Событие a событие b событие a b: Комбинация событий. Противоположные события — урок. Алгебра, 11 класс.

16. Алгебра событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события. Под событием понимается любое явление, которое происходит в результате осуществления определенного комплекса условий и которые можно неоднократно повторять. Осуществление этого комплекса условий называют экспериментом (опытом, испытанием, наблюдением). Таким образом, любое событие в теории вероятностей рассматриваются как исход некоторого эксперимента. Поэтому события часто называют исходами. Например, бросание кубика можно считать испытанием, которое можно неоднократно повторять, а полученный результат – исходом испытания.

Событие называется случайным, если оно при одних и тех же условиях может как произойти, так и не произойти. Случайными будут, например, события: а) при подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков; б) при выстреле в мишень пуля попадет в «десятку»; в) по пути в школу вы встретите черную кошку.

Чтобы говорить о случайности или неслучайности какого-то события, нужно иметь возможность неоднократно наблюдать за ним.

Недаром каждый из перечисленных примеров начинается со слов «при …» – то есть, при выполнении определенных условий. Эти условия могут создаваться специально или возникать в окружающей нас жизни.

Случайным экспериментом называют комплекс действий или условий, которые можно многократно повторять, а исход, к которому они приводят, заранее непредсказуем. С примерами случайных экспериментов вы, наверняка, сталкивались и раньше: а) подбрасывание монеты или игрального кубика; б) проведение лотереи; в) стрельба по мишени; г) подъем уровня воды во время весеннего половодья. Последний пример показывает, что случайные эксперименты может совершать и сама природа – в этом случае нам остается лишь наблюдать за их исходами.

Остановимся еще раз на двух важнейших свойствах случайного опыта — непредсказуемости и повторяемости.

Первым важным свойством случайного опыта является его непредсказуемость. Мы не можем заранее предсказать на какую сторону упадет подброшенная вверх монета или кубик; в какую точку мишени попадет пуля.

Вторым важным свойством случайного опыта является его повторяемость: мы (или природа) можем повторять опыт неограниченное число раз в одних и тех же (или очень близких) условиях.

Теория вероятностей не изучает уникальные эксперименты, которые нельзя повторить многократно, даже если их исходы непредсказуемы.

События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C и т. д.

Событие называется невозможными, если при проведении данного случайного эксперимента никогда не происходит. Например, события: а) при подбрасывании игрального кубика выпадет 7 очков; б) при подбрасывании трех монет число орлов окажется равно числу решек, являются, очевидно, невозможными.

Событие называется достоверным, если при проведении данного случайного эксперимента оно обязательно произойдет. Например, события: а) при подбрасывании игрального кубика выпадет меньше 7 очков; б) при подбрасывании трех монет число орлов окажется не равно числу решек, являются, очевидно, достоверными.

События A и B называются несовместными, если наступление одного из них исключает возможность появления другого. Например, при подбрасывании монеты могут наступить два события: выпадет «орел» или «решка». Однако, одновременно эти события, при одном подбрасывании, появится не могут. Если в результате испытания возможно одновременное появление событий A и B, то такие события называются совместными. Например, выпадение чётного числа очков при подбрасывании игральной кости (событие А) и числа очков, кратного трем (событие В) будут совместными, ибо выпадение шести очков означает наступление и события А, и события В.

Возможными исходами случайного эксперимента называются все взаимоисключающие друг друга варианты, одним из которых он должен завершиться. В результате эксперимента всегда происходит один и только один из его исходов. То есть, с одной стороны, в одном эксперименте не могут произойти сразу два исхода, с другой — эксперимент не может завершиться вообще без всякого исхода. Исходы эксперимента называют элементарными, если их нельзя поделить на более простые. Элементарные исходы в теории вероятностей называют еще элементарными событиями.

Заметим, что число возможных исходов случайного опыта может быть любым – от двух до бесконечности. Например, опыт с монетой имеет всего два возможных исхода (орел и решка), а опыт с кубиком – шесть. Но далеко не во всех случаях все возможные исходы опыта столь очевидны.

Из коробки с одним белым и двумя черными шарами вытаскивают наугад один шар. Сколько возможных исходов у этого опыта? Можно сказать два: шар окажется либо белым, либо черным. А можно сказать три: белый, черный-1, черный-2. И то, и другое правильно, просто во втором случае исходы выбраны более элементарными, а сам опыт описывается ими более детально.

Любое неэлементарное событие может наступить при различных исходах опыта. Все такие исходы называют благоприятными для этого события. Благоприятные они в том смысле, что приводят к его наступлению. Например, для случайного события «На кубике выпадет четное число очков» благоприятными исходами будут 2, 4 и 6.

Если обозначить множество всех возможных исходов опыта большой греческой буквой (читается омега), то каждый исход можно рассматривать как элемент этого множества , а любое случайное событие A – как его подмножество , состоящее из благоприятных для него исходов.

При этом невозможное и достоверное события получаются как два частных случая таких подмножеств: невозможному событию соответствует пустое множество исходов ; достоверному событию соответствует множество всех исходов опыта .

Итак, для любого случайного события A все исходы эксперимента делятся на два множества: благоприятные для этого события и все остальные, которые можно назвать неблагоприятными для него. Если рассматривать событие A как подмножество в множестве всех возможных исходов, то оно будет состоять из благоприятных исходов.

Например, выниманию из колоды одной карты можно поставить в соответствие множество элементарных событий (карт) W с 36 исходами. Тогда событию B={вынут туз} соответствует подмножество B={туз пик, туз крести, туз буби, туз червы}.

Пример 14.1. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании один раз игральной кости. Обозначим через X число выпавших очков. Построить пространство элементарных событий  и указать состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: A={X кратно3}, B={X – нечетно}, C={X < 7}, D={X > 7}.

Решение. Очевидно, что за элементарные события здесь лучше всего взять события: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, которые образуют полную группу несовместных событий. При помощи этих элементарных событий можно легко описать все перечисленные в задаче события:

A={3;6}, B={1;3;5}, C=, D=Æ.

Над событиями можно совершать те же самые операции, что и для множеств. В частности:

Произведением AB событий A и B называют событие, которое происходит тогда и только тогда, когда имеют место оба события A и B одновременно. Например, событие C={вынут туз черви} является произведением событий A и B, где A={вынута карта червонной масти}, а B={вынут туз}.

Суммой A+B событий A и B называют событие, которое происходит только тогда, когда имеет место либо событие A, либо событие B, либо оба вместе.

Разность A–B событий A и B называют событие, которое происходит только тогда, когда имеет место событие A, но не имеет место событие B.

Событие Называется противоположным к событию, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит . Другими словами, противоположное событие состоит из тех элементарных исходов множества , при которых событие не происходит, т. е. .

Действия над событиями становятся более наглядными, если придать им геометрическую интерпретацию в виде диаграмм Эйлера-Венна:

A+B

AB

A–B

B–A

Пример 14.

2. Эксперимент состоит в подбрасывании двух игральных костей. Обозначим через X сумму очков, выпадавших на обеих костях. Описать следующие события A+B, AB, A–B, B–A, если A={X кратно трем}={3;6;9;12}и B={X нечетно}={3;5;7;9;11}. Тогда

A+B={3;5;6;7;9;11;12},

A–B={6;12},

AB={3;9},

B–A={5;7;11}.

Пример 14.3. Пусть имеется колода карт, из которой вынимается одна карта. Описать события AB, , A+B, A–B, , если A={вынутая карта – туз}, B={вынутая карта – черви}.

Ответ:

AB = {вынутая карта – червовый туз},

= {вынутая карта – червовая, но не туз},

A+B = {вынутая карта – либо туз, либо черви},

A–B = {вынутая карта –туз, но не черви},

= {вынутая карта – не туз и не черви}.

Используя операции над событиями, можно описывать более сложные события. Например, пусть A, B, C – три события, наблюдаемые в некотором эксперименте. Используя алгебру событий, опишем событие, произошло только событие А. Это означает, произошло событие A, но события B и С не произошли. Это можно записать следующим образом

.

Аналогично, можно описать события: произошло только одно событие, не важно какое или: произошло хотя бы одно событие. Все это можно коротко записать так

,

.

Пример 14.4. Пусть ёлочная гирлянда имеет следующий вид

Опишите событие, что: а) цепь будет работать (т. е. загорится хотя бы одна лампочка), б) имеется разрыв цепи (т. е. ни одна лампочка не загорится).

Ответ: а) Для того чтобы цепь работала, нужно чтобы работала лампочка А и (операция умножения) верхняя или нижняя ветка гирлянды (операция сложения). Верхняя ветка будет работать, если будут работать и лампочка B, и лампочка C (операция умножения). Используя алгебру событий всё это можно записать в виде формулы:

.

Б) Для того чтобы цепь не работала, нужно чтобы не работала лампочка А или (операция сложения) верхняя и нижняя ветка гирлянды (операция умножения). Верхняя ветка не будет работать, если не будут работать или лампочка B, или лампочка C (операция сложения). Используя алгебру событий всё это можно записать в виде формулы (для обозначения, что лампочка не работаем мы будем использовать символ противоположного события):

.

Упражнения

14.1. Имеется колода карт. Вынимается одна карта. Опишите события и если A={карта пиковой масти}, B={карта – дама}.

Ответ: ={вынутая карта – либо не пики, либо не дама}, ={вынутая карта – либо не пики, либо дама}.

14.2. В урне находится 12 шаров. Все они пронумерованы от 1 до 12. Опишите событие и (A–B)+(B–A), если A={шар с номером кратным 3}, B={шар с номером меньше 5}.

Ответ: ={5, 7, 8, 10, 11}, (A–B)+(B–A)={6, 9, 12, 1, 2, 4}.

14.3. В урне находится 12 шаров. Все они пронумерованы от 1 до 12. Опишите событие и , если А={шар, с номером кратным 4}, B={шар, с номером не меньше 6}.

Ответ: ={8, 12, 1, 2, 3, 5}, ={8, 12}.

14.4. Имеется электрическая цепь. Опишите, что: а) цепь будет работать, б) имеется разрыв цепи.

1) 2) .

Ответ: 1) , ;

2) , .

14.5. Имеется электрическая цепь. Опишите, что: а) цепь будет работать, б) имеется разрыв цепи.

1) 2) .

Ответ: 1) , ;

2) , .

< Предыдущая   Следующая >

1.1.4. Сумма и произведение событий

Определение. Суммой (Объединением) Событий A и B называется событие, которое наступает, когда происходит хотя бы одно из этих событий, и обозначается A+B. При сложении событий множества благоприятствующих исходов складываются (объединяются).

Например, для событий примера 1.6 суммой событий A и C Будет событие A+C ={w1 , w2 , w3 , w4 , w6}, а суммой событий A и B Будет событие A+B = {w1, w2, w3, w4, w5, w6}=W, т. е. достоверное событие.

Операцию сложения определяют и для бесконечной последовательности событий.

Определение. Суммой (Объединением) Последовательности событий A1, A2, … An,.. называется событие, которое наступает, когда происходит хотя бы одно из событий последовательности и обозначается .

Пусть событие A Состоит из благоприятствующих исходов .

Тогда событие A по определению суммы можно представить в виде

.

Определение. Произведением событий A и B Называется событие, которое происходит при одновременном наступлении этих событий и обозначается AB. При умножении событий множества благоприятствующих исходов умножаются (пересекаются).

Например, для событий примера 1.6 произведением событий A И C будет событие AC = {w1 ,W3}, а произведением событий A и B будет невозможное событие AB =Æ .

Определение. Произведением последовательности событий A1,A2,…An,.. называется событие, которое происходит при одновременном наступлении всех событий последовательности и обозначается .

Определение. Разность событий A и B происходит, когда событие A наступает, а событие B — не наступает, и обозначается A-B.

Используя определения действий над событиями, можно доказать следующие свойства

1) A+B=B+A 2) AB=BA 3) A+(B+C)=(A+B)+C

4) A(B+C)=AB+AC 5) A+Æ=A 6) AÆ=Æ

7) AW=A 8) A+A=A 9) AA=A

10) A+W=W 11) AW=A 12) A+= W

13) A=Æ 14) =A 15) =Æ 16) =W.

Первые семь свойств аналогичны свойствам алгебры, таким как перестановка, сочетание и распределение, при этом невозможное событие Æ можно считать как 0, а достоверное событие W – как 1. Остальные свойства не имеют аналогов в алгебре.

Для событий А и В справедливы формулы, называемые соотношениями двойственности, если

.

Определение. Класс событий U образует Алгебру событий, если

1) достоверное событие содержится в этом классе, т. е. WÎ U

2) для любых событий AÎ U,BÎ U из этого класса их сумма и произведение также принадлежат этому классу: ABÎ U, A+BÎ U,

3) если событие A из этого класса AÎ U , то и противоположное событие также принадлежит этому классу: АÎ U.

Пример 1.7. Подбрасывают две монеты различного достоинства. Пространство элементарных событий W состоит из четырех элементов

W= {ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ }.

Здесь Г означает, что монета выпала гербом вверх, а Ц – цифрой вверх.

Построим все подмножества пространства элементарных событий W:

Æ , ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ, { ГГ, ГЦ }, { ГГ, ЦГ}, {ГГ, ЦЦ}, { ГЦ, ЦГ }

{ ГЦ, ЦЦ }, { ЦГ, ЦЦ }, {ГГ, ГЦ, ЦГ}, {ГГ, ГЦ, ЦЦ }, {ГГ, ЦГ, ЦЦ },

{ГЦ, ЦГ, ЦЦ }, {ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ }=W.

Нетрудно проверить, что все 16 событий образуют алгебру событий.

Для точного определения события в произвольном пространстве элементарных событий рассмотрим следующее определение.

Определение. Алгебра событий U образует S-алгебру событий, если для бесконечной последовательности событий Ai Из s-алгебры событий их объединение и пересечение принадлежат s-алгебре

Î U, Î U.

Если задано пространство элементарных событий W и s-алгебра событий U, То говорят, что задано Измеримое пространство { W, U }.

В случае произвольного пространства элементарных событий W, Событиями называют только такие подмножества пространства элементарных событий W, которые образуют s-алгебру событий U. Все остальные подмножества W, не входящие в s-алгебру событий U, событиями не являются.

Вопросы для самопроверки

1. При подбрасывании монеты выпала сторона с изображением герба (условно обозначим это событие буквой А). Какое событие будет являться противоположным событию А?

2. Подбрасываются две монеты, в результате чего видим изображение двух гербов. Что будет являться противоположным событием в этом случае?

3. Написать действие, соответствующее тому факту, что при подбрасывании двух монет на одной будет изображен герб (событие А), а на другой монете – цифра (событие В).

< Предыдущая   Следующая >

Взаимоисключающее событие: определение, примеры, объединения

Вероятность и статистика > Вероятность > Взаимоисключающее событие

Что такое взаимоисключающее событие?

Взаимоисключающие события — это вещи, которые не могут произойти одновременно. Например, вы не можете бежать вперед и назад одновременно. События «бег вперед» и «бег назад» являются взаимоисключающими. Подбрасывание монеты также может дать вам этот тип события. Вы не можете подбросить монетку и выпасть оба орла и хвосты. Так что «выпадение орла» и «выпадение решки» — взаимоисключающие понятия. Вот еще несколько примеров: ваша способность оплачивать аренду, если вам не платят, или смотреть телевизор, если у вас нет телевизора.
Подбрасывание монеты может быть взаимоисключающим.

Посмотрите видео с определением и двумя примерами нахождения вероятностей для взаимоисключающих событий:

Взаимоисключающие события

Посмотрите это видео на YouTube.

Видео не видно? Кликните сюда.

Вероятность взаимоисключающего события

Базовая вероятность (P) события (забывая на мгновение о взаимной исключительности) составляет:
P = количество способов, которыми может произойти событие / общее количество исходов.
Пример: Вероятность выпадения «5» при бросании кости равна 1/6, потому что на кубике одна «5» и шесть возможных исходов. Если мы назовем вероятность выпадения 5 «Событием А», то уравнение будет таким:
P(A) = количество способов, которыми может произойти событие / общее количество исходов
P(A) = 1 / 6.

Невозможно выбросить 5 и 6 вместе; события взаимоисключающие .

События записываются следующим образом:

P(A и B) = 0
На английском все это означает, что вероятность события A (выпадение 5) и события B (выпадение 6) происходят вместе равна 0.

Однако, когда вы бросаете кубик, вы можете бросить 5 ИЛИ 6 (шансы 1 из 6 для каждого события), и сумма любого события является суммой обеих вероятностей. Вероятность записывается так:

P(A или B) = P(A) + P(B)
P(выпадает 5 или 6) = P(выпадает 5) + P(выпадает 6)
P(выпадает 5 или прокатка 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Невозможно выбросить 1 и 2 вместе.

Вероятность взаимно исключающего события: Шаги

Пример задачи: «Если P(A) = 0,20, P(B) = 0,35 и (PA B) = 0,51, являются ли A и B взаимоисключающими?»

Примечание: объединение (∪) двух происходящих событий означает, что происходит A или B.

Шаг 1: Сложите вероятности отдельных событий (A и B) . В приведенном выше примере:
.20 + .35 = .55

Шаг 2: Сравните свой ответ с данным «союзным» утверждением (A B) . Если они совпадают, события исключают друг друга. Если они разные, то не исключают друг друга. Почему ? Если они взаимоисключающие (они не могут произойти вместе), то (∪)nion двух событий должен быть суммой обоих, то есть 0,20 + 0,35 = 0,55.

В нашем примере 0,55 не равно 0,51, поэтому события не взаимоисключающие .


Нравится объяснение? Ознакомьтесь с дополнительными пошаговыми примерами — как этот для взаимоисключающих событий — в Справочнике по статистике практического обмана

Ссылки

Beyer, WH CRC Standard Mathematical Tables, 31st ed. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, стр. 536 и 571, 2002 г.
Додж, Ю. (2008 г.). Краткая энциклопедия статистики. Спрингер.
Эверитт, Б.С.; Скрондал, А. (2010), Кембриджский статистический словарь, издательство Кембриджского университета.
Уилан, К. (2014). Голая статистика. W. W. Norton & Company

УКАЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК:
Стефани Глен . «Взаимоисключающее событие: определение, примеры, союзы» От StatisticsHowTo.com : Элементарная статистика для всех нас! https://www.statisticshowto.com/mutually-exclusive-event/

————————————————— ————————-

     

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на ваши вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, Свяжитесь с нами .

Что такое формула P(A/B)? I Примеры

P(A/B) известна как условная вероятность и означает вероятность события A, которая зависит от другого события B. Она также известна как «вероятность A при данном B». Формула P(A/B) используется для быстрого нахождения этой условной вероятности.

Что такое формула P(A/B)?

Условная вероятность P(A/B) возникает только в случае зависимых событий. Он дает условную вероятность события А при условии, что произошло событие В.

Формула P(A/B)

P(A/B) = P(A∩B) / P(B)

Аналогично, формула P(B/A): P(B/A) ) = P(A∩B) / P(A)

Здесь

P(A) = вероятность события A.

P(B) = Вероятность наступления события B.

P(A ∩ B) = Вероятность наступления событий A и B.

Из этих двух формул мы можем вывести формулы произведения вероятности.

  • Р(А∩В) = Р(А/В) × Р(В)
  • Р(А∩В) = Р(В/А) × Р(А)

Примечание: Если A и B являются независимыми событиями, то P(A/B) = P(A) или P(B/A) = P(B)

Есть вопросы по основным математическим понятиям ?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Забронировать бесплатный пробный урок

Примеры формул P(A/B)

Пример 1: Когда бросается правильная игральная кость, какова вероятность того, что А при заданном В, где А – это событие выпадения нечетного числа и B — это событие получения числа меньше или равного 3?

Решение:

Найти: P(A/B), используя данную информацию.

При броске игральной кости пространство выборки = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

A — событие получения нечетного числа. Итак, А = {1, 3, 5}.

B — это событие получения числа, меньшего или равного 3. Таким образом, B = {1, 2, 3}.

Тогда А∩В = {1, 3}.

Используя формулу P(A/B):

P(A/B) = P(A∩B) / P(B)

\(P(A/B) = \dfrac{2/6} {3/6} = \dfrac 2 3\)

Ответ: P(A/B) = 2 / 3.

Пример 2: Из колоды в 52 карты берутся две карты, первая карта НЕ заменены перед взятием второй карты. Какова вероятность того, что обе карты короли?

Решение:

Найти: Вероятность того, что обе карты являются королями.

P(карта 1 — король) = 4/52 (так как из 52 карт 4 короля).

P(карта 2 — король/карта 1 — король) = 3/51 (поскольку первый король не заменяется, всего 3 короля из 51 неиспользованной карты).

По формуле условной вероятности

P(карта 1 — король ∩ карта 2 — король) = P(карта 2 — король/карта 1 — король) × P(карта 1 — король)

P (карта 1 — король ∩ карта 2 — король) = 3/51 × 4/52 = 1/221

Ответ: Требуемая вероятность = 1/221.

Часто задаваемые вопросы по формуле P(A/B)

Что такое формула P(A/B)?

Формула P(A/B) — это формула, используемая для расчета условной вероятности, так что мы должны найти вероятность того, что событие ‘A’ произойдет, когда произойдет событие ‘B’.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *