Синус угла б: Синус, косинус угла треугольника

Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс тройного угла


Высота — перпендикуляр исходящий из вершины угла на противоположенную сторону

 

a, b — стороны параллелограмма

Hb — высота на сторону b

Ha — высота на сторону a

αβ — углы параллелограмма

 

 

Формулы длины высоты параллелограмма, через сторону и угол, ( Hb, Ha):

 

 

 

Острый угол пересечения высот, равен острому углу параллелограмма.

Тупой угол пересечения высот, равен тупому углу параллелограмма.

 

 



 

Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии

 


Свойства биссектрисы параллелограмма

Биссектриса по определению делит угол пополам

Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник   (в данном случае треугольники ABF и DKC)

Биссектрисы смежных углов, пересекаются под прямым углом (90°)

Биссектрисы противоположных углов, равны и параллельны

 

 

AF — биссектриса из острого угла

DK — биссектриса из тупого угла

α — острый угол

β — тупой угол

a — меньшая сторона

b — большая сторона

 

Так как треугольники ABF и DKC, равнобедренные, следовательно справедливы тождества:

 

 


 

Длина биссектрисы параллелограмма

 

L — биссектриса параллелограмма

ab — стороны

α, β — углы

 

 

Формулы длины биссектрисы через сторону и углы, (L):

 



 

Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии


Свойства углов между диагоналями параллелограмма:

1. Противоположные углы равны

2. Косинус тупого угла, всегда имеет отрицательное значение:  cos β <0

a, b — стороны параллелограмма

D большая диагональ

d меньшая диагональ

α — острый угол между диагоналями

β — тупой угол между диагоналями

 

Формулы косинуса острого и тупого углов между диагоналями, через стороны и диагонали (по теореме косинусов):

 

 

 

Формула синуса острого и тупого углов через площадь (S) и диагонали:

 

Формулы соотношения острого и тупого углов между диагоналями:

 

 

Для определения величины угла в градусах или радианах, используем функции arccos и arcsin

 

 



Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии


Свойства углов параллелограмма:

1. Противоположные углы равны

2. Косинус тупого угла, всегда имеет отрицательное значение:  cos β <0

a

, b — стороны параллелограмма

D большая диагональ

d меньшая диагональ

α — острый угол

β — тупой угол

 

Формулы косинуса острого и тупого углов через стороны и диагонали (по теореме косинусов):

 

 

Формула синуса острого и тупого углов через площадь (S) и стороны:

 

Формулы соотношения острого и тупого углов:

 

 

Для определения величины угла в градусах или радианах, используем функции arccos или arcsin

 

 



Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии


Свойства параллелограмма:

1.

Противоположные стороны равны и параллельны

2. Противоположные углы равны

3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам

 

1. Длина диагонали параллелограмма через стороны, известную диагональ и угол.

 

a, b — стороны параллелограмма

D большая диагональ

d меньшая диагональ

αβ — углы параллелограмма

 

Формулы диагонали через стороны и углы параллелограмма (по теореме косинусов), (D, d):

 

 

 

Формулы диагонали через стороны и известную диагональ (по формуле- сумма квадратов диагоналей), (Dd):

 

 

2.

Длина диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол.

 

 

D большая диагональ

d меньшая диагональ

α β — углы между диагоналями

S — площадь параллелограмма

 

Формулы диагонали через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями, (Dd):



 

 

Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии


Формулы суммы квадратов диагоналей и разности квадратов сторон параллелограмма:

 

a, b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол между диагоналями

 

Формула суммы квадратов диагоналей:

 

 

Формула разности квадратов сторон:

 

 



 

Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии


Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны и параллельны

2. Противоположные углы равны

3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам

 

1. Формулы длины сторон через диагонали и угол между ними.

 

a, b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α, β — углы между диагоналями

 

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними (по теореме косинусов), (a, b):

 

 

 

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и сторону, (a, b):

 

Формулы сторон параллелограмма , (a, b):

 

 

2. Формулы длины сторон параллелограмма через высоту.

 

a, b — стороны параллелограмма

Hb — высота на сторону b

Ha — высота на сторону

a

α β — углы параллелограмма

 

Формулы сторон параллелограмма через высоту, (a, b):

 

 

3. Дополнительные, интересные формулы параллелограмма:

 

a, b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол между диагоналями

 

Формула суммы квадратов диагоналей:

 

Формула разности квадратов сторон:

 

 

 



 

Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии

тест по геометрии 9 класс | Тест по геометрии (9 класс) на тему:

Вариант1

1. Для треугольника АВС справедливо равенство:

а) АВ2 = ВС2 + АС2 – 2 ∙ВС ∙АС ∙cos∟ВСА     б) ВС2=АВ2+ АС2  — 2 ∙АВ∙ АС∙ cos∟АВС

                      в) АС2 = АВ2 + ВС2 – 2 ∙АВ ∙ВС ∙cos∟АСВ

2.Площадь  треугольника MNK равна:

а)  MN MK sin∟MNK     б)  MК NK sin∟MNK      в)  MN NK sin∟MNK

3.Если квадрат стороны треугольника равен  сумме квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против:

а) тупого угла     б) прямого угла   в) острого угла.

4. В треугольнике АВС известны длины сторон АВ и ВС. Чтобы найти сторону АС, необходимо знать величину:

а) угла А,    б) угла В,    в) угла С.

5. Треугольник со сторонами 5, 6 и 7 см.

а) остроугольный  б) прямоугольный    в) тупоугольный.

6. В треугольнике  АВС ∟А=30◦ , ВС=3. Радиус описанной около треугольника  АВС окружности равен :        а) 1,5         б) 2√3           в) 3.

7.Если в треугольнике АВС  ∟А= 48◦ , ∟В =72◦ , то наибольшей стороной треугольника является сторона:              а)  АВ        б) АС        в) ВС.

8.  В треугольнике СDЕ:  

 а) СD ∙ sinС = DЕ ∙ sinЕ      б) СD ∙ sinЕ = DЕ ∙ sinС      в) СD ∙ sinD = DЕ ∙ sinЕ.

9. По теореме синусов:   а) Стороны треугольника обратно пропорциональны синусам   противолежащих углов.

б) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

в) Стороны треугольника пропорциональны синусам прилежащих углов

     10. В треугольнике АВС АВ=10 см, ВС=5см. Найти отношение синуса угла А к синусу

               угла  В :                          а)                        б) 5                 в) 2

Вариант2

1.Для треугольника АВС справедливо равенство:

а)  ==                б)  ==                ==

2.Площадь  треугольника СДЕ  равна:

а)  СД∙ ДЕ ∙ sin∟СДЕ     б)  ∙СД ∙ ДЕ      в)  СД ∙ ДЕ ∙ sin∟СДЕ.

3.Если квадрат стороны треугольника  больше суммы  квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против :

а) острого  угла               б) прямого угла               в)  тупого  угла.

4. В треугольнике  МNK  известны длина стороны MN  и величина угла К. Чтобы найти сторону NK, необходимо знать :

а)  величину ∟ А,    б)  длину стороны MK ,    в)  значение периметра MNK.

5. Треугольник со сторонами 2, 3 и 4 см.

а) остроугольный  б) прямоугольный    в) тупоугольный.

6. В треугольнике  MNK MN= 2, ∟К= 60◦.  Радиус описанной около треугольника  MNK окружности равен :           а)  4              б)                  в)  2.

7.Если в треугольнике MNK  ∟М= 76◦ , ∟В =64◦ , то наименьшей стороной треугольника является сторона:        а)  MN                 б) NK                     в) MK.

8.  В треугольнике АВС:  

  а) АВ ∙ sinС = АС ∙ sinВ      б) АВ ∙ sinВ = АС ∙ sinС      в) АВ ∙ sinА = АС ∙ sinВ.

9. По теореме  о площади треугольника:

а) Площадь треугольника равна произведению двух его сторон на синус угла между ними.

б) Площадь треугольника равна  половине произведения  двух его сторон на  угол  между ними.

 в) Площадь треугольника равна  половине произведения  двух его сторон на синус  угла  между ними.

   10. В треугольнике АВС АВ= 6 см, ВС= 2см. Найти отношение синуса угла А к синусу угла В

       а)                        б)                  в) 3.

тригонометрия — Найдите $sin$ угла $B$ по закону синусов по стороне угла сторона

Задавать вопрос

спросил

7 лет, 11 месяцев назад

Изменено 6 лет, 9 месяцев назад

Просмотрено 176 раз 9о$. Используя закон синусов, найдите $\sin(B)$

Итак, я знаю, что закон синусов: $$\frac{\sin(A)}{a}=\frac{\sin(B)} {b}=\frac{\sin(C)}{c}$$

, так что если я подставлю то, что знаю на данный момент…$$\frac{\sin(A)}{2}=\frac {\sin(B)}{3}=\frac{\sin(60)}{c}$$

Хорошо, тогда: $$\sin(B)=\frac{3\sin(60)}{ c}$$

Я также знаю, что: $$\sin(B)=\frac{3\sin(A)}{2}$$

Итак, $$\frac{3\sin(60) }{c}=\frac{3\sin(A)}{2}$$

В любом случае, я заблудился, я действительно не знаю, что мне делать дальше. Он кажется круглым. Пожалуйста, помогите подтолкнуть меня в правильном направлении? объяснения ПОЧЕМУ всегда ценны. Спасибо! 9\окр.$

$\endgroup$

$\begingroup$

Подсказка 1

Проанализируйте равносторонний треугольник, в котором диагональ делит основание на длины 1 и 2.

Что-то еще, что может быть необходимо (используя закон синусов, конечно), это показать, что $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Законы косинусов и синусов

Сначала опустите перпендикулярную линию AD из A вниз к основанию BC из треугольник. Лапка D этого перпендикуляра будет лежать на ребре BC треугольника, если оба угла B и C являются острыми. Но если угол B тупой, то основание D будет лежать на BC , вытянутом в направлении B. Но если угол C тупой, то D будет прямой на г. до н.э. протянулся в направлении г. до н.э. К счастью, Аргумент один и тот же во всех трех случаях.

Пусть h обозначает длина этой линии н.э., то есть высота (или высота) треугольника.

Если угол B острый, то sin B = ч/ц. Но это верно даже тогда, когда B является тупым углом, как на третьей диаграмме. Там, угол ABC тупой. Но синус тупого угла равен то же, что и синус его добавки. Это означает грех ABC совпадает с sin ABD, , то есть они оба равны h/c.

Точно так же не имеет значения, острый угол C или тупой, sin C  =  h/b в любом случае.

Эти два уравнения говорят нам, что h равно c sin B и b sin C. Но из уравнения c sin B = b sin C, мы можем легко получить закон синусов:

Закон косинусов

Есть две другие версии закона косинусов,

a 2 = b 2 + c 2 2 bc cos A

а также

б 2 = а 2 + в 2 2 ак соз Б.

Поскольку три версии отличаются только маркировкой треугольника, достаточно проверить только один из них. Будем рассматривать изложенную версию первый.

Чтобы понять, почему эти законы действуют, нам нужно рассмотреть три случая. Для случая 1 возьмем угол C тупым. В случае 2 угол C будет прямым. В случае 3, угол С будет острым.


Случай 1. В этом случае мы принимаем угол C тупым. Этот случай имеет в нем морщина, так как косинус тупого угла отрицателен. Посмотрим, как это пойдет.
Сначала опустите перпендикулярную линию AD от A до основания BC треугольник. В этом случае основание D этого перпендикуляра будет лежать вне треугольник. Пусть ч обозначают высоту треугольника, пусть d обозначают BD, и пусть e обозначают CD.

Из рисунка можно вывести следующие уравнения:

с 2  =  г 2 + ч 2
б 2  =  е 2 + ч 2
д  =  а + е
соз С  =  е/б

В общем случае косинус тупого угла есть отрицание косинуса его дополнения. В данном случае это косинус угол C, , то есть угол ACB, это отрицание косинус угла ACD. Вот почему в последнем уравнении стоит знак минус.

Эти уравнения и простая алгебра завершают рассуждения следующим образом:

с 2  =  г 2 + ч 2
 =  ( a + e ) 2 + h 2
 =  a 2 + 2 ae + e 2 + h 2
6 6  =  а 2 + б 2 + 2 ае  =  и 2 + б 2 – 2 аб соз С

Таким образом, закон косинусов справедлив, когда C является тупым углом.


Случай 2. Теперь рассмотрим случай, когда угол C прямой. Косинус прямого угла равен 0, поэтому закон косинусы, в 2  = а 2  + б 2   2 аб  кос  С, упрощается до пифагорейского тождества, в 2  = а 2  + б 2 , для прямоугольных треугольников, которое, как мы знаем, справедливо.


Случай 3. В этом случае мы предполагаем, что угол C является остроугольным треугольником. Бросьте перпендикулярная линия AD от A вниз к основанию BC треугольника. Ступня D перпендикуляра будет (1) лежать на ребре BC , если угол B острый, (2) совпадают с точкой B , если угол B прямой, или (3) лежат на стороне B расширен, если угол B тупой.

Пусть h обозначает высоту треугольника, пусть d обозначают BD, и e обозначают CD.

Тогда мы можем прочитать следующие отношения из схемы:

с 2  =  г 2 + ч 2
б 2  =  е 2 + ч 2
соз С  =  е/б
д 2  =  ( и и ) 2

Последнее уравнение требует пояснений. Если точка D лежит на стороне до н.э., тогда d  =  a  –  e, , но если D лежит на BC расширенный, затем д  =  д  –  а. В любом случае, d 2  = ( e  –  a ) 2 .

Эти уравнения и немного алгебры завершают доказательство следующим образом:

с 2  =  г 2 + ч 2
 =  d 2 e 2 + b 2
 =  ( д д ) ( д + д ) + б 2
 =  ( a – 2 e ) a + b 2
 =  и 2 + б 2 – 2
 =  A 2 + B 2 — 2 AB COS C

Таким образом, мы теперь знаем, что закон, когда Cosines Alrab мы закончили все три дела.

Между прочим, Евклид включил в свои Элементы пару предложений, II.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *