Урок геометрии по теме «Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике»
Цели урока:
- обобщение понятия синус, косинус, тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике;
- формирование умений и навыков в применении соотношений между сторонами и углами прямоугольного треугольника;
- развитие познавательного интереса;
- воспитание самостоятельности, аккуратности;
- коррекция внимания при выполнении тестовых заданий.
Эпиграф: (Слайд № 1) (Приложение 4)
«Человек подобен дроби: в знаменателе – то,
что он о себе думает, в числителе – то, что он
есть на самом деле. Чем больше знаменатель,
тем меньше дробь».
Лев Толстой
Ход урока
1. Организационный момент. (Слайд № 2)
Учитель: для того, чтобы повторять материал по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».
Мотивация урока. (Слайд № 3)
Один мудрец сказал: « Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – это треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная…»
У вас может возникнуть вопрос: Почему в геометрии особое внимание уделяется прямоугольному треугольнику, хотя не часто встречаются предметы подобной формы?
Как в химии изучают вначале элементы, а затем – их соединения, в биологии – одноклеточные, а потом – многоклеточные организмы, так и в геометрии – точки, отрезки и треугольники, из которых состоят другие геометрические фигуры.
2. Устный счет (Слайд № 4)
- Чему равен синус угла В (отношение противолежащего катета к гипотенузе)? (0,6)
- Чему равен косинус угла В (Отношение прилежащего катета к гипотенузе)? (0,8)
- Чему равен тангенс угла В (Отношение противолежащего катета к прилежащему)? (0,75)
3.
Актуализация опорных знаний.
Блиц-опрос с последующей взаимопроверкой (Слайд № 5)
(Слайд № 6)
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
1. Запишите, используя обозначения косинус 60° равен 1/2 |
1. Запишите, используя обозначения синус 45° равен √2/2 |
2.Запишите основное тригонометрическое тождество |
2. Запишите формулой, чему равен тангенс угла А |
3. Может ли синус острого угла равняться 1,01? |
3. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен единице. Какого вида этот треугольник? |
Чему равен? |
Чему равен? |
4. |
4. Cos 30° |
5. Cos45° |
5. Sin45° |
Sin60°Ответы. (Слайд № 7)
|
Ответы 1 |
Ответы 2 |
1. cos60°=1/2; |
1. sin45°= √2/2; |
2. sin2A + cos2A = 1; |
2.tgA=sinA/cosA; |
3. Нет; |
3. Равнобедренный; |
4. √3/2; |
4. √3/2; |
5. √2/2. |
5. |
√2/2.4. Решение задач
Задача 1 (Слайд № 8)
Пирамиды Древнего Египта (египетские пирамиды) — величайший архитектурный памятник Древнего Египта, одно из «Семи чудес света». 
Скорее всего, именно таков и был замысел архитектора этой пирамиды, Имхотепа. Он разработал способ кладки из тёсаного камня. Впоследствии, египтяне глубоко почитали зодчего первой пирамиды, и даже обожествили его. Он считался сыном бога Птаха, покровителя искусств и ремёсел. Сама пирамида Джосера расположена в Саккаре, неподалёку от древнего Мемфиса.
(Слайд № 9)
Ученые решили найти высоту пирамиды Джосера. Вначале они смогли измерить только длину её основания – 55,5 м. и длину боковой грани – 32 м. Затем им удалось измерить угол между этими отрезками – 60 градуса, после чего возник вопрос, а какова же высота пирамиды? Провести измерения высоты на местности не было никакой возможности, тогда на помощь археологам пришла математика, и они вычислили эту высоту.
Решение данной задачи (Слайды №№ 10, 11)
Наводящие вопросы:
Итак, нам известна гипотенуза и острый угол В в прямоугольном треугольнике, а так же определения синуса, косинуса и тангенса острого угла.
Почему именно синус? (Он связывает вместе гипотенузу, угол и искомый катет)
Как? (Гипотенузу умножим на синус 60 градусов)
Чему равен синус 60 градусов?
Итак, какова высота пирамиды Джосера?
Физминутка.
Мы немножко отдохнем,
Встанем, глубоко вздохнем,
Руки в стороны, вперед.
Дети по лесу гуляли,
За природой наблюдали
Вверх на солнце посмотрели
И их все лучи согрели.
Чудеса у нас на свете:
Стали карликами дети.
А потом все дружно встали,
Великанами мы стали.
5. Самостоятельная работа. (Слайд № 12)
Раздаем карточки (Учитель оказывает помощь слабым учащимся)
Вариант 1 |
Вариант 2 |
1. а) 5/4; б) 4/5; в) 3/5; г) 5/3. |
1. Найдите косинус угла В ∆АВС, угол С=90°, если ВС=3, АВ= 5. а) 5/3; б) 4/5; в) 3/5; г) 5/4. |
2.Дано: ∆АВС, ВС = 5 см угол С=90°, угол А = 41° Найти: АС а) 5* cos41°; б) 5:tg41°; с) 5* tg41°; г) 5: sin41°. |
2. Дано: ∆АВС, ВС = 9 см, угол С = 90°, угол В = 49° Найти: АС а) 9: tg49°; б) 9*cos49°; в) 9: sin49°; г) 9* tg49°. |
3. sin260° — 3* tg45° а) -2,25; б) -1,25; в) -0,75; г) -1,5. |
3. а) -2; б) -3; в) -1,5; г) -2,5. |
Найдите синус угла А ∆АВС, угол С=90°, если ВС=4, АВ= 5.
cos245° — 4* sin30°
6. Рефлексия. (Слайд № 13)
Учащимся раздаются карточки (Приложение 3), на которых они отмечают свое настроение.
7. Подведение итогов. Выставление оценок
8. Домашнее задание. (Слайд № 14)
Письменно № 599
Повторить п. 66.
– Спасибо урок окончен. До свидания!
Дополнительные задачи (Приложение 2)
Справочный материал (Приложение 1)
Малые углы
В принципе можно было бы мерить все углы в радианах. На практике широко используется и градусное измерение углов, хотя с чисто математической точки зрения оно неестественно. При этом для малых углов используются специальные единицы: угловая минута и угловая секунда.
Угловая минута — это 1/60 часть градуса; угловая секунда — это 1/60 часть угловой минуты. Если, например, величина угла равна 129 градусам, 34 минутам и 16 секундам, то пишут: 129◦3401600.
Задача 4.1. На какой угол поворачивается за одну секунду:
а) часовая стрелка часов;
б) минутная стрелка часов;
в) секундная стрелка часов?
Решение. Разберем только пункт а). Полный оборот часовая стрелка делает за 12 часов; стало быть, за час она поворачивается на 360/12 = 30◦. Следовательно, за минуту часовая стрелка повернется на угол, в 60 раз меньший, чем за час, то есть на 300;
всвою очередь, за секунду стрелка повернется на угол, в 60 раз меньший, чем за минуту, то есть на 3000. Теперь вы видите, на-
сколько мала угловая секунда: ведь даже угол, в тридцать раз больший (поворот часовой стрелки за секунду времени) мы не
всостоянии заметить.
Представление об угловой минуте дает такой факт: «разрешающая способность» человеческого глаза (при стопроцентном зрении и хорошем освещении) равна примерно одной угловой минуте.
Это означает, что две точки, которые видны под углом 10 или меньше, на глаз воспринимаются как одна.
Посмотрим, что можно сказать о синусе, косинусе и тангенсе малых углов. Если на рис. 4.2 угол α мал, то высота BC, дуга BD и отрезок BE, перпендикулярный AB, очень близки. Их длины — это sin α, радианная мера α и tg α. Стало быть, для малых углов синус, тангенс и радианная мера приближенно равны друг другу:
15
Рис. 4.1. Разрешающая способность.
|
|
|
|
|
|
|
|
| Рис. 4.2. Малые углы. |
| |
Если α — малый угол, измеренный в радианах, то sin α ≈ α; tg α ≈ α.
Задача 4.2. Запишите приближенные формулы для синуса и тангенса малых углов, считая, что угол измеряется в градусах.
Ответ. sin α◦ ≈ πα/180.
Видно, что формулы сложнее, чем для радианной меры — еще один довод в ее пользу!
Задача 4.3. Под каким углом видно дерево высотой 10 метров с расстояния в 800 метров? Дайте ответ: а) в радианах; б) в угловых минутах.
Задача 4.4. Чему равно расстояние, равное одной минуте дуги земного меридиана? Радиус Земли равен примерно 6370 .
Расстояние, о котором идет речь в этой задаче, примерно равно морской миле (именно так и появилась эта мера длины).
16
Рис. 4.3. Парсек.
Рис. 4.4. Формула тысячных.
Задача 4.5. В астрономии применяется единица измерения расстояний, называемая парсек. По определению, расстояние в 1 парсек — это расстояние с которого радиус земной орбиты1 виден под углом 100 (рис. 4.3). Сколько километров в одном парсеке? (Радиус земной орбиты равен примерно 150 миллионам километров.)
Задача 4.6. Военные пользуются единицей измерения углов, называемой «тысячная». По определению, тысячная — это 1/3000 развернутого угла. Такое измерение углов военные применяют в следующей формуле для определения расстояния до удаленных предметов: = (/) · 1000.
Здесь — расстояние до предмета, — его высота, — угол, под которым он виден, измеренный в тысячных (рис. 4.4). Точна ли эта формула? Почему ей можно пользоваться на практике? Чему равно число π, по мнению военных?
Мы видим, что формулы sin α ≈ α, tg α ≈ α верны с хорошей точностью для малых углов. Посмотрим, что произойдет,
1Астрономы поправили бы нас: не радиус (орбита Земли — не круг, а эллипс), а большая полуось (половина расстояния между наиболее удаленными друг от друга точками орбиты).
17
если угол не столь мал. Для угла в 30◦ точное значение синуса равно 0,5, а радианная мера равна π/6 ≈ 0,52. Ошибка (или, как еще говорят, погрешность), которую дает формула sin α ≈ α, равна примерно 0,02, что составляет 4% от значения синуса. Можно сказать, что относительная погрешность при таком вычислении (отношение погрешности к значению синуса) составляет 4%. Для углов, меньших 10◦, относительная погрешность формулы sin α ≈ α меньше одного процента. Чем меньше угол α, тем меньше относительная погрешность формулы sin α ≈ α.
Существуют и другие формулы, позволяющие вычислять синусы и тангенсы — и не только малых углов — с хорошей точностью. Например, формула sin α ≈ α − α3/6 (напоминаем, что α измеряется в радианах!) дает относительную погрешность менее 1% уже для всех углов, не превосходящих 50◦. Позднее мы увидим, как оценить погрешность наших формул.
Задача 4.7. Пусть α — острый угол, измеренный в радианах. Докажите неравенство cos α > 1 − α2.
Указание. Воспользуйтесь формулой cos α = | 1 − sin2 α, нера- | |||
√ |
| 0 < t < 1 | ). | |
венством sin α < α и неравенством t > t (для p |
| |||
Задача 4.8. Для косинусов малых углов в качестве приближенного значения можно брать 1.
Докажите, что при величине угла менее 5◦ относительная погрешность этого приближения будет менее 1%.
18
| 1 | Найти точное значение | грех(30) | |
| 2 | Найти точное значение | грех(45) | |
| 3 | Найти точное значение | грех(30 градусов) | |
| 4 | Найти точное значение | грех(60 градусов) | |
| 5 | Найти точное значение | загар (30 градусов) | |
| 6 | Найти точное значение | угловой синус(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | грех(пи/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | грех(45 градусов) | |
| 10 | Найти точное значение | грех(пи/3) | |
| 11 | Найти точное значение | арктан(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 градусов) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 градусов) | |
| 14 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 градусов) | |
| 16 | Найти точное значение | загар (60 градусов) | |
| 17 | Найти точное значение | сек(30 градусов) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 градусов) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | грех(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | загар (45 градусов) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 градусов) | |
| 25 | Найти точное значение | сек(45 градусов) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 градусов) | |
| 27 | Найти точное значение | грех(0) | |
| 28 | Найти точное значение | грех(120) | |
| 29 | Найти точное значение | соз(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/3 | |
| 31 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(30) | |
| 32 | 92|||
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/6 | |
| 36 | Найти точное значение | детская кроватка(30 градусов) | |
| 37 | Найти точное значение | арккос(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | арктан(0) | |
| 39 | Найти точное значение | детская кроватка(60 градусов) | |
| 40 | Преобразование градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2 шт. )/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | тан(пи/2) | |
| 45 | Найти точное значение | грех(300) | |
| 46 | Найти точное значение | соз(30) | |
| 47 | Найти точное значение | соз(60) | |
| 48 | Найти точное значение | соз(0) | |
| 49 | Найти точное значение | соз(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | сек(60 градусов) | |
| 53 | Найти точное значение | грех(300 градусов) | |
| 54 | Преобразование градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразование градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/3 | |
| 58 | Преобразование градусов в радианы | 89 градусов | |
| 59 | Преобразование градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | грех(135 градусов) | |
| 61 | Найти точное значение | грех(150) | |
| 62 | Найти точное значение | грех(240 градусов) | |
| 63 | Найти точное значение | детская кроватка(45 градусов) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | грех(225) | |
| 66 | Найти точное значение | грех(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 градусов) | |
| 68 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(45) | |
| 69 | Оценить | грех(30 градусов) | |
| 70 | Найти точное значение | сек(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | КСК(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | загар((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(0) | |
| 76 | Оценить | грех(60 градусов) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3 пи)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | угловой синус(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | КСК(45) | |
| 83 | Упростить | арктан( квадратный корень из 3) | |
| 84 | Найти точное значение | грех(135) | |
| 85 | Найти точное значение | грех(105) | |
| 86 | Найти точное значение | грех(150 градусов) | |
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | загар((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/4 | |
| 90 | Найти точное значение | грех(пи/2) | |
| 91 | Найти точное значение | сек(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | угловой синус(0) | |
| 95 | Найти точное значение | грех(120 градусов) | |
| 96 | Найти точное значение | желтовато-коричневый ((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | соз(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
| 100 | Преобразование градусов в радианы | 88 градусов |
Калькулятор — sin(0.
6) — SolumathsГрех, онлайн-исчисление
Резюме:
Тригонометрическая функция sin для вычисления синуса угла в радианах, градусов или градианов.
sin online
Описание:
Калькулятор позволяет использовать большинство из тригонометрических функций , есть возможность вычислить синус , косинус и касательная угла через одноименные функции.
Тригонометрическая функция синус отметил синус , позволяет вычислить синус угла онлайн , можно использовать разные угловые единицы: градус, градус и радианы, которые по умолчанию являются угловыми единицами.
- Расчет синуса
- Таблица специальных синусоидальных значений
- Основные свойства
- `sin(-x)= -sin(x)`
- `sin(x+2*k*pi)=sin(x)`
- `sin(pi-x)=sin(x)`
- `sin(pi+x)=-sin(x)`
- `sin(pi/2-x)=cos(x)`
- `sin(pi/2+x)=cos(x)`
- Производная синуса
- Первообразная синуса
- Свойства функции синуса
- Уравнение с синусом
- Арккосинус : arccos.
Функция arccos позволяет вычислять арккосинус числа.
Функция arccos является обратной функцией функции косинуса. - Арксинус : арксинус. Функция arcsin позволяет вычислить арксинус числа. Функция arcsin является обратной функцией функции синуса.
- Арктангенс: арктангенс. Функция арктангенса позволяет вычислить арктангенс числа. Функция арктангенса является обратной функцией функции тангенса.
- Тригонометрический калькулятор: simple_trig. Калькулятор, который использует тригонометрическую формулу для упрощения тригонометрического выражения.
- Косинус: cos. Кос-тригонометрическая функция вычисляет косинус угла в радианах, градусов или градианов.
- Косеканс : косеканс. Тригонометрическая функция sec позволяет вычислить секанс угла, выраженного в радианах, градусах или градусах.
- Котангенс : котанг. Тригонометрическая функция котана для вычисления котана угла в радианах, градусов или градианов.
- Тригонометрическое расширение: expand_trigo.
Синус вычисляет угол в радианах
Калькулятор синуса позволяет с помощью функции sin вычислить онлайн синус синус угла в радианах, сначала нужно
выберите нужную единицу, нажав на кнопку параметров расчетного модуля.
После этого можно приступать к расчетам.
Чтобы вычислить синус онлайн от `pi/6`, введите sin(`pi/6`), после вычисления результат `1/2` возвращается.
Обратите внимание, что функция синуса способна распознавать некоторые специальные углы и делать расчеты со специальными связанными значениями в точной форме.
Вычислить синус угла в градусах
Чтобы вычислить синус угла в градусах, необходимо сначала выбрать нужную единицу измерения нажав на кнопку модуля расчета параметров. После этого можно приступать к вычислениям.
Чтобы вычислить синус 90, введите sin(90). результат 1 возвращается.
Вычислить синус угла в градианах
Для вычисления синуса угла в градианах необходимо сначала выбрать нужную единицу измерения
нажав на кнопку модуля расчета параметров. После этого можно приступать к вычислениям.
Чтобы вычислить синус 50, введите sin(50), после вычисления возвращается результат `sqrt(2)/2`.
Обратите внимание, что функция синуса способна распознавать некоторые специальные углы и выполнять исчисление со специальными ассоциированными точными значениями.
Синус допускает некоторые специальные значения, которые калькулятор может определить в точных формах. Вот таблица значения общего синуса :
| sin(`2*pi`) | `0` | |||||||||||||||||||||||||||||||
| sin(`pi`) | `0` | |||||||||||||||||||||||||||||||
sin(`pi/90 `2`)
`AA x в RR, k в ZZ`, Производная синуса равна cos(x). Первообразная синуса равна -cos(x). Функция sine является нечетной функцией, для каждого действительного x `sin(-x)=-sin(x)`. Следствием для кривой, представляющей синусоидальную функцию, является то, что она допускает начало отсчета как точку симметрии. Калькулятор имеет решатель, который позволяет решать уравнение с синусом вида cos(x)=a . Расчеты для получения результата детализированы, поэтому можно будет решать уравнения типа `грех(х)=1/2` или же `2*sin(x)=sqrt(2)` с этапами расчета. Синтаксис:sin(x), где x — мера угла в градусах, радианах или градах. Примеры:sin(`0`), возвращает 0 Производный синус:Чтобы дифференцировать синус функции онлайн, можно использовать калькулятор производной, который позволяет вычислить производную функции синуса производная sin(x) является производной(`sin(x)`)=`cos(x)` Синус первообразной : Калькулятор первообразных позволяет вычислить первообразную функции синуса. Первопроизводная sin(x) является первообразной(`sin(x)`)=`-cos(x)` Предел синуса :Калькулятор предела позволяет вычислять пределы функции синуса. предел sin(x) is limit(`sin(x)`) Обратная функция синуса :обратная функция синуса это функция арксинуса, отмеченная как arcsin. График синуса :Графический калькулятор может отображать синусоидальную функцию в заданном интервале. Свойство функции синуса:Функция синуса является нечетной функцией. Расчет онлайн с sin (синусом) См. также Список связанных калькуляторов: |
Функция arccos позволяет вычислять арккосинус числа.
Функция arccos является обратной функцией функции косинуса.