Error
Sorry, the requested file could not be found
More information about this error
Jump to…
Jump to…Согласие на обработку персональных данных Учебно-тематический планАвторы и разработчики курсаИнформация для студентов и преподавателейВводная лекцияIntroductory lectureЛекция о системе обозначений Lecture on the notation systemВидеолекция (часть 1)Lecture (Part 1)Видеолекция 2. Операции над функциями. Свойства функции.Lecture 2. Operations on functions. The properties of the functionТеоретический материал Практическое занятие. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson. Investigation of the properties of functions by definitionЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.1(Часть 1). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 1)Тест 1.1.1(Часть 2). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 2)Видеолекция 1. Числовая последовательность Lecture 1. Numeric sequenceВидеолекция 2. Предел числовой последовательностиLecture 2.
4. Непрерывность функции в точкеВидеолекция (часть 1)Lecture 1. Differential calculus of functions of a single variableВидеолекция (часть 2)Lecture 2. Differentiation of a function given parametricallyПрактическое занятие 1. Правила дифференцированияПрактическое занятие 2. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной параметрическиPractical lesson 1. Logarithmic differentiation. Differentiating a function defined parametricallyPractical lesson 2. Rules of differentiationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица производныхТест 1.1.5 Производная функцииВидеолекция 1. Геометрический и физический смысл производнойLecture 1. Geometric and physical meaning of the derivativeВидеолекция 2. Дифференциал функцииLecture 2. Differential of a functionПрактическое занятие 1. Геометрический смысл производнойPractical lesson 1. The geometric meaning of the derivativeПрактическое занятие 2. Производные и дифференциалы высших порядковPractical lesson 2. Higher-order derivatives and differentialsЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.
1.8. Асимптоты графика функцииВидеолекция. Дифференциальное и интегральное исчислениеLecture. Differential and Integral CalculationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица интеграловТест 1.2.1. Неопределенный интегралВидеолекция. Неопределенный интеграл: методы интегрирования.Lecture. Indefinite integral: methods of integration.Практическое занятие. Внесение функции под знак дифференциалаPractical lesson. Adding a function under the sign of the differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.2.2. Методы интегрированияВидеолекция 1. Интегрирование дробно-рациональных функций (часть1)Lecture 1. Integration of fractional-rational functions (part 1)Видеолекция 2. Интегрирование дробно-рациональных функций (часть 2)Lecture 2. Integration of fractionally rational functions (part 2)Практическое занятие 1. Интегрирование иррациональных выражений (часть 1)Practical lesson 1. Integration of irrational expressions (part 1)Практическое занятие 2. Интегрирование тригонометрических функцийPractical lesson 2.
3.1. Функции нескольких переменных (основные понятия)Quiz 1.3.1Видеолекция Дифференцируемость функции двух переменныхLecture. Differentiable functions of two variablesПрактическое занятие 1. Производные и дифференциалы высших порядковПрактическое занятие 2. Понятие дифференциала первого и второго порядкаPractical lesson 2. The concept of the first- and second-order differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задач Тест 1.3.2. Дифференцирование функции нескольких переменныхQuiz 1.3.2Видеолекция 1. Дифференцирование сложной функции, заданной неявноLecture 1. Differentiation of a complex function and a function given implicitlyВидеолекция 2. Производная по направлению. ГрадиентLecture 2. The directional derivative and the gradientПрактическое занятие 1. Производная по направлению, градиентPractical lesson 1. The directional derivative, the gradientПрактическое занятие 2. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson 2. Investigating function properties by defenition Практическое занятие 3.
The system of linear equationsПрактическое занятие 3. Исследование систем линейных уравненийТеоретический материал (лекция 3)Задачи для самостоятельной работы 3Решения задач 3Тест 2.1.1. Системы линейных уравненийСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Справочник (часть 3)Видеолекция 1. Векторное пространствоLecture 1. Vector spaceВидеолекция 2. линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваLecture 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemПрактическое занятие 1. Арифметическое векторное пространствоPractical lesson 1. Arithmetic vector spaceПрактическое занятие 2. Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваPractical lesson 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.1.2. Арифметическое n-мерное векторное пространствоСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Видеолекция 1.
1.4. МатрицыQuiz 2.1.4. MatricesСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Справочник (часть 3)Видеолекция 1. Прямоугольная декартова система координатLecture 1. Rectangular Cartesian coordinate systemТеоретический материалПрактическое занятие. Решение задач в координатахPractical lesson. Solution of problems in coordinatesЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 2.2.1. Декартова система координатСправочникВидеолекция 1. Скалярное произведение векторовLecture 1. Scalar product of vectorsТеоретический материал (Часть 1)Видеолекция 2. Векторное и смешанное произведения векторовLecture 2. Vector and mixed products of vectorsПрактическое занятие 1. Скалярное произведение векторовPractical lesson 1. Scalar product of vectorsПрактическое занятие 2. Применение произведений векторов при решении задачPractical lesson 2. vector and mixed product of vectors to solve themТеоретический материал (Часть 2)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Тест 2.2.2.(часть 1). Скалярное произведение векторов.
Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовЗадачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.2.2. (часть2). Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Видеолекция. Уравнения прямой на плоскости и в пространствеLecture. Equation of a straight line on a plane and in spaceТеоретический материалПрактическое занятие 1. Уравнения прямой на плоскостиPractical lesson 1. Related to the equation of a straight line on a planeЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Практическое занятие 2. Взаимное расположение прямыхPractical lesson 2. The relative position of straight lines.Задачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.3. Уравнения прямойСправочникВидеолекция. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскостиТеоретический материалПрактическое занятие. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости Practical lesson.
Equation of a plane Задачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Задачи для самостоятельной работы 2Практическое занятие 2. Взаимное расположение плоскостейPractical lesson 2. Relative position of planesРешение задач 2Тест 2.2.4. Уравнения плоскостиСправочникВидеолекция 1. ЭллипсLecture 1. EllipseТеоретический материал Часть 1Практическое занятие 1. ЭллипсPractical lesson 1. EllipseЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Видеолекция 2. Гипербола и параболаLecture 2. Hyperbola and parabolaТеоретический материал (Часть 2)Практическое занятие 2. Гипербола и параболаЗадачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.5. Кривые второго порядкаСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Аттестация по модулю 2Анкета обратной связиИтоговое тестирование по курсу (1-2)Итоговое тестирование по курсу (2)Видеолекция 1. Основные понятия теории вероятностей Lecture 1. Basic concepts of probability theoryВидеолекция 2. Вероятность случайного событияLecture 2. Probability of a random eventПрактическое занятие 1.
Классическая вероятностьPractical lesson 1. Classical probabilityЗадачи для самостоятельной работы (часть 1)Решения задач (часть 1)Практическое занятие 2. Операции над событиями. Practical lesson (part 2). Algebra of events. Properties of probabilitiesЗадачи для самостоятельно работы (часть 2)Решения задач (часть 2)Теоретический материалТест 3.1.1. Классическая вероятностьВидеолекция 1. Условная вероятностьLecture 1. Conditional probabilityПрактическое занятие 1. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула БайесаPractical lesson 1. Conditional probability. The formula of total probability, Bayes ‘ formulaЗадачи для самостоятельной работы. Условная вероятностьРешения задач. Условная вероятностьВидеолекция 2. Повторные независимые опыты и формула БернуллиLecture 2. Repeated Independent Experiments and the Bernoulli FormulПрактическое занятие 2. Схема БернуллиPractical lesson 2. Bernoulli’s formulaЗадачи для самостоятельной работы. Схема БернуллиРешения задач. Схема БернуллиТест 3.
1.2. Условная вероятностьВидеолекция 1. Дискретные лучайные величиныLecture 1. Discrete random variablesВидеолекция 2. Числовые характеристики дискретных случайных величинПрактическое занятие. Дискретные случайные величиныPractical lesson. Discrete random variablesЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа. Законы распределения дискретных случайных величинLaboratory work 1. Distribution Laws of Discrete Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.2.1. Дискретные случайные величиныВидеолекция 1. Непрерывные случайные величиныВидеолекция 2. Частные случаи распределений случайных величинLecture 2. Special cases of distributions of random variablesПрактическое занятие. Непрерывные случайные величиныPractical lesson. Continuous random variableЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа (видео). Законы распределения непрерывных случайных величинLaboratory work (video). Distribution Laws of Continuous Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.
2.2. Непрерывные случайные величиныТеоретический материалТест 3.3.1. Законы больших чиселВидеолекция 1. Система случайных величин (часть 1)Видеолекция 2. Система случайных величин (часть 2)Lecture 2. Systems of random variables (part 2)Практическое занятие. Система случайных величинЗадачи для самостоятельной работыРешения задачЛабораторная работаРешение задачи (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.4.1. Совместный закон распределенияВидеолекция 1. Характеристическая функция случайной величиныLecture 1. Characteristic function of a random variableВидеолекция 2. Свойства характеристической функции случайной величиныLecture 2. Properties of characteristic functions random variable Практическое занятие 1. Вычисление характеристической функции случайной величиныPractical lesson 1. Calculation of Characteristic Functions Практическое занятие 2. Проверка устойчивости для стандартных распределенийPractical lesson 2. Testing the robustness for standard distributions.Задачи для самостоятельного решения (часть 1)Задачи для самостоятельного решения (часть 2)Решения задач (часть 1)Решения задач (часть 2)Тест 3.
4.2. (данное тестирование по теме 1)Видеолекция. Основные понятия математической статистикиLecture. The basic concepts of mathematical statisticsЛабораторная работа (видео). Основные понятия математической статистикиLaboratory work (video). Basic concepts of mathematical statisticsТеоретический материалЛабораторная работа. Основные понятия математической статистикиРешения задач (лабораторная работа)Тест 3.5.1. Основные понятия математической статистикиQuiz 3.5.1.Видеолекция. Статистические оценки параметров генеральной совокупности. Lecture. Statistical estimates of general population parametersЛабораторная работа 1 (видео). Статистические оценки параметров генеральной совокупностиLaboratory work 1 (video). Statistical estimators of the parameters of the populationЛабораторная работа 1. Статистические оценки параметров генеральной совокупностиРешения задач 1Лабораторная работа 2 (видео). Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиLaboratory work 2(video). Minimum or optimal sample sizeЛабораторная работа 2.
Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиРешения задач 2Теоретический материалТест 3.5.2. Статистические оценкиQuiz 3.5.2Видеолекция. Зависимость между величинами. Виды зависимостейLecture. Dependence between quantities. Types of dependenciesТеоретический материал 1Лабораторная работа 1 (видео, часть 1). Парный корреляционный анализLaboratory work 1 (video, part 1). Pair correlation analysisЛабораторная работа 1. Парный корреляционный анализЛабораторная работа 1 (видео, часть 2). Множественный корреляционный анализРешение задач 1Лабораторная работа 2 (видео, часть 2). Парный регрессионный анализLaboratory work 2 (video, part 2). Paired Regression AnalysisЛабораторная работа 2. Парный регрессионный анализРешения задач 2Теоретический материал 2Тест 3.5.3. Зависимость между величинамиQuiz 3.5.3Лекция. Статистические гипотезы Теоретический материалЛабораторная работа (видео). Статистический критерий хи-квадратLaboratory work. The Chi-Square StatisticЛабораторная работа 1. Критерий хи-квадратРешения задач (Критерий хи-квадрат)Лабораторная работа 2.
Критерий ПирсонаЛабораторная работа (расчетная таблица)Решения задач (Критерий Пирсона)Тест 3.6.1. Проверка статистических гипотез: основные понятияQuiz 3.6.1Видеолекция. Проверка статистических гипотезLecture. Testing statistical hypothesesЛабораторная работа 1 (видео). Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 1. Comparison of Sampled Population Means with Known Population VariancesЛабораторная работа 1. Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 1)Лабораторная работа 2 (часть 1). Сравнение средних независимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 1). Comparison of means of independent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2 (часть 2). Сравнение средних зависимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 2).
Comparison of mean dependent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2. Проверка статистических гипотез о сравнении средних выборочных совокупностей, если не известны дисперсии генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 2)Теоретический материалТест 3.6.2. Проверка гипотезQuiz 3.6.2Аттестация по модулю 3Итоговое тестирование по курсу 1-2-3Итоговое тестирование по курсу для математических специальностейИтоговое тестирование по курсу (3)События, виды событий —
Теория
Опыт, эксперимент, наблюдение явления или некоторого процесса называется испытанием. Примеры испытаний: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесённой на каждую из шести граней цифры от одного до шести), реализация некоторого физического, механического или технологического процесса и т.д. При бросании монеты исходами (событиями) являются выпадение герба или выпадение цифры, а при бросании игральной кости — выпадение какой либо цифры на верхней грани кости.
Испытания сопровождаются их исходами (событиями).
Событие — это качественный и (или) количественный результат испытания (исход), осуществляемого при определённой совокупности условий. Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: А, В, С и т.д.
Различают следующие типы событий: случайные события, совместные или несовместные события, достоверные или невозможные события, зависимые или независимые события, равновозможные события, элементарные (простые, неразложимые) события, событие или совокупность событий (исходов), благоприятствующих какому-либо другому событию.
Случайное событие – это результат испытания (или величина), который нельзя заранее спрогнозировать, т.е. нельзя сказать, произойдёт это событие или не произойдёт, или, если событие произойдёт, то неизвестно, какое значение примет результат этого события.
Случайные события – первичные, неопределяемые (в строгом смысле) понятия в теории вероятностей, аналогичные понятиям точки и прямой – в геометрии.
Например, пусть игральная кость с пронумерованными гранями от 1 до 6 подбрасывается два раза. В этом опыте можно рассматривать следующие события: событие А – оба раза выпадет число 1; событие В – хотя бы один раз выпадет число 3; событие С – сумма выпавших чисел равна 8 и т.д.
Событие, которое обязательно наступит (никогда не произойдёт) в данном опыте, называется достоверным (невозможным). Достоверное событие обозначают символом Ω, а невозможное – Æ. Например, в опыте, состоящем в подбрасывании кости один раз – событие А – выпадение одного из чисел 1,2,3,4,5,6 – есть достоверное, а событие В – выпадение числа 7 – невозможное.
Два случайных события называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого в одном и том же испытании. (Таким образом, несовместные события не могут наступать одновременно). В противном случае, т.е. если наступление одного события не исключает наступление другого события в одном и том же испытании, то эти события называются совместными.
Например, если событие А – появление числа 2 при одном бросании кости, а событие В – появление чётного числа в этом же бросании, то события А и В совместные, а событие С – появление числа 2 при одном бросании кости и событие D – появление числа 3 в этом бросании – события несовместные.
События А1, А2, … , Аn называются попарно несовместными, если любые два из них являются несовместными.
События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным по сравнению с другими событиями.
События называются независимыми (зависимыми), если числовая характеристика возможности наступления одного события не зависит (зависит) от числовых характеристик наступления других событий (указанные числовые характеристики некоторых событий А, В, С, … называются вероятностями этих событий).
Определение. Совокупность попарно несовместных событий образуют полную группу событий для данного испытания, если в результате каждого испытания происходит одно и только одно из них.
Примеры полных групп событий: а) выпадение герба {Г} и выпадение цифры {Ц} при одном бросании монеты; б) попадание в цель и промах при одном выстреле по мишени; в) выпадение цифр «1», «2», «3», «4», «5», «6» при одном бросании кости.
Определение. События ω1, ω2, … , ωn, образующие полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, называются элементарными событиями.
Элементарными событиями являются выпадение цифр «1», … ,«6» при бросании кости. Эти события несовместны, равновозможны и образуют полную группу (предполагается, что кость является однородной и центрированной).
Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий и обозначается Ω. Например, в результате бросания кости выпадение цифры i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 образует пространство Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Элементарные события, составляющие пространство Ω, обозначаются ω1, ω2, …, ω6.
Замечание. Кроме случайных событий в теории вероятностей вводятся в рассмотрение случайные величины. Случайная величина – это переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможных значений. Случайные величины в данном пособии рассматриваются более подробно в главе 3.
НОУ ИНТУИТ | Лекция | Условная вероятность и независимость
Аннотация: Условная вероятность. Независимость событий. Независимость в совокупности. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Ключевые слова: вероятность, Исход, определение, равенство, пересечение, ПО, несовместное событие, место, грани, полная группа, знание
Условная вероятность
Пример 29. Игральная кость подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трех очков. Какова при этом вероятность того, что выпало нечетное число очков?
intuit.ru/2010/edi»>Пусть событие означает, что выпало более трех
очков,
событие — выпало нечетное число очков. Как
понимать вероятность события , если известно, что
случилось?
Знаем, что произошло событие , но все равно не знаем,
что именно выпало на кости. Однако теперь возможностей осталось только
три:
могло выпасть , или очков.
Событию из этих равновозможных исходов благоприятен
единственный исход:
выпадение пяти очков.
Поэтому искомая вероятность равна .Итак, при вычислении условной вероятности события при случившемся событии мы ищем долю исходов, благоприятствующих , среди всех исходов события . Эту условную вероятность будем обозначать .
Определение 12. Условной вероятностью события при условии, что произошло событие , называется число
Условная вероятность определена только в случае, когда .
intuit.ru/2010/edi»>Следует отличать условную вероятность
одного события при осуществлении другого
от вероятности им одновременно произойти.Это определение бывает полезно использовать не для вычисления условной вероятности, а для последовательного вычисления вероятности нескольким событиям случиться одновременно, если известны соответствующие условные вероятности. Справедливы следующие «теоремы умножения вероятностей».
Теорема 9. Если и , то
Теорема 10. Для любых событий верно равенство:
если все участвующие в нем условные вероятности определены.
Упражнение. Доказать теорему 10 методом математической индукции. Доказать, что все условные вероятности в теореме 10 определены тогда и только тогда, когда .
Независимость событий
intuit.ru/2010/edi»>Определение 13.
События и называются
независимыми,
если .Пример 30. Из колоды в 36 карт наугад берут одну. Независимы ли события «вынут туз» и «вынута пиковая карта»?
Решение. Вероятность вытянуть туза равна . Вероятность вытянуть пиковую карту равна . Пересечение этих событий означает появление туза пик и имеет вероятность . Cобытия и независимы, так как
Естественно считать события и независимыми, когда условная вероятность при условии, что произошло, остается такой же, как и безусловная. Убедимся, что этим свойством обладают события, независимые согласно определению 13.
Свойство 4. Пусть . Тогда события и независимы тогда и только тогда, когда .
Упражнение.
Доказать по определению условной
вероятности.
Независимые события возникают, например, при повторении испытаний. Выпадение герба и выпадение решки при двух разных бросках монеты независимы. Любые события, относящиеся к двум разным подбрасываниям игральной кости, независимы.
Свойство 5. Пусть события и несовместны. Тогда независимыми они будут только в том случае, если или .
Это свойство означает, что в невырожденном случае (когда вероятности событий положительны) несовместные события не могут быть независимыми. Зависимость между ними — просто причинно следственная: если , то , т.е. при выполнении событие не происходит.
Упражнение. Доказать с помощью свойства монотонности вероятности, что
событие ,
вероятность которого равна нулю или единице,
не зависит ни от какого события , в том числе и от самого себя.
Свойство 6. Если события и независимы, то независимы и события и , и , и .
Доказательство. Так как , и события и несовместны, то . Поэтому . Остальные утверждения вытекают из первого.
Если у нас не два, а большее число событий, выполнение только одного равенства вовсе не означает независимости этих событий. Например, при таком равенстве события и вполне могут оказаться зависимыми.
Пример 31. Пусть . События обладают свойством
что не мешает событиям и быть зависимыми:
Хотелось бы независимостью нескольких событий считать такое свойство, при котором любые комбинации этих событий будут независимы между собой: например, независимы и .
intuit.ru/2010/edi»>Определение 14.
События называются
независимыми в совокупности, если для любого и
любого
набора различных меж собой индексов имеет место равенство| ( 4.1) |
Замечание. Если события независимы в совокупности, то они попарно независимы, т.е. любые два события и независимы. Достаточно в равенстве (4.1) взять . Обратное, как показывает следующий пример, неверно: из попарной независимости не вытекает независимость в совокупности.
Пример 32(пример Бернштейна).
Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно
в красный, синий, зеленый цвета, а четвертая грань содержит все три цвета.
Событие ( , ) означает, что выпала
грань, содержащая
красный (соответственно синий, зеленый) цвета.
Вероятность каждого из этих событий равна , так как каждый цвет есть на двух гранях из четырех. Вероятность пересечения любых двух событий равна , так как только одна грань из четырех содержит два цвета. Поэтому любые два события из трех независимы, так как .
Но вероятность события (на грани есть все три цвета) тоже равна , а не , т.е. события не являются независимыми в совокупности.
Заметьте, что равенство (4.1) выполнено при , но не при .
Произведение событий. Теорема умножения вероятностей
Глава 3.
Основные теоремы теории вероятностей и следствия из них
Теорема сложения вероятностей несовместных
Событий
Во второй главе было показано, как можно определить вероятность отдельного случайного события при выполнении определенных условий.
Как известно, со случайными событиями можно проводить арифметические действия, главными из которых являются сложение и умножение событий. Теория вероятностей позволяет с помощью своих основных теорем найти вероятность суммы и произведения событий, т.е. определить либо вероятность появления хотя бы одного из рассматриваемых событий, либо вероятность одновременного появления этих событий.
К основным теоремам теории вероятностей относятся:
1. Теорема сложения вероятностей.
2. Теорема умножения вероятностей.
Рассмотрим теорему сложения вероятностей для частного случая. Предположим, что А и В несовместные события, причем будем считать, что вероятности этих событий известны, или могут быть найдены.
Теорема 3.1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.
Доказательство. Пусть n – общее число всех равновозможных элементарных событий испытания, в котором могут появиться события А или В .
Обозначим через т А и т В число элементарных событий благоприятствующих событиям А и В соответственно. Так как события А и В несовместны, то сумме этих событий А + В благоприятствуют т А + т В элементарных событий. Поэтому .
Теорема доказана.
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.
Доказательство нетрудно провести, используя метод математической индукции.
Пример 3.1. В ящике находятся 8 белых, 5 черных и 10 красных шаров. Случайным образом выбирается один шар. Какова вероятность того, что этот шар не белый?
Решение. Пусть событие А – выбор черного шара, В – выбор красного шара. Тогда событие С = А + В определяет выбор не белого шара (либо черного, либо красного).
По классической формуле . По теореме 3.
1 окончательно получаем .■
Пример 3.2. На фирме имеется две вакантные должности, на занятие которых претендуют трое мужчин и пять женщин. Найти вероятность того, что среди взятых на работу людей будет хотя бы один мужчина, если отбор претендентов производится случайным образом.
Решение. Пусть событие С состоит в том, что среди взятых на работу людей будет хотя бы один мужчина. Очевидно, что событие С произойдет в том случае, когда произойдет одно из следующих двух несовместных событий: А – приняты на работу двое мужчин; В – приняты на работу одна женщина и один мужчина. Таким образом, С = А + В .
Найдем вероятности событий А и В , используя классическую формулу, получим
и .
События А и В – несовместны, следовательно, можно применить теорему 3.1. Получаем . ■
При решении примера 3.2 не было рассмотрено только одно из возможных событий, состоящее в том, что будут приняты на работу две женщины.
Обозначим его буквой D и найдем его вероятность. Применяя классическую формулу, получим
.
Нетрудно понять, что события А , В и D образуют полную группу для испытания: выбор двух человек из восьми. Найдем сумму вероятностей этих событий: . Полученный результат можно представить в общем виде.
Теорема 3.2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.
Доказательство. Пусть события А 1 , А 2 , …, А n образуют полную группу для некоторого испытания. Тогда по определению в результате этого испытания одно из событий обязательно произойдет, т.е. сумма этих событий является достоверным событием. Вероятность достоверного события равна 1. Следовательно, справедливо равенство:
Напомним, что по определению полной группы она состоит из несовместных событий. Тогда по следствию из теоремы 3.1 получаем
Теорема доказана.
Следствие . Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
Доказательство непосредственно следует из того, что противоположные события образуют полную группу, следовательно, по теореме 3.2 имеет место формула
(3.3)
где А и Ā – противоположные события.
Следствие доказано.
При решение задач чаще применяется преобразованная формула (3.3), а именно
(3.4)
Пример 3.3. Из девяти кандидатов для выбора на три должности пятеро имеют диплом с отличием. Все имеют одинаковые шансы быть выбранными на эти должности. Определить вероятность того, что среди выбранных будет хотя бы один, имеющий диплом с отличием.
Решение. Пусть событие А означает, что среди выбранных кандидатов хотя бы один имеет диплом с отличием. Очевидно, что событие Ā противоположное А будет состоять в том, что все три выбранных человека не имеют диплома с отличием. Найдем вероятность противоположного события. Для этого применим классическую формулу, получаем
.
По формуле (3.3) найдем вероятность события А :
. ■
Решение примера 3.3 может быть получено и другим, более длинным способом. Нетрудно понять, что событие А есть сумма следующих событий:
А 1 – среди выбранных только один кандидат с дипломом с отличием;
А 2 – среди выбранных два кандидата с дипломом с отличием;
А 3 – среди выбранных три кандидата с дипломом с отличием.
По классической формуле получаем
Очевидно, что события А 1 , А 2 , А 3 – несовместны, следовательно можно применить теорему 3.3. Таким образом
Понятно, что первый способ решения намного проще.
В выше рассмотренных теоремах и примерах предполагалась несовместность соответствующих случайных событий. Естественно, может возникнуть задача, в которой требуется найти вероятность появления хотя бы одного из совместных событий. Теорему 3.1 в этом случае применять нельзя. Существует более общий вид теоремы сложения вероятностей, который использует понятие вероятности произведения событий.
Теорема умножения вероятностей событий
Пусть рассматривается некоторое испытание, в котором возможно появление случайного события А . Если кроме условия испытания никаких ограничений для события А не существует, то вероятность события А называют безусловной вероятностью. Если же задаются некоторые дополнительные условия, то появляется условная вероятность этого события. Чаще всего дополнительные условия связаны с появлением другого случайного события. Итак, при анализе того или иного явления может возникнуть вопрос: влияет ли на возможность появления некоторого события А наступление другого случайного события В и если влияет, то как? Например, наступление В ведет к обязательному наступлению события А или, наоборот, исключает возможность появления события А , а может быть лишь изменяет значение вероятности. Легко понять, что если событие В является благоприятствующим событию А , то при наступлении события В событие А всегда наступает, или если А и В – два несовместных в данном испытании события, то при наступлении события В событие А никогда не будет происходить.
Однако это так называемые крайние случаи. Наибольший интерес возникает тогда, когда наступление события В как-то изменяет (увеличивает или уменьшает) вероятность появления события А , не превращая его в достоверное или невозможное при новых условиях событие. Характеристикой такого влияния одного события на другое служит условная вероятность.
Условной вероятностью события А при условии В называется вероятность события А , вычисленная в предположении, что событие В уже произошло.
Аналогично можно определить условную вероятность события В , при условии, что событие А уже произошло.
Пример 3.4. Пусть в урне находятся 6 белых и 8 черных шаров. Из урны последовательно друг за другом случайным образом вынимают два шара, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что второй шар окажется белым, если первым был вынут также белый шар?
Решение . Пусть событие А состоит в том, что второй шар окажется белым, а событие В , что первый шар белый.
В задаче требуется найти вероятность события А , при условии, что событие В произошло, т.е. найти . Если событие В произошло, то в урне осталось 13 шаров, из которых 5 белых. Следовательно, вероятность вынуть белый шар из 13, среди которых 5 белых равна .■
Отметим два момента.
Во-первых, для события А может быть найдена не только его условная вероятность, но и так называемая полная вероятность события, т.е. вероятность того, что второй шар окажется белым при выборе первым любого шара. О нахождении такой вероятности речь пойдет в пункте 3.4.
Во-вторых, условие примера может быть так изменено, что цвет первого выбранного шара вообще не будет влиять на вероятность появления события А . Будем считать, что шары после фиксирования их цвета возвращаются обратно в урну. Тогда, очевидно, вероятность события А не зависит от того, какого цвета был выбран первый шар, т.е. от появления (или не появления) события В . В этом случае , т.
е. вероятность события А совпадает с условной вероятностью этого события. Сами же события А и В являются независимыми в данном испытании.
Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае, события называются зависимыми.
Из определения следует, что для независимых событий А и В справедливы формулы:
. (3.5)
Получим формулу для нахождения условной вероятности, используя классическое определение. Пусть испытание состоит из n равновозможных элементарных событий. Число событий, благоприятствующих событию А , равно т А ; событию В – т В ; произведению событий АВ – т АВ . Очевидно, что и . Так как событию В благоприятствует т В исходов, из которых только т А благоприятствуют А , то условная вероятность равна
. Окончательно, получаем
(3.6)
Необходимо обратить внимание на то, что знаменатель в формуле (3.6) отличен от нуля, так как по условию событие В может произойти, т.е. т В не равно нулю.
Рассуждая аналогично, можно получить формулу для условной вероятности события В : . Но, так как событие АВ ничем не отличается от события ВА и , то условную вероятность события В можно определить по формуле
(3.7)
В наиболее полных, применяющих аксиоматический подход, курсах теории вероятностей формулы (3.6) и (3.7) принимают за определение условной вероятности, а формулы (3.5) – за определение независимых событий.
Из формул (3.6) и (3.7) непосредственно вытекает следующая теорема умножения вероятностей.
Теорема 3.2. Вероятность одновременного появления двух случайных событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило, т. е.
(3.8)
Следствие. Вероятность одновременного появления нескольких случайных событий равна произведению вероятности одного события на условные вероятности всех остальных, при этом вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились, т.е.
Пример 3.5. В лотереи находятся 20 билетов, из которых 5 выигрышных. Случайным образом выбирают последовательно друг за другом 3 билета без возвращения. Определить вероятность того, что первый, второй и третий билеты будут выигрышными.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что первым выберут выигрышный билет, событие В – в том, что второй билет будет выигрышным и, наконец, С – третий билет выигрышный. Очевидно, что .
Условная вероятность события В при условии, что событие А произошло, т.е. из лотереи был выбран один выигрышный билет, равна (всего билетов осталось 19, из них 4 выигрышных).
Условная вероятность события С при условии, что события А и В произошли, т.е. были выбраны два выигрышных билета, равна .
По следствию к теореме 3.2 вероятность произведения равна
Необходимо отметить, что задача 3.5 может быть решена с помощью классической формулы и формул комбинаторики:
.
Теорема 3.2 верна для любых случайных событий А и В . В частном случае, когда события А и В являются независимыми справедливо следующее утверждение.
Теорема 3.3. Вероятность одновременного появления двух несовместных событий А и В равна произведению вероятностей этих событий, т.е.
Доказательство. События А и В – независимы. По теореме 3.2 с учетом формулы (3.5), получим
Теорема доказана.
Итак, теорема 3.3 говорит о том, что вероятность произведения независимых событий находится по формуле (3.9). Верно и обратное утверждение.
Теорема 3. 4. Если для двух событий верна формула (3.9), то эти события независимы.
Приведем без доказательства несколько важных свойств, справедливых для независимых событий.
1. Если событие В не зависит от А , то событие А не зависит от В .
2. Если события А и В – независимы, то независимы и события А и .
3. Если два события независимы, то независимы и противоположные им события.
Теорема 3.3 может быть обобщена на конечное число событий. Однако, прежде чем это сделать, необходимо более подробно остановиться на понятии независимости трех и более событий.
Для группы, состоящей из трех и более событий, существует понятие попарной независимости и независимости в совокупности.
События А 1 , А 2 , …, А n называются попарно независимыми , если любые два из этих событий независимы.
События А 1 , А 2 , …, А n называются независимыми в совокупности (или просто независимыми) , если они попарно независимы и независимы каждое событие и все возможные произведения всех остальных.
Например, три события А 1 , А 2 , А 3 независимы в совокупности, если независимы следующие события:
А 1 и А 2 , А 1 и А 3 , А 2 и А 3 ,
А 1 и А 2 А 3 , А 2 и А 1 А 3 , А 3 и А 1 А 2 .
Теорема 3.5. Если события А 1 , А 2 , …, А n независимы в совокупности, то вероятность их одновременного появления вычисляется по формуле:
Доказательство. Покажем, что формула верна для трех событий. Если событий больше трех, то справедливость формулы доказывается методом математической индукции.
Итак, покажем, что . По условию теоремы события А 1 , А 2 , А 3 независимы в совокупности. Следовательно, независимыми являются, например, два события А 1 А 2 и А 3 . По формуле (3.9), получим . По условию события А 1 и А 2 также независимы. Применив к первому сомножителю формулу (3.9), окончательно, получим .
Теорема доказана.
Необходимо отметить, что если события попарно независимы, то отсюда не следует, что они будут и независимы в совокупности. И, наоборот, если события независимы в совокупности, то они, очевидно, по определению будут и попарно независимы.
Рассмотрим пример событий попарно независимых, но зависимых в совокупности.
Пример 3.6. Пусть в коробке лежат 4 одинаковых карточки с написанными на них числами:
Случайным образом выбирает одну карточку. Событие А означает, что выбрали карточку, на которой есть число 1, событие В предполагает, что на выбранной карточке есть число 2, событие С – число 3. Выяснить являются ли события А , В и С попарно независимыми или независимыми в совокупности.
Решение. Вероятность каждого из событий А , В и С можно найти по классической формуле (всего карточек 4, на двух из них есть числа 1, 2, 3 соответственно): .
Покажем, что события А , В и С попарно независимы. Выберем любые два события, например, А и В . Вероятность их произведения , так как одновременное появление чисел 1 и 2 может быть только на одной карточке из четырех.
Таким образом, справедливо равенство . По теореме 3.4 события А и В независимы. Аналогично можно показать независимость событий В и С , а также событий А и С . Попарная независимость доказана.
Покажем, что эти события не являются независимыми в совокупности. Вероятность одновременного появления всех трех событий, т.е. появления всех трех чисел, равна , так как только на одной карточке из четырех есть все три числа. Произведение вероятностей событий равно . Таким образом, , следовательно, независимость в совокупности отсутствует. ■
Из теоремы умножения вероятностей и теоремы сложения вероятностей несовместных событий непосредственно следует теорема сложения вероятностей совместных событий.
\(\blacktriangleright\) Если для выполнения события \(C\) необходимо выполнение обоих совместных (которые могут произойти одновременно) событий \(A\) и \(B\) (\(C=\{A\) и \(B\}\) ), то вероятность события \(C\) равна произведению вероятностей событий \(A\) и \(B\) .
Заметим, что если события несовместны, то вероятность их одновременного происхождения равна \(0\) .
\(\blacktriangleright\) Каждое событие можно обозначить в виде круга. Тогда если события совместны, то круги должны пересекаться. Вероятность события \(C\) – это вероятность попасть в оба круга одновременно.
\(\blacktriangleright\)
Например, при подбрасывании игральной кости найти вероятность \(C=\)
{выпадение числа \(6\)
}.
Событие \(C\)
можно сформулировать как \(A=\)
{выпадение четного числа} и \(B=\)
{выпадение числа, делящегося на три}.
Тогда \(P\,(C)=P\,(A)\cdot P\,(B)=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16\)
.
Задание 1 #3092
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В магазине продаются кроссовки двух фирм: Dike и Ananas. Вероятность того, что случайно выбранная пара кроссовок будет фирмы Dike, равна \(0,6\)
. Каждая фирма может ошибиться в написании своего названия на кроссовках. Вероятность того, что фирма Dike ошибется в написании названия, равна \(0,05\)
; вероятность того, что фирма Ananas ошибется в написании названия, равна \(0,025\)
. Найдите вероятность того, что случайно купленная пара кроссовок будет с правильным написанием названия фирмы.
Событие A: “пара кроссовок будет с правильным названием” равно сумме событий B: “пара кроссовок будет фирмы Dike и с правильным названием” и C: “пара кроссовок будет фирмы Ananas и с правильным названием”.
Вероятность события B равна произведению вероятностей событий “кроссовки будут фирмы Dike” и “название фирма Dike написала правильно”: \
Аналогично для события C: \
Следовательно, \
Ответ: 0,96
Задание 2 #166
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Если Тимур играет белыми шашками, то он выигрывает у Вани с вероятностью 0,72. Если Тимур играет черными шашками, то он выигрывает у Вани с вероятностью 0,63. Тимур и Ваня играют две партии, причем во второй партии меняют цвет шашек. Найдите вероятность того, что Ваня выиграет оба раза.
Ваня выигрывает белыми с вероятностью \(0,37\) , а черными с вероятностью \(0,28\) . События “из двух партий Ваня выиграл белыми”\(\ \) и “из двух партий Ваня выиграл черными”\(\ \) – независимы, тогда вероятность их одновременного наступления равна \
Ответ: 0,1036
Задание 3 #172
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Вход в музей охраняют два охранника. Вероятность того, что старший из них забудет рацию равна \(0,2\) , а вероятность того, что младший из них забудет рацию равна \(0,1\) . Какова вероятность того, что у них не будет ни одной рации?
Так как рассматриваемые события независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей. Тогда искомая вероятность равна \
Ответ: 0,02
Задание 4 #167
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Прыгая с высоты 1 метр, Костя ломает ногу с вероятностью \(0,05\)
. Прыгая с высоты 1 метр, Ваня ломает ногу с вероятностью \(0,01\)
. Прыгая с высоты 1 метр, Антон ломает ногу с вероятностью \(0,01\)
. Костя, Ваня и Антон одновременно прыгают с высоты 1 метр. Какова вероятность того, что из них только Костя сломает ногу? Ответ округлите до тысячных.
События “при прыжке с высоты 1 метр Костя сломал ногу”\(,\ \) “при прыжке с высоты 1 метр Ваня не сломал ногу”\(\ \) и “при прыжке с высоты 1 метр Антон не сломал ногу”\(\ \) – независимы, следовательно, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей: \ После округления окончательно получаем \(0,049\) .
Ответ: 0,049
Задание 5 #170
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Максим и Ваня решили поиграть в боулинг. Максим справедливо прикинул, что в среднем он выбивает страйк один раз в восемь бросков. Ваня справедливо прикинул, что в среднем он выбивает страйк один раз в пять бросков. Максим и Ваня делают ровно по одному броску (независимо от результата). Какова вероятность того, что среди них не будет страйков?
Так как рассматриваемые события независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей. При этом вероятность того, что Максим не выбьет страйк равна \
Вероятность того, что Ваня не выбьет страйк равна \(1 — 0,2 = 0,8\)
. Тогда искомая вероятность равна \[\dfrac{7}{8}\cdot 0,8 = 0,7.\]
Ответ: 0,7
Задание 6 #1646
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Антон и Костя играют в настольный теннис. Вероятность того, что Костя попадет своим коронным ударом в стол равна \(0,9\) . Вероятность того, что Антон выиграет розыгрыш, в котором Костя попытался нанести коронный удар равна \(0,3\) . Костя попытался попасть своим коронным ударом в стол. Какова вероятность того, что Костя действительно попадет своим коронным ударом и в итоге выиграет этот розыгрыш?
Так как рассматриваемые события независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей. При этом вероятность того, что Антон не выиграет розыгрыш, в котором Костя попытался нанести свой коронный удар равна \(1 — 0,3 = 0,7\) . Тогда искомая вероятность равна \
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно
посмотреть ответы.
Общая постановка задачи: известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями. В этих задачах возникает необходимость в таких действиях над вероятностями, как сложение и умножение вероятностей.
Например, на охоте проиведены два выстрела. Событие A — попадание в утку с первого выстрела, событие B — попадание со второго выстрела. Тогда сумма событий A и B — попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов.
Задачи другого типа. Даны несколько событий, например, монета подбрасывается три раза. Требуется найти вероятность того, что или все три раза выпадет герб, или того, что герб выпадет хотя бы один раз. Это задача на умножение вероятностей.
Сложение вероятностей несовместных событий
Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.
Сумму событий A и B обозначают A + B или A ∪ B . Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B , или одновременно A и B .
Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.
Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:
Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В ) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.
Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.
Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие — «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А :
и события В :
События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:
Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:
Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:
Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.
Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q . В частности,
из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:
Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.
Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:
Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:
Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей — на странице «Различные задачи на сложение и умножение вероятностей» .
Сложение вероятностей взаимно совместных событий
Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.
Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:
Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ . Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:
Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ . Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:
Аналогично:
Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:
При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:
- взаимно независимыми;
- взаимно зависимыми.
Формула вероятности для взаимно независимых событий:
Формула вероятности для взаимно зависимых событий:
Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P (AB ) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:
Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:
- вероятность того, что победят обе автомашины;
- вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;
1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:
2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:
Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей —
на странице «Различные задачи на сложение и умножение вероятностей» .
Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A — выпадение герба на первой монете. Событие B — выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B .
Умножение вероятностей
Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.
При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.
Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:
Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.
Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:
Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?
Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово «конец».
Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.
Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.
Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а
также вычислять произведение нескольких событий —
на странице «Различные задачи на сложение и умножение вероятностей» .
Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле.
Заголовок выглядит страшновато, но в действительности всё очень просто. На данном уроке мы познакомимся с теоремами сложения и умножения вероятностей событий, а также разберём типовые задачи, которые наряду с задачей на классическое определение вероятности обязательно встретятся или, что вероятнее, уже встретились на вашем пути. Для эффективного изучения материалов этой статьи необходимо знать и понимать базовые термины теории вероятностей и уметь выполнять простейшие арифметические действия. Как видите, требуется совсем немного, и поэтому жирный плюс в активе практически гарантирован. Но с другой стороны, вновь предостерегаю от поверхностного отношения к практическим примерам – тонкостей тоже хватает. В добрый путь:
Теорема сложения вероятностей несовместных событий : вероятность появления одного из двух несовместных событий или (без разницы какого) , равна сумме вероятностей этих событий:
Аналогичный факт справедлив и для бОльшего количества несовместных событий, например, для трёх несовместных событий и :
Теорема-мечта =) Однако, и такая мечта подлежит доказательству, которое можно найти, например, в учебном пособии В. Е. Гмурмана.
Знакомимся с новыми, до сих пор не встречавшимися понятиями:
Зависимые и независимые событияНачнём с независимых событий. События являются независимыми , если вероятность наступления любого из них не зависит от появления/непоявления остальных событий рассматриваемого множества (во всех возможных комбинациях). …Да чего тут вымучивать общие фразы:
Теорема умножения вероятностей независимых событий : вероятность совместного появления независимых событий и равна произведению вероятностей этих событий:
Вернёмся к простейшему примеру 1-го урока, в котором подбрасываются две монеты и следующим событиям:
– на 1-й монете выпадет орёл;
– на 2-й монете выпадет орёл.
Найдём вероятность события (на 1-й монете появится орёл и на 2-й монете появится орёл – вспоминаем, как читается произведение событий !) . Вероятность выпадения орла на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты, следовательно, события и независимы.
Аналогично:
– вероятность того, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й решка;
– вероятность того, что на 1-й монете появится орёл и на 2-й решка;
– вероятность того, что на 1-й монете появится решка и на 2-й орёл.
Заметьте, что события образуют полную группу и сумма их вероятностей равна единице: .
Теорема умножения очевидным образом распространяется и на бОльшее количество независимых событий, так, например, если события независимы, то вероятность их совместного наступления равна: . Потренируемся на конкретных примерах:
Задача 3
В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.
Решение : вероятность извлечения стандартной или нестандартной детали из любого ящика не зависит от того, какие детали будут извлечены из других ящиков, поэтому в задаче речь идёт о независимых событиях. Рассмотрим следующие независимые события:
– из 1-го ящика извлечена стандартная деталь;
– из 2-го ящика извлечена стандартная деталь;
– из 3-го ящика извлечена стандартная деталь.
По классическому определению:
– соответствующие вероятности.
Интересующее нас событие (из 1-го ящика будет извлечена стандартная деталь и из 2-го стандартная и из 3-го стандартная) выражается произведением .
По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что из трёх ящиков будет извлечено по одной стандартной детали.
Ответ : 0,504
После бодрящих упражнений с ящиками нас поджидают не менее интересные урны:
Задача 4
В трех урнах имеется по 6 белых и по 4 черных шара. Из каждой урны извлекают наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что: а) все три шара будут белыми; б) все три шара будут одного цвета.
Опираясь на полученную информацию, догадайтесь, как разобраться с пунктом «бэ» 😉 Примерный образец решения оформлен в академичном стиле с подробной росписью всех событий.
Зависимые события . Событие называют зависимым , если его вероятность зависит от одного или бОльшего количества событий, которые уже произошли. За примерами далеко ходить не надо – достаточно до ближайшего магазина:
– завтра в 19.00 в продаже будет свежий хлеб.
Вероятность этого события зависит от множества других событий: завезут ли завтра свежий хлеб, раскупят ли его до 7 вечера или нет и т.д. В зависимости от различных обстоятельств данное событие может быть как достоверным , так и невозможным . Таким образом, событие является зависимым .
Хлеба… и, как требовали римляне, зрелищ:
– на экзамене студенту достанется простой билет.
Если идти не самым первым, то событие будет зависимым, поскольку его вероятность будет зависеть от того, какие билеты уже вытянули однокурсники.
Как определить зависимость/независимость событий?Иногда об этом прямо сказано в условии задачи, но чаще всего приходится проводить самостоятельный анализ. Какого-то однозначного ориентира тут нет, и факт зависимости либо независимости событий вытекает из естественных логических рассуждений.
Чтобы не валить всё в одну кучу, задачам на зависимые события я выделю следующий урок, а пока мы рассмотрим наиболее распространённую на практике связку теорем:
Задачи на теоремы сложения вероятностей несовместныхи умножения вероятностей независимых событий
Этот тандем, по моей субъективной оценке, работает примерно в 80% задач по рассматриваемой теме. Хит хитов и самая настоящая классика теории вероятностей:
Задача 5
Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,6. Найти вероятность того, что:
а) только один стрелок попадёт в мишень;
б) хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.
Решение : вероятность попадания/промаха одного стрелка, очевидно, не зависит от результативности другого стрелка.
Рассмотрим события:
– 1-й стрелок попадёт в мишень;
– 2-й стрелок попадёт в мишень.
По условию: .
Найдём вероятности противоположных событий – того, что соответствующие стрелки промахнутся:
а) Рассмотрим событие: – только один стрелок попадёт в мишень. Данное событие состоит в двух несовместных исходах:
1-й стрелок попадёт и 2-й промахнётся
или
1-й промахнётся и 2-й попадёт.
На языке алгебры событий этот факт запишется следующей формулой:
Сначала используем теорему сложения вероятностей несовместных событий, затем – теорему умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что будет только одно попадание.
б) Рассмотрим событие: – хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.
Прежде всего, ВДУМАЕМСЯ – что значит условие «ХОТЯ БЫ ОДИН»? В данном случае это означает, что попадёт или 1-й стрелок (2-й промахнётся) или 2-й (1-й промахнётся) или оба стрелка сразу – итого 3 несовместных исхода.
Способ первый : учитывая готовую вероятность предыдущего пункта, событие удобно представить в виде суммы следующих несовместных событий:
попадёт кто-то один (событие , состоящее в свою очередь из 2 несовместных исходов) или
попадут оба стрелка – обозначим данное событие буквой .
Таким образом:
По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что 1-й стрелок попадёт и 2-й стрелок попадёт.
По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность хотя бы одного попадания по мишени.
Способ второй : рассмотрим противоположное событие: – оба стрелка промахнутся.
По теореме умножения вероятностей независимых событий:
В результате:
Особое внимание обратите на второй способ – в общем случае он более рационален.
Кроме того, существует альтернативный, третий путь решения, основанный на умолчанной выше теореме сложения совместных событий.
! Если вы знакомитесь с материалом впервые, то во избежание путаницы, следующий абзац лучше пропустить.
Способ третий : события совместны, а значит, их сумма выражает событие «хотя бы один стрелок попадёт в мишень» (см. алгебру событий ). По теореме сложения вероятностей совместных событий и теореме умножения вероятностей независимых событий:
Выполним проверку: события и (0, 1 и 2 попадания соответственно) образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей должна равняться единице:
, что и требовалось проверить.
Ответ :
При основательном изучении теории вероятностей вам встретятся десятки задач милитаристского содержания, и, что характерно, после этого никого не захочется пристрелить – задачи почти подарочные. А почему бы не упростить ещё и шаблон? Cократим запись:
Решение : по условию: , – вероятность попадания соответствующих стрелков. Тогда вероятности их промаха:
а) По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что только один стрелок попадёт в мишень.
б) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что оба стрелка промахнутся.
Тогда: – вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.
Ответ :
На практике можно пользоваться любым вариантом оформления. Конечно же, намного чаще идут коротким путём, но не нужно забывать и 1-й способ – он хоть и длиннее, но зато содержательнее – в нём понятнее, что, почему и зачем складывается и умножается. В ряде случаев уместен гибридный стиль, когда прописными буквами удобно обозначить лишь некоторые события.
Похожие задачи для самостоятельного решения:
Задача 6
Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что при пожаре:
а) оба датчика откажут;
б) оба датчика сработают.
в) Пользуясь теоремой сложения вероятностей событий, образующих полную группу , найти вероятность того, что при пожаре сработает только один датчик. Проверить результат прямым вычислением этой вероятности (с помощью теорем сложения и умножения) .
Здесь независимость работы устройств непосредственно прописана в условии, что, кстати, является важным уточнением. Образец решения оформлен в академичном стиле.
Как быть, если в похожей задаче даны одинаковые вероятности, например, 0,9 и 0,9? Решать нужно точно так же! (что, собственно, уже продемонстрировано в примере с двумя монетами)
Задача 7
Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8. Вероятность того, что цель не поражена после выполнения первым и вторым стрелками по одному выстрелу равна 0,08. Какова вероятность поражения цели вторым стрелком при одном выстреле?
А это небольшая головоломка, которая оформлена коротким способом. Условие можно переформулировать более лаконично, но переделывать оригинал не буду – на практике приходится вникать и в более витиеватые измышления.
Знакомьтесь – он самый, который настрогал для вас немереное количество деталей =):
Задача 8
Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует настройки, равна 0,3, второй – 0,75, третий – 0,4. Найти вероятность того, что в течение смены:
а) все станки потребуют настройки;
б) только один станок потребует настройки;
в) хотя бы один станок потребует настройки.
Решение : коль скоро в условии ничего не сказано о едином технологическом процессе, то работу каждого станка следует считать не зависимой от работы других станков.
По аналогии с Задачей №5, здесь можно ввести в рассмотрение события , состоящие в том, что соответствующие станки потребуют настройки в течение смены, записать вероятности , найти вероятности противоположных событий и т.д. Но с тремя объектами так оформлять задачу уже не очень хочется – получится долго и нудно. Поэтому здесь заметно выгоднее использовать «быстрый» стиль:
По условию: – вероятности того, что в течение смены соответствующие станки потребуют настойки. Тогда вероятности того, что они не потребуют внимания:
Один из читателей обнаружил тут прикольную опечатку, даже исправлять не буду =)
а) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что в течение смены все три станка потребуют настройки.
б) Событие «В течение смены только один станок потребует настройки» состоит в трёх несовместных исходах:
1) 1-й станок потребует внимания и 2-й станок не потребует и 3-й станок не потребует
или :
2) 1-й станок не потребует внимания и 2-й станок потребует и 3-й станок не потребует
или :
3) 1-й станок не потребует внимания и 2-й станок не потребует и 3-й станок потребует .
По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что в течение смены только один станок потребует настройки.
Думаю, сейчас вам должно быть понятно, откуда взялось выражение
в) Вычислим вероятность того, что станки не потребуют настройки, и затем – вероятность противоположного события:
– того, что хотя бы один станок потребует настройки.
Ответ :
Пункт «вэ» можно решить и через сумму , где – вероятность того, что в течение смены только два станка потребуют настройки. Это событие в свою очередь включает в себя 3 несовместных исхода, которые расписываются по аналогии с пунктом «бэ». Постарайтесь самостоятельно найти вероятность , чтобы проверить всю задачу с помощью равенства .
Задача 9
Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания при одном выстреле только из первого орудия равна 0,7, из второго – 0,6, из третьего – 0,8. Найти вероятность того, что: 1) хотя бы один снаряд попадет в цель; 2) только два снаряда попадут в цель; 3) цель будет поражена не менее двух раз.
Решение и ответ в конце урока.
И снова о совпадениях: в том случае, если по условию два или даже все значения исходных вероятностей совпадают (например, 0,7; 0,7 и 0,7), то следует придерживаться точно такого же алгоритма решения.
В заключение статьи разберём ещё одну распространённую головоломку:
Задача 10
Стрелок попадает в цель с одной и той же вероятностью при каждом выстреле. Какова эта вероятность, если вероятность хотя бы одного попадания при трех выстрелах равна 0,973.
Решение : обозначим через – вероятность попадания в мишень при каждом выстреле.
и через – вероятность промаха при каждом выстреле.
И таки распишем события:
– при 3 выстрелах стрелок попадёт в мишень хотя бы один раз;
– стрелок 3 раза промахнётся.
По условию , тогда вероятность противоположного события:
С другой стороны, по теореме умножения вероятностей независимых событий:
Таким образом:
– вероятность промаха при каждом выстреле.
В результате:
– вероятность попадания при каждом выстреле.
Ответ : 0,7
Просто и изящно.
В рассмотренной задаче можно поставить дополнительные вопросы о вероятности только одного попадания, только двух попаданий и вероятности трёх попаданий по мишени. Схема решения будет точно такой же, как и в двух предыдущих примерах:
Однако принципиальное содержательное отличие состоит в том, что здесь имеют место повторные независимые испытания , которые выполняются последовательно, независимо друг от друга и с одинаковой вероятностью исходов.
§3. Независимость событий
Определение.СобытияAиBназываютсянезависимыми, если условная вероятность событияAпри условииBсовпадает с безусловной вероятностью событияA, т.е.
. (3.3.1)
Можно сформулировать и другое определение независимых событий и.
Определение.СобытияAиBнезависимы, если
. (3.3.2)
Очевидно, что данные два определения равносильны.
Пример 7. Пусть событияинезависимы. Доказать, что независимыми являются пары событийи,и,и.
Решение. Применяя определение независимости событий, и используя вероятность противоположного события, имеем
, т.е.;
, т.е..
Пример 8. Зависимы или независимы несовместные события.
Решение.Пусть событияинесовместные, т.е.,
причем. Тогда,
т.к. события не пересекаются. Следовательноизависимы.
Таким образом, несовместные события зависимы.
Пример 9. Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна карта. Рассматриваются следующие события:
— появление туза;
— появление карты красной масти;
— появление бубнового туза.
Зависимы или независимы следующие пары событий: 1) и, 2)и, 3)и?
Решение.
,, следовательно, события независимы;
,, следовательно, события зависимы;
,, следовательно, события зависимы.
Определение.Событиянезависимы в совокупности, если для всех
, выполнено равенство
Замечание.Из попарной независимости событийине следует, что событиянезависимы в совокупности.
Пример 10. Пусть эксперимент состоит
в выборе одного из четырех шаров. Пусть
три из них занумерованы цифрами 1, 2, 3, а
на четвертом шаре имеются все эти цифры.
Обозначим черезсобытие, состоящее в том, что на выбранном
шаре имеется цифра
.
Зависимы ли события,и.
Решение.Так как, каждая цифра встречается дважды, то
.
Так как две различные цифры присутствуют только на одном шаре, то
,
следовательно, события ,ипопарно независимы.
Все три различные цифры присутствуют только на одном шаре
.
Таким образом, получаем, что события ,изависимы в совокупности, в то время как они являются попарно независимыми.
Определение. События образуютполную группу несовместных событий (являются гипотезами), если они удовлетворяют двум требованиям:
они попарно несовместны, т.
е.
при;в результате опыта одно из событий обязательно должно произойти, т.е. .
Пусть имеется некоторое событие и известны вероятностии условные вероятности. Найдем вероятность.
Событие можно представить в виде (рис. 3.3):
,
причем события при, т.е. событияинесовместны.
Тогда по аксиоме сложения:
.
Далее, применяя теорему умножения вероятностей , получаем:
. (3.4.1)
Это и есть формула полной вероятности.
Пример 11. Имеются две урны: в первойбелых ичерных шаров; во второйбелых и черных шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают один шар. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
Решение.Пусть искомое событие— вынут белый шар. Рассмотрим следующие
гипотезы:
— переложен белый шар;
— переложен черный шар.
Очевидно, что
;
.
Теперь по формуле полной вероятности (3.4.1) получаем:
.
Пример 12. В условиях предыдущей задачи из первой урны перекладывают сразу три шара (предполагается, чтои). Найти вероятность того, что шар, взятый из второй урны, будет белым.
Решение.Пусть искомое событие— вынут белый шар. Рассмотрим гипотезы:
— вынутый шар принадлежит 1-ой урне;
— вынутый шар принадлежит 2-ой урне.
Так как во второй урне 3 шара принадлежат 1-ой урне, а принадлежат 2-ой, то вероятности гипотез равны:
.
Вероятность появления белого шара из
первой урны не зависит от того, вынимается
ли этот шар непосредственно из первой
урны или после перекладывания во вторую. Следовательно, условная вероятность
появления белого шара при условии того,
что он изначально находился в первой
урне, равна:
.
Аналогично условная вероятность появления белого шара при условии того, что он изначально находился во второй урне, равна:
.
По формуле полной вероятности (3.4.1) получаем:
.
Пример 13. Среди 30 экзаменационных билетов: 25 «хороших» и 5 «плохих». Какова вероятность, отвечая вторым, взять «хороший» билет?
Решение.Пусть искомое событие — второй отвечающий взял «хороший» билет. Рассмотрим следующие гипотезы:
— первый отвечающий взял «хороший» билет;
— первый отвечающий взял «плохой» билет.
Очевидно, что
;
.
По формуле полной вероятности (3.4.1), получим:
.
4.3.2.
События и вероятности
Глава 4. Комбинаторика
4.3.
4.3.2.
Все задачи курса теории вероятностей связаны с многократным повторением испытаний и фиксацией результата испытаний – событий. Рассмотрим различные события на примере бросков игрального кубика – A. Будем обозначать тот факт, что на кубике выпало некоторое число от 1 до 6, буквой A с индексом, обозначающим выпавшее число. Так, A3 обозначает, что при броске кубика A выпало число 3.
-
В нашем случае события A1, A2, A3, A4, A5, A6 образуют множество элементарных событий.
Для них верноДля бросков кубика класс элементарных событий может быть выбран и так: событие C1 заключается в том, что выпала грань с чётным количеством очков, C2 – с нечётным. Тогда p (C1) + p (C2) = 1. А вот класс, состоящий из событий «выпало чётное количество очков», «выпала единица», «выпала двойка», «выпала тройка», не является элементарным, хотя для них Это связано с тем, что событие «выпало 2» относится сразу к двум событиям этого класса: «выпало чётное количество очков» и «выпала двойка».
-
К классу возможных событий относятся все подмножества множества элементарных событий. Например, при броске «выпало 1 или 2», «выпало 3» и т. д.
-
Невозможное событие (O) определяется как событие, не входящее в класс возможных. В нашем случае это, например, «не выпало ничего» или «на кубике A выпало число 7». Вероятность невозможного события равна p (O) = 0.
-
Достоверное событие (I): случилось хотя бы одно событие из класса возможных. В нашем случае достоверно то, что на каждом из кубиков A и B выпадет любое число от 1 до 6. Вероятность достоверного события равна p (I) = 1.
-
Событие, противоположное событию A, обозначается как и состоит в том, что в результате испытания A не произошло. Например, в нашем случае значит, что на кубике A выпало число, не равное 1.
Сумма вероятностей события и его отрицания есть достоверное событие, то есть
Доказательство
-
Несовместными называются события, которые не могут произойти одновременно. Например, события A1 и A2 являются несовместными: на кубике A не могут одновременно выпасть 1 и 2.
-
Суммой событий A и B называется событие, при котором произошло или A, или B, обозначается оно A + B.
Например, A1 + A5 означает, что на кубике A выпало или 1, или 5. Можно доказать, что вероятности несовместных событий складываются, то есть, если бросать только кубик A, то p (A1 + A5) = p (A1) + p (A5) = 1/6 + 1/6 = 1/3.Доказательство
Если бросать одновременно два кубика A и B, то событием будет пара чисел (a, b), выпавших на кубиках A и B соответственно. Обозначим это событие AaBb. Например, A1B5 означает, что мы бросили два кубика одновременно, на кубике A выпало 1, а на B выпало 5.
-
Произведением событий A и B называется событие, при котором произошло и A, и B, обозначается оно AB.
-
Независимыми называются события A и B, если вероятность события A не зависит от того, наступило событие B или нет. Например, при броске двух кубиков A1 и B5 – независимые события.
Вероятность произведения независимых событий равна произведению соответствующих вероятностей. Вообще, равенство
является определением независимых событий.p (AiAk) = p(Ai) p(Ak) Доказательство
В нашем случае p (A1B5) = p (A1) p (B5) = 1/6 · 1/6 = 1/36.
-
Если вероятность наступления события A зависит от того, наступило событие B или нет, события называют зависимыми и вводят понятие условной вероятности. Условной вероятностью события A при условии того, что произошло событие B, называют величину . Соответственно, для зависимых событий p (AB) = p (B) p (A | B).
Пример 1
К каким классам событий (возможное, невозможное, достоверное) относятся: а) расстояние между двумя произвольными городами меньше, чем 50 тысяч километров; б) наугад выбранное слово русского языка заканчивается буквами «нзо»; в) Вася выиграет в лотерее?
Показать решение
Пример 2
Укажите события, противоположные данным: а) на кубике выпало 1; б) Света получила на экзамене «5»; в) после ночи наступает утро?
Показать решение
Пример 3
Совместны ли события: а) на первом кубике выпало 1, а на втором – 2; б) Юра пошёл в школу, а завтра будет дождь; в) Иванов в настоящее время является президентом страны, и Петров является президентом той же страны.
Показать решение
Пример 4
Уточним понятие независимых событий. Будем бросать две монеты и обозначим как событие A тот факт, что первая монета упадет гербом, событие B – вторая монета упадет гербом, событие C – на одной (и только на одной) монете выпадет герб. (Пример взят из книги Г. Секея «Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике».) Тогда события A, B, C попарно независимы, но два из них полностью определяют третье. Действительно, A и B независимы, так как результаты второго броска никак не зависят от первого броска, A и C (а также B и C) могут показаться зависимыми, но перебором вариантов можно получить, что p (AC) = 1/4 = p(A) p(C), значит, они по определению независимые. С другой стороны, легко убедиться, что любые два события однозначно определяют третье. На этом примере хорошо видно, что события могут быть попарно независимы, но зависимы в совокупности.
Теперь, ознакомившись с языком теории вероятностей, мы можем дать более строгое определение вероятности и выписать основные её свойства.
Вероятностью события p(A) называется некоторая действительная функция, определённая на классе возможных событий E и удовлетворяющая следующим трём аксиомам, сформулированным А. Н. Колмогоровым.
|
Из перечисленных аксиом можно вывести следующие свойства вероятностей.
|
Пример 5
Пассажир ждёт трамвая № 2 или № 7 возле остановки, на которой останавливаются трамваи № 2, № 5, № 7 и № 24. Считая, что трамваи всех маршрутов появляются случайным образом (не по расписанию) одинаково часто, найдите вероятность того, что первый подошедший к остановке трамвай будет нужного пассажиру маршрута.
Показать решение
Пример 6
|
|
Пусть для некоторого стрелка вероятность попадания в область 1 мишени, изображённой на рисунке, равна 0,25, а вероятность попадания в область 2 – 0,15. Какова вероятность того, что стрелок попадёт либо в область 1, либо в область 2?
Показать решение
Главная Онлайн учебники База репетиторов России Тренажеры по математике Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн |
||||||||
|
||||||||
|
|
||||||||
Взаимоисключающие события
Взаимоисключающие события : не могут происходить одновременно.
Примеры:
- Повороты налево и направо являются взаимоисключающими (вы не можете делать и то, и другое одновременно)
- Подбрасывание монеты: орел и решка исключают друг друга
- Карты: короли и тузы взаимоисключающие
Что такое , а не Взаимоисключающие:
- Поворот налево и почесывание головы могут происходить одновременно
- королей и червей, потому что у нас может быть король червей!
Как здесь:
| Тузы и короли Взаимоисключающие (не могут быть оба) | Червы и Короли не Взаимоисключающие (могут быть оба) |
Вероятность
Давайте посмотрим на вероятности взаимоисключающих событий. Но сначала определение:
Вероятность события = Количество способов, которыми это может произойти Общее количество исходов
Пример: в колоде из 52 карт 4 короля. Какова вероятность выбрать короля?
Количество возможных вариантов: 4 (есть 4 короля)
Общее количество исходов: 52 (всего 52 карты)
Таким образом, вероятность = 4 52 знак равно 1 13
Взаимоисключающие
Когда два события (обозначим их «А» и «В») являются Взаимоисключающими, невозможно их совместное возникновение:
P(A и B) = 0
» Вероятность A и B вместе равна 0 (невозможно)»
Пример: Король И Королева
Карта не может быть Королем И Королевой одновременно!
- Вероятность выпадения Короля и ферзь равен 0 (невозможно)
Но для взаимоисключающих событий вероятность A или B равна сумме отдельных вероятностей:
P(A или B) = P(A) + P(B)
«Вероятность A или B равна вероятности A плюс вероятность B»
Пример: Король ИЛИ Королева
В колоде из 52 карт:
- вероятность появления Короля равна 1/ 13, значит P(Король)=1/13
- вероятность выпадения дамы также равна 1/13, поэтому P(ферзь)=1/13
Когда мы объединяем эти два События:
- Вероятность появления Короля или Дамы составляет (1/13) + (1/13) = 2/13
Что записывается так:
P(Король или Королева) = (1/13) + (1/13) = 2/13
Итак, имеем:
- P(Король и Королева) = 0
- P(Король или Королева) = (1/13) + (1/13) = 2/13
Специальное обозначение
Вместо «и» вы часто будете видеть символ ∩ (который является символом «пересечения», используемым в диаграммах Венна)
Вместо «или» вы часто будете видеть символ ∪ ( символ «Союз»)
Таким образом, мы можем также написать:
- P(Король ∩ Дама) = 0
- P(Король ∪ Дама) = (1/13) + (1/13) = 2/13
Пример: Забитые голы
Если вероятность:
- отсутствие голов (событие «А») равно 20%
- забить ровно 1 гол (Событие «Б») равно 15%
Тогда:
- Вероятность не забить гола и 1 гол равен 0 (Невозможно)
- Вероятность не забить гола или 1 гол равен 20% + 15% = 35%
Что записывается:
P(A ∩ B) = 0
P(A ∪ B) = 20% + 15% = 35%
Запоминание
Чтобы помочь вам вспомнить, подумайте:
«Или5 0 0
больше, чем
Также ∪ похоже на чашку, в которой больше , чем ∩
Не взаимоисключающие
Теперь давайте посмотрим, что происходит, когда события не являются взаимоисключающими .
Пример: черви и короли
червей и королей вместе — только король червей: |
But Hearts или Kings это:
- all the Hearts (из них 13)
- все короли (4 из них)
Но это дважды считается Королем Червей!
Итак, мы исправляем наш ответ, вычитая лишнюю часть «и»:
16 карт = 13 червей + 4 короля — 1 дополнительный король червей
Сосчитайте их, чтобы убедиться, что это работает!
В виде формулы это:
P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B)
«Вероятность A или B равна
Вероятность плюс вероятность B
минус Вероятность и B «
Вот та же Формула , но с использованием ∪ и ∩ :
P ( А ∪ В) = Р(А) + Р(В) — Р(А ∩ В)
Последний пример
16 человек изучают французский, 21 изучают испанский, всего 30 человек. Рассчитайте вероятности!
Это определенно случай , а не взаимоисключающих (вы можете изучать французский И испанский языки).
Скажем, b — сколько изучают оба языка:
- человек, изучающих французский Только должно быть 16-b
- человек, изучающих только испанский язык, должны быть 21-б
И получаем:
И мы знаем, что есть 30 человек, поэтому:
(16−b) + b + (21−b) = 30
37 − b = 30
b = 7
И мы можем вставьте правильные числа:
Теперь мы все это знаем:
- P(французский) = 16/30
- P (испанский) = 21/30
- P (только на французском языке) = 9/30
- P (только на испанском языке) = 14/30
- P (французский или испанский) = 30/30 = 1
- P (французский и испанский) = 7/30
Наконец, давайте сверим с нашей формулой:
P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B)
Поместите значения в:
30/30 = 16/30 + 21/30 − 7/30
Да, это работает!
Резюме:
Взаимоисключающие
- A и B вместе невозможно: P(A и B) = 0
- A или B является суммой A и B: Р(А или В) = Р(А) + Р(В)
Не взаимоисключающие
- A или B представляет собой сумму A и B минус A и B: P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B) )
Символы
- И это ∩ (символ «Пересечение»)
- Или это ∪ (символ «Союз»)
Статистика: правила вероятности
Статистика: правила вероятности«ИЛИ» или соединения
Взаимоисключающие события
Два события являются взаимоисключающими, если они не могут произойти одновременно. Другое слово, которое
означает, что взаимоисключающее является непересекающимся.
Если два события не пересекаются, то вероятность того, что они оба произойдут одновременно, равна 0.
Непересекающиеся: P(A и B) = 0
Если два события являются взаимоисключающими, то вероятность каждого из них равна сумме вероятности каждого события.
Специальное правило добавления
Действителен, только если события являются взаимоисключающими.
Р(А или В) = Р(А) + Р(В)
Пример 1:
Дано: P(A) = 0,20, P(B) = 0,70, A и B не пересекаются
Мне нравится использовать так называемое совместное распределение вероятностей. (Поскольку дизъюнктность ничего не значит в
общее, совместное — это то, что у них общего, поэтому значения, находящиеся во внутренней части
таблица — пересечения или «и» каждой пары событий). «Маргинал» — это другое слово для итогов
— это называется маргинальным, потому что они появляются на полях.
| Б | Б’ | Маргинальный | |
| А | 0,00 | 0,20 | 0,20 |
| А’ | 0,70 | 0,10 | 0,80 |
| Маргинальный | 0,70 | 0,30 | 1,00 |
Значения красного цвета даны в задаче. Общая сумма всегда равна 1.00. Остальные значения
получаются сложением и вычитанием.
Не взаимоисключающие события
В событиях, которые не являются взаимоисключающими, есть некоторое совпадение. Когда добавляются P(A) и P(B), вероятность пересечения (и) прибавляется дважды. Чтобы компенсировать это двойное добавление, пересечение нужно вычесть.
Общие правила добавления
Действует всегда.
Р(А или В) = Р(А) + Р(В) - Р(А и В)
Пример 2:
Учитывая P(A) = 0,20, P(B) = 0,70, P(A и B) = 0,15
| Б | Б’ | Маргинальный | |
| А | 0,15 | 0,05 | 0,20 |
| А’ | 0,55 | 0,25 | 0,80 |
| Маргинальный | 0,70 | 0,30 | 1,00 |
Интерпретация таблицы
Определенные вещи можно определить из совместного распределения вероятностей. Взаимоисключающие события
будет иметь нулевую вероятность. Все инклюзивные события будут иметь ноль напротив перекрестка. Все
включительно означает, что вне этих двух событий нет ничего: P(A или B) = 1.
| Б | Б’ | Маргинальный | |
| А | A и B взаимно Эксклюзивно, если это значение равно 0 | . | . |
| А’ | . | A и B включают все включено, если это значение равно 0 | . |
| Маргинальный | . | . | 1,00 |
«И» или пересечения
Независимые события
Два события независимы, если появление одного не меняет вероятности другого происходит.
Примером может быть бросок 2 на кубике и подбрасывание орла на монете. Роллинг 2 не влияют на вероятность переворота головы.
Если события независимы, то вероятность того, что они оба произойдут, является произведением вероятности каждого события.
Специальное правило умножения
Действительно только для независимых событий
Р(А и В) = Р(А) * Р(В)
Пример 3:
P(A) = 0,20, P(B) = 0,70, A и B независимы.
| Б | Б’ | Маргинальный | |
| А | 0,14 | 0,06 | 0,20 |
| А’ | 0,56 | 0,24 | 0,80 |
| Маргинальный | 0,70 | 0,30 | 1,00 |
0,14 потому, что вероятность A и B равна вероятности A, умноженной на вероятность B или
0,20 * 0,70 = 0,14.
Зависимые события
Если возникновение одного события влияет на вероятность возникновения другого, то события зависимы.
Условная вероятность
Вероятность того, что событие B произойдет так, что событие A уже произошло, читается как «вероятность B при данном A» и записывается: P(B|A)
Общее правило умножения
Работает всегда.
Р(А и В) = Р(А) * Р(В|А)
Пример 4:
Р(А) = 0,20, Р(В) = 0,70, Р(В|А) = 0,40
Хороший способ думать о P(B|A) состоит в том, что 40 % A — это B. 40 % из 20 %, которые были в событии A, — это 8%, таким образом, пересечение равно 0,08.
| Б | Б’ | Маргинальный | |
| А | 0,08 | 0,12 | 0,20 |
| А’ | 0,62 | 0,18 | 0,80 |
| Маргинальный | 0,70 | 0,30 | 1,00 |
Новый взгляд на независимость
Следующие четыре оператора эквивалентны
- A и B являются независимыми событиями
- Р(А и В) = Р(А) * Р(В)
- Р(А|В) = Р(А)
- Р(В|А) = Р(В)
Последние два связаны с тем, что если два события независимы, появление одного из них не меняет
вероятность появления другого. Это означает, что вероятность появления В,
произошло ли А или нет, это просто вероятность того, что Б произойдет.
Продолжить с условными вероятностями.
Содержание Вероятность
. Если два события не исключают друг друга, значит ли это, что они независимы?
спросил
Изменено 1 год, 4 месяца назад
Просмотрено 17 тысяч раз 9c$ являются взаимоисключающими или независимыми. Я понял, что они не исключают друг друга. Значит ли это, что они определенно независимы? Если да, то как мне это обосновать?
независимость от вероятности
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Нет. Вы можете иметь зависимые события, которые не являются взаимоисключающими. 9c$ не зависят от $A$ (поскольку вероятность того, что я опоздаю, когда радио говорит о интенсивном движении, выше, чем в противном случае), но ни один из них не является взаимоисключающим, так как я, как правило, по-прежнему буду там в достаточное время, но не всегда буду там. быть там вовремя, независимо от того, что происходит $A$.
[Чтобы быть независимыми, два события с ненулевой вероятностью не могут быть взаимоисключающими, но обратное утверждение неверно.]
$\endgroup$
$\begingroup$
Предположим, что для ваших двух событий $A$ и $B$ $P(A)\ne 0$ и $P(B)\ne 0$.
Теперь предположим, что $A$ и $B$ исключают друг друга
, что означает $A\cap B =\varnothing$, тогда $P(A\cap B)=0 \tag{1}$
Если $ A$ и $B$ независимы, тогда
$P(A\cap B)=P(A)P(B)\ne0 \tag{2}$
, так как ни $P(A)$, ни $P( Б)$ равны $0$.
Вы видите, что $(1)$ и $(2)$ противоречат друг другу.
Таким образом, вы можете увидеть, являются ли $A$ и $B$ взаимоисключающими , то при дополнительном условии, что $P(A)$ и $P(B)$ оба отличны от нуля, они на самом деле зависимы , т. е. $P(A\cap B)\ne P(A)P (В) $.
Одним из примеров является болезнь и ее вакцина.
Предположим, у вас есть 100% эффективная вакцина, так что вы не можете заразиться, если вы были привиты. Тогда вакцинация и заражение болезнью исключают друг друга и являются зависимыми.
$\endgroup$
3
$\begingroup$
- События, которые не могут произойти одновременно, являются взаимоисключающими. Например. Если вы подбросите монету, выпадет орел или решка, поэтому событие выпадения орла и выпадение решки исключают друг друга.
- Если события независимы, исход одного не влияет на другое событие. Напр. 2 разных события подбрасывания двух монет независимы, так как исход одного не влияет на другой.
Таким образом, взаимная зависимость является предпосылкой взаимной исключительности, поэтому взаимоисключающие события не могут быть независимыми.
PS. Эти определения непрофессионала могут быть математически некорректными.
$\endgroup$
$\begingroup$
Рассмотрим этот пример:
Бросание костей только один раз:
- Событие A: Результат 1 или 6.
- Событие B: результат равен 1 или 3.
- Являются ли события A и события B взаимоисключающими? Нет, два события происходят одновременно, если результат равен 1.
- Событие A и событие B независимы? Нет, потому что если происходит событие А, это увеличивает вероятность того, что произойдет событие Б.
Значит, «не взаимоисключающие» подразумевает независимость? НЕТ!
$\endgroup$
1
Твой ответ
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
Объяснение урока: Взаимоисключающие события
В этом объяснении мы научимся определять взаимоисключающие и невзаимоисключающие события и находить их
вероятности.
Прежде чем обсуждать взаимоисключающие события, давайте вспомним составные события и правило сложения вероятностей.
Ключевые термины: составные события и правило сложения вероятностей
Пересечение событий 𝐴 и 𝐵, обозначаемое 𝐴∩𝐵, представляет собой совокупность всех исходов, являющихся элементами обоих множеств 𝐴 и 𝐵; это эквивалентно обоим происходящие события.
Объединение событий 𝐴 и 𝐵, обозначаемое 𝐴∪𝐵, представляет собой совокупность все исходы, являющиеся элементами множества 𝐴, множества 𝐵 или обоих множеств; это эквивалентно любое из происходящих событий.
Если событие 𝐴 в выборочном пространстве 𝑆 не может произойти, то его вероятность равна 0. Поскольку 𝑃(𝐴)=𝑛(𝐴)𝑛(𝑆)=0, мы должны иметь 𝑛(𝐴)=0. Другими словами, в 𝐴 нет элементов. Назовем множество без элементов пустым множеством и обозначим это множество через ∅.
Правило сложения для вероятности гласит, что
𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵).
Мы можем использовать это как мотивацию для определения. Если 𝑃(𝐴∩𝐵)=0, то правило сложения для вероятность упростилась бы до 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵).
Мы называем события, где 𝑃(𝐴∩𝐵)=0 взаимоисключающими событиями, поскольку оба события не могут происходят одновременно. Формально это можно записать следующим образом:
Определение: взаимоисключающие события и аддитивное правило для взаимоисключающих событий
Мы говорим, что 𝐴 и 𝐵 являются взаимоисключающими событиями, если 𝐴∩𝐵=∅. Это равносильно утверждению, что события не могут произойти одновременно, поскольку 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(∅)=0.
Мы говорим, что список событий 𝐴,𝐴,…,𝐴 является взаимоисключающим, если они попарно взаимно эксклюзивно, поэтому 𝐴∩𝐴=∅ для любого 𝑖 и 𝑗∈{1,2,…,𝑛}.
Если 𝐴 и 𝐵 исключают друг друга, то 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵).
Чтобы увидеть пример взаимоисключающих событий, мы можем вспомнить, что пересечение двух событий 𝐴 и
𝐵 можно показать на диаграмме Венна как часть диаграммы в перекрытии 𝐴 и
𝐵. Итак, на диаграмме Венна взаимоисключающие события имеют пустое пересечение.
На первой диаграмме между событиями нет пересечения, поэтому события исключают друг друга. Однако во втором На диаграмме есть пересечение между симпатиями к кошкам и собакам, поэтому события не исключают друг друга. Конечно, хотя есть пересечение, мы все равно должны проверить, что в пересечении есть хотя бы один элемент, чтобы быть уверенным.
В нашем первом примере мы определим, являются ли данные пары событий взаимоисключающими.
Пример 1. Определение взаимоисключающих событий
У Фариды есть колода из 52 карт. Она случайным образом выбирает одну карту и рассматривает следующие события:
Событие A: выбор карты, являющейся червой
Событие B: выбор черной карты
Событие C: выбор карты, не являющейся пикой
- Являются ли события А и В взаимоисключающими?
- Являются ли события A и C взаимоисключающими?
- Являются ли события B и C взаимоисключающими?
Ответ
Начнем с того, что вспомним, что два события 𝑋 и 𝑌 исключают друг друга, если они не могут
происходят одновременно. Другими словами, 𝑃(𝑋∩𝑌)=0.
Следовательно, чтобы определить, являются ли данные пары событий взаимоисключающими, нам нужно проверить, есть ли какие-либо карты из колоды из 52 карт, удовлетворяющих обоим условиям.
Часть 1
Есть два способа проверить, выполняются ли события «выбор карты, являющейся червой» и «выбор карты». черная карта» являются взаимоисключающими.
Во-первых, заметим, что все сердца красные, поэтому нет карт, которые были бы одновременно черными и червами. Поэтому оба события произойти не может, поэтому события взаимоисключающие.
Во-вторых, мы можем пометить все карточки для каждого события и проверить, не совпадают ли события.
Мы помечаем все сердца красным (событие A) и все черные карты зеленым (событие B). Мы видим, что нет перекрытия в этих событиях, поэтому они не могут происходить одновременно.
Следовательно, мы можем сказать, что да, события A и B исключают друг друга.
Часть 2
Как и в части 1, есть два способа проверить, являются ли события «выбор карты червовой» и «Выбор карты, не являющейся пикой», являются взаимоисключающими.
Во-первых, отметим, что все червы не являются пиками, поэтому выбор любой червы удовлетворит оба события. Затем, поскольку события могут происходить одновременно, мы можем заключить, что они не исключают друг друга.
Во-вторых, мы можем пометить все карточки для каждого события и проверить, не совпадают ли события.
Мы отмечаем червы красным цветом (событие A), а все карты, не являющиеся пиками, — синим цветом (событие C). Мы можем видеть, что все сердца удовлетворяют обоим событиям A и C, поэтому события не являются взаимоисключающими.
Следовательно, мы можем сказать, что нет, события A и C не исключают друг друга.
Часть 3
Есть два способа проверить, выполняются ли события «выбор черной карты» и «выбор карты». карта, не являющаяся пикой», являются взаимоисключающими.
Во-первых, мы можем отметить, что все трефы черные, а не пики, поэтому выбор любой из этих карт удовлетворяет обоим событиям.
Во-вторых, мы можем пометить все карточки для каждого события и проверить, не совпадают ли события.
Мы помечаем все черные карты фиолетовым (событие B) и все карты, не являющиеся пиками, синим (событие C). Мы можем видим, что все трефы удовлетворяют обоим событиям B и C, поэтому события не исключают друг друга.
Следовательно, мы можем сказать, что нет, события B и C не исключают друг друга.
Во втором примере мы будем использовать взаимную исключаемость двух событий и их вероятности, чтобы определить вероятность того или иного события.
Пример 2. Определение вероятности объединения двух взаимоисключающих событий
Два взаимоисключающих события 𝐴 и 𝐵 имеют вероятности 𝑃(𝐴)=110 и 𝑃(𝐵)=15. Найдите 𝑃(𝐴∪𝐵).
Ответ
Напомним, что поскольку 𝐴 и 𝐵 взаимоисключающие, то 𝑃(𝐴∩𝐵)=0. Следовательно, правило сложения для вероятности говорит нам, что когда 𝐴 и 𝐵
взаимоисключающие,
𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵).
Затем мы можем заменить 𝑃(𝐴)=110 и 𝑃(𝐵)=15 в это уравнение, чтобы получить 𝑃(𝐴∪𝐵)=110+15=310.
В нашем следующем примере мы будем использовать правило сложения для вероятности взаимоисключающих событий, чтобы определить вероятность происходит любое событие.
Пример 3. Определение вероятности события с использованием заданной связи между взаимоисключающими событиями
Предположим, что 𝐴 и 𝐵 — два взаимоисключающих события. Вероятность события 𝐵 происходит в пять раз больше, чем событие 𝐴 происходит. Учитывая, что вероятность вероятность того, что произойдет одно из двух событий, равна 0,18, найдите вероятность того, что произойдет событие 𝐴.
Ответ
Мы знаем, что вероятность появления 𝐴 или 𝐵
(𝑃(𝐴∪𝐵)) равно 0,18. Мы знаем, что 𝐴 и 𝐵
взаимоисключающие, и, напомним, это означает, что 𝑃(𝐴∩𝐵)=0. Мы также знаем, что
Вероятность появления 𝐵 в пять раз выше, чем вероятность 𝐴, поэтому 𝑃(𝐵)=5𝑃(𝐴). Затем мы можем вспомнить, что, поскольку 𝐴 и 𝐵 взаимоисключающие,
правило сложения для вероятности говорит нам
𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵).
Подставив 𝑃(𝐴∪𝐵)=0,18 и 𝑃(𝐵)=5𝑃(𝐴) в формула дает 0,18=𝑃(𝐴)+5𝑃(𝐴)0,18=6𝑃(𝐴).
Затем мы можем разделить уравнение на 6, чтобы получить 𝑃(𝐴)=0,186=0,03.
В нашем следующем примере мы будем использовать контекст задачи со словами, чтобы определить, являются ли данные события взаимоисключающими, а затем используйте это, чтобы определить вероятность возникновения любого события.
Пример 4. Использование правила сложения для определения вероятности объединения взаимоисключающих событий
В небольшом хоре есть тенор, 3 сопрано, баритон и меццо-сопрано. Если бы одно из их имен было
произвольно выбранных, определите вероятность того, что это имя певца-тенора или сопрано.
Ответ
Мы можем начать с краткого описания данной информации, чтобы получить четкое представление о составе хора.
Если предположить, что певцы придерживаются своих партий так, что, например, певец-сопрано не поет партии тенора или баритона и наоборот, то события выбора певца сопрано, тенора, баритона или меццо-сопрано исключают друг друга, так как никакие два события могут происходить одновременно.
В этом случае, чтобы найти вероятность того, что случайно выбранный певец является тенором или сопрано, мы можем использовать вероятностное правило 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵), поскольку, по 𝐴 и 𝐵, 𝑃(𝐴∩𝐵)=0.
Поскольку всего 6 певцов и только один тенор, вероятность того, что случайно выбранный певец является тенором является 𝑃()==16.tenornumberoftenorssizeofchoir
Аналогично, есть 3 певца-сопрано; следовательно, 𝑃()==36=12.сопранономерсопраноразмерхора
Применяя правило, которое гласит, что для взаимоисключающих событий,
𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵), имеем
𝑃(∪)=𝑃()+𝑃()=16+12=23. тенорсопранотенорсопрано
В нашем следующем примере мы будем использовать взаимоисключающие свойства трех событий и свойства вероятности, чтобы определить вероятность сложного события, происходящего в текстовой задаче.
Пример 5. Определение объединения двух взаимоисключающих событий
В мешке находятся красный, синий и зеленый шары, и один из них нужно выбрать, не глядя. Вероятность того, что выбранный шар красный, равна семикратной вероятности того, что выбранный шар будет синим. Вероятность того, что выбранный шар синий, равна вероятности того, что выбранный шар зеленый.
Найти вероятность того, что выбранный шар красный или зеленый.
Ответ
Мы можем назвать события выбора красного шара, синего шара и зеленого шара 𝑅, 𝐵 и
𝐺 соответственно. Поскольку выбранный шар может быть только одного из этих трех цветов, мы можем заключить, что события
являются взаимоисключающими. Мы хотим определить вероятность того, что выбранный шар будет красным или зеленым, т. е.
𝑃(𝑅∪𝐺).
Аддитивное правило вероятности говорит нам 𝑃(𝑅∪𝐺)=𝑃(𝑅)+𝑃(𝐺)−𝑃(𝑅∩𝐺).
Поскольку события взаимоисключающие, мы знаем, что 𝑃(𝑅∩𝐺)=0, поэтому 𝑃(𝑅∪𝐺)=𝑃(𝑅)+𝑃(𝐺).
В вопросе нам говорят, что вероятность того, что выбранный шар красный, равна семикратной вероятности того, что выбранный шар синий, поэтому 𝑃(𝑅)=7𝑃(𝐵).
Нам также говорят, что вероятность того, что выбранный шар синий, равна вероятности того, что выбранный шар зеленый, так 𝑃(𝐵)=𝑃(𝐺).
Наконец, поскольку в мешке только красные, синие и зеленые шары, а это взаимоисключающие события, имеем 𝑃(𝑅)+𝑃(𝐵)+𝑃(𝐺)=1.
Замена 𝑃(𝐺)=𝑃(𝐵) и 𝑃(𝑅)=7𝑃(𝐵) в это уравнение дает 7𝑃(𝐵)+𝑃(𝐵)+𝑃(𝐵)=19𝑃(𝐵)=1.
Разделение уравнения на 9 дает 𝑃(𝐵)=19.
Поскольку вероятность того, что выбранный шар будет синим, равна вероятности того, что выбранный шар будет зеленым, мы имеем
𝑃(𝐺)=19.
Поскольку вероятность того, что выбранный шар красный, в семь раз больше вероятности того, что выбранный шар синий, у нас есть 𝑃(𝑅)=79.
Подставляя эти значения в аддитивное правило вероятности для взаимоисключающих событий, получаем 𝑃(𝑅∪𝐺)=79+19=89.
В нашем последнем примере мы отметим, что два события не являются взаимоисключающими, а затем используем данные вероятности вместе с правилом сложения для вероятности, чтобы определить вероятность события.
Пример 6. Нахождение вероятности разности двух событий по вероятности каждого события, а также их пересечению
Вероятность того, что студент сдаст экзамен по физике, равна 0,71. Вероятность того, что они сдадут экзамен по математике составляет 0,81. Вероятность того, что они сдадут оба экзамена, равна 0,68. Какова вероятность того, что учащийся сдаст только экзамен по математике?
Ответ
Чтобы найти вероятность того, что ученик сдаст математику, но не сдаст физику, проиллюстрируем события в
Диаграмма Венна. Заметим, что поскольку существует перекрытие, события не являются взаимоисключающими и могут происходить вместе. Этот
дает нам следующее:
Теперь, если мы выделим на диаграмме известные нам вероятности события «сдал математику», то 𝑃()=0,81Математика и 𝑃(∩)=0,68МатематикаФизика, у нас есть
Событие «сдает математику» — это все, что находится внутри красного овала, вероятность которого равна 0,81. Перекрытие в центр диаграммы охватывает «сдает и математику, и физику» и имеет вероятность 0,68. Но мы хотим найдите вероятность прохождения математики, но не физики, которая занимает темно-фиолетовую секцию на диаграмме ниже.
Поскольку вероятность сдачи математики складывается из вероятности сдачи математики, но не физики, и вероятности сдачи пройдя оба, мы имеем 𝑃()=𝑃()+𝑃(∩)0,81=𝑃()+0,68.МатематикаМатематика, но не физикаМатематикаФизикаМатематика, но не физика
Преобразование этого дает нам
𝑃()=0,81−0,68=0,13. Математика, но не физика
Следовательно, вероятность того, что учащийся сдаст математику, но не сдаст физику, равна 0,13.
Давайте закончим повторением некоторых важных моментов из этого объяснения.
Ключевые моменты
- Мы говорим, что 𝐴 и 𝐵 являются взаимоисключающими событиями, если 𝐴∩𝐵=∅. Это эквивалентно утверждению, что события не могут произойти одновременно, поскольку 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(∅)=0.
- Мы говорим, что список событий является взаимоисключающим, если они попарно исключают друг друга.
- Если события 𝐴 и 𝐵 взаимоисключающие, то 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵).
- Если события 𝐴 и 𝐵 не исключают друг друга, то 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵). где 𝑃(𝐴∩𝐵)≠0
8.2: Взаимоисключающие события и правило добавления
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 37907
- Рупиндер Сехон и Роберта Блум
- Колледж Де Анза
Цели обучения
В этом разделе вы научитесь:
- Определять составные события, используя объединение, пересечение и дополнение.
- Идентифицировать взаимоисключающие события
- Используйте правило сложения для расчета вероятности объединения событий.
В прошлой главе мы научились находить объединение, пересечение и дополнение множества. Теперь мы будем использовать эти операции над множествами для описания событий.
- Объединение двух событий E и F, E \(\cup\) F, представляет собой множество исходов, которые находятся в E, или в F, или в обоих.
- пересечение двух событий E и F, E \(\cap\) F, представляет собой множество исходов, которые находятся как в E, так и в F.
- Дополнение события E, обозначаемое как E c , представляет собой множество исходов в выборочном пространстве S, которых нет в E.
Стоит отметить, что P(E c ) = 1 — P(E). Это следует из того, что если выборочное пространство имеет \(n\) элементов, а E имеет \(k\) элементов, то E 9{c}\right)=\frac{n-k}{n}=1-\frac{k}{n}=1-P(E) \nonumber \]
Особый интерес для нас представляют события, исходы которых не пересекаются. Мы называем эти события взаимоисключающими.
Два события E и F называются взаимоисключающими , если они не пересекаются: E \(\cap\) F = \(\varnothing\).
Далее мы определим, являются ли данная пара событий взаимоисключающими.
Пример \(\PageIndex{1}\)
Карта вытягивается из стандартной колоды. Определите, являются ли приведенные ниже пары событий взаимоисключающими.
E = {Вытянутая карта — туз}
F = {Вытянутая карта — черва}
Решение
Очевидно, туз червей принадлежит к обоим наборам. То есть
\[\mathrm{E} \cap \mathrm{F}=\{\text { Туз червей }\} \neq \varnothing \nonumber \]
Следовательно, события E и F не являются взаимно эксклюзив.
Пример \(\PageIndex{2}\)
Бросаются две игральные кости. Определите, являются ли приведенные ниже пары событий взаимоисключающими.
G = {Сумма граней равна шести}
H = {На одном кубике выпадает четверка}
Решение
Для ясности перечислим элементы обоих наборов.
G = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} и H = {(2, 4), (4, 2) }
Ясно, что G \(\cap\) H = {(2, 4), (4, 2)} \(\neq \varnothing\).
Следовательно, эти два набора не исключают друг друга.
Пример \(\PageIndex{3}\)
В семье трое детей. Определите, являются ли следующие пары событий взаимоисключающими.
M = {В семье есть хотя бы один мальчик}
N = {В семье все девочки}
Решение
Хотя ответ может быть ясен, мы перечислим оба множества.
M = { BBB, BBG, BGB, BGG, GBB, GBG, GGB } и N = { GGG }
Очевидно, M \(\cap\) N = \(\varnothing\)
Следовательно, события M и N являются взаимоисключающими.
Теперь мы рассмотрим задачи на объединение двух событий.
Для двух событий, E, F, определение вероятности E \(\cup\) F равнозначно нахождению вероятности того, что произойдет E, или произойдет F, или произойдет и то, и другое.
Пример \(\PageIndex{4}\)
Если бросается игральная кость, какова вероятность того, что выпадет четное число или число больше четырех?
Решение
Пусть E будет событием, когда число, выпавшее на кубике, четное, и пусть F будет событием, когда выпавшее число больше четырех.
Демонстрационное пространство S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Событие E = {2, 4, 6} и событие F = {5, 6}
Нам нужно найти P(E \(\cup\) F).
Поскольку P(E) = 3/6, а P(F) = 2/6, учащийся может сказать P(E \(\cup\) F) = 3/6 + 2/6. Это будет неверно, потому что элемент 6, который есть и в E, и в F, подсчитывался дважды, один раз как элемент E и один раз как элемент F. Другими словами, множество E \(\cup\) F имеет только четыре элемента, а не пять: положим E \(\cup\) F = { 2,4,5,6 }
Следовательно, P(E \(\cup\) F) = 4/6, а не 5/6 .
Это можно проиллюстрировать диаграммой Венна. Мы воспользуемся диаграммой Венна, чтобы повторно изучить пример \(\PageIndex{4}\) и вывести вероятностное правило, которое мы можем использовать для расчета вероятностей объединений событий.
Пример пространства S, события E и F и E \(\cap\) F перечислены ниже.
\[\mathrm{S}=\{1,2,3,4,5,6\}, \mathrm{E}=\{2,4,6\}, \mathrm{F}=\{5 ,6\}, \text { и } \mathrm{E} \cap \mathrm{F}=\{6\} \nonumber. \номер\]
На приведенном выше рисунке показаны буквы S, E, F и E \(\cap\) F.
Нахождение вероятности того, что E \(\cup\) F, равнозначно нахождению вероятности того, что произойдет E, или произойдет F, или произойдет и то, и другое.
Если мы подсчитаем количество элементов n(E) в E и добавим к нему количество элементов n(F) в F, точки как в E, так и в F будут подсчитаны дважды, один раз как элементы E и один раз как элементы числа F. Теперь, если мы вычтем из суммы n(E) + n(F) число n(E \(\cap\) F), мы удалим двусмысленность и получим правильный ответ. Так что, как правило,
\[\mathrm{n}(\mathrm{E} \cup \mathrm{F})=\mathrm{n}(\mathrm{E})+\mathrm{n}(\mathrm{F})-\ mathrm{n}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}) \номер\]
Разделив все уравнение на n(S), мы получим
\[\ frac{\ mathrm {n} (\ mathrm {E} \ cup \ mathrm {F})} {\ mathrm {n} (\ mathrm {S})} = \ frac {\ mathrm {n} ( \ mathrm {E})} {\ mathrm {n} (\ mathrm {S})} + \ frac {\ mathrm {n} (\ mathrm {F})} {\ mathrm {n} (\ mathrm {S} )} — \ frac {\ mathrm {n} (\ mathrm {E} \ cap \ mathrm {F})} {\ mathrm {n} (\ mathrm {S})} \ nonumber \]
Поскольку вероятность события равна количеству элементов в этом событии, деленному на количество всех возможных исходов, мы имеем
\[\mathrm{P}(\mathrm{E} \cup \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})-\ mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}) \номер\]
Применяя вышеописанное для примера \(\PageIndex{4}\), мы получаем
\[\mathrm{P}(\mathrm{E} \cup \mathrm{F})=3 / 6+2 / 6-1 / 6=4 / 6 \nonumber \]
Это потому, что, когда мы добавляем P(E) и P(F), мы добавляем P(E \(\cap\) F) дважды. Следовательно, мы должны вычесть P(E \(\cap\) F) один раз.
Это дает нам общую формулу, называемую Правило сложения , для нахождения вероятности объединения двух событий. Поскольку событие E \(\cup\) F — это событие, в котором произойдет E, ИЛИ произойдет F, ИЛИ произойдет и то, и другое, мы иногда называем это правилом сложения для событий OR. В нем указано
Правило сложения
\[\mathbf{P}(\mathbf{E} \cup \mathbf{F})=\mathbf{P}(\mathbf{E})+\mathbf{P}(\mathbf{F })-\mathbf{P}(\mathbf{E} \cap \mathbf{F}) \nonumber \]
Тогда и только тогда, когда два события \(\mathrm{E}\) и \(\mathrm {F}\) являются взаимоисключающими, тогда \(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}=\varnothing\) и \(\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F} )=0\), и мы получаем \(\mathrm{P}(\mathrm{E} \cup \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}( \mathrm{F})\)
Пример \(\PageIndex{5}\)
Если карта вытягивается из колоды, используйте правило сложения, чтобы найти вероятность получения туза или червы.
Решение
Пусть A — событие, состоящее в том, что карта — туз, а H — событие, что это черва.
Поскольку в колоде четыре туза и тринадцать червей,
P(A) = 4/52 и P(H) = 13/52.
Кроме того, поскольку пересечение двух событий состоит только из одной карты, туза червей, мы теперь имеем:
P(A \(\cap\) H) = 1/52
Нам нужно найти P(A \(\cup\) H):
\begin{aligned}
\mathrm{P}(\ mathrm{A} \cup \mathrm{H}) &=\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{H})-\mathrm{P}(\mathrm{A } \cap \mathrm{H}) \\
&=4 / 52+13 / 52-1 / 52=16 / 52
\end{выровнено}
Пример \(\PageIndex{6}\)
Бросаются две кости, и события F и T следующие:
F = {Сумма костей равна четырем} и T = {По крайней мере, одна кость показывает тройка}
Найти P(F \(\cup\) T).
Решение
Перечислим F и T и F \(\cap\) T следующим образом:
F = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
Т = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (1, 3), (2, 3) , (4, 3), (5, 3), (6, 3)}
F \(\cap\) T = {(1, 3), (3, 1)}
Так как P(F \ (\cup\) T) = P(F) + P(T) — P(F \(\cap\) T)
Имеем P(F \(\cup\) T) = 3/36 + 11 /36 — 2/36 = 12/36.
Пример \(\PageIndex{7}\)
Мистер Вашингтон ищет преподавателя математики в своем любимом общественном колледже в Купертино. Его трудоустройство зависит от двух условий: утвердит ли правление должность и выберет ли его комитет по найму. Вероятность того, что совет утвердит эту должность, составляет 80%, а вероятность того, что комитет по найму выберет его, составляет 70%. Если существует 90-процентная вероятность того, что будет выполнено хотя бы одно из двух условий — одобрение совета директоров или его избрание, — какова вероятность того, что г-н Вашингтон будет принят на работу?
Решение
Пусть A будет событием, когда правление одобрит позицию, а S будет событием, когда будет выбран г-н Вашингтон. Имеем
P(A) = 0,80, P(S) = 0,70 и P(A \(\cup\) S) = 0,90.
Нам нужно найти P(A \(\cap\) S).
Формула сложения утверждает, что
\[P(A \cup S)=P(A)+P(S)-P(A \cap S) \nonumber \]
Подставляя известные значения, получаем
\[. 90=.80+.70-P(\mathrm{A} \cap \mathrm{S}) \номер\]
Следовательно, P(A \(\cap\) S) = 0,60.
Пример \(\PageIndex{8}\)
Вероятность того, что в эти выходные будет холодно, равна 0,6, вероятность того, что будет дождь, равна 0,7, а вероятность того, что будет и холодно, и дождливо, равна 0,5. Какова вероятность того, что не будет ни холода, ни дождя?
Решение
Пусть C — событие, что выходные будут холодными, а R — событие, что будет дождь. Нам дано, что
\[\mathrm{P}(\mathrm{C})=.6, \quad \mathrm{P}(\mathrm{R})=.7, \quad \mathrm{P}( \mathrm{C} \cap \mathrm{R})=.5 \nonumber \] 9{c}\right)=1-P(C \cup R)=1-.8=.2 \nonnumber \]
Подведем итоги этого раздела, перечислив важные правила.
Сводка
Правило сложения
Для двух событий \(\mathrm{E}\) и \(\mathrm{F}\), \(\mathrm{P}(\mathrm{E} \cup \ mathrm {F}) = \ mathrm {P} (\ mathrm {E}) + \ mathrm {P} (\ mathrm {F}) — \ mathrm {P} (\ mathrm {E} \ cap \ mathrm {F} )\)
Правило сложения для взаимоисключающих событий
Если два события \(\mathrm{E}\) и \(\mathrm{F}\) являются взаимоисключающими, то \(\mathrm{P} (\mathrm{E} \cup \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})\) 9в) = 1 — \mathrm{P}(\mathrm{E})\)
Эта страница под названием 8. 2: Взаимоисключающие события и правило добавления распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Рупиндером Секоном и Робертой Блум посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформа LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или страница
- Автор
- Рупиндер Сехон и Роберта Блум
- Лицензия
- СС BY
- Версия лицензии
- 4,0
- Показать страницу TOC
- нет
- Теги
- дополнение
- перекресток
- взаимоисключающие
- источник@https://www. deanza.edu/faculty/bloomroberta/math21/afm3files.html.html
- соединение
взаимоисключающих событий — определение, примеры, формула
Взаимоисключающие события не могут происходить одновременно. Следовательно, вероятность одновременного возникновения двух взаимоисключающих событий равна нулю. Например, результат экзамена может быть либо зачетным, либо неудовлетворительным, но не обоими одновременно.
Эта концепция статистики имеет решающее значение для процесса планирования капиталовложений, когда компании выбирают один проект на основе определенных параметров. Из многих проектов принятие одного приведет к отказу от других. Проекты в этом случае напрямую конкурируют друг с другом.
СОДЕРЖАНИЕ
- Взаимно эксклюзивные события Определение
- Понимание взаимоизлияния. = 0
- Пример №2 – Для P (A U B) = P (A) +P (B)
- Взаимоисключающие события и независимые события
- Часто задаваемые вопросы (FAQ)
- Рекомендуемые статьи
- Взаимоисключающее или непересекающееся событие – это ситуация, когда наступление одного события вызывает ненаступление другого. Хотя эти результаты не являются независимыми, в их возникновении существует отрицательная связь.
- Два события A и B называются непересекающимися, если P(A∩B) = 0 и P(A∪B) = P(A)+P(B).
- Каждое непересекающееся событие имеет альтернативную стоимость невыбора другого.
- Это важное и часто используемое явление в финансах, инвестициях, капитальном бюджетировании, сравнении проектов и сравнении доходов.
Понимание взаимоисключающих событий
В теории вероятностей взаимоисключающие события также называются непересекающимися событиями. Непересекающиеся события — это два или более исхода, которые не могут возникнуть вместе — в такой ситуации наступление одного события приводит к ненаступлению других. Например, если вы должны быть дома, но в этот день у вас есть офис, оба события становятся взаимоисключающими. Например, если вы идете в офис, вы не можете быть дома и наоборот. Когда два события не могут произойти одновременно, то их вероятность также будет равна нулю. Непересекающиеся события не являются независимыми друг от друга.
В финансах анализ разрозненных событий облегчает принятие важных решений, таких как выбор инвестиционной возможности или составление бюджета капиталовложений Составление бюджета капиталовложений — это процесс планирования долгосрочных инвестиций, который определяет, будут ли проекты плодотворными для бизнеса и обеспечат ли они требуемую отдачу. в ближайшие годы или нет. Это важно, потому что капитальные затраты требуют значительных средств. читать дальше. Временная стоимость денегВременная стоимость денегПринцип временной стоимости денег (TVM) утверждает, что деньги, полученные в настоящем, имеют более высокую ценность, чем деньги, полученные в будущем, потому что деньги, полученные сейчас, могут быть инвестированы и использованы для создания денежных потоков для предприятия в будущем. будущее в виде процентов или будущих инвестиций и реинвестирования. Читать далее вступает в игру, когда приходится выбирать между взаимоисключающими вариантами инвестирования или бизнес-проектами. Временная стоимость денег относится к концепции, согласно которой деньги, полученные в настоящее время, имеют более высокую ценность, чем деньги, которые будут получены в будущем. Это связано с тем, что деньги, полученные сейчас, могут быть инвестированы и могут генерировать денежные потоки. Денежные потоки Денежные потоки — это сумма денежных средств или их эквивалентов, созданных и потребленных Компанией за определенный период. Это оказывается предпосылкой для анализа силы бизнеса, прибыльности и возможностей для улучшения. читать далее, это в конечном итоге приводит к будущему предприятию. Концепция взаимной исключительности помогает аналитикам определить временную стоимость каждого опциона.
Кроме того, каждое непересекающееся событие имеет определенную альтернативную стоимость. Альтернативная стоимостьРазница между выбранным планом действий и следующим лучшим планом называется альтернативной стоимостью. По сути, это стоимость следующей наилучшей альтернативы, которая была прощена из-за того, что ее аналог не появился. Например, совет директоровСовет директоровСовет директоров (СДД) относится к корпоративному органу, состоящему из группы избранных людей, которые представляют интересы акционеров компании. Совет образует верхний уровень иерархии и фокусируется на обеспечении эффективного достижения компанией своих целей.
читать дальше предпочла расширение бизнеса инвестициям в акционерный капитал. При этом они хватаются за один из вариантов, но теряют и другой.
Вы можете свободно использовать это изображение на своем веб-сайте, в шаблонах и т. д. Пожалуйста, предоставьте нам ссылку на авторство. Как указать авторство? Ссылка на статью должна быть гиперссылкой
Например:
Источник: Mutually Exclusive Events (wallstreetmojo.com)
Формула взаимоисключающих событий
Вероятность достижения взаимоисключающих событий равна сумме вероятностей обоих событий. Ниже приводится формула для вычисления того же самого:
Здесь
- P(A ∩ B) — вероятность интегрирования A и B;
- P(A∪B) — вероятность союза А и В;
- P (A) = Вероятность A;
- P (B) = Вероятность B.
Взаимоисключающая вероятность
В этом разделе мы подробно разберем приведенную выше формулу. Чтобы доказать взаимоисключаемость двух или более событий, нам нужно пройти через следующие правила вероятности:
- Правило умножения : Самый простой метод — определить совместную вероятность или интеграцию двух или более событий. Если ответ равен нулю, то это означает, что эти события не могут происходить одновременно. Таким образом, P(A ∩ B) = 0 показывает, что эти события не пересекаются друг с другом.
- Правило сложения : Альтернативно, отдельные вероятности событий могут быть сложены. Это приводит к вероятному возникновению одной возможности из многих. Он обозначается как P(A∪B) = P(A)+P(B).
Примеры взаимоисключающих событий
Пример №1 – Для P (A и B) = 0
Предположим, что Дженнифер планирует поездку. У нее есть два варианта: Италия и Стамбул. При подсчете стоимости она понимает, что не может позволить себе и то, и другое. Следовательно, она должна выбрать одного из них. Если она хочет посетить Стамбул, она не может позволить себе Италию, и наоборот.
- Здесь стоимость тура по Италии = рупий. 2, 00, 000
- Стоимость до Стамбула = рупий. 1, 50, 000
- И ваш бюджет = рупий. 2, 20, 000
Решение:
Используйте приведенные ниже данные для расчета взаимной исключительности.
Расчет непересекающихся событий можно выполнить следующим образом:
Стоимость тура в Италию и Стамбул = 2 00 000 + 1 50 000
Стоимость тура в Италию и Стамбул = 350 000 (0 взаимоисключающих, так как она не может посетить оба места одновременно так как ее бюджет всего 220000).
Пример #2 – For P (A U B) = P (A) +P (B)
Финальный матч по гандболу проводится между двумя командами Англии и Индии. 1000 зрителей попросили проголосовать за команду, которая выиграет игру. Зрители проголосовали следующим образом:
Решение:
Расчет можно сделать следующим образом:
- Вероятность победы Индии в матче (A) = 650/1000 = 0,65
- Вероятность победы Англии в матче (B ) = 150/1000=0,15
- Вероятность того, что матч станет ничьей P (A ∩ B) = 0 (ничьи не будет)
P (A U B) = P (A) + P (B)
P (A U B) = 0,65 + 0,15
P (AU B) = 80%
Взаимоисключающие события и независимые события
Взаимоисключающие события — это не то же самое, что и независимые события в котором возникновение одного из событий не влияет на возникновение другого события множества. подробнее. Для взаимной исключительности наступление одного события зависит от ненаступления другого. Принимая во внимание, что независимые события относятся к тем результатам, которые не связаны между собой, и возникновение одного не влияет на возникновение другого. Более того, в отличие от взаимной исключительности, исходы для независимых событий могут появляться одновременно.
Например, если человек опаздывает на вокзал, он либо успеет, либо опоздает на поезд. Таким образом, оба эти события являются исключительными, и может произойти только одно. Напротив, вероятность того, что музыкальный альбом станет хитом, и вероятность провала фильма — два независимых события, которые могут происходить параллельно.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Что такое взаимоисключающие события?
Взаимоисключающие события относятся к событиям, которые не происходят одновременно. Другими словами, для вероятности того, что A и B встречаются параллельно, результат всегда равен P(A ∩ B) = 0,9. 0003
Напротив, невзаимоисключающие события — это события, которые могут произойти одновременно, например, просмотр футбольного матча и поедание попкорна.
Являются ли независимые события взаимоисключающими?
Нет, непересекающиеся события не могут происходить одновременно. Таким образом, если происходит одно непересекающееся событие, шансов получить другой исход нет. Однако возникновение одного независимого события не влияет на возникновение другого независимого события.
Как узнать, являются ли события взаимоисключающими?
Самый простой способ определить взаимоисключающие события в вероятности состоит в применении и проверке правильности следующих уравнений: = P(A)+P(B)
Рекомендуемые статьи
Это руководство по тому, что такое взаимоисключающие события. Здесь мы объясняем формулу вероятности взаимоисключающего события вместе с примерами.