Система уравнений способом подстановки: 4.2 Solve Systems of Equations by Substitution – Business/Technical Mathematics

Метод замены | Решение системы уравнений подстановкой

Одним из методов алгебраического решения системы линейных уравнений с двумя переменными является метод подстановки. В этом методе мы находим значение любой из переменных, изолируя ее с одной стороны и беря все остальные члены с другой стороны уравнения. Затем подставляем это значение во второе уравнение. Он включает в себя простые шаги, чтобы найти значения переменных системы линейных уравнений методом подстановки. Давайте узнаем об этом подробно в этой статье.

1.	Что такое метод замещения?
2.	Решение систем уравнений методом подстановки
3.	Разница между методом исключения и замены
4.	Часто задаваемые вопросы о методе замены

Что такое метод подстановки?

Метод подстановки — это простой способ алгебраического решения системы линейных уравнений и поиска решений переменных.

Как следует из названия, он включает в себя нахождение значения переменной x через переменную y из первого уравнения, а затем подстановку или замену значения переменной x во втором уравнении. Таким образом, мы можем решить и найти значение переменной y. И, наконец, мы можем подставить значение y в любое из данных уравнений, чтобы найти x. Этот процесс также можно поменять местами, когда мы сначала находим x, а затем находим y.

Определение метода подстановки

Метод подстановки — это один из алгебраических методов решения одновременных линейных уравнений. Он включает в себя подстановку значения любой из переменных из одного уравнения в другое уравнение. Двумя другими алгебраическими методами решения линейных уравнений являются метод исключения и метод перекрестного умножения. Помимо алгебраического метода, мы также можем решить систему линейных уравнений графически.

Рассмотрим пример решения двух уравнений x-2y=8 и x+y=5 методом подстановки.

Решение систем уравнений методом подстановки

Шаги по применению или использованию метода подстановки для решения системы уравнений приведены ниже:

• Шаг 1:  Упростите данное уравнение, при необходимости расширив скобки.
• Шаг 2: Решите любое уравнение для любой из переменных. Вы можете использовать любую переменную, исходя из простоты расчета.
• Шаг 3: Подставьте полученное значение x или y в другое уравнение.
• Шаг 4: Теперь упростим новое уравнение, полученное с помощью арифметических операций, и решим уравнение для одной переменной.
• Шаг 5: Теперь подставьте значение переменной из  Шаг 4  в любое из приведенных уравнений, чтобы найти другую переменную.

Вот пример решения системы уравнений методом подстановки: 2x+3(y+5)=0 и x+4y+2=0.

Решение:

Шаг 1:  Итак, здесь мы можем упростить первое уравнение, чтобы получить 2x + 3y + 15 = 0. Теперь у нас есть два уравнения:

2x + 3y + 15 = 0 _____ ( 1)

x + 4y + 2 = 0 ______ (2)

Шаг 2: Решаем уравнение (2) относительно x. Итак, получаем x = -4y — 2.

Шаг 3: Подставляем полученное значение x в уравнение (1). т. е. подставляя x = -4y-2 в уравнение 2x + 3y + 15 = 0, получаем 2(-4y-2) + 3y + 15 = 0,

Шаг 4: Теперь упростим новое уравнение. Получаем -8y-4+3y+15=0

-5y + 11 = 0

-5y = -11

y = 11/5

Шаг 5: Теперь подставим значение y в любое из приведенных уравнений. Подставим значение y в уравнение (2).

x + 4y + 2 = 0

x + 4 × (11/5) + 2 = 0

x + 44/5 + 2 = 0

x + 54/5 = 0

x = -54 /5

Следовательно, решив данную систему уравнений методом подстановки, получим x = -54/5 и y= 11/5.

Разница между методом исключения и замены

И метод исключения, и метод подстановки являются способами алгебраического решения линейных уравнений. Когда метод подстановки становится немного трудным для применения в уравнениях, содержащих большие числа или дроби, мы можем использовать метод исключения, чтобы облегчить наши вычисления. Давайте поймем разницу между этими двумя методами с помощью приведенной ниже таблицы:

Метод замены	Метод исключения
Здесь мы находим значение любой из переменных и подставляем его значение в другое уравнение.	В этом методе мы умножаем или делим одно или оба уравнения на число, чтобы сделать коэффициенты переменной x или переменной y одинаковыми в обоих уравнениях. Затем мы добавляем или вычитаем уравнения, чтобы исключить переменную с тем же коэффициентом. Таким образом, мы находим значение одной переменной, которое можно подставить в любое из уравнений, чтобы найти и другую переменную.
Метод подстановки лучше использовать, когда уравнения либо заданы в виде, либо могут быть приведены в виде x = ay + b и y = mx + n.	Лучше использовать метод исключения, когда коэффициент любого из слагаемых одинаков. Например, Ax+By+C=0 и Px+By+R=0.

Важные примечания к методу подстановки:

• Чтобы начать с метода подстановки, сначала выберите уравнение с коэффициентом 1 хотя бы для одной из переменных и решите для той же переменной (с коэффициентом 1). Это упрощает процесс.
• Перед тем, как начать использовать метод подстановки, объедините все одинаковые термины (если они есть).
• После решения для одной переменной мы можем выбрать любое из заданных уравнений или любое уравнение во всем процессе, чтобы найти другую переменную.
• Если при решении методом подстановки мы получаем какое-либо верное утверждение, например, 3 = 3, 0 = 0 и т. д., то это означает, что система имеет бесконечно много решений.
• Если мы получим какое-либо ложное утверждение типа 3 = 2, 0 = 1 и т. д. при решении методом подстановки, то это означает, что система не имеет решения.

☛  Похожие темы:

Ознакомьтесь с этими статьями, посвященными методу замены.

• Калькулятор метода замены
• Калькулятор метода замены
• Решатель системы уравнений

 

Примеры методов замены

1. Пример 1: Шон получил два уравнения 5m−2n=17 и 3m+n=8. Можете ли вы помочь ему найти решение этих уравнений методом подстановки?

   Решение: Даны два уравнения:

   5m−2n=17 ____ (1)

   3m+n=8 _____ (2)

   Решение данных двух уравнений можно найти, выполнив следующие действия. :

   • Из уравнения 2 мы можем найти значение n через m, где n = 8 — 3m
   • Подставляем значение n в уравнение 1. Получаем, 5m — 2(8-3m)=17

   5м — 2(8-3м)=17

   5м — 16 + 6м =17

   11м = 17 + 16

   11m=33

   m = 3

   • Подставляем значение m в уравнение 2, получаем 3×3+n=8

   9+n=8

   n=8-9

   n=-1

   Ответ:  Следовательно, методом подстановки мы выяснили, что m=3 и n=-1.

2. Пример 2: У Джеки есть два числа, сумма которых равна 20, а разница между ними равна 10. Найдите числа, используя метод подстановки решения линейных уравнений.

   Решение: Пусть два числа будут x и y такими, что x>y. Дано, что x+y=20 ___ (1) и x−y=10 ___ (2). Из уравнения 1 получаем x = 20-y. Подставьте это значение в уравнение 2, чтобы найти значение y.

   x−y=10

   20-y-y=10

   20-2y=10

   20-10=2y

   10=2y

   y=10/2 = 5

   Теперь подставьте значение y в уравнении 1, мы получаем, x+5=20, что дает нам x=15.

   Ответ: Следовательно, эти два числа — 15 и 5.

3. Пример 3: Решите данную систему линейных уравнений методом замены:

   — 2x — 5 + 3x + y = 0 ___ (1)

   3x + y = 11 ___ (2)

   Решение: Как мы видим, первое уравнение можно еще больше упростить, комбинируя подобные члены. После упрощения получаем x+y-5=0. Из этого уравнения найдем значение x через y, то есть x = 5-y. Теперь подставляем это значение в уравнение 2, получаем 3(5-y)+y=11.

   15-3y+y=11

   15-2y=11

   15-11=2y

   4=2y

   y=4/2=2

   Теперь подставим значение у в уравнении 1. Получаем x+2-5=0, что можно упростить до x = 3.

   Ответ:  Следовательно, методом подстановки имеем x=3 и y=2.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных эффектов.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по методу замены

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о методе замены

Что такое метод подстановки в алгебре?

В алгебре метод подстановки является одним из способов решения линейных уравнений с двумя переменными. В этом методе мы подставляем значение переменной, найденное одним уравнением, во второе уравнение. Его очень легко использовать, когда у нас есть меньшие числа, но в случае больших чисел или дробных коэффициентов применять метод подстановки становится утомительно.

Когда следует использовать метод подстановки?

Метод подстановки можно применить к любой паре линейных уравнений с двумя переменными. Целесообразно использовать метод подстановки, когда мы имеем меньшие коэффициенты в терминах или когда уравнения заданы в виде x = ay+c и y=bx+p.

Что мы заменяем в методе замещения?

В методе подстановки мы подставляем значение одной переменной, найденное путем упрощения уравнения, в другое уравнение. Например, если в уравнениях m и n две переменные, то мы можем сначала найти значение m через n из любого из уравнений, а затем подставить это значение во второе уравнение, чтобы получить ответ n . Затем снова подставляем значение n в любое из данных уравнений.

Что общего между методом замены и методом исключения?

Оба метода включают процесс замены. В обоих методах мы сначала находим значение одной переменной, а затем подставляем его в любое из заданных уравнений. Таким образом, это характерно как для метода исключения, так и для метода замены.

Что такое первый шаг в методе замещения?

Первым шагом в методе подстановки является нахождение значения любой из переменных в одном уравнении через другую переменную. Например, если есть два уравнения x+y=7 и x-y=8, то из первого уравнения можно найти, что x=7-y. Это первый шаг применения метода замещения.

Каковы шаги метода замены?

Ниже приведены три простых шага метода подстановки :

• Найдите значение любой переменной из любого уравнения через другую переменную.
• Подставьте его в другое уравнение и решите.
• Снова подставьте значение второй переменной в любое из уравнений.

Как использовать метод подстановки с двумя переменными?

Имея две переменные, скажем, x и y, мы сначала находим значение x через y из любого из приведенных уравнений. Затем мы подставляем это значение в другое уравнение, чтобы найти значение y. Наконец, мы снова подставляем значение y в любое заданное уравнение, чтобы найти x.

Является ли метод замены только для линейных уравнений?

Нет, метод подстановки можно применять для любого типа уравнений. Например, уравнения y = x ²  и y = 3x + 4 можно решить с помощью метода подстановки.

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

ЛИСТКИ

Решение систем линейных уравнений с помощью подстановки

Горячая математика

Системы линейных уравнений:

А система линейные уравнения представляет собой просто набор из двух или более линейных уравнений.

В двух переменных ( Икс и у ) , график системы двух уравнений представляет собой пару прямых на плоскости.

Есть три возможности:

• Линии пересекаются в нулевых точках. (Прямые параллельны.)
• Линии пересекаются ровно в одной точке. (Большинство случаев.)
• Прямые пересекаются в бесконечном числе точек. (Два уравнения представляют одну и ту же прямую.)

Как решить систему с помощью Метод замены

• Шаг 1 : Сначала решим одно линейное уравнение относительно у с точки зрения Икс .
• Шаг 2 : Затем подставьте это выражение вместо у в другом линейном уравнении. Вы получите уравнение в Икс .
• Шаг 3 : Решите это, и вы получите Икс -координата перекрестка.
• Шаг 4 : Затем подключите Икс к любому уравнению, чтобы найти соответствующее у -координата.

Примечание 1 : Если проще, можно начать с решения уравнения для Икс с точки зрения у , а также – такая же разница!

Пример:

Решите систему { 3 Икс + 2 у «=» 16 7 Икс + у «=» 19

Решите второе уравнение для у .

у «=» 19 − 7 Икс

Заменять 19 − 7 Икс для у в первом уравнении и решить Икс .

3 Икс + 2 ( 19− 7 Икс ) «=» 16 3 Икс + 38 − 14 Икс «=» 16 − 11 Икс «=» − 22 Икс «=» 2

Заменять 2 для Икс в у «=» 19 − 7 Икс и решить для у .

у «=» 19 − 7 ( 2 ) у «=» 5

Решение ( 2 , 5 ) .

No related posts.