Ответы | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
| Похожие вопросы |
Параллельные прямые а и в пересечены двумя параллельными секущими АВ и СД, причем А и С принадлежат прямой а , В и Д –
прямой в .
Пользуйтесь нашим приложением
Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный,… -reshimne.ru
Новые вопросы
Ответы
На первое место можноположить любой из четырех шариков, на второе – любой из трех оставшихся, на третье – любой из двух оставшихся, а на четвертое – последний оставшийся шарик.
Похожие вопросы
6. Найти восемь последовательных целых чисел, из которых сумма трех последовательных чисел равна сумме остальных пяти последовательных чисел…
Нарисуй 10 квадратов так, чтобы в верхнем ряду их было на 3 больше, чем в нижнем.
Даю 10 Баллов Решите задачу: Ваня и Коля пошли в школу в 8.30 мин. У школы они встретились. Ваня шёл до встречи с Колей 12 мин. Сколько минут был в пути Коля?…
Как разделить 3,8 на 2 целых 15/36…
Одна минута разговора по мобильному телефону стоит 60 коп. Если разговаривать 12 часа в день, сколько придётся уплатить за неделю? за год?(Для удобства, будем считать в году 300 дней. Вычисления произведи в копейках, результат вырази в рублях)
…
Сократи дроби, а затем приведи их к наименьшему общему знаменателю
4/90 14/60…
Литература
Алгебра
Русский язык
Геометрия
Английский язык
Химия
Физика
Биология
Другие предметы
История
Обществознание
Окружающий мир
География
Українська мова
Українська література
Қазақ тiлi
Беларуская мова
Информатика
Экономика
Музыка
Право
Французский языкНемецкий язык
МХК
ОБЖ
Психология
комбинаторика — Сколькими способами можно расположить 3$ красных, 3$ синих и 3$ зеленых шаров так, чтобы никакие два шара одного цвета не шли подряд (с точностью до симметрии)?
У нас есть девять позиций, которые нужно заполнить тремя синими, тремя зелеными и тремя красными шарами.
Мы можем заполнить три из девяти позиций синими шарами $\binom{9}{3}$ способами, три из оставшихся позиций зелеными шарами $\binom{6}{3}$ способами, а оставшиеся три позиции с красными шарами $\binom{3}{3}$ способами. Следовательно, количество различимых расположений трех синих, трех зеленых и трех красных шаров равно
$$\бином{9}{3}\binom{6}{3}\binom{3}{3} = \frac{9!}{3!3!3!}$$
Множители $3!$ в знаменателе представляют количество способов, которыми шары одного цвета могут быть переставлены между собой в заданном расположении, поскольку перестановка шаров одного цвета между собой не приводит к расположению, отличному от данного расположения.
Из них надо исключить те расстановки, в которых есть хотя бы одна пара соседних шаров одного цвета.
Пара соседних шаров одного цвета: Есть три способа выбрать цвет. У нас есть восемь объектов для расстановки: блок из двух соседних шаров, другой шар того же цвета и остальные шесть шаров. Нам нужно заполнить восемь вакансий.
Допустим, блок состоит из синих шаров. Затем мы можем заполнить три из этих восьми позиций зелеными шарами $\binom{8}{3}$ способами, три из оставшихся позиций красными шарами $\binom{5}{3}$ способами, поместить блок в одну из двух оставшихся позиций $2$ способами, а другой синий шар поместите в последнюю открытую позицию одним способом. Следовательно, есть $$\binom{8}{3}\binom{5}{3}2! = \frac{8!}{3!3!}$$ такие договоренности. Поскольку существует три способа выбора цвета, $$\binom{3}{1}\frac{8!}{3!3!}$$ расстановки, в которых пара соседних шаров одного цвета.
Две пары соседних шаров одного цвета: Есть два случая.
Обе пары соседних шаров одного цвета : Это означает, что все три шара этого цвета являются соседними. Таким образом, у нас есть семь объектов для расстановки, блок из трех шаров одного цвета и остальные шесть объектов. Поскольку существует три способа выбора цвета, количество расстановок, в которых есть две пары соседних шаров одного цвета, равно $$\binom{3}{1}\frac{7!}{3!3!}$$
Два цвета, в которых есть пара соседних шаров этого цвета : Есть $\binom{3}{2}$ способы выбора цвета пар.
У нас есть семь объектов для расстановки: два блока, два отдельных шара одного цвета и три шара другого цвета. Таким образом, есть
$$\binom{3}{2}\frac{7!}{3!}$$
расстановки, в которых есть два цвета, в которых есть пара соседних шаров этого цвета.
Три пары соседних шаров одного цвета: Опять два случая.
Две пары соседних шаров одного цвета и одна пара соседних шаров другого цвета : Есть три способа выбрать цвет, в котором есть две пары соседних шаров, и два способа выбрать другой цвет в в котором есть одна пара соседних шаров этого цвета. У нас есть шесть объектов для расстановки: блок из трех шаров, пара, другой шар этого цвета и три шара оставшегося цвета. Следовательно, есть $$\binom{3}{1}\binom{2}{1}\frac{6!}{3!}$$ аранжировки такого типа.
Три цвета, в которых есть пара смежных шаров этого цвета : Нам нужно расположить шесть объектов: три блока и три отдельных шара. Поскольку все объекты различны,
$$6!$$
аранжировки такого типа.
Четыре пары соседних шаров одного цвета: У нас опять два случая.
Два цвета, в которых есть две пары соседних шаров этого цвета : Существует $\binom{3}{2}$ способов выбрать два цвета. Нам нужно расположить пять объектов: два блока из трех соседних шаров одного цвета и три шара третьего цвета. Следовательно, есть $$\binom{3}{2}\frac{5!}{3!}$$ аранжировки такого типа.
Один цвет, в котором есть две пары соседних шаров этого цвета, и два других цвета, в которых есть одна пара соседних шаров этого цвета : Есть три способа выбрать цвет с двумя парами соседних шаров этот цвет. Нам нужно расположить пять объектов: блок из трех шаров, два блока из двух шаров и два других шара. Поскольку пять объектов различны, $$\binom{3}{1}5!$$ аранжировки такого типа.
Пять пар соседних шаров одного цвета: Должно быть два цвета, в которых есть две пары соседних шаров этого цвета, а также должна быть пара соседних шаров третьего цвета.
Существуют $\binom{3}{2}$ способы выбора двух цветов, в которых есть две пары соседних шаров этого цвета. Нам нужно расположить четыре объекта: два блока из трех шаров, блок из двух шаров и еще один шар того же цвета. Поскольку объекты различны,
$$\binom{3}{2}4!$$
аранжировки такого типа.
Шесть пар соседних шаров одного цвета: Должно быть по две пары соседних шаров одного цвета каждого из трех цветов. Следовательно, нам нужно расположить три объекта: блок из трех синих шаров, блок из трех зеленых шаров и блок из трех красных шаров. Поскольку эти объекты различны, $$3!$$ аранжировки такого типа.
По принципу включения-исключения количество различимых расположений трех синих, трех зеленых и трех красных шаров, в которых нет двух смежных шаров одного цвета, равно $$\фракция{9!}{3!3!3!} — \binom{3}{1}\frac{8!}{3!3!} + \binom{3}{1}\frac{7!}{3!3 !} + \binom{3}{2}\frac{7!}{3!} — \binom{3}{1}\binom{2}{1}\frac{6!}{3!} — 6 ! + \binom{3}{2}\frac{5!}{3!} + \binom{3}{1}5! — \бином{3}{2}4! + 3!$$
Это подводит нас к вопросу о симметрии.
Обратите внимание, что ни одна из этих $174$-расстановок не может быть палиндромом, поскольку для двух цветов, не занимающих среднюю позицию, должно быть нечетное количество шаров этого цвета по одну сторону от среднего шара и четное количество шаров другого цвета. того цвета на другой стороне среднего шара. Если мы приравняем два расположения, которые можно получить с помощью отражения, у нас останется $87$ различимых расположений шаров.
комбинаторика — Сколькими способами можно расположить в ряд $6$ красных, $3$ синих и $4$ зеленых шаров так, чтобы не было соседних зеленых шаров?
спросил
Изменено 7 лет, 6 месяцев назад
Просмотрено 13 тысяч раз
$\begingroup$
Все шары одного цвета идентичны .
Моя идея состоит в том, чтобы сначала вычислить общее число, чтобы расставить шары по 13$. Это равно $\dfrac{13!}{6! 3! 4!}=60060.$
Затем я хочу удалить случаи, когда все зеленые шары по $4$ являются смежными, затем удалить случаи, когда зеленый шар по $3$ является смежным, а случаи, когда зеленый шар по $2$ являются смежными.
Для первого случая (все $4$ зеленых шара смежные) я получил $\dfrac{9!}{6! 3!}=84 $ случаев, но не могу рассчитать остальные случаи. Любая помощь, пожалуйста.
- комбинаторика
$\endgroup$
$\begingroup$
Незеленых шаров по $9$; выстроить их всех в ряд. Теперь рассмотрим пробелы по $8$ между шарами и пробелы по $2$ на концах — всего $10$. Мы можем поставить зеленые шары по $4$ в любое из этих мест (не более одного в каждом месте). Таким образом количество таких расстановок
$$ \бином{10}{4} = 210 $$
Для этого необходимо рассмотреть различные способы размещения синих шаров по 3$ среди 9-долларовых шаров.