Векторное произведение двух векторов. Он-лайн калькулятор.
Очевидно, что в случае векторного произведения, имеет значение порядок, в котором берутся вектора, более того, Так же, непосредственно из определения следует, что для любого скалярного множителя k (числа) верно следующее: Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулевому вектору. Более того, векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны. (В случае, если один из них нулевой вектор необходимо вспомнить, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору по определению). Векторное произведение обладает распределительным свойством, то есть Выражение векторного произведения через координаты векторов. Пусть даны два вектора (как найти координаты вектора по координатам его начала и конца — см. статью Скалярное произведение векторов, пункт Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами. Тогда Зачем нужно векторное произведение? Существует множество способов применения векторного произведения, например, как уже написано выше, вычислив векторное произведение двух векторов можно выяснить, коллинеарны ли они. Или же его можно использовать как способ вычисления площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Исходя из определения, длина результирующего вектора и есть площадь данного параллелограмма. Также огромное количество применений существует в электричестве и магнетизме.
Он-лайн калькулятор векторного произведения. Чтобы найти скалярное произведение двух векторов с помощью данного калькулятора, нужно ввести в первую строку по порядку координаты первого вектора, во вторую- второго.
| ||||
| Дополнительная информация от TehTab.ru: | ||||
)
Координаты векторов могут быть вычислены по координатам их начала и конца (см. статью Скалярное произведение векторов, пункт Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами. ) Раздел недели: Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т. | |||||||||||
| Поиск на сайте DPVA Поставщики оборудования Полезные ссылки О проекте Обратная связь Ответы на вопросы. Оглавление Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник | Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник Поделиться:
| ||||||||||
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. | |||||||||||
Коды баннеров проекта DPVA.ru Консультации и техническая | Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator | ||||||||||
д.
Как сказано в определении, мы привели все три вектора к общему началу, и тогда, если смотреть на вектора a и b с конца вектора [a,b], кратчайший поворот от вектора а до вектора b будет против часовой стрелки .
Dot Product vs Cross Product: в чем разница?
При изучении технических предметов, таких как физика или математика, один из наиболее частых вопросов, которые мы задаем, : «Зачем нам это изучать и как это поможет нам в будущем?»
Я хотел бы ответить на этот вопрос для вас. Правда в том, что каждый аспект предметов, которые вы изучаете, имеет то или иное применение в вашей реальной жизни, будь то навыки, содержание или просто получение атрибута.
Обычная тема, которую каждый студент не хотел бы изучать, это векторная алгебра. Хотя на первый взгляд это может показаться сложным, в этой статье мы рассмотрим разницу между перекрестным произведением и скалярным произведением. Прежде чем мы углубимся в это, давайте разберемся, что такое векторная алгебра и как ее изучение может быть полезным.
Векторная алгебра, как следует из названия, имеет дело с векторами. Большинство величин являются либо скалярами, либо векторами. У скаляров есть только величина, тогда как у векторов есть и величина, и направление.
Теперь, когда мы поняли важность векторной алгебры, давайте перейдем конкретно к скалярному произведению и перекрестному произведению .
Разница между перекрестным произведением и скалярным произведением
1. Основным атрибутом, который разделяет обе операции по определению, является то, что скалярное произведение является произведением величины векторов и косинуса углов между ними, тогда как перекрестное произведение является произведением величины векторов и синус углов между ними.
2. Хотя это словарное определение того, что означают обе операции, есть одна важная характеристика, которая разделяет их обе. Эту разницу можно отметить с точки зрения векторной алгебры. Результатом скалярного произведения является скалярная величина с величиной в целом, однако результатом перекрестного произведения является векторная величина как с величиной, так и с направлением.
Это два основных отличия, которые вы должны принять во внимание, чтобы понять концепции на первый взгляд.
Давайте рассмотрим математический подход, чтобы познакомиться с ним поближе:
Скалярный продукт представляется следующим образом:
а . б = ||а|| ||б|| соз (θ)
Здесь A и B — векторы и угол между обоими векторами.
а . б = ||а|| ||б|| sin (θ) n
Здесь A и B — векторы, а — угол между ними. N — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, в которой A и B входят в состав.
ТОЧЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ПЕРЕКРЕСТНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ (табличная форма)
Это даст вам общее представление о различиях между обеими операциями, если говорить простыми словами.
Что это означает теоретически?
Дополнительный продукт:
Из-за наличия только величины и отсутствия направления оба вектора в операции скалярного произведения выравниваются одинаково. Берется косинус угла между этими векторами. Произведение оказывается скалярным. Он также известен как внутренний продукт или проекционный продукт.
Произведение имеет 4 различных свойства, известных как коммутативность, дистрибутивность, ортогональность или свойство, которое следует скалярному закону умножения.
Применение скалярного произведения:
Операция используется для определения длины между двумя точками на плоскости с известными координатами.
Перекрестный продукт:
Из-за наличия как величины, так и направления, величина векторов берется вместе с синусом угла между ними.
В результате произведение оказывается векторной величиной. Важно отметить, что конечный результат операции векторного произведения должен быть перпендикулярен обоим векторам или, другими словами, плоскости, на которой лежат оба вектора.
Таким образом, для определения направления можно использовать правило большого пальца правой руки. В этом случае два пальца представляют векторы, а большой палец определяет произведение. Перекрестное произведение также известно как направленное произведение площади.
Как и скалярное произведение, перекрестное произведение имеет 4 различных свойства. Он некоммутативен, дистрибутивен, ортогонален и совместим со скалярным законом умножения.
Применение перекрестного произведения:
В основном применяется в вычислительной геометрии для нахождения или определения расстояния между двумя наклонными линиями. Перекрестное произведение также можно использовать, чтобы предположить, являются ли два вектора компланарными или нет.
Заключение:
Векторная алгебра, охватывающая точечные и перекрестные произведения, является полезной темой для начинающих врачей и математиков, поскольку она дает представление об основах геометрии и тригонометрии, которые можно применять в реальных ситуациях. В математике сложение, вычитание и умножение векторов можно выполнять для понимания характера плана или траектории, тогда как в физике такие векторы, как расстояние, смещение, скорость и ускорение, используются для понимания более экстремальных предметов.
Векторы Евклида используются уже несколько сотен лет, внося большой вклад в математику и физику. Они были проанализированы, оценены и переработаны после того, как несколько ученых и математиков разработали концепцию, внося изменения и инновации по мере поступления новой информации.
Когда вы поймете, векторы могут стать интересной темой для дальнейшего изучения, а также применения в вашей жизни. Мы надеемся, что эта статья о точечных и перекрестных произведениях помогла вам понять основные различия с точки зрения формул, свойств и приложений!
Скалярное произведение и перекрестное произведение (табличная форма)
Распространение любви
Основное различие между скалярным произведением и перекрестным произведением заключается в том, что результирующее скалярного произведения является скалярной величиной.
И результирующая перекрестного произведения является векторной величиной.
Двумя основными способами работы с векторными алгебраическими операциями являются скалярное произведение и векторное произведение. На самом деле, они самые важные.
Ну, прежде чем перейти к вопросам, например, почему скалярное произведение двух векторов является скаляром? Или почему векторное произведение двух векторов является вектором? Позвольте мне дать вам краткий обзор основных различий между скалярным произведением и перекрестным произведением.
точечный продукт против перекрестного продукта (табулярная форма)
| DOT Product | Продукт | |
| 1. | Перекрестное произведение является произведением величины векторов и синуса угла между ними. | |
| 2. | Математически скалярное произведение представлено A . B = A B Cos θ | Математически векторное произведение представлено как A × B = A B Sin θ |
| 3. | Конечным результатом скалярного произведения векторов является скалярная величина. | Конечным результатом перекрестного произведения векторов является векторная величина. |
| 4. | Скалярное произведение векторов не имеет направления, потому что это скаляр. | Направление векторного произведения векторов определяется правилом правой руки. |
| 5. | Если векторы перпендикулярны друг другу, то их скалярное произведение равно нулю, т.е. A . B = 0 | Если векторы параллельны друг другу, то их векторное произведение равно нулю, т.е. A × B = 0 |
| 6. | Скалярное произведение строго следует коммутативному закону. | Перекрестное произведение не подчиняется коммутативному закону. |
| 7. | Скалярные произведения являются дистрибутивными над сложением. | Перекрестные произведения также являются дистрибутивными над сложением. |
| 8. | Они следуют скалярному закону умножения. | Они тоже следуют скалярному закону умножения. |
Как и в приведенной выше табличной форме скалярного произведения против перекрестного произведения, вы получили представление об этих двух векторных алгебраических операциях. И наоборот, чтобы узнать их подробно, давайте попробуем понять их обоих в подробном формате. Продолжай читать!
Что такое скалярный продукт?
Иллюстрация, показывающая, как найти угол между векторами с помощью скалярного произведения. Кредит: ВикискладСкалярное произведение есть не что иное, как произведение величины векторов и косинуса угла между ними. Результат скалярного произведения векторов всегда является скалярной величиной. Следовательно, равнодействующая имеет только величину.
Чтобы выровнять векторы в одном направлении, мы берем косинус угла между векторами.
В результате результирующая скалярного произведения векторов не имеет никакого направления, поэтому также известна как скалярное произведение.
Помимо скалярного произведения, скалярное произведение также называется внутренним произведением или просто проекционным произведением.
Формула скалярного произведения
Согласно определению скалярного произведения существует два способа записи формулы скалярного произведения. Давайте познакомимся с ними один за другим в деталях.
Алгебраическое определение
Предположим, что есть два вектора;
Где, a = [a1, a2, a3, ….., an]
b = [b1, b2, b3, ……, bn]Согласно алгебраическому определению, формула векторного скалярного произведения:
А . B знак равно ∑ ай . bi = a1b1 + a2b2 + a3b3 + …… + anbnГде ∑ обозначает суммирование, а n — размерность векторного пространства.
Геометрическое определение
Согласно геометрическому определению, формула векторного скалярного произведения или скалярного произведения:
A · Β = |A| |Б| cos θ Где A и B — евклидовы векторы, а θ — угол между векторами.
Особое упоминание
При вычислении векторного скалярного произведения следует помнить о следующем наборе правил.
- я . я = 1 , я . j = 0, т.е. к = 0
- дж . i = 0, Дж. j = 1 , j. к = 0
- к . я = 0, к. j = 0, к. k = 1
Где i, j, k — единичные векторы в направлениях x, y и z.
Свойства скалярного произведения
Помимо скалярного характера, скалярное произведение обладает следующими свойствами:
Коммутативность
Скалярные произведения или векторные скалярные произведения коммутативны по своей природе.
А · В = |А| |Б| потому что θ = |B| |А| потому что θ знак равно А . BИли просто A .B = B . A
Распределение
Точечные продукты по своей природе являются распределительными.
Α · (B+C) = A · B + A · C
Скалярный закон умножения
Скалярные произведения строго следуют скалярному закону умножения.
Ортогональный
Скалярный продукт двух векторов ортогонален только и только тогда, когда их произведение равно нулю, т. е. θ = 90°.
А . B = 0
Применение скалярного произведения
Скалярные произведения в основном используются для определения длины между двумя точками на плоскости, конечно, когда известны их координаты.
Что такое перекрестный продукт?
Векторное перекрестное произведение есть не что иное, как произведение величины векторов и синуса угла между ними. Результирующая векторного произведения векторов всегда является векторной величиной, поэтому также известна как векторное произведение. Иллюстрация, показывающая, как найти направление векторного произведения по правилу правой руки.
Следовательно, равнодействующая имеет не только направление, но и величину. Результирующий вектор векторного произведения двух векторов всегда перпендикулярен.
Поэтому направление векторного произведения векторов можно определить по правилу правой руки.
Помимо того, что оно известно как векторное произведение, векторное перекрестное произведение также известно как направленное произведение площади.
Формула векторного произведения
Иллюстрация векторного произведения в правосторонней системе координат. Кредит: ВикискладФормула векторного векторного произведения определяется как:
A × Β = |A| |Б| sin θ nГде A и B — два вектора, θ — угол между A и B, а |A| и |Б| являются величинами двух векторов. И, конечно же, n — это единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащей A и B.
Специальное упоминание
При вычислении векторного или векторного произведения следует помнить о следующем наборе правил.
- i × j = k
- j × k = i
- k × i = j
Где i, j, k — единичные векторы в направлениях x, y и z.
Свойства перекрестного произведения
Помимо векторного характера, перекрестное произведение обладает следующими свойствами:
Некоммутативность
Перекрестное произведение некоммутативно по своей природе.
Распределение
Как и скалярные произведения, взаимные произведения также являются распределительными по своей природе.
A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
Скалярный закон умножения
Перекрестные произведения также совместимы со скалярным законом умножения.
(µA) × (B) = µ (A × B)
Ортогональный
Перекрестное произведение двух векторов ортогонально только и только тогда, когда их произведение максимально, т. е. θ = 90°.
Применение перекрестного произведения
Перекрестные произведения или векторные произведения в основном используются в вычислительной геометрии, например, для определения расстояния между двумя наклонными линиями. Они также часто используются, чтобы определить, являются ли два вектора компланарными или нет.
Это все для этого поста. Если вам понравилась эта статья, поделитесь ею, если хотите, лайкните, если поделитесь.