 𝑥 никогда не будет отрицательным, грех 𝑥 сам по себе может быть. Поскольку мы упрощаем это выражение затем мы хотим включить столбцы абсолютных значений вокруг греха 𝑥. Это гарантирует, что несмотря ни на что значение 𝑥, мы никогда не получим отрицательный общий результат.

Наш окончательный ответ: квадратный корень из двухкратного абсолютного значения греха 𝑥, равного квадратный корень из единицы минус косинус из двух 𝑥.

Давайте закончим этот урок на резюмируя несколько ключевых моментов. На этом уроке мы вывели тождества двойного угла и половинного угла для синуса, косинуса и тангенса функции.