Сокращение дробей – примеры, правила, формулы (6 класс, математика)
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 243.
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 243.
Сокращение дробей тема достаточно трудная для математики 6 класса, поэтому разбирать ее стоит поэтапно. Чтобы не допускать ошибок, первые сокращения лучше делать так же, поэтапно. Приведем алгоритм, чтобы не допускать ошибок и научится быстро и просто сокращать любые дроби.
Алгоритм сокращения дробей.
Сначала нужно сказать, что само сокращение дробей возможно благодаря одному из определений дроби.
Дробь – это незавершенная операция деления. Имеется в виде, что всегда любую дробь можно заменить частным. Замена дробью нужна, чтобы сохранить точность вычислений.
Посмотрим, как выглядит подробное сокращение на примере:
$${25\over{40}}=25:40=(5*5):(5*8)=5:8 $$
Чтобы каждый раз не расписывать – это выражение, можно пользоваться правилом сокращения дробей: если умножить или разделить знаменатель на одно и тоже число, то значение дроби не измениться.
Теперь запишем сам алгоритм. Для того, чтобы сократить дробь нужно:
- Представить числитель и знаменатель в виде простых множителей.
- Сократить каждый из равных простых множителей.
- Перемножить оставшиеся числа и записать результат.
Вместо того, чтобы расписывать в качестве множителей числитель и знаменатель, можно просто найти НОД числителя и знаменателя. Это и будет максимально возможное число, на которое можно разделить оба значения.
Специальной формулы для сокращения любой дроби не существует, зато можно использовать правила, приведенные в этом алгоритме.
Как найти НОД?
Вспомним, как находится НОД:
- Первый шаг это разложение числа на простые множители.
- В разложении ищутся общие простые числа и выписываются в отдельное выражение.
- Получившееся значение и есть НОД.
Приведем пример.
Необходимо найти НОД чисел 150 и 294.
150=2*3*5*5
98=2*3*7*7
НОД=2*3=6
Пример
Приведем пример сокращения дробей.
Для этого упрости дробь ${513216\over{145152}}$. Для примера специально выбраны большие числа, чтобы показать, как самое большое число может стать маленьким в результате упрощения.
Мы не будем искать НОД, разложим числа на простые множители и найдем общие значения.
513216:2=256608 – в первую очередь число делится на 2. Чтобы число делилось на два, нужно, чтобы число единиц было четным.
256608:2=128304 – деление на 2 продолжается вплоть до момента, когда последняя цифра числа перестанет быть четной. После этого пробуем делить число на 3 и другие простые числа. Все простые числа есть в таблице простых чисел.
128304:2=64152
64152:2=32076
32076:2=16038
16038:2=8019
8019:3=2673
2673:3=891
891:3=297
99:3=33
33:3=11
11:11=1
Запишем результат разложения: 513216=2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*3*3*11 – всего получилось 6 чисел 3, 6 чисел 2 и число 11. Таким же образом разложим 145152.
145152:2=72576
72576:2=36288
36288:2=18144
18144:2=9072
9072:2=4536
4536:2=2268
2268:2=1134
1134:2=567
567:3=189
189:3=63
63:3=21
21:3=7
7:7=1
Запишем результаты:
145152=2*2*2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*7 – всего 8 чисел 2, 4 числа 3 и одно число 7.
В обоих числах нужно сократить 6 чисел 2 и 4 числа 3. Запишем получившийся числитель. В нем останутся числа: 2 числа 3 и число 11
3*3*11=99
Запишем получившийся знаменатель. В нем останутся числа: 2 числа два и число 7
2*2*7=28
В результате сокращения получилась дробь:
${99\over{28}}$ – при желании можно выделить целую часть. Но, если этого не требуется в условии задачи, то допускается оставить ответ в таком виде.Что мы узнали?
Мы поговорили о сокращении дробей. Узнали, почему сокращение возможно. Выяснили, как правильно производить сокращение. Привели алгоритм сокращения и два способа проведения операции. Рассмотрели пример сокращения дробей.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Олеся Смирнова
10/10
Елена Хромова
8/10
Саша Титаренко
10/10
Валентина Чалышева
10/10
Оценка статьи
4.
6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 243.
А какая ваша оценка?
Сокращение дробей. Что значит сократить дробь?
Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.
Сокращение дробей, определение и формула.
Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?
Определение:
Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно основному свойству рациональных чисел.
Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.
\(\frac{p \times n}{q \times n}=\frac{p}{q}\)
Рассмотрим пример:
Сократите дробь \(\frac{9}{15}\)
Решение:
Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.
\(\frac{9}{15}=\frac{3 \times 3}{5 \times 3}=\frac{3}{5} \times \color{red} {\frac{3}{3}}=\frac{3}{5} \times 1=\frac{3}{5}\)
Ответ: после сокращения получили дробь \(\frac{3}{5}\). По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.
\(\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\)
Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.
Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.
Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.
Получите несократимую дробь \(\frac{48}{136}\).
Решение:
Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac{48}{136}=\frac{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 2 \times 3}{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 17}=\frac{\color{red} {6} \times 2 \times 3}{\color{red} {6} \times 17}=\frac{2 \times 3}{17}=\frac{6}{17}\)
Ответ: \(\frac{6}{17}\) несократимая дробь.
Правило сокращения дроби до несократимого вида.
- Нужно найти наибольший общий делитель для числители и знаменателя.
- Нужно поделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель в результате деления получить несократимую дробь.
Пример:
Сократите дробь \(\frac{152}{168}\).
Решение:
Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac{152}{168}=\frac{\color{red} {6} \times 19}{\color{red} {6} \times 21}=\frac{19}{21}\)
Ответ: \(\frac{19}{21}\) несократимая дробь.
Сокращение неправильной дроби.
Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.
Рассмотрим пример:
Сократите неправильную дробь \(\frac{44}{32}\).
Решение:
Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.
\(\frac{44}{32}=\frac{\color{red} {2 \times 2 } \times 11}{\color{red} {2 \times 2 } \times 2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{8}\)
Сокращение смешанных дробей.
Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.
Рассмотрим пример:
Сократите смешанную дробь \(2\frac{30}{45}\).
Решение:
Решим двумя способами:
Первый способ:
Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.
\(2\frac{30}{45}=2\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3}}{3 \times \color{red} {5 \times 3}}=2\frac{2}{3}\)
Второй способ:
Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.
Вопросы по теме:
Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать.
Рассмотрим пример:
Вычислите выражение \(\frac{50+20-10}{20}\) .
Решение:
Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.
\(\frac{50+\color{red} {20}-10}{\color{red} {20}}=\frac{60}{20}=\frac{3 \times 20}{20}=\frac{3}{1}=3\)
На какие числа можно сокращать дробь?
Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac{100}{150}\).
Распишем на простые множители числа 100 и 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{3 \times 50}=\frac{2}{3}\)
Получили несократимую дробь \(\frac{2}{3}\).
Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя.
Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac{100}{150}\) на 2.
\(\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{2 \times 75}=\frac{50}{75}\)
Получили сократимую дробь \(\frac{50}{75}\).
Какие дроби можно сокращать?
Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac{4}{8}\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.
Пример:
Сравните две дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{8}{12}\).
Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac{8}{12}\):
\(\frac{8}{12}=\frac{2 \times 4}{3 \times 4}=\frac{2}{3} \times \frac{4}{4}=\frac{2}{3} \times 1=\frac{2}{3}\)
Отсюда получаем, \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)
Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.
Пример:
Сократите если возможно следующие дроби: а) \(\frac{90}{65}\) б) \(\frac{27}{63}\) в) \(\frac{17}{100}\) г) \(\frac{100}{250}\)
Решение:
а) \(\frac{90}{65}=\frac{2 \times \color{red} {5} \times 3 \times 3}{\color{red} {5} \times 13}=\frac{2 \times 3 \times 3}{13}=\frac{18}{13}\)
б) \(\frac{27}{63}=\frac{\color{red} {3 \times 3} \times 3}{\color{red} {3 \times 3} \times 7}=\frac{3}{7}\)
в) \(\frac{17}{100}\) несократимая дробь
г) \(\frac{100}{250}=\frac{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 2}{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 5}=\frac{2}{5}\)
Упрощение дробей — ChiliMath
ПоискДробь считается «упрощенной», если она выражена младшим членом . Это означает, что у единственный общий делитель между числителем и знаменателем равен 1, и никакой другой.
Метод 1. Упрощение дробей путем многократного деления
- Продолжайте делить числитель и знаменатель на общий делитель до тех пор, пока не останется единственный общий делитель 1.
- Хотя нет правильного способа, какой общий делитель использовать в начале, я бы предложил использовать первые пять (5) простых чисел в порядке возможного общего делителя:
2, 3, 5, 7, 11, …
Метод 2. Упрощение дробей с использованием наибольшего общего делителя
- Найдите наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя.
- Разделите верхние и нижние числа дроби на GCF, чтобы сократить до наименьшего члена.
- Вы можете найти GCF либо с помощью проб и ошибок , когда числа относительно невелики, либо с помощью простой факторизации.
Это простая иллюстрация, показывающая, что дробь \Large{8 \over {12}} приводится к простейшей форме. Вы видите закономерность?
Давайте рассмотрим еще несколько примеров с подробными пояснениями.
Примеры упрощения дробей
Пример 1 : Упростите приведенную ниже дробь.
Упростите, используя метод 1: метод повторного деления
Очевидно, что 1 не является единственным общим делителем между числителем и знаменателем. Поскольку они оба четные числа, они должны делиться на 2.
- Разделите верхнее и нижнее число на 2. Вот что у нас получилось.
Выходная дробь после деления верхней и нижней частей на 2 равна \Large{2 \over 4}. Мы можем остановиться здесь? Еще нет! Их все еще можно уменьшить вторым делением на 2.
- Снова разделите верхнюю и нижнюю часть на 2. Ответ: \Large{1 \over 2} (как простейшая форма \Large{4 \over 8}, потому что только делитель числителя и знаменателя равен 1
Упростить, используя метод 2: метод наибольшего общего множителя
В приведенном выше решении с использованием повторного деления мы упростили \Large{4 \over 8}, разделив его числитель и знаменатель два раза на число 2. Но подождите! Есть ли какой-нибудь короткий путь? Некоторые из вас, возможно, заметили, что использование общего делителя 4 может напрямую упростить это за один шаг!
На самом деле Наибольший общий делитель (НОД) этой дроби равен 4, потому что это НАИБОЛЬШЕЕ число, которое равномерно делит числитель и знаменатель.
Поскольку числа невелики, GCF можно определить методом проб и ошибок.
Пример 2 : Упростите приведенную ниже дробь.
Упростите, используя метод 1: метод повторного деления
Начните упрощать, используя первые несколько простых чисел (2, 3, 5, 7, 11 и т. д.).
- Разделите верхнее и нижнее числа на первое простое число, равное 2.
- У нас все еще есть общий делитель! Разделите верх и низ на следующее большее простое число, равное 3. После этого шага мы должны получить окончательный ответ.
Упростите, используя метод 2: метод наибольшего общего делителя
Чтобы найти наибольший общий делитель, мы собираемся выполнить разложение каждого числа на простые множители. Затем определите общие факторы между ними. Наконец, умножьте общие множители, чтобы получить требуемый GCF, который может упростить дробь.
Поскольку GCF = 6, используйте это число, чтобы разделить числитель и знаменатель, чтобы получить ответ за один шаг.
Пример 3 : Упростите приведенную ниже дробь.
Упрощение с использованием Метода 1: Повторного Деления
Мы можем начать тестировать числа 2, 3, 5 и т.д., чтобы упростить это. Но есть очевидный делитель, который выделяется! Поскольку оба числа оканчиваются на ноль, они должны делиться на 10.
Теперь на 2 нельзя разделить оба числа, поэтому попробуйте 3.
Упростите, используя метод 2: Метод наибольшего общего множителя
Разложите каждое число на простые множители и получите произведение общих множителей для получения необходимого НОД.
Упростите данную дробь за один шаг, используя делитель GCF = 30.
Пример 4 : Упростите приведенную ниже дробь.
Решение:
Разделите числитель и знаменатель на общий делитель 3.
Пример 5 : Упростите дробь.
Решение:
Упростите, используя метод повторного деления.
- Разделить числитель и знаменатель на 3, два раза !
Пример 6 : Упростите приведенную ниже дробь.
Решение:
Упростите эту дробь методом наибольшего общего множителя.
- Найдите GCF, разложив на простые множители числитель и знаменатель. Определите общие факторы. Перемножьте их вместе, чтобы получить требуемый GCF.
- После определения GCF разделите числитель и знаменатель, чтобы получить окончательный ответ.
Пример 7 : Упростите приведенную ниже дробь.
Решение:
Найдите наибольший общий делитель между числителем и знаменателем и используйте это число, чтобы упростить дробь.
- Определите GCF
- Разделите числитель и знаменатель на GCF = 21.
Вас также могут заинтересовать:
Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Умножение дробей
Деление дробей
Равные дроби
Обратная дробь
Как сокращать дроби в математике
Как сократить дроби в математике? Вопросы по математике для 7 класса представлены вместе с подробными решениями.
Подробные решения и пояснения включены.
Что такое сокращенная дробь в математике? Как уменьшить дробь? Один из способов уменьшить дробь — записать числитель и знаменатель на простые множители, а затем упростить. Пример 1: Уменьшить дробь \( \dfrac{9}{15} \) шаг 1 — Разложение 9 на простые множители: 9 = 3 3 шаг 2 — Разложение числа 15 на простые множители: 15 = 3 · 5 шаг 3 — Перепишите данную дробь с числителем и знаменателем в факторизованной форме \( \dfrac{9}{15} = \dfrac{3\times 3}{3 \times 5} \) шаг 4 — Упростить \( \dfrac{9}{15} = \dfrac{\cancel{3}\times 3}{\cancel{3}\times 5} \) = \(\dfrac{3}{5} \) Пример 2: Уменьшить дробь \( \dfrac{12}{72} \) шаг 1 — Разложение числа 12 на простые множители: 12 = 2 2 3 шаг 2 — Разложение числа 72 на простые множители: 72 = 2 2 2 3 3 шаг 3 — Перепишите данную дробь с числителем и знаменателем в факторизованной форме \( \dfrac{12}{72} = \dfrac{2\times 2 \times 3}{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3} \) шаг 4 — Упростить \( \dfrac{12}{72} = \dfrac{\cancel{2\times 2} \times \cancel{3}}{\cancel{2 \times 2} \times 2 \times \cancel{3} \times 3} \) = \( \dfrac{1}{6} \) Пример 3: Уменьшить дробь \( \dfrac{504}{600} \) шаг 1 — Простая факторизация числа 504: 504 = 2 2 2 3 3 7 шаг 2 — Простая факторизация 600: 600 = 2 2 2 3 5 5 шаг 3 — Перепишите данную дробь с числителем и знаменателем в факторизованной форме \( \dfrac{504}{600} = \dfrac{2\times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7}{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5} \) шаг 4 — Упростить \( \dfrac{504}{600} = \dfrac{\cancel{2\times 2 \times 2} \times \cancel{3} \times 3 \times 7}{\cancel{2 \times 2 \times 2} \times \cancel{3} \times 5 \times 5} \) = \( \dfrac{21}{25} \) А Калькулятор уменьшения дробей можно использовать для проверки ваших ответов.  |
