3. Система линейных алгебраических уравнений (слау). Метод Гаусса. Пример.
Система м линейных уравнений с н переменными имеет вид:
а11х1+ а12х2+ …+а1jхj+..+a1nxn=b1
а21х1+ а22х2+…+ а2jхj+..+a2nxn=b2
аi1х1+ аi2х2+…+ аijхj+..+ainxn=bi
аm1х1+ аm2х2+…+ аmjхj+..+amnxn=bm
где аij, bi (i=1,n j=1,m) — произвольные числа при переменных, называемые коэффициентами при переменных и свободныи членами уравнений.
В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать:
n
∑aijxj =bi
j=1
Решение такой системы – это набор чисел, при подстановке которых в эту систему каждое уравнение превращается в тождество. Совместной СЛАУ называется такая система, которая имеет хотя бы одно решение. Если система решений не имеет, то она называется несовместной.
Метод Гаусса.
Метод последовательного
исключения переменных заключается в
том, что с помощью элементарных
преобразований система уравнений
приводится к равносильной системе
ступенчатого вида, из которой
последовательно, начиная с последних
(по номеру) переменных, находятся все
остальные переменные.
Ход решения
умножая 1-ое уравнение на подходящие числа и прбавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему ,… m-му уравнению системы, исключим переменную х1 из всех последующих уравнений, начиная со второго.
Предположим что а22 <>0 умножая второе уравнение на подходящие числа и прибавляя полученные уравнения соответственно к третьему, четвертому,…, m-му уравнению системы, исключим переменную х2 из всех последующих уравнений, начиная с третьего.
Матрицей размера м*н называется прямоугольная таблица чисел, содержащая м строк и н столбцов. Числа составляющие матрицу называются ее элементами.
Матрица состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строк, а из одного столбца – матрицей –столбцом
Матрица называется
квадратной, если число ее строк = числу
ее столбцов. Элементы матрицы, у которых
номера столбца = номеру строки (i=j),
называются диагональными и образуют
главную диагональ матрицы.
Если все
недиоганальные элементы квадратной
матрицы =0, то матрица назыв диагональной.
Если у диагональной матрицы все
диагональные элементы = 1, то матрица
назыв единичной матрицей. Матрица любого
порядка назыв нулевой, если все ее эл-ты
= 0
Операции над матрицами.
Умножение матрицы на число. Все эл-ты матрицы умножаем на это число. Произведением матрицы А на число № назыв матрица В=№А.
Сложение матриц. Сумма 2х матриц одинакового размера назыв матрица С=А+В, эл-ты которой cij=aij+bij
Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов 1ой матрицы =числу строк второй. Тогда произведением матриц А*В назыв такая матрица С, каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
