Системы уравнений с параметром | Учебно-методический материал по алгебре (11 класс):
Опубликовано 18.04.2021 — 13:32 — Мурзина Наталья Юрьевна
Дидактический материал по теме «Системы уравнений с параметром». ЕГЭ задание № 18.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Решение систем уравнений с параметром.
- Решите систему уравнений
- Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений
имеет ровно 2 решения.
- Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет более двух решений.
- Найдите все значения параметра а, при которых система
имеет единственное решение.
- При каких значениях параметра а система
имеет ровно 2 решения?
- Решите систему уравнений
Ответ: при а = 0,
при а = 6,
- Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно 2 различных решения.
Ответ: [ — 4 ; 0 ]
- При каких значениях параметра а система
имеет ровно 2 решения?
Ответ: — 6.
Решение систем уравнений с параметром.
- Решите систему уравнений
- Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений
имеет ровно 2 решения.
- Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет более двух решений.
- Найдите все значения параметра а, при которых система
имеет единственное решение.
- При каких значениях параметра а система
имеет ровно 2 решения?
- Решите систему уравнений
Ответ: при а = 0,
при а = 6,
- Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно 2 различных решения.
Ответ: [ — 4 ; 0 ]
- При каких значениях параметра а система
имеет ровно 2 решения?
Ответ: — 6.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
«Задачи с модулем и параметром. Уравнения с параметрами»
Программа рассчитана на учащихся, проявивших интерес к изучению математики. Ввиду того, что тема «Модуль» изучается в 6 классе, а дальше ей не уделяется должного вн…
Линейные уравнения и системы линейных уравнений с параметрами
Методическая разработка на тему: «Линейные уравнения и системы линейных уравнений с параметрами»…
Линейные уравнения, неравенства и системы линейных уравнений с параметром.
Тестовые задания….
Курсовая итоговая работа «Проектирование многоуровневой системы задач с параметром в 7 классе. Линейные уравнения»
Зачетная итоговая работа была представлена на курсах повышения квалификации по ИОЧ, ВБ «Методические особенности обучения решению задач с параметром в условиях перехода к новым образовательным ст. ..
«Многоуровневая система задач с параметрами при решении линейных уравнений в 7 классе»
работа по самообразованию…
Конспект учебного занятия по теме: «Система линейных уравнений с параметром»
дана система заданий на отработку правила Крамера; рассматривается решение систем линейных уравнений с параметром с помощью правила Крамера…
Методическая разработка: Системы линейных уравнений с параметрами в курсе Алгебры 7-го класса
В данной методической разработке разобраны решения систем линейных уравнений с параметрами двумя способами: способом сложения и способом подстановки….
Поделиться:
11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром. — Уравнения и неравенства с параметром, простейшие примеры.
Комментарии преподавателяУравнения и неравенства с параметром, простейшие примеры
Напомним смысл выражения «решить с параметром» – можно решать уравнения, неравенства, системы с параметром.
Решить задачу, например уравнение или неравенство с параметром а – означает «перебрать» все значения параметра и для каждого из них указать ответ.
Поясним на простейших примерах.
Пример 1 – решить уравнение с параметром:
Задача состоит в том, чтобы для каждого значения параметра решить уравнение относительно .
Пусть , тогда имеем простейшее линейное уравнение:
В общем случае в данном уравнении возможны два варианта решения – когда можно делить на коэффициент а и когда нельзя, необходимо перебрать все допустимые значения параметра а ()
Рассмотрим два случая. При мы не имеем права разделить единицу на коэффициент а, поэтому подставляем значение ноль в заданное уравнение и изучаем его. При любых других значениях а имеем право выполнить деление:
Ответ: при решений нет, при
Рассмотрим решение простейшего неравенства с параметром.
Рассмотрим решение простейшего неравенства с параметром.
Пример 2 – решить неравенство с параметром:
Если а – конкретное число, мы можем легко решить заданное неравенство, например:
у нас же есть коэффициент а в общем виде. Рассмотрим три случая:
Ответ: при решений нет; при ; при
Пример 3 – решить уравнение с параметром:
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель ее равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
Значение параметра может быть любым. Рассмотрим два случая:
При этом получаем в первом случае: х с одной стороны равен пяти, т. к. , а с другой стороны не равен пяти, т. к. знаменатель дроби не может быть равен нулю, кроме того получаем выражение , а такого выражения не существует.
Когда , противоречий не возникает
Ответ: при решений нет, при
Пример 4 – решить уравнение с параметром:
Значение а может быть любым, но квадратный корень – это строго неотрицательное число. Следовательно, рассматриваем два случая:
Ответ: при ; при
Решим иррациональное неравенство с параметром.
Пример 5 – решить неравенство с параметром:
Исследуем данное неравенство.
х стоит под знаком квадратного корня, значит допустимые значения по х — все неотрицательные значения. а может принимать любые значения. рассмотрим три случая. Если меньше нуля и корень существует, то неравенство выполняется. Если , любой неотрицательный х удовлетворяет неравенству. Если же больше нуля, имеем право возвести в квадрат:
Ответ: при ; при
Рассмотрим решение данного неравенства графическим методом. Для этого сначала строим график функции, стоящей в левой части: , область определения данной функции . Рассекаем полученную кривую семейством прямых и находим точки пересечения.
По рисунку очевидно, что когда , кривая находится над прямой при всех допустимых х, то есть при всех допустимых х неравенство выполняется.
Если а положительно, кривая имеет единственную точку пересечения с прямой и кривая находится выше прямой правее точки пересечения, абсцисса точки пересечения , поэтому решением неравенства является
Очевидно, что ответ совпадает с ответом при решении аналитическим способом.
Пример 6 – решить уравнение с параметром:
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом существует.
Рассматриваем два варианта – либо , но корень при этом должен существовать, либо , в таком случае а – любое число:
Ответ: при ; при
Итак, мы рассмотрели решение различных простых задач, в которых присутствует параметр.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/uravneniya-i-neravenstva-s-parametrom-prosteyshie-primery
http://www. 2 & 3a \\ -4 & 3 & 1 & -5\конец{матрица}\справа]$$ 92}$$
Решение системы линейных уравнений с параметрами
Не производя дальнейших вычислений, можно заметить, что сложением первого и третьего уравнений получается $$(3-\лямбда)x_1+(3-\лямбда)x_3=2.$$ Для $\lambda=3$ это уравнение $0=2$. Итак, вы знаете, что при $\lambda=3$ система не имеет решений.
Если вы предпочитаете работать с матрицами, вы можете добавить первую строку матрицы к третьей строке, и новая матрица будет содержать строку $\begin{pmatrix} 3-\lambda & 0 & 3-\lambda & 2 \ end{pmatrix}$, что приводит точно к такому же выводу. 92-6\лямбда-3)$. Итак, мы знаем, что система имеет единственное решение для всех значений, не являющихся корнями этого полинома, т.е. для $\lambda \ne 3, 3\pm2\sqrt3$. (Определитель сам по себе не является достаточной информацией, чтобы сказать нам, будем ли мы иметь ноль или бесконечно много решений для этих значений. Что неудивительно, поскольку в этом вычислении RHS вообще не использовалась.
Должен сказать, что вычисление определителя не намного проще, чем исключение Гаусса-Жордана. (Определитель можно вычислять с помощью элементарных операций со строками. Если мы вычисляем его таким образом, то, по сути, единственное отличие состоит в том, что здесь мы игнорировали RHS.) Но мы можем проверить наши ручные вычисления, используя какое-нибудь программное обеспечение, способное решать такие вещи (например, WolframAlpha). Вы даже можете попросить WolframAlpha решить систему из вашего вопроса или модификацию, которую я предложил, или вторую предложенную мной модификацию.
Итак, я думаю, что в книге опечатка, и предполагается, что это та система, которую я предложил; или что-то подобное, что приводит к хорошему решению.
Другая возможность заключается в том, что вы не должны решать систему полностью для каждого значения параметра $\lambda$. Возможно, авторы ожидают, что вы просто скажете, что для $\lambda=3$ решения нет.