Система n линейных уравнений с n переменными: Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера

Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера

Пусть m=n. Тогда матрица системы является квадратной , а ее определитель называетсяопределителем системы.

Предположим, что квадратная матрица невырожденная, т.е.

В этом случае существует

Умножим слева обе части (3) на матрицу получим решение системы методом обратной матрицы:

Отсюда видно, что вектор решения системы уравнений получается, если вектор свободных членов умножить слева на матрицу, обратную к матрице системы. Поэтому в методе обратной матрицы главным является обращение матрицы.

Другим способом решения системы уравнений с квадратной матрицей является использование формул Крамера.

Теорема Крамера. Пусть -определитель матрицы системы А, а-определитель матрицы, получаемый из А заменойj-го столбца столбцом свободных членов.

Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

(5)

Формулы (5) называются формулами Крамера.

Недостаток формул Крамера и метода обратной матрицы- их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. Эти методы представляют скорее теоретический интерес и на практике не могут быть использованы для решения реальных задач.

Пример. Решить по формулам Крамера и методом обратной матрицы следующую систему уравнений:

Для применения формул Крамера вычислим определитель системы :

2 -1 -1

3 4 -2 = 60

3 -2 4

Заменим в определителе системы первый столбец на столбец свободных членов, вычислим полученный определитель:

4 -1 -1

=11 4 -2 =180

11 -2 4

Заменим в определителе системы второй столбец на столбец свободных членов, вычислим полученный определитель:

2 4 -1

3 11 -2

3 11 4 =60

Заменим в определителе системы третий столбец на столбец свободных членов, вычислим полученный определитель:

2 -1 4

3 4 11

3 -2 11 =60.

Вычислим значения неизвестных:

Для применения метода обратной матрицы представим систему уравнений в матричной форме:

2-1 -14

3 4 -2 = 11

3 -2 4 11

Далее рассчитываем обратную матрицу:

12 6 6

-18 11 1

-18 1 11

По формуле (4) получаем решение:

12 6 6 4 3

-18 11 1 11 = 1

-18 1 11 11 1

Метод Гаусса— метод последовательного исключения неизвестных- заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводиться к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находятся все остальные переменные.

Предположим, что в системе (1) ( этого всегда можно добиться перестановкой уравнений)

Шаг 1. Умножим 1-ое уравнение на и прибавим ко второму; затем умножим 1-ое уравнение наи прибавим к третьему, и т.д., и , наконец, умножим 1-ое уравнение наи прибавим кm-му уравнению. Получим преобразованную систему уравнений, в которой исключено из всех уравнений, кроме первого:

……………………….. ( 6)

Здесь коэффициенты с верхним индексом (1) получены после 1-ого шага.

Шаг 2. Предположим, что .(этого всегда можно добиться перестановкой уравнений с перенумерацией).

Умножаем 2-ое уравнение на числа -,, …,и прибавим полученные уравнения соответственно к третьему, четвертому,

…,m-му уравнению системы (6), исключая из всех уравнений, начиная с третьего.

Продолжая процесс последовательного исключения переменных, после (r-1)- го шага получим систему:

………………………………….

(7)

…………

Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то соответствущее равенство противоречиво, и система (1) несовместна.

Для любой совместной системы (m-r) уравнений в системе (7) являются тождествами, и их можно не принимать во внимание при решении системы (1). После отбрасывания « лишних» уравнений возможны два случая:

А) r=n , и в этом случае система (7) имеет треугольный вид;

Б) r<n, и система (7) имеет ступенчатый вид.

Переход системы (1) к равносильной системе (7) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (7)- обратным ходом .

Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей системы (1), в которую, кроме матрицы А, дополнительно включен столбец свободных членов.

Пример. Решить методом Гаусса систему уравнений:

Расширенная матрица системы имеет вид:

12 3 -2 6

2 4 -2 -3 18

3 2 -1 2 4

2 –3 2 1 -8

Теперь все действия над уравнениями будут эквивалентны действиям над строками матрицы. Умножаем 1-ую строку на -, т.е. на -= -2, получаем

(-2 -4 -6 4 -12)

эту строку прибавляем ко второй строке, получаем новую 2-ю строку:

0. 0 -8 1 6).

Аналогично умножим 1-ую строку на (-3) и сложим с третьей строкой; умножим 1-ую строку на (-2) и сложим с 4-ой строкой. Расширенная матрица после 1-ого шага имеет вид:

1. 23 -2 6

0 0 -8 1 6

0. -4 -10 8 -14

0 -7 -4 5 -20

Первая строка при преобразованиях Гаусса остается без изменений. Для дальнейшего хода необходимо переставить 2-ую и 3-ю строки ,чтобы

0. 2 3 -2 6

0 -4 -10 8 -14

0 0 -8 1 6

0 -7 -4 5 -20

На 2-ом шаге, поскольку требуется только обнулить элементДля этого 2-ое уравнение умножим наи сложим с 4-м уравнением. 2-ое уравнение после умножения выглядит так:

( 0 7 -)

После 2-го шага матрица имеет вид:

12 3 -2 6

0 -4 -10 8 -14

0 0 -8 1 6

0 0 54/4 -36/4 -18/4

Поскольку в элементах последней строки одинаковый знаменатель, исключаем его; кроме того, можно сократить всю 4-ую строку на общий множитель 18:

12 3 -2 6

0 -4 -10 8 -14

0 0 -8 1 6

0 0 3 -2 1

На 3-м шаге исключаемиз 4-ого уравнения; для этого умножим 3-ю строку на 3/8 и сложим с 4-ой строкой:

12 3 -2 6

0 -4 -10 8 -14

0 0 -8 1 6

0 0 0 -13/8 26

Теперь матрица системы имеет треугольный вид: все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Далее совершаем обратный ход метода Гаусса. 4-ое уравнение системы можно записать так:

оно имеет решение: .

Подставляем полученное значение в 3-е уравнение:

Теперь в 3-м уравнении только одно неизвестное .Решаем уравнение, получаем. Далее подставим известныеиво второе уравнение:

Отсюда

Подставляем в 1-ое уравнение известные получаем решение:

Вопросы для самоконтроля:

1. Чем отличается СЛАУ от систем произвольных уравнений?

2. Привести примеры определенной и неопределенной СЛАУ.

3. Какие основные методы решения СЛАУ?

Системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒ Методы их решения Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными. а11х1 + а12х2 + … + а1nxn = b1 а21х1 + а22х2 + … + а2nxn = b2 (1) ………………………………. аn1х1 + аn2х2 + … + аnnxn = bn   Определение: Решением системы (1) называется совокупность чисел (х1, х2, …, хn), которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство. Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы (1). A = . Матрица В, состоящая из элементов матрицы А и столбца свободных членов системы (1), называется расширенной матрицей. В =   Матричный метод Рассмотрим матрицы Х = – матрица неизвестных; С = – матрица свободных членов системы (1). Тогда по правилу умножения матриц систему (1) можно представить в виде матричного уравнения А × Х = С (2) Решение уравнения (2) изложено выше, то есть Х = А-1 × С, где А-1 – обратная матрица для основной матрицы системы (1). Решить системы уравнений матричным методом: 59. 60. 61. 62. 63. . 64. . Метод Крамера   Система n линейных уравнений с n неизвестными, главный определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, которое находится по формулам: , где D = det А – определитель основной матрицы А системы (1), который называется главным, Dхi получаются из определителя D заменой i-ого столбца столбцом из свободных членов, т. е. D = ; Dх1 = ; Dх2 = ; Dхn = ; Пример. Решить систему уравнений методом Крамера: 2х1 + 3х2 + 4х3 = 15 х1 + х2 + 5х3 = 16 3х1 — 2х2 + х3 = 1 Решение. Вычислим определитель основной матрицы системы D = det A = = 44 ¹ 0 Вычислим вспомогательные определители Dх1 = = 0; Dх2 = = 44; Dх3 = = 132. По формулам Крамера найдем неизвестные ; ; . Таким образом, х1 = 0; х2 = 1; х3 = 3.     Решить системы уравнений методом Крамера: 65. . 66. . 67. . 68. . 69. . 70. . 71. . 72. . 73. . 74. . Метод Гаусса Суть метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы, т.е. приведении основной матрицы системы к треугольному виду, когда под ее главной диагональю стоят нули. Это достигается с помощью элементарных преобразований матрицы над строчками. В результате таких преобразований не нарушается равносильность системы, и она приобретает также треугольный вид, т. е. последнее уравнение содержит одну неизвестную, предпоследнее – две и т. д. Выражают из последнего уравнения n-ую неизвестную и с помощью обратного хода, используя ряд последовательных подстановок, получают значения всех неизвестных. Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса 3х1 + 2х2 + х3 = 17 2х1 — х2 + 2х3 = 8 . х1 + 4х2 — 3х3 = 9 Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем содержащуюся в ней матрицу А к треугольному виду. В = . Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных выражений при последующих вычислениях В ~ . Первую строку полученной матрицы умножим последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом В будет иметь вид: В ~ . После умножения второй строки на и сложения ее с третьей строкой матрица А примет треугольный вид. Однако, чтобы упростить вычисления, можно поступить следующим образом: умножим третью строку на (-1) и сложим со второй. Тогда получим: В ~ . Далее, умножая вторую строку матрицы на 10 и складывая с третьей, окончательно получим: В ~ . Восстановим из полученной матрицы В систему уравнений, равносильную данной х1 + 4х2 — 3х3 = 9 х2 — 2х3 = 0 — 10х3 = -10 Из последнего уравнения находим Найденное значение х3 = 1 подставим во второе уравнение системы, из которого х2 = 2х3 = 2 × 1 = 2. После подстановки х3 = 1 и х2 = 2 в первое уравнение для х1 получим х1 = 9 — 4х2 + 3х3 = 9 — 4 × 2 + 3 × 1 = 4. Итак, х1 = 4, х2 = 2, х3 = 1. Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно. Проверка: 3 × 4 + 2 × 2 + 1 = 17 верно 2 × 4 — 2 + 2 × 1 = 8 верно 4 + 4 × 2 — 3 × 1 = 9 верно Итак, система решена верно. Решить системы уравнений методом Гаусса: 75. . 76. . 77. . 78. . 79. . 80. . 81. . 82. . 83. . 84. .   Метод Жордана-Гаусса Суть метода Жордана-Гаусса состоит в полном исключении переменных из каждого уравнения системы, кроме единственной, т. е. основная матрица системы приводится с помощью элементарных преобразований над строчками к единичной матрице и система (1) приобретает следующий вид: откуда видно, что неизвестные х1; х2;…; хn равны соответствующим свободным членам в1‘; в2‘;…; вn‘, т.е. решением системы уравнений (1) является набор чисел (в1‘; в2‘;…; вn‘).   ⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒ Читайте также:  Техника прыжка в длину с разбега Организация работы процедурного кабинета Области применения синхронных машин Оптимизация по Винеру и Калману 

Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 3124; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 161.97.168.212 (0.013 с.)

Системы n линейных уравнений с m неизвестными. Теорема Кронекера-Капелли. Методы их решения. Тема 3

1. ТЕМА 3. Системы n линейных уравнений с m неизвестными. Теорема Кронекера-Капелли. Методы их решения. Однородная система

линейных
уравнений
Будем рассматривать системы из p линейных
алгебраических уравнений с n-неизвестными
переменными (p может быть равно n) вида
— неизвестные переменные,
— коэффициенты (некоторые
действительные или комплексные числа),
— свободные члены (также
действительные или комплексные числа).
Такую форму записи СЛАУ называют координатной.
В матричной форме записи эта система
уравнений имеет вид
— основная матрица системы,
— матрица-столбец неизвестных
переменных,
— матрица-столбец свободных членов.

4. Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную

Если к матрице А добавить в качестве (n+1)ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то
получим так называемую расширенную
матрицу системы линейных уравнений. Обычно
расширенную матрицу обозначают буквой Т, а
столбец свободных членов отделяют вертикальной
линией от остальных столбцов

5. Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных   , обращающий все уравнения

Решением системы линейных
алгебраических уравнений называют
набор значений неизвестных
переменных
,
обращающий все уравнения системы в
тождества. Матричное
уравнение
при данных
значениях неизвестных переменных
также обращается в тождество.
• Если система уравнений имеет хотя бы
одно решение, то она называется
совместной.
• Если система уравнений решений не имеет,
то она называется несовместной.
• Если СЛАУ имеет единственное решение, то
ее называют определенной; если решений
больше одного, то – неопределенной.
• Если свободные члены всех уравнений
системы равны нулю , то система
называется однородной, в противном
случае – неоднородной.

7. Решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений

• Решение СЛАУ матричным методом (с
помощью обратной матрицы)
• Решение СЛАУ Решение систем линейных
уравнений методом Крамера
• Решение СЛАУ методом Гаусса

8. Решение СЛАУ матричным методом (с помощью обратной матрицы)

Пусть система линейных алгебраических уравнений
задана в матричной форме
, где
матрица A имеет размерность nхn и ее
определитель отличен от нуля.
Так как
, то матрица А – обратима, то есть,
существует обратная матрица . Если умножить
обе части равенства
на
слева, то
получим формулу для нахождения матрицыстолбца неизвестных переменных

9. Решение СЛАУ Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть нам требуется решить систему линейных
алгебраических уравнений
в которой число уравнений равно числу неизвестных
переменных и определитель основной матрицы
системы отличен от нуля, то есть,
Пусть
— определитель основной матрицы системы,
а
— определители матриц,
которые получаются из А заменой 1-ого, 2-ого, …, nого столбца соответственно на столбец свободных
членов:
При таких обозначениях неизвестные
переменные вычисляются по формулам
метода Крамера как
Так находится решение системы линейных
алгебраических уравнений методом
Крамера.

12. Решение СЛАУ методом Гаусса

• Пусть нам требуется найти решение системы из n линейных уравнений
с n-неизвестными переменными определитель основной матрицы
которой отличен от 0.
• Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении
неизвестных переменных: сначала исключается x1 из всех уравнений
системы, начиная со второго, далее исключается x2 из всех уравнений,
начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется
только неизвестная переменная xn. Такой процесс преобразования
уравнений системы для последовательного исключения неизвестных
переменных называется прямым ходом метода Гаусса. После
завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения
находится xn, с помощью этого значения из предпоследнего уравнения
вычисляется xn-1, и так далее, из первого уравнения находится x1.
Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от
последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом
метода Гаусса.
Будем считать, что
, так как мы всегда можем
этого добиться перестановкой местами уравнений
системы. Исключим неизвестную переменную x1 из
всех уравнений системы, начиная со второго. Для
этого ко второму уравнению системы прибавим
первое, умноженное на
, к третьему
уравнению прибавим первое, умноженное на
,
и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое,
умноженное на
. Система уравнений после
таких преобразований примет вид
Таким образом, переменная x1 исключена из всех
уравнений, начиная со второго.
Далее действуем аналогично, но лишь с частью
полученной системы, которая отмечена на
рисунке
Будем считать, что
(в противном случае мы
переставим местами вторую строку с k-ой,
где
). Приступаем к исключению
неизвестной переменной x2 из всех уравнений,
начиная с третьего (аналогично исключению x1).
Так продолжаем прямой ход метода Гаусса
пока система не примет вид
С этого момента начинаем обратный ход
метода Гаусса: вычисляем xn из последнего
уравнения как
, с помощью
полученного значения xn находим xn-1 из
предпоследнего уравнения, и так далее,
находим x1 из первого уравнения.

16. Решение систем линейных алгебраических уравнений общего вида

В общем случае число уравнений системы p не
совпадает с числом неизвестных переменных n:
Такие СЛАУ могут не иметь решений, иметь
единственное решение или иметь бесконечно
много решений. Это утверждение относится также
к системам уравнений, основная матрица которых
квадратная и вырожденная.

17. Теорема Кронекера – Капелли

Прежде чем находить решение системы линейных
уравнений необходимо установить ее совместность.
Ответ на вопрос когда СЛАУ совместна, а когда
несовместна, дает теорема Кронекера – Капелли: для
того, чтобы система из p уравнений
с n неизвестными (p может быть равно n) была
совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг
основной матрицы системы был равен рангу
расширенной матрицы, то есть, Rank(A)=Rank(T).
А как же находить решение СЛАУ, если
установлена ее совместность?
Для этого нам потребуется понятие базисного
минора матрицы и теорема о ранге матрицы.
Минор наивысшего порядка матрицы А,
отличный от нуля, называется базисным.
Из определения базисного минора следует, что
его порядок равен рангу матрицы. Для
ненулевой матрицы А базисных миноров
может быть несколько, один базисный минор
есть всегда.

19. Теорема о ранге матрицы

Если ранг матрицы порядка p на n равен r, то
все элементы строк (и столбцов) матрицы,
не образующие выбранный базисный
минор, линейно выражаются через
соответствующие элементы строк (и
столбцов), образующих базисный минор.

20. Что нам дает теорема о ранге матрицы?

Если по теореме Кронекера – Капелли мы
установили совместность системы, то выбираем
любой базисный минор основной матрицы
системы (его порядок равен r), и исключаем из
системы все уравнения, которые не образуют
выбранный базисный минор. Полученная таким
образом СЛАУ будет эквивалентна исходной, так
как отброшенные уравнения все равно излишни
(они согласно теореме о ранге матрицы являются
линейной комбинацией оставшихся уравнений).

21. В итоге, после отбрасывания излишних уравнений системы, возможны два случая:

1) Если число уравнений r в полученной системе будет равно числу
неизвестных переменных, то она будет определенной и единственное
решение можно будет найти методом Крамера, матричным методом или
методом Гаусса.
2) Если число уравнений r в полученной СЛАУ меньше числа неизвестных
переменных n, то в левых частях уравнений оставляем слагаемые,
образующие базисный минор, остальные слагаемые переносим в правые
части уравнений системы с противоположным знаком.
• Неизвестные переменные (их r штук), оставшиеся в левых частях
уравнений, называются основными.
• Неизвестные переменные (их n — r штук), которые оказались в правых
частях, называются свободными.
Cxитаем, что свободные неизвестные переменные могут принимать
произвольные значения, при этом r основных неизвестных переменных
будут выражаться через свободные неизвестные переменные
единственным образом. Их выражение можно найти решая полученную
СЛАУ методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса.

Правило n переменных, n уравнений

Мы только что видели, что два линейных уравнения с двумя переменными всегда будут иметь единственное решение, если две линии, которые они представляют, пересекаются в координатной плоскости. Это пример важного правила, называемого правилом n переменных, n уравнений. В случае двух переменных две разные линии дадут нам решение. В общем, чтобы решить n переменных, нужно n различных уравнений.

Примеры

n Переменные, n Уравнения

В этом случае у нас есть одна переменная и одно уравнение, так что ситуация разрешима (просто вычтем пять из обеих частей):

Это уравнение, однако полностью не решена:

У нас есть две переменные и только одно уравнение. Для решения в этом случае нам понадобится другое уравнение, включающее r и/или s , например r + s = 1.

Вот ситуация с тремя переменными и тремя уравнениями:

Здесь у нас достаточно информации для решения. Мы можем решить путем замены или комбинации, как обсуждалось в последнем разделе.

Отдельные уравнения

Когда вы ищете n уравнений, вы должны спросить себя, являются ли имеющиеся уравнения различными . Давайте посмотрим на модифицированную версию предыдущего примера:

Сначала это может выглядеть как три уравнения и три переменные. Однако первое и второе уравнения на самом деле не различны, потому что второе уравнение просто в два раза больше первого. Итак, в этой ситуации нам не хватает уравнения, чтобы иметь возможность решить.

Мы можем объяснить, почему это так, используя двумерный пример. Уравнение

в два раза больше уравнения

И, по сути, это графики одной линии. Мы можем увидеть это, найдя точки на обеих линиях и найдя наклоны; каждая точка, которая соответствует одному уравнению, будет соответствовать и другому. Уравнения полностью эквивалентны, и линии лежат точно друг над другом. Это дает визуализацию в координатной плоскости того, как два уравнения могут тривиально различаться по алгебраическому виду, но на самом деле быть одним и тем же.

Применение переменных

n , n Правило уравнений

Вот основные применения n переменных, n правила уравнений:

· В вопросах решения проблем мы можем использовать правило , чтобы оставаться организованным. Например, в задаче со словами нам часто приходится переводить слова в алгебру, а затем решать. Когда мы знаем, что на вопрос есть ответ – ведь мы должны его найти! – и есть два неизвестных, мы знаем, что, вероятно, ищем два линейных уравнения.

· Точно так же мы можем использовать правило для проверки нашей работы. Если бы мы решили ситуацию с тремя переменными и двумя уравнениями, возможно, мы сделали что-то не так (но об этом см. следующий раздел).

· Вероятно, вы воспользуетесь этим правилом хотя бы один раз, когда будете сдавать экзамен , чтобы ответить на вопросы о достаточности данных. Правило n переменных, n уравнений хорошо подходит для достаточности данных, поскольку оно отвечает на вопрос: «Достаточно ли у нас информации для решения?» и это предмет каждого отдельного вопроса о достаточности данных.

Алгебра удачи

Как мы только что видели, в некоторых случаях может быть n уравнений, но уравнения не различны, поэтому у нас меньше информации, чем мы могли бы подумать, и недостаточно, чтобы решить все переменные . Существует противоположный вид частного случая, когда речь идет о n переменных и n уравнений. У него нет подходящего математического названия, поэтому в бесплатном курсе GMAT мы называем его просто «случайная алгебра».

Рассмотрим этот пример, который похож, но отличается от приведенных выше примеров:

ответить на вопрос. Однако, несмотря на то, что мы не можем полностью решить все переменные, возможно, рассматриваемый вопрос не требует от нас этого. Предположим, это уравнение спрашивает нас: «Сколько будет a + b ?» В этом случае мы могли бы сложить два уравнения вместе (или решить для c и подстановка), чтобы получить

Затем, разделив обе части на 2, мы получим ответ:

Причина, по которой мы смогли решить в этом случае, заключалась в том, что вопрос не требовал от нас решения полностью. Обратите внимание, что мы так и не узнали точных значений a и b ; мы получили только их сумму. Мы не смогли решить полностью, но мы решили то, о чем нас просили. Можно сказать, что нам повезло, и поэтому мы называем это «алгеброй случайностей».

Случайная алгебра появляется в вопросах GMAT, поэтому вы должны помнить об этом при использовании n переменных, n уравнений.

Практические вопросы

Линейные уравнения с дробями:
http://www. gmatfree.com/linear-equations-with-fractions

Счета и цены:
http://www.gmatfree.com/counts- и-цены

Алгебра Fortuitous:
http://www.gmatfree.com/fortuitous-алгебра

1.1: Система линейных уравнений

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

50839

• Pamini Thangarajah
• Mount Royal University

Введение в систему линейных уравнений

Строится!

Определение: линейные уравнения

\(a_1x_1+a_2x_2+ \cdots+ a_nx_n=b\) называется линейным уравнением в \(n\) переменных \(x_1, x_2, \cdots, x_n\), где \( a_i \in \mathbb{R}\) — коэффициент при \(x_i\), для \(i=1,\cdots , n\) и \(b \in \mathbb{R}\) — постоянный член .

Пример \(\PageIndex{1}\)

1. \(x=2\) — линейное уравнение с одной переменной \(x\).
2. \(x+y=3\) — линейное уравнение с двумя переменными \(x\) и \(y\). 92+y=3\) не является линейным уравнением.

Пример \(\PageIndex{2}\)

Найдите два числа, сумма которых равна \(12\) и положительная разность которых равна \(3\).

Решение

Пусть \(x\) и \(y\) — такие числа, что \(x+y =12\) и \(x-y=3\). Это система двух линейных уравнений с двумя переменными.

Тогда мы можем решить эти уравнения, исключив одну переменную.

Складывая уравнения, получаем \(2x=15\). Следовательно, \(x= \dfrac{15}{2}=7,5\).

Теперь \(y=12-x=12-7,5=4,5\).

Таким образом, числа равны \(7,5\) и \(4,5\). Таким образом, система имеет единственное решение.

Мы также можем найти решение, используя геометрию. Помните, что линейные уравнения с двумя переменными представляют линии в двух измерениях. Из графика на рисунке \(\PageIndex{1}\) видно, что точкой пересечения является \((7. {n}a_{ij}x_{j}=b_{i}, \text{ }i= 1,2,3,\cdots,m\]

3. Система линейных уравнений называется однородной системой , если постоянный член каждого уравнения системы равен \(0\). Однородная система имеет вид \[\begin{eqnarray*}{c} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n} &= &0 \ \ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&= &0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{ m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=& 0 \end{eqnarray*}\], где \(a_{ij}\) — скаляры, а \(x_{i}\) являются переменными

4. Список \( (s_1,s_2, \cdots,s_n)\) представляет собой решение системы линейных уравнений, если оно удовлетворяет всем линейным уравнениям системы.

Пример \(\PageIndex{3}\)

\[\begin{align} &x &+y &&-3z&=3 \\ &2x & -y&& &=4 \\ &4x &+2y &&+3z&=7 \end{align}\nonumber \]

Решения системы линейных уравнений

Возможные решения:

Рассмотрим следующие системы двух уравнений с двумя переменными.

\begin{equation} \left.
\begin{выровнено} x-y=0\\x+y=0 \end{выровнено}
\справа\} \end{уравнение}

\begin{уравнение} \влево. \begin{выровнено} x-y=0\\x-y=1\end{выровнено}
\справа\} \end{уравнение}

\begin{уравнение} \влево. \begin{align}x-y=0\\2x-2y=0\end{align}
\right\} \end{equation}

Каковы решения для вышеуказанных систем.

Определение:

Система линейных уравнений называется непротиворечивой , если существует хотя бы одно решение. Это называется несовместимо если решения нет.

Расширенная матрица

Определение: Элементарные операции со строками

Элементарные операции со строками состоят из следующих

1. Поменять местами две строки.

2. Умножить строку на ненулевое число.

3. Заменить строку любым числом, кратным другой строке, добавленной к ней.

 

---

Эта страница под названием 1.1: Система линейных уравнений распространяется по незаявленной лицензии и была создана, изменена и/или курирована Памини Тангараджа.

1. Вернуться к началу

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или страница

   Автор

   Памини Тангараджа

2. Метки

   На этой странице нет тегов.

Линейные системы и матрицы

Линейные системы и матрицы

Линейные системы

n на n линейная система уравнений является система n линейных уравнений с n переменными.

        a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + . .. + a _1n x _n   = б ₁
а ₂₁ х ₁ + а ₂₂ х ₂ + … + a _2n x _n   =  b ₂  
… … …        …
a _n1 x ₁ + a _n2 x ₂ + … + a _nn x _n   =  b _n  

 

Пример

Решить

        2x ₁ + 3x ₂   =  9
х ₁ — 2х ₂ =  1

Раствор

Чтобы решить эту проблему, мы последовательно выполняем члены следующих трех операций:

1. Поменять местами два уравнения.
2. Умножение уравнения на ненулевую константу.
3. Заменить уравнение этим уравнением плюс кратное второго уравнения.
   

У нас есть

Перестановка двух уравнений
         x ₁ — 2x ₂  = 1            
2x ₁ + 3x ₂ =  9

Замените 2-е уравнение на 2-е уравнение + (-2) 1-е уравнение
         x ₁ — 2x ₂  = 1          
7х ₂   =  7

Умножьте второе уравнение на 1/7
         x ₁ — 2x ₂  = 1          
х ₂   =  1

Замените 1-е уравнение на 1-е уравнение + (2)2-е уравнение

         x ₁ =  3          
х ₂   =  1

---

Матрицы

Матрица размера m на n массив чисел с m строк и n столбцы.

Пример

Приведенная ниже матрица представляет собой размер 2 на 3 матрица.

---

А квадратная матрица — это n на матрицу n, то есть матрицу такую, что число строк равно количеству столбцов. й ^й запись — это число в строке i ^th и й ^й столбец. Например, матрица над записью 1 2 ^th равна

.

а ₁₂   =  4

Примечание: Вектор такой в ​​<2,4,6> можно посмотреть как 1 на 3 матрица.

А квадратная матрица называется диагональной матрицей , если

а _ij   =  0 для        i  j

матрица ниже представляет собой диагональную матрицу

Если все элементы диагональной матрицы равны, то матрица называется скаляром матрица . Пример ниже представляет собой скалярную матрицу.

---

Дополнение Вычитание и скалярное умножение

Просто как и с векторами, мы можем складывать и вычитать матрицы и умножать матрицу на скаляр.