Следствие таблица истинности: Основы логики. Логические операции и таблицы истинности

Таблица истинности показывает, как выход логической схемы реагирует на различные комбинации входов, используя логическую 1 для истинного и логический 0 для ложного. Все перестановки входов перечислены слева, а выход схемы указан справа. Желаемый результат может быть достигнут комбинацией логических вентилей. Показана таблица истинности для двух входов, но ее можно расширить до любого количества входов. Входные столбцы обычно строятся в порядке двоичного счета с количеством битов, равным количеству входов.

Концепции электроники

Цифровые схемы

Таблицы истинности | Brilliant Math & Science Wiki

Гаутам Шарма, Ноэль Ло, Джефф Пиллинг, а также

способствовал

Содержимое

• Союз (И)
• Разъединение (ИЛИ)
• Отрицание
• Условные операторы или операторы импликации
• Семья из семи человек
• Биусловная логика
• Логические ворота
• Объединение аргументов (в процессе)
• Смотрите также

Два простых утверждения можно преобразовать с помощью слова «и» в составное утверждение, называемое 9. 0360 соединение исходных заявлений. Мы используем символ ∧\клин ∧ для обозначения конъюнкции. Если ppp и qqq — два простых утверждения, то p∧qp \wedge qp∧q обозначает конъюнкцию ppp и qqq и читается как «ppp и qqq». □_\квадрат□​

Таблица истинности для конъюнкции p∧qp \wedge qp∧q двух простых утверждений ppp и qqq:

• Утверждение p∧qp \wedge qp∧q имеет истинностное значение T, если оба ppp и qqq имеют значение истинности Т.
• Утверждение p∧qp \wedge qp∧q имеет истинностное значение F, если либо ppp, либо qqq, либо оба имеют истинностное значение F.

Два простых утверждения можно преобразовать с помощью слова «или» в составное утверждение, называемое дизъюнкцией исходных утверждений. Мы используем символ ∨\vee ∨ для обозначения дизъюнкции. Если ppp и qqq — два простых утверждения, то p∨qp\vee qp∨q обозначает дизъюнкт ppp и qqq и читается как «ppp или qqq». □_\квадрат□​

Таблица истинности для дизъюнкции двух простых утверждений:

• Утверждение p∨qp\vee qp∨q имеет истинностное значение T всякий раз, когда ppp и qqq или оба имеют истинностное значение T.
• Утверждение имеет истинностное значение F, если и ppp, и qqq имеют истинностное значение F.

Утверждение, что утверждение ошибочно, или отрицание утверждения называется отрицанием утверждения. Отрицание утверждения обычно формируется путем введения слова «нет» в каком-либо надлежащем месте утверждения или путем добавления к утверждению префикса «это не так» или «это ложно». Отрицание утверждения ppp обозначается «¬p.\neg p.¬p.» □_\квадрат□​

Таблица истинности для ¬p\neg p¬p:

Отрицание составных выражений

а) Отрицание конъюнкции
\hspace{1cm}Отрицание конъюнкции p∧qp \wedge qp∧q есть дизъюнкция отрицания ppp и отрицания q:q :q: ¬(p∧q)=¬p∨¬q. \neg (p \клин q) = {\neg p} \vee {\neg q}.¬(p∧q)=¬p∨¬q .

b) Отрицание дизъюнкции
\hspace{1cm} Отрицание дизъюнкции p∨qp \vee qp∨q является конъюнкцией отрицания ppp и отрицания q:q:q: ¬(p∨q )=¬p∧¬q.\neg (p \vee q) ={\neg p} \wedge {\neg q}.¬(p∨q)=¬p∧¬q.

c) Отрицание отрицания
\hspace{1cm} Отрицание отрицания утверждения есть само утверждение: ¬(¬p)≡p.\neg (\neg p) \equiv p.¬(¬p )≡стр.

У мистера и миссис Тан пятеро детей — Альфред, Бренда, Чарльз, Дариус, Эрик — предположительно разного возраста.

1. Если Чарльз не самый старший, то Альфред.

2. Если Эрик не самый младший, то Бренда.

3. Если Дариус не самый старший, то он сразу моложе Чарльза.

4. Если Альфред старше Бренды, то Дариус самый старший.

Определите порядок рождения пятерых детей, учитывая вышеизложенные факты.

---

Сдаем

• ааа быть предположением, что Чарльз не самый старший;
• bbb — утверждение, что Альфред — самый старший;
• ccc — предположение, что Эрик не самый младший;
• ddd быть предположением, что Бренда самая младшая;
• эээ быть предположением, что Дарий не самый старший;
• fff — предположение, что Дарий чуть моложе Карла;
• ggg — предположение, что Альфред старше Бренды.

Из утверждения 1, a→ba \rightarrow ba→b.
Из утверждения 2, c→dc \rightarrow dc→d.
Из утверждения 3, e→fe \rightarrow fe→f.
Из утверждения 4 g→¬eg \rightarrow \neg eg→¬e, где ¬e\neg e¬e обозначает отрицание eee.

Обратите внимание, что если Альфред является самым старшим (b)(b)(b), он старше всех своих четырех братьев и сестер, включая Бренду, поэтому b→gb \rightarrow gb→g. Поскольку g→¬eg \rightarrow \neg eg→¬e (утверждение 4), b→¬eb \rightarrow \neg eb→¬e по транзитивности. Но если у нас есть b, b, b, что означает, что Альфред — самый старший, то логически следует, что эээ, потому что Дарий не может быть самым старым (самым старшим может быть только один человек). Переводя это, мы имеем b→eb \rightarrow eb→e.

Следовательно, (b→e)∧(b→¬e)=(¬b∨e)∧(¬b∨¬e)=¬b∨(e∧¬e)=¬b∨C=¬b,( b \стрелка вправо e) \клин (b \стрелка вправо \neg e) = (\neg b \vee e) \клин (\neg b \vee \neg e) = \neg b \vee (e \клин \neg e) = \neg b \vee C = \neg b,(b→e)∧(b→¬e)=(¬b∨e)∧(¬b∨¬e)=¬b∨(e∧¬e)= ¬b∨C=¬b, где CCC означает противоречие. Единственный возможный вывод — ¬b\neg b¬b, где Альфред не самый старший. Из утверждения 1, a→ba \rightarrow ba→b, поэтому по modus tollens, ¬b→¬a\neg b \rightarrow \neg a¬b→¬a. Следовательно, Чарльз является самым старшим из .

Обратите внимание, что по чистой логике ¬a→e\neg a \rightarrow e¬a→e, где Чарльз, будучи самым старшим, означает, что Дарий не может быть самым старшим. Из утверждения 4 g→¬eg \rightarrow \neg eg→¬e, поэтому по modus tollens e=¬(¬e)→¬ge = \neg(\neg e) \rightarrow \neg ge=¬(¬e )→¬г. Из утверждения 3 следует, что e→fe \rightarrow fe→f, поэтому согласно modus ponens наша дедукция eee приводит к другой дедукции fff. С fff, поскольку Чарльз является самым старшим, Дарий должен быть вторым по старшинству .

Поскольку ggg означает, что Альфред старше Бренды, ¬g\neg g¬g означает Альфред моложе Бренды , так как они не могут быть одного возраста. Поскольку есть кто-то моложе Бренды, она не может быть самой младшей, поэтому у нас есть ¬d\neg d¬d. Поскольку c→dc \rightarrow dc→d из утверждения 2, по modus tollens, ¬d→¬c\neg d \rightarrow \neg c¬d→¬c. Следовательно, Эрик — самый младший .

Учитывая все выводы, выделенные жирным шрифтом, единственный возможный порядок рождения: Чарльз, Дариус, Бренда, Альфред, Эрик . □_\квадрат□​

Биусловная логика — это способ соединить два утверждения, ppp и qqq, логически говоря: «Утверждение ppp выполняется тогда и только тогда, когда выполняется утверждение qqq». В математике выражение «тогда и только тогда» часто сокращается до «iff», и вышеприведенное утверждение может быть записано как 9.0006

p≡q.p \эквив q.p≡q.

Таблица истинности для биусловной логики выглядит следующим образом:

pqp≡qTTTTFFFTFFFT \begin{aligned} {\color{#3D99F6} \textbf{p}} &&{\color{#3D99F6} \textbf{q}} &&{\color{#3D99F6} p \equiv q} \\ \text{T} &&\text{T} &&\text{T} \\ \text{T} &&\text{F} &&\text{F} \\ \text{F} &&\text{T} &&\text{F} \\ \text{F} &&\text{F} &&\text{T} \end{выровнено} pTTFF​​qTFTF​​p≡qTFFT​

Это можно интерпретировать, рассмотрев следующее утверждение:

Я иду на пробежку тогда и только тогда, когда сегодня суббота. Это сочетает в себе оба следующих:

• Если это суббота, я иду на пробежку.
• Если я пойду на пробежку, то это будет суббота. (Или «Я бегаю только по субботам».)

Они согласуются только тогда, когда два утверждения «Сегодня я иду на пробежку» и «Сегодня суббота» верны или оба ложны, как показано в приведенной выше таблице.

Таблицы истинности часто используются в сочетании с логическими вентилями. Вот несколько распространенных примеров:

• Инвертор
• Буфер
• И
• ИЛИ
• НЕ-И
• НИ
• Исключающее ИЛИ
• Исключающее ИЛИ

Например, таблица истинности для вентиля И OUT = A & B задается следующим образом:

О000010100111 \begin{aligned} {\color{#3D99F6} \textbf{A}} &&{\color{#3D99F6} \textbf{B}} &&{\color{#3D99F6} \textbf{ВЫХОД}} \\ \текст{0} &&\текст{0} &&0 \\ \текст{0} &&\текст{1} &&0 \\ \текст{1} &&\текст{0} &&0 \\ \текст{1} &&\текст{1} &&1 \\ \end{align} A0011​​B0101​​OUT0001​

Таблица истинности для вентиля XOR OUT =A⊕B= A \oplus B=A⊕B дается следующим образом:

ABOUT000011101110 \begin{align} {\color{#3D99F6} \textbf{A}} &&{\color{#3D99F6} \textbf{B}} &&{\color{#3D99F6} \textbf{OUT}} \\ \текст{0} &&\текст{0} &&0 \\ \текст{0} &&\текст{1} &&1 \\ \текст{1} &&\текст{0} &&1 \\ \текст{1} &&\текст{1} &&0 \\ \end{выровнено} A0011​​B0101​​OUT0110​

ВСЕГДА ПОМНИТЕ ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО: «И перед или»

При комбинировании аргументов таблицы истинности следуют одним и тем же шаблонам. Проще всего, но не всегда лучше решить их, разбив их на небольшие составные таблицы истинности.

(p→q)∧(q∨p)(p \rightarrow q ) \клин (q \vee p)(p→q)∧(q∨p)

p \rightarrow q ||p||строка 1 столбец 2||q|| ||строка 2 столбец 1||строка 2 столбец 2||строка 2 столбец 1||строка 2 столбец 2||

• Логические элементы

• Логика высказываний

Цитировать как: Таблицы правды. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/truth-tables/

Примеры таблиц истинности

Примеры таблиц истинности

Примеры булевой алгебры   Двоичный/булев основной индекс

[Примеры таблиц истинности] [Упрощение логических выражений] [Примеры логических вентилей]

4 0 • Нарисуйте таблица истинности для A+BC . А В С ВС А+ВС 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1

• Нарисуйте таблица истинности для А(Б+Г) . А В D Б+Д А(Б+Г) 0 20 9004 20 9004 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

• Нарисуйте таблица истинности для (A+B)(A+C) . А B C A+B A+C (A+B)(A+C) 0 022 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

• Нарисуйте таблица истинности для W(X+Y)Z . W X Y Z W X+Y W(X+Y) W(X+Y)Z 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0

• Начертить таблица истинности для ПТ(П+З) . P T Z T PT P+Z PT (P+z) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0

Глава 5 Таблицы истинности | В поисках истины: руководство по критическому мышлению

Переводы в логике высказываний — это только средство для достижения цели. Наша цель — использовать переведенные формулы для определения достоверности аргументов. Для этого воспользуемся инструментом, называемым таблицей истинности. По сути, таблица истинности — это список всех различных комбинаций значений истинности, которые может иметь предложение или набор предложений.

5.1 Отдельные предложения

Прежде чем мы сможем анализировать аргументы с помощью таблиц истинности, нам нужно знать, как строить таблицы истинности для отдельных предложений. Начнем с таблицы истинности для отрицания. Сначала напишите формулу для анализа вверху.

\[ \begin{массив}{cc} & \нег П \\ & \\ & \конец{массив} \]

Слева от формулы перечислите буквы простых предложений в алфавитном порядке. В этом случае у нас есть только одна буква предложения.

\[ \begin{массив}{cc} П&\нег П\\ & \\ & \конец{массив} \]

Теперь нарисуйте под всем этим горизонтальную линию и вертикальную линию, отделяющую формулу от букв предложения, например:

\[ \начать{массив}{с|с} П&\нег П\\ \hline & \\ & \конец{массив} \]

Следующим шагом является перечисление всех возможных комбинаций истинностных значений букв простого предложения. В этом случае у нас есть только одна буква, и она может быть как истинной, так и ложной.

\[ \начать{массив}{с|с} П&\нег П\\ \hline Т&\\ Ф & \конец{массив} \]

Наконец, заполните значения истинности формулы для каждой строки, учитывая значения истинности простых предложений в этой строке. Поскольку отрицание просто изменяет значение истинности простого предложения, наша таблица истинности будет выглядеть так:

\[ \начать{массив}{с|с} П&\нег П\\ \hline Т&Ф \\ Ф и Т \конец{массив} \]

Теперь построим таблицу истинности для конъюнкции. Снова напишем формулу вверху:

\[ \begin{массив}{cccccc} & & П & \& & В \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \конец{массив} \]

Затем мы напишем букву простого предложения слева и нарисуем линии.

\[ \begin{массив}{cc|cccc} P&Q&P&\&&Q\\ \hline & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \конец{массив} \]

Далее нам нужно написать все возможные комбинации значений истинности этих простых букв предложения. Во-первых, они оба могут быть правдой.

\[ \begin{массив}{cc|cccc} P&Q&P&\&&Q\\ \hline Т&Т&&&\\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \конец{массив} \]

Тогда \(P\) может быть истинным, а \(Q\) ложным.

\[ \begin{массив}{cc|cccc} P&Q&P&\&&Q\\ \hline Т&Т&&&\\ Т&Ф&&&\\ & & & & \\ & & & & \конец{массив} \]

Для следующей строки \(P\) может быть ложным, а \(Q\) истинным.

\[ \begin{массив}{cc|cccc} P&Q&P&\&&Q\\ \hline Т&Т&&&\\ Т&Ф&&&\\ Ф&Т&&&\\ & & & & \конец{массив} \]

Наконец, они оба могут быть ложными.

\[ \begin{массив}{cc|cccc} P&Q&P&\&&Q\\ \hline Т&Т&&&\\ Т&Ф&&&\\ Ф&Т&&&\\ Ф & Ф & & & \конец{массив} \]

Теперь мы просто заполняем остальное. Конъюнкция истинна, когда оба конъюнкта истинны, и ложна в противном случае. Таким образом, заполненная таблица истинности выглядит следующим образом.

\[ \begin{массив}{cc|cccc} P&Q&P&\&&Q\\ \hline Т&Т&&Т&\ Т&Ж&&Ж&\\ Ф&Т&&Ж&\ Ф и Ф и и Ф и \конец{массив} \]

Вот таблица истинности дизъюнкции. Помните, что дизъюнкции истинны, если хотя бы одна дизъюнкция истинна, и ложны в противном случае. Таким образом, дизъюнкция ложна только в нижней строке.

\[ \begin{массив}{cc|cccc} P&Q&P&\vee&Q\\ \hline Т&Т&&Т&\ Т&Ф&&Т&\ Ф&Т&&Т&\\ Ф и Ф и и Ф и \конец{массив} \]

Так выглядит таблица истинности условного оператора. Условные предложения ложны, когда антецедент истинен, а заключение ложно, но они истинны в любое другое время.

\[ \begin{массив}{cc|cccc} P&Q&P&\стрелка вправо&Q\\ \hline Т&Т&&Т&\ Т&Ж&&Ж&\\ Ф&Т&&Т&\\ Ф и Ф и и Т и \конец{массив} \]

Наконец, вот таблица истинности бикондиционала. Бикондиционал истинен, когда обе стороны имеют одинаковое истинностное значение. Это будет первая строка, где они оба верны, и последняя строка, где они оба ложны.

\[ \begin{массив}{cc|cccc} P & Q & P & \leftrightarrow & Q \\ \hline Т&Т&&Т&\ Т&Ж&&Ж&\\ Ф&Т&&Ж&\ Ф и Ф и и Т и \конец{массив} \]

Давайте сделаем чуть длиннее. Вот таблица истинности для \(P \mathbin{\&} (Q \vee R)\):

Давайте напишем формулы и буквы предложений, а также нарисуем линии.

\[ \begin{массив}{ccc|ccccc} P&Q&R&P&\&&(Q&\vee&R)\\ \hline & & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & & & & & & & \конец{массив} \]

Заполнять комбинации значений истинности для букв предложений становится все труднее, поскольку таблицы становятся больше. Выполняется по одному ряду за раз, легко пропустить комбинацию. Лучший способ — сделать это по всей колонке за раз. Начните с крайнего правого столбца и чередуйте буквы T и F.

\[ \begin{массив}{ccc|ccccc} P&Q&R&P&\&&(Q&\vee&R)\\ \hline & & Т & & & & & & \\ & & F & & & & & \\ & & Т & & & & & & \\ & & F & & & & & \\ & & Т & & & & & & \\ & & F & & & & & \\ & & Т & & & & & & \\ & & Ф & & & & & & \конец{массив} \]

Затем перейдите к следующему столбцу слева. Здесь чередуйте пары T и пары F.

\[ \begin{массив}{ccc|ccccc} P&Q&R&P&\&&(Q&\vee&R)\\ \hline & Т & Т & & & & & & \\ & Т & Ф & & & & & \\ & Ф & Т & & & & & & \\ & Ф & Ф & & & & & \\ & Т & Т & & & & & & \\ & Т & Ф & & & & & \\ & Ф & Т & & & & & & \\ & Ф & Ф & & & & & & \конец{массив} \]

Может быть, теперь вы видите схему. Затем мы перейдем к следующему столбцу и поставим четыре Т и четыре F.

\[ \begin{массив}{ccc|ccccc} P&Q&R&P&\&&(Q&\vee&R)\\ \hline Т&Т&Т&&&&&&\\ Т&Т&Ф&&&&&&\\ Т&Ф&Т&&&&&&\\ Т&Ж&Ж&&&&&&\\ Ф&Т&Т&&&&&&\\ Ф&Т&Ф&&&&&&\\ Ф&Ф&Т&&&&&&\\ Ф & Ф & Ф & & & & & & \конец{массив} \]

Обратите внимание, что у нас восемь строк. Если бы было четыре разных простых предложения, у нас было бы шестнадцать, тридцать два вместо пяти и так далее. Общая формула такова: если имеется n простых предложений, то будет 2 ⁿ строк.

Далее мы заполняем оставшуюся часть таблицы истинности. С более длинными таблицами может быть проще сначала скопировать столбцы букв предложения, например:

\[ \begin{массив}{ccc|ccccc} P&Q&R&P&\&&(Q&\vee&R)\\ \hline Т&Т&Т&Т&Т&Т&&Т\ Т&Т&Ж&Т&&Т&&Ж\ Т&Ф&Т&Т&&Ж&&Т\ Т&Ж&Ж&Т&&Ж&&Ж\ Ф&Т&Т&Ф&&Т&&Т\ Ф&Т&Ж&Ж&&Т&&Ж\ Ф&Ж&Т&Ж&&Ж&&Т\ Ф и Ф и Ф и Ф и и Ф и Ф \конец{массив} \]

Затем мы начинаем работать внутри скобок. Поскольку это дизъюнкция, оно будет истинным, если хотя бы одно из Q и R истинно, и ложным, если оба они ложны.

\[ \begin{массив}{ccc|ccccc} P&Q&R&P&\&&(Q&\vee&R)\\ \hline Т&Т&Т&Т&&Т&Т&Т\ Т&Т&Ф&Т&&Т&Т&Ф\ Т&Ф&Т&Т&&Ф&Т&Т\ Т&Ж&Ж&Т&&Ж&Ж&Ж\ Ф&Т&Т&Ф&&Т&Т&Т\ Ф&Т&Ф&Ф&&Т&Т&Ф\ Ф&Ж&Т&Ж&&Ж&Т&Т\ Ф и Ф и Ф и Ф и Ф и Ф и Ф \конец{массив} \]

Теперь мы можем игнорировать столбцы под Q и R . Мы сосредоточены на P и столбце под символом дизъюнкции. Чтобы было понятно, я удалю остальные.

\[ \begin{массив}{ccc|ccccc} P&Q&R&P&\&&(Q&\vee&R)\\ \hline Т&Т&Т&Т&&&Т&\ Т&Т&Ф&Т&&&Т&\ Т&Ф&Т&Т&&&Т&\ Т&Ж&Ж&Т&&&Ж&\ Ф&Т&Т&Ф&&&Т&\ Ф&Т&Ф&Ф&&&Т&\ Ф&Ж&Т&Ж&&&Т&\\ Ф & Ф & Ф & Ф & & & Ф & \конец{массив} \]

Теперь заполним столбец соединения. Это верно, когда \(P\) и \(Q \vee R\) оба истинны.

\[ \begin{массив}{ccc|ccccc} P&Q&R&P&\&&(Q&\vee&R)\\ \hline Т&Т&Т&Т&Т&Т&Т&\ Т&Т&Ф&Т&Т&&Т&\\ Т&Ф&Т&Т&Т&Т&Т&\\ Т&Ж&Ж&Т&Ж&&Ж&\ Ф&Т&Т&Ф&Ф&&Т&\\ Ф&Т&Ж&Ж&Ж&&Т&\\ Ф&Ж&Т&Ж&Ж&&Т&\\ Ф и Ж и Ж и Ж и Ж и и Ж и \конец{массив} \]

В конечном счете, столбец, который меня действительно интересует, находится под основным связующим. Я сделаю это смелым, чтобы быть ясным. Наша полная таблица истинности со всеми столбцами выглядит так:

\[ \begin{массив}{ccc|ccccc} P&Q&R&P&\&&(Q&\vee&R)\\ \hline Т & Т & Т & Т & \textbf{T} & Т & Т & Т \\ Т & Т & Ф & Т & \textbf{Т} & Т & Т & Ф \\ Т & Ф & Т & Т & \textbf{T} & Ф & Т & Т \\ Т & Ж & Ж & Т & \textbf{F} & Ж & Ж & Ж \\ Ф & Т & Т & Ф & \textbf{F} & Т & Т & Т \\ F & T & F & F & \textbf{F} & T & T & F \\ F & F & T & F & \textbf{F} & F & T & T \\ Ф & Ф & Ф & Ф & \textbf{Ф} & Ф & Ф & Ф \конец{массив} \]

Обратите внимание, что в колонке основного соединительного элемента смешаны буквы T и F. Это называется непредвиденным обстоятельством. Условное утверждение истинно в одних строках и ложно в других. Некоторые предложения верны во всех строках. Их называют тавтологиями. Вот простой пример:

\[ \begin{массив}{c|ccc} P&P&\vee&\neg P\\ \hline Т & Т & \textbf{Т} & Ф \\ F & F & \textbf{T} & T \конец{массив} \]

Если в каждой строке таблицы есть F, то это противоречие.

\[ \begin{массив}{c|ccc} П&П&\&&\нег П\\ \hline Т & Т & \textbf{F} & Ф \\ F & F & \textbf{F} & T \конец{массив} \]

Тавтологии не могут быть ложными, противоречия не могут быть истинными, а непредвиденные обстоятельства могут быть истинными или ложными.

5.2 Логическая эквивалентность

Иногда бывает полезно поместить пару предложений в одну и ту же таблицу истинности. Если столбцы под их основными связками совпадают, то предложений 9.0550 логически эквивалентно . Это означает, что они всегда имеют одно и то же значение истинности.

Вот пример. Предложения разделяются косой чертой.

\[ \begin{массив}{cc|cccccccc} P & Q & \neg & (P & \& & Q) & / & \neg P & \vee & \neg Q \\ \hline Т & Т & \textbf{F} & Т & Т & Т & & F & \textbf{F} & F \\ T & F & \textbf{T} & T & F & F & & F & \textbf{T} & T \\ F & T & \textbf{T} & F & F & T & & T & \textbf{T} & F \\ F & F & \textbf{T} & F & F & F & & T & \textbf{T} & T \конец{массив} \]

Неудивительно, что эти предложения эквивалентны. Первый по существу утверждает, что это не так, что P и Q оба верны, а второй утверждает, что хотя бы одно из них ложно. Это всего лишь два способа сказать одно и то же.

5.3 Таблицы истинности и достоверность

Чтобы оценить аргумент с помощью таблицы истинности, поместите предпосылки в строку, разделенную одной косой чертой, а затем заключение, разделенное двумя косыми чертами. ⁷

Вот простой аргумент, называемый Modus Ponens:

1. P \(\rightarrow\) Q
2. П        
3. В

Таблицу истинности начнем так:

\[ \begin{массив}{cc|ccccccc} P & Q & (P & \rightarrow & Q) & / & P & // & Q \\ \hline & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \конец{массив} \]

Затем заполните наши возможные значения истинности для простых предложений слева.

\[ \begin{массив}{cc|ccccccc} P & Q & (P & \rightarrow & Q) & / & P & // & Q \\ \hline Т&Т&&&&&&&&\\ Т&Ф&&&&&&&&\\ Ф&Т&&&&&&&&\\ Ф & Ф & & & & & & & & & \конец{массив} \]

Мы можем легко заполнить столбцы для второй посылки и заключения, так как они требуют простого копирования столбцов P и Q.

\[ \begin{массив}{cc|ccccccc} P & Q & (P & \rightarrow & Q) & / & P & // & Q \\ \hline Т&Т&&&&&Т&&Т\ Т&Ф&&&&&Т&&Ф\ Ф&Т&&&&&Ф&&Т\ Ф&Ф&&&&&Ф&&Ф \конец{массив} \]

Наконец, мы заполним столбец для первой предпосылки. Помните, что условное предложение ложно только тогда, когда антецент истинен, а консеквент ложен. Итак, первая посылка ложна во второй строке и верна в остальных строках.

\[ \begin{массив}{cc|ccccccc} P & Q & (P & \rightarrow & Q) & / & P & // & Q \\ \hline Т&Т&&Т&&&Т&&Т\ Т&Ж&&Ж&&&Т&&Ж\ Ф&Т&&Т&&&Ф&&Т\ Ф&Ф&&Т&&&Ф&&Ф \конец{массив} \]

Итак, что говорит нам о том, что аргумент действителен? Помните, что аргумент действителен, если посылки не могут быть истинными, а заключение ложным. Итак, мы проверяем, есть ли в таблице истинности строка со всеми истинными посылками и ложным заключением. Если есть, то мы знаем, что аргумент недействителен. В этом рассуждении единственной строкой, где все посылки верны, является строка 1. Однако в этой строке вывод также верен. Итак, этот аргумент действителен.

Часто нет необходимости заполнять всю таблицу истинности для определения достоверности. Давайте посмотрим на ярлык, используя тот же аргумент. Я сразу вижу, что на самом деле мне нужно работать только с одной строкой. Посмотрим, сможешь ли ты определить, какой именно.

\[ \begin{массив}{cc|ccccccc} P & Q & (P & \rightarrow & Q) & / & P & // & Q \\ \hline Т&Т&&&&&&&&\\ Т&Ф&&&&&&&&\\ Ф&Т&&&&&&&&\\ Ф & Ф & & & & & & & & & \конец{массив} \]

Мне нужно сосредоточиться только на тех строках, где я знаю, что посылки могут быть верными, а вывод может быть ложным. Итак, я могу смело игнорировать строки 3 и 4, потому что вторая предпосылка для этих строк ложна. Когда я смотрю на строки 1 и 2, я вижу, что вывод верен в строке 1. Таким образом, единственная строка, которая может показать, что этот аргумент недействителен, — это строка 2. Итак, я буду работать с ней.

\[ \begin{массив}{cc|ccccccc} P & Q & (P & \rightarrow & Q) & / & P & // & Q \\ \hline Т&Т&&&&&&&&\\ Т&Ж&&Ж&&&Т&&Ж\ Ф&Т&&&&&&&&\\ Ф & Ф & & & & & & & & & \конец{массив} \]

Проработав его, я вижу, что одна из посылок оказалась ложной. Итак, я знаю, что нет ряда, в котором были бы все истинные предпосылки и ложный вывод.

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если мы поменяем местами вторую посылку с заключением. Как вы думаете, на каких рядах нам следует сосредоточиться?

\[ \begin{массив}{cc|ccccccc} P & Q & (P & \rightarrow & Q) & / & Q & // & P \\ \hline Т&Т&&&&&&&&\\ Т&Ф&&&&&&&&\\ Ф&Т&&&&&&&&\\ Ф & Ф & & & & & & & & & \конец{массив} \]

Обратите внимание, что заключение ложно только в строках 3 и 4. Однако в строке 4 вторая посылка ложна. Итак, единственная строка, которая может сделать это недействительным, — это строка 3. Давайте поработаем и посмотрим, что получится.

\[ \begin{массив}{cc|ccccccc} P & Q & (P & \rightarrow & Q) & / & Q & // & P \\ \hline Т&Т&&&&&&&&\\ Т&Ф&&&&&&&&\\ Ф&Т&&Т&&&Т&&Ф\ Ф & Ф & & & & & & & & & \конец{массив} \]

Поскольку условие с ложным антецедентом истинно, первая посылка в строке 3 истинна. Вторая посылка также верна, но заключение ложно. Таким образом, этот аргумент недействителен. На самом деле, это настолько распространенный неверный аргумент, что у него есть название: «Предположение о следствии».

Вот еще пример:

1. P \(\rightarrow\) Q
2. ¬ Q      
3. ¬ П

\[ \begin{массив}{cc|ccccccc} P & Q & (P & \rightarrow & Q) & / & \neg Q & // & \neg P \\ \hline Т&Т&&&&&&&&\\ Т&Ф&&&&&&&&\\ Ф&Т&&&&&&&&\\ Ф & Ф & & & & & & & & & \конец{массив} \]

Мы просто продолжим и заполним все:

\[ \begin{массив}{cc|ccccccc} P & Q & (P & \rightarrow & Q) & / & \neg Q & // & \neg P \\ \hline Т&Т&&Т&&&Ж&&Ж\ Т&Ж&&Ж&&&Т&&Ж\ Ф&Т&&Т&&&Ф&&Т\ Ф&Ф&&Т&&&Т&&Т \конец{массив} \]

Не существует строки со всеми верными посылками и ложным заключением, поэтому аргумент действителен. Этот тип аргумента называется латинским именем Modus Tollens . Давайте снова поменяем местами вторую посылку и заключение и посмотрим, что получится.

\[ \begin{массив}{cc|ccccccc} P & Q & (P & \rightarrow & Q) & / & \neg P & // & \neg Q \\ \hline Т&Т&&Т&&&Ж&&Ж\ Т&Ж&&Ж&&&Ж&&Т\ Ф&Т&&Т&&&Т&&Ф\ Ф&Ф&&Т&&&Т&&Т \конец{массив} \]

Третья строка содержит все верные посылки и ложный вывод, поэтому этот аргумент недействителен. Это называется «Отрицание прошлого».

Давайте попробуем использовать таблицу истинности для более сложного аргумента.

1. А и Б
2. А → (Б против С)
3. ¬(С и А)    
4. Б

Таблица начинается так:

\[ \begin{массив}{ccc|cccccccccccccccc} A & B & C & A & \vee & B & / & A & \rightarrow & (B & \vee & C) & / & \neg & (C & \& & A) & // & B \\ \hline Т & Т & Т & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ Т&Т&Ф&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ Т & Ф & Т & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ Т & Ж & Ж & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ Ф & Т & Т & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ Ф&Т&Ф&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ Ф & Ф & Т & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ F & F & F & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \конец{массив} \]

Я расскажу вам первую строку, а затем просто заполните остальные. В первой строке, поскольку A и B оба истинны, первая посылка истинна. Вторая посылка является условной с истинным антецентом и истинным следствием (B и C оба истинны, что делает \(B \vee C\) истинным). Итак, вторая посылка также верна. Третья посылка ложна, так как является отрицанием истинной конъюнкции. Наконец, вывод верный.

\[ \begin{массив}{ccc|cccccccccccccccc} A & B & C & A & \vee & B & / & A & \rightarrow & (B & \vee & C) & / & \neg & (C & \& & A) & // & B \\ \hline Т&Т&Т&Т&Т&Т&&Т&Т&Т&Т&Т&Т&&Ф&Т&Т&Т&&Т\ Т&Т&Ф&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ Т & Ф & Т & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ Т & Ж & Ж & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ Ф & Т & Т & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ Ф&Т&Ф&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ Ф & Ф & Т & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ F & F & F & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \конец{массив} \]

Полная таблица истинности выглядит следующим образом:

\[ \begin{массив}{ccc|cccccccccccccccc} A & B & C & A & \vee & B & / & A & \rightarrow & (B & \vee & C) & / & \neg & (C & \& & A) & // & B \\ \hline Т&Т&Т&Т&Т&Т&&Т&Т&Т&Т&Т&Т&&Ф&Т&Т&Т&&Т\ Т&Т&Ф&Т&Т&Т&&Т&Т&Т&Т&Ф&Т&Т&Ф&Ф&Т&&Т\ Т&Ф&Т&Т&Т&Ф&&Т&Т&Ф&Т&Т&Т&Ф&Ф&Т&Т&Т&&Ф\ Т&Ж&Ж&Т&Т&Ж&&Т&Ж&Ж&Ж&Ж&&Т&Ж&Ж&Т&&Ж\ Ф&Т&Т&Ф&Т&Т&&Ф&Т&Т&Т&Т&Т&Т&Т&Ф&Ф&&Т\ Ф&Т&Ф&Ф&Т&Т&&Ф&Т&Т&Т&Ф&&Т&Ф&Ф&Ф&Ф&&Т\ Ф&Ж&Т&Ж&Ж&Ж&&Ж&Т&Ж&Т&Т&Т&Т&Т&Ж&Ж&&Ж\ Ф и Ж и Ж и Ж и Ж и Ж и и Ж и Т и Ж и Ж и Ж и и Т и Ж и Ж и Ж и Ж \конец{массив} \]

Не существует строки со всеми верными посылками и ложным заключением, поэтому аргумент действителен.

5.4 Краткие таблицы истинности

Таблицы истинности можно использовать для определения достоверности любого аргумента в логике высказываний. Если вы будете внимательно следовать правилам , не допуская ошибок по невнимательности , вы гарантированно получите правильный ответ. Единственным недостатком является то, что они становятся очень большими, очень быстро. Таблица истинности для аргумента с шестью простыми предложениями состоит из 64 строк — не то, что большинству из нас хотелось бы делать.

Было бы неплохо, если бы существовал способ, с помощью которого мы могли бы перейти прямо к строке, которая показывает, что аргумент недействителен, если таковой имеется. К счастью, есть, хотя иногда это может быть сложно.

Давайте попробуем этот аргумент:

1. A & B
2. ¬ [A → (C v D)]
3. С против Д

Первый шаг — настроить таблицу истинности, как мы это делали в прошлом, но нам понадобится только одна строка.

\[ \begin{массив}{ccc|cccccccccccccc} A & B & C & A & \& & B & / & \neg & [A & \rightarrow & (C & \vee & D)] & // & C & \vee & D \\ \hline & & & & & & & & & & & & & & & & & \конец{массив} \]

Следующим шагом будет поставить «Т» под основным оператором всех посылок и «Т» под основным оператором заключения.

\[ \begin{массив}{ccc|cccccccccccccc} A & B & C & A & \& & B & / & \neg & [A & \rightarrow & (C & \vee & D)] & // & C & \vee & D \\ \hline & & & & Т & & & Т & & & & & & & & & F & \конец{массив} \]

Делая это, мы предполагаем, что существует линия, в которой все посылки аргумента верны, а заключение ложно. Теперь посмотрим, приведет ли это предположение к противоречию. Если это так, то такой строки быть не может, и аргумент действителен. Если не приведет к противоречию, то будет такая строчка, и аргумент будет неверным.

Теперь мы начнем заполнять то, что должно быть правдой, если наши предположения верны. Первая посылка является истинной конъюнкцией, поэтому оба конъюнкции должны быть истинными.

\[ \begin{массив}{ccc|cccccccccccccc} A & B & C & A & \& & B & / & \neg & [A & \rightarrow & (C & \vee & D)] & // & C & \vee & D \\ \hline & & & T & T & T & & T & & & & & & & & & F & \конец{массив} \]

Вывод — ложная дизъюнкция, поэтому обе дизъюнкции должны быть ложными.

\[ \begin{массив}{ccc|cccccccccccccc} A & B & C & A & \& & B & / & \neg & [A & \rightarrow & (C & \vee & D)] & // & C & \vee & D \\ \hline & & & T & T & T & & T & & & & & & & & F & F & F \конец{массив} \]

Теперь мы знаем, какими должны быть A, B, C и D. Давайте перенесем эти значения во вторую посылку.

\[ \begin{массив}{ccc|cccccccccccccc} A & B & C & A & \& & B & / & \neg & [A & \rightarrow & (C & \vee & D)] & // & C & \vee & D \\ \hline & & & T & T & T & & T & T & & F & & F & & F & F & F \конец{массив} \]

Теперь нам нужно закончить вторую предпосылку. Начнем с дизъюнкции в антецеденте условного предложения.

Затем само условие:

Теперь проверяем, не было ли проблем. Мы ищем что-то вроде буквы, которая имеет разные значения истинности, или ложную дизъюнктуру с истинной дизъюнкцией. Здесь каждая буква имеет одинаковое значение истинности, где бы она ни встречалась. У нас есть соединение с двумя истинными соединениями, два ложных дизъюнкции, оба с двумя ложными дизъюнкциями, ложное условное предложение с истинным антецедентом и ложным следствием и истинное отрицание с ложным отрицанием предложения. Все выглядит нормально, а значит возможно, чтобы аргумент имел истинные посылки и ложный вывод, и определенно недействителен. Проблемной строкой будет та, в которой A верно, B верно, C ложно и D ложно. Это будет строка 4 всей таблицы истинности.

Попробуем еще. Вот классический аргумент, называемый конструктивной дилеммой:

1. A ⊃ B
2. С ⊃ D
3. А в С
4. Б в Д

Начните с создания основного заголовка таблицы.

\[ \begin{массив}{cccc|ccccccccccccccc} A & B & C & D & A & \rightarrow & B & / & C & \rightarrow & D & / & A & \vee & C & // & B & \vee & D \\ & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \конец{массив} \]

Затем заполните Т и Ж под основной связкой посылки и заключения соответственно.

\[ \begin{массив}{cccc|ccccccccccccccc} A & B & C & D & A & \rightarrow & B & / & C & \rightarrow & D & / & A & \vee & C & // & B & \vee & D \\ & & & & & T & & & & T & & & & T & & & & F & \конец{массив} \]

Затем мы заполним то, что сможем выяснить, исходя из этих предположений. Мы пока ничего не знаем о помещении. Первые два являются истинными условными предложениями, и есть три различных способа, которыми условное выражение может оказаться истинным. То же самое для истинной дизъюнкции в третьей посылке. Итак, начнем с заключения. Поскольку это ложная дизъюнкция, то и B, и D должны быть ложными.

\[ \begin{массив}{cccc|ccccccccccccccc} A & B & C & D & A & \rightarrow & B & / & C & \rightarrow & D & / & A & \vee & C & // & B & \vee & D \\ & & & & & T & & & & T & & & & T & & & F & F & F \конец{массив} \]

Затем мы можем заполнить эти значения везде, где встречаются B и D.

\[ \begin{массив}{cccc|ccccccccccccccc} A & B & C & D & A & \rightarrow & B & / & C & \rightarrow & D & / & A & \vee & C & // & B & \vee & D \\ & & & & & T & F & & & T & F & & & T & & & F & F & F \конец{массив} \]

Теперь мы можем сделать первые две предпосылки. Обратите внимание, что у нас есть истинные условия с ложными последствиями. Это означает, что оба антецедента должны быть ложными.

\[ \begin{массив}{cccc|ccccccccccccccc} A & B & C & D & A & \rightarrow & B & / & C & \rightarrow & D & / & A & \vee & C & // & B & \vee & D \\ & & & & F & T & F & & F & T & F & & & T & & & F & F & F \конец{массив} \]

Теперь мы можем заполнить это место, где А и С встречаются в третьей посылке.

\[ \begin{массив}{cccc|ccccccccccccccc} A & B & C & D & A & \rightarrow & B & / & C & \rightarrow & D & / & A & \vee & C & // & B & \vee & D \\ & & & & F & T & F & & F & T & F & & F & T & F & & F & F & F \конец{массив} \]

Теперь у нас проблема. У нас есть истинная дизъюнкция в третьей посылке с двумя ложными дизъюнкциями. Это противоречие. Это означает, что мы не можем заставить этот аргумент иметь истинные предпосылки и ложный вывод. Мы доказали, что аргумент верен.

5.5 Формы аргументов

Прежде чем мы покинем логику высказываний, остановимся на некоторых важных формах аргументов, которые могут оказаться полезными.

5.5.1 Действителен

Modus Ponens

1. P \(\rightarrow\) Q
2. П        
3. В

Модус Толленс

1. P \(\rightarrow\) Q
2. ¬ Q      
3. ¬ П

Дизъюнктивный силлогизм

1. A v B
2. ¬ Б    
3. А

Гипотетический силлогизм

1. А ⊃ В
2. Б ⊃ С
3. А ⊃ С

Конструктивная дилемма

1. А ⊃ В
2. С ⊃ D
3. А в С
4. Б в Д

Деструктивная дилемма

1. А ⊃ В
2. С ⊃ D
3. ¬Б в ¬ Д
4. ¬А v ¬ С

5.5.2 Неверный

Подтверждение следствия

1. P \(\rightarrow\) Q
2. В        
3. Р

Отрицание предшественника

1. P \(\rightarrow\) Q
2. ¬ П      
3. ¬ Q

---

7. Единственная функция косых черт — помочь визуализировать, где заканчивается одно предложение и начинается другое. ↩︎

таблиц истинности | Математика для гуманитарных наук

Результаты обучения

• Объединение наборов с использованием булевой логики и соответствующих обозначений
• Использование инструкций и условий для написания и интерпретации выражений
• Используйте таблицу истинности для интерпретации сложных утверждений или условий
• Напишите таблицы истинности с учетом логического следствия и связанных с ним утверждений — обратных, обратных и контрапозитивных
• Определить, являются ли два оператора логически эквивалентными
• Использовать законы ДеМоргана для определения логических эквивалентностей утверждения

Поскольку сложно представить сложные логические операторы, мы можем создать таблица истинности , чтобы разбить сложное утверждение на простые утверждения и определить, являются ли они истинными или ложными. Таблица поможет отслеживать все значения истинности простых утверждений, составляющих сложное утверждение, что приведет к анализу всего утверждения.

Таблица истинности

Таблица, показывающая результирующее значение истинности сложного утверждения для всех возможных значений истинности простых утверждений.

Пример

Предположим, вы выбираете новый диван, и ваша вторая половинка говорит: «Купите секционный или что-нибудь с фаэтоном». Постройте таблицу истинности, описывающую элементы условий этого утверждения и соблюдение условий.

Показать решение

Некоторые символы, которые обычно используются для и , или и , а не , облегчают использование таблицы истинности.

Символы

Символ [латекс]\клин[/латекс] используется для и : A и В обозначается как [латекс]А\клин{В}[/латекс].

Символ [латекс]\vee[/латекс] используется для или : A или B обозначается как [латекс]A\vee{B}[/латекс]

Символ [латекс]\ sim[/latex] используется для not : not A обозначается как [latex]\sim{A}[/latex]

Вы можете запомнить первые два символа, связав их с фигурами объединения и пересечения . [latex]A\wedge{B}[/latex] – это элементы, существующие в обоих наборах, в [latex]A\cap{B}[/latex]. Точно так же [latex]A\vee{B}[/latex] будет элементами, которые существуют в любом наборе, в [latex]A\cup{B}[/latex].
В предыдущем примере таблица истинности просто обобщала то, что мы уже знаем о том, как работают операторы или . Ниже показаны таблицы истинности для основных утверждений и , или и , а не .

Основные таблицы истинности

А	Б	[латекс]A\клин {B}[/латекс]
Т	Т	Т
Т	Ф	Ф
Ф	Т	Ф
Ф	Ф	Ф

А	Б	[латекс]A\vee{B}[/латекс]
Т	Т	Т
Т	Ф	Т
Ф	Т	Т
Ф	Ф	Ф

А	[латекс]\sim{A}[/латекс]
Т	Ф
Ф	Т

Попробуйте

Таблицы истинности становятся очень полезными при анализе более сложных логических выражений.

Пример

Создайте таблицу истинности для утверждения [latex]A\wedge\sim\left(B\vee{C}\right)[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Когда мы обсуждали условия ранее, мы обсуждали тип, при котором мы предпринимаем действие на основе значения условия. Теперь мы собираемся поговорить о более общей версии условного предложения, иногда называемой импликацией .

Импликации

Импликации — это логические условные предложения, утверждающие, что утверждение p , называемое антецедентом, подразумевает следствие q .

Импликации обычно записываются как [latex]p\rightarrow{q}[/latex]

Последствия аналогичны условным операторам, которые мы рассматривали ранее; [latex]p\rightarrow{q}[/latex] обычно записывается как «если p, то q» или «p, следовательно, q». Разница между импликациями и условными предложениями заключается в том, что условные предложения, которые мы обсуждали ранее, предполагают действие — если условие истинно, то в результате мы предпринимаем какое-то действие. Импликации — это логическое утверждение, предполагающее, что следствие должно логически следовать, если антецедент истинен.

Пример

Английское высказывание «Если идет дождь, то облака — это небо» является логическим следствием. Является ли это веским аргументом, почему или почему нет?

Показать решение

Обратите внимание, что это утверждение ничего не говорит нам о том, чего ожидать, если не идет дождь. Если антецедент ложен, то импликация становится нерелевантной.

Пример

Друг говорит вам, что «если вы загрузите это изображение на Facebook, вы потеряете работу». Опишите возможные результаты, связанные с этим утверждением, и определите, является ли утверждение вашего друга недействительным.

Показать решение

В традиционной логике импликация считается достоверной (истинной), если нет случаев, в которых антецедент истинен, а следствие ложно. Важно помнить, что символическая логика не может охватить все тонкости английского языка.

Значения истинности для следствий

р	q	р → q
Т	Т	Т
Т	Ф	Ф
Ф	Т	Т
Ф	Ф	Т

Пример

Построить таблицу истинности для оператора [latex]\left(m\wedge\sim{p}\right)\rightarrow{r}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Для любого следствия есть три взаимосвязанных утверждения: обратное, обратное и противоположное.

Связанные операторы

Первоначальный вывод: «если p , то q »: [latex]p\rightarrow{q}[/latex]

[latex]q\rightarrow{p}[/latex]

Обратное: «если не p , то не q »: [latex]\sim{p}\rightarrow\sim{q}[/latex]

Противоположный вариант: «если не q , то не p »: [латекс]\sim{q}\rightarrow{p}[/latex]

Пример

Рассмотрим еще раз верную импликацию «Если идет дождь, то на небе облака».

Напишите соответствующие обратные, обратные и противоположные утверждения.

Показать решение

Попробуйте

Глядя на таблицы истинности, мы видим, что исходное условное и контрапозитивное логически эквивалентны, а обратное и обратное логически эквивалентны.

		Значение	Конверс	Обратный	Противоположный
р	q	[латекс]p\стрелка вправо{q}[/латекс]	[латекс] q {\ rightarrow} р [/латекс]	[латекс]\sim{p}\стрелка вправо\sim{q}[/латекс]	[латекс]\sim{q}\стрелка вправо\sim{p}[/латекс]
Т	Т	Т	Т	Т	Т
Т	Ф	Ф	Т	Т	Ф
Ф	Т	Т	Ф	Ф	Т
Ф	Ф	Т	Т	Т	Т

Эквивалентность

Условное утверждение и его противоположность логически эквивалентны.

Обратное и обратное утверждение логически эквивалентны.

3 таблицы правды | Odds & Ends

В этой главе мы познакомимся с несколькими последними понятиями, которые нам понадобятся из дедуктивной логики, и в процессе мы изучим полезную технику: таблицы истинности.

3.1 Связки

Сложные предложения могут быть построены из других, более простых предложений:

• Эйгон — тиран и Брэндон — волшебник.
• Либо Эйгон — тиран , либо Брэндон — волшебник.
• Неправда, что Эйгон — тиран.

⊕Обратите внимание, мы называем . Это неправда, что является связкой, хотя на самом деле она не связывает два предложения вместе.

Здесь мы использовали два простых предложения для построения более длинных и сложных предложений, используя термины и , либо/или , и , это неправда, что . Такие термины называются связками .

В этой книге нам понадобятся только три связки. У каждого есть имя и сокращенный символ:

соединение	и	\(\клин\)	\(А \клин Б\)
дизъюнкция	или/или	\(\вее\)	\(А \вид Б\)
отрицание	неправда что	\(\отрицательный\)	\(\нег А\)

Вот еще несколько примеров сложных предложений:

• \(F \клин \neg G\): Флорида теплая, а Женева нет.
• \(\neg J \vee \neg K\): Либо Цзин не придет на вечеринку, либо Камаль не придет.

Иногда нам также нужны круглые скобки, чтобы избежать двусмысленности. Рассмотрим пример из арифметики: \[ 4 \дел 2 \умножить на 2 = 1. \] Верно ли это уравнение? Это зависит от того, что вы имеете в виду. Сначала идет операция деления или умножения? Поэтому мы используем круглые скобки для уточнения: \(4 \div (2 \times 2) = 1\), но \((4 \div 2) \times 2 = 4\).

Аналогичным образом в логике мы используем круглые скобки для предотвращения двусмысленности. Рассмотреть возможность: \[ A \vee B \клин C. \] Это предложение неоднозначно, оно имеет две интерпретации. В английском мы можем различить их через запятую:

• Либо Эйгон — тиран, либо Брэндон — волшебник, а Серси — королева.
• Либо Эйгон — тиран, либо Брэндон — волшебник, а Серси — королева.

Обратите внимание, как эти заявления содержат разные утверждения. Первая занимает определенную позицию в отношении Церки: она королева. Это только оставляет открытым вопрос, является ли Эйгон тираном или Брэндоном волшебником. Принимая во внимание, что второе утверждение не имеет определенной позиции ни по одному из трех наших персонажей. Может быть, Эйгон тиран, а может и нет. Может, Брэндон — волшебник, а Серси — королева, а может, и нет.

В логике мы используем круглые скобки, чтобы пояснить, какую интерпретацию мы имеем в виду:

• \((A \vee B) \wee C\).
• \(А \ви (В \клин С)\).

Обратите внимание, что первая инструкция в основном является оператором \(\wedge\). Он использует \(\wedge\) для объединения более простых операторов \(C\) и \(A \vee B\) вместе. Принимая во внимание, что второй оператор — это прежде всего оператор \(\vee\). Он использует \(\vee\) для объединения \(A\) с \(B \wedge C\).

Мы называем последнюю связку, используемую для построения утверждения, главный соединительный .

• \((A \vee B) \клин C\): главная связка \(\клин\).
• \(A \vee (B \wee C)\): основная связка \(\vee\).

Еще два примера:

• \(\neg (A \vee B)\): основная связка \(\neg\).
• \(\neg A \vee B\): главная связка — \(\vee\).

Технически последний пример должен иметь круглые скобки для предотвращения двусмысленности, например: \((\neg A) \vee B\). Но все становится загроможденным и трудным для чтения, если мы добавляем круглые скобки вокруг каждого отрицания. Таким образом, у нас есть особое понимание \(\neg\) для поддержания порядка.

⊕ Это специальное понимание для \(\mathbin{\sim}\) отражает понимание минуса в арифметике.

Символ отрицания \(\mathbin{\sim}\) применяется только к предложению, непосредственно следующему за ним.

Итак, в предложении \(\neg A \vee B\) \(\neg\) применяется только к \(A\). А в \(\neg (A \wedge B) \vee C\) это относится только к \(A \wedge B\).

3.2 Таблицы истинности

Истинность сложного предложения, построенного с использованием трех наших связок, зависит от истинности его компонентов. Например, \(\neg A\) ложно, если \(A\) истинно, и истинно, если \(A\) ложно:

Таблица 3.1: Таблица истинности для \(\neg\)

T	Ф
Ф	Т

Немного сложнее правило для \(\&\):