Сложение и умножение вероятностей теория вероятности: Сложение и умножение вероятностей — урок. Единый государственный экзамен (11 класс), Математика.

§5. Сложение и умножение вероятностей. Теория и примеры. Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Если события А₁ и А₂ несовместны ( то есть Ø, следовательно, ), то вероятность суммы этих событий равна их вероятностей:

Теорему можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых. Так, для трех событий:

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна 1, так как появление одного из событий полной группы достоверно:

.

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, так как противоположные события образуют полную группу:

.

Часто обозначают , , тогда .

Замечание 1.

При решении задач на отыскание вероятности события А бывает выгодно сначала вычислить вероятность события , а затем искомую вероятность:

.

Два события могут находиться между собой в таких взаимоотношениях, что наступление или не наступление одного из них влияет на вероятность наступления второго. В таких случаях говорят, что события являются зависимыми.

Два события называются независимыми в данном испытании, если вероятность одного из них не зависит от того, появилось или не появилось другое событие.

Вероятность события B, вычисленная в предположении, что произошло событие А, называется условной вероятностью и обозначается или .

Если событие не зависит от события

А, то .

Если событие В зависит от события А, то .

Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что произошло первое событие:

Теорему можно обобщить на случай любого конечного числа множителей.

.

Если события A и В независимы, то , так как и .

События называются независимыми в совокупности, если каждое из них не зависит от появления любой комбинации остальных событий.

События независимыми в совокупности, то вероятность их совместного появления вычисляется по формуле:

.

Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле:

Вероятность появления хотя бы одного события из совокупности вычисляется по формуле

.

Пример 1.

На грузовой двор подают крытые двухосные и крытые четырехосные вагоны, а также полувагоны с вероятностями соответственно 0,25; 0,4; 0,35. Определить вероятность того, что очередным подадут крытый вагон.

Решение.

Подача крытого вагона означает подачу двухосного (событие А) или четырехосного (событие В) вагона. Эти события несовместны (так как вагоны подают по одному), поэтому применима теорема сложения вероятностей для несовместных событий:

.

Пример 2.

Из колоды в 36 карт наугад достают одну карту. Определить вероятность того, что этой картой окажется какая-то из четырех дам или карта черной масти.

Решение.

Обозначим А – событие, состоящее в том, что вынутой картой окажется дама; В – событие, состоящее в том, что из колоды извлекли карту черной масти. Тогда ; .

Заметим, что А и В – совместные случайные события. Извлеченной из колоды картой может оказаться, например, дама треф, и тогда произойдет и событие А, и событие В. Аналогичная ситуация для пиковой дамы. Поэтому .

В данном случае вероятность суммы двух событий вычисляется по общей формуле:

.

Пример 3.

В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором – 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Решение.

Пусть А – появление белого шара из первого шара; В – появление белого шара из второго ящика.

Шанс вынуть белый шар из второго ящика не зависит от появления или не появления белого шара из первого ящика, следовательно, события А и В – независимые.

В каждом ящике по шаров, но количество белых шаров разное: ; , поэтому

; .

Пример 4.

В корзине 4 синих и 3 красных шара. Два раза подряд наудачу вынимают шар (без возвращения в корзину). Найти вероятности следующих событий:

1) второй шар синий, если первый был красным;

2) второй шар синий, если первый был синим;

3) вынули два синих шара;

4) вынули два шара одного цвета;

5) вынули два шара разного цвета.

Решение.

Обозначим события:

— первый раз вынули синий шар;

— второй раз вынули синий шар;

— первый раз вынули красный шар;

— второй раз вынули красный шар.

Вычислим искомые вероятности.

1) Всего шаров 7, из них 4 синих и 3 красных. Если первый раз вынули красный шар, то осталось 6 шаров, из них 4 синих и 2 красных.

Следовательно, вероятность того, что вторым вынули синий шар, если первым был красный шар – это вероятность события при условии, что событие уже произошло, и является условной вероятностью:

.

2) Если первым вынули синий шар, то произошло событие . При этом уменьшилось общее количество шаров (стало 6) и количество синих шаров (стало 3). Вероятность вынуть вторым синий шар при условии, что первым был также синий шар, равна:

.

3) Вынуть два синих шара подряд означает совмещение событий и : . Эти события зависимы. В п. 1 и п. 2 показано, что вероятность события зависит от того, какое событие ему предшествовало.

Вероятность появления двух синих шаров (т. е. вероятность события А) найдем по теореме умножения вероятностей для зависимых событий:

.

4) Вынуть два шара одного цвета (событие F) означает появление двух синих шаров (событие ) или появлении двух красных шаров (событие ). События А и В несовместны: появление одного из них исключает появление другого.

Вероятность появления двух шаров одного цвета определим по теореме сложения вероятностей:

.

5) Вынуть шары разного цвета (событие R) означает вынуть первый шар синий, а второй – красный (событие ) или вынуть первый шар кранный, а второй синий (событие ). События M и N несовместны. По теореме сложения вероятностей:

.

Пример 5.

Два баскетболиста делают независимо друг от друга по одному броску в корзину. Вероятность попадания для 1-го баскетболиста 0,8, для 2-го баскетболиста 0,7. Найти вероятности следующих событий:

1) А

– 1-й попал, 2-й не попал;

2) В – только один попал;

3) С – ни один не попал;

4) D – хотя бы один попал.

Решение.

Введем события, вероятности которых известны по условию задачи:

– 1–й баскетболист попал в корзину,

– 2-й баскетболист попал в корзину.

Тогда , , , .

1) Выразим событие через и :

.

Так как события и (следовательно, и события и ) являются независимыми, то

.

2) Выразим события В через и . Событие заключается в том, что 1-й баскетболист попал в корзину, а 2-й не попал (событие ), или 2-й баскетболист попал в корзину, а 1-й не попал (событие , поэтому

.

События и являются несовместными, следовательно,

.

3) Выразим событие через и .

.

В силу независимости событий и (следовательно, и событий и заключаем:

.

4) Событие представляет собой сумму событий и :

.

По теореме сложения вероятностей, учитывая, что и являются независимыми, получаем:

.

Вероятность события можно находить иначе.

Событие — попал хотя бы один, подразумевает, что 1-й попал, 2-й промахнулся (событие ), или 1-й промахнулся, 2-й попал (событие , или оба попали (событие ). События , и несовместны.

Искомая вероятность определяется по теореме сложения вероятностей:

.

Еще один способ определения основан на том, что события и являются противоположными: . Поэтому

.

Пример 6.

В коробке 12 деталей, причём 8 из них стандартные. Наудачу извлечены 3 детали. Найти вероятность события А – все три извлеченные детали являются стандартными.

Решение.

Данная задача уже была рассмотрена при изучении темы «Классический подход к определению вероятности» (см. пример 3).

Рассмотрим другой способ решения этой задачи.

Введем события:

А₁ – первый раз извлечена стандартная деталь;

А₂ – второй раз извлечена стандартная деталь;

А₃ – третий раз извлечена стандартная деталь.

Тогда событие А произойдет, если произойдут все три события А₁, А₂ и А₃, то есть

.

По теореме умножения вероятностей

.

Так как всего 12 деталей, и из них 8 стандартные, то

.

После извлечения одной стандартной детали останется 11 деталей, из которых 7 деталей стандартные, следовательно,

.

После извлечения стандартной детали во второй раз, останется 10 деталей, среди которых 6 стандартных, поэтому

Таким образом,

.

« СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ » | План-конспект занятия по алгебре (9 класс):

УРОК 1.4    « СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ »

Цели:  рассмотреть примеры вероятностей на сложение и умножение.

Ход урока

I. Объяснение нового материала

1.  Задача 1. В ящике лежат 50 шаров.  18 синих шаров, 12 красных и 20 желтых. Наугад вынимают 1 шар. Найти вероятность, что шар оказался не желтым?

а)  Событие А – шар оказался синим:   Р(А) =

б)  Событие В – шар оказался красным:   Р(В) =

События А и В одновременно произойти не могут. Говорят, что события А и В – несовместные.

Два события называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого.

Тогда вероятность, что шар оказался не желтым будет равна  Р(С) = Р(А) + Р(В), т. е.

 +  =  = 0,6

Если наступает только одно из двух несовместных событий, то вероятности складываются.

1) На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Углы», равна 0,1. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Параллелограмм», равна 0,6. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.

2) На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Площадь», равна 0,15. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Окружность», равна 0,3. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.

Задача 2.  В одном из двух ящиков находятся 10 шаров, из которых 7 красных и 3 желтых, а в другом — 15 шаров, из которых 5 красных  и 10 желтых. Из каждого ящика наугад вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся желтыми.

а)  Событие А – из первого ящика вынимают желтый шар:   Р(А) =

б)  Событие В – из второго ящика вынимают желтый шар:   Р(В) =

События А и В являются независимыми, т.е. вытаскивание  желтого шара из первого ящика никак не влияет на вытаскивание  желтого шара из второго ящика.

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не зависит от наступление другого.

Тогда вероятность, что оба шара окажутся желтым будет равна  Р(С) = Р(А)  Р(В), т.е.

    =  = 0,2

Если наступают два независимых события, то вероятности умножаются.

№ 824

Задача 3.  Вероятность попадания в мишень одного стрелка равна 0,9, а другого – 0,8. Каждый сделал по одному выстрелу. Какова вероятность, что мишень будет поражена?

а)  Событие А – первый стрелок попал в мишень

б)  Событие В – второй стрелок попал в мишень

в) мишень поражена

События А и В являются независимыми. Но воспользоваться умножением вероятностей в этом случае нельзя, т.к. мишень будет поражена и при попадании в цель только одного стрелка.  В этом случае считаем иначе. Находим противоположные события.

Вероятность, что промахнулся первый стрелок: Р = 1 – 0,9 = 0,1;

  промахнулся второй стрелок: Р = 1 – 0,8 = 0,2.  

События А и В являются независимые, значит вероятность промаха обоих стрелков

        Р = Р  Р,  т.е.  0,1  0,2 = 0,02, следовательно, вероятность, что мишень будет      

       поражена Р(С) = 1 – 0,02 = 0,98

№ 828.

II. Формирование умений и навыков.

,

II. Формирование умений и навыков.

III

IV. . Формирование умений и навыков.

V. Домашнее задание: 

                                   П.     №№

Вероятность: правило сложения и умножения

Правило сложения и правило умножения — два важных правила вероятности, которые описывают, как вычисляются вероятности для нескольких событий.

Правило сложения

Правило сложения (также известное как правило «ИЛИ») утверждает, что вероятность возникновения двух или более взаимоисключающих событий равна сумме вероятностей возникновения отдельных событий.

Пример 1: , если у вас есть монета и вы хотите узнать вероятность того, что она выпадет орлом или решкой, тогда ответ будет 1/2 + 1/2 = 1. Это означает, что существует 100% вероятность того, что либо орел или выпадет решка.

Пример 2: Если у вас есть два события, A и B, и вероятность возникновения события A равна 0,40, а вероятность возникновения события B равна 0,30, вероятность возникновения событий A «или» B составляет 0,40 + 0,30 = 0,70.

Приведенные выше два примера применимы, когда событий взаимоисключающие , что означает, что они не могут произойти одновременно. В этом случае правило сложения гласит, что вероятность каждого события равна сумме вероятностей каждого события в отдельности.

С другой стороны, если события не являются взаимоисключающими , это означает, что они могут происходить одновременно. В этом случае правило сложения гласит, что вероятность любого из событий равна сумме вероятностей каждого события минус вероятность того, что оба события произойдут одновременно.

Пример 3: Если вероятность события А составляет 30 %, а вероятность события В — 50 %, а вероятность того, что оба события происходят одновременно, составляет 10 %, вероятность события А или событие B происходит в 30% + 50% — 10% = 70%.

 

Правило умножения:

Правило умножения (также известное как правило «И») гласит, что вероятность двух независимых событий , происходящих вместе, равна произведению их индивидуальных вероятностей.

Пример 4: Например, если у вас есть два события A и B, и вероятность возникновения события A равна 0,40, а вероятность возникновения события B равна 0,30, вероятность того, что события A» и» B произойдут одновременно, равна 0,40 * 0,30 = 0,12. Это связано с тем, что вероятность того, что оба события произойдут одновременно, является произведением вероятностей отдельных событий.

Пример 5: Если вы хотите рассчитать вероятность выпадения орла при первом броске монеты и решки при втором броске монеты, вы будете использовать правило умножения, чтобы определить, что вероятность равна 0,25, потому что вероятность выпадения Орел при первом подбрасывании монеты равен 0,50. Вероятность выпадения решки при втором подбрасывании монеты также равна 0,50, а вероятность того, что оба события произойдут одновременно, равна 0,50 * 0,50 = 0,25.

Пример 6: Предположим, у вас есть мешок с 3 красными и 2 зелеными шарами. Если вы хотите найти вероятность того, что вытащите красный шар (тогда положите его обратно в мешок: с заменой ), а во втором розыгрыше вы получите зеленый шар, вы должны использовать правило умножения:

P(красный И зеленый) = P(красный) * P(зеленый) = (3/5) * (2/5) = 6/25 = 0,24

Обратите внимание, что в этом примере вероятность вытянуть красный шар в первом выбор НЕ влияет на вероятность выпадения зеленого шара во втором выборе, так как первый выбор (красный шар) кладется обратно в мешок.

В этом примере два события были независимыми событиями , что означает, что возникновение одного события не влияет на вероятность возникновения другого события.

Пример 7: Предположим, у вас есть мешок с 3 красными и 2 зелеными шарами. Если вы хотите найти вероятность того, что вытащите красный шар, а во втором выпадении вы получите зеленый шар ( без замены ), вы должны использовать правило умножения:

P(красный И зеленый) = P(красный) * P(зеленый|красный) = (3/5) * (2/4) = 6/20 = 0,30

В приведенной выше формуле P(зеленый | красный) означает вероятность получения зеленого шара «при условии», что первое событие (получение красного шара) уже произошло. Это называется условной вероятностью.

Это означает, что вероятность вытащить красный шар, а затем зеленый шар без замены равна 0,30, или 30%.

Обратите внимание, что в данном примере вероятность выпадения красного шара при первом выборе ВЛИЯЕТ на вероятность выпадения зеленого шара во втором выборе, поскольку первый выбор (красный шар) НЕ кладется обратно в мешок. Это уменьшает общее количество шаров в мешке до 4 (2 красных и 2 зеленых). .

 Это правило гласит, что вероятность возникновения обоих событий равна вероятности возникновения первого события, умноженной на вероятность возникновения второго события, при условии, что эти два события независимы.

Теоремы сложения и умножения вероятности: Примечания

Введение

Рассмотрим следующий сценарий: Вы участвуете в игре в кости со своими друзьями. Вы создаете исчерпывающий список всех возможных результатов в пространстве выборки. Когда один из ваших друзей бросает кости, он не сообщает вам результат. Вместо этого он утверждает, что при сложении двух чисел получается четное число. На данный момент, можете ли вы предсказать исход его броска монеты? Было бы интересно изучить, как это новое знание влияет на вероятность различных исходов. Это фундаментальное предположение лежит в основе теоремы умножения вероятностей.

Теорема вероятности, основанная на теоремах сложения и умножения вероятности

Как учит нас условная вероятность, вероятность события изменяется, когда происходит одно или несколько вероятных событий. Когда мы знаем, что произошло событие B, мы сосредотачиваемся на B, а не на S при оценке вероятности наступления события A при условии, что B произошло.

Наиболее вероятные результаты броска двух игральных костей в приведенном выше случае:

S = (x, y): x, y равно 1, 2, 3, 4, 5, 6;

Пространство выборки S содержит всего 36 элементов. Каждое возможное решение имеет значение P(Ei) равное 1/36 с точки зрения вероятности возникновения. Мы понятия не имеем, как сложится бросок костей нашего друга. Сумма целых чисел, с другой стороны, является четным числом. Подумайте, как это знание влияет на вероятность появления результата в будущем.

Вероятность возникновения каждого из этих событий составляет 1 из 18, что обозначается как P(A |Ei). Этот пример демонстрирует, как доступность новых знаний может изменить вероятность события.

Вероятность возникновения события

Это первая из этих теорем:

Когда происходят два события A и B, в случае P(A ∩B) она идентична P(A |B) P (Б).

P(A ∩ B) = P(A) P(B | A), P(A) > 0.

или, P(A ∩ B) = P(B) (A | B), P( B) > 0,

P(B | A) — условная вероятность того, что событие B произойдет, если событие A уже произошло. P(A | B) — условная вероятность того, что событие A произойдет, если в этом сценарии ранее произошло событие B.

Мы можем заключить следующее:

P(A | B) = P(A ∩ B) ⁄ P(B).

P(A ∩ B) = P(B) P(A | B).

P(B | A) = P(A ∩ B) ⁄ P(A).

⇒ P(A ∩ B) = P(A) P(B | A).

Когда два события A и B происходят одновременно, теорема вероятности показывает, что вероятность их возникновения равна произведению вероятностей одного события и условных вероятностей другого, если предположить, что произошло первое событие.

Вторая теорема такова: 

n(A ∩ B) ≤ n(A) … (i),

и, n(B) ≤ n(S) … (ii)

Разделив (i) и (ii), получим,

n(A ∩ B) ⁄ n(B) ≤ n(A) ⁄ n(S)

⇒ P(A | B) ≤ P(A).

Это очень интуитивно понятно, так как вероятность с примененным условием всегда будет меньше, чем без условия.

Теорема умножения вероятности

Как видно из приведенного ниже примера, теорема умножения вероятности для зависимых событий может включать независимые события.

P(A ∩ B) = P(A) P(B | A).

Предположим, что события A и B не связаны между собой, т.е. A и B являются независимыми событиями, тогда

P(B | A) = P(B).

Предыдущую теорему можно сократить следующим образом:

В этой ситуации P(A ∩ B) = P(A) P(B).

Это означает, что вероятность того, что оба этих события произойдут одновременно, равна произведению их индивидуальных вероятностей.

Теорема умножения вероятностей расширена и теперь включает вхождения с n независимыми событиями.

Имеются n независимых событий A1, A2,…, An

 P(A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An) = P(A1) P(A2) … P(An).

Теорема умножения вероятностей расширена для включения n различных событий.

Теорема умножения сводится к простейшей форме для появления n событий.

P(A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An) = P(A1) P(A2 | A1) P(A3|A1 ∩ A2) … × P(An |A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An-1)

Заключение

Работа над максимально возможным количеством вероятностных вопросов — лучший подход к пониманию того, когда нужно складывать и умножать.